35 达朗贝尔原理(动静法)

l FI 2 = m α1 2 1 M I 2 = ml 2α1 3
Fy1
O
mg
A
D
MI2
Fx1
FI 1
3 F 2l − FI 1 l − M I 1 − M I 2 = 0 2 1 l 3 1 F 2l − m(lα1 + α 2 ) l − ml 2α 2 − ml 2α1 = 0 2 2 12 3
“动平衡”条件
19
例：已知 L，m，初始无初速度，求初始时杆的角加速度和约束力。
F FI y
A Fx
aC
问题： 求解该题有几种方法？
B M IA
α
方法一：动静法
mg
适合的才是最好的！
方法二： 应用动量矩定理 和质心运动定理 方法三： 应用动能定理 和质心运动定理
FI = mα
t FIR M IO
M IOz = J Oα
向转轴简化的结果
14
向静点O简化
dLO 主矩： M IO = − dt
主矢：FIR = − ma C
向质心C简化
dLC r 主矩： M IC = − dt
主矢： FIR = − ma C
(3)、平面运动刚体惯性力系的简化
FBx mLω 2 sin 2θ =− h
FAx mLω 2 sin 2θ = h
ω
A

FAy
FAx
∑ Fx = 0
FBx + FAx + FI1 − FI2 = 0
若求附加动反力？
∑F
y
= 0 FAy − 2mg = 0
FAy = 2mg
应用静力学写平衡方程的方法求解质点(系)的动力学 9 问题，这种方法称为静态动力学方法，简称动静法。
达朗贝尔原理
ma = F + FN FI = −ma
动静法
0 F + FN + FI = “静力学”问题
动力学问题
惯性力
FI = −ma
4
1、质点的达朗贝尔原理
5Leabharlann Baidu
FI
F 主动力， FN
约束力，
FI = −ma
惯性力
F
ma
FN
{FI1 ,..., FIn } = {FIR , M IO }
向一点O简化
i =1
质点系动力学问题
(e) (e) {F1 ,..., Fm , FIR , M IO } = {0}
形式上的“平衡”
惯性力系的主矢 惯性力系的主矩
FIR = −maC
与简化中心O有关
存在特殊的简化中心？
a) 若O为固定点
Yes！
b) 若O为质心 C（动点）
dLO M IO = − dt r dLC M IC = − dt
12
向静止点O简化
dLO 主矩： M IO = − dt
主矢：FIR = − ma C
向质心C简化
dLC r 主矩： M IC = − dt
(
)
( )
8
例：已知： AB = h, AC = h / 2, ω , θ , L, m，求A、B的约束力。
B
FBx
θ
解：研究整体 应用动静法. 受力分析与运动分析
FI1
FI1 = FI2 = ma = mLω 2 sin θ
∑M
A
=0
FI2
mg
L
C
mg
mgL sin θ − mgL sin θ − FBx h − FI1 (0.5h + L cos θ ) + FI2 (0.5h − L cos θ ) = 0
思考题 2
作定轴转动的刚体（质量对称面与转轴正交）， 惯性力系可以向质心简化吗？若可以则惯性力和惯性 力偶如何表达？
思考题 3
作平面运动的刚体，向质心以外的任意点简化， 其惯性力偶矩如何计算？
思考：若把定轴转动看为平面运动的特殊情况，则向质心 简化的结果是什么？ 定轴转动刚体向质心C简化
主矩： M IC = − J Cα
PLα 2L 2g 3 __________ ，作用点的位置在离A端__________ 处，在图中画出该
惯性力。
23
2、半径为R，质量为mA的均质圆盘A，与半径为
R 2
，质量为mB的
均质圆盘B如图固结在一起，并置于水平光滑平面上，初始静止，
F2 作用，若mA=mB=m，F1=F2=F，则系统惯性力 受二平行力 F1 ，
系简化的结果：主矢量的大小为__________________ ，主矩的大 0 2FR 小为__________________________ （并应在图中画出）。
24
例：OB杆和OA绳固定AB杆。OB质量不计，AB长l、质量m。 试求剪断绳OA的瞬时，OB杆的内力。 O 解：受力分析、运动分析 FIB FOB 0 C 加惯性力 45 A B
aA
C A
θ
F
α
mg
C
FI 1 = maC = ma A + mar
以C为动点， 动系固定在A上
[轮] 平面运动
aA
α
C A
ar
θ
FN1
FN1
F
Mg
FN2
27
= a A + ar 则 a c
而
ar = α ⋅ r
3、施加惯性力
= FI 1 m = aC
FOB + (mα
上两式中未知量： FOB
FOB 2mg = 5
2 = 0 2
l 2 − mg ) = 0 (2) 2 2
α
6g α= 5l
26
例 质量 m 、半径 r 的均质圆轮在质量 M 的楔块上纯滚动，楔块则被搁置在光滑 的水平面上。试求楔块的加速度和圆轮 的角加速度。 解：1、受力分析 2、运动分析 3、施加惯性力 2个自由度
质点的达朗贝尔原理：{F , FN , FI } = {0}
主动力+约束力+惯性力=“平衡”力系
6
2、质点系的达朗贝尔原理
7
若对于质点系中的第i个质点有：
(e) 若第i个质点上的力分为：外力 Fi
Fi +FNi +FIi = 0
n个平衡汇交力系
(i) 内力 Fi
(e) (i) Fi + Fi + FIi = 0
理论力学
吴 佰 建 EMAIL: BAWU@SEU.EDU.CN
动力学
达朗贝尔原理
让·勒朗·达朗贝尔
法国物理学家、数学家和天文学家 数学《数学手册》8卷、力学《动力学》、哲 学《文集》23卷、《百科全书》的序言等等。 《动力学》：提出三大运动 定律；提出了达朗贝尔原理， 它与牛顿第二定律相似，但 在于可以把动力学问题转化 为静力学问题处理； 使一些力学问题的分析简单 化，而且为分析力学的创立 打下了基础。
