高中数学集合专题突破
高中数学专题突破练习《函数的极值》含详细答案解析
5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时 函数的极值基础过关练题组一 函数极值的概念及其求解1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),则“f'(x0)=0”是“x=x0是函数f(x)的一个极值点”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x) ( )A.无极大值点,有四个极小值点B.有三个极大值点,两个极小值点C.有两个极大值点,两个极小值点D.有四个极大值点,无极小值点x2,则f(x)( )3.(2019天津高二上期末)已知函数f(x)=ln x-12A.有极小值,无极大值B.无极小值,有极大值C.既有极小值,又有极大值D.既无极小值,又无极大值4.函数f(x)=x+2cos x在0,( )A.0B.π6C.π3D.π25.求下列函数的极值.(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;(2)f(x)=2xx2+1-2;(3)f(x)=x2-2ln x.题组二 含参函数的极值问题6.(2019海南海口高二上期末)已知f(x)=ln x+ax(a≠0),则( )A.当a<0时,f(x)存在极小值f(a)B.当a<0时,f(x)存在极大值f(a)C.当a>0时,f(x)存在极小值f(a)D.当a>0时,f(x)存在极大值f(a)7.(2020浙江湖州高二上期末)若函数y=e x-2mx有小于零的极值点,则实数m的取值范围是( )A.m<12B.0<m<12C.m>12D.0<m<18.(2020浙江杭州七校高二下联考)若函数f(x)=x3+ax2+ax(x∈R)不存在极值点,则a的取值范围是 .9.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0,则m= ,n= .10.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=ln x-12ax2+x,a∈R.(1)当a=0时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值.题组三 函数极值的综合应用11.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )A.2B.3C.6D.912.(2019云南昆明高三月考)已知函数f(x)=(x2-m)·e x,若函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,则f(x)的极大值是( )A.4e-2B.4e2C.e-2D.e213.(2019辽宁省实验中学高二上期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n=n2+k+12(n∈N*),则f(x)=x3-kx2-2x+1的极大值为( )A.52B.3C.72D.214.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则f'(1)f'(0)= .15.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在点x0处取得极小值-5,其导函数y=f'(x)的图象经过点(0,0),(2,0).(1)求a,b的值;(2)求x0及函数f(x)的表达式.16.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2处取得极值.(1)求a,b的值;(2)若方程f(x)=0有三个不同的实根,求c的取值范围.深度解析17.已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求出f(x)的极大值.能力提升练题组一 函数极值的求解及其应用1.(2020湖南长沙麓山国际学校高二上检测,)函数f(x)的定义域为(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图,则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.()已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于(1,0)点,则f(x)的极小值为( )A.0B.-427C.-527D.13.(多选)()如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下面判断正确的是( )A.f(x)在(-3,1)上是增函数B.f(x)在(1,3)上是减函数C.f(x)在(1,2)上是增函数D.当x=4时,f(x)取得极小值4.(2019北京大兴高三上期末,)已知函数f(x)=x-aln x.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,求a的值;(2)求函数y=f(x)在区间[1,4]上的极值.题组二 含参函数的极值问题5.(2019福建泉州高三月考,)已知函数f(x)=ax3-bx+2的极大值和极小值分别为M,m,则M+m=( )A.0B.1C.2D.46.(2020浙江杭州高三检测,)已知a>0且a≠1,则函数f(x)=(x-a)2ln x( )A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值,又有极小值D.既无极大值,又无极小值7.(2019湖南湘潭高三一模,)若函数f(x)=x 2-(3m+1)x+3,x≤0,mx2+xln x,x>0恰有三个极值点,则m的取值范围是( )A.-12,-B.-12,0C.-1,-D.-1,-8.(2020河北保定高二上期末,)已知x=1是函数f(x)=ax+x2的极值点,则实数a的值为 .易错9.(2020北京海淀高三上期末,)已知函数f(x)=e x(ax2+1)(a>0).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若函数f(x)有极小值,求证:f(x)的极小值小于1.10.(2020江西高安中学高二上期末,)已知函数f(x)=1x2-ax+ln2x(a∈R).(1)若f(x)在定义域上不单调,求a的取值范围;(2)设a<e+1,m,n分别是f(x)的极大值和极小值,且S=m-n,求S的取值e范围.题组三 函数极值的综合应用11.(2020福建三明高二上期末质量检测,)函数y=1-x2的图象大致是x( )12.(2020河北邯郸高三上期末,)已知函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=(x-2e)ln x.若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,则m的取值范围是(深度解析)A.(-e,e)B.[-e,e]C.(-1,1)D.[-1,1]13.(2020山东济宁高二上期末质量检测,)已知点A,B为曲线y=1上xax2-ax-ln x的两个极值两个不同的点,A,B的横坐标x1,x2是函数f(x)=12+y2=1的位置关系是( )点,则直线AB与椭圆x24A.相离B.相切C.相交D.不确定14.(多选)()已知函数f(x)=xln x+x2,x是函数f(x)的极值点,则下列结论正确的是( )A.0<x0<1e B.x0>1eC.f(x0)+2x0<0D.f(x0)+2x0>015.(多选)()已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R),则下列说法正确的是( )A.若a≤0,则函数f(x)没有极值B.若a>0,则函数f(x)有极值C.若函数f(x)有且只有两个零点,则实数a的取值范围是-∞,D.若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0]16.(2020山东青岛高三上期末,)已知函数f(x)=ln x-x+2sin x,f'(x)为f(x)的导函数.求证:(1)f'(x)在(0,π)上存在唯一零点;(2)f(x)有且仅有两个不同的零点.答案全解全析基础过关练1.B 由极值点的定义可以得出,可导函数f(x)的极值点为x 0,则f'(x 0)=0,必要性成立;反过来不成立.故选B.2.C 设y=f'(x)的图象与x 轴的交点从左到右的横坐标依次为x 1,x 2,x 3,x 4,则f(x)在x=x 1,x=x 3处取得极大值,在x=x 2,x=x 4处取得极小值,故选C.3.B 由题可得, f'(x)=1x -x=1―x 2x (x>0),当x>1时, f'(x)<0,当0<x<1时, f'(x)>0,所以f(x)在x=1处取得极大值,无极小值.故选B.4.B 由题意得, f'(x)=1-2sin x,令f'(x)=0,得x=π6,当0<x<π6时, f'(x)>0;当π6<x<π2时, f'(x)<0.∴当x=π6时, f(x)取得极大值.5.解析 (1)由题意得, f'(x)=3x 2-6x-9,令f'(x)=0,即3x 2-6x-9=0,解得x=-1或x=3.当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+-+f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x=-1时,函数f(x)有极大值,且f(-1)=10;当x=3时,函数f(x)有极小值,且f(3)=-22.(2)由题意得,函数f(x)的定义域为R,f'(x)=2(x 2+1)―4x 2(x 2+1)2=-2(x -1)(x +1)(x 2+1)2.令f'(x)=0,得x=-1或x=1.当x 变化时, f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘∴当x=-1时,函数有极小值,且极小值为f(-1)=-3;当x=1时,函数有极大值,且极大值为f(1)=-1.(3)由题意得, f'(x)=2x-2x ,且函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去),当x ∈(0,1)时, f'(x)<0,当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0,∴当x=1时,函数有极小值,极小值为f(1)=1,无极大值.6.C 由题意得, f'(x)=1x -a x 2=x -ax 2,且函数f(x)的定义域是(0,+∞).当a>0时,令f'(x)>0,解得x>a,令f'(x)<0,解得0<x<a,∴f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,故f(x)的极小值为f(a),无极大值,当a<0时, f'(x)>0, f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.故选C.7.B 由y=e x -2mx,得y'=e x -2m.由题意知e x -2m=0有小于零的实根,即e x =2m,得m=12e x .∵x<0,∴0<12e x <12,∴0<m<12.8.答案 [0,3]解析 由f(x)=x 3+ax 2+ax(x ∈R),得f'(x)=3x 2+2ax+a.∵函数f(x)=x 3+ax 2+ax(x ∈R)不存在极值点,且f'(x)的图象开口向上,∴f'(x)≥0对x ∈R 恒成立,∴Δ=4a 2-12a ≤0,解得0≤a ≤3,∴a 的取值范围是[0,3].9.答案 2;9解析 由题可得, f'(x)=3x 2+6mx+n,∴f '(-1)=3-6m +n =0,f (-1)=-1+3m -n +m 2=0,解得m =1,n =3或m =2,n =9.当m =1,n =3时,f'(x)=3x 2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立,不满足题意.故m=2,n=9.10.解析 (1)当a=0时, f(x)=ln x+x,所以f'(x)=1x +1,则切线斜率k=f'(1)=2,又f(1)=1,所以切点坐标为(1,1),所以切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)由题知,g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-12ax 2+(1-a)x+1(x>0),所以g'(x)=1x-ax+(1-a)=-ax2+(1―a)x+1x(x>0),当a≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,无极值.当a>0时令g'(x)=0,得x=1a或x=-1(舍去),所以当x∈0,,g'(x)>0;当x,+∞时,g'(x)<0,所以当a>0时,函数g(x)的单调递增区间是0,单调递减区间是,+∞,所以当x=1a 时,g(x)有极大值=12a-ln a,综上,当a≤0时,函数g(x)无极值;当a>0时,函数g(x)有极大值12a-ln a,无极小值.11.D f'(x)=12x2-2ax-2b,∵f(x)在x=1处有极值,∴f'(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6.又a>0,b>0,∴a+b≥2ab,∴2ab≤6,∴ab≤9,当且仅当a=b=3时等号成立,∴ab的最大值为9.12.A 因为函数f(x)=(x2-m)e x,所以f'(x)=e x(x2-m+2x),由函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,得f'(1)=e(1-m+2)=e(3-m)=3e,所以m=0.则f'(x)=e x(x2+2x)=e x(x+2)x,因为e x>0,所以函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的极大值为f(-2)=4e -2.故选A.13.A 由于等差数列前n 项和公式中,常数项为0,所以k+12=0,所以k=-12,所以f(x)=x 3+12x 2-2x+1,所以f'(x)=3x 2+x-2=(3x-2)(x+1),故函数f(x)在(-∞,-1),+∞上单调递增,在-1,,故当x=-1时,f(x)取得极大值,为f(-1)=52.故选A.14.答案 1解析 由题意得,m ≠0,且f'(x)=3mx 2+2nx+p,由题图可知,x=2是函数的极大值点,x=-1是极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根,由f '(-1)=3m -2n +p =0,f '(2)=12m +4n +p =0,解得p =―6m ,2n =―3m ,∵f'(0)=p=-6m, f'(1)=p=-6m,∴f '(1)f '(0)=1.15.解析 (1)由题意可得f'(x)=3x 2+2ax+b.∵f'(x)的图象过点(0,0),(2,0),∴b =0,12+4a +b =0,解得a =―3,b =0.(2)由(1)知f'(x)=3x 2-6x,令f'(x)>0,得x>2或x<0,令f'(x)<0,得0<x<2.∴f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,∴f(x)在x=2处取得极小值.∴x 0=2.由f(2)=-5,得c=-1,∴f(x)=x3-3x2-1.16.解析 (1)由题意得,f'(x)=6x2+6ax+3b,由函数f(x)在x=1及x=2处取得极值,得f'(1)=6+6a+3b=0,f'(2)=24+12a+3b=0,解得a=―3,b=4,经检验a,b均符合题意.(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+c,f'(x)=6x2-18x+12=6(x-2)(x-1),令f'(x)=0,得x=1或x=2,当x<1或x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当1<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)在x=1处取得极大值,在x=2处取得极小值.又f(x)=0有三个不同的实根,∴f(1)=5+c>0,f(2)=4+c<0,解得-5<c<-4.方法技巧 解决一元三次方程的实数根问题,常常要考虑两个方面:一是导数为零时一元二次方程实根的个数;二是一元二次方程有两个不等实根时,三次函数有极大值点和极小值点,判断极大值、极小值与0的大小关系.17.解析 (1)由题可得,f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=b=4,f'(0)=a+b-4=4,解得a=4, b=4.(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x, f'(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)e x-令f'(x)=0,得x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).能力提升练1.A 设y=f'(x)的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4.由题图知,当a<x<x1时,f'(x)>0,当x1<x<x2时,f'(x)<0,所以x1是极大值点;同理,x2是极小值点,x4是极大值点.又当x2<x<x3时,f'(x)>0,当x3<x<x4时,f'(x)>0,所以x3不是极值点,所以f(x)在(a,b)内有1个极小值点.故选A.2.A 由题知f'(x)=3x2-2px-q,f'(1)=3-2p-q=0,f(1)=1-p-q=0,联立3―2p-q=0,1―p-q=0,解得p=2,q=―1.∴f(x)=x3-2x2+x,f'(x)=3x2-4x+1.令f'(x)=3x2-4x+1=0,解得x=1或x=13,经检验知x=1是函数f(x)的极小值点,∴f(x)极小值=f(1)=0.3.CD f'(x)的图象在(-3,1)上先小于0,后大于0,故f(x)在(-3,1)上先减后增,因此A错误;f'(x)的图象在(1,3)上先大于0,后小于0,故f(x)在(1,3)上先增后减,因此B错误;由题图可知,当x∈(1,2)时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,2)上单调递增,因此C 正确;当x ∈(2,4)时, f'(x)<0,当x ∈(4,5)时, f'(x)>0,所以当x=4时, f(x)取得极小值,因此D 正确.故选CD.4.解析 (1)因为f(x)=x -aln x,所以f'(x)=12x -ax (x>0),所以f'(1)=12-a.因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,所以12-a=12,解得a=0.(2)f'(x)=12x -a x =x -2a2x .①当2a ≤1,即a ≤12时, f'(x)≥0在[1,4]上恒成立,所以y=f(x)在[1,4]上单调递增,所以y=f(x)在[1,4]上无极值;②当2a ≥2,即a ≥1时, f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,所以y=f(x)在[1,4]上单调递减,所以y=f(x)在[1,4]上无极值;③当1<2a<2,即12<a<1时,令f'(x)=0,得x=4a 2.当x 变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:x (1,4a 2)4a 2(4a 2,4)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗因此, f(x)的单调递减区间为(1,4a 2),单调递增区间为(4a 2,4),所以当x=4a 2时, f(x)在[1,4]上取得极小值,且极小值为f(4a 2)=2a-2aln 2a,无极大值.5.D 由题意得, f'(x)=3ax 2-b,设方程3ax 2-b=0的两个根分别为x 1,x 2,则f(x)在x 1,x 2处取到极值,则M+m=4-b(x 1+x 2)+a(x 1+x 2)[(x 1+x 2)2-3x 1x 2],又x 1+x 2=0,x 1x 2=-b3a ,所以M+m=4,故选D.6.C 由题意得, f'(x)=2(x-a)ln x+(x -a )2x =(x-a)2ln x +1―令f'(x)=0,得x=a 或2ln x+1-ax =0.作出g(x)=2ln x+1和h(x)=ax 的图象(图略),易知g(x)=2ln x+1和h(x)=a x 的图象有交点,所以方程2ln x+1-ax =0有解,所以根据函数的单调性和极值的关系可得,函数f(x)=(x-a)2ln x 既有极大值又有极小值,故选C.7.A 由题可知f'(x)=2x -(3m +1),x ≤0,2mx +ln x +1,x >0,当x>0时,令f'(x)=0,得-2m=ln x +1x,令g(x)=ln x +1x,则g'(x)=-ln xx 2,则函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,g(x)的图象如图所示,所以当0<-2m<1,即-12<m<0时, f'(x)=0有两个不同的根.当x ≤0时,令f'(x)=0,得x=3m +12<0,解得m<-13.综上,m ∈-12,-13.8.答案 2解析 由f(x)=ax +x 2,得f'(x)=-ax 2+2x.因为x=1是f(x)的极值点,所以f'(1)=0,即-a+2=0,所以a=2.此时f'(x)=2(x3-1)x2,当x<1时,f'(x)<0;当x=1时,f'(x)=0;当x>1时,f'(x)>0.因此x=1是极小值点,即a=2符合题意.易错警示 已知极值点求参数的值,先计算f'(x)=0,求得x的值,再验证极值点.由于导数为0的点不一定是极值点,因此解题时要防止遗漏验证导致错误.9.解析 (1)由已知得f'(x)=e x(ax2+2ax+1),因为f(0)=1,f'(0)=1,所以所求切线的方程为y=x+1.(2)证明:f'(x)=e x(ax2+2ax+1),令g(x)=ax2+2ax+1,则Δ=4a2-4a.(i)当Δ≤0,即0<a≤1时,∀x∈R,f'(x)≥0,所以函数f(x)在R上是单调递增函数,此时函数f(x)在R上无极小值. (ii)当Δ>0,即a>1时,记x1,x2是方程ax2+2ax+1=0的两个根,不妨设x1<x2,则x1+x2=―2<0,x1x2=1a>0,所以x1<x2<0.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞) f'(x)+0-0+ f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数y=f(x)的极小值为f(x2),又因为函数y=f(x)在[x2,0]上单调递增,所以f(x2)<f(0)=1.所以函数y=f(x)的极小值小于1.10.解析 (1)由已知得f'(x)=x+1x-a(x>0,a∈R).①若f(x)在定义域上单调递增,则f'(x)≥0,即a ≤x+1x 在(0,+∞)上恒成立,又x+1x ∈[2,+∞),所以a ≤2.②若f(x)在定义域上单调递减,则f'(x)≤0,即a ≥x+1x 在(0,+∞)上恒成立,又x+1x ∈[2,+∞),所以a ∈⌀.因为f(x)在定义域上不单调,所以a>2,所以a ∈(2,+∞).(2)由(1)知,要使f(x)在(0,+∞)上有极大值和极小值,必须满足a>2.又a<e+1e ,所以2<a<e+1e .设f'(x)=x+1x -a=x 2-ax +1x=0的两根分别为x 1,x 2,即x 2-ax+1=0的两根分别为x 1,x 2,于是x 1+x 2=a,x 1x 2=1.不妨设0<x 1<1<x 2,则f(x)在(0,x 1)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减,在(x 2,+∞)上单调递增,所以m=f(x 1),n=f(x 2),所以S=m-n=f(x 1)-f(x 2)21-a x 1+ln x 122-a x 2+ln x 2=12(x 21-x 22)-a(x 1-x 2)+(ln x 1-ln x 2)=-12(x 21-x 22)+ln x 1x 2-+ln x 1x 2.令t=x 1x 2,t ∈(0,1),则-t.又t+1t =x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2=a 2-2∈2,e 2+所以1e 2<t<1.所以++1t-12<0,所以-t ,1上为减函数.所以S ∈0,11.D 令y=1x -x 2=0,得x 3=1,解得x=1.因此选项A 、C 中的图象不正确;y'=-1x 2-2x,令y'=0,得2x 3+1=0,解得x=-312,因此,x=-312是函数y=1x -x 2的唯一的极大值点,因此,当x<-312时,y'>0,当-312<x<0时,y'<0,故B 错误,D 正确.故选D.12.A 当x>0时, f'(x)=ln x+1-2e x , f″(x)=1x +2ex 2>0,故f'(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f'(e)=0,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.f(x)的大致图象如图所示.由g(x)=f(x)-m 存在四个不同的零点知,直线y=m 与y=f(x)的图象有四个不同的交点,故m ∈(-e,e),故选A.解题模板 利用导数解决函数的极值问题,常见的解题步骤是:求导、求驻点(令导数为0时方程的解)、列表、回答问题,由表可得出函数的大致图象,借助数形结合可解决函数的极值问题.13.C 由f(x)=12ax 2-ax-ln x,得f'(x)=ax-a-1x =ax 2-ax -1x,因为A,B 的横坐标x 1、x 2是函数f(x)=12ax 2-ax-ln x 的两个极值点,所以x 1、x 2是方程ax 2-ax-1=0的两根,因此x 1+x 2=1,x 1x 2=―1a ,a ≠0,又点A,B 为曲线y=1x 上两个不同的点,所以k AB =1x 1-1x2x 1-x 2=-1x 1x 2=a,因此直线AB 的方程为y-1x 1=a(x-x 1),即y=ax-ax 1+1x 1=ax-ax 1-ax 2=ax-a(x 1+x 2)=ax-a=a(x-1),即直线AB 恒过定点(1,0),显然点(1,0)在椭圆x 24+y 2=1内,因此直线AB与椭圆x 24+y 2=1必相交.故选C.14.AD ∵函数f(x)=xln x+x 2(x>0),∴f'(x)=ln x+1+2x,易得f'(x)=ln x+1+2x 在(0,+∞)上单调递增=2e >0,∵当x →0时, f'(x)→-∞,∴0<x 0<1e ,∴A 正确,B 错误.∵f'(x 0)=ln x 0+1+2x 0=0,∴f(x 0)+2x 0=x 0ln x 0+x 20+2x 0=x 0(ln x 0+x 0+2)=x 0(1-x 0)>0,∴C 错误,D 正确.故选AD.15.ABD 由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a-1x =ax -1x,当a ≤0时, f'(x)<0恒成立,此时f(x)单调递减,没有极值.又当x 趋近于0时, f(x)趋近于+∞,当x 趋近于+∞时, f(x)趋近于-∞,∴f(x)有且只有一个零点.当a>0时,在0,f'(x)<0, f(x)单调递减,,+∞上f'(x)>0, f(x)单调递增,当x=1a 时, f(x)取得极小值,同时也是最小值,∴f(x)min =1+ln a,当x 趋近于0时,ln x 趋近于-∞, f(x)趋近于+∞,当x 趋近于+∞时, f(x)趋近于+∞,当1+ln a=0,即a=1e 时, f(x)有且只有一个零点;当1+ln a<0,即0<a<1e 时, f(x)有且仅有两个零点,综上可知ABD 正确,C 错误.故选ABD.16.证明 (1)设g(x)=f'(x)=1x -1+2cos x,当x ∈(0,π)时,g'(x)=-2sin x-1x 2<0,所以g(x)在(0,π)上单调递减,又因为=3π-1+1>0,g=2π-1<0,所以g(x),α,即f'(x)在(0,π)上存在唯一零点α.(2)①由(1)知,当x ∈(0,α)时, f'(x)>0,f(x)在(0,α)上单调递增;当x ∈(α,π)时, f'(x)<0, f(x)在(α,π)上单调递减,所以f(x)在(0,π)上存在唯一的极大值点<α<所以=ln π2-π2+2>2-π2>0,又因为=-2-1e 2+2sin 1e 2<-2-1e 2+2<0,所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点,又因为f(π)=ln π-π<2-π<0,所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点,②当x ∈[π,2π)时,sin x ≤0, f(x)≤ln x-x,设h(x)=ln x-x,则h'(x)=1x -1<0,所以h(x)在[π,2π)上单调递减,所以h(x)≤h(π)<0,所以当x ∈[π,2π)时, f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立,所以f(x)在[π,2π)上没有零点.③当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤ln x-x+2,-1<0,设φ(x)=ln x-x+2,φ'(x)=1x所以φ(x)在[2π,+∞)上单调递减,所以φ(x)≤φ(2π)<0,所以当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤φ(x)≤φ(2π)<0恒成立,所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点.综上,f(x)有且仅有两个零点.。
【高中数学名师精华荟萃总结】《解析几何大题》专题突破
专题突破解析几何（学生版）•一、轨迹问题•二、求值•三、最值（范围）问题•四、定点、定位、定值问题•五、存在性问题恒成立与有解问题一、轨迹问题问题一: 利用直接法求轨迹方程直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化, 列出等式化简即得动点轨迹方程.具体步骤为通过建立适当的坐标系, 设点、列式、化简从而得出轨迹方程.线段与互相垂直平分于点, , , 动点满足, 求动点的轨迹方程．问题二: 利用定义法求轨迹方程当动点的轨迹满足某种曲线的定义时, 就可由曲线的定义直接写出轨迹方程.2. , 为动点, 、为定点, , , 且满足条件,求动点A的轨迹方程.3.已知动圆与两定圆和都外切, 求动圆圆心的轨迹方程.问题三: 利用转移法求轨迹方程动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的, 这时我们可以用动点坐标来表示相关点坐标, 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程, 这种求轨迹的方法叫相关点法。
