用代入法解二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法-代入消元法(课件)七年级数学下册(人教版)
把y=20代入③，得 x=28
所以这个方程组的解是
x 28
y 20
答：篮球队有28支、排球队有20支参赛.
=1−
1.用代入法解方程组
时，代入正确的是(
)
− 2 = 4
C
A.x-2-x=4
B.x-2-2x=4
2.用代入法解方程组
2
A.3x=2×
3
所以原方程组的解是
y 105
转化
x+(x+10)=200
x=95
y=105
求方程组解的过程叫做解方程组.
将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出
来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.
这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未
知数用含有另一个未知数的式子表示出来；
第二步：把此式子代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程；
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
第四步：回代求出另一个未知数的值；
y 3x 1 0
解：由② ，得 y=3x+1
①
②
③
把③代入①，得 2x+3x+1=0
解这个方程，得 x=1
把x=1代入③，得 y=4
x 1
所以这个方程组的解是
y 4
本题还有其它
做法吗？
例2.用代入法解方程组
二元一次方程组的解法代入消元法
2、用这个一次式代替另一个 方程中相应的未知数，得到一 个一元一次方程，求得一个未
知数的值（代入求解）
3、把这个未知数的值再代入 一次式，求得另一个未知数的
值（再代求解）
4、写出方程组的解（写解）
例3：
❖已知钢笔每支5元，圆珠笔每支 2元，小明用16元钱买了这两 种笔共5支，试问小明买钢笔和 圆珠笔各多少支？
b2
=﹣4
{x3
4.如果
是关于x、y的二元一次方程组
y 2
{ax by 1
a 2b 的解，求
2007
+
2008 的值。
ax by 5
{ { { 解：把
x3
代入方程组
y 2
axby 1
得
ax by 5
3 a 2 b 1 3a2b5
{a 1
解这个关于a、b的二元一次方程组得
b 1
a 2b 1 1 2007
由②得： y = 1 – 2x ③
把③代入①得：
3x – 2（1 – 2x）= 19 3x – 2 + 4x = 19 3x + 4x = 19 + 2 7x = 21 x=3
把x = 3代入③，得 y = 1 – 2x = 1 - 2×3= - 5
∴ x=3 y = -5
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
{4 a 2 b 11
解关于a、b的二元一次方程组
a 2 b 11
{a 2
得
5 b 4
5
，所以b+2a=-
4 5
+2×
2 5
《二元一次方程组的解法(代入法)》教学评点
二元一次方程组的解法（代入法）教学评点引言在初中数学的学习过程中，解一元一次方程组已经成为了一个基本技能。
而解二元一次方程组则是更进一步的内容。
其中，代入法是解二元一次方程组最常用的一种方法之一。
本文将从教学评点的角度，对二元一次方程组的解法中的代入法进行分析和评价。
一、简明扼要•名称：二元一次方程组的解法（代入法）•目标学生：初中学生，如七年级或八年级的学生•内容概述：本教学内容主要介绍了二元一次方程组的解法中的代入法。
通过具体的例子和解题步骤的讲解，引导学生掌握代入法的基本思路和应用方法。
二、优点评价1. 简单易懂代入法作为解二元一次方程组的一种方法，与其他方法相比，具有简单易懂的特点。
学生只需要将其中一个方程中的变量用另一个方程中相同的变量代替，然后进行方程的简化和计算，即可求得解。
相比于消元法和等式法，代入法更直观，学生容易接受和理解。
2. 直接实用代入法在解决实际问题中具有广泛的应用。
许多实际问题可以用二元一次方程组来表示，而代入法正是解决这些问题的有效方法之一。
因此，通过学习代入法，学生可以更好地理解并解决与二元一次方程组相关的实际问题，提高数学应用能力。
3. 引导学生形成问题意识在代入法的教学过程中，教师可以设计一些具体的实际问题，引导学生自主思考和解决。
通过实际问题的引导，学生可以逐渐形成对问题的敏感性和思考能力，培养其解决问题的能力和兴趣。
4. 与其他解法互补在二元一次方程组的解法中，代入法与其他解法（如消元法和等式法）相互补充。
通过综合运用不同的解法，学生可以更全面地理解和掌握解法的特点和应用。
同时，代入法也为学生提供了一种备选的解题思路，方便学生在解决问题时灵活选择。
三、不足改进1. 局限性代入法解二元一次方程组的基本思路是将其中一个方程作为目标方程，然后将另一个方程中的变量用目标方程中的变量代替，从而得到一个只包含一个未知数的方程。
这个方法对于一些特殊的二元一次方程组可能不适用，或者解的过程会比较冗长。
二元一次方程的解法-代入法1
小结: 小结
x =5− y x = 2 ; (1) ; (2) 3x +2y = 4 2x+4y =7
6 x + 3 y = 7 (4) 3x + 3 y = 5;
通过本节课的研究,学习, 通过本节课的研究,学习,你有 哪些收获？ 哪些收获？
x − y = 3 (3) 3x − 2 y = 5;
1
1、练习：解方程组 练习：
2 x − 3 y = 7 (1) 4 x + y = − 1; 2 y − 7 x = 8 ( 2) 3 x − 8 y − 10 = 0 .