则对于整个质点系： 静力学：平衡条件？ 主矢、主矩等于零 (e) (i) FR = ∑ Fi + ∑ Fi + ∑ FIi = 0 (e) (i) M O = ∑ M O Fi + ∑ M O Fi + ∑ M O FIi = 0
(
)
( )
( )
(e) 0 ∑ Fi + ∑ FIi = (e) 0 ∑ M O Fi + ∑ M O FIi =
∑F
= 0 FB + FA − mg cos θ = 0 mg FA = (cos θ − sin θ ) 问题：若绳索B变为弹簧，如何求。 22 2
y
FB =
mg (sin θ + cos θ ) 2
概念
1、均质细杆AB重P，长L，置于水平位置，若在绳BC突然剪断瞬 时有角加速度α，则杆上各点惯性力简化为一个合力时，大小为
[AB]：
F
mg
B
C
M I1
(1)
解(1)(2)即可求得加速度 1 Fl − FI 1 l − M I 1 = 0 2 l 1 1 (2) Fl − m(lα1 + α 2 ) l − ml 2α 2 = 0 2 2 12
∑M
A
=0
21
例：已知： m, θ , AO1 //BO2 , O1O2 // AB， 求水平绳切断后的瞬 时，板质心加速度和两个绳索的拉力。
主矢： FIR = − ma C
(1) 平移刚体惯性力系的简化
M IC
r dLC = − dt
FIR = − maC
=0
向质心C简化
FI
M IC = 0
C
aC
13
惯性力的合力通过质心
向静点O简化
dLO 主矩： M IO = − dt
aC 主矢：FIR = − m
3g 1 α= , Fx = 0, Fy = mg 2L 4
L 运动学关系： aCx = 0, aCy = −α 20 2
例：两根质量 m、长度 l 的均质杆构成的系统 如图示，开始静止。在 B 端受一个已知力 F 作 用，试求此时两根杆的角加速度。 FI 2
解：受力分析，运动分析 l 加惯性力 FI 1 = m(lα1 + α 2 ) 2 1 M I 1 = ml 2α 2 12 [整体]： ∑ M O = 0
L 1 , M IA = mL2α 2 3
L ∑ M A = M IA − mg 2 = 0 ∑ Fx = Fx = 0
L J Aα = mg 2 maCx = Fx maCy = Fy − mg
∑ Fy =Fy − mg + FI = 0
1 d( J Aω 2 ) 2 = mg • vC dt maCx = Fx maCy = Fy − mg
A
aB
aCB25
FIB = maB
列“平衡方程”
FICB
l = mα 2
2 l =0 2 2
1 M I = ml 2α 12
FOB
B
∑M
C
=0
M I − FOB
FIB 450 C
O
x
1 2 l ml 2α − FOB =0 12 2 2
mg
FICB
MI
A
(1)
∑ Fx = 0 FOB + ( FICB − mg )
3、刚体惯性力系的简化
10
质点系达朗贝尔原理
{FIi }
(e) 0 Fi + ∑ FIi = ∑ 主矢 (e) 0 主矩 ∑ M O Fi + ∑ M O FIi =
(
)
( )
如何等效？
n FIR = ∑ FIi
n M IO = ∑ M O ( FIi ) i =1
向质心C简化
dLC r 主矩： M IC = − dt
主矢： FIR = − ma C
(2) 定轴转动刚体惯性力系的简化
条件：具有垂直于转轴的质量对称面—— α 可简化为平面问题 向转轴 O 简化
n FIR
O
FIR = −mac
t ac
C
n ac
M IOz =
dLOz d(J Oω ) = = J Oα dt dt
o3
A
o1 θ FA
y
aA
FB
B
o2
解：受力分析与运动分析
FI = mac
建立“平衡方程”，并求解
FI C
mg
aC
x
∑F
∑M
x
= 0 mg sin θ − FI = 0
=0
L L L − FI cos θ + FI sin θ = 0 2 2 2
aC = g sin θ
A
FB L cos θ − mg
= a a B + aC B FI = maC c FI = m(a B + aCB ) = FIB + FICB
mg
FICB
MI
FIB = maB
FICB = maCB
M I = J cα =
O
l = mα 2 1 2
12 ml α
B
450 C
α
[轮] 平面运动
ma A + ma = FIe1 + FI1r r
条件：具有平行于运动平面的质量对称面—— 可简化为平面问题。 M
向质心C简化
主矢： FIR = − maC 主矩： M IC = − J Cα
M ICz dLr = Cz dt
FIR
IC
α
C
aC
= J Cα
向质心简化的结果 15
思考题 1
作平动的刚体，向质心以外的任意点简化， 其惯性力偶矩均为零吗？若不为零，又如何计算？
M IC dLr = C dt
主矢： FIR = − maC
α
O n FIR
C
M IC
t FIR
= J Cα
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思考题：已知均质杆长为 L，质量为m，角速度为零，角加速度为
α，
Aα
FI
A
1、将惯性力向质心C简化
mg
B
2、将惯性力向转轴A简化
FI
M IA
B aC M IC aC
B
惯性力向质心C简化： L 1 FI = mα , M IC = mL2α 2 12 惯性力向转轴A简化： L 1 FI = mα , M IA = mL2α 2 3
A
惯性力(力偶)的施加：大小、方向、作用点
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刚体动力学问题
(e) (e) {F1 , , Fm , FIR , M IO } = {0}