转移法(也称代入法,相关点法): 转移法求轨迹方程的步骤:（1）设两个动点坐标为, 其中动点在已知曲线上, 动点为所求轨迹上的点；（2）寻找两个动点之间的关系, 把用表示；将用表示的代入已知曲线方程, 整理即得所求.4.已知点为圆上的一个动点, 点的坐标为, 试求线段中点的轨迹方程．问题四: 利用待定系数法求轨迹方程待定系数法求轨迹方程的步骤: (1)设出所求的曲线方程；(2)求出字母参数；(3)代入所设. 5.在面积为 的 中, ．建立适当坐标系, 求以 为焦点且过 的椭圆方程．问题五: 参数法求轨迹方程6.设椭圆方程为 ,过点 的直线 交椭圆于 两点, 是坐标原点,点 满足 .当 绕点 旋转时, 求: 动点 的轨迹方程.7、（2011安徽理）设 , 点 的坐标为 , 点 在抛物线 上运动, 点 满足 , 经过点 与 轴垂直的直线交抛物线于点 , 点 满足 , 求点 的轨迹方程．8. (2013四川) 已知椭圆 : 的两个焦点分别为 , 且椭圆 经过点 . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点, 点 是线段 上的点, 且 , 求点 的轨迹方程. 9、如图, 动点 到两定点 、 构成 , 且 , 设动点 的轨迹为 。
高考数学破题36大招
目录目录 (1)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法 (2)第2关：参数范围问题—常见解题6法 (6)第3关：数列求和问题—解题策略8法 (9)第4关：绝对值不等式解法问题—7大类型 (13)第5关：三角函数最值问题—解题9法 (19)第6关：求轨迹方程问题—6大常用方法 (24)第7关：参数方程与极坐标问题—“考点”面面看 (37)第8关：均值不等式问题—拼凑8法 (43)第9关：不等式恒成立问题—8种解法探析 (49)第10关：圆锥曲线最值问题—5大方面 (55)第11关：排列组合应用问题—解题21法 (59)第12关：几何概型问题—5类重要题型 (66)第13关：直线中的对称问题—4类对称题型 (69)第14关：利用导数证明不等式问题—4大解题技巧 (71)第15关：函数中易混问题—11对 (76)第16关：三项展开式问题—破解“四法” (82)第17关：由递推关系求数列通项问题—“不动点”法 (83)第18关：类比推理问题—高考命题新亮点 (87)第19关：函数定义域问题—知识大盘点 (93)第20关：求函数值域问题—7类题型16种方法 (100)第21关：求函数解析式问题—7种求法 (121)第22关：解答立体几何问题—5大数学思想方法 (124)第23关：数列通项公式—常见9种求法 (129)第24关：导数应用问题—9种错解剖析 (141)第25关：三角函数与平面向量综合问题—6种类型 (144)第26关：概率题错解分类剖析—7大类型 (150)第27关：抽象函数问题—分类解析 (153)第28关：三次函数专题—全解全析 (157)第29关：二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点 (169)第30关：解析几何与向量综合问题—知识点大扫描 (178)第31关：平面向量与三角形四心知识的交汇 (179)第32关：数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想 (183)第33关：函数零点问题—求解策略 (194)第34关：求离心率取值范围—常见6法 (199)第35关：高考数学选择题—解题策略 (202)第36关：高考数学填空题—解题策略 (211)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法我们熟知平均值不等式：即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式，以下简单给出证明：不妨设，设，则原不等式变为：以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是A. B. C. D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，，A正确.有两个零点：，，即：①②①-②得：根据对数平均值不等式：，而，B正确，C错误而①+②得：，即D成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，，，则，①②①-②得：，化简得：③而根据对数平均值不等式：③等式代换到上述不等式④根据：（由③得出）∴④式变为：∵，∴，∴在函数单减区间中，即：题目3：(2010天津理)已知函数.如果，且.证明：.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，，两边取对数①②①-②得：根据对数平均值不等式题目4：（2014江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：①②①-②得：，即：根据对数平均值不等式：，①+②得：根据均值不等式：∵函数在单调递减∴题目5：已知函数与直线交于两点. 求证：【解析】由，，可得：①，②①-②得：③①+②得：④根据对数平均值不等式利用③④式可得：由题于与交于不同两点，易得出则∴上式简化为:∴第2关：参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
高中数学高考板块2 核心考点突破拿高分 专题5 第1讲 直线与圆(小题)
(2)已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－
2 3
，
则直线l的方程是
A.－3x＋2y＋1＝0
√C.2x＋3y－5＝0
B.3x－2y＋1＝0 D.2x－3y＋1＝0
解析 解方程组2x＋x－y＝y＝21，， 得yx＝＝11，，
所以两直线的交点为(1,1). 因为直线 l 的斜率为－23， 所以直线 l 的方程为 y－1＝－23(x－1)，即 2x＋3y－5＝0.
(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A，B分别是双曲线C： xm2－y22 ＝1的 左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为_x_2_＋__(_y－__3_)_2_＝__1_0_.
解析 ∵P(3,4)为 C 上一点，m9 －126＝1， 解得 m＝1，则 B(1,0)，∴kPB＝42＝2， PB 的中垂线方程为 y＝－12(x－2)＋2， 令x＝0，则y＝3， 设外接圆圆心为M(0，t)，
△FPM为等边三角形⇒△FPM外接圆圆心与重心重合，
∴外接圆圆心坐标为－2
3－2 3
3＋0，3－13＋1，即－4
3
3，1，
外接圆半径为 r＝
பைடு நூலகம்
－4
3
3＋2
32＋1＋12＝4
3
3，
同理可得当 x＝2
3时，圆心坐标为4
3
3，1，半径为4
3
3，
∴外接圆方程为x±4
3
32＋(y－1)2＝136.
跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，则
的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的
【高中数学专项突破】专题10 二次函数与一元二次方程、不等式-专题突破(含答案)
【高中数学专项突破】专题10 二次函数与一元二次方程、不等式题组1 一元二次不等式的解法1.下列不等式中是一元二次不等式的是（）A．a2x2＋2≥0B．21x x<3C.－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1>02.不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集为（）A．B．C．D．3.不等式3x2－7x＋2<0的解集为（）A．B．C．D.{x|x>2}4.解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0（a∈R）．5.已知f（x）＝ax2＋x－a，a∈R.（1）若a＝1，解不等式f（x）≥1；（2）若不等式f（x）>－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a<0，解不等式f（x）>1.6.（1）已知当－1≤a≤1时，不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0恒成立，求实数x的取值范围．（2）解关于x的不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0.题组2 “三个二次”的对应关系的应用7.不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则bx2－ax－1>0的解集是（）A.{x|2<x<3}B.{x|－3<x<－2}C.{x|－<x<－}D.{x|<x<}8.设f（x）＝x2＋bx＋1，且f（－1）＝f（3），则f（x）>0的解集是（）A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）B．RC.{x|x≠1}D.{x|x＝1}9.不等式ax2＋bx－2≥0的解集为{x|－2≤x≤－}，则（）A．a＝－8，b＝－10B．a＝－1，b＝9C．a＝－4，b＝－9D．a＝－1，b＝2题组3 分式不等式的解法10.设集合A＝{x||4x－1|≥9，x∈R}，B＝{x|≥0，x∈R}，则A∩B等于（）A.（－3，－2]B.（－3，－2]∪[0，]C.（－∞，－3]∪[，＋∞）D.（－∞，－3）∪[，＋∞）11.关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x>2}，则关于x的不等式>0的解集为（）A.{x|－2<x<－1或x>3}B.{x|－3<x<－2或x>1}C.{x|－1<x<2或x>3}D.{x|x<－1或x<3}题组4 一元二次不等式的应用12.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（m）与汽车的车速（km/h）满足下列关系：s＝＋（n为常数，且n∈N*），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中（1）求n的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？13.某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加费，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P%（即每百元征收P元）时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；（2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值？（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值？题组5 一元二次不等式恒成立问题14.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，]恒成立，则a的最小值是()A.0B.－2C.－D.－315.关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()A.(－∞，2]B.(－2,2]C.(－2,2)D.(－∞，2)16.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A.(0，＋∞)B.[0，＋∞)C.[0,4)D.(0,4)17.设二次函数f(x)＝ax2＋bx.(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．18.已知不等式x2－x－m＋1>0.(1)当m＝3时，求此不等式的解集；(2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．19.(1)解不等式－3<4x－4x2≤0；(2)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，求实数m的取值范围．专题10 二次函数与一元二次方程、不等式题组1 一元二次不等式的解法1.下列不等式中是一元二次不等式的是（）A．a2x2＋2≥0B．<3C.－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1>0【答案】C【解析】选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．故选C.2.不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先展开，移项，合并同类项，分解因式可得－≤x≤1，故选D.3.不等式3x2－7x＋2<0的解集为（）A．B．C．D.{x|x>2}【答案】A【解析】3x2－7x＋2<0⇒（3x－1）（x－2）<0⇒<x<2.4.解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0（a∈R）．【答案】原不等式可变形为（x－a）（x－a2）>0，方程（x－a）（x－a2）＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2.当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，有a>a2，∴x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a>1时，有a2>a，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当a＝0时，有x≠0，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．综上可知，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．5.已知f（x）＝ax2＋x－a，a∈R.（1）若a＝1，解不等式f（x）≥1；（2）若不等式f（x）>－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a<0，解不等式f（x）>1.【答案】（1）根据题意，由于x2＋x－1≥1，结合二次函数图象可知不等式的解集为{x|x≤－2或x≥1}．（2）（a＋2）x2＋4x＋a－1>0，a＝－2不符合；当a≠－2时，由a＋2>0且Δ<0，得a>2.故a>2. （3）ax2＋x－a－1>0，即（x－1）（ax＋a＋1）>0.因为a<0，所以（x－1）<0，因为1－＝，所以当－<a<0时，1<－，解集为；当a＝－时，（x－1）2<0，解集为∅；当a<－时，1>－，解集为．6.（1）已知当－1≤a≤1时，不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0恒成立，求实数x的取值范围．（2）解关于x的不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0.【答案】（1）原式可化为（x2－3x）a－2x＋6≤0，设f（a）＝（x2－3x）a－2x＋6≤0，则f（a）为关于a的一次函数，由题意∴解得∴x＝3.（2）原不等式可化为（x－3）（ax－2）≤0.那么由于a＝0表示的为一次函数，a≠0为二次函数，那么分为两大类，结合开口方向和根的大小和二次函数图形可知，需要整体分为a>0，a＝0，a<0来求解，那么对于a与的大小将会影响到根的大小，∴要将a 分为0<a<和a＝以及a>来得到结论，那么可知有：当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≥3}；当0<a<时，原不等式的解集为；当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝3}；当a>时，原不等式的解集为．题组2 “三个二次”的对应关系的应用7.不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则bx2－ax－1>0的解集是（）A.{x|2<x<3}B.{x|－3<x<－2}C.{x|－<x<－}D.{x|<x<}【答案】C【解析】∵不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，∴a＝5，b＝－6，∴不等式bx2－ax－1>0，即为－6x2－5x－1>0，∴6x2＋5x＋1<0，∴（3x＋1）（2x＋1）<0，∴－<x<－.8.设f（x）＝x2＋bx＋1，且f（－1）＝f（3），则f（x）>0的解集是（）A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）B．RC.{x|x≠1}D.{x|x＝1}【答案】C【解析】由f（－1）＝f（3），知b＝－2，∴f（x）＝x2－2x＋1，∴f（x）>0的解集是{x|x≠1}，故选C.9.不等式ax2＋bx－2≥0的解集为{x|－2≤x≤－}，则（）A．a＝－8，b＝－10B．a＝－1，b＝9C．a＝－4，b＝－9D．a＝－1，b＝2【答案】C【解析】∵不等式ax2＋bx－2≥0的解集为{x|－2≤x≤－}，∴－2，－为方程ax2＋bx－2＝0的两根，则根据根与系数关系可得－2＋（－）＝－，（－2）·（－）＝－，∴a＝－4，b＝－9，故选C.题组3 分式不等式的解法10.设集合A＝{x||4x－1|≥9，x∈R}，B＝{x|≥0，x∈R}，则A∩B等于（）A.（－3，－2]B.（－3，－2]∪[0，]C.（－∞，－3]∪[，＋∞）D.（－∞，－3）∪[，＋∞）【答案】D【解析】因为A＝{x|x≥或x≤－2}，B＝{x|x≥0或x<－3}，∴A∩B＝（－∞，－3）∪[，＋∞），故选D.11.关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x>2}，则关于x的不等式>0的解集为（）A.{x|－2<x<－1或x>3}B.{x|－3<x<－2或x>1}C.{x|－1<x<2或x>3}D.{x|x<－1或x<3}【答案】C题组4 一元二次不等式的应用12.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（m）与汽车的车速（km/h）满足下列关系：s＝＋（n为常数，且n∈N*），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中（1）求n的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？【答案】（1）依题意得解得又n∈N*，所以n＝6.（2）s＝＋≤12.6⇒v2＋24v－5 040≤0⇒－84≤v≤60，因为v≥0，所以0≤v≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.13.某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加费，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P%（即每百元征收P元）时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；（2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值？（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值？【答案】税率为P%时，销售量为（80－10P）万件，销售金额为f（P）＝80（80－10P），税金为g（P）＝80（80－10P）·P%，其中0<P<8.（1）由解得2≤P≤6.（2）∵f（P）＝80（80－10P）（2≤P≤6）为减函数，∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额．（3）∵0<P<8，g（P）＝80（80－10P）·P%＝－8（P－4）2＋128，∴当P＝4时，国家所得税金最多，为128万元．题组5 一元二次不等式恒成立问题14.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，]恒成立，则a的最小值是()A.0B.－2C.－D.－3【答案】C【解析】ax≥－(x2＋1)，a≥－(x＋)对一切x∈(0，]恒成立，当0<x≤时，－(x＋)≤－，∴a≥－，故选C.15.关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()A.(－∞，2]B.(－2,2]C.(－2,2)D.(－∞，2)【答案】B【解析】由可求得－2<a<2.又当a＝2时，原不等式化为－4<0，恒成立，∴－2<a≤2.16.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A.(0，＋∞)B.[0，＋∞)C.[0,4)D.(0,4)【答案】C【解析】当k＝0时，不等式变为1>0，成立；当k≠0时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则即0<k<4，所以0≤k<4.17.设二次函数f(x)＝ax2＋bx.(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)方法一⇒∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.方法二设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比较两边系数：⇒∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，下同方法一．(2)当x∈[0,1]时，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1，即当x∈[0,1]时，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0恒成立；当x＝0时，显然，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0均成立；当x∈(0,1]时，若ax2＋x＋1≥0恒成立，则a≥－－＝－(＋)2＋，而－(＋)2＋在x∈(0,1]上的最大值为－2，∴a≥－2；当x∈(0,1]时，ax2＋x－1≤0恒成立，则a≤－＝(－)2－，而(－)2－在x∈(0,1]上的最小值为0，∴a≤0，∴－2≤a≤0，而a≠0，因此所求a的取值范围为[－2,0)．18.已知不等式x2－x－m＋1>0.(1)当m＝3时，求此不等式的解集；(2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)当m＝3时，x2－x－m＋1>0，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，故不等式的解集为{x|x<－1或x>2}．(2)∵1>0，∴对任意的实数x，不等式x2－x－m＋1>0恒成立，则必须有(－1)2－4(－m＋1)<0，解得m<，∴实数m的取值范围是m<.19.(1)解不等式－3<4x－4x2≤0；(2)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)根据题意，由于－3<4x－4x2≤0，那么等价于－3<4x－4x2且4x－4x2≤0，先分析方程的根，结合二次函数图象可知，不等式的解集为(－，0]∪[1，)．(2)由于不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，那么可知，当m＝0时，－4<2x2＋4x，由于判别式小于零可知成立，恒大于零，不等式对任意x均成立；当m≠0时，要使不等式恒成立，只要开口向上，判别式小于零即可，得到－2<m≤2，且m≠0.综上可知－2<m≤2.。
高中数学 小问题集中营 专题1.2 突破点 集合运算中的参数问题
问题2 突破点集合运算中的参数问题一、问题的提出所谓集合中的参数问题，是指集合{|p p适合的条件}中“p适合的条件”里面含有参数的问题，已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)，一般常和方程、不等式、函数等知识结合在一起进行考查，综合性比较强，解法多样，故难度较大.对思维的严谨性要求较高.是同学们学习集合的一个难点。
二、问题的探源解含参数的集合运算问题，首先应分清集合中的元素是数集还是点集，然后根据元素的特点考虑对参数进行分类讨论。
下面总结集合中几类常见的参数问题1. 已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．2.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围由集合间关系求解参数的三部曲第一步:弄清两个集合之间的关系,谁是谁的子集;，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形; 第二步:看集合中是否含有参数,若A B第三步:将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组),求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想,借助数轴解答.3.根据集合运算的结果确定参数的取值范围方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.方法二：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点间关系列出不等式（组）；(4)解不等式（组）；(5)检验.注意：确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；(2)千万不要忘记考虑空集。
三、问题的佐证(一)根据元素与集合的关系求参数的值例1.已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为( )A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3(二)根据集合与集合的关系求参数的值例2.已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3【解析】由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，有m ∈A ，所以有m ＝m 或m ＝3，即m ＝3或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1，故选B.【评注】在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下可以相互转化，如．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单． (三)根据集合与集合的关系求参数的取值范围已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题．例3.已知集合{|2A x =-≤x ≤5}，{|1B x m =+≤x ≤21}m -，满足B A ⊆，求实数m 的取值范围为。
高考数学之函数专项重点突破-专题20 函数嵌套问题(解析版)
