7.1简单几何体的面积
侧面积蔺
正棱锥 正棱台
S正棱锥侧=__12__c_h′___ c为底面__周__长__ h′为__斜__高__，即侧 面等腰三角形的高
S正棱台侧=_12_(_c_+_c_′__)h_′_ c′为上底面_周__长__ c为下底面__周__长__ h′为__斜__高__，即侧 面等腰梯形的高
不论做什么，请记住我的格言：笑容是良药， 音乐是秘方，睡觉则可以让你忘掉一切.祝天天快 乐！
活动2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 把直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面分别沿着一条侧棱 展开，分别得到什么图形？侧面积是多少？
类比圆柱、圆 锥、圆台！
h
db
a
h
h
a
b
d
h' h'
其中c为底面周长，h为斜高， 即侧面等腰三角形的高.
C′ h' h'
C
其中c,c分别为上、下底面周长, h为斜高，即侧面等腰梯形的高.
A1
O1 C1
B1
D1
C
A O ED
B
1．(2014·陕西高考)将边长为1的正方形以其一边
所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积
是( C )
A.4π
B.8π
C.2π
D.π
2.正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成
一个小棱锥和一个棱台，则棱台的侧面积为___4_5__.
简单几何体的侧面积
§7 简单几何体的再认识
7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
1．掌握柱体、锥体、台体的侧面积公式.(重点) 2．能应用公式求柱体、锥体、台体的侧面积,熟悉 柱体与锥体、台体之间的转换关系.(难点)
课堂活动1
几何体的表面积和体积公式大全
几何体的表面积和体积公式大全几何体的表面积,体积计算公式1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh 体积:πR²h (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR²+πR[(h²+R²)的平方根] 体积:πR²h/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 3、正方体a－边长,S＝6a²,V＝a³4、长方体a－长,b－宽,c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc5、棱柱S－底面积h－高V＝Sh6、棱锥S－底面积h－高V＝Sh/37、棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1－上底面积,S2－下底面积,S0－中截面积h－高,V＝h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r－底半径,h－高,C—底面周长S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C＝2πrS底＝πr²,S侧＝Ch ,S表＝Ch+2S底,V＝S底h＝πr²h10、空心圆柱R－外圆半径,r－内圆半径h－高V＝πh(R^2-r^2)11、直圆锥r－底半径h－高V＝πr^2h/312、圆台r－上底半径,R－下底半径,h－高V＝πh(R²＋Rr＋r²)/313、球r－半径d－直径V＝4/3πr^3＝πd^3/614、球缺h－球缺高,r－球半径,a－球缺底半径V＝πh(3a²+h²)/6 ＝πh²(3r-h)/315、球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r1²＋r2²)+h²]/616、圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr²＝π2Dd²/417、桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D²＋d²)/12 ,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D²＋Dd＋3d²/4)/15 (母线是抛物线形)。
1.7.1 简单几何体的侧面积
h
d
b
h
h
b
a
a
d
S直棱柱侧＝（a + b + d ) ⋅ h = ch
1 S正棱锥侧 ＝ ch' 2
h'
h'
C′
h'
1 S正棱台侧 （c + c' )h' ＝ 2
h'
C
思考：将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行比较， 思考：将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行比较， 你能发现它们的联系和区别吗？ 你能发现它们的联系和区别吗？
2
答：锅炉的表面积约为 8.8m 2.
例2
圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面 圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面 10cm
展开图的扇环的圆心角是180° 展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多 180 少？（结果中保留 π ） ？（结果中保留 解 如图，设上底面周长为c,因为扇环 如图，设上底面周长为c,因为扇环 c, 的圆心角是180° 所以c= 的圆心角是180°，所以c= π·SA 180
r1 = r2
S圆柱侧 = 2p rl
例1.一个无上盖圆柱形的锅炉，底面直径 d = 1m ， 1.一个无上盖圆柱形的锅炉， 一个无上盖圆柱形的锅炉 求锅炉的表面积（保留2个有效数字） 高 h = 2.3m ，求锅炉的表面积（保留2个有效数字）
骣÷ çd ÷ 解： S = S侧面积 + 2S底面积 = p dh + 2p ç ÷ ç2 桫 1 = p 创 2.3 + 2p 椿 1 4 8.8 (m 2 )
又因为c=2 ,所以SA=20.同理 所以SA=20. 又因为c=2 π×10=20 π ,所以SA=20.同理 SB=40.所以，AB=SBSB=40.所以，AB=SB-SA=20,S圆台侧= 所以
简单几何体的表面积和体积
基础知识梳理
(3)锥体 圆锥和棱锥 的体积 锥体(圆锥和棱锥 锥体 圆锥和棱锥)的体积
1 V锥体＝ Sh. 3
1 其中V圆锥＝ 3 πr2h ，r为底面半径． 其中 为底面半径． 为底面半径
基础知识梳理
(4)台体的体积公式 台体的体积公式 V台＝h(S＋＋ ． ＋＋S′)． ＋＋ 为台体的高， 和 分别为上下 注：h为台体的高，S′和S分别为上下 为台体的高 两个底面的面积． 两个底面的面积． 1 ＋ 其中V 其中 圆台＝ 3 πh(r2＋rr′＋r′2) ． 为台体的高， 、 分别为上 分别为上、 注：h为台体的高，r′、r分别为上、 为台体的高 下两底的半径． 下两底的半径． (5)球的体积 球的体积 4 3 V球＝ 3 πR .