2
看看你掌 握了吗？
2、已知（2x+3y- 4）+∣x+3y-7∣=0 、已知（ ） ∣ ∣ －3 ，y= 1 0 。 则x=
由两个一次方程组成， 由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组
问题3 什么是二元一次方程组的解。 问题3：什么是二元一次方程组的解。 使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相 等的两个未知数的值（即两个方程的公共解）。 等的两个未知数的值（即两个方程的公共解）。
1你能把下列方程写成用含x的式子表示y的形式吗？ 你能把下列方程写成用含x的式子表示y的形式吗？
知识拓展
1.
x = 1 bx+ay = 5 已知 y = 2 是二元一次方程组 ax+by = 7
的解， 的解，则 a= 1 ，b= 3 。
2.已知 (a+2b-5)2+|4a+b-6|=0， 已知 ， 的值. 求a和b的值 和 的值
a=1 b=1
思考题 2x2x-y=3 3.若方程组 3.若方程组 的解与方程组 3x+2y=8
学生版二元一次方程组解法(一)--代入法(基础)知识讲解
二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：5341x y x y =+⎧⎨+=⎩.举一反三：【变式】若方程y ＝1－x 的解也是方程3x ＋2y ＝5的解，则x ＝____，y ＝____.2. 用代入法解二元一次方程组：524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩①②举一反三：【变式1】与方程组2020x y x y +-=⎧⎨+=⎩有完全相同的解的是（ ） A ．x+y －2=0 B ．x+2y=0C ．(x+y －2)(x+2y)=0D ．22(2)0x y x y +-++=【变式2】若∣x－2y ＋1∣＋(x ＋y －5)2＝0，则 x= ， y= .类型二、由解确定方程组中的相关量3. 方程组43235x y kx y-=⎧⎨+=⎩的解x y与的值相等，则k的值是 .举一反三：【变式】若方程组231(1)(1)4x yk x k y+=⎧⎨-++=⎩的解x与y相等，求k.4. 若方程组ax+by=11(5-a)x-2by+14=0⎧⎨⎩的解为14xy=⎧⎨=⎩，试求a b、的值.二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．用代入消元法解方程组323211x yx y-=⎧⎨+=⎩①②代入消元法正确的是（）.A．由①②得y＝3x+2，代入②，得3x＝11-2(3x+2)B．由②得1123yx-=，代入①，得11231123yy-=-C．由①得23yx-=，代入②，得2-y＝11-2yD．由②得3x＝11-2y，代入①，得11-2y-y＝22．用代入法解方程组34225x yx y+=⎧⎨-=⎩①②使得代入后化简比较容易的变形是（）.A．由①得243yx-=B．由①得234xy-=C．由②得52yx+=D．由②得y ＝2x-53．对于方程3x-2y-1＝0，用含y的代数式表示x，应是（）.A．1(31)2y x=-B．312xy+=C．1(21)3x y=-D．213yx+=4．已知x+3y＝0，则3232y xy x+-的值为（）.A．13B．13-C．3 D．-35.一副三角板按如图摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为( ) .A. B. C. D.6．已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解．则a-b的值为（）.A．-1 B．1 C．2 D．3 二、填空题7．解方程组523,61,x yx y+=⎧⎨-=⎩①②若用代入法解，最好是对方程________变形，用含_______的代数式表示________．8．如果-x+3y＝5，那么7+x-3y＝________．9．方程组525x yx y=+⎧⎨-=⎩的解满足方程x+y-a＝0，那么a的值是________．10.若方程3x-13y＝12的解也是x-3y＝2的解，则x＝________，y＝_______．11.小刚解出了方程组332x yx y-=⎧⎨+=⎩▲的解为4xy=⎧⎨=⎩▉，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则▲＝________，▇＝________.12.三年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则父亲现在的年龄是________岁，儿子现在的年龄是________岁．三、解答题13．用代入法解下列方程组：(1)52233x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②(2)233511x yx y+=⎧⎨-=⎩①②14．小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？并求出原方程组的解．解方程组123761x yx y-=⎧⎨+=⎩①②解：由②，得y＝1-6x ③将③代入②，得6x+(1-6x)＝1（由于x消元，无法继续）15．m为何值时，方程组522312x y mx y m-=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数？。
二元一次方程组解法(一)--代入法(基础)知识讲解