专题20函数嵌套问题一、单选题1．已知函数()e ,02,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则方程()20f f x ⎡⎤-=⎣⎦的根个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】令()20y f f x =-=⎡⎤⎣⎦，即()2f f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，设()f x t =，所以()2f t =，即0,e 2t t ≥=或0,22t t <-=，解得ln 2t =或1t =-，即()ln 2f x =或()1f x =-，即0,e ln 2x x ≥=或0,2ln 2x x <-=，解得ln 22x =-；或0,e 1x x ≥=-或0,21x x <-=-，无符合题意的解.综上所述：程()2y f f x =-⎡⎤⎣⎦的根个数为1个.故选：A.2．已知函数()232,1,42,1,x x x f x x x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩则函数()()3y f f x =-的零点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】作出()f x的图象，如图所示：则()f x 的值域为R ，求()()3y f f x =-的零点，即求()()30f f x -=，即()()3f f x =，对应方程的根.设()m f x =，则m R ∈，则()()3f f x =等价于()3f m =，如图所示：()3f m =有3个交点，则m 有三个解，当1m £时，有2323m m --=，解得0m =或2m =-，当1m >时，有423m m+-=，解得4m =或1m =（舍）故m 的值分别为2-，0，4，则()m f x =对应解如下图()m f x =对应5个交点，分别为点Q ，M ，K ，E ，T ，综上所述：()()3y f f x =-的零点个数为5个.故选：D3．已知()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，()f x ¢是()f x 的导函数，若对()0,x ∀∈+∞都有()23xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则方程()40f x x'-=的解所在的区间是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()5,8【解析】由题意可知，对任意的()0,x ∞∈+，都有()23xf f x ⎡⎤-=⎣⎦.则()2x f x -为定值.设()2x t f x =-，则()2xf x t =+.又由()3f t =，即23t t +=.可解得1t =.则()21xf x =+，∴()2ln 2xf x '=.∴()442ln 2x f x x x'-=-.令()42ln 2xh x x=-，()2242ln 20x h x x '=+>，故()h x 在()0,+∞上单调递增，又由()12ln 240h =-<，()24ln 210h =->.故()h x 的唯一零点在区间()1,2之间.则方程()40f x x'-=的解在区间()1,2上.故选:A.4．已知函数()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】令()2t f x =+，当1x <-时，1()(,2)f x x x =+∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞，当10x -<<时，1()(,2)f x x x=+∈-∞-且递减，此时(,0)t ∈-∞，当210e<<x 时，()ln (,2)f x x =∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞，当21e x >时，()ln (2,)f x x =∈-+∞且递增，此时(0,)t ∈+∞，所以，()g x 的零点等价于()f t 与2y =-交点横坐标t 对应的x值，如下图示：由图知：()f t 与2y =-有两个交点，横坐标11t =-、201t <<：当11t =-，即()3f x =-时，在(),1x ∈-∞-、(1,0)-、21(0,)e 上各有一个解；当201t <<，即2()1f x -<<-时，在21,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭有一个解.综上，()g x 的零点共有4个.选：B5．已知函数()21,02211,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩，若关于x 的方程()()()2210f x k xf x kx -++=有且只有三个不同的实数解，则正实数k 的取值范围为（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C ．()()0,11,2U D ．()2,+∞【解析】因为()21,0212,02122,2x x x f x x x x x ⎧+≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，由()()()2210f x k xf x kx -++=可得()()0f x x f x kx -⋅-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，关于x 的方程()f x x =、()f x kx =共有3个不同的实数解.①先讨论方程()f x x =的解的个数.当0x ≤时，由()212f x x x x =+=，可得0x =，当102x <≤时，由()2f x x x ==，可得x ∈∅，当12x >时，由()22f x x x =-=，可得23x =，所以，方程()f x x =只有两解0x =和23x =；②下面讨论方程()f x kx =的解的个数.当0x ≤时，由()212f x x x kx =+=可得102x x k ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得0x =或12x k =-，当102x <≤时，由()2f x x kx ==，可得2k =，此时方程()f x kx =有无数个解，不合乎题意，当12x >时，由()22f x x kx =-=可得22x k =+，因为0k >，由题意可得10221220k k k ⎧-<⎪⎪⎪≤⎨+⎪>⎪⎪⎩或10222230k k k ⎧-<⎪⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎪⎩或10221222223k k k ⎧-≥⎪⎪⎪>⎨+⎪⎪≠⎪+⎩，解得112k ≤<或12k <<.因此，实数k 的取值范围是()1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．函数()22,02,0x x x x f x x x e⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x af x a -+-=恰有四个不同的实数根，则实数a 范围为（）A ．e 21,e +⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．22e 21,e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．22e 21,e ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．e 21,e +⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】作出函数()f x 的图像如下所示，当0x >，2xx y e =时，22e x xy -'=，所以()0,1x ∈时递增，当()1,x ∈+∞时递减，所以当0x >时，2x xy e =在=1x 处取最大值为：2e（如下图所示平行于x 直线）；因为()()210f x af x a -+-=，即()()+110f x a f x ⎡⎤⎡⎤--=⎣⎦⎣⎦，解得()1f x =或()1f x a =-，当()1f x =时，观察图像易知此时只有一个交点，即有一个根，要使关于x 的方程()()210f x af x a -+-=恰有四个不同的实数根，则需要()1f x a =-与图像有三个不同交点，只需要201ea <-<，即e 21e a +<<.故选：D.7．已知函数()3,133,1xx f x elnx x x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若函数2[()]4=+y f x 与()y af x =的图象恰有8个不同公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．(4,5)B ．(4,10)C ．292,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．294,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】当1x >时，()e ln xf x x=，2ln 1()e ln x f x x -'=，由1e x <<时，()0f x '<，得()f x 单调递减，由e x >时，()0f x '>，得()f x 单调递增，故e x =时，min ()(e)1f x f ==；当1x ≤时，()()32()33,()33311'=-+=-=-+f x x x f x x x x ，由11x -<<时，()()()3110'=-+<f x x x ，得()f x 单调递减，由1x <-时，()()()3110'=-+>f x x x 得()f x 单调递增，所以1x =-时，()f x 有极大值(1)5f -=，当1x =时，(1)1f =，作出()3,1eln 33,1⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩xx f x x x x x 的大致图象如图：函数()24⎡⎤⎣=+⎦y f x 与()y af x =的图象恰有8个不同公共点，即方程()()204-=⎡⎤⎣⎦+f x x af 有8个不同的根，令()f x t =，根据其图象，讨论2)40(=*-+t at 有8解情况如下：令2()4=-+t t at g，当()*在()1,5有两个解时，满足题意，即2(1)50(5)2950152160=->⎧⎪=->⎪⎪⎨<<⎪⎪∆=->⎪⎩g a g a a a ，解得45a <<，故选：A.8．定义在R 上的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x mf x n ++=恰有5个不同的实数解12345,,,,x x x x x ，则12345()f x x x x x ++++=（）A．2B．1C．12D．14【解析】作出函数1,11 ()1,1xxf xx⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩的图象，如图所示，令()f x t=，由图象可知，当1t=时，方程()f x t=有3个根，当01t<<或1t>时，方程()f x t=有2个根，则方程2()()0f x mf x n++=等价于20t mt n++=，因为方程2()()0f x mf x n++=恰有5个不同的实数解12345,,,,x x x x x，所以等价于方程20t mt n++=有两个实数解11t=，或201t<<，或21t>，可得这5个根也关于直线1x=对称，所以123455x x x x x++++=，所以1234511()(5)514f x x x x x f++++===-，故选：D9．设函数()431,0log,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x的方程()()()2230f x a f x-++=⎡⎤⎣⎦恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．()2,2--B．32,2⎛⎤-⎥⎝⎦C．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．()2,+∞【解析】画出函数()431,0log,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下图所示，令()f x t=，则方程()()()2230f x a f x-++=⎡⎤⎣⎦可化为()2230t a t-++=.由图可知：当(]1,2t∈时，()y f x=与y t=有3个交点，要使关于x的方程()()()2230f x a f x-++=⎡⎤⎣⎦恰好有六个不同的实数解，则方程()2230t a t -++=在(]1,2内有两个不同实数根，∴()()()222Δ212021221213022230a a a a ⎧=+->⎪+⎪<<⎪⎨⎪-+⨯+>⎪-+⨯+≥⎪⎩，解得322a <≤，∴实数a的取值范围为32,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：B 10．已知()()221,1,log 1,1,x x f x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩()g x 为三次函数，其图象如图所示.若()()y f g x m =-有9个零点，则m 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()0,3C ．51,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】作出()f x 的图像如图所示，由()g x 的图像可知，()g x 的极大值为()02g m =+，极小值为()23g m =-，()()y f g x m =-有9个零点，令()t x g =，结合()f x 和()g x 的图像可知，()f t m =有3个解，分别设为123,,t t t ，且123t t t <<，且每个t 对应都有3个满足()g x t =，欲使()()y f g x m =-有9个零点，由图可知：03m <<，且112,2t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，21,12t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()32,9t ∈，由函数()f x 的解析式知：112m t +=-，212m t -=，321m t =+，由()g x 图像可知，()123,,3,2t t t m m ∈-+，则13221322321203mm m m m m m m m m +⎧-<-<+⎪⎪-⎪-<<+⎨⎪-<+<+⎪⎪<<⎩，解得5533550103m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪-<<⎨⎪<<⎪<<⎪⎩，得01m <<，故选：A.11．已知函数()1,0,ln ,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩（0a >且1a ≠），若函数()()y f f x a =-的零点有5个，则实数a 的取值范围为（）A ．2a =B ．ln 21a ≤<或12a <<C ．0ln 2a <≤或12a <<或2a =D ．ln 21a ≤<或2a =【解析】依题意函数()()y f f x a =-的零点即为方程()()f f x a =的根，①当01a <<时函数()f x的函数图象如下所示：所以()f t a =有两个根1t ，2t （101t <<，21t >），而()1t f x =对应2个根，所以需要()2t f x =对应3个根，所以22t ≥，即e 2a ≥，解得ln 21a ≤<；②当2a >时函数()f x的函数图象如下所示：所以()f t a =有两个根1t ，2t （101t <<，22t >），而()1t f x =对应2个根，()2t f x =对应2个根，即共四个根，所以不满足题意；③当2a =时函数()f x的函数图象如下所示：所以()f t a =有三个根121et =，22e t =，30t =，从而()2e f x =，()21ef x =，()0f x =，所对应2、2、1个根，即共5个根，所以满足题意；④当12a <<时函数()f x的函数图象如下所示：所以()f t a =有三个根1t ，2t ，3t ，（101t <<，21t >，30t <），而()1t f x =，()2t f x =，()3t f x =分别对应2、2、0个根，即共四个根，所以不满足题意；综上可得实数a 的取值范围为ln 21a ≤<或2a =；故选：D12．已知函数()3e ,1e ,1x x x xf x x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（e 为自然对数的底数），函数()()g x xf x =，若关于x 的方程()()220g x ag x -⎤⎣⎦=⎡有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）．A ．e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．222e ,e 8⎛⎫⎪⎝⎭C ．()222e e ,0,,e 82⎛⎫⎛⎫-∞⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．222e e ,,e 82⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】由题设22e ,1()e ,1x x x x g x x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，且方程的根分别为1()0g x =、2()2g x a =，当1x <时()(2)e x g x x x '=+，在(,2)-∞-、(0,1)上()0g x '>，在(2,0)-上()0g x '<，所以()g x 在(,2)-∞-、(0,1)上递增，在(2,0)-上递减，则极大值24(2)e g -=，极小值(0)0g =，在各单调区间上恒有()0>g x ；当1≥x 时32())(e xx x xg -'=，在[1,2)上()0g x '<，在(2,)+∞上()0g x '>，所以()g x 在[1,2)上递减，在(2,)+∞上递增，且2e()(2)4g x g ≥=，(1)e g =；综上，()g x的图象如下：显然1()0g x =时有一个解，而原方程共有2个实数根，所以，由图知：2224e ()2(,)(e,)e 4g x a =∈⋃+∞，即222e e(,(,)e 82a ∈⋃+∞.故选：D二、多选题13．已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（）A ．a c<B ．b a<C ．c a<D ．a b<【解析】∵()()231321log log log log x x a ==，∴31log 2a x =，21log 3ax =，∴23132aax ==.设()2332ttf t =-，∵()()0110f f ==>，()2815120f =-<，2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，∴()1,2a ∈.∵()()242422log log log log x x b ==，∴42221log log 22b x x ==，22log 4bx =，∴142b b +=，∴1b =.∵()()343433log log log log 0x x c ==>，∴34343ccx ==设()3443ttg t =-，∵()010g =>，()1170g =-<，3443xxy =-在()0,∞+上先增后减，∴()0,1c ∈.∴c b a <<.故选：BC.14．已知函数()212,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，方程()()220(0)f x f x m m +-=>有四个不同的实数根，从小到大依次是1234,,,,x x x x 则下列说法正确的有（）A ．13x <-B ．122x x +<-C ．342x x =D ．m 可以取到3【解析】由题设，2222,0()log ,01log ,1x x f x x x x x -⎧-≤⎪=-<<⎨⎪≥⎩，其函数图象如下：而2()2()y f x f x m =+-的对称轴为()1f x =-且440m ∆=+>，即1m >-，所以0y =必有两个零点1()f x 、2()f x 分别在()1f x =-的两侧，由上图知：10()1f x <≤且23()2f x -≤<-，满足原方程有四个实根，故123()()0f x f x m -≤=-<，则03m <≤，D 正确；所以13222x --≤-<-：21log 52x -≤<-；且210x -<≤；230log 1x <-≤：3112x ≤<；且240log 1x <≤：412x <≤.；所以212341log 5210122x x x x -≤<-<-<≤<≤<<≤且341x x =，则122x x +<-，故A 、C 错误，B 正确.故选：BD15．已知函数()224,0,21,0,xx x x f x x -⎧+<=⎨-≥⎩若关于x 的方程()()244230f a f x a x -⋅++=有5个不同的实根，则实数a 的取值可以为（）A ．32-B ．43-C ．65-D ．76-【解析】令()f x m =，记2()4423g m m am a =-++的两个零点为12,m m ，则由()f x 的图象可知：方程()()244230f x a f x a -⋅++=有5个不同的实根⇔12,y m y m ==与()f x 的图象共有5个交点121m ⇔-<≤-，且210m -<<（不妨设12m m <）.则()()()221019016700230Δ230g a g a g a a a ⎧-=+>⎪-=+≤⎪⎨=+>⎪⎪=-->⎩解得3726a -<≤-.故选：BCD16．已知函数()()2lg ,0,64,0,x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+⎪⎩若关于x 的方程2()()40f x mf x +-=有6个不同根，则整数m 的取值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】作出函数f (x )的图象如图：关于x 的方程2()()40f x mf x +-=有6个不同根，令()t f x =，240t mt +-=，即方程240t mt +-=有2个不同的解，可能一个在(0,4]上，一个在(5,0)-上，也可能两个都在(4,)+∞上.令2()4g t t mt =+-，若()g t 在(0,4]上和(5,0)-上各有一个不同的零点，所以()()()500040g g g ⎧->⎪<⎨⎪≥⎩，解得2135m -≤<，所以整数m 的取值可以是-3，-2，-1，0，1，2，3，4.若()g t 在(4,)+∞有两个不同的零点，所以()24216040m m g ⎧->⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩，该不等式组无解，故选：ABC17．设函数()41,14,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，集合()(){}220,M x f x f x k k R =++=∈，则下列命题正确的是（）A ．当0k =时，{}0,4,6M =B ．当1k >时M =∅C ．若集合M 有三个元素，则k 的取值范围为()15,3--D ．若{},,,M a b c d =（其中a b c d <<<），则4412a b c d +++=【解析】A ：0k =时，{|()0M x f x ==或()2}f x =-，结合()f x 解析式：()0f x =时有0x =或4x =，()2f x =-时有6x =，所以{}0,4,6M =，正确；B ：1k >时，由2240k ∆=-<，知方程()()220f x f x k ++=无解，则M =∅，正确；由()f x解析式可得其函数图象如下图示：令()()22y fx f x k =++，开口向上且对称轴为()1f x =-，若{},,M a b c =，则440k ∆=->，即1k <，有以下情况：1、()f x m =(13)m ≤<，()f x n =(0)n <：此时，令2()2g x x x k =++，则()g x 在[1,3)x ∈上有一个零点，∴(1)(3)(15)(3)0(3)01g g k k g k =++≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩，可得153k -<≤-，2、()0f x =，()2f x =-，由A 知：0k =.综上：(15,3]{0}k ∈--⋃，故C 错误；若{},,,M a b c d =，由函数y 的性质及()f x 图象知：必有()f x m =(01)m <<，()f x n =(23)n -<<-.此时，()4141a b-=--，()()()442f c f d c d +=-++-+=-，所以442a b +=，10c d +=，所以4412a b c d +++=，故D 正确.故选：ABD18．若()11f x x =--，则关于x 的方程()()()20f x af x +=的实数解的个数可能为（）A ．2B ．3C ．5D ．6【解析】由已知(),0,01112,122,2x x x x f x x x x x x -≤⎧⎪<≤⎪=--=⎨-<≤⎪⎪->⎩，作出函数图象如图所示，又()()()20f x af x +=，所以()0f x =或()f x a =-，因为()0f x =，有2个实数解，当0a -<，即0a >时，()f x a =-无解，()()()20f x af x +=共有2个实数解；当0a -=，即0a =，()()20f x =，共有2个实数解；当01a <-<，即10a -<<时，()f x a =-有4个实数解，()()()20f x af x +=共有6个实数解；当1a -=，即1a =-时，()f x a =-有3个实数解，()()()20f x af x +=共有5个实数解；当1a ->，即1a <-时，()f x a =-有2个实数解，()()()20f x af x +=共有4个实数解；故选：ACD.三、填空题19．已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当713,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()()()22210f x m f x m m ⎡⎤-+++=⎣⎦恰有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是_______．【解析】原方程可化为[()][()(1)]0f x m f x m --+=，解得1()f x m =，2()1f x m =+，因为713,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5112,366x πππ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，()[]1,2f x ∈-，()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象如图所示：因为方程()()()22210f x m f x m m ⎡⎤-+++=⎣⎦恰有两个不同的实数根，所以当1m <-时，则110m -<+≤，解得21m -<<-；当1m =-时，10m +=，此时方程有三个不同的实数根，不成立；当10m -<≤时，则12m +>，此时无解；当02m <≤时，则012m <+≤，解得01m <≤；当2m >时，此时方程无实数根，不成立；综上：21m -<<-或01m <≤20．已知函数1,0()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，()g x ²222x x λ=-+-，若关于x 的方程(())f g x λ=（R λ∈）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.【解析】令()g x t =，则方程转化为()f t λ=，画出()y f x =的图象，如图可知()f t λ=可能有1,2,3个不同解，二次函数()g x t =可能有0,1,2个不同解，因为(())f g x λ=恰好有6个不同的实数根，所以()g x t =有2个不同的实数根，()f t λ=有3个不同的实数根，则01λ<<，因为|1|0,t t λ+=<，解得121,1t t λλ=-+=--，()lg 0t t λ=>，解得310t λ=，所以22221x x λλ-+-=-+，22221x x λλ-+-=--，222210x x λλ-+-=每个方程有且仅有两个不相等的实数解，所以由22221x x λλ-+-=-+，可得2210x x λ-+-=，即144(1)0λ∆=-->，解得02λ<<；由22221x x λλ-+-=--，可得22310x x λ-+-=，即244(31)0λ∆=-->，解得203λ<<；由222210x x λλ-+-=，可得2222100x x λλ-+--=，即()34422100λλ∆=--->，而10320λλ+->在20,3λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，综上，实数λ的取值范围为203λ<<.21．已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.当713,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有三个不同的实数根，则m 的取值范围是_________.【解析】22[()](21)()0f x m f x m m -+++=等价于[()(1)][()]0f x m f x m -+-=，解得()1f x m =+或()f x m =，因为713,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5112,366x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()[1,2]f x ∈-，如图，绘出函数()f x 的图象，方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=有三个不同的实数根等价于()1f x m =+有一个实数解且()f x m =有两个不同的实数解或()1f x m =+有两个不同的实数解且()f x m =有一个实数解，①当1m <-或2m >时，()f x m =无解，不符合题意；②当1m =-时，则10m +=，()f x m =有一个实数解，()1f x m =+有两个不同的实数解，符合题意；③当10m -<≤时，则012m <+≤，()f x m =有两个不同的实数解，()1f x m =+有一个实数解，符合题意；④当02m <≤时，则113m <+≤，()f x m =有一个实数解，()1f x m =+至多有一个实数解，不符合题意，综上，m 的取值范围为[1,0]-.22．已知函数()22ln ,04,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数2[()](21)()2=-++-y a f x a f x a （其中0a >）有6个不同的零点，则实数a 的取值范围是___________．【解析】画出函数()22ln ,04,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩的图像，如下图所示：设()f x t =，则当0t <时，方程()f x t =有一个根，当02t ≤<时，方程()f x t =有两个根，当2t =时，方程()f x t =有三个根，当24t <<时，方程()f x t =有四个根，当4t =时，方程()f x t =有三个根，当4t >时，方程()f x t =有两个根，所以，若2t =和4t =为方程2(21)20at a t a -++-=的两根时，原函数有6个不同的零点，则得到方程组222(21)2204(21)420a a a a a a ⎧⨯-+⨯+-=⎨⨯-+⨯+-=⎩，方程组无解；若02t ≤<，24t <<为方程2(21)20at a t a -++-=的两根时，原函数有6个不同的零点，得不等式组22200(21)0202(21)2204(21)420a a a a a a a a a a >⎧⎪⨯-+⨯+-≥⎪⎨⨯-+⨯+-<⎪⎪⨯-+⨯+->⎩，解得24a ≤<.故答案为：[)2,4.四、解答题23．已知函数212log (1)0()log (1)0x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩．（1）判断函数()y f x =的奇偶性；（2）对任意的实数x 、x ，且120x x +>，求证：()()120f x f x +>；（3）若关于x 的方程23[()]()04f x af x a +-+-=有两个不相等的正根，求实数a 的取值范围．【解析】（1）2(0)log (10)0f =+=．当0x >时，0x -<，有122()log [1()]log (1)()f x x x f x -=--=-+=-，即()()f x f x -=-．