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)由(1)知 AB⊥BD.∵CD∥AB， 由 知 ⊥ ∵ ∥ ， ∴CD⊥BD，从而 DE⊥BD. ⊥ ， ⊥ 在 Rt△DBE 中，∵DB＝2 3， △ ＝ ， DE＝DC＝AB＝2， ＝ ＝ ＝ ， 1 ∴S△DBE＝2DBDE＝2 3. ＝ 又∵AB⊥平面 EBD，BE平面 ⊥ ， EBD，∴AB⊥BE. ， ⊥ ∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝ ＝ ＝ ＝ ， 1 ABBE＝4. ＝ 2
几何体的表面积
几何体的表面积
几何体的表面积是一个几何体表面的全部面积。
1、棱柱体的表面积：上下两个底面积加上一个侧面积。
S表=2S底+S侧
（S底=2πr2，S侧=c周长h高，其中c棱柱体的底面周长，h为棱柱体的高）
2、圆柱体的表面积：上下两个底面积加上一个侧面积。
S表=2S底+S侧
（S底=2πr2，S侧=c周长h高）
3、圆锥体的表面积：一个底面圆形的面积加上一个侧面扇形的面积。
S表=S底+S侧
（S底=πr2，S侧=1/2ch′=πrh′）
4、棱锥体的表面积：一个底面的面积加上相应个数三角形侧面的面积。
S表=S底+nS侧
（n为棱锥体的斜棱条数，即侧面数）
5、球体的表面积：是大圆面积的4倍。
S表=4πr2
（r为球体的半径）
6、正方体的表面积：6个正方形的面积。
S表=6a2
（a正方体一条边的长度）
7、长方体的表面积：6个面的面积。
S表=2ab+2ac+2bc=2（a+b+c）
（a是长方体的长，b是长方体的宽，c是长方体的高）
8、棱台体的表面积：上面的面积加侧面的面积，再加底面的面积。
S表=1/2（c上底+c下底）h
9、圆台体的表面积：上面的面积加侧面的面积，再加底面的面积。
S表=1/2（c上底+c下底）l
（l为母线长）。
基本立体图形-高考数学复习
B．该圆台轴截面面积为3 3 cm2
C．该圆台的体积为7
3π 3
cm3
D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5
cm
12345
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20
解析：如图 1，作 BE⊥CD 交 CD 于 E，易得 CE＝
CD－2 AB＝1，则 BE＝ 22－12＝ 3，则圆台的高为 3 cm，
锥体(棱锥 和圆锥)
S表面积＝ S侧 ＋ S底
台体(棱台 和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
球(R是半径)
S表面积＝ 4πR2
13
体积(S是底面积，h是高) V＝ Sh
1 V＝ 3Sh V＝13(S上＋ S下＋ S上S下) h V＝ 43πR3
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5.常见四棱柱及其关系
14 返回导航
基础检测
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29
解析：如图，E为CD的中点，O为正方形ABCD的中心，连接PO，PE，OE，则PO
⊥平面ABCD. 设CD＝a，PE＝b，则PO＝ PE2－OE2 ＝
b2－a42
，由题意有PO2＝
1 2
ab，即b2－a42＝12ab，化简得4ba2－2·ba－1＝0，解得ba＝1＋4 5(负值舍去). 故选C.
定 转轴，其余三 的直线为旋转
面去截圆
轴，旋转一周所
义 边旋转一周形 轴，其余两边旋 锥，底面与 形成的曲面叫做
成的面所围成 转一周形成的面 截面之间的 球面 ，球面所
的旋转体
所围成的旋转体 部分
围成的旋转体
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9
圆柱
圆锥
圆台
球
①母线延长线交
结 ①母线互相平行且相等， ①母线相交于一点； 于一点 ；
高考数学一轮专项复习ppt课件-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积(北师大版)
(50 mm－100 mm)；小明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一个圆锥形容器(如图)接了
24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级
A.小雨
√B.中雨
C.大雨
D.暴雨
由题意，一个半径为2200＝100(mm)的圆面内的降 雨充满一个底面半径为2200×135000＝50(mm)，高为 150(mm)的圆锥， 所以积水的厚度为13π×π×50120×02150＝12.5(mm)，
√D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行 关系不变，正方形的直观图是平行四边形.