二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：5341x y x y =+⎧⎨+=⎩. 【思路点拨】直接将上面的式子代入下面的式子，化简整理即可.【答案与解析】解：5341x y x y =+⎧⎨+=⎩①② 将①代入②得：3(5)41y y ++=③去括号，移项，合并，系数化1得：2y =- ④把④代入①得：3x =∴ 原方程组的解为：32x y =⎧⎨=-⎩【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.举一反三：【变式】若方程y ＝1－x 的解也是方程3x ＋2y ＝5的解，则x ＝____，y ＝____.【答案】3，﹣ 2.2. 用代入法解二元一次方程组：524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩①②【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x 的系数为1，所以把方程②中的x 用y 来表示，再代入①中即可.【答案与解析】解：由②得x ＝5-y ③将③代入①得5(5-y )-2y -4＝0，解得：y ＝3，把y ＝3代入③，得x ＝5-y ＝5-3＝2所以原方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩． 【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例3】【变式1】与方程组2020x y x y +-=⎧⎨+=⎩有完全相同的解的是（ ） A ．x+y －2=0B ．x+2y=0C ．(x+y －2)(x+2y)=0D ．22(2)0x y x y +-++=【答案】D【变式2】若∣x－2y ＋1∣＋(x ＋y －5)2＝0，则 x= ， y= .【答案】3,2类型二、由解确定方程组中的相关量3. 方程组43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩的解x y 与的值相等，则k 的值是 .【思路点拨】将x y =代入上式，可得,x y 的值，再代入下面的方程可得k 值.【答案】1【解析】解：43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩①② 将x y =代入②得1x y ==，再代入①得1k =.【总结升华】一般地，先将k 看作常数，解关于x ，y 的二元一次方程组再令x=m 或y=m ，得到关于m 的方程，解方程即可．【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例8（4）】举一反三：【变式】若方程组231(1)(1)4x y k x k y +=⎧⎨-++=⎩的解x 与y 相等，求k.【答案】将x y =代入上式得15x y ==，再代入下式得10k =. 4. 若方程组ax+by=11(5-a)x-2by+14=0⎧⎨⎩的解为14x y =⎧⎨=⎩，试求a b 、的值. 【答案与解析】解：将14x y =⎧⎨=⎩代入得a+4b=11(5-a)-2b 4+14=0⎧⎨⨯⎩，即a+4b=11a+8b=19⎧⎨⎩， 解得a=3b=2⎧⎨⎩. 【总结升华】将已知解代入原方程组得关于a b 、的方程组，再解关于a b 、方程组得a b 、的值.二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．用代入消元法解方程组323211x y x y -=⎧⎨+=⎩①②代入消元法正确的是（ ）.A ．由①②得y ＝3x+2，代入②，得3x ＝11-2(3x+2)B ．由②得1123y x -=，代入①，得11231123y y -=- C ．由①得23y x -=，代入②，得2-y ＝11-2y D ．由②得3x ＝11-2y ，代入①，得11-2y -y ＝22．用代入法解方程组34225x y x y +=⎧⎨-=⎩①②使得代入后化简比较容易的变形是（ ）. A ．由①得243y x -= B ．由①得234x y -= C ．由②得52y x += D ．由②得y ＝2x -53．对于方程3x -2y -1＝0，用含y 的代数式表示x ，应是（ ）.A ．1(31)2y x =-B ．312x y +=C ．1(21)3x y =-D ．213y x += 4．已知x+3y ＝0，则3232y x y x +-的值为（ ）.A．13B．13-C．3 D．-35.一副三角板按如图摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为( ) .A. B. C. D.6．已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解．则a-b的值为（）.A．-1 B．1 C．2 D．3 二、填空题7．解方程组523,61,x yx y+=⎧⎨-=⎩①②若用代入法解，最好是对方程________变形，用含_______的代数式表示________．8．如果-x+3y＝5，那么7+x-3y＝________．9．方程组525x yx y=+⎧⎨-=⎩的解满足方程x+y-a＝0，那么a的值是________．10.若方程3x-13y＝12的解也是x-3y＝2的解，则x＝________，y＝_______．11.小刚解出了方程组332x yx y-=⎧⎨+=⎩▲的解为4xy=⎧⎨=⎩▉，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则▲＝________，▇＝________.12.三年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则父亲现在的年龄是________岁，儿子现在的年龄是________岁．