当0x <时，0x ->，有212()log [1()]log (1)()f x x x f x -=+-=--=-，即()()f x f x -=-．综上，函数()y f x =在R 上是奇函数．（2）因为函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，函数1u x =+在R 上也是增函数，故函数2log (1)=+y x 在[0,)+∞上是增函数．由（1）知，函数()y f x =是R 上的奇函数．由奇函数的单调性知，函数12log (1)y x =-在(,0)-∞上也是增函数，从而函数()y f x =在R 上是增函数．由120x x +>，得12x x >-，所以()()()122f x f x f x >-=-，即()()120f x f x +>．（3）由（1）知，函数()y f x =是R 上的奇函数，故原方程可化为23[()]()04f x af x a -+-=．令()f x t =，则当0x >时，()0t f x =>．原方程有两个不相等的正根等价于：关于t 的方程2304t at a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭有两个不相等的正根，即23401,343001,343344a a a a a a a a a a ⎧⎛⎫⎧∆=--> ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪>⇔>⇔<<>⎨⎨⎪⎪⎪⎪->>⎩⎪⎩或因此，实数a 的取值范围为3,1(3,)4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．24．已知向量()2,2m a a b =+ （其中0a >），()()πsin 2,16n x =+- ，函数()f x m n =⋅ ，当π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，函数f （x）的值域为1⎡⎤-⎣⎦.(1)求实数a ，b 的值；(2)设函数()()g x f x λ=-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数λ的取值范围；(3)若对R x ∀∈，都有()()()2840f x k f x k +--≤恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】(1)()2sin 226f x m n a x a b π⎛⎫=⋅=+-- ⎪⎝⎭ ，当π3π[,]44x ∈时，π2π5π2[,633x +∈，πsin(2[]62x +∈-，因为0a >，所以()[42)]f x a b a b ∈---，依题意可得)4321a b a b --=-⎧⎪⎨--⎪⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩.(2)由（1）知，π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π[0,2x ∈时，函数()f x 的图象如图：因为函数()()g x f x λ=-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，所以()y f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象与y λ=有两个交点，由图可知，01λ≤<.(3)因为π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭[3,1]∈-，所以对任意的[3,1]t ∈-，都有()2840t k t k +--≤恒成立，设2()(8)4h t t k t k =+--，则()()3010h h ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩,即93(8)401840k k k k ---≤⎧⎨+--≤⎩，解得95k ≥.25．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图象向右移6π个单位，所得函数()g x 为奇函数．(1)求()f x 的解析式；(2)若关于x 的方程2()()0f x f x a --=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有三个解，求a 的取值范围．【解析】(1)因为图象相邻两对称轴之间的距离是2π，所以函数的最小正周期2T ππω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，因为()ππsin 2φsin 2φ63g x x x 轾骣骣犏琪琪=-+=-+琪琪犏桫桫臌为奇函数，所以3πφkπ-+=，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈，又因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)因为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]0,1f x ∈，当2332x πππ≤+≤时，解得012x π≤≤，223x πππ≤+≤时，解得123x ππ≤≤，即()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()0sin 3f π==sin 1122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象如下所示：因为关于x 的方程2()()0f x f x a --=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有三个解，令()t f x =，即20t t a --=，[]0,1t ∈，若21t =为方程20t t a --=的根，此时0a =，则10t =，不符合题意；依题意方程20t t a --=在[]0,1有两不相等实数根1t 、2t ，不妨令12t t <，且2t ⎫∈⎪⎪⎣⎭，1t ⎡⎫∈⎢⎣⎭；若22t =为方程20t t a --=的根，此时342a =-，则112t =-，此时符合题意；若22t ≠时，令()2g t t t a =--则()()001002Δ0g g g ⎧>⎪>⎪⎪⎛⎨< ⎪ ⎝⎭⎪⎪>⎩，即003042Δ140a a a a ->⎧⎪->⎪⎪⎨--<⎪⎪=+>⎪⎩，解得304a <<，综上可得304a ≤<。
【高中数学专项突破】专题13 分段函数问题专题突破(含答案)
【高中数学专项突破】专题13 分段函数问题题组4 分段函数1.函数f（x）＝的值域是（）A.RB.（0,2）∪（2，＋∞）C.（0，＋∞）D.[0,2]∪[3，＋∞）2.设函数g（x）＝x2－2（x∈R），f（x）＝则f（x）的值域是（）A.[0，＋∞）B.[－，＋∞）C.[－，0]∪（1，＋∞）D.[－，0]∪（2，＋∞）3.已知f（x）＝则f（f（f（－2）））等于（）A.πB.0C.2D.π＋14.设f（x）＝则f（f（0））等于（）A.1B.0C.2D.－15.设函数f（x）＝若f＝4，则b等于（）A.1B.C.D.6.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（）A.x＝60tB.x＝60t＋50C.x＝D.x＝7.已知函数f（x）＝则f（x）－f（－x）>－1的解集为（）A.（－∞，－1）∪（1，＋∞）B.[－1，－）∪（0,1]C.（－∞，0）∪（1，＋∞）D.[－1，－]∪（0,1）8.已知符号函数sgn x＝则不等式（x＋1）sgn x>2的解集是（）A.（－3,1）B.（－∞，－3）∪（1，＋∞）C.（1，＋∞）D.（－∞，－3）9.设函数f（x）＝若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（）A.1B.2C.3D.410.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（）A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米11.已知g（x）＝ax＋a，f（x）＝对任意x1∈[－2,2]，存在x2∈[－2,2]，使g（x1）＝f（x2）成立，则a的取值范围是（）A.[－1，＋∞）B.[－，1]C.（0,1]D.（－∞，1]12.定义在R上的函数f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且x≥1时，f（x）＝＋1，则f（x）的解析式为________.13.已知函数f（x）＝（1）求f（f（f（5）））的值；（2）画出函数f（x）的图象.14.已知函数f（x）＝（1）求f，f，f（4.5），f；（2）若f（a）＝6，求a的值.15.已知实数a≠0，函数f（x）＝（1）若a＝－3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1－a）＝f（1＋a），求a的值.16.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图所示.则：（1）月通话为50分钟时，应交话费多少元；（2）求y与x之间的函数关系式.17.已知f（x）＝（1）画出f（x）的图象；（2）若f（x）＝，求x的值；（3）若f（x）≥，求x的取值范围.18.某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系式近似满足P＝商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式近似满足Q＝－t＋40（1≤t≤30，t∈N）.求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天.19.某工厂生产一批产品，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，产品的市场售价与上市时间的关系用如图（1）所示的一条折线表示；生产成本与上市时间的关系用如图（2）所示的抛物线表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t），写出图（2）表示的生产成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）认定市场售价减去生产成本为纯利益，则何时上市产品的纯收益最大？（注：市场售价和生产成本的单位：元/件，时间单位：天）20.已知函数f（x）＝（1）试比较f（f（－3））与f（f（3））的大小；（2）画出函数的图象；（3）若f（x）＝1，求x的值.专题13 分段函数问题题组4 分段函数1.函数f（x）＝的值域是（）A.RB.（0，2）∪（2，＋∞）C.（0，＋∞）D.[0，2]∪[3，＋∞）【答案】D【解析】画出函数f（x）的图象如图所示，由图可知f（x）的值域为[0，2]∪[3，＋∞）.2.设函数g（x）＝x2－2（x∈R），f（x）＝则f（x）的值域是（）A.[0，＋∞）B.[－，＋∞）C.[－，0]∪（1，＋∞）D.[－，0]∪（2，＋∞）【答案】D【解析】由题意，可知f（x）＝因此问题就等价于求二次函数在给定区间上的取值范围，∴若x∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），则f（x）∈（2，＋∞），若x∈[－1，2]，则f（x）∈[－，0]，∴f（x）的值域为[－，0]∪（2，＋∞）.3.已知f（x）＝则f（f（f（－2）））等于（）A.πB.0C.2D.π＋1【答案】D【解析】f（－2）＝0，f（0）＝π，f（π）＝π＋1.4.设f（x）＝则f（f（0））等于（）A.1B.0C.2D.－1【答案】C【解析】5.设函数f（x）＝若f＝4，则b等于（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】∵<1，∴f＝3×－b＝－b.若－b<1，即b>，则f＝3－b＝－4b<－≠4.若－b≥1，即b≤，则f＝2＝5－2b＝4，b＝.故选D.6.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（）A.x＝60tB.x＝60t＋50C.x＝D.x＝【答案】D【解析】由于在B地停留1小时期间，距离x不变，始终为150千米，故选D.7.已知函数f（x）＝则f（x）－f（－x）>－1的解集为（）A.（－∞，－1）∪（1，＋∞）B.[－1，－）∪（0，1]C.（－∞，0）∪（1，＋∞）D.[－1，－]∪（0，1）【答案】B【解析】①当－1≤x<0时，0<－x≤1，此时f（x）＝－x－1，f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，∴f（x）－f（－x）>－1化为－2x－2>－1，解得x<－，则－1≤x<－.②当0<x≤1时，－1≤－x<0，此时f（x）＝－x＋1，f（－x）＝－（－x）－1＝x－1，∴f（x）－f（－x）>－1化为－2x＋2>－1，解得x<，则0<x≤1.故所求不等式的解集为[－1，－）∪（0，1].8.已知符号函数sgn x＝则不等式（x＋1）sgn x>2的解集是（）A.（－3，1）B.（－∞，－3）∪（1，＋∞）C.（1，＋∞）D.（－∞，－3）【答案】B【解析】原不等式可化为或或（不成立，舍去），解得x>1或x<－3. 9.设函数f（x）＝若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2可得⇒当x≤0时，f（x）＝x⇔x2＋3x＋2＝0⇔x1＝－1，x2＝－2，有两个解，当x>0时，f（x）＝x显然有一个解x＝2，故选C.10.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（）A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米【答案】A【解析】该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13（立方米）.11.已知g（x）＝ax＋a，f（x）＝对任意x1∈[－2，2]，存在x2∈[－2，2]，使g（x1）＝f（x2）成立，则a的取值范围是（）A.[－1，＋∞）B.[－，1]C.（0，1]D.（－∞，1]【答案】B【解析】由题意知函数g（x）在区间[－2，2]上的值域是函数f（x）在区间[－2，2]上的值域的子集；因为当x∈[0，2]时，－1≤x2－1≤3，当x∈[－2，0）时，－4≤－x2<0，所以函数f（x）的值域是[－1，3]∪[－4，0）＝[－4，3]，所以解得－≤a≤1.12.定义在R上的函数f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且x≥1时，f（x）＝＋1，则f（x）的解析式为________.【答案】f（x）＝【解析】设x<1，则2－x>1，且f（x）＝f＝f（1－（x－1））＝f（2－x）＝＋1.∴f（x）＝13.已知函数f（x）＝（1）求f（f（f（5）））的值；（2）画出函数f（x）的图象.【答案】（1）因为5>4，所以f（5）＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f（f（5））＝f（－3）＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f（f（f（5）））＝f（1）＝12－2×1＝－1.（2）f（x）的图象如下：14.已知函数f（x）＝（1）求f，f，f（4.5），f；（2）若f（a）＝6，求a的值.【答案】（1）∵－∈（－∞，－1），∴f＝－2×＝3.∵∈[－1，1]，∴f＝2.又2∈（1，＋∞），∴f＝f（2）＝2×2＝4.∵4.5∈（1，＋∞），∴f（4.5）＝2×4.5＝9.（2）经观察可知a∉[－1，1]，否则f（a）＝2.若a∈（－∞，－1），令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；若a∈（1，＋∞），令2a＝6，得a＝3，符合题意.∴a的值为－3或3.15.已知实数a≠0，函数f（x）＝（1）若a＝－3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1－a）＝f（1＋a），求a的值.【答案】（1）若a＝－3，则f（x）＝所以f（10）＝－4，f（f（10））＝f（－4）＝－11.（2）当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2（1－a）＋a＝－（1＋a）－2a，解得a＝－，不符合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－，符合.综上可知，a＝－.16.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图所示.则：（1）月通话为50分钟时，应交话费多少元；（2）求y与x之间的函数关系式.【答案】（1）由题意可知当0＜x≤100时，设函数的解析式y＝kx，又因过点（100，40），得解析式为y ＝x，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y＝×50＝20元.（2）当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60. 则有解得所以解析式为y＝x＋20，故所求函数关系式为y＝17.已知f（x）＝（1）画出f（x）的图象；（2）若f（x）＝，求x的值；（3）若f（x）≥，求x的取值范围.【答案】（1）利用描点法，作出f（x）的图象，如图所示.（2）f（x）＝等价于①或②解①得x＝±，②解集为∅.∴当f（x）＝时，x＝±.（3）由于f＝，结合此函数图象可知，使f（x）≥的x的取值范围是∪.18.某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系式近似满足P＝商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式近似满足Q＝－t＋40（1≤t≤30，t∈N）.求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天.【答案】设日销售金额为y元，则y＝P·Q，所以y＝即y＝当1≤t≤24，t∈N时，t＝10，y max＝900；当25≤t≤30，t∈N时，t＝25，y max＝1 125.所以该商品日销售金额的最大值为1 125元，且在30天中的第25天销售金额最大.19.某工厂生产一批产品，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，产品的市场售价与上市时间的关系用如图（1）所示的一条折线表示；生产成本与上市时间的关系用如图（2）所示的抛物线表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t），写出图（2）表示的生产成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）认定市场售价减去生产成本为纯利益，则何时上市产品的纯收益最大？（注：市场售价和生产成本的单位：元/件，时间单位：天）【答案】（1）由图（1）可得f（t）＝g（t）＝（t－150）2＋100（0≤t≤300）.（2）设从2月1日起的第t天的纯收益为h（t），则h（t）＝f（t）－g（t）＝＝故h（x）在区间[0，200]上的最大值为h（50）＝100，在区间（200，300]上的最大值为h（300）＝87.5，由100>87.5可知，h（t）在[0，300]上的最大值为h（50）＝100，这时t＝50，即从2月1日起的第50天上市，产品的纯收益最大.20.已知函数f（x）＝（1）试比较f（f（－3））与f（f（3））的大小；（2）画出函数的图象；（3）若f（x）＝1，求x的值.【答案】（1）∵－3<1，∴f（－3）＝－2×（－3）＋1＝7，∵7>1，∴f（f（－3））＝f（7）＝72－2×7＝35，∵3>1，∴f（3）＝32－2×3＝3，∴f（f（3））＝3，∴f（f（－3））>f（f（3））.（2）函数图象如图所示：（3）由f（x）＝1的函数图象综合判断可知，当x∈（－∞，1）时，得f（x）＝－2x＋1＝1，解得x＝0；当x∈[1，＋∞）时，得f（x）＝x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－（舍去）.综上可知x的值为0或1＋.。
高中数学专题突破练习《等差数列前n项和及其性质》含详细答案解析
4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列前n项和及其性质基础过关练题组一求等差数列的前n项和1.已知等差数列{a n}满足a1=1,a m=99,d=2,则其前m项和S m等于()A.2300B.2400C.2600D.25002.在-20与40之间插入8个数,使这10个数成等差数列,则这10个数的和为()A.200B.100C.90D.703.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.634.(2020安徽合肥高三第一次教学质量检测)已知等差数列{a n}的前n 项和为S n,a1=-3,2a4+3a7=9,则S7等于()A.21B.1C.-42D.05.若数列{a n}为等差数列,S n为其前n项和,且a1=2a5-1,则S17等于()A.-17B.-172C.172D.176.(2019湖南师大附中高二上期中)在等差数列{a n}中,若a5,a7是方程x2-2x-6=0的两个根,则数列{a n}的前11项的和为()A.22B.-33C.-11D.117.已知等差数列{a n}.(1)若a6=10,a8=16,求S5;(2)若a2+a4=48,求S5.5题组二等差数列前n项和的性质8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()A.63B.45C.36D.279.在等差数列{a n}中,S n是其前n项和,且S2011=S2018,S k=S2008,则正整数k为()A.2019B.2020C.2021D.202210.含2n+1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.2n+1n B.n+1nC.n-1n D.n+12n11.已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若S nT n =3n2n+5,则a8b8=()A.87B.4837C.97D.1213题组三等差数列前n项和的应用12.数列{a n}为等差数列,它的前n项和为S n,若S n=(n+1)2+λ,则λ的值是()A.-2B.-1C.0D.113.(2020山东济南一中高二上期中)已知等差数列{a n}的前9项和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.9714.(2020山东青岛高二上期末)已知数列{a n}的前n项和为S n,若a n+1=a n+2,S5=25,n∈N*,则a5=()A.7B.5C.9D.315.(2020天津一中高二上期中)已知等差数列前3项的和为34,后3项的和为146,所有项的和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.1016.若数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n(n∈N*),则a1+a7等于()A.11B.15C.17D.2217.(2019湖南怀化三中高二上期中)已知{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,S n是其前n项和,且S5=5,S6=-3.求数列{a n}的通项公式及S n.能力提升练题组一求等差数列的前n项和1.(2020湖南郴州高二上期中,)已知数列{a n}是等差数列且a n>0,设其前n项和为S n.若a1+a9=a52,则S9=()A.36B.18C.27D.92.(2020江西九江一中高二上期中,)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a7+a12=30,则S13等于()A.130B.65C.70D.753.(2019湖北黄冈高一下期末,)如图,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n≥2,n∈N*)个点,相应的图案中点的总数记为a n,则a2+a3+a4+…+a n等于()A.3n 22B.n(n+1)2C.3n(n-1)2D.n(n-1)24.(2020安徽阜阳高二上期末,)已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,对任意正整数n,a n+2-a n=2+cos nπ,S n为{a n}的前n项和,则S100=.题组二等差数列前n项和的性质5.()已知数列{a n},{b n}均为等差数列,其前n项和分别记为A n,B n,满足A nB n =4n+12n+3,则a5b7的值为(深度解析)A.2117B.3729C.5329D.41316.()设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S m=-2,S m+1=0,S m+2=3,则m=.7.(2019河北沧州一中高二期中,)在等差数列{a n}中,前m(m为奇数)项的和为135,其中偶数项之和为63,且a m-a1=14,则a100=.题组三等差数列前n项和的应用8.(2020河北正定中学高二期末,)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a5a3=59,则S9S5等于()A.1B.-1C.2D.129.(2019陕西西安一中高二上月考,)设S n(S n≠0,n∈N*)是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n·S n+1,则S n等于()A.nB.-nC.1n D.-1n10.()若数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+2(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a10|等于()A.15B.35C.66D.10011.(2020天津耀华中学高二上期中,)数列{a n}满足a n=1+2+3+…+nn (n∈N*),则数列{1a n a n+1}的前n项和为()A.nn+2B.2nn+2C.nn+1D.2nn+112.()已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1(n∈N*),则a1+a3+a5+…+a25=.13.()已知等差数列的前三项依次为a,3,5a,前n项和为S n,且S k=121.(1)求a及k的值;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=S nn,求{b n}的前n项和T n.14.()在数列{a n}中,a1=8,a4=2,且满足a n+2-2a n+1+a n=0(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|,求T n.深度解析答案全解全析 基础过关练1.D 解法一:由a m =a 1+(m-1)d,得99=1+(m-1)×2,解得m=50, 所以S m =S 50=50×1+50×492×2=2 500.解法二:同解法一,得m=50, 所以S m =S 50=50(a 1+a 50)2=50×(1+99)2=2 500.故选D.2.B 设该等差数列为{a n },其前n 项和为S n ,则由题意可知,a 1=-20,a 10=40,所以S 10=10×(-20+40)2=100.3.C 由题意得,S 7=7(a 1+a 7)2=7(a 2+a 6)2=7×(3+11)2=49. 4.D 设等差数列{a n }的公差为d,则2a 4+3a 7=2(-3+3d)+3(-3+6d)=9,解得d=1,∴S 7=7a 1+7×62×d=7×(-3)+7×3×1=0,故选D.5.D 设等差数列{a n }的公差为d,∵a 1=2a 5-1,∴a 1=2(a 1+4d)-1,∴a 1+8d=1,即a 9=1,∴S 17=17×(a 1+a 17)2=17a 9=17.故选D.6.D 在等差数列{a n }中,若a 5,a 7是方程x 2-2x-6=0的两个根,则a 5+a 7=2, ∴a 6=12(a 5+a 7)=1,∴数列{a n }的前11项的和为11×(a 1+a 11)2=11a 6=11×1=11.故选D.7.解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. (1)∵a 6=10,a 8=16,∴{a 1+5d =10,a 1+7d =16,解得{a 1=-5,d =3. ∴S 5=5a 1+5×42d=5.(2)解法一:∵a 2+a 4=a 1+d+a 1+3d=485,∴a 1+2d=245.∴S 5=5a 1+5×42d=5a 1+10d=5(a 1+2d)=5×245=24.解法二:∵a 2+a 4=a 1+a 5,∴a 1+a 5=485, ∴S 5=5(a 1+a 5)2=52×485=24.8.B 由等差数列前n 项和的性质可知,S 3,S 6-S 3,S 9-S 6构成等差数列,所以S 3+(S 9-S 6)=2(S 6-S 3),即S 9=3S 6-3S 3,又S 3=9,S 6=36,所以S 9=3×36-3×9=81,所以a 7+a 8+a 9=S 9-S 6=81-36=45.9.C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S 2 011=S 2 018,S k =S 2 008,可得2 011+2 0182=2 008+k2,解得k=2 021,故选C.10.B 设该等差数列为{a n },其首项为a 1,前n 项和为S n ,则S 奇=(n+1)(a 1+a 2n+1)2,S 偶=n(a 2+a 2n )2,∵a 1+a 2n+1=a 2+a 2n ,∴S 奇S 偶=n+1n.11.C 由等差数列的性质知a 8b 8=15(a 1+a 15)215(b 1+b 15)2=S 15T 15=3×152×15+5=4535=97.故选C.12.B ∵等差数列前n 项和S n 的形式为S n =An 2+Bn(A,B 为常数),且S n =(n+1)2+λ=n 2+2n+1+λ,∴λ=-1.13.C 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由等差数列{a n }的前9项和为27,a 10=8,得{9a 1+9×82d =9a 1+36d =27,a 1+(10-1)d =a 1+9d =8,解得{a 1=-1,d =1.