自主诊断
4.若一个圆锥的底面半径和高都是1，则它的母线长等于___2__，它的体积 π
等于___3__. 由轴截面可得圆锥的母线长为 12＋12＝ 2，体积为13×π×12×1＝π3.
(2)(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
√C.长方体是直平行六面体 √D.存在每个面都是直角三角形的四面体
当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥，故A不正确； 当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为圆或矩形，否则 为椭圆或椭圆的一部分，故B不正确； 长方体是直平行六面体，故C正确； 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC， 四个面都是直角三角形，故D正确.
侧面形状 _平__行__四__边__形__
_三__角__形__
_梯__形__
知识梳理
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线 互相平行且相等， 相交于_一__点__ 延长线交于_一__点__ 垂直 于底面
高中数学第一章立体几何初步7简单几何体的再认识7.1柱、锥、台的侧面展开与面积课件北师大版必修2
【自主解答】 设正三棱锥底面边长为 a，斜高为 h′，如图所示，过 O 作 OE⊥AB，连接 SE，则 SE⊥AB，且 SE＝h′.
因为 S 侧＝2S 底， 所以12×3a×h′＝ 43a2×2，所以 a＝ 3h′. 因为 SO⊥OE，所以 SO2＋OE2＝SE2， 所以 32＋ 63× 3h′2＝h′2， 所以 h′＝2 3，所以 a＝ 3h′＝6，
图 1-7-2
第二十四页，共43页。
【提示】 几何体的表面积为 S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－ 0.5π＋2π＝24＋1.5π.
第二十五页，共43页。
探究 2 一个几何体的三视图如图 1-7-3 所示，请求出该几何体的表面积．
图 1-7-3
第二十六页，共43页。
【提示】 该几何体的直观图如图所示．
【答案】 6＋2 3
第四十页，共43页。
5．如图 1-7-7 是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一 遍，已知每平方米用漆 0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)
图 1-7-7
第四十一页，共43页。
【解】 由三视图知，建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱 柱，并且圆锥的底面半径为 3 m，母线长为 5 m，正四棱柱的高为 4 m，底面为 边长为 3 m 的正方形，圆锥的表面积为 πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π(m2)；四棱柱的 一个底面积为 9 m2，正四棱柱的侧面积为 4×4×3＝48(m2)，所以外壁面积为 24π －9＋48＝(24π＋39)(m2)，
大正棱锥侧
小正棱锥侧
＝4×12×8×PE－4×12×4×PE1
＝4×12×8×4 15－4×12×4×2 15
2022届新教材高考数学一轮复习第7章7.1基本立体图形直观图表面积和体积课件新人教A版
记作棱锥 S-ABCD 记作棱台 ABCD-A'B'C'D'
名称 棱柱
底面:两个互相平行
的面;
侧面:底面以外的其
相关 余各面;
概念 侧棱:相邻侧面的公
共边;
顶点:侧面与底面的
公共顶点
棱锥
棱台
底面:多边形面; 上底面:平行于原棱锥底
侧面:有公共顶
面的截面;
点的各个三角
下底面:原棱锥的底面;
④过任意两条母线
的截面是矩形
圆锥
①圆锥有无数条母线,
它们有公共点即圆锥
的顶点,且长度相等.
②平行于底面的截面
都是圆.
③过轴的截面是全等
的等腰三角形.
④过任意两条母线的
截面是等腰三角形
圆台
①圆台有无数条母
线,且长度相等,延
长后相交于一点.
②平行于底面的截
面是圆.
③过轴的截面是全
等的等腰梯形.
④过任意两条母线
2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建
S 圆锥侧=πrl
S 圆台侧=π(r1+r2)l
6.柱、锥、台、球的表面积与体积公式
几何体
表面积
柱体(棱柱和圆柱)
S 表面积=S 侧+2S 底
锥体(棱锥和圆锥)
台体(棱台和圆台)
球
体积
V= Sh
1
Sh
3
S 表面积=S 侧+S 底
V=
S 表面积=S 侧+S 上+S 下
1
V= (S
3
S= 4πR
2
V=
吗?
