《微积分》第一章测试题
(微积分)第一章
第一章习题1-11. 用区间表示下列不等式的解.⑴ x%9; (2) x — 1 1；(3) (x-1)(x 2) :0; (4) 0 . x 1:: 0.01解(1)原不等式可化为(x —3)(x+3)苴0 ,其解为—3苴x<3,用区间表示是[-3,3].(2) 原不等式可化为x—1》1或x—1<—1 ,其解为x》2或x<0 ,用区间表示是(-8 ,0^(2,+ 8 ).(3) 原不等式的解为—2 e x <1,用区间表示是(-2,1).-0.01 ：x 1 ：0.01 口-1.0 V： x ：-0.99(4) 原不等式可化为4 即/x 1=0 x=1用区间表示是(-1.01,-1) U (-1,-0.99).2. 用区间表示下列函数的定义域：(1) y =[ - .1 -x2；(2) y = arcsin(1 - x) ig(ig x)；x(3) y = . 6 -5x -x2 ---------- - --- .ln(2 -x)a - x=0 r x = 0解⑴要使函数有意义，必须｛… 即41-x2-0 -1%&1所以函数的定义域为[-1,0) U (0,1].(2)要使函数有意义，必须J lg x A 0 即< x A1x 0 x 0所以函数的定义域是1<x s ；2,用区间表示就是(1,2].6 —5x —x 2 _0—6 壬 X&1(3)要使函数有意义，必须<ln(2 - x) #0 即<x #1 所以函数的定义域是-6孑<1,用区间表示就是[-6,1).3. 确定下列函数的定义域及求函数值 f(0),f( J2),f(a)(a 为实数),并作出图形r 1 八一，x <0, x (1)y=<2x,0 5<1‘ 1,1 ：x&2解(1)函数的定义域D(f) ={x|x ：：： 0}IJ{x|0 £x ："J{x|1 ：：： x £2}= {x|x ：：1 或 1，： x 三 2}=(-二,1)U(1,2]1一 a < 0f (o )=2 °=。
《微积分》各章习题及详细答案之欧阳育创编
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xx x +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。
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第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→x x ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xx x +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分(上)复习题
微积分（上）复习题浙江工业大学成人教育学院二O O四年八月微积分（上）复习题第一章 函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5)B. (1，5)C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（ ）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为 （ ）A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.下列各对函数中，表示同一个函数的是（ ） A.f(x)=1x 1x 2+-与g(x)=x-1B.f(x)=lgx 2与g(x)=2lgxC.f(x)=x cos 12-与g(x)=sinxD.f(x)=|x|与g(x)=2x5.下列函数中为奇函数的是（ ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-6.函数f(x)=1+xsin2x 是（ ） A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数7.函数y=2a a xx -+(a>0,a ≠1)是（ ）Ａ.奇函数 B.非奇非偶函数 C.偶函数 D.奇偶性取决于a 的取值 8.当x →0时，下列无穷小量与x 为等价无穷小的是（ ）A. sin 2xB. ln(1+2x)C. xsin x1D.x 1x 1--+9.下列极限正确的是( )A.11sinlim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ；C.1sin lim =∞→x x x ；D.12sin lim 0=→xx x ； 10.=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2xx x 11lim （ ） A.e 2B.21eC.e -2D.21e-11.nn 211(lim +∞→）＝（ ） Ａ. 0 B. 1 C.不存在 D. 2 12.=+∞→xx x)21(lim （ ） A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 13.xx x 21sin3lim ⋅∞→=( ) A.∞ B. 0 C. 23 D.32 14.=→2xtan3xlim 0x （ ）A.∞B.23C.0D.115.=-+-→xx x x x 32112lim （ ） A.21B. 0C. 1D. ∞16.limsin2xxx →∞等于( )A. 0B. 1C. 12D. 217.x mxx sin lim0→ (m 为常数) 等于 ( )A.0B. 1C.m1D. m 18. hx )h x (lim 320h -+→ =( )。
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第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→x x ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xx x +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分第一章详细答案
第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.011 x x x x x ≤>--+<<<+解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+<⎧⎨+≠⎩即 1.010.991x x -<<-⎧⎨≠⎩用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99). 2.用区间表示下列函数的定义域: 1(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1(3).ln(2)y y x x xy x =-=-+=-解 (1)要使函数有意义,必须2010x x ≠⎧⎨-≥⎩即011x x ≠⎧⎨-≤≤⎩所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须111lg 00x x x -≤-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩即0210x x x ≤≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩即6112x x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),ff (a )(a 为实数),并作出图形(1)1,0,2,011,12x x y x x x ⎧<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪<≤⎩； (2)y＝211,12x x x ⎧≤⎪⎨-<<⎪⎩解 (1)函数的定义域(){|0}{|01}{|12}{|112}(,1)(1,2]或D f x x x x x x x x x =<≤<<≤=<<≤=-∞10(0)200,1,()201112a a f ff a aa a ⎧<⎪⎪=⨯===⎨≤<⎪⎪<≤⎩,图1-1 图1-2(2)函数的定义域(){|1}{|12}{|2}(2,2)D f x x x x x x =≤<<=<=-221(0)1,11,()112a f ff a a a ≤===-==-<<⎪⎩4.设1,1()1,1x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,求f (f (x )).解 当|x |≤1时, f (x )=1, f (f (x ))= f (1)=1;当|x |>1时, f (x )=-1, f (f (x ))= f (-1)=1, 综上所述f (f (x ))=1(x ∈R ).5.判定下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝21cos xx-； (2)f (x )＝(x 2＋x )sin x ；(3)f (x )＝1e ,0e 1,0x x x x -⎧-≤⎨->⎩解 (1) ∵221()1()()cos()cos x xf x f x x x----===-∴f (x )是偶函数.(2)∵222()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠ 且()()f x f x -≠-, ∴f (x )是非奇非偶函数.(3)当x <0时,-x >0, ()1(1)()e e x x f x f x ---=-=--=-; 当x ≥0时,-x ≤0, ()()11(1)()e e e x x x f x f x ---=-=-=--=-,综上所述, x ∀∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：(1) f (-x )+f (x )为偶函数； (2) f (-x ) -f (x )为奇函数. 证 (1)令()()()F x f x f x =-+(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;(2)令()()()F x f x f x =--,(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-所以()()()F x f x f x =--是奇函数.7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证 (1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =± 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x-=-±-=±=, 所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =⋅, 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x -=-⋅-=-=-, 所以()()f x g x ⋅是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数:22(1)2sin 3;(2);212101,(3)()2(2)1 2. xxy x y x x f x x x ==+-≤≤⎧=⎨--<≤⎩解 (1)由2sin 3y x =得1arcsin 32y x =所以函数2sin 3y x =的反函数为1arcsin(22)32x y x =-≤≤.