故a 100=a 1+99d=98.故选C.14.C ∵a n+1=a n +2,即a n+1-a n =2,∴{a n }是公差为2的等差数列,设其首项为a 1, 则S 5=5a 1+5×42×2=25,解得a 1=1,∴a 5=1+(5-1)×2=9.15.A 设该等差数列为{a n },其前n 项和为S n .由题意得,a 1+a 2+a 3=34,a n-2+a n-1+a n =146,∴(a 1+a 2+a 3)+(a n-2+a n-1+a n )=(a 1+a n )+(a 2+a n-1)+(a 3+a n-2)=3(a 1+a n )=34+146,∴a 1+a n =60. 又S n =n(a 1+a n )2,∴390=n×602,解得n=13,故选A.16.D 由S n =2n 2-3n(n ∈N *)可知,数列{a n }为等差数列,所以S 7=7×(a 1+a 7)2=2×72-3×7,解得a 1+a 7=22,故选D.17.解析 由S 5=5,S 6=-3,得{5a 1+5×42d =5,6a 1+6×52d =-3,解得{a 1=7,d =-3, ∴a n =7+(n-1)×(-3)=-3n+10(n ∈N *),S n =n[7+(-3n+10)]2=-32n 2+172n(n ∈N *).能力提升练1.B 由a 1+a 9=a 52得,2a 5=a 52,又a n >0,∴a 5=2,∴S 9=9(a 1+a 9)2=9×2a 52=18,故选B.2.A 解法一:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,则a 2+a 7+a 12=(a 1+d)+(a 1+6d)+(a 1+11d)=3a 1+18d=30,∴a 1+6d=10. ∴S 13=13a 1+13×122d=13(a 1+6d)=13×10=130,故选A.解法二:设等差数列{a n }的首项为a 1,∵a 2+a 7+a 12=30,∴3a 7 =30,即a 7 =10,∴S 13=13(a 1+a 13)2=13×2a 72=13a 7=130.故选A.3.C 由题图可知,a 2=3,a 3=6,a 4=9,a 5=12,依此类推,n 每增加1,图案中的点数增加3,所以相应图案中的点数构成首项为a 2=3,公差为3的等差数列,所以a n =3+(n-2)×3=3n-3,n ≥2,n ∈N *, 所以a 2+a 3+a 4+…+a n =(n -1)(3+3n -3)2=3n(n -1)2.故选C.4.答案 5 050解析 当n 为奇数时,a n+2-a n =1,即数列{a n }的奇数项是以1为首项,1为公差的等差数列;当n 为偶数时,a n+2-a n =3,即数列{a n }的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列,所以S 100=(a 1+a 3+…+a 99)+(a 2+a 4+…+a 100)=(50×1+50×492)+50×2+50×492×3=5 050.5.B 由等差数列前n 项和的特征及An B n =4n+12n+3,可设A n =kn(4n+1),B n =kn(2n+3). ∴a 5=A 5-A 4=5×(4×5+1)k-4×(4×4+1)k=37k,b 7=B 7-B 6=7×(2×7+3)k-6×(2×6+3)k=29k. ∴a5b 7=37k 29k =3729.故选B.解题模板易错警示 等差数列{a n }的前n 项和的表示形式为S n =an 2+bn(a,b 为常数),解题时可采用这种形式简化运算.本题要注意A n B n中有比例系数k,防止遗漏导致错误. 6.答案 4解析 因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和,所以数列{Sn n }是等差数列,所以Sm m +S m+2m+2=2S m+1m+1,即-2m +3m+2=0,解得m=4.7.答案 101解析 设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,由题意可知,S m =135,前m 项中偶数项之和S 偶=63,∴S 奇=135-63=72,∴S 奇-S 偶=a 1+(m -1)d 2=2a 1+(m -1)d 2=a 1+a m2=72-63=9.∵S m =m(a 1+a m )2=135,∴m=15,又∵a m -a 1=14,a m =a 1+(m-1)d, ∴a 1=2,d=a m -a 1m -1=14m -1=1,∴a 100=a 1+99d=101. 8.AS 9S 5=92(a 1+a 9)52(a 1+a 5)=92×2a 552×2a 3=9a 55a 3=95·a 5a 3=1.故选A.9.D ∵a n+1=S n+1-S n ,∴S n+1-S n =S n+1·S n , 又∵S n ≠0,∴1S n+1-1S n=-1.又S 1=a 1=-1,∴1S 1=-1,∴数列{1Sn}是以-1为首项,-1为公差的等差数列,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n =-1n.故选D.10.C 由S n =n 2-4n+2①得,当n=1时,a 1=S 1=1-4+2=-1,当n ≥2时,S n-1=(n-1)2-4(n-1)+2②,①-②得,a n =2n-5(n ≥2,n ∈N *),经检验,当n=1时,不符合a n =2n-5,∴a n ={-1,n =1,2n -5,n ≥2,n ∈N *.∴|a 1|=1,|a 2|=1,a 3=1,令a n >0,则2n-5>0, ∴n ≥3.∴|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=1+1+a 3+…+a 10=2+(S 10-S 2)=2+[(102-4×10+2)-(22-4×2+2)]=66.故选C. 11.B 依题意得,a n =n(1+n)2n=n+12, ∴1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1-1n+2).∴1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n+1=4(12-13)+(13-14)+…+1n+1-1n+2=4(12-1n+2)=2nn+2,故选B. 12.答案 350解析 当n=1时,a 1=S 1=12+2×1-1=2; 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n+1, 经检验,当n=1时,不符合上式, ∴a n ={2,n =1,2n +1,n ≥2,n ∈N *,因此{a n }除第1项外,其余项构成以a 2=5为首项,2为公差的等差数列,从而a 3,a 5,…,a 25是以a 3=7为首项,4为公差的等差数列, ∴a 1+a 3+a 5+…+a 25 =a 1+(12a 3+12×112×4)=350.13.解析 (1)设该等差数列为{a n },首项为a 1,公差为d,则a 1=a,a 2=3,a 3=5a. 由已知得a+5a=6,得a=1, ∴a 1=1,a 2=3,a 3=5, ∴d=2,∴S k=ka1+k(k-1)2·d=k+k(k-1)2×2=k2.由S k=k2=121,得k=11(负值舍去).∴a=1,k=11.(2)由(1)得S n=n2,则b n=S nn=n,∴b n+1-b n=1,又b1=S11=1,∴数列{b n}是首项为1,公差为1的等差数列,∴T n=n 2+n 2.14.解析(1)∵a n+2-2a n+1+a n=0,∴a n+2-a n+1=a n+1-a n,∴数列{a n}是等差数列,设其公差为d,∵a1=8,a4=2,∴d=a4-a14-1=-2,∴a n=a1+(n-1)d=10-2n,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,则由(1)可得,S n=8n+n(n-1)2×(-2)=9n-n2,n∈N*.由(1)知a n=10-2n,令a n=0,得n=5.∴当n>5时,a n<0,则T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+a n)=S5-(S n-S5)=2S5-S n=2×(9×5-25)-(9n-n2)=n2-9n+40;当n ≤5时,a n ≥0, 则T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =a 1+a 2+…+a n =9n-n 2.∴T n ={9n -n 2,n ≤5,n ∈N *,n 2-9n +40,n ≥6,n ∈N *.解题反思 求数列{|a n |}的前n 项和,关键在于分清哪些项为非负的,哪些项为负的,最终应化为去掉绝对值符号后的数列进行求和. 如果数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |,那么有: (1)若a 1>0,d<0,则存在k ∈N *,使得a k ≥0,a k+1<0, 从而有T n ={S n (n ≤k),2S k -S n (n >k);(2)若a 1<0,d>0,则存在k ∈N *,使得a k ≤0,a k+1>0, 从而有T n ={-S n (n ≤k),S n -2S k (n >k).。
2022-2023学年度高考数学专题突破《数列通项公式的多种妙解方式》含十六大经典题型附答案解析
数列通项公式的多种妙解方式经典题型一：观察法经典题型二：叠加法经典题型三：叠乘法经典题型四：待定系数法经典题型五：同除以指数经典题型六：取倒数法经典题型七：取对数法经典题型八：已知通项公式a n 与前n 项的和S n 关系求通项问题经典题型九：周期数列经典题型十：前n 项积型经典题型十一：“和”型求通项经典题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型经典题型十三：因式分解型求通项经典题型十四：其他几类特殊数列求通项经典题型十五：双数列问题经典题型十六：通过递推关系求通项(2022·全国·高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知a 1=1,S n a n 是公差为13的等差数列．(1)求a n 的通项公式；(2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．【解析】(1)∵a 1=1，∴S 1=a 1=1,∴S 1a 1=1,又∵S n a n 是公差为13的等差数列，∴S n a n =1+13n -1 =n +23,∴S n =n +2 a n 3,∴当n ≥2时，S n -1=n +1 a n -13，∴a n =S n -S n -1=n +2 a n 3-n +1 a n -13,整理得：n -1 a n =n +1 a n -1,即a n a n -1=n +1n -1,∴a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×⋯×a n -1a n -2×a n a n -1=1×31×42×⋯×n n -2×n +1n -1=n n +1 2，显然对于n =1也成立，∴a n 的通项公式a n =n n +1 2；(2)1a n =2n n +1 =21n -1n +1 , ∴1a 1+1a 2+⋯+1a n=21-12 +12-13 +⋯1n -1n +1 =21-1n+1<2(2022·全国·高考真题(理))记S n为数列a n的前n项和．已知2S nn+n=2a n+1．(1)证明：a n是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求S n的最小值．【解析】(1)因为2S nn+n=2a n+1，即2S n+n2=2na n+n①，当n≥2时，2S n-1+n-12=2n-1a n-1+n-1②，①-②得，2S n+n2-2S n-1-n-12=2na n+n-2n-1a n-1-n-1，即2a n+2n-1= 2na n-2n-1a n-1+1，即2n-1a n-2n-1a n-1=2n-1，所以a n-a n-1=1，n≥2且n∈N*，所以a n是以1为公差的等差数列．(2)由(1)可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4⋅a9，即a1+62=a1+3⋅a1+8，解得a1=-12，所以a n=n-13，所以S n=-12n+nn-12=12n2-252n=12n-2522-6258，所以，当n=12或n=13时S n min=-78．类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．类型Ⅱ公式法：若已知数列的前项和与a n的关系，求数列a n的通项a n可用公式a n=S1,(n=1)S n-S n-1,(n≥2)构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和a n合为一个表达，(要先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一)．类型Ⅲ累加法：形如a n+1=a n+f(n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)可构造：a n-a n-1=f(n-1)a n-1-a n-2=f(n-2)...a2-a1=f(1)将上述m2个式子两边分别相加，可得：a n=f(n-1)+f(n-2)+...f(2)+f(1)+a1,(n≥2)①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和．类型Ⅳ累乘法：形如a n +1=a n ⋅f (n )a n +1a n=f (n )型的递推数列(其中f (n )是关于n 的函数)可构造：a n a n -1=f (n -1)a n -1a n -2=f (n -2)...a 2a 1=f (1)将上述m 2个式子两边分别相乘，可得：a n =f (n -1)⋅f (n -2)⋅...⋅f (2)f (1)a 1,(n ≥2)有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．类型Ⅴ构造数列法：(一)形如a n +1=pa n +q (其中p ,q 均为常数且p ≠0)型的递推式：(1)若p =1时，数列{a n }为等差数列；(2)若q =0时，数列{a n }为等比数列；(3)若p ≠1且q ≠0时，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设a n +1+λ=p (a n +λ)，展开移项整理得a n +1=pa n +(p -1)λ，与题设a n +1=pa n +q 比较系数(待定系数法)得λ=q p -1,(p ≠0)⇒a n +1+q p -1=p a n +q p -1 ⇒a n +q p -1=p a n -1+qp -1 ，即a n +q p -1 构成以a 1+qp -1为首项，以p 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出a n +qp -1 的通项整理可得a n .法二：由a n +1=pa n +q 得a n =pa n -1+q (n ≥2)两式相减并整理得a n +1-a na n -a n -1=p ,即a n +1-a n 构成以a 2-a 1为首项，以p 为公比的等比数列．求出a n +1-a n 的通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便可求出a n .(二)形如a n +1=pa n +f (n )(p ≠1)型的递推式：(1)当f (n )为一次函数类型(即等差数列)时：法一：设a n +An +B =p a n -1+A (n -1)+B ，通过待定系数法确定A 、B 的值，转化成以a 1+A +B 为首项，以A m n =n ！n -m !为公比的等比数列a n +An +B ，再利用等比数列的通项公式求出a n +An +B 的通项整理可得a n .法二：当f (n )的公差为d 时，由递推式得：a n +1=pa n +f (n )，a n =pa n -1+f (n -1)两式相减得：a n +1-a n =p (a n -a n -1)+d ，令b n =a n +1-a n 得：b n =pb n -1+d 转化为类型Ⅴ㈠求出 b n ，再用类型Ⅲ(累加法)便可求出a n .(2)当f (n )为指数函数类型(即等比数列)时：法一：设a n +λf (n )=p a n -1+λf (n -1) ，通过待定系数法确定λ的值，转化成以a 1+λf (1)为首项，以A m n =n ！n -m !为公比的等比数列a n +λf (n ) ，再利用等比数列的通项公式求出a n +λf (n ) 的通项整理可得a n .法二：当f (n )的公比为q 时，由递推式得：a n +1=pa n +f (n )--①，a n =pa n -1+f (n -1)，两边同时乘以q 得a n q =pqa n -1+qf (n -1)--②，由①②两式相减得a n +1-a n q =p (a n -qa n -1)，即a n +1-qa na n -qa n -1=p ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a n .法三：递推公式为a n +1=pa n +q n (其中p ，q 均为常数)或a n +1=pa n +rq n (其中p ，q ， r 均为常数)时，要先在原递推公式两边同时除以q n +1，得：a n +1q n +1=p q ⋅a n q n +1q ，引入辅助数列b n (其中b n=a n q n)，得：b n +1=p q b n +1q 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．(3)当f (n )为任意数列时，可用通法：在a n +1=pa n +f (n )两边同时除以p n +1可得到a n +1p n +1=a n p n +f (n )p n +1，令an p n =b n ，则b n +1=b n +f (n )pn +1，在转化为类型Ⅲ(累加法)，求出b n 之后得a n =p n b n ．类型Ⅵ对数变换法：形如a n +1=pa q (p >0,a n >0)型的递推式：在原递推式a n +1=pa q 两边取对数得lg a n +1=q lg a n +lg p ，令b n =lg a n 得：b n +1=qb n +lg p ，化归为a n +1=pa n +q 型，求出b n 之后得a n =10b n.(注意：底数不一定要取10，可根据题意选择)．类型Ⅶ倒数变换法：形如a n -1-a n =pa n -1a n (p 为常数且p ≠0)的递推式：两边同除于a n -1a n ，转化为1a n =1a n -1+p 形式，化归为a n +1=pa n +q 型求出1a n的表达式，再求a n ；还有形如a n +1=ma n pa n +q 的递推式，也可采用取倒数方法转化成1a n +1=m q 1a n +mp形式，化归为a n +1=pa n +q 型求出1a n的表达式，再求a n ．类型Ⅷ形如a n +2=pa n +1+qa n 型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列{a n -a n -1}的形式求解．方法为：设a n +2-ka n +1=h (a n +1-ka n )，比较系数得h +k =p ,-hk =q ，可解得h 、k ，于是{a n +1-ka n }是公比为h 的等比数列，这样就化归为a n +1=pa n +q 型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式a n .(1)若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n =S 1，n =1S n -S n -1，n ≥2，n ∈N ∗注意：根据S n 求a n 时，不要忽视对n =1的验证．(2)在数列{a n }中，若a n 最大，则a n ≥a n -1a n ≥a n +1 ，若a n 最小，则a n≤a n -1a n ≤a n +1 .经典题型一：观察法1.(2022·全国·高三专题练习)数列a n 的前4项为：12,15,18,111，则它的一个通项公式是( )A.12n -1B.12n +1C.13n -1D.13n +1【答案】C【解析】将12,15,18,111可以写成13×1-1,13×2-1,13×3-1,13×4-1，所以a n 的通项公式为13n -1；故选:C2.(2022·全国·高三专题练习(文))如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为( )A.2nB.2n -1C.2n +2D.2n +1【答案】B【解析】依题意，每一行第一个数依次排成一列为：1，3，5，7，9，⋯，它们成等差数列，通项为2n -1，所以第n 行的首尾两个数均为2n -1.故选：B3.(2022·全国·高三专题练习)“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形(图①)的边长为1，则第5个图形的周长为___________.【答案】25627【解析】由题意知下一个图形的边长是上一个图形边长的13，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为b n =13⋅4⋅b n -1=43b n -1，所以{b n }是公比为q =43的等比数列，而首项b 1=3，所以b n =3⋅43n -1，当n =5时，“雪花”状多边形的周长为b 5=25627.故答案为：25627经典题型二：叠加法4.(2022·全国·高三专题练习)在数列{a n }中，已知a 1=1p ，a n +1=a n na n +1，p >0,n ∈N *.若p =1，求数列{a n }的通项公式.【解析】由题意，a n +1=a n na n +1 ，得：1a n +1-1a n=n ，运用累加法：1a 2-1a 1+1a 3-1a 2+⋯+1a n -1a n -1=1+2+⋯+n -1=n n -1 2，n ≥2∴1a n -1a 1=n n -1 2，即1a n =n n -1 2+p ，n ≥2 ，当p =1时，a n =2n 2-n +2，n ≥2 ，当n =1时，a n =1成立，所以a n =2n 2-n +25.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a n +1n +1-a n n =1n n +1n ∈N *，且a 1=1，求数列a n 的通项公式；【解析】因为a n +1n +1-a n n =1n n +1=1n -1n +1，所以a n n -a n -1n -1=1n -1-1n n ≥2 ，a n -1n -1-a n -2n -2=1n -2-1n -1，⋯a 22-a 11=1-12，所以累加可得a n n -a 1=1-1nn ≥2 ．又a 1=1，所以a n n =2n -1n，所以a n =2n -1n ≥2 ．经检验，a 1=1，也符合上式，所以a n =2n -1．6.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 中，a 1=1中，a n +1=a n +n (n ∈N *)中，则a 4=________，a n =________.【答案】 7n 2-n +22【解析】依题意，n ∈N *，n ≥2，a n -a n -1=n -1，而a 1=1，则a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+⋯+(a n -a n -1)=1+1+2+⋯+(n -1)=1+1+n -12⋅n -1 =n 2-n +22，而a 1=1满足上式，所以a n =n 2-n +22，a 4=42-4+22=7.故答案为：7；n 2-n +22经典题型三：叠乘法7.(2022·全国·高三专题练习)在数列a n 中，a n +1=nn +2a n (n ∈N *)，且a 1=4，则数列a n 的通项公式a n =________.【答案】8n n +1【解析】由a n +1=n n +2a n ，得a n +1a n =nn +2，则a 2a 1=13，a 3a 2=24，a 4a 3=35，⋮a n a n -1=n -1n +1n ≥2 ，累乘得a n a 1=13×24×35×⋯×n -3n -1×n -2n ×n -1n +1=2n n +1，所以a n =8n n +1.故答案为：8n n +1 .8.(2022·全国·高三专题练习)设a n 是首项为1的正项数列，且(n +2)a n +12-na n 2+2a n +1a n =0(n ∈N *)，求通项公式a n =___________【答案】2n (n +1)【解析】由(n +2)a n +12-na n 2+2a n +1a n =0(n ∈N *)，得[(n +2)a n +1-na n ](a n +1+a n )=0，∵a n >0，∴a n +1+a n >0，∴(n +2)a n +1-na n =0 ，∴a n +1a n =nn +2，∴a n =a 1⋅a 2a 1⋅a 3a 2⋅a 4a 3⋅⋅⋅⋅⋅a n a n -1=1×13×24×35×⋅⋅⋅×n -2n ×n -1n +1=2n (n +1)(n ≥2)，又a 1=1满足上式，∴a n =2n (n +1).故答案为：2n (n +1).9.(2022·全国·高三专题练习)数列a n 满足：a 1=23，2n +2-1 a n +1=2n +1-2 a n n ∈N * ，则a n 的通项公式为_____________.【答案】a n =2n2n -1 2n +1-1【解析】由2n +2-1 a n +1=2n +1-2 a n 得，a n +1a n =2n +1-22n +2-1=2⋅2n -12n +2-1，则a n a n -1⋅a n -1a n -2⋅a n -2a n -3⋅⋅⋅a 2a 1=2⋅2n -1-12n +1-1⋅2⋅2n -2-12n -1⋅2⋅2n -3-12n -1-1⋅⋅⋅2⋅21-123-1=2n -1⋅32n +1-1 2n -1，即a n a 1=3⋅2n -12n -1 2n +1-1 ，又a 1=23，所以a n =2n 2n -1 2n +1-1.故答案为：a n =2n2n -1 2n +1-1.经典题型四：待定系数法10.(多选题)(2022·广东惠州·高三阶段练习)数列a n 的首项为1，且a n +1=2a n +1，S n 是数列a n 的前n 项和，则下列结论正确的是( )A.a 3=7 B.数列a n +1 是等比数列C.a n =2n -1 D.S n =2n +1-n -1【答案】AB【解析】∵a n +1=2a n +1，可得a n +1+1=2a n +1 ，又a 1+1=2∴数列a n +1 是以2为首项，2为公比的等比数列，故B 正确；则a n +1=2n ，∴a n =2n -1，故C 错误；则a 3=7，故A 正确；∴S n =21-2n1-2-n =2n +1-n -2，故D 错误.故选：AB .11.(2022·河南安阳·三模(文))已知数列a n 满足a n +1=2a n +12，且前8项和为506，则a 1=___________.【答案】32【解析】由题意得：∵a n +1=2a n +12∴a n +1+12=2a n +12 ，即a n +1+12a n +12=2∴数列a n +12 是以a 1+12为首项，2为公比的等比数列，记数列a n +12 的前n 项和为T n T 8=a 1+12 (1-28)1-2=a 1+12+a 2+12+a 3+12+⋯+a 8+12=(a 1+a 2+a 3+⋯a 8)+12×8=506+4=510解得：a 1=32故答案为：3212.(2022·河北衡水·高三阶段练习)已知数列a n 的前n 项和为S n ，且满足2S n +n =3a n ，n ∈N *．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =a 2n ，求数列b n 的前10项和T 10．【解析】(1)当n =1时，2S 1+1=3a 1，即2a 1+1=3a 1，解得a 1=1；当n ≥2时，∵2S n +n =3a n ，∴2S n -1+n -1=3a n -1，两式作差得2a n +1=3a n -3a n -1，即a n =3a n -1+1,a n +12=3a n -1+12，∴a n +12a n -1+12=3，又a 1+12=32，∴数列a n +12 是以32为首项，3为公比的等比数列，∴a n +12=32×3n -1=3n 2，a n =3n 2-12=123n -1 .(2)∵b n =a 2n ，则T 10=b 1+b 2+b 3+⋯+b 10=a 2+a 4+⋯+a 20=1232-1 +34-1 +⋯+320-1=1232+34+⋯+320 -10=12321-910 1-9-10 =911-8916．13.(2022·全国·高三专题练习)设数列a n 满足a 1=2，a n -2a n -1=2-n n ∈N * ．(1)求证：a n -n 为等比数列，并求a n 的通项公式；(2)若b n =a n -n ⋅n ，求数列b n 的前n 项和T n ．【解析】(1)因为a 1=2，a n -2a n -1=2-n n ∈N * ，所以a n =2a n -1+2-n ，即a n -n =2a n -1-n -1又a 1-1=2-1=1，所以a n -n 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n -n =1×2n -1，所以a n =2n -1+n (2)由(1)可得b n =a n -n ⋅n =n ×2n -1，所以T n =1×20+2×21+3×22+⋯+n ×2n -1①，所以2T n =1×21+2×22+3×23+⋯+n ×2n ②，①-②得-T n =1+1×21+1×22+1×23+⋯+1×2n -1-n ×2n即-T n =1-2n1-2-n ×2n ，所以T n =n -1 ×2n +1；14.(2022·全国·高三专题练习)在数列a n 中，a 1=5，且a n +1=2a n -1n ∈N * .(1)证明：a n -1 为等比数列，并求a n 的通项公式；(2)令b n =(-1)n ⋅a n ，求数列b n 的前n 项和S n .【解析】(1)因为a n +1=2a n -1，所以a n +1-1=2a n -1 ，又a 1-1=4，所以a n +1-1a n -1=2，所以a n -1 是以4为首项，2为公比的等比数列.