不一定,因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“相邻两个四边形的
初中 图形面积体积公式(必背公式)
图形的面积与体积公式圆形（正圆）：S=πr^2圆形（正圆外环）：S=πR^2-πr^2圆形（正圆扇形）：S=πr^2×n/360长方体表面积：S=2（ab+ac+bc）{长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2}正方体表面积：S=6a^2{正方体表面积=棱长×棱长×6}球体（正球）表面积：S=4/3πr^2{球体（正球）表面积=圆周率×半径×半径×4/3}1、平行四边形的面积=底×高 S=ah2、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷23、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr4、圆的面积=圆周率×半径×半径Ѕ=πr5、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×26、长方体的体积 =长×宽×高 V =abh7、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a8、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a.a.a= a9、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch10、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch 11、圆柱的体积=底面积×高 V=ShV=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h12、圆锥的体积=底面积×高÷3V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷313、长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高 V=Sh14.180*弧占圆的百分之几（或几分之几）1。
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章§7.1
栏目 导引
第一章
立体几何初步
解：由三视图可知，该几何体是底面为直角三角形且高为 3 的三棱柱，如图所示， 则两底面积的和等于 1 2× 2× 2×1 ＝ 2，侧面积等于 2× BB′× A′ B′＋ BB′× B′ C′＝ 2×3× 2 ＋ 3×2 ＝ 6 ＋6 2 ， 所以这个几何体的表面积为 2＋ 6＋ 6 2＝ 8＋ 6 2.
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第一章
立体几何初步
题型三 空间几何体的表面展开 例3 如图所示，在长方体 ABCD A′B′C′D′ 中， AB ＝ a ，BC ＝ b，BB′ ＝ c ，并且 a ＞b ＞ c＞0，求沿着长方体表面 自A到C′的最短路线的长．
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第一章
立体几何初步
【解】 沿着 AB，将该几何体剪开，铺到一个平面当中， 可得下图：
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第一章Βιβλιοθήκη 立体几何初步简单 几何体 圆台
侧面展开图
侧面积公式 π(r1＋r2)l ，其中r1、 S圆台侧＝___________ r2分别为上、下底面半径，l为 侧面母线长
正棱锥
1 ch′ 2 S正棱台侧＝__________其中c为 底面周长，h′为斜高，即侧 面等腰三角形的高
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第一章
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第一章
立体几何初步
【名师点评】
(1) 求柱、锥、台的表面积 ( 或全面积 ) 就是求
它们的侧面积和(上、下)底面积之和．
(2)求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成基本的柱、 锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或 作差，从而获得几何体的表面积．
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第一章
立体几何初步
提示：通过前面的学习，我们已经认识到了棱柱、棱锥和棱
高中数学简单几何体的表面积与体积考点及例题讲解
简单几何体的表面积与体积考纲解读 1.结合三视图求几何体的表面积与体积；2.利用几何体的线面关系求表面积和体积；3.求常见组合体的表面积或体积．[基础梳理]1．多面体的表面积与侧面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表面积与侧面积名称侧面积 表面积 圆柱(底面半径r ，母线长l ) 2πrl 2πr (l ＋r ) 圆锥(底面半径r ，母线长l ) πrl πr (l ＋r ) 圆台(上、下底面半径r 1，r 2，母线长l )π(r 1＋r 2)lπ(r 1＋r 2)l ＋π(r 21＋r 22) 球(半径为R )4πR 23.空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S ′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh .特别地，V 圆柱＝πr 2h (r 为底面半径)． (2)V 锥体＝13Sh .特别地，V 圆锥＝13πr 2h (r 为底面半径)．(3)V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．特别地，V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2)(r ，r ′分别为上、下底面半径)．(4)V 球＝43πR 3(球半径是R )．[三基自测]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144答案：A2．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．答案：1∶473．一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm ，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．