(2)由221xxy =+得21x y y=-,即2log 1y x y=-.所以函数221xx y =+的反函数为2log (01)1x y x x =<<-.(3)当01x ≤≤时,由21y x =-得1,112y x y +=-≤≤;当12x <≤时,由22(2)y x =--得22x y =-<≤;于是有1112212y y x y +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩,所以函数22101()2(2)12x x f x x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩的反函数是1112()212x x f x x +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩.9. 将y 表示成x 的函数,并求定义域:222(1)10,1;(2)ln ,2,sin ;(3)arctan ,().为实数u vy u x y u u v x y u u v a x a ==+======+解 (1)211010u x y +==,定义域为(-∞,+∞);(2) sin ln ln 2ln 2sin ln 2vxy u x ====⋅定义域为(-∞,+∞);(3) arctan arctan arctan y u ===(a 为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的? (1) y=(2) y =sin 3ln x ;(3) y = tan 2xa； (4) y =ln ［ln 2(ln 3x )］.解 (1)令arcsin x u a =,则y =再令xv a =,则arcsin u v =,因此y =是由基本初等函数arcsin ,xy u v v a ===复合而成的.(2)令sin ln u x =,则3y u =,再令ln v x =,则sin u v =.因此3sin ln y x =是由基本初等函数3,sin ,ln y u u v v x ===复合而成.(3)令2tan u x =,则u y a =,再令2v x =,则tan u v =,因此2t a n x y a =是由基本初等函数2,tan ,uy a u v v x ===复合而成.(4)令23ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3ln(ln )v x =则2u v =,再令3ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3w t =,因此23ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2ln ,,ln ,y u u v v w ===3,ln w t t x ==复合而成.2.设f (x )的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域： (1) f (x 2)； (2) f (sin x ); (3) f (x +a ),(a ＞0)； (4) f (e x +1).解 (1)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x 2≤1,于是-1≤x ≤1,所以f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤sin x ≤1,于是2k π≤x ≤(2k +1)π,k ∈z ,所以f (sin x )的定义域为[2k π,(2k +1) π], k ∈Z .(3)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x+a ≤1即-a ≤x ≤1-a 所以f (x+a )的定义域为[-a ,1-a ]. (4)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤e x +1≤1,解此不等式得x ≤-1,所以f (e x +1)的定义域为(-∞,-1]. 3. 求下列函数的表达式：(1) 设ϕ(sin x )=cos 2x +sin x +5,求ϕ(x ); (2) 设g (x -1)=x 2+x +1,求g (x ); (3) 设1()f x x +=x 2+21x,求f (x ).解 (1)法一:令sin t x =,则222cos 1sin 1x x t =-=-,代入函数式,得:22()156t t t t t ϕ=-++=+-,即 2()6x x x ϕ=++.法二:将函数的表达式变形得:22(sin )(1sin )sin 56sin sin x x x x x ϕ=-++=+-令sin t x =,得 2()6t t t ϕ=+-,即 2()6x x x ϕ=+-.(2)法一:令1t x =-,则1x t =+,将其代入函数式,得22()(1)(1)133g t t t t t =++++=++即 2()33g x x x =++.法二:将函数表达式变形,得22(1)(21)(33)3(1)3(1)3g x x x x x x -=-++-+=-+-+令1x t -=,得 2()33g t t t =++, 即 2()33g x x x =++.(3)法一:令1x t x+=,两边平方得22212x t x++=即22212x t x+=-,将其代入函数式,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.法二:将函数表达式变形,得222111222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令1x t x+=,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.4.设f (x )为奇函数,证明：若f (x )在x =0有定义,则f (0)=0.证 ∵f (x )为奇函数,且f (x )在x =0处有定义,∴ (0)(0)f f -=-又(0)(0)f f -=于是(0)(0)f f =- 即2(0)0,(0)0f f =∴=.5.证明：狄利克雷函数是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,但无最小正周期. 证 狄利克雷函数1,,()0,当为有理数时当为无理数时.x D x x ⎧=⎨⎩设T 是任一正有理数, x ∀∈R ,当x 为有理数时,x+T 为有理数,于是()1D x T +=,又()1D x =,所以()()D x T D x +=; 当x 为无理数时,x+T 为无理数,于是()0D x T +=,又()0D x =,所以()()D x T D x +=. 综上所述, x ∀∈R 有()()D x T D x +=,所以()D x 是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,又设P 是任一无理数, x P ∃=-∈R ,使()(0)1D x P P +==,而()0D x =,故()()D x P D x +≠,即无理数不是()D x 的周期;因为不存在最小的正有理数,所以()D x 无最小正周期.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x 的二次函数,已知x =0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x ).解 设2()TR x ax bx c =++,由已知(0)0,(2)6,(4)8TR TR TR === 即 04261648c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 1240a b c ⎧=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩所以总收入函数21()42TR x x x =-+.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解 设销售量为x ,实际每吨售价为P 元,由题设可得P 与x 间函数关系为1307001177001000x P x ≤⎧=⎨<≤⎩,总收入 130700()130700(700)1177001000TR x x x x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯<≤⎩,即 130700()91001177001000TR x x x xx ≤⎧=⎨+<≤⎩.3. 已知需求函数为105Q P =-,成本函数为C =50+2Q ,P 、Q 分别表示价格和销售量.写出利润L 与销售量Q 的关系,并求平均利润.解 由题设知总收入2()105QR Q PQ Q ==-,则总利润 ()221()()()8505021055Q L Q R Q C Q Q Q Q Q ⎛⎫=-=-=--+- ⎪⎝⎭, 平均利润 ()150()85L Q AL Q Q QQ==--.4. 已知需求函数Q d 和供给函数Q s ,分别为Q d =100233P -,Q s =-20+10P ,求相应的市场均衡价格.解 当d s Q Q =时供需平衡,由d s Q Q =得1002201033P P -=-+,解得5P =所以市场均衡价格5P =.。
微积分第1、2章测验题
的垂线,求此平面的方程. 的垂线,求此平面的方程. 所求平面方程为 x + 2y +1= 0
x 具有二阶连续偏 2．已知函数 z = f x, ,其中 f 具有二阶连续偏 y 2 2 ∂2 z ∂2 f 2 ∂2 f 1 ∂2 f ∂z ∂z + 2⋅ 2 微商. 微商.求 2 , . 2= 2+ ⋅ ∂x ∂x∂y ∂x ∂u y ∂u∂v y ∂v
(12分 七、 分) 已知函数f(x)在[0, 2a]上连续,且f (0) = f (2a) , 在 上连续, 已知函数 上连续 求证在[0, 内至少有一点 内至少有一点c， 求证在 a]内至少有一点 ，使得 f (c) = f (c + a).