故a n -1=4×2n -1，即a n =2n +1+1.(2)由(1)得b n =(-1)n⋅2n +1+1 ，则b n =2n +1+1,n =2k ,k ∈N *-2n +1+1 ,n =2k -1,k ∈N* ，①当n =2k ,k ∈N *时，S n =-22-1 +23+1 -24+1 +⋯+-2n -1 +2n +1+1 =-22+23-24+25+⋯-2n +2n +1=22+24+⋯+2n =432n -1 ;②当n =2k -1,k ∈N *时，S n =S n +1-b n +1=432n +1-1 -2n +2+1 =-2n +2+73，综上所述，S n =432n -1 ,n =2k ,k ∈N*-2n +2+73,n =2k -1,k ∈N *经典题型五：同除以指数15.(2022·广东·模拟预测)已知数列a n 中，a 1=5且a n =2a n -1+2n -1n ≥2,n ∈N ∗ ，b n =a n -1n +1(1)求证：数列b n 是等比数列；(2)从条件①n +b n ，②n ⋅b n 中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答．求数列______的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】(1)因为a 1=5且a n =2a n -1+2n -1n ≥2,n ∈N ∗ ，所以当n ≥2时，a n -1=2a n -1-1 +2n ，所以a n -12n =a n -1-12n -1+1，即a n -12n -a n -1-12n -1=1所以a n -12n 是以a 1-12=2为首项，1为公差的等差数列，所以a n -12n =2+n -1 ×1=n +1，所以a n =n +1 2n+1，b n =a n -1n +1=n +1 2n+1-1n +1=2n因为b 1=a 1-11+1=2，n ≥2时，b n b n -1=2n 2n -1=2所以数列b n 是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)选①：因为b n =2n ，所以n +b n =n +2n ，则T n =(1+2)+2+22 +3+23 +⋅⋅⋅+n +2n=1+2+3+⋅⋅⋅+n +2+22+23+⋅⋅⋅+2n=12n n +1 +21-2n 1-2=n 22+n2+2n +1-2选②：因为b n =2n ，所以nb n =n ⋅2n，则T n =1×21+2×22+⋅⋅⋅+n ×2n (i )2T n =1×22+2×23+⋅⋅⋅+n ×2n +1(ii )(i )-(ii )得-T n =1×21+22+23+⋅⋅⋅+2n -n ×2n +1T n =n ×2n +1-21-2n 1-2=n ×2n +1-2n +1+2=n -1 2n +1+216.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n +3n ，求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=2a n +3n 两边同除以3n +1得a n +13n +1=23⋅a n 3n +13，令b n =a n 3n ，则b n +1=23b n +13，设b n +1+λ=23(b n +λ)，解得λ=-1，b n +1-1=23(b n -1)，而b 1-1=-23，∴数列{b n -1}是以-23为首项，23为公比的等比数列，b n -1=-23 n ，得a n =3n -2n17.(2022·全国·高三专题练习)在数列a n 中，a 1=1，S n +1=4a n +2，则a 2019的值为( )A.757×22020B.757×22019C.757×22018D.无法确定【答案】A【解析】∵a 1=1，S n +1=4a n +2，∴S 2=a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5.∵S n +1=4a n +2，∴S n +2=4a n +1+2，两式相减得，a n +2=4a n +1-4a n ，∴a n +2-2a n +1=2a n +1-2a n ，∴a n +1-2a n 是以a 2-2a 1=3为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1-2a n =3×2n -1，两边同除以2n +1，则a n +12n +1-a n 2n=34，∴a n 2n 是以34为公差，a 121=12为首项的等差数列，∴a n 2n =12+n -1 ×34=3n -14，∴a n =3n -14×2n =3n -1 ×2n -2，∴a 2019=3×2019-1 ×22017=757×22020.故选：A .经典题型六：取倒数法18.(2022·全国·高三竞赛)数列a n 满足a 1=p ，a n +1=a 2n +2a n ．则通项a n =______．【答案】p +1 2n -1-1【解析】∵a n =a 2n -1+2a n -1，∴a n +1=a n -1+1 2=a n -2+1 22=⋯=a 1+1 2n -1=p +1 2n -1．即a n =p +1 2n -1-1．故答案为p +1 2n -1-119.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=12，且a n +1=a n 3a n +1，则数列a n =__________【答案】13n -1【解析】由a n +1=a n 3a n +1两边取倒数可得1a n +1=1a n +3，即1a n +1-1a n=3所以数列1a n 是等差数列，且首项为2，公差为3，所以1a n=3n -1，所以a n =13n -1；故答案为：13n -120.(2022·全国·高三专题练习)数列a n 满足a n +1=a n 1+2a nn ∈N ∗，a 1=1，则下列结论错误的是( )A.2a 10=1a 3+1a 17B.21an是等比数列C.2n -1 a n =1D.3a 5a 17=a 49【答案】D 【解析】由a n +1=a n 1+2a n ，且a 1=1，则a 2=a 12a 1+1>0，a 3=a 21+2a 2>0，⋯，以此类推可知，对任意的n ∈N ∗，a n >0，所以，1a n +1=1+2a n a n =1a n +2，所以1a n +1-1a n =2，且1a 1=1，所以，数列1a n 是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，所以，1a n =1+2n -1 =2n -1，则2n -1 a n =1，其中n ∈N ∗，C 对；21a n +121a n=21an +1-1a n=22=4，所以，数列21an是等比数列，B 对；由等差中项的性质可得2a 10=1a 3+1a 17，A 对；由上可知a n =12n -1，则3a 5a 17=3×12×5-1×12×17-1=199，a 49=12×49-1=197，所以，3a 5a 17≠a 49，D 错.故选：D .21.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=a n 4a n +1，(n ∈N *)，则满足a n >137的n 的最大取值为( )A.7 B.8C.9D.10【答案】C【解析】因为a n +1=a n 4a n +1，所以1a n +1=4+1a n ，所以1a n +1-1a n =4，又1a 1=1，数列1a n是以1为首项，4为公差的等差数列．所以1a n =1+4(n -1)=4n -3，所以a n =14n -3，由a n >137，即14n -3>137，即0<4n -3<37，解得34<n <10，因为n 为正整数，所以n 的最大值为9；故选：C 经典题型七：取对数法22.(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第n n ∈N * 次得到的数列的所有项的积记为a n ，令b n =log 2a n ，则b 3=___________，b n =___________.【答案】 143n +12【解析】设第n 次构造后得到的数列为1，x 1，x 2，⋯，x k ，2.则a n =2x 1x 2⋯x k ，则第n +1次构造后得到的数列为1，x 1，x 1，x 1x 2，x 2，⋯，x k -1x k ，x k ，2x k ，2.则a n +1=4x 1x 2⋯x k 3=4×a n 2 3=12a 3n ，∴b n +1=log 2a n +1=log 212a 3n=-1+3b n ，∴b n +1-12=3b n -12 ，又∵b 1=log 222=2，∴数列b n -12 是以32为首项，3为公比的等比数列，∴b n -12=32×3n -1=3n 2，b n =3n +12，b 3=14.故答案为：14；3n +1223.(2022·全国·高三专题练习(文))英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列x n 满足x n +1=x n -f x nf x n，则称数列x n 为牛顿数列．如果函数f x =2x 2-8，数列x n 为牛顿数列，设a n =ln x n +2x n -2，且a 1=1，x n >2．数列a n 的前n 项和为S n ，则S n =______．【答案】2n -1【解析】∵f x =2x 2-8，∴f x =4x ，又∵x n +1=x n -f x n f x n=x n -2x n 2-84x n =x n 2+42x n ，∴x n +1+2=x n +2 22x n ，x n +1-2=x n -222x n，∴x n +1-2x n +1-2=x n +2x n -2 2，又x n >2∴ln x n +1+2x n +1-2=ln x n +2x n -2 2=2ln x n +2x n -2 ，又a n =ln x n +2x n -2，且a 1=1，所以a n +1=2a n ，∴数列a n 是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n 的前n 项和为S n ，则S n =1×1-2n1-2=2n -1.故答案为：2n -1.经典题型八：已知通项公式a n 与前n 项的和S n 关系求通项问题24.(2022·江苏南通·高三开学考试)从条件①2S n =n +1 a n ，②a 2n +a n =2S n ,a n >0，③S n +S n -1=a n n ≥2 ，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列a n 的前n 项和为S n ,a 1=1，___________.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =a n +1+12n +1，记数列b n 的前n 项和为T n ，是否存在正整数n 使得T n >83.【解析】(1)若选择①，因为2S n =n +1 a n ,n ∈N *，所以2S n -1=na n -1,n ≥2，两式相减得2a n =n +1 a n -na n -1，整理得n -1 a n =na n -1,n ≥2,即a n n =a n -1n -1,n ≥2，所以a n n 为常数列，而a n n =a 11=1，所以a n =n ；若选择②，因为a 2n +a n =2S n n ∈N *，所以a 2n -1+a n -1=2S n -1n ≥2 ，两式相减a 2n -a 2n -1+a n -a n -1=2S n -2S n -1=2a n n ≥2 ，得a n -a n -1 a n +a n -1 =a n +a n -1n ≥2 ，因为a n >0,∴a n +a n -1>0,∴a n -a n -1=1n ≥2 ，所以a n 是等差数列，所以a n =1+n -1 ×1=n ；若选择③，由S n +S n -1=a n n ≥2 变形得，S n +S n -1=S n -S n -1，所以S n +S n -1=S n +S n -1 S n -S n -1 ，由题意知S n >0，所以S n -S n -1=1，所以S n 为等差数列，又S 1=a 1=1，所以S n =n ,S n =n 2,∴a n =S n -S n -1=2n -1n ≥2 ，又n =1时，a 1=1也满足上式，所以a n =2n -1；(2)若选择①或②，b n =n +1+12n +1=n +22n +1，所以T n =3×12 2+4×12 3+5×12 4+⋯+n +2 ×12n +1,所以12T n =3×12 3+4×12 4+5×12 5+⋯+n +2 ×12n +2，两式相减得12T n =3×12 2+12 3+12 4+⋯+12 n +1-n +2 ×12n +2=34+181-12n -1 1-12-n +2 ×12 n +2=1-n +42n +2，则T n =2-n +42n +1，故要使得T n >83，即2-n +42n +1>83，整理得，n +42n +1<-23，当n ∈N *时，n +42n +1>0，所以不存在n ∈N *，使得T n >83.若选择③，依题意，b n =a n +1+12n +1=n +12n，所以T n =2×12+3×12 2+4×12 3+⋯+n +1 ×12n，故12T n =2×12 2+3×12 3+4×12 4+⋯+n +1 ×12 n +1，两式相减得：12T n =1+12 2+12 3+⋯+12 n -n +1 ×12 n +1=1+141-12n -1 1-12-n +1 ×12 n +1=32-n +32n +1，则T n =3-n +32n ，令T n =3-n +32n >83，则n +32n <13，即2n -3n -9>0，令c n =2n -3n -9，则c 1=-10<0，当n ≥2时，c n +1-c n =2n +1-3n +1 -9-2n -3n -9 =2n -3>0，又c 4<0,c 5>0，故c 2<c 3<c 4<0<c 5<c 6⋯，综上，使得T n >83成立的最小正整数n 的值为5.25.(2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习(文))记各项均为正数的等比数列a n 的前n 项和是S n ，已S n =a n +43a n +1-4n ∈N * .(1)求a n 的通项公式；(2)求数列na n 的前n 项和T n .【解析】(1)设等比数列a n 的公比为q .因为S n =a n +43a n +1-4n ∈N * ，所以当n =1时，a 1=a 1+43a 2-4，解得a 2=3；当n =2时，a 1+a 2=a 2+43a 3-4，则a 1=43a 3-4.因为a n 是等比数列，所以a 1a 3=a 22，即43a 3-4 a 3=9，整理得4a 23-12a 3-27=0，解得a 3=-32(舍去)或a 3=92.所以q =a 3a 2=32,a 1=a 2q=2，所以a n =2×32n -1.(2)由(1)得na n =2n ×32 n -1，所以T n =2×1+2×32+3×32 2+⋯+n -1 × 32 n -2+n ×32 n -1①则32T n =2×1×32+2×32 2+3×32 3+⋯+ n -1 ×32 n -1+n ×32 n ②①-②得-T n 2=2×1+32+32 2+323+⋯+ 32 n -1 -2n ×32 n=2×1-32 n1-32-2n ×32 n =-4+4-2n ×32 n ,所以T n =4n -8 ×32n+8.26.(2022·全国·高三专题练习)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n +1=-S n S n +1n ∈N * ，a 1=1. 求证：数列1S n是等差数列.【解析】∵-S n S n +1=a n +1=S n +1-S n ，S 1=1≠0，则S n ≠0，所以-1=S n +1-S nS n S n +1，有1S n +1-1S n=1，所以数列1S n 是以1为首项，1为公差的等差数列.经典题型九：周期数列27.(2022·上海中学高二期末)数列{x n }满足x n +1=x n -x n -1,n ≥2,n ∈N *,x 1=a ,x 2=b ，则x 2019=_________.【答案】b -a .【解析】由题干中递推公式，可得：x 1=a ，x 2=b ，x 3=x 2-x 1=b -a ，x 4=x 3-x 2=b -a -b =-a ，x 5=x 4-x 3=-a -(b -a )=-b ，x 6=x 5-x 4=-b -(-a )=a -b ，x 7=x 6-x 5=a -b -(-b )=a ，x 8=x 7-x 6=a -(a -b )=b ，x 9=x 8-x 7=b -a ，⋯∴数列{x n }是以6为最小正周期的周期数列．∵2019÷6=336⋯3，∴x 2019=x 3=b -a ．故答案为b -a .28.(2022·全国·高三专题练习)数列{a n }满足a 1=2，a 2=11-a 1，若对于大于2的正整数n ，a n =11-a n -1，则a 102=__________.【答案】12【解析】由题意知：a 2=11-2=-1,a 3=11--1 =12,a 4=11-12=2,a 5=11-2=-1，故{a n }是周期为3的周期数列，则a 102=a 3×34=a 3=12.故答案为：12.29.(2022·河南·模拟预测(文))设数列a n 满足a n +1=1+a n 1-a n ,且a 1=12，则a 2022=( )A.-2 B.-13C.12D.3【答案】D【解析】由题意可得：a 2=1+a 11-a 1=1+121-12=3，a 3=1+a 21-a 2=1+31-3=-2，a 4=1+a 31-a 3=1+-2 1--2 =-13，a 5=1+a 41-a 4=1-131+13=12=a 1，据此可得数列a n 是周期为4的周期数列，则a 2022=a 505×4+2=a 2=3.故选：D30.(2022·全国·高三专题练习)设数列a n 的通项公式为a n =-1 n 2n -1 ⋅cos n π2+1n ∈N * ，其前n 项和为S n ，则S 120=( )A.-60 B.-120C.180D.240【答案】D【解析】当n =4k -3，k ∈N *时，cos n π2=0，a 4k -3=1；当n =4k -2，k ∈N *时，cosn π2=-1，a 4k -2=2×4k -2 -1 ×-1 +1=-8k +6；当n =4k -1，k ∈N *时，cos n π2=0，a 4k -1=1；当n =4k ，k ∈N *时，cos n π2=1，a 4k =2×4k -1+1=8k .∴a 4k -3+a 4k -2+a 4k -1+a 4k =1+-8k +6 +1+8k =8，∴S 120=1204×8=240.故选：D 经典题型十：前n 项积型31.(2022·全国·高三专题练习)设数列a n 的前n 项积为T n ，且T n =2-2a n n ∈N * .(1)求证数列1T n 是等差数列；(2)设b n =1-a n 1-a n +1 ，求数列b n 的前n 项和S n .【解析】(1)因为数列a n 的前n 项积为T n ，且T n =2-2a n n ∈N * ，∴当n =1时，T 1=a 1=2-2a 1，则a 1=23，1T 1=32.当n ≥2时，T n =2-2T n T n -1⇒1=2T n -2T n -1，∴1T n -1T n -1=12，所以1T n 是以1T 1=32为首项，12为公差的等差数列；(2)由(1)知数列1T n =n +22，则由T n =2-2a n 得a n =n +1n +2，所以b n =1n +2 n +3=1n +2-1n +3，所以S n =13-14 +14-15 +⋯+1n +2-1n +3 =13-1n +3=n 3n +9.32.(2022·全国·高三专题练习)记T n 为数列a n 的前n 项积，已知1T n +3a n=3，则T 10=( )A.163B.154C.133D.114【答案】C 【解析】n =1,T 1=43,T n =a 1a 2a 3⋯a n ,则a n =T n T n -1(n ≥2)，代入1T n +3a n =3，化简得：T n -T n -1=13，则T n =n +33,T 10=133.故选:C .33.(2022·全国·高三专题练习)记S n 为数列a n 的前n 项和，b n 为数列S n 的前n 项积，已知2S n +b n =2，则a 9=___________.【答案】1110【解析】因为b n =S 1∙S 2∙⋯S n ，所以b 1=S 1=a 1，b n -1=S 1∙S 2∙⋯S n -1(n ≥2)，S n =b nb n -1(n ≥2), 又因为2S n +b n =2，当n =1时，得 a 1=23，所以b 1=S 1=a 1=23， 当n ≥2时， 2×b nb n -1+b n =2，即2b n =2b n -1+1，所以2b n 是等差数列，首项为2b 1=3，公差d =1， 所以2b n=3+(n -1)×1=n +2，所以b n =2n +2，满足 b 1=23，故b n =2n +2，即S 1∙S 2∙⋯S n =2n +2，所以S 1∙S 2∙⋯S n -1=2n +1(n ≥2)，两式相除得：S n =n +1n +2，所以S n -1=nn +1(n ≥2)，所以a n =S n -S n -1=n +1n +2-n n +1=1(n +1)(n +2)，所以a 9=111×10=1110.故答案为：1110.经典题型十一：“和”型求通项34.(2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试)在数列a n 中，a 1=1，且n ≥2，a 1+12a 2+13a 3+⋯+1n -1a n -1=a n .(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =1a n a n +1，且数列b n 的前项n 和为S n ，证明：S n <3.【解析】(1)因为n ≥2,a 1+12a 2+13a 3+⋯+1n -1a n -1=a n ，所以当n ≥3,a 1+12a 2+13a 3+⋯+1n -2a n -2=a n -1，两式相减，得1n -1a n -1=a n -a n -1，即nn -1a n -1=a n ，当n =2时，a 2=a 1=1，所以当n ≥3时，a n a n -1=nn -1，所以当n ≥3时，a n =a n a n -1×a n -1a n -2×⋯×a 3a 2×a 2=n n -1×n -1n -2×⋯×32×1=n2，当n =2时，上式成立；当n =1时，上式不成立，所以a n =1,n =1n2,n ≥2.(2)证明：由(1)知b n =1,n =14n (n +1),n ≥2当n ≥2时，b n =4n (n +1)=41n -1n +1 ，所以当n =1，S 1=1<3；当n ≥2时，S n =1+412-13 +413-14 +⋯+41n -1n +1=1+412-13+13-14+⋯+1n -1n +1 =1+412-1n +1 =3-4n +1<3.综上，S n <3.35.(2022·全国·高三专题练习)数列a n 满足a 1∈Z ，a n +1+a n =2n +3，且其前n 项和为S n .若S 13=a m ，则正整数m =( )A.99 B.103C.107D.198【答案】B【解析】由a n +1+a n =2n +3得a n +1-(n +1)-1=-a n -n -1 ，∴a n-n-1为等比数列，∴a n-n-1=(-1)n-1a1-2，∴a n=(-1)n-1a1-2+n+1，a m=(-1)m-1a1-2+m+1，∴S13=a1+a2+a3+⋯+a12+a13=a1+2×(2+4+⋯+12)+3×6=a1+102，①m为奇数时，a1-2+m+1=a1+102，m=103；②m为偶数时，-a1-2+m+1=a1+102，m=2a1+99，∵a1∈Z，m=2a1+99只能为奇数，∴m为偶数时，无解，综上所述，m=103.故选：B.36.(2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习(理))已知数列a n的前n项和为S n，若S n+1+S n=2n2n∈N*，且a1≠0，a10=28，则a1的值为A.-8B.6C.-5D.4【答案】C【解析】对于S n+1+S n=2n2，当n=1时有S2+S1=2，即a2-2=-2a1∵S n+1+S n=2n2，∴S n+S n-1=2(n-1)2，(n≥2)两式相减得：a n+1+a n=4n-2a n+1-2n=-a n-2(n-1)，(n≥2)由a1≠0可得a2-2=-2a1≠0,∴a n+1-2na n-2(n-1)=-1(n≥2)即a n-2(n-1)从第二项起是等比数列，所以a n-2(n-1)=a2-2(-1)n-2，即a n=a2-2(-1)n-2+2(n-1)，则a10=a2-2+18=28，故a2=12，由a2-2=-2a1可得a1=-5，故选C.经典题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型37.(2022·河南·高二阶段练习(文))数列a n满足a1=1,a n+a n+1=3n n∈N*，则a2018=__________ _.【答案】3026【解析】∵a n+a n+1=3n，∴a n+1+a n+2=3n+1，得a n+2-a n=3，∵a1=1,a n+a n+1=3n n∈N*，∴a1+ a2=3⇒a2=2，所以a n的偶数项构成等差数列，首项为2，公差为3，∴a2018=a2+1008×3=2+3024= 3026.故答案为：302638.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n中，a1=1，a2=2，a n+2=-1n+1a n+2，则a18a19=( )A.3B.113C.213D.219【答案】D【解析】当n为奇数时，a n+2-a n=2，即数列a n中的奇数项依次构成首项为1，公差为2的等差数列，所以，a19=1+10-1×2=19，当n为偶数时，a n+2+a n=2，则a n+4+a n+2=2，两式相减得a n+4-a n=0，所以，a18=a4×4+2=a2=2，故a18a19=219，故选：D.39.(2022·广东·高三开学考试)已知数列a n满足a1=3，a2=2，a n+2=a n-1,n=2k-1 3a n,n=2k .(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列a n的前2n项的和S2n.【解析】(1)当n为奇数时，a n+2-a n=-1，所以所有奇数项构成以a1=3为首项，公差为-1的等差数列，所以a n=3+(n-1)⋅-12=7-n2，当n为偶数时，a n+2=3a n，所以所有偶数项构成以a2=2为首项，公比为3的等比数列，所以a n=2×(3)n-2=2×3n-22，所以a n=7-n2,n=2k-1 2×3n-22,n=2k ；(2)S2n=a1+a2+⋯+a2n=a1+a3+a5+⋯+a2n-1+a2+a4+⋯+a2n=3n+(-1)⋅n(n-1)2+21-3n1-3=(7-n)n2+3n-1=-12n2+72n+3n-1.40.数列{a n}满足a n+2+(-1)n+1a n=3n-1，前16项和为540，则a2= ．【解析】解：因为数列{a n}满足a n+2+(-1)n+1a n=3n-1，当n为奇数时，a n+2+a n=3n-1，所以a3+a1=2，a7+a5=14，a11+a9=26，a15+a13=38，则a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=80，当n为偶数时，a n+2-a n=3n-1，所以a4-a2=5，a6-a4=11，a8-a6=17，a10-a8=23，a12-a10=29，a14-a12=35，a16-a14=41，故a4=5+a2，a6=16+a2，a8=33+a2，a10=56+a2，a12=85+a2，a14=120+a2，a16=161+a2，因为前16项和为540，所以a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=540-80=460，所以8a2+476=460，解得a2=-2．故答案为：-2．41.(2022•夏津县校级开学)数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为508，则a1= ．【解析】解：由a n+2+(-1)n a n=3n-1，当n为奇数时，有a n+2-a n=3n-1，可得a n-a n-2=3(n-2)-1，⋯a3-a1=3⋅1-1，累加可得a n-a1=3[1+3+⋯+(n-2)]-n-12=(n-1)(3n-5)4；当n为偶数时，a n+2+a n=3n-1，可得a4+a2=5，a8+a6=17，a12+a10=29，a16+a14=41．可得a2+a4+⋯+a16=92．∴a 1+a 3+⋯+a 15=416．∴8a 1+14(0+8+40+96+176+280+408+560)=416，∴8a 1=24，即a 1=3．故答案为：3．经典题型十三：因式分解型求通项42.(2022秋•安徽月考)已知正项数列{a n }满足：a 1=a ，a 2n +1-4a 2n +a n +1-2a n =0，n ∈N *．(Ⅰ)判断数列{a n }是否是等比数列，并说明理由；(Ⅱ)若a =2，设a n =b n -n ．n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和S n ．【解析】解：(Ⅰ)∵a 2n +1-4a 2n +a n +1-2a n =0，∴(a n +1-2a n )(a n +1+2a n +1)=0，又∵数列{a n }为正项数列，∴a n +1=2a n ，∴①当a =0时，数列{a n }不是等比数列；②当a ≠0时，an +1a n=2，此时数列{a n }是首项为a ，公比为2的等比数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：a n =2n ，∴b n =2n +n ，∴S n =(21+22+⋯+2n)+(1+2+⋯+n )=2(1-2n )1-2+n (1+n )2=2n +1-2+n (n +1)2．43.(2022•怀化模拟)已知正项数列{a n }满足a 1=1，2a 2n -a n -1a n -6a 2n -1=0(n ≥2,n ∈N *)设b n =log 2a n ．(1)求b 1，b 2b 3；(2)判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由；(3){b n }的通项公式，并求其前n 项和为S n ．【解析】解：(1)a 1=1，2a 2n -a n -1a n -6a 2n -1=0，a n >0，可得(2a n +3a n -1)(a n -2a n -1)=0，则a n =2a n -1，数列{a n }为首项为1，公比为2的等比数列，可得a n =2n -1；b n =log 2a n =n -1，b 1=0，b 2b 3=1×2=2；(2)数列{b n }为等差数列，理由：b n +1-b n =n -(n -1)=1，则数列{b n }为首项为0，公差为1的等差数列；(3)b n =log 2a n =log 22n -1=n -1，前n 项和为S n =12n (0+n -1)=n 2-n2．44.(2022秋•仓山区校级月考)已知正项数列{a n }满足a 1=2且(n +1)a 2n +a n a n +1-na 2n +1=0(n ∈N *)(Ⅰ)证明数列{a n }为等差数列；(Ⅱ)若记b n =4a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和S n ．【解析】(I )证明：由(n +1)a 2n +a n a n +1-na 2n +1=0(n ∈N *)，变形得：(a n +a n +1)[(n +1)a n -na n +1]=0，由于{a n }为正项数列，∴a n +1a n =n +1n，利用累乘法得：a n =2n (n ∈N *)从而得知：数列{a n }是以2为首项，以2为公差的等差数列．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：b n=42n∙2(n+1)=1n(n+1)=1n-1n+1，从而S n=b1+b2+⋯+b n=1-1 2+12-13+13-15+⋯+1n-1-1n+1=1-1n+1=n n+1．经典题型十四：其他几类特殊数列求通项45.(2022·全国·高三专题练习)在数列{a n}中，已知各项都为正数的数列{a n}满足5a n+2+4a n+1-a n=0.(1)证明数列{a n+a n+1}为等比数列；(2)若a1=15，a2=125，求{a n}的通项公式.【解析】(1)各项都为正数的数列{a n}满足5a n+2+4a n+1-a n=0，得a n+1+a n+2=15(a n+1+a n)，即a n+1+a n+2 a n+a n+1=15所以数列{a n+a n+1}是公比为15的等比数列；(2)因为a1=15，a2=125，所以a1+a2=625，由(1)知数列{a n+a n+1}是首项为625，公比为15的等比数列，所以a n+a n+1=625×15n-1，于是a n+1-15n+1=-an-15 n=(-1)n a1-15，又因为a1-15=0，所以a n-15 n=0，即a n=15 n.46.(2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测)已知数列a n满足a1=1,a2=6，且a n+1=4a n-4a n-1, n≥2,n∈N*.(1)证明数列a n+1-2a n是等比数列，并求数列a n的通项公式；(2)求数列a n的前n项和S n.【解析】(1)因为a n+1=4a n-4a n-1,n≥2,n∈N*所以a n+1-2a n=2a n-4a n-1=2(a n-2a n-1)又因为a2-2a1=4所以a n+1-2a n是以4为首项，2为公比的等比数列.所以a n+1-2a n=4×2n-1=2n+1变形得a n+12n+1-a n2n=1所以a n2n是以a12=12为首项，1为公差的等差数列所以a n2n=12+n-1=n-12，所以a n=(2n-1)2n-1(2)因为T n=1×20+3×21+5×22+⋅⋅⋅+(2n-1)2n-1⋯①所以2T n=1×21+3×22+5×23+⋅⋅⋅+(2n-1)2n⋯②①-②得：-T n=1+22+23+⋅⋅⋅+2n-1-(2n-1)2n=1+22(1-2n-1)1-2-(2n-1)2n所以T n=(2n-1)2n-2n+1+3=(2n-3)2n+347.(2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测(理))设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a2n+1a n n∈N*，则下列说法正确的是( )A.a2021⋅a2022<1B.a2021⋅a2022>1C.a2022<-22022D.a2022>22022【答案】A【解析】因为数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a2n+1a n n∈N*，。