答案：3365π cm 24．(必修2·1.3A 组改编)球内接正方体的棱长为1，则球的表面积为________． 答案：3π5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)所有棱长都为2的三棱锥的体积为________． 答案：223考点一 几何体的表面积与侧面积|易错突破[例1] (1)(2018·九江模拟)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋23B ．8＋42C ．6＋6 2D ．6＋22＋43(2)某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.⎝⎛⎭⎫95－π2cm 2 B.⎝⎛⎭⎫94－π2cm 2 C.⎝⎛⎭⎫94＋π2cm 2 D.⎝⎛⎭⎫95＋π2cm 2 (3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．[解析] (1)直观图是四棱锥P ABCD ，如图所示，S △P AB ＝S △P AD ＝S △PDC ＝12×2×2＝2，S △PBC ＝12×22×22×sin 60°＝23，S 四边形ABCD ＝22×2＝42，故此棱锥的表面积为6＋42＋23，故选A.(2)该几何体的上下为长方体，中间为圆柱． S 表面积＝S 下长方体＋S 上长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝⎛⎭⎫122＝94＋π2(cm 2)． (3)由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示．长方体的长、宽、高分别为4,3,1，表面积为4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38， 圆柱的底面圆直径为2，母线长为1， 侧面积为2π×1＝2π，圆柱的两个底面面积和为2×π×12＝2π. 故该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38. [答案] (1)A (2)C (3)38 [易错提醒]1．以三视图为载体的几何体的表面积或侧面积问题，要分清三视图中的量是否为各表面计算面积所用的量．2．几何体切、割后的图形的表面，不一定是减少，甚至可能增加．3．组合体的表面积，要注意衔接部分分散在哪个面中来计算．[纠错训练]1．已知某斜三棱柱的三视图如图所示，求该斜三棱柱的表面积．解析：由题意知，斜三棱柱的直观图如图中ABC A 1B 1C 1所示．易知正方体的棱长为2.斜三棱柱的两个底面积的和为2S △ABC ＝2×12×AB ×AC ＝2，侧面ABB 1A 1的面积S 侧面ABB 1A 1＝2×1＝2，侧面ACC 1A 1为矩形，S 侧面ACC 1A 1＝AA 1·AC ＝25，侧面BCC 1B 1是边长为5的菱形，连接CB 1、BC 1，易得CB 1＝23，BC 1＝22，且CB 1⊥BC 1，所以S 侧面BCC 1B 1＝12CB 1·BC 1＝12×23×22＝26，所以斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的表面积为4＋2(5＋6)．2．(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，求它的表面积．解析：该几何体是一个球体挖掉18剩下的部分，如图所示，依题意得78×43πR 3＝28π3，解得R ＝2，所以该几何体的表面积为4π×22×78＋34π×22＝17π.考点二 空间几何体的体积|方法突破[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(2)正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥C 1B 1DA 的体积为( )A ．3 B.32 C ．1D.32(3)(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．[解析] (1)法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V ＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V ＝π×32×7＝63π，选择B.(2) 在正△ABC 中，D 为BC 中点， 则有AD ＝32AB ＝3， S △DB 1C 1＝12×2×3＝ 3.又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A B 1DC 1底面上的高．∴VC 1B 1DA ＝VA C 1B 1D ＝13S △DB 1C 1·AD ＝13×3×3＝1.(3)该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.[答案] (1)B (2)C (3)2＋π2[方法提升]求几何体的体积的方法 方法解读适合题型 直接法对于规则几何体，直接利用公式计算即可．若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解 规则 几何体割补法当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体不规则 几何体 等积转换法 利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面．求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算三棱锥[跟踪训练]1．(2018·大连双基检测)如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．15B ．13C ．12D ．9解析：几何体的直观图如图所示，其中底面ABCD 是一个矩形(其中AB ＝5，BC ＝2)，棱EF ∥底面ABCD ，且EF ＝3，直线EF 到底面ABCD 的距离是3.连接EB ，EC ，则题中的多面体的体积等于四棱锥E ABCD 与三棱锥E FBC 的体积之和，而四棱锥E ABCD 的体积等于13×(5×2)×3＝10，三棱锥E FBC 的体积等于13×⎝⎛⎭⎫12×3×3×2＝3，因此题中的多面体的体积等于10＋3＝13，选B.答案：B2．如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________．