一、单项选择题 (每小题 分) 每小题4分 每小题 1．下列说法正确的是 D → → → → → 是单位向量； A i + j + k 是单位向量； B i × i = 0； ； → → → → → → C 如果向量 a 垂直向量 b ,则 a + b = a − b； ； 垂直. D 平面 x+ y+z=0与 x+ y − 2z+3=0 垂直 与 2．函数 y = C1ex + C2e−2x + xex 满足的一个 微分方程是 D A y" − y' − 2y = 3xex； B y" − y' − 2y = 3ex； C y" + y' − 2y = 3xex； D y" + y' − 2y = 3ex.
x→+∞ x→+∞
微积分一练习题及答案
《微积分（1）》练习题一． 单项选择题1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ）A ． ()()()0000lim x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆B ．()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆ C ．()()()00002lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()0000212lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ）A ．201sin lim xx x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x C ． x x e 10lim → D ．()x x x x +-∞→632213lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22--4．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。
A ．跳跃间断点；B ．无穷间断点；C ．可去间断点；D ．振荡间断点5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ）A ． 当()()0<b f a f 时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξf ；B ． 对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξf x f x ；C ． 当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ；6． 已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim -=-'→ax x f a x ，则下列结论成立的有（ ） A ．a x =是()x f 的极小值点； B ．a x =是()x f 的极大值点；C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点；二． 填空：1．设⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f y 1arcsin ，f 可微，则()='x y 2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为4．曲线()2142-+=xx y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f三． 计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x（3）xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy （5）053=-+x y e xy 求0=x dx dy四． 试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax 在0=x 处连续且可导。
经济数学(微积分)自测题
第一章 第一章 函数 自测题一、填空题(请将正确答案直接填在题中横线上):1．函数()(ln )f x f x =则的定义域为______________。
2．设1, 1()0, 1,(),[()] ,[()]1,1x x f x x g x e f g x g f x x ⎧<⎪=====⎨⎪->⎩则。
3．函数2, 0()2ln ln 2, 2x x f x x x x -≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩的反函数1()f x -＝________________。
4．设函数()f x 满足212()()1xf x x f x x +=+，则()f x ＝__________。
5．设(sin )cos 1.(cos )22x xf x f =+则=____________________。
二、选择题(请在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内)：1．函数2211x y x -=+的值域是（ ）。
(A) 11y -≤≤ (B) 11y -≤< (C) 11y -<≤ (D) 01y ≤≤ 2．()sin ()xf x xex -=-∞<<+∞是（ ）。
(A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 奇函数 3．设x ∈（－1，1），则1()lg1xf x x -=+（ ）。
(A) 既是奇函数，又是单调减函数 (B) 既是奇函数，又是单调增函数 (C) 既是偶函数，又是单调增函数 (D) 既是偶函数，又是单调增函数4．设22,0(), 0x x e x x f x e x x ππ⎧--<<⎪=⎨+≤<⎪⎩，在其定义域内为（ ）。
(A) 无界函数 (B) 周期函数 (C) 单调函数 (D) 偶函数 5．已知函数()f x 在(,)-∞∞上单调减，则下列函数中单调增的是（ ）。
(A) 2()f x (B) 1()f x (C) ()f x - (D) ()xf x三、充分判断题：解题说明：本题要求判断给出的条件能否充分支持题干陈述的结论。
微积分(一)综合测试1试题及答案
《微积分》上册 综合练习题1一、填空题（每小题2分，共10分）： 1． 设11(),()1,[()]______________;1x f x g x e f g x x -==-=+则 2．2)(x e x f =，则xf x f x )1()21(lim 0--→= 。
3．)1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点为=0x ；补充定义=)(0x f时，则函数在0x 处连续。
4．已知函数1()sin 3cos 3f x x a x =-在3x π=处取极值，则a = ，()3f π为极 值。
5．若31()x f t dt x -=⎰，则=)7(f 。
二、单项选择（每小题2分，共20分）：1． 函数)12ln(2712arcsin )(2--+-=x x x x x f 的定义域区间是（ ）。
（A ）1[,1)(1,2]2 （B ）1[,1)(1,2)2（C ）1(,1)(1,2]2 （D ）1(,2]22. 函数1()sin f x x x=，则)(x f （ ）。
（A ） 单调 （B ） 有界 （C ）为周期函数 （D ）关于原点对称3．曲线2arctan )(2221--=x x x e x f x 有（ ）条渐近线。
（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）44. 在同一变化过程中，结论（ ）成立。
(A) 两个穷大之和为无穷大 （B ）两个无穷大之差为无穷大(C) 无穷大与有界变量之积为无穷大 （D ）有限个无穷大之积为无穷大5．当0→x 时，下列函数那个是其它三个的高阶无穷小（ ）。
（A ）2x （B ）1cos x - （C ）)1ln(2x + （D ）x x tan - 6. 若)(x f 为定义在),(∞+-∞的可导的偶函数，则函数（ ）为奇函数。
（A ）(sin )f x ' （B ）()sin f x x ' （C ）(cos )f x ' （D ）[()sin ]f x x '7．已知函数)(x f 任意阶可导，且2()[()]f x f x '=，则)(x f 的n （n ≥ 2）阶导数=)()(x f n （ ）。