高中数学二轮专题突破---插空法在排列组合中的运用
插空法在排列组合中的运用某些元素钚相邻的排列组合题，可采用“插空法”加以解决．其方法是先把一些受限制的元素（或不限制的元素）排列．然后再把其余的元素插到排列中去，用这种方法解题，思路清晰．简便易懂。
本文结合实例加以说明。
例1. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A 33，○*○*○*○，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A 14种，所以每个人左右两边都空位的排法有3314A A =24种.解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A 34=24种.例2、停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解：先排好8辆车有A 88种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C 19种方法，所以共有C 19A 88种方法.注：题中*表示元素，○表示空.例3、一张节目表上原有8个节目，如果保持这8个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？解：9个节目要占九个位置。
○○○○○○○○○，现在只需将两个新添的两个节目排好原来的八个节目依次排放即可。
所以由2936C 种方法。
例4、一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有37C 种方法，因此所有不同的关灯方法为35种。
例题5. 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？解法一：列表解题，第四个数=第一个数＋第二个数。
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列专题突破三数列通项公式的求法
专题突破三 数列通项公式的求法
求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考 试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法.
一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 例1 由数列的前n项，写出通项公式： (1)3，5，3，5，3，5，…； 解 这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5. 所以它的一个通项公式为an＝4＋(－1)n，n∈N＋. (2)12，23，34，45，56，…； 解 数列中的项以分数情势出现，分子为项数，分母比分子大1， 所以它的一个通项公式为 an＝n＋n 1，n∈N＋.
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式. 解 由(1)，可知an－n＝4n－1，n∈N＋， 于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，n∈N＋.
反思感悟 课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简 单，一般先构造好等差(比)数列让学者证明，再在此基础上求出通项公式， 故同学们不必在此处发掘过深.
三、利用前n项和Sn与an 的关系求通项公式
例5 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N＋，则an等于
√A.2n＋1
B.2n
C.2n－1
D.2n－2
解析 因为Sn＝2an－4，所以n≥2时，Sn－1＝2an－1－4，
两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1， 因为 S1＝a1＝2a1－4，即 a1＝4，所以aan－n 1＝2.
1234567
7.已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.证明{an}是等比数列，并 求其通项公式.
高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第6章 高考专题突破三 高考中的数列问题
(1)求a4的值；
解 因为 4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，a1＝1，a2＝32，a3＝54，
当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即 4×1＋32＋54＋a4＋5×1＋32＝8×1＋32＋45＋1，
解得 a4＝78.
(2)证明：an＋1－12an为等比数列．
证明 由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)， 得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)， 即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)． 当 n＝1 时，有 4a3＋a1＝4×54＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1， ∴aan＋n＋2－1－2112aan＋n 1＝44aan＋n＋2－1－22aan＋n 1＝4an4＋a1－n＋a1－n－22aan n＋1＝222aann＋＋11－－aann＝12， ∴数列an＋1－12an是以 a2－12a1＝1 为首项，12为公比的等比数列．
4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构 成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和 公式就是用此法推导的.
题型突破 核心探究
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一 数列与数学文化
自主演练
1.(多选)(2020·山东曲阜一中月考)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：
2.我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子
做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次第，孝和休惹
外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩
Байду номын сангаас
子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要按照
2020届高中数学分册同步讲义(选修2-1) 第1章 专题突破一 充分、必要条件的判断
专题突破一充分、必要条件的判断一、应用定义例1(2018·浙江)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点充分、必要条件的判断题点充分不必要条件的判断答案 A解析∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.点评利用定义法判断充分、必要条件应按如下步骤进行：①分清条件与结论，即分清哪一个是条件，哪一个是结论；②判断推式的真假，即判断p⇒q及q⇒p的真假；③下结论，即根据推式及定义下结论．跟踪训练1已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的()A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．无法判断考点充分、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断答案 B解析“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”，∵q⇒p，∴p是q的必要条件．二、利用传递性例2如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 考点充分、必要条件的判断题点必要不充分条件的判断答案 必要不充分解析 依题意，有A ⇐B ⇔C ⇐D 且A ⇏B ⇔C ⇏D ，由命题的传递性可知D ⇒A ，但A ⇏D .于是A 是D 的必要不充分条件．点评 充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即若p ⇒q ，q ⇒r ，则p ⇒r .跟踪训练2 若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)考点 充分、必要条件的判断题点 充分不必要条件的判断答案 充分不必要解析 命题的充分必要性具有传递性，由题意知M ⇒N ⇔P ⇒Q ，但M ⇍N ⇔P ⇍Q ，即M ⇒Q ，Q ⇏M ，故M 是Q 的充分不必要条件．三、利用集合例3 设命题p ：x (x －3)<0，命题q ：2x －3<m ，已知p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的范围答案 [3，＋∞)解析 设p ，q 分别对应集合P ，Q ，则P ＝{x |x (x －3)<0}＝{x |0<x <3}；Q ＝{x |2x －3<m }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <m ＋32.由题意知p ⇒q ，q ⇏p ，故P Q ，则在数轴上表示不等式如图所示， 则m ＋32≥3，解得m ≥3， 即实数m 的取值范围为[3，＋∞)．点评 当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，我们可以借助集合间的基本关系进行充要条件的判断，即写出集合A ＝{x |p (x )}及B ＝{x |q (x )}，利用集合间的包含关系加以判断，具体情况如下：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；④若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；⑤若B A ，则p 是q 的必要不充分条件．跟踪训练3 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪ y ＝2x 2x ＋1，x ∈R ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝13x ＋m ，x ∈[－1，1]，记命题p ：“y ∈A ”，命题q ：“y ∈B ”，若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围为______________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，23解析 由题意知A ＝(0,1)，B ＝⎣⎡⎦⎤m －13，m ＋13，依题意，得B A ， 故⎩⎨⎧ m －13>0，m ＋13<1，∴13<m <23. 四、等价转化例4 已知p ：x ＋y ≠2，q ：x ，y 不都是1，则p 是q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)考点 充分、必要条件的判断题点 充分不必要条件的判断答案 充分不必要解析 因为p ：x ＋y ≠2，q ：x ≠1或y ≠1，所以綈p ：x ＋y ＝2，綈q ：x ＝1且y ＝1.因为綈p ⇏綈q ，但綈q ⇒綈p ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．点评 由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p ⇒q 较困难时，可利用等价转化，先判断由綈q ⇒綈p ，从而得到p ⇒q .跟踪训练4 设p ：2x 2－3x ＋1≤0，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的范围答案 ⎣⎡⎦⎤0，12解析 由题意得，p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a <12，∴0≤a ≤12.故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12.1．在△ABC 中，“AB →·BC →＝0”是“△ABC 是直角三角形”的() A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点题点答案 B解析 AB →·BC →＝0⇒B ＝90°⇒△ABC 是直角三角形．但△ABC 是直角三角形⇏AB →·BC →＝0，故“AB →·BC →＝0”是“△ABC 是直角三角形”的充分不必要条件．2．设x ∈R ，则“1<x <4”是“|x －2|<1”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点题点答案 A解析 |x －2|<1⇔1<x <3，因为{x |1<x <3}{x |1<x <4}，所以“1<x <4”是“|x －2|<1”的必要不充分条件．3．(2018·湖南澧县一中高二期中)“a ≠2或b ≠3”是“a ＋b ≠5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点题点答案 B解析 “若a ≠2或b ≠3，则a ＋b ≠5”的逆否命题是“若a ＋b ＝5，则a ＝2且b ＝3”是假命题，故“若a ≠2或b ≠3，则a ＋b ≠5”为假命题；“若a ＋b ≠5，则a ≠2或b ≠3”的逆否命题是“若a ＝2且b ＝3，则a ＋b ＝5”是真命题，故“若a ＋b ≠5，则a ≠2或b ≠3”是真命题．故选B.4．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[－3，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－3) 考点题点答案 C5．设p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件，s 是r 的充要条件，则s 是p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点题点答案 B解析由题意可知，p⇒q，q⇏p，r⇏q，q⇒r，r⇔s，则p⇒s，s⇏p，故s是p的必要不充分条件．一、选择题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点题点答案 A解析当c＝0时，a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，说明c≠0，又c2>0，得ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点题点答案 D解析若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．3．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的()A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件考点题点答案 A 解析 f (x )是定义在R 上的奇函数可以推出f (0)＝0，但f (0)＝0不能推出函数f (x )为奇函数，例如f (x )＝x 2.4．(2018·长沙质检)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ∈(0,2)B ．x ∈(0,1)C ．x ∈[－1，＋∞)D ．x ∈(1,3)考点 充分、必要条件的判断题点 必要不充分条件的判断答案 C解析 由x (x －2)<0，得0<x <2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)<0成立”的一个必要不充分条件．5．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 充分条件、必要条件的判断题点 充分、必要条件的判断答案 D解析 若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ， 即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ；反之，若M ＝N ＝∅， 即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)，而与系数之比无关．6．设a ，b ∈R ，则使a >b 成立的一个充分不必要条件是( )A ．a 3>b 3B ．log 2(a －b )>0C ．a 2>b 2 D.1a <1b考点题点答案 B 解析 选项A 是充要条件；选项B ，log 2(a －b )>0，即a －b >1是充分不必要条件；C ，D 是既不充分也不必要条件．7．设甲、乙、丙是三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件考点 充分、必要条件的判断题点 充分不必要条件的判断答案 A解析 由题意知，甲⇐乙⇐丙且乙⇏丙，∴甲⇐丙且甲⇏丙，∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．8．设条件p ：|x －2|<3，条件q ：0<x <a ，其中a 为正数，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是( )A ．(0,5)B ．(0,5]C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞)考点题点答案 B解析 由|x －2|<3，得－3<x －2<3，即－1<x <5，∴p ：－1<x <5，∵q ：0<x <a ，a 为正数，p 是q 的必要不充分条件，∴0<a ≤5.二、填空题9．下列命题中是假命题的是________．(填序号)①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件；②“A ∩B ≠∅”是“A B ”的充分条件；③“b 2－4ac <0”是“ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ”的充要条件；④“sin α>sin β”是“α>β”的充分不必要条件；⑤“M >N ”是“log 2M >log 2N ”的充要条件．考点 充分、必要条件的判断题点 充分、必要条件的判断答案 ①②③④⑤解析 当x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之，例如x ＝1，y ＝5，x ＋y >5，但x <2，故①为假命题；当A ＝{1,3}，B ＝{1,2}时，A ∩B ＝{1}≠∅，但A ⊈B ，故②为假命题；ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 等价于⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0或a ＝b ＝0，c <0，故③为假命题； 当α＝π3，β＝5π6时，sin α＝32>12＝sin β，但α<β，故④为假命题； 当0>M >N 时，log 2M ，log 2N 无意义，故⑤为假命题．10．设p ：|x |>1，q ：x <－2或x >1，则綈p 是綈q 的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)考点 充分、必要条件的综合应用题点 含有否定性语句的命题处理答案 充分不必要解析 由已知，得p ：x <－1或x >1，则q 是p 的充分不必要条件，所以由互为逆否命题的两个命题等价，得綈p 是綈q 的充分不必要条件．11．设计如图所示的三个电路图，条件p ：“开关S 闭合”；条件q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充分不必要条件的电路图是________．考点题点答案(1)解析对(1)，p是q的充分不必要条件；对(2)，p是q的充要条件；对(3)，p是q的必要不充分条件．12．“若a≥b⇒c>d”和“a<b⇒e≤f”都是真命题，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．(填“充分”或“必要”)考点题点答案充分解析因为“a≥b⇒c>d”是真命题，所以它的逆否命题“c≤d⇒a<b”也是真命题．又因为“a<b⇒e≤f”是真命题，所以“c≤d⇒a<b⇒e≤f”．故“c≤d”是“e≤f”的充分条件．三、解答题13．已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，当a为何值时：(1)p是q的充分不必要条件；(2)p是q的必要不充分条件；(3)p是q的充要条件．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围解由题意知，p：A＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，q：B＝[1,2]．(1)因为p是q的充分不必要条件，所以A B ，故1≤a <2.(2)因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，故A ＝[1，a ]且a >2⇒a >2.(3)因为p 是q 的充要条件，所以A ＝B ⇒a ＝2.14．(2018·江苏扬州高二检测)若不等式x 2－2x ＋3－a <0成立的一个充分条件是0<x <5，则实数a 的取值范围是________．考点题点答案 [18，＋∞)解析 ∵不等式x 2－2x ＋3－a <0成立的一个充分条件是0<x <5，∴当0<x <5时，不等式x 2－2x ＋3－a <0成立．设f (x )＝x 2－2x ＋3－a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)≤0，f (5)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≤0，25－10＋3－a ≤0， 解得a ≥18.15．(2018·湖北孝感高二检测)证明：a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca 的充要条件是△ABC 为等边三角形，这里a ，b ，c 是△ABC 的三条边．考点题点证明 充分性：如果△ABC 为等边三角形，那么a ＝b ＝c ，所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，所以a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝0，所以a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca .必要性：如果a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，那么a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，即a＝b＝c.故a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是△ABC为等边三角形．。
高中数学知识点总结辅导书推荐
高中数学知识点总结辅导书推荐高中数学是学生在中学阶段接触的最为深入和系统的数学教育，它不仅涵盖了代数、几何、概率统计等多个领域，还为大学及以后的学习和工作打下了坚实的基础。
为了帮助学生更好地掌握这些知识点，市面上有许多优秀的辅导书籍。
以下是几本值得推荐的高中数学辅导书，它们各有特点，适合不同需求的学生。
基础知识巩固《高中数学名师精讲精练》系列书籍由多位经验丰富的数学教师编写，内容紧扣高中数学教学大纲，系统全面地讲解了高中数学的基础知识。
每个知识点都配有详细的例题解析和针对性的练习题，帮助学生巩固基础，提高解题能力。
深化理解提升《数学之美》系列是一套旨在帮助学生深化对数学概念理解的辅导书。
它不仅仅讲解公式和定理，更注重数学思想的渗透和数学方法的培养。
书中用通俗易懂的语言解释复杂的数学原理，让学生在享受阅读的同时，提升数学素养。
解题技巧训练《高中数学解题技巧与方法》是一本专注于提高学生解题技巧的书籍。
作者通过归纳总结各类题型的解题方法，提供了丰富的实战演练题目。
书中的解题步骤清晰，逻辑性强，特别适合那些希望在数学竞赛或高考中取得优异成绩的学生。
历年真题演练《高中数学历年真题全解》收集了近年来的高考数学真题，并提供了详尽的解答和解析。
通过学习这些真题，学生可以熟悉考试的题型和难度，了解命题的趋势和特点，有效提升应试能力。
专题突破提高《高中数学专题突破》系列针对高中数学中的难点和重点进行了深入讲解。
每本书都围绕一个专题展开，如函数、解析几何、概率等，帮助学生集中精力，针对性地提高某一领域的能力。
选择辅导书时，学生应根据自己的实际情况和学习需求来决定。
如果是基础薄弱，需要从头开始学习，那么《高中数学名师精讲精练》是一个很好的选择。
如果已经有一定的数学基础，希望提升对数学的理解，那么《数学之美》系列会更适合。
对于那些想要在考试中取得高分的学生，《高中数学解题技巧与方法》和《高中数学历年真题全解》则是不可或缺的参考资料。
【高中数学专项突破】专题8 等式性质与不等式性质专题突破(含答案)
