函数性质与反函数

函数性质与反函数

知识要点：

1.函数的单调性、奇偶性综合

函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质，对于函数y=f(x)，如果在区间(a,b)上是单调的，则在区间(-b，-a)上也单调。如果奇函数y=f(x)在区间(a,b)上是单调增，则在(-b，-a)上也是单调增；若y=f(x)为偶函数，当其在区间(a，b)上是单调增时，在对称区间(-b，-a)上则是单调减。

可以简单的概括为一句话：奇函数在两个对称区间内的单调性相同，偶函数则相反。

注意：对于函数y=f(x)，只能说分别在这两个区间内单调性相同，而不能说在整个区间里单调，更不能说在定义域内单调，在应用时一定要多加留意。

一个很简单的例子就是：奇函数在(0，+∞)上单调减，在(-∞，0)上单调减，但不能说在

(-∞，0)∪(0，+∞)上单调减。

2.反函数

2.1 反函数的概念

设函数y=f(x)(x∈A)的值域为C，如果反解得到的确定了一个从集合C到集合A的映射，则由

这个映射所确定的函数就称为函数y=f(x)(x∈A)的反函数。记为y=f-1(x)(x∈C)

显然，y=f(x)(x∈A)与y=f-1(x)(x∈C)互为反函数。

2.2 反函数的存在性

不是每个函数都有反函数，只有当构成函数的映射是1-1映射时，这个函数才有反函数。这可以借助于逆映射的概念来理解。

结论：如果函数y=f(x)在区间(a，b)上单调，则在(a，b)上存在反函数。

注意：

(1)函数单调是函数存在反函数的充分不必要条件，也就是说，一个函数不单调，也有可能存在反函数，比

如说反比例函数上并不单调，但是在定义域(-∞，0)∪(0，+∞)内存在反函数。

(2)奇函数如果存在反函数，则反函数仍然是奇函数；定义域不是{0}的偶函数都不存在反函数。

2.3 互为反函数间的关系

由反函数的概念可知：

(1)原函数与反函数的定义域值域互换；

(2)对应法则互逆；

(3)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称；

(4)f(f-1(x))=x(x∈C)，f-1(f(x))=x(x∈A)。

注：函数y=f(x)与函数x=f-1(y)在同一个坐标系中的图象相同。

2.4反函数的求解

反函数求解一般可以按照下面几个步骤进行：

(1)求原函数的定义域、值域，以确定反函数的定义域；

(2)反解x，即用含y的代数式表示x；

(3)互换x、y，并注明反函数的定义域。

注意：步骤(3)是因为我们已经习惯于用x表示自变量，用y表示因变量。关键在于理解反函数的对应法则。

典型例题：

例1设f(x)为定义在R上的偶函数，且f(x)在(-∞，0)上单调增，当f(3a2-2a+2)>f(2a2+a+2)时，判断函数y=8+2a-a2的单调性。

分析与解：由函数f(x)在(-∞，0)上单调增，且为偶函数可知，f(x)在区间(0，+∞)上单调减函数。注意到3a2-2a+2>0与2a2+a+2>0均恒成立，于是由函数在(0，+∞)单调减可以得到3a2-2a+2<2a2+a+2，从而得到a的取值范围，并以此解决函数y=8+2a-a2的单调性。

解：因为函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在(-∞，0)上单调增，则f(x)在区间(0，+∞)上为单调减函数。

又对任意实数a都有3a2-2a+2>0与2a2+a+2>0成立

于是由f(3a2-2a+2)>f(2a2+a+2)

得3a2-2a+2<2a2+a+2

解之得0

由函数y=8+2a-a2=-(a-1)2+9(0

函数y=8+2a-a2在区间上是单调增，在区间上单调减。

发展1：设f(x)在R上的偶函数，且f(x)在上单调增，当f(a2-2a-2)>f(2)时，判断函数y=8+2a-a2的单调性。

由于a2-2a-2的符号不能确定，因此不能利用例1中的方法直接由函数值的大小得出自变量的大小，这时有两种方法。

方法一：若f(a2-2a-2)>f(2)，则

方法二：f(a2-2a-2)>f(2)|a2-2a-2|<2

发展2：把题中条件“f(x)为定义在R上的偶函数”改为“f(x)为定义在R上的奇函数”又得到一种新的问题。这种问题照样可以借助于图象来解决。

例2下列函数中哪些存在反函数，哪些不存在？存在的求出其反函数，不存在的说明理由。

(1)f(x)=3x-5(1

(2)f(x)=(x-1)2(x<0)

(3)f(x)=(x-1)2(x∈R)

(4)

分析：(1)、(2)、(4)在所给区间上都是单调函数，自然存在反函数；(3)不存在反函数。

解：

(1)y=f(x)=3x-5(1

所以f(x)=3x-5(1

(2)y=(x-1)2(x<0)，则y>1，由y=(x-1)2(x<0)得，所以函数f(x)=x(x-1)2(x<0)的反函数为

(3)y=(x-1)2(x∈R)的值域为，若y=1，则有x1=0，x2=2与之对应，不符合映射的条件，所以

f(x)=(x-1)2(x∈R)不存在反函数。

(4)，则y≥3，由得x=(y-3)2，所以函数的

反函数为f-1(x)=(x-3)2(x≥3)

注：说明一个函数是否存在反函数时，可以通过反解x，如果对于所给函数值域内的任意y都有唯一的x，则存在反函数，否则就不存在。

例3 已知

分析：这种类型的问题有两种方法；先求出f-1(x)的解析式，再代入计算；利用原函数与反函数的关系计算。

解：

方法一：函数的反函数为

方法二：设，则反函数图象经过点经过点

，解之得m=-2，m=2(舍)

典型练习

1.函数的反函数是()

A.y=x2-2x+2(x<1)

B.y=x2-2x+2(x≥1)

C.y=x2-2x(x<1)

D. y=x2-2x(x≥1)

2.判断下列函数是否存在反函数，若存在，求出其反函数。

(1)y=x2(x≤0)

(2)y=x2，x∈(-2，+∞)

(3)；

(4)

(5)

3.

(1)设点(1，2)既在的图象上，也在其反函数图象上，求a，b的值。

(2)若的图象关于直线y=x对称，求a。

4.若y=f(x)的图象过点(0，-1)，则y=f(x+4)的反函数的图象过点____。

5.若。