实用文档之《微积分》各章习题及详细答案
实用文档之"第一章 函数极限与连续"一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分(一)综合测试1试题及答案
h→0
h
9. 若 f (x) 的导函数是 sin x ，则 f (x) 的一个原函数是（
）。
(A) 1 + sin x
（B）1 + cos x
(B) （C）1 − sin x
（D）1 − cos x
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2
10.设f
'
( x)在[1，2]上可积,且f
(1)
= 1,
f
(2)
=
2
−4, ∫1
f
( x)dx
时,
f
'( x)
<
0,当x
>
π 3
时,
f
'( x)
>
0,∴
f
⎛ ⎜ ⎝
π 3
⎞⎟是极小值 ⎠
∫ 5．若 x3−1 f (t)dt = x ，则 f (7) = 1 。
0
12
解 f (x3 −1)3x2 = 1, ⇒ 当x = 2时，（f 7）＝ 1
12
二、单项选择（每小题 2 分，共 20 分）：
1． 函数 f (x) = arcsin 2x −1 + 2x − x2 的定义域区间是（ C ）。
。
二、单项选择（每小题 2 分，共 20 分）：
1． 函数 f (x) = arcsin 2x −1 + 2x − x2 的定义域区间是（
）。
7 ln(2x −1)
（A）
1 [
,
1)
∪
(1 ,
2]
2
（C）
1 (
,
1)
∪
(1 ,
2]
2
2. 函数 f (x) = x sin 1 ，则 f (x) （
微积分习题册(精华版)
微积分练习题册第一章函数1. 1y x=是无穷小量； 2. 奇函数与偶函数的和是奇函数；3. 设arcsin y u =，u =2arcsin 2+=x y ；4. 函数 1lg lg y x= 的定义域是 1x > 且 10x ≠； 5. 函数 2x y e -= 在 (0,)+∞ 内无界；6. 函数 211y x =+ 在 (0,)+∞ 内无界；7. 21()cos x f x x-= 是奇函数；8. ()f x x = 与2()g x = 是相同函数 ； 9. 函数 x y e = 是奇函数；10. 设 ()sin f x x = ，且2[()]1f x x ϕ=-，则()x ϕ的定义域是 (0,1)； 11. y x = 与y 是同一函数； 12. 函数 31y x x =++ 是奇函数；13. 函数 1arcsin 2x y -= 的定义域是(1,3)- ；14. 函数 cos3y x = 的周期是 3π ；15. y x = 与 2x y x= 不是同一个函数；16. 函数 cos y x x =是偶函数 .填空题1. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________；2. 设cos 0()0xx f x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，则 (0)f = __________；3. 设 x x x f --=24)(2，则 )2(-f = _______ ；4. 设 xx f 1)(=，x x g -=1)( ，则 )]([x g f = _______ ；5. 复合函数2(sin )x y e =是由 ________, ________, _______函数复合而成的； 6. 函数 43y x =- 的反函数是 _______ ；7. 已知 11()1f x x =- ，则 (2)f = __________ ；8.y =，其定义域为 __________ ； 9. 设函数 2()1x f x x -=- ，则 (1)f -= __________；10. 考虑奇偶性，函数 ln(y x = 为 ___________ 函数 ；11. 函数 2x y e = 的反函数是 1ln 2y x = ,它的图象与 2x y e = 的图象关于________ 对称 .选择题1. 函数 32--=x x y 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞(C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞ 2. 函数 22)1(-=x x y 在区间 (0,1) 内 ( )(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( )(A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+4. 已知函数 20()10ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2第二章 极限与连续判断题1. 函数在点 0x 处有极限，则函数在 0x 点极必连续；2. 0x → 时，x 与 sin x 是等价无穷小量；3. 若 00(0)(0)f x f x -=+，则 )(x f 必在 0x 点连续；4. 当 0x → 时，2sin x x +与 x 相比是高阶无穷小；5. 函数 221y x =+ 在 (,)-∞+∞ 内是单调的函数；6. 设 )(x f 在点 0x 处连续，则 00(0)(0)f x f x -=+ ；7. 函数 21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在 0x = 点连续； 8. 1=x 是函数 122--=x x y 的间断点； 9.()sin f x x = 是一个无穷小量；10. 当 0→x 时，x 与 )1ln(2x + 是等价的无穷小量； 11.若 )(lim 0x f x x → 存在，则 )(x f 在 0x 处有定义；12. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量；13. 22--=x y 是一个复合函数；14. 21sin lim 0=+→x x x x ；15. 01lim sin 1x x x→= ；16. 22lim(1)x x e x-→∞+= ；17. 11,0,,0,,0,481数列收敛2；18. 函数 1sin y x= 在0x = 点连续；19. 当0x +→x ；20. 函数 1()cos f x x x= ，当 x →∞ 时为无穷大；21. 当 1x → 时， ln x 与 1x - 是等价无穷小量；22. 0x = 是函数 ln(2)x y x-= 的间断点；23. 以零为极限的变量是无穷小量；24. sin lim 1x xx→∞= ；25. 0sin 25lim sin 52x x x →= ；26. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小量； 27. ln(1)x +~x ；28. 1lim sin 1x x x→∞= ；29. 110lim(1)xx x e -→-= ；30. 0tan lim1x xx→= .填空题1. sin lim x xx→∞= _______ ；2. 711lim 1x x x →-=- ______ ； 3. xx xx sin lim+∞→ = _______ ； 4. 函数 922-+=x x y 在 _______ 处间断；5.1253lim 22-+∞→n n n n = _______； 6. 函数 x y ln = 是由 ______， ______ ，______复合而成的；7. 22111arcsin xx y -+-= 的定义域是 ______ ；8. 当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；9. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；10.0lim x +→= __________ ；11. 设 sin 2,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 连续，则 a = _________ ；12.0limh h→=___________ ； 13. 函数 y x = 在点 _________连续，但不可导；14. 2lim(1)x x x →∞-=________；15. 0ln(13)lim sin 3x x x →+=_________ ；16. 设 21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩ 在 0x = 处________（是、否）连续；17. 