三、解答题13．用代入法解下列方程组：(1)52233x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②(2)233511x yx y+=⎧⎨-=⎩①②14．小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？并求出原方程组的解．解方程组123761x y x y -=⎧⎨+=⎩①②解：由②，得y ＝1-6x ③将③代入②，得6x+(1-6x )＝1（由于x 消元，无法继续）15．m 为何值时，方程组522312x y m x y m -=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数？ 【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D ；2. 【答案】D ；3. 【答案】D ；【解析】移项，得321x y =+，系数化1得213y x +=. 4. 【答案】B ；【解析】由x+3y ＝0得3y ＝﹣x ，代入32213223y x x x y x x x +-+==----. 5. 【答案】D ；6. 【答案】A ；【解析】将21x y =⎧⎨=⎩代入71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩得2721a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩. 二、填空题7. 【答案】②； x ， y ；8. 【答案】2；【解析】由-x+3y ＝5得x －3y ＝﹣5，代入7+x -3y=7+（﹣5）＝2.9. 【答案】-5；【解析】由525x y x y =+⎧⎨-=⎩解得05x y =⎧⎨=-⎩，代入 x+y -a ＝0，得a ＝-5.10．【答案】﹣2.5，﹣1.5；【解析】联立方程组3131232x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得 2.51.5x y =-⎧⎨=-⎩. 11.【答案】17，9；【解析】将4x =代入33x y -=得9y =，即▇＝9，再将4x =，9y =代入2x y +=▲，得▲＝17.12.【答案】51，15；【解析】设父亲现在的年龄是x 岁，儿子现在的年龄是y ．由题意得：34(3)33(3)x y x y -=-⎧⎨+=+⎩，解得5115x y =⎧⎨=⎩.三、解答题13.【解析】解： (1)由②得x＝3-3y③，将③代入①得，5(3-3y)-2y＝-2，解得y＝1，将y＝1代入③得x＝0，故1 xy=⎧⎨=⎩．(2)由①得y＝3-2x ③，将③代入②得，3x-5(3-2x)＝11，解得x＝2，将x＝2代入③得y＝-1，故21 xy=⎧⎨=-⎩．14.【解析】解：无法继续的原因是变形所得的③应该代入①，不可代入②．由②，得y＝1-6x ③，将③代入①，得12x-3(1-6x)＝7．解得13x=，将13x=代入③，得y＝-1．所以原方程组的解为131xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩．15.【解析】解：由题意得x＝-y，把x＝-y代入方程得522312y y my y m--=⎧⎨-+=-⎩，整理得312m yy m=-⎧⎨=-⎩①②．把②代入①，得m＝9．所以m为9时，原方程组的解互为相反数．。
二元一次方程组的代入解法
教学设计《§7﹒2解二元一次方程组第一课时》刘艳君西温庄乡二中单元课题：二元一次方程组课标要求：1．能够根据具体问题中的数量关系，列出方程。
体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2．经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。
3．会解简单的二元一次方程组。
4．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
教材分析：本章与一元一次方程类似，强调建模思想，关注知识的形成与应用过程，为此，教材设计继续遵循“问题情境—建立模型—解释、拓展与应用”的模式，然后探究其各种解法，并在现实情境中加以应用，切实提高学生的应用意识。
在七年级上学期学生已经学习了一元一次方程，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验.在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等.它是一元一次方程的继续和发展，同时又是今后学习一次函数、线性方程组及平面解析几何等知识的基础.本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数方法的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识.学情分析：本节课面对的学生处于城乡结合处，他们在七年级（上）的学习中已经掌握了一元一次方程的解法，有较为扎实的运算技能，因此对二元一次方程组的学习难度不大。
八年级的学生有比较强烈的自我表现和自我发展的意识，对通过自己的直接参与、观察、讨论、归纳及上台展示的学习任务比较感兴趣，因此教师在教学设计中，设法使学生充分的展示自我。
在教学中，教师对发现知识的学生应给予及时、充分的肯定，对于表述不够准确的学生，给予充分的引导、鼓励，让学生都有兴趣参与到数学的学习中来。