解析：由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得 V圆台＝13×(π×AD 2＋π×AD 2×π×BC 2＋π×BC 2)×AB ＝13×π×(AD 2＋AD ×BC ＋BC 2)×AB＝13×π×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)， V 半球＝43π×AD 3×12＝43π×23×12＝163π(cm 3)，所以旋转所形成几何体的体积V ＝V 圆台－V半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)．答案：1403π(cm 3)考点三 有关球的组合体及面积、体积最值问题|思维突破[例3] (1)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )A ．33 B.3 C ．2 6D ．23(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．(3)正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最________值，为________．[解析] (1)设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则可得a 2＋h 24＝9，即a 2＝9－h 24，那么正六棱柱的体积V ＝⎝⎛⎭⎫6×34a 2×h ＝332(9－h 24)h ＝332(－h 34＋9h )． 令y ＝h 34＋9h ，∴y ′＝－3h 24＋9.令y ′＝0，∴h ＝2 3.易知当h ＝23时，正六棱柱的体积最大，故选D.(2)设球O 的半径为R ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，连接AO ，OB (图略)，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，∴V SABC ＝V ASBC ＝13×S △SBC×AO ＝13×(12×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(12×2R ×R )×R ，解得R ＝3，∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.(3)如图，截面图为长方形ACC 1A 1和其外接圆．球心为EE 1的中点O ， 则R ＝OA .设正四棱柱的侧棱长为b ，底面边长为a ，则AC ＝2a ，AE ＝22a ，OE ＝b2，R 2＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭⎫b 22， ∴4R 2＝2a 2＋b 2，则正四棱柱的侧面积： S ＝4ab ＝2·2a ·2b ≤2(a 2＋2b 2)＝42R 2，故侧面积有最大值，为42R 2，当且仅当a ＝2b 时等号成立． [答案] (1)D (2)36π (3)大 42R 2 [思维升华]1．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．2．解决几何体最值问题的方法 方法解读适合题型基本不等式法根据条件建立两个变量的和或积为定值，然后利用基本不等式求体积的最值(1)求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值；(2)求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小值函数法通过建立相关函数式，将所求的组合体中的最值问题最值问题转化为函数的最值问题求解，此法应用最为广泛几何法 由图形的特殊位置确定最值，如垂直图形位置变化中的最值[跟踪训练](2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：△AOB 的面积为定值，当OC 垂直于平面AOB 时，三棱锥O ABC 的体积取得最大值．由16R 3＝36得R ＝6.从而球O 的表面积S ＝4πR 2＝144π.故选C.答案：C1.[考点二](2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π4解析：球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的12，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r＝1－(12)2＝32，故该圆柱的体积V ＝π×(32)2×1＝3π4，故选B.答案：B2.[考点一](2016·高考全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：由三视图知圆锥的高为23，底面半径为2，则圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为12×4π×4＝8π.圆柱的底面积为4π，圆柱的侧面积为4×4π＝16π，从而该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π，故选C.答案：C3.[考点二](2015·高考全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：设圆锥底面的半径为R 尺，由14×2πR ＝8得R ＝16π，从而米堆的体积V ＝14×13πR 2×5＝16×203π(立方尺)，因此堆放的米约有16×203×1.62×3≈22(斛)．故选B.答案：B4.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝142，因此球O 的表面积等于4πR 2＝14π.答案：14π5.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅰ改编)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，求所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值．解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC 的边长变化时，设△ABC 的边长为a (a >0)cm ，则△ABC 的面积为34a 2，△DBC 的高为5－36a ，则正三棱锥的高为⎝⎛⎭⎫5－36a 2－⎝⎛⎭⎫36a 2＝25－533a ， ∴25－533a >0，∴0<a <53，∴所得三棱锥的体积V ＝13×34a 2×25－533a ＝312×25a 4－533a 5.令t ＝25a 4－533a 5，则t ′＝100a 3－2533a 4，由t ′＝0，得a ＝43，此时所得三棱锥的体积最大，为415 cm 3.法二：如图，连接OD 交BC 于点G ，由题意知，OD ⊥BC .易得OG ＝36BC ，∴OG 的长度与BC 的长度成正比．设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，S △ABC ＝23x ·3x ·12＝33x 2，则所得三棱锥的体积V ＝13×33x 2×(5－x )2－x 2＝3x 2×25－10x ＝3×25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )>0，即x 4－2x 3<0，得0<x <2，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，52时，f (x )≤f (2)＝80，∴V ≤3×80＝415.∴所求三棱锥的体积的最大值为415.。