当0x →23是______（同阶、等价）无穷小量.选择题1. 当 0x →时，xy 1sin = 为 ( )(A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 有界变量但不是无穷小量 (D) 无界变量 2. 1x +→ 时，下列变量中为无穷大量的是 ( )(A) 113-x (B) 112--x x (C) x 1(D) 112--x x3.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在4. 函数 ()12xf x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 11x x ≠= 的连续区间是 ( ) (A)(,1)-∞ (B)(1,)+∞ (C)(,1)(1,)-∞⋃+∞ (D) (,)-∞+∞ 5. 函数 4cos 2y x = 的周期是 ( )(A) 4π (B) 2π (C) π (D) 2π6. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩ ，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-7. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续8. 当 n →∞ 时，1sin n n是 ( )(A)无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量9. 02lim 5arcsin x xx→= ( )(A) 0 (B) 不存在 (C) 25(D) 110. ()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的 ( )(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 11. 下列极限存在的有 ( )(A)2(1)lim x x x x →∞+ (B) 01lim 21x x →- (C) 10lim xx e →(D) x计算与应用题1. 设 )(x f 在点 2x =处连续，且232,2(),x x x f x a ⎧-+⎪-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩22=≠x x ，求 a2. 求极限 20cos 1lim 2x x x→-3. 求极限 121lim()21x x x x +→∞+-4. 512lim 43-+-∞→x x x x5. x x x10)41(lim -→6. 2)211(lim -∞→-x x x7. 20cos 1lim x xx -→8. 求 2111lim()222n n →∞+++9. 求极限 22lim(1)n n n→∞-10. 求极限 lim()1xx x x →∞+11. 求极限 211lim ln x x x→-12. 201lim x x e x x →--13. 21002lim(1)x x x +→∞+14. 求lim x →-15. 21lim()1xx x x →∞-+16. 求 3131lim()11x x x→---第三章 导数与微分判断题1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0x f x x → 一定存在；3. 函数 x x x f =)( 是定义区间上的可导函数；4. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；5. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；6. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；7. 函数 22,1()ln ,014x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩ 在 1x = 点可导；8. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ；9. 2()2d ax b ax += ；10. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续； 11. 函数 ()f x x x = 在点 0x = 处不可导 .填空题1.()f x = ，则 (0)f '= _________ ；2. 曲线 3y x = 在点 (1,1) 处的切线方程是 ________ ；3. 设 ln e x e y x e x e =+++，则 y '= ______ ；4. sin(1)x y e =+ ，dy =_______ ；5. 设 222e x y x += ，则 y ' = ________ ；6. 设 e x y n += ，则 ()n y = ________ ；7. 曲线 x e x y += 在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；8. 若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])()(['x v x u = _________ ； 9. ()x x ' = _______；10. 设 )(x f 在 0x 处可导，且 A x f =')(0，则 hh x f h x f h )3()2(lim000--+→用A 的代数式表示为_______ ；11. 导数的几何意义为 ________________________ ；12. 曲线y = 在 (1,1) 处的切线方程是 ___________ ；13. 曲线 31y x =+ 在 (1,0)- 处的切线方程是 ___________ ； 14. 函数 32sin(1)y x x =+ 的微分 dy =__________ ； 15. 曲线 2y x = 在点 (0,0)处切线方程是_________ ； 16. dy y -∆ 的近似值是 _________ ；17. n y x =(n 是正整数)的 n 阶导数是 ________ .选择题1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( )(A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000()()lim x x f x f x x x →--不存在(C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()lim x f x f x x∆→-∆不存在2. 设)(x f 在点0x 处可导且0001lim(2)()4x x f x x f x →=--，则0()f x '等于( )(A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –23.设 21,10()1,02x x f x x ⎧+-<≤=⎨<≤⎩ ，则)(x f 在点x = 0 处 ( )(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义 4.设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = ( ) (A) ()()f x h o h '+ (B) 2()()f x h o h '-+ (C) ()()f x h o h '-+ (D) 2()()f x h o h '+5.设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()lim x f x x→＝ ( )(A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1(0)2f '6.函数 )(x f e y =，则 ="y ( )(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f(C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 7.函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1[)1(-+--x x xx x8.函数)(x f 在 0x x =处连续，是 )(x f 在 0x 处可导的 ( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9. 