教学目标：1．经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想.发展学生灵活运用有关知识解决实际问的能力，培养良好的数学应用意识。
2．使学生了解二元一次方程、方程组的解、解二元一次方程组等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.3．能根据实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决应用问题，并能检验解的合理性.4．了解二元一次方程组的图像解法，初步体会方程与函数的关系。
代入法解二元一次方程组步骤
代入法解二元一次方程组步骤
代入法是解决二元一次方程组的一种常见方法。
步骤如下：
1. 将其中一个方程解出其中一个变量，如将方程1解出x，得到x=f(y)。
2. 将解出的表达式代入另一个方程，得到一个关于另一变量的一次方程。
3. 解这个关于另一变量的一次方程，得到另一个变量的值。
4. 将这个变量的值代入到求得的表达式（x=f(y)）中，得到另一个变量的值。
5. 将两个变量的值写成一个有序对，即为方程组的解。
例如，假设有以下方程组：
方程1：2x + 3y = 17
方程2：4x - 5y = 1
我们可以先将方程1解出x：
2x = 17 - 3y
x = (17 - 3y)/2
然后将x代入方程2，得到：
4((17 - 3y)/2) - 5y = 1
进一步化简得到：
34 - 6y - 5y = 2
-11y = -32
y = 32/11
将y的值代入方程1中，得到：
2x + 3(32/11) = 17
2x + 96/11 = 17
2x = 187/11 - 96/11
x = 91/22
所以，方程组的解为(x,y) = (91/22, 32/11)。
(完整版)二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组的常见解法二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．2x+5y=－21①例1、解方程组x+3y=8 ②解由②得：x=8－3y ③把③代入①得2（8－3y）+5y=－21解得：y=37把y=37代入③得：x=8－3×37=－103x=－103所以这个方程组的解是y=37二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．3x－4y=9①例2、解方程组9x－10y=3②解由①得3x=4y+9 ③把③代入②得3(4y+9)－10y=3解得y=－12把y=－12代入③得3x=4×(－12)+9解得x=－13x=－13所以方程组的解是y=－12三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．2x+3y=14 ①例3、解方程组4x－5y=6②解由①×2得4x+6y=28 ③③－②得：11y=22解得y=2把y=2代入②得4x－5×2=6解得x=4x=4所以方程组的解为y=2四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．3(x+2)+(y－1)=4 ①例4 解方程组3(x+2)+(1－y)=2 ②解①－②得(y－1)－(1－y)＝4－2整理得2y=4解得y=2把y=2 代入①得3(x+2)+(2－1)=4整理得3x+7=4解得x=－1x=－1所以方程组的解为y=2解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法，因为方程的形式是多种多样的．所以在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法．。
二元一次方程的解法代入消元法
二元一次方程的解法代入消元法
一、简介
消元法是一种解决二元一次方程的一种常用解法，它通过运算来将方程消除或变换，从而求出原方程的解。
它采用一系列的步骤对原方程进行消元，首先选定两边的系数，然后乘以相应的数，结果在方程的两边相加，接着消除俩边中的自由项，最后求出未知数的取值，即可得到该方程的解。
二、步骤
1. 写出方程：
首先，写出待求解的二元一次方程，例如：2x+3y=1。
2. 选定两边的系数:
在原方程中选定一边的系数，例如选定2，另一边的系数则是3，即2x+3y=1。
3. 乘以相应的数:
所选定的系数乘以相应的数，例如选定2，则2乘以3，即2×
3=6；而另一边的系数为3，则3乘以2，即3×2=6。
4. 消元：
将乘以相应数的结果在方程的两边相加，接着消去双边的自由项，即6x+6y=1-1，我们可以得到6x+6y=0。
5. 求出未知数的取值：
此时，未知数x和y的取值已经确定，将未知数带入得到，x=0，y=-1/3。
把求得的答案代回原方程中，可以得到：2×0+3×(-1/3)=1，
于是有：解为x=0，y=-1/3
三、总结
消元法是一种通用的解二元一次方程的方法，它可以有效地将方程消元求出方程的解，这是它的优点。
此外，它的操作简单，并且可以有效地求出方程的解，在解决方程的过程中比较实用。
10.2二元一次方程组的解法(1)—代入法
1. 能说出用代入法解二元一次方程组的一般步骤；
2. 会用代入法解二元一次方程组。
教学活动方案
随记
【创设情境】
1. x﹣y=3是二元一次方程吗？用含y的代数式表示x=。
2. 是二元一次方程组吗？ 是方程组的解吗？
【确立目标】
学生阅读学习目标，1分钟内熟悉本节课的学习目标。
【自主学习】
解方程组：
二元一次方程组中第①个方程x﹣y＝3可以写成x＝③，
（3） (4)
【拓展提升】
关于x，y的方程组 的解是 ，
则︱m﹣n︱的值是多少？
教学活动方案
随记
【作业布置】
用代入法解下列方程组：
1. 2.