【高中数学专题突破】专题8 等式性质与不等式性质题组1 用不等式（组）表示不等关系1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T 应满足的关系为( ) A.T <40 B.T >40 C.T ≤40 D.T ≥402.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种3.将一根长5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m x ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（ ） A ．25105x x -⎧⎨<<⎩B ．251x -或521x -C ．52105x x -⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-⎨<<⎩4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工()0x x ≥人，瓦工()0y y ≥人，则关于工资,x y 满足的不等关系是（ ） A ．54200x y +< B ．54200x y +≥ C ．54200x y +=D ．54200x y +≤5.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2 100 h ；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h ；每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量x (写出不等式(组)即可)为________.题组2 作差法比较大小5.设a >b >c >0，x ＝，y ＝，z ＝，则x ，y ，z 的大小顺序是________.6.规定AB ＝A 2＋B 2，A ⊖B ＝A ·B ，A ，B ∈R .若M ＝a －b ，N ＝a ＋b ，a ，b ∈R ，判断MN 与M ⊖N 的大小.7.已知0a b +>，比较22a b b a +与11a b+的大小.题组3 不等式的性质8.若a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2ab B.a ＋b ≥2C.a 2＋b 2≥(a ＋b )2D.＋<(a ≠b )9.已知x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，则实数a ，b 满足的一个条件可以是( )A.a <b <0B.a <0<bC.a >0>bD.a >b >010.已知a ，b ，c 均为实数，有下列说法： ①若a <b <0，则a 2<b 2；②若<c ，则a <bc ； ③若a >b ，则c －2a <c －2b ；④若a >b ，则<. 其中，正确的结论是________.(填序号)11.若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．9D ．1312.若102a <<，则()12a a -的最大值是（ ） A ．1 8B ．1 4C ．1 2D ．1题组4 利用不等式的性质判断或证明14.已知a >6，求证：－<－.15.已知a ，b 为正实数，且2c >a ＋b ，求证：c －<a <c ＋.16.已知a ，b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.17.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．题组5 利用性质比较大小18.a ∈R ，且a 2＋a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A.a 2>－a 3>－a B. －a >a 2>－a 3 C. －a 3>a 2>－a D.a 2>－a >－a 319.若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A.a 1b 1＋a 2b 2 B.a 1a 2＋b 1b 2 C.a 1b 2＋a 2b 1 D.题组6 利用不等式的性质求范围20．已知1122α-≤≤，02β≤≤，则22βα-的取值范围是________. 21．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 22．已知实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围为________．23．若两个正实数x ，y 1x y=246x y m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________.专题8 等式性质与不等式性质题组1 用不等式（组）表示不等关系1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T 应满足的关系为( ) A.T <40 B.T >40 C.T ≤40 D.T ≥40 【答案】C2.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种 【答案】C【解析】设购买单片软件和盒装磁盘分别为x 片，y 盒.则即①当x ＝3时，7y ≤32，y ≤.∵y ∈N *且y ≥2，∴y 可以取2,3,4，此时有3种选购方式；②当x ＝4时，7y ≤26，y ≤，∵y ∈N * 且y ≥2，∴y 可以取2,3，此时有2种选购方式；③当x ＝5时，y ≤，∵y ∈N *且y ≥2，∴y 只能取2，此时有1种选购方式；④当x ＝6时，y ＝2，此时有1种选购方式.综上，共有7种选购方式.3.将一根长5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m x ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（ ）A ．25105x x -⎧⎨<<⎩B ．251x -或521x -C ．52105x x -⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意，其中一段的长度为x m 可知另一段绳子的长度为()5m x -，因为两段细子的长度之差不小于1m ，可得()5105x x x ⎧--⎪⎨<<⎪⎩，即25105x x ⎧-⎨<<⎩. 故选D.4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工()0x x ≥人，瓦工()0y y ≥人，则关于工资,x y 满足的不等关系是（ ） A ．54200x y +< B ．54200x y +≥ C ．54200x y += D ．54200x y +≤【答案】D【解析】由题意，可得50040020000x y +≤，化简得54200x y +≤. 故答案为: D.5.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2 100 h ；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h ；每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量x (写出不等式(组)即可)为________.【答案】【解析】由题意可得题组2 作差法比较大小5.设a >b >c >0，x ＝，y ＝，z ＝，则x ，y ，z 的大小顺序是________.【答案】z >y >x【解析】方法一 ∵a >b >c >0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2c (a －b )>0，∴y 2>x 2，即y >x ， ∵z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b )2－b 2－(c ＋a )2＝2a (b －c )>0，∴z 2>y 2，即z >y ，故z >y >x . 方法二 特值代换法，令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝，y ＝，z ＝，则x <y <z ，故z >y >x .6.规定AB ＝A 2＋B 2，A ⊖B ＝A ·B ，A ，B ∈R .若M ＝a －b ，N ＝a ＋b ，a ，b ∈R ，判断MN 与M ⊖N 的大小. 【答案】∵MN ＝M 2＋N 2＝(a －b )2＋(a ＋b )2＝2a 2＋2b 2， M ⊖N ＝M ·N ＝(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，∴MN －M ⊖N ＝2a 2＋2b 2－(a 2－b 2)＝a 2＋3b 2≥0，∴MN ≥M ⊖N . 7.已知0a b +>，比较22a b b a +与11a b+的大小. 【答案】2211a b b a a b+≥+ 【解析】222211a b a b b a b a a b b a--⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭2211()a b b a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭222()()a b a b a b+-=. ∵0a b +>，2()0a b -≥，∴222()()0a b a b a b +-≥，当且仅当a b =时，取等号，∴2211a b b a a b+≥+.题组3 不等式的性质8.若a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2ab B.a ＋b ≥2C.a 2＋b 2≥(a ＋b )2D.＋<(a ≠b )【答案】D【解析】显然有a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2，又a 2＋b 2－(a ＋b )2＝a 2＋b 2－ab ＝(a －b )2≥0，所以a 2＋b 2≥(a＋b )2，故选D.9.已知x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，则实数a ，b 满足的一个条件可以是( )A.a <b <0B.a <0<bC.a >0>bD.a >b >0 【答案】D【解析】因为x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，所以，a >b >0，故选D.10.已知a ，b ，c 均为实数，有下列说法： ①若a <b <0，则a 2<b 2；②若<c ，则a <bc ；③若a >b ，则c －2a <c －2b ；④若a >b ，则<. 其中，正确的结论是________.(填序号) 【答案】③【解析】①用特殊值法检验.令a ＝－2，b ＝－1，有4>1，故①错误；②当b <0时，有a >bc ，故②错误；③当a >b 时，有－2a <－2b ，从而c －2a <c －2b ，故③正确；④当a >0，b <0时，显然有>，故④错误.综上，只有③正确.11.若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（ ） A ．4 B ．5 C ．9 D ．13【答案】C【解析】因为正数x 、y 满足x y xy +=，所以1xy x =-（1x >），所以441x x y x x +=+-441x x =++-，令1t x =-，0t >， 44455x y t t t t+=++=++，由对勾函数4()f t t t=+在(0,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，所以min ()(2)4f t f ==， 所以4x y +的最小值为9，此时33,2x y ==． 故选：C ． 12.若102a <<，则()12a a -的最大值是（ ） A ．1 8B ．1 4C ．1 2D ．1【答案】A【解析】102a <<，故120a ->，则()()()()2212111122122228a a a a a a ⎛⎫+--=-≤⋅= ⎪⎝⎭，当14a =时取“=”，所以正确选项为A13.若非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．1ab< B ．+2b a a b≥ C ．2211ab a b< D ．22++a b a b <【答案】ABD【解析】对于选项A ，当2,1a b =-=-，a b <，22>11a b -==-，此时1a b<不成立；对于选项B ，当1,1a b =-=，a b <，+2b a a b =-，此时+2b aa b≥不成立； 对于选项C ，2222221111,,0a b a b b a a b a a b b b a --=<∴-<，所以2211ab a b<成立；选项D ，当222,1,+2,+0a b a b a a b b =-=-<==，，此时22++a b a b <不成立. 故选：ABD.题组4 利用不等式的性质判断或证明14.已知a >6，求证：－<－. 【答案】方法一 要证－<－，只需证＋<＋，只需证<，只需证2a －9＋2<2a －9＋2，只需证<，只需证(a －3)(a －6)<(a －5)(a －4)，只需证18<20，因为18<20显然成立，所以不等式－<－成立. 方法二 要证－<－，只需证<，因为a >6，所以a －3>0，a －4>0，a －5>0，a －6>0， 又因为a －3>a －5，所以>， 同样有>，则＋>＋，所以－<－.15.已知a ，b 为正实数，且2c >a ＋b ，求证：c －<a <c ＋. 【答案】证明 要证c －<a <c ＋，只需证－<a －c <，即证|a －c |<，两边平方得a 2－2ac ＋c 2<c 2－ab ，即证a 2＋ab <2ac ，因为2c >a ＋b ，a 为正实数，所以a 2＋ab <2ac 成立，所以原不等式成立.16.已知a ，b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.【答案】证明 (a 5＋b 5)－(a 2b 3＋a 3b 2)＝(a 5－a 3b 2)＋(b 5－a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)－b 3(a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )·(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2). ∵a ，b 都是正数，∴a ＋b >0，a 2＋ab ＋b 2>0.又∵a ≠b ，∴(a －b )2>0，∴(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)>0， ∴a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.17.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥（2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥，b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥题组5 利用性质比较大小18.a ∈R ，且a 2＋a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A.a 2>－a 3>－a B. －a >a 2>－a 3 C. －a 3>a 2>－a D.a 2>－a >－a 3 【答案】B【解析】因为a2＋a<0，所以a(a＋1)<0，所以－1<a<0，根据不等式的性质可知－a>a2>－a3，故选B.19.若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A.a1b1＋a2b2B.a1a2＋b1b2C.a1b2＋a2b1D.【答案】A【解析】方法一特殊值法令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，a1b2＋a2b1＝＝，∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.方法二作差法∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0<a1<a2,0<b1<b2，∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，∴0<a1<，0<b1<.又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－－，a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝＋－2a1b1＝(a1－b1)2≥0，∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)＝4>0，∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)＝2>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.题组6 利用不等式的性质求范围20．已知1122α-≤≤，02β≤≤，则22βα-的取值范围是________. 【答案】[]2,1- 【解析】由1122α-≤≤，则121α-≤≤，又由02β≤≤，得102β-≤-≤， 则2212βα-≤-≤.故答案为：[]2,1-.21．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______【答案】[]1,7【解析】令3()()x y s x y t x y -=++- ()()s t x s t y =++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩, 12s t =⎧∴⎨=⎩, 又11x y -≤+≤①13x y ≤-≤,22()6x y ∴≤-≤⋯②∴①+②得137x y ≤-≤.故答案为[1,7]22．已知实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围为________．【答案】(－∞，－1)【解析】若a<0，则b 2<1<b ，产生矛盾，所以a>0，则b 2>1>b ，解得b ∈(－∞，－1)．23．若两个正实数x ，y 1=26m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________.【答案】(2,8)-. 【解析】解：411x y+=44⎛⎫=+=++816≥+= 当且仅当16x y =，即4y =且64x =时取等号.246x m m +>-恒成立，则2166m m >-解得28m -<<即()2,8m ∈- 故答案为：()2,8-。
高中数学必修一专题复习
第一章集合与函数概念知识架构第一讲 集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：三：集合的基本运算①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: AB ={}x x A x B ∈∈或;③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点： 1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。
3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆ 4．集合的运算性质（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ⊆ ，B B A ⊆ ⑤B A A B A ⊆⇔= ；（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ；④A B A ⊇ ，B B A ⊇ ⑤A B A B A ⊆⇔= ； （3）交、并、补集的关系 ①φ=A C A U ；U A C A U =②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，xy 在值就是A B *的元素[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B *={}4,2,0，故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。
高一数学月考成绩差怎么办高中班主任：把握4点让你逆袭成学霸
高一数学月考成绩差怎么办？高中班主任：把握4点让你逆袭成学霸高一数学实际上是与初中数学脱节的，它更注重对概念、公式的理解与运用，难度不大却难掌握，主要包括集合和命题、不等式、函数的基本性质、幂函数指数函数对数函数、三角比和三角函数，每一章的知识点概念性知识较多，并且推导公式较多，而且部分章节内容是相联系的，比如函数的基本性质与指数函数、三角函数是相互联系的；三角比是与三角函数是紧密联系的，可能你一章知识点没掌握住，后面章节就会越来越吃力，导致数学成绩较差！那么该如何学习高一数学呢？第一步：概念+公式要扎实高中数学不像初中数学，做大量的习题就可以掌握了，高中数学更偏向于对知识点的理解与探究，然后通过做题加强自己的理解，它更注重解题思路和技巧的把握，但前提你需要扎实基本概念和数学公式！比如学习高一数学第一章集合时，重点知识点就是集合的运算，你必须知道集合的概念和性质才懂它们的运算，不理解课本概念一味地做题是提升不了成绩的，比如空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，你就得知道子集与真子集的关系，所以第一步我们要扎实基础知识点和牢记公式和推理，你才能在数学学习中逐步提升成绩！第二步：做题任何学科的学习都离不开做题，尤其像数学，更是不可缺少的是做题，而做题不仅能加强对基础知识的掌握，更能查漏补缺，但做题，我们不能盲目的做，会做题才重要！（1）及时做课后习题，在高中每章节都有课后习题或老师布置的作业或与教学配套的试题，我们要及时去完成，这一点每位同学都应该能做到，但有一点要记住遇见不会的习题不要去看答案，而是要先翻阅课本看考查知识点，如果通过课本知识点还是不理解，那就把它记在错题本上，做标记，问老师，这可以避开知识点的盲区！（2）有自己一套习题，图书馆卖的参考书很多，可以买一套与课本同步的参考书，因为光学课本的知识点是完全满足不了当下的考试，所以你必须有自己的一套课外参考书，可以利用中午时间或晚自习时间进行做题，有新型题或经典题都要记在错题本上，遇见不会的就查资料问老师，这样更便于掌握知识和运用！两种做题方式，第一种更侧重于巩固知识点和查漏补缺，第二种更侧重加强知识点掌握和新题型的解法，主要开拓我们的视野和思维！第三步：总结学习总结在高中非常重要，主要体现在知识归纳总结和融会贯通上，一般学霸们的总结能力都非常强，他们喜欢举一反三，毕竟像数学题太多了，但题型也就100多种，会做题型比会多做题更重要；另外一点就是融会贯通，像高一数学的函数章节直接决定着你后面幂函数、三角函数的学习，所以我们在学习总结下不得不下功夫！1、错题本的总结数学最好的总结资料就是对错题本的总结，错题本是每位高中学生学习的习惯，每位老师也强调它的重要性，它不仅记录错题，更是记录重点概念和公式及经典试题，比如在不等式章节中对一元二次方程根的判断方式△=b^2－4ac，当△＞0时，与x轴有两个交点，说明有两个根；当△＝0时，与x轴有一个交点，说明有一个根；当△＜0时，与x轴无交点，说明没有根；如果能把这个知识点记住，那一类根的判断题就迎刃而解了，可见错题本的重要性！2、阶段性定期总结阶段性总结可设两个时间点：15天和30天，主要以课本基础知识点和试卷总结为主或单独做一套试卷，看看哪些知识点没掌握住，这样便于查漏补缺，很好地解决了弱点知识点，避免造成知识点的遗漏！很多学生在学习数学时以“沉溺做题”不能自拔，往往忽略总结的重要性，结果题做不少，变换下数据依然做不对，所以在学习中定期总结不可少，学习查漏补缺，学习题型归纳，更要学会解题思路和解题技巧，比如2021年和2021年数学高考解答题选修题，一般都是出高一的不等式知识点，10分的题，难度一般，简直是送分题，可依然很多同学得不了满分，为什么呢？就是平常对这类题型不熟悉，考查知识点没把握，在做题时总会考虑不全面；其实每年高考题有60%的题都是我们常交的题型，但我们却无法做满分，这就是我们平常注重“做题”而忽略总结的结果！第四步：重点突破对学习的课程、试卷和错题本定期总结后，要列出自己不懂知识点或哪类题型依然搞不懂，此时更不能盲目去学习了，要学会重点突破，突破方法非常简单，以课本为基础再推演一遍知识点和公式，然后就“专题突破”，这种学习方法也是高三学习常用方法，效果快而准确！比如函数的奇偶性和单调性我们不会，而这两个知识点又是每年高考常考知识点，那么你就要先以课本知识点和公式为主，要知道偶函数的证明就是fx=f（-x），记住必须先从基础知识点着手，好好的写几遍，看几遍，然后就“专题突破”（图书馆都有类似的参考书），并且在做题时要以总结为主，注重解题思路和解题技巧，只要我们足够认真去做了，就一定能掌握知识点，就怕明知道不会还不去找方法解决！以上是对高一数学学习建议学习四步法，看着难其实比较简单，数学就是需要系统性学习，以“记、看、做题”为主。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一 集合与函数知识
集合 定义 特征 一组对象的全体形成一个集合 确定性、互异性、无序性 表示法 分类 列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} 有限集、无限集 数集 关系 自然数集N、正整数集、整数集Z、有理数集Q、实数集R、空集φ 元素和集合的关系是如 集合与集合之间的关系是 运算 性质
A. {x | x=1}
B. {x | x-1=0}
C. {x =1}
D. {1}
6 ．用下列符号“”填空
① {a,e}_______{a,b,c,d,e}；② ；③ ；
④ {菱形}____{平行四边形}；⑤。
7 ．设集合A＝｛1，a，b｝，B＝｛a，a2，ab｝，且A＝B，则实数a＝
_____________，b＝_____________.
似值的全体。其中能构成集合的组数有（ ）
A. 2组 B. 3组 C.
4
组 D. 5组
2 下列关系式表达正确的个数是（ ）
①０∈Ф；②Ф∈｛Ф｝；③０∈｛０｝；④Ф｛a｝。
A. １
B. ２
C. ３
D. ４
3 ．在以下五个写法中：① {0}{0,1,2}； ② φ{0}； ③ {0,1,2}
8．某班50名同学中，参加数学课外兴趣小组的有26人，参加物理课外兴
趣小组的有20人，两者都参加的有８人，则参加数学或物理兴趣小组
的同学至少有_____________人.
9 . 不等式的解集为________________.
10 ．计算：_____________.
11 集合U、M、N、P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是
② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ4.
③ 对于任意集合，则 ；；
④ 若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非
空子集的个数是，所有非空真子集的个数是。
若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空子集的个 数是，所有非空真子集的个数是。
例：已知其中若，求之值。
例：用列举法表示集合
7 应用函数的思想 例：设当时，求的取值范围。
8 巧用数轴直观解题 例：已知集合若求的取值范围
9 等价转化 例：若集合且求实数 满足的条件。
三 集合经典习题
1． 下列各组对象 ①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近
（）
A MU（N∩P） D M∩CU（N∪P）
12 ．定义集合运算:.设,,则集合 的所有元素之和为 （ ）
A．0
B．2
C．3
D．6
13 定义集合A、B的一种运算：
，若
，
，则
中的所有元素数字之和为 （
A．9
B. 14
C.18
）. D.21
14 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都
2已知集合，B=，若，且 求实数a，b的值。
3 设，集合，，且A=B，求实数x，y 的值 4 设,其中,如果，求实数的取值范围．
5已知奇函数
是定义在
上的减函数，若
，求实数
的取值范围． 6若 是奇函数，且在
内是增函数，又
，求
的解集． 7设，，.
①=，求a的值；② ，且=，求a的值 8设集合
，若
，求实数
交集 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}； 并集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；
补集 ＝{x|xA且x∈U}，U为全集 AA； φA； 若AB，BC，则AC； A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝AA∪B＝BAB；
A∩CA＝φ； A∪CA＝I；C( CA)＝A
方法
韦恩示意图
数轴分析
注意：① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
{1,2,0}； ④ 0φ；⑤ 0∩φ=φ，写法正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个
D. 4个
4 ．已知集合A中有10个元素，集合B中有8个元素，集合A∩B中共有
4个元素，则集合A∪B中共有（ ）个元素
A.14
B.16
C.18
D. 不确定
5 下列集合中不同于另外三个集合的是（ ）
取值范围． 9已知集合
，
，若
，求实数 的取值范围.
有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集
Q是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数
域；③若有理数集QM,则数集M必为数域；④数域必为无限集。其中正
确的命题的序号是
（把你认为正确的命题的序号都
填上）.
四 集合综合题 1 已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m219=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
二 集合解题方法 1 取特殊值应用列举法 已知则（ ）。 2 取特例应用特殊化法 例：设均为非空集合，且满足则下列各式中 错误的是（ ）。 3 应用有限集合子集个数公式 对于有限集合中共有个元素，常有下 面四个结论：的子集个数有个；的非空子集个数有个；的真子集个数 有个；的非空真子集个数有个。适当应用上述四个结论，可以很容易 的解有关问题。 例：已知为常实数，那么集合的子集的个数是 4 分类逐一验证法 例：集合若则实数的值为 5 分类讨论 例：已知。（1）若A 中只有一个元素，求的值，并求 出这个元素。（2）若A 中至少有一个元素，求的取值范围。 6 应用方程的思想 利用集合关系，建立一些方程关系式，通过解 方程或应用方程有关性质结合集合中元素的互异性等解决某些问题， 是一种重要的思想方法。