已知 ln y x x = ，则 (10)y = ( )(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!x-10. 函数 xxx f =)( 在 0=x 处 ( )(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导(C) 极限存在但不连续 (D) 不连续也不可导11. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续 12. 设 x x y e e -=+ ，则 y ''=( )(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+13. 函数 0,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，在点 0x = 不连续是因为 ( ) (A) (00)(0)f f +≠ (B) (00)(0)f f -≠ (C) (00)f +不存在 (D) (00)f -不存在14. 设 1(2)1f x x +=+ ，则 ()f x '= ( )(A) 21(1)x -- (B) 21(1)x -+ (C) 11x + (D) 11x -- 15. 已知函数 2ln y x = ，则 dy =（ ）(A) 2dx x (B) 2x (C) 21x (D) 21dx x16. 设 21cos ,0()0,01tan ,0x x x f x x x x x⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩ ，则 ()f x 在 0x =处（ ）(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 17. 已知 sin y x = ，则 (10)y = ( )(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x -计算与应用题1. 设 f(x) = xaa a x arccos 22-- (0a >), 求 (2)f a '-2. 设 ln()y xy = 确定 y 是 x 的函数，求 dxdy3. 设 xx y 1cos 1ln += ，求 dy4. 设 21(1)arctan cos 2y x x x =++，求 y '5. 设 x y e y ln = 确定 y 是 x 的函数，求 dxdy6. 设 )ln(ln x y =，求 dy7. 221arcsin x y e x x=+-y , 求 'y 及 dy8. ln tan 2xy = ，求 'y 及 dy9. sin()y x y =+ ，求 'y 及 dy10. 221cos 5ln x x y -+= ，求 y ' 及 dy11. y e =，求 y ' 及 dy12. xy e y x -= ，求 y ' 及 dy13. 已知 2cos 3y x =，求 y '14. 设 22sin 0y x y --=， 求 y '15. 求 13cos x y e x -= 的微分16. 设 ln(y x x =，求 y '17. 设 cos 2x y e = ，求 dy18. 方程 0y x e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '19. 设 22arctan()1xy x=- ，求 y '20. 方程 2cos 0y y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y '21. 3cos cos x y x x e =+ ，求 dy22. ln y x x = ，求 y ''23. 已知 ln(y x = ，求 y '24. 设 x y x = ，求 y '25. 已知 ()sin3f x x = ，求 ()2f π''26. 求 2xe y x= 的微分第四章 导数的应用判断题1. y 轴是曲线 24(1)2x y x+=- 的铅垂渐近线； 2. 曲线 3y x x =- 在(,0)-∞是下凹的，在(0,)+∞是上凹的；3. 1x = 是 31()3f x x x =- 在 [2,2]-+ 上的极小值点；4. 曲线 y =在 0x = 点没有切线；5.函数可导，极值点必为驻点；6. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；7. 直线 2y =- 是曲线2)1(42-+=x x y 的水平渐近线；8. 12x = 是曲线 234161x x y -= 的拐点；9. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，在 (,)a b 内可导，12a x x b <<<，则至少存在一点 12(,)x x ξ∈，使得 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ； 10. 若 0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则 )(0x f 是 )(x f 的极大值；11. 函数 )12ln()(+=x x f 在 [0,2] 上满足拉格朗日定理； 12. 若 0x x = 是函数)(x f 的极值点，则0)('0=x f ； 13. 函数 )(x f 在 [,]a b 上的极大值一定大于极小值； 14. 当 x 很小时，ln(1)x x +≈ ；15. 30sin 1lim 3x x x x →-= ；16. 曲线 3y x = 的拐点是 (0,0)；17. 函数 ()y f x = 在 0x x = 点处取得极大值，则 0()0f x '= 或不存在； 18. 0()0f x '=是可导函数()y f x =在0x x =点处取得极值的充要条件； 19. 曲线 1ln y x =+ 没有拐点；20. 设()()()f x x a x ϕ=-，其中函数()x ϕ在x a =处可导，则 ()()f a a ϕ'= ；21. 因为 1y x = 在区间(0,1)内连续，所以在(0,1)内 1y x= 必有最大值；填空题1. 求曲线 53(2)y x =- 的拐点是 ________； 2. 求曲线 21x y x =+ 的渐近线为________ ；3. lim nax x x e→+∞ （ 0,a > n 为正整数）= ________ ；4. 幂函数 y x α=（ α为常数）的弹性函数是 _________ ；5. 221y x x =--+ 的单调递增区间为 __________ ；6. 函数()f x = 的间断点为 x = ______ ；7. 函数 112+=x y 的单调下降区间为 ______ ；8. 设 322++=ax x y 在点 1x = 处取得极小值，则 a = _______ ； 9. 设 3)(a x y -= 在 (1,)+∞ 是上凹的，则 a = ______ ；10. 若函数 )(x f 在区间 (,)a b 内恒有 ()0f x ''>，则曲线 )(x f y = 在(,)a b 内的凹向是_______；11. 若 3)(-=''x x f ，则曲线 )(x f y = 的拐点横坐标是 ______ ； 12. 函数 32y x =+ 在 3x = 处的弹性是 ________ ； 13. 函数 33y x x =- 的单调递减区间是 __________ ；14. x y e -= 的渐近线为 _______ ；15. 设需求函数(83)Q p p =-，P 为价格，则需求弹性值2P EQEp ==_______ ；16. 函数(1)(2)y x x =-- 有 ______ 个间断点；17.函数y =[0,5]上满足拉格朗日中值定理的ξ= ______ ； 18. 函数 2(1)y x =-- 的单调递增区间是 _________ ；19. 函数 2cos y x x =+ 在区间 [0,]2π上的最大值是 __________ ；20. 曲线y =的下凹区间是 __________ ；21. 函数22y x x =-在[0,2]上满足拉格朗日中值定理的 ξ=__________ ； 22. 函数y x = 在区间 [0,1] 上的最小值是 _________ .选择题1.函数 sin y x = 在区间 [0,]π 上满足罗尔定理的 ξ= ( )(A) 0 (B) 4π(C) 2π (D) π2. 曲线 21x y x=+ 的铅垂渐近线的方程是 ( )(A) 1y =- (B) 1y = (C) 1x =- (D) 1x = 3. 函数 ()y f x = 在点 0x x = 处取得极大值，则必有（ ）(A) 0()0f x '= (B) 0()0f x ''<(C) 0()0f x '= 且 0()0f x ''< (D) 0()0f x '= 或不存在 计算与应用题1. 求极限 11lim()1ln x x x x→-- 2.设某产品价格与销量的关系为 10P Q =-（Q 为销量），求： (1) 销量为 30 时的总收益；(2) 销量为 30时的平均收益； (3) 销量为 30时的边际收益；(4) 销量为 30时，销量对价格的弹性。