3. 4.
把③代入方程②可以得到，解这个方程得y=,
再把y=代入到第③个方程可得x=，这样就求出了x和y
的值。
代入消元法：将方程组中的一个方程的某一个未知数，用关于另一个未知数的代数式表示出来，然后将它代入到另一个方程中，从
教学活动方案
随记
而转化为解一元一次方程，方程组的这种解法叫做代入消元法，简称代入法。
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.
二元一次方程组——→一元一次方程
（两个未知数——→一个未知数）
【合作交流】
用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
【分组展示】
用代入法解二元一次方程组：
【释疑解惑】
在解上面的方程组时，把求出的一个值代入到方程①、②、③
都行吗？代入到哪一个简单？源自教学活动方案随记【巩固训练】
4.3 二元一次方程组的解法(代入法) 课件2-
:设苹果的质量为 g,梨的质量为 解:设苹果的质量为x g,梨的质量为y g, 由题意可列得方程组: 由题意可列得方程组
x+y = 200 y = x+10
你知道怎样求出它的解吗？ 你知道怎样求出它的解吗？
y x x
=
x y x
+ 10 = 200
+
+
+10 =200
x+（x+10）=200 （ ）
哈哈，二元化一元了 哈哈，二元化一元了!
③
注意：代入时要加括号． 注意：代入时要加括号．
上面解方程组的基本思路是什么？ 上面解方程组的基本思路是什么？
解二元一次方程组的基本思路是 消元” 二元化一元。 消元” “消元”：二元化一元。 “消元” 的方法是“代入” 的方法是“代入” ．这种解方程组 的方法称为代入消元法 简称代入法 代入消元法， 代入法。 的方法称为代入消元法，简称代入,x=2-1=1 代入 X=1 ∴方程组的解为 y=2
｛
例2: 解方程组
2x – 7y = 8 3x - 8y – 10 = 0 解: 由①，得 2x = 8+7y
8+ 7y 即 x= 2
③ 把③代入②，得 代入② 8+7y 3×( )－8y－10 = 0 2
4.3解二元一次方程组 4.3解二元一次方程组 (1)
1、用含x的代数式表示 ： 、用含 的代数式表示 的代数式表示y： 2x+y=2 2、用含y的代数式表示 ： 、用含 的代数式表示 的代数式表示x： 2x-7y=8
一个苹果和一个梨的质量合计２００ ， 一个苹果和一个梨的质量合计２００g，这个 ２００ 苹果的质量加上一个１０ １０g的砝码恰好与这个梨的 苹果的质量加上一个１０ 的砝码恰好与这个梨的 质量相等，问苹果和梨的质量各为多少g？ 质量相等，问苹果和梨的质量各为多少 ？
二元一次方程三种解法
解二元一次方程的三种常见方法是：代入法、消元法和公式法。
1. 代入法：
首先将其中一个方程中的一个变量表示成另一个方程中的变量，然后将其代入到另一个方程中，得到只含有一个未知量的一元一次方程，从而求出该未知量的值，再将其代回原来的方程中，求出另一个未知量的值。
这种方法比较简单，适用于解题过程中比较直观的情况。
2. 消元法：
将两个方程中的某一变量通过加减乘除等运算使其系数相同或相反，得到一个只含有一个未知量的一元一次方程，从而简化原方程组，然后解出未知量。
这种方法比较通用，但需要进行多次运算，有时比较繁琐。
3. 公式法：
如果二元一次方程的形式为ax + by = c，dx + ey = f，可以利用克莱姆(Cramer)法则求出未知量的值，即x = (ce - bf) / (ae - bd)，y = (af - cd) / (ae - bd)。
这种方法在理论上非常简便，但不适用于系数很大的方程组。
代入法解二元一次方程组
解：由①，得
x=y+3 ③ 把③代入②，得 3（y+3）-8y=14. 解这个方程,得 y=-1. 把y=-1代入③,得 x=2. 所以这个方程组的解是 x=2, y=-1.