几何图形的面积计算方法
几何图形的面积计算方法一、平面几何图形的面积概念及计算方法1.面积的概念：面积是用来表示平面图形占据平面空间大小的量。
2.计算方法：（1）矩形的面积计算：矩形的面积等于长乘以宽。
（2）平行四边形的面积计算：平行四边形的面积等于底乘以高。
（3）三角形的面积计算：三角形的面积等于底乘以高除以2。
（4）梯形的面积计算：梯形的面积等于上底加下底的和乘以高除以2。
（5）圆的面积计算：圆的面积等于π乘以半径的平方。
（6）扇形的面积计算：扇形的面积等于π乘以半径的平方乘以圆心角除以360°。
二、立体图形的体积及表面积计算方法1.体积的概念：体积是用来表示立体图形占据空间大小的量。
2.表面积的概念：表面积是用来表示立体图形各表面大小之和的量。
3.计算方法：（1）长方体的体积计算：长方体的体积等于长乘以宽乘以高。
（2）长方体的表面积计算：长方体的表面积等于（长乘以宽+长乘以高+宽乘以高）乘以2。
（3）正方体的体积计算：正方体的体积等于棱长的三次方。
（4）正方体的表面积计算：正方体的表面积等于棱长的平方乘以6。
（5）圆柱体的体积计算：圆柱体的体积等于π乘以底面半径的平方乘以高。
（6）圆柱体的表面积计算：圆柱体的表面积等于底面圆的周长乘以高加上底面圆的面积乘以2。
（7）圆锥体的体积计算：圆锥体的体积等于π乘以底面半径的平方乘以高除以3。
（8）圆锥体的表面积计算：圆锥体的表面积等于底面圆的周长乘以母线除以2加上底面圆的面积。
三、面积单位及换算1.面积单位：平方米（m²）、平方分米（dm²）、平方厘米（cm²）、公顷（hm²）、平方千米（km²）等。
2.面积单位换算：（1）1平方米（m²）=100平方分米（dm²）（2）1平方米（m²）=10000平方厘米（cm²）（3）1公顷（hm²）=10000平方米（m²）（4）1平方千米（km²）=100公顷（hm²）=1000000平方米（m²）四、面积的实际应用1.计算土地面积：如农田、住宅区、公园等。
北师大版必修二数学7.1简单几何体的侧面积
安边中学高一年级1学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第课时备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：第周集体备课个人空间一、课题：7.1简单几何体的侧面积二、学习目标1、学会柱、锥、台、球的表面积计算公式，了解有关侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把有关立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想和类比的思想方法。
2、会用公式解决一些实际问题。
三、教学过程【温故知新】思考：在生产建设、科学实验及社会实践中，常常会遇到那些计算物体表面积与体积的问题？【导学释疑】1.填表：柱、锥、台、球的侧面或表面积圆柱S侧= S表=圆锥S侧= S表=圆台S侧= S表=直棱柱S侧= S表=正棱锥S侧= S表=正棱台S侧= S表=球S表=2.探究直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的联系与区别。
【巩固提升】1．已知正六棱柱的高为2m,底面边长为3m，求它的表面积。
2．从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为3、4、12，求它的对角线的长。
3．正四棱台的上下两底面边长分别为3、6，其侧面积等于两底面积之和，则其高和斜高分别是多少？【检测反馈】1．若正三棱锥的斜高是高的332倍，则棱锥的侧面积是底面积的（ ） A ．32倍 B ．2倍 C ．38倍 D ．3倍 2．若圆锥的侧面积展开图是圆心角为0120，半径为L 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（ ）A.3:2B.2:1C.4:3D.5:33. 用长为6，宽为4的 矩形做侧面围成一个圆柱，则此圆柱的轴截面的面积为（ ）A.π24B. 24C.π12D. π6 【高考延伸】1．一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的表面积为2．设计一个正四棱锥形的冷水塔塔顶，高是0.75m,底面边长是2m,制造这种塔顶需要多少平方米的铁板？反思栏。
简单几何体的表面积和体积 (教师版)
简单几何体的表面积和体积1 柱体①棱柱体积：V=sℎ(其中ℎ是棱柱的高)②圆柱(1) 侧面积：S=2πrℎ(2) 全面积：S=2πrℎ+2πr2(3) 体积：V=Sℎ=πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)2 锥体①棱锥棱锥体积：V=13Sℎ(其中ℎ为圆柱的高)；②圆锥(1) 圆锥侧面积：S=πrl(2) 圆锥全面积：S=πr(r+l)(其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)(3) 圆锥体积：V=13Sℎ=13πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)3台体①圆台表面积S=π (r′2+r′2+r′l+rl)其中r′是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.②台体体积V=13(S′+√SS′ +S) ℎ其中S , S′分别为上，下底面面积，ℎ为圆台的高.4 球体面积S=4πR2，体积V=43πR3（其中R为球的半径）【题型一】几何体的表面积【典题1】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1=．【解析】如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，则正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面积分别为S1=4×2×3=24；正四棱锥O－A1B1C1D1的斜高为√12+32=√10．