《微积分》各章习题及详细答案之欧阳家百创编
第一章 函数极限与连续欧阳家百（2021.03.07）一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞-=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
《微积分》第一章、第三章测试题
《微积分》第一章测试题一、填空1. 函数()arcsin 1y x =+的定义域为[]2,0-2. 函数21y x =+的反函数是12x y =-3. 函数()2ln 1y x x =++是奇函数（奇函数、偶函数、非奇非偶函数）【用()()f x f x =--】4. 函数()1sinfx x x=，当x →0时,()f x 为无穷小量。
【无穷小量乘以有界量仍为无穷小量】5. 函数()2,0,0xe xf x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩间断点的类型是0x =为跳跃间断点【左右极限存在但不相等】 6. 函数()211x fx x -=-间断点的类型是1x =可去间断点【极限存在但不等于函数值或函数在此点无定义】二、计算题1.求()10lim 1x x x →-解()()111100lim 1lim 1x xx x x x e---→→⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭【重要极限】2.求21limsin 1x x x →+∞+解2211lim0,sin limsin 011x x x x xx→+∞→+∞=∴=++ 为有界量，3.设()321,12,1x x f x x x +≤⎧=⎨+>⎩，论证1x =时的连续性，并求连续区间解()()()()31111lim lim 213,lim lim 23x x x x fx x fx x --+-→→→→=+==+= ，()12113f =⋅+=()()()11lim lim 1x x fx fx f -+→→∴==，()()1lim 1x f x f →∴=，()1f x x ∴=在处连续，连续区间为(),-∞+∞4. 0sin lim ln x x x→解0sin sin lim ln ln limln 10x x x x xx→→===三、试证方程531x x -=在()1,2内至少有一个根。
证明：令()()[]()()531,1,2130,2320fx x x fx f f =--=-<=> 在上连续，()()551,2031031f ξξξξξξ∴∈=--=-=由零点定理知，至少存在一个，使，即， 结论得证《微积分》第三章测试题1. 函数()22f x x x =+在区间[]0,4内满足拉格朗日中值定理的ξ解 ()22f x x '=+，因为()f x 在[]0,4上连续，在()0,4上可导，则在()0,4上至少存在一点ξ，使()()()()()4040,24224,f f f ξξξ'-=-=+即解得=22. 【00型用两次洛必达法则】求极限3sin limx x x x →-解32sin 1cos sin 1limlimlim366x x x x x x x xxx→→→--===3. 求函数32395y x x x =--+的单调区间解2369y x x '=--，令23690,1,3y x x x '=--==-则得()()[],13,0,1,30,x y y x y y '∈-∞-+∞>'∈-< 当时，则单调递增当时，则单调递减4. 求函数21x y x x =+-的凹区间和拐点解32211x xy x x x =+=--()()()22322222212211xx x xxy x x---'==--()()()()22224322412212411x x x x xxy xx--+⋅-⋅''==--令()3240,0.00;001xy x x y x y x''''''===>><<-得当时，当时，所以凹区间为()0,+∞，拐点为()0,0。
微积分第三版第一章及第二章练习
第一章、 第二章练习1.求lim x →+∞2.求10tan lim .2e x xx→+3.求1sin 01tan lim .1sin xx xx →+⎛⎫⎪+⎝⎭4.求201lim .e 1x x →- 5.求极限1ln 14lim arctan .πxx x →⎛⎫ ⎪⎝⎭6.求极限1211lim .2x x x x -→⎛⎫+ ⎪⎝⎭7.求极限()2ππ02lim tan .x x x -→-8.求极限()1ln 1lim.xx x x →+∞+⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.求极限22220sin co s lim .sin x x x xx x →-10.求极限()30e sin 1lim .xx x x x x →-+11.已知21lim 5,1x x ax bx →++=-求,.a b12.讨论函数()xx x f --=1e 11的间断点并指出其类型.13.设()f x 在[]0,2a 上连续，且()()2,f a f a =证明至少存在一点[]0,a ξ∈使得()().f f a ξξ=+14.设()0,0,0,x f x x ≠==⎩问函数()f x 在0x =处⑴是否连续？⑵是否可导？15.,y x =求.y ' 16.,4x xy = 求.y '17.2co s y =求.y '18.()23ln ln ln ,y x ⎡⎤=⎣⎦求.y '19.y = 求.y '20. 求.y ' 21.242ln ,y y x += 求.y '22.设()21sin , 0,0, 0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩讨论函数()f x 在0x =处的连续性，可导性，导函数的连续性。
23.()21,y f x x = 求,.y y ''' 24.()()e ,f x y f x = 求,.y y '''25.设33co s ,sin ,x a t y a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩求22d .d y x 26.设函数()y f x =由方程sin e 0y y x +=确定，求d ,d y x 并求出曲线()y f x =在()0,0处的切线方程。
《微积分》各章习题及详细答案之欧阳科创编
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xx x +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
高数自测题——微积分上册1,2章
自测题（第一，二章）一．选择题（每小题3分，共15分） 1. 设)(x f 在0x x =处间断，则有（ D ） (A) )(x f 在0x x =处一定没有意义；(B) )0()0(0+≠-x f x f ; (即)(lim )(lim 0x f x f x x x x +-→→≠)； (C) )(lim 0x f x x →不存在，或∞=→)(lim 0x f x x ；(D) 若)(x f 在0x x =处有定义，则0x x →时，)()(0x f x f -不是无穷小2．已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ C ） (A) 1,1==b a , (B) 1,1=-=b a (C) 1,1-==b a (D) 1,1-=-=b a解. ()()011lim )1(lim 22=+-+--=--+∞→∞→x bx b a x a b ax x x x x , 1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a3．设函数)(x f 在()b a ,内连续，则必有（ D ） (A) )(x f 为()b a ,内的有界函数; (B) )(x f 在()b a ,内必有最大值和最小值; (C) )(x f 必取得介于)(a f 与)(b f 之间的任何值;(D) 若0)(lim >+→x f ax ，0)(lim <-→x f bx ，则0)(=x f 至少有一根 4．