你能把下列方程写成用含x的式子 表示y的形式吗?
(1)2x – y = 3 (2)3x+y-1=0
用代入法解下列方程组：
（1） y=2x-3 3x+2y=8
解得x 一元一次方程
2x+4（35-x）=94
上面解方程组的基本思路是什么？主 要步骤有哪些？
基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元”． 主要步骤：
1 变形:将方程变形成用一个未知数表示另一 个未知数的形式 2 代入:将变形得到的方程③代入没有变形的方 程 3 解一元一次方程 4 将这个未知数的值代入③求另一个未知数的 值 5 写结论
一元一次方程我 会解！二元一次 方程组……
用代入法解方程组
x – y = 3 ① 3x - 8y = 14 ②
提示：两个方程中同一个字母代表的 含义相同，方程①中x的系数又是1， 能不能将方程①变形为x=y+3代入方 程②？看看能得到什么结果？
例 1 用代入法解方程组
x–y=3 ① 3x - 8y = 14 ②
第八章 二元一次方程组 8.2.1 消 元(第1课时）
今有鸡兔同笼 上有三十五头
下有九十四足 问鸡兔各几何
你能解决这个有趣的鸡兔同笼问题吗？
上面解方程组的过程可以用下面 的框图表示：
二 元 一 次 方 程 组 x+y=35 变形 解得y y=35-x
y=12 X=23
代 入 2x+4y=94
消y
（2） 2x-y=5 3x+4y=2
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5x + 2（2 – 3x）- 2 = 0
5x + 4 – 6x – 2 = 0 5x – 6x = 2 - 4
把x = 2 代入③，得： y = 2 – 3x = 2 - 3×2 = -4
∴ x=2 y = -4
答：x 的值是2，y 的值是 -4.
由∵ 方程组 3x + 2y = 8 的解与
方程组
ax + by = 1 bx + 3y = a
的解相同
把③代入②得： 3x + 2（2x – 3）= 8
∴把
x y
= =
2 1
代入方程组
3x + 4x – 6 = 8
ax + by = 1 得：
3x + 4x = 8 + 6 7x = 14 x=2
4 4x y= 5
用含y 的一次式表示x：
45y x= 4
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
1、将方程组里的一个方程变 形，用含有一个未知数的一次 式表示另一个未知数
2、用这个一次式代替另一个 方程中相应的未知数，得到一 个一元一次方程，求得一个未 知数的值
3、把这个未知数的值代入一 次式，求得另一个未知数的值
x = 3/4 ∴ x = 3/4
y = 5/12
2、 用代入法解下列方程组：
x y 1 23
6( 2x 1 3y 2) 5
2
3
想一想
解 原方程组可化为：
3x – 2y = 6 ① x–y=2 ②
由②得： x = 2 + y ③
把y = 0 代入③，得： x=2+y =2+0
把③代入①得： 3（2 + y）- 2y = 6 6 + 3y – 2y = 6 y=0
把x = 2 代入③，得：
bx + 3y = a 2a + b = 1 ④ 2b + 3 = a ⑤
y = 2x - 3 = 2×2 - 3 =1 ∴ x=2
y=1
解得： a = 1 b = -1
思考题
4、如果∣y + 3x - 2∣+∣5x + 2y -2∣= 0，求 x 、y 的值.
解：根据已知条件，得： y + 3x – 2 = 0 ① 5x + 2y – 2 = 0 ②
y
4x.
②
怎样求这个二元一次方程组的解呢？
y x 200000000 30%, ①
y
4 x.
②
y
3x=6000 X=2000 把x=2000代入②式，得 y=8000
试一试
例1：解方程组 3x+2y=14 ①
y=x-3
②
解:把②代入①,得
3x+2(x-3)=14
3x+2x-6=14 5x=20 X=4
把x=4代入②,得y=4-3=1 ∴方程组的解是 x=4
y=1
练习：用代入法解下列方程组．
1． 3yxx8y
3
14
2． 2xx2yy 5
x2 y1
x2 y1
用代入法
解二元一次 方程组
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
1、将方程组里的一个方程变 形，用含有一个未知数的一次 式表示另一个未知数
x + 3y = 2
①
-2x + 6y = 1 ②
由①得 x = 2 – 3y ③
把③代入②得：
把y = 5/12 代入③，得
-2（2 – 3y）+ 6y = 1 -4 + 6y + 6y = 1 6y + 6y = 1 + 4 12y = 5 y = 5/12
x = 2 – 3y = 2 - 3×5/12
由①得：n = 1 –2m ③
把③代入②得： 3m – 2（1 – 2m）= 1 3m – 2 + 4m = 1 7m = 3 m = 3/7
n = 1 –2m
12 3 1 77
n1 7
m 3 7
x =-1
思考题
2x + ay = 3b
2、已知 y =2， 是关于 x、y 的方程组 ax - by = 1 的
x=2
∴ x=2 y=0
解方程组：
练习题
xy xy 6 23
4（x + y）- 5（x – y）= 2
思考题
1、若方程5x
1 2m+n+4y
1
3m-2n
=
9是关于x、y的二元一次方程，
求m 、n 的值.