∴正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积S2=4×12×2×√10=4√10．∴S2S1=4√1024=√106．【点拨】注意侧面积和全面积的区别．【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（）A．2π B．3πC．4πD．5π【解析】圆锥的底面半径为2，高为4，∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2x因此，内接圆柱的高 ℎ=4−2x；∴圆柱的侧面积为：S=2πx(4−2x)=4 π(2x−x2)(0<x<2)令t=2x−x2，当x=1时t max=1；所以当x=1时，S max=4π．即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π．故选：C ．【点拨】① 圆柱的侧面积S =2πrℎ，则需要知道圆柱的高ℎ与底圆半径r ；② 在处理圆锥、圆柱问题时，要清楚母线、高、底圆的半径之间的关系，则要看轴截面(如下图),此时由相似三角形的性质可以得到每个量的关系.【典题3】 一个圆台上、下底面半径分别为r 、R ，高为ℎ，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )A ．2ℎ=1R +1rB ．1ℎ=1R +1rC ．1r =1R +1ℎD ．2R =1r +1ℎ 【解析】设圆台的母线长为l ，根据题意可得圆台的上底面面积为S 上=πr 2，圆台的下底面面积为S 下=πR 2，∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，∴侧面积S 侧=π(r 2+R 2)=π(r +R)l ，解之得l =r 2+R 2r+R ∵l =√ℎ2+(R −r)2∴r 2+R 2r+R =√ℎ2+(R −r)2，∴(r 2+R 2r +R )2=ℎ2+(R －r)2 ∴2ℎ=1R +1r ．故选 A ． 【点拨】在处理圆台问题时，要清楚母线、上底圆半径、下底圆半径、高之间的关系，则要看轴截面(如下图),有 l =√ℎ2+(R −r)2.【题型二】几何体的体积【典题1】正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧DB̂分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积V1、V2、V3之比是()A．2: 1: 1B．1∶2: 1C．1∶1∶1D．2∶2: 1【解析】设正方形ABCD的边长为1，可得图1旋转所得旋转体为以AD为轴的圆锥体，高AD=1且底面半径r=1∴该圆锥的体积为V1=13π×AB2×AD=13π；图2旋转所得旋转体，是以AD为半径的一个半球，减去图1旋转所得圆锥体而形成，∴该圆锥的体积为V2=V半球−V1=12×43π×AD2－V1=13π；图3旋转所得旋转体，是以AD为轴的圆柱体，减去图2旋转所得半球而形成，∴该圆锥的体积为V3=π×AB2×AD－V半球=π－23π=13π综上所述V1=V2=V3=13π，由此可得图中1、2、3三部分旋转所得旋转体的体积之比为1∶1∶1．故选 C．【点拨】①圆锥是由直角三角形以某一直角边为轴旋转得到；圆柱是由矩形以某一边为轴旋转得到；球是由半圆以直径为轴旋转得到;②求解不规则图形可用“割补法”.【典题2】如图，圆锥形容器的高为ℎ，圆锥内水面的高为ℎ1，且ℎ1=13ℎ，若将圆锥的倒置，水面高为ℎ2，则ℎ2等于()A．23ℎB．1927ℎC．√633ℎD．√1933ℎ【解析】方法一设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为49S．∴水的体积V =13Sℎ－13×49S ×(ℎ−ℎ1)=1981Sℎ． 设倒置后液面面积为S′，则S′S =(ℎ2ℎ)2，∴S′=Sℎ22ℎ2．∴水的体积V =13S′ℎ2=Sℎ233ℎ2． ∴1981Sℎ=Sℎ233ℎ2，解得ℎ2=√193ℎ3． 故选 D ．方法二 设容器为圆锥1，高为ℎ,体积为V ;倒置前液面上的锥体为圆锥2，高为ℎ′=ℎ−ℎ1,体积为V 1;倒置后液面以下的锥体为圆锥3，高为ℎ2,体积为V 2.∵ℎ1ℎ=13 ∴ℎ′ℎ=23 ∴V−V 水V =(23)3=827⇒V 水V =1927， 在倒置后，又有V 水V =(ℎ2ℎ)3 ∴(ℎ2ℎ)3=1927⇒ℎ2=√193ℎ3【点拨】 ① 涉及圆台的表面积和体积，可把圆台补全为圆锥；② 两个相似几何体，若相似比为a ,则对应线段比为a ，对应的平面面积比为a 2,对应的几何体体积比是a 3.【典题3】 已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =2，∠ASC =∠BSC =45°，则棱锥S −ABC 的体积V = .【解析】由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，如图所示，设SD =x ，则DC =4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥SABD 和CABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD =BD =x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC =∠SAC =90°，所以∠DBC =∠DAC =45°，所以在△BDC 中，BD =4－x ，所以x =4－x ，解得x =2，所以AD =BD =2，所以 ABD 为正三角形，所以V =13S △ABD ×4=4√33.【点拨】① 圆内直径所对的圆周角为90°；② 若垂直于三棱锥的某棱长的截面面积为S ，棱长长ℎ，则三棱锥的体积为13Sℎ．【题型三】与球有关的切、接问题【典题1】 已知三棱锥D −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB =AC =BC =DB =DC =1，当三棱锥D －ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ）A. 5π3B. 2 πC. 5 πD. 20π3【解析】 如图，当三棱锥D −ABC 的体积取到最大值时，则平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG ⊥BC ，DG ⊥BC ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，由AB =AC =BC =DB =DC =1，得正方形OEGF 的边长为√36，则OG =√66