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ C ）(A))(1sin∞→=x xx y ; (B)())(1∞→=-n n y n ; (C))0(ln +→=x x y ； (D))0(1cos 1→=x xx y解.111sin lim 1sinlim ==∞→∞→xx x x x x , 故不选(A). 取12+=k m , 则()0121limlim 1=+=∞→-∞→k n k n n, 故不选(B). 取21ππ+=n x n , 则01cos 1lim=∞→nn n x x , 故不选(D).5．下列命题正确的是（ C ）(A) 定义在),(+∞-∞上的一切偶函数在0=x 处一定连续;(B) )(x f ,)(x g 在点0x 处都不连续，则)(x f )(x g 在0x 处也一定不连续; (C) 定义在),(+∞-∞上的一切奇数函数在0=x 处不一定连续;(D) )(x f ,)(x g 在点0x 处都不连续，则)(x f +)(x g 在0x 处一定不连续 解. ()⎩⎨⎧=≠=0,00,1x x x f 是偶函数, 在0=x 处不连续, 故不选(A); ()⎩⎨⎧=≠=0,10,1x x x x f ,()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin 2x x x x f , 显然()()x f x f 21,在0=x 处都不连续,但()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin 21x x xx x f x f 在0=x 处连续, 故不选(B); (D)显然错的. 二．填空题（每小题3分，共15分）2. 已知1)1(2+=-x e f x ，则)(x f 的定义域为解. 令u e x=-1, 则()u x +=1ln , (),11ln )(2++=∴u u f 即(),11ln )(2++=∴x x f .故)(x f 的定义域为()+∞-,13. 已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a =解. ()()().23,1321112lim 1cos 11lim3123222203120-=∴=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-=--+→→a a ax ax x ax x ax x x4. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,0,)(cos )(2x a x x x f x在0=x 处连续，则a =解. ()a f =0 ,()212sin 22sin 21202002222sin 21lim 2sin 21lim lim ---→→→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-e x x x f x xx x x x , 由()()x f f x 0lim 0→=, 可得.21-=e a5. 函数)1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点为=0x ，补充定义=)(0x f ，则函数在0x 处连续.解. 当1,0=x 时()x f 没有定义, 又()()∞=--=→→11lim lim 211x x e x f x x x , 1=∴x 为无穷间断点;而()2)1(1lim lim 200-=--=→→x x e x f x x x , 0=∴x 为可去间断点, 补充()20-=f , 可为连续点. 6. 若)(x f 在1=x 处连续，则=-→)]1()([lim 1f x f x 0三．计算下列函数极限（每小题5分，共20分） 1. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求常数a 解. 3ln ,9,11lim )(lim 22==∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+∞→∞→a e e x a x a a x a x a a x xx x x . 2．xx x x x 220sin )1ln()cos 1(arctan lim +-→ 解. ()2~cos1,~1ln ,~arctan ,022xx x x x x x -+→ 21sin 2lim sin )1ln()cos 1(arctan lim 220220=⋅⋅=+-∴→→x x xx xx x x x x 3．2tan)1(lim 1xx x π-→解. πππππππ22cos2sin2lim22cotlim 2tan)1(lim 011===-→→-=→yyyyy x x y y xy x 令.4．)1311(lim 31xx x ---→ 解. 112lim 12lim 131lim )1311(lim 2132132131-=+++-=--+=--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x四．（6分）已知x x f sin )(=，()()21x x f -=ϕ，求)(x ϕ的定义域 解. ()()()()()221arcsin ,1sin x x x x x f -=∴-==ϕϕϕ ,故()x ϕ的定义域为22≤≤-x五．（6分）求)2211(lim 222nn n nn n n n n +++++++++∞→解.()();1221112211222222+++=+++++≤+++++++++n n nn n n n n n n n n n n n ()();22112112222222n n n nn n n n n n n n n n n n n +++++++++≤+++++=+++ 又()()212lim 12lim 2222=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n n n , 故 .21)2211(lim 222=+++++++++∞→nn n n n n n n n 六．（7分）已知82lim232=-++→x bax x x ，试确定a 和b 的值 解. 82lim232=-++→x bax x x ,()048lim 232=++=++∴→b a b ax x x ,即a b 48--= ()[]8124422lim 284lim 2lim 22232232=+=++++=---+=-++∴→→→a a x a x x a ax x x b ax x x x x , ,1-=∴a 故4-=b七．（7分）求xe e xxx 1arctan 11lim110-+→解. +∞=+→xx e 10lim , 0lim 10=-→xx e , ,21arctan lim 11lim 1arctan 11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x e e x e e x xxx x xx ,21arctan lim 11lim 1arctan 11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x xx 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx八．（8分）已知数列21=a ，2122+=a ，212123++=a ，……，极限存在，求此极限解. 显然112-+=n n a a , n n a ∞→lim 存在, 令A a n n =∞→lim . 对112-+=n n a a 两边取极限得n n n n a a ∞→∞→+=lim 12lim , 即AA 12+=, 21±=∴A , 由于0lim ≥=∞→A a n n , 21+=∴A九．（8分）设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e ,0lim 111=-→-x x e , ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 111--→→==++e e x f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.十．（8分）讨论nx nx n e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性。