解 根据已知条件得：
2m + n = 1 ① 3m – 2n = 1 ②
把m = 3/7 代入③，得：
解，求 a 、 b 的值.
2x + ay = 3b 解 把 x = -1，y = 2 代入方程组 ax - by = 1 得：
-2 + 2a = 3b ①
-a – 2b = 1 ②
由②得： a = -2b - 1 ③
把③代入①得： -2 + 2（-2b – 1）= 3b -2 – 4b – 2 = 3b -4b – 3b = + 2 + 2 -7b = 4 b = -4/7
∴ s=3 t=2
练习题 1、 用代入法解下列方 程组：
① 3a – 5b = 6 a + 4b = -15
② 5s = 3t 5t – 3s + 5 = 0
1、 用代入法解下列方程组： 2（1 – 2x）= 3（y – x） 2（5x – y）- 4（3x – 2y）= 1
想一想
解 原方程组可化为：
温顾而知新：
x1 x0 x1
x 1
x3
在 3， ， 2 ，
，
y 0 y 3 y 2 y 1 y 2
各组值中，
（1）方程y=2x-3的解有——————
（2）方程3x+2y=1的解有—————— （3）方程组 y 2x 3 的解有———— ———— 3x 2y 1
4、写出方程组的解
例2 解方程组 2s = 3t 3s – 2t = 5
解 2s = 3t
①
3s – 2t = 5 ②
由①得： s = 3/2 t ③
把③代入②得：
3×3/2 t – 2t = 5 9/2 t – 2t = 5 9t – 4t = 10 5t = 10 t=2
把t = 2代入③，得 s = 3/2 t = 3/2×2 = 3
把b = -4/7 代入③，得： a = -2b - 1 = -2×（-4/7）-1
a = 1/7
∴ a = 1/7 b = -4/7
思考题
2x - y = 3
ax + by = 1
3、若方程组 3x + 2y = 8 的解与方程组 bx + 3y = a
的解相同，求a 、b的值.
解
2x - y = 3 ① 3x + 2y = 8 ②
-x = -2 x=2
用代入法
解二元一次 方程组
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
1、将方程组里的一个方程变 形，用含有一个未知数的一次 式表示另一个未知数
2、用这个一次式代替另一个 方程中相应的未知数，得到一 个一元一次方程，求得一个未 知数的值
3、把这个未知数的值代入一 次式，求得另一个未知数的值
2、用这个一次式代替另一个 方程中相应的未知数，得到一 个一元一次方程，求得一个未 知数的值
3、把这个未知数的值代入一 次式，求得另一个未知数的值
4、写出方程组的解
练习题 1、 解方程组 ① 2x - 4y = 5
x = 3y - 1
② 3x – 6z = 4 x + 5z = 6
讨论 4x + 5y = 4 用含x 的一次式表示y：
4、写出方程组的解
探究一：
1、已知：
｛ 3x + 2y =8 ① 求x+y得值。 2x +3y =12 ②
2、已知：
｛ x + 2y +3m=10 ① 4x +3y +2m=15 ②
求x+y+m的值。
某校现有校舍20000m2，计划拆除部分旧校舍， 改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新 校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那 么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？ （单位为m2）
图 7.1.1
如果设应拆除上校舍xm2，建造新校舍 ym2，那么根据题意可列出方程组
y x 20000 30%, ①
第七章 用代入法解 二元一次方程组
想一想？
问题1：什么叫二元一次方程组的解？
答：二元一次方程组中各个方程
的公共解叫做这个二元一次方程
组的解。
问题2：
x3 y6
是
y2 x2
x y
10
的解吗？
你怎么验证的？
3．已知4x-y=-1，用关于x的代数式 表示y：___________； 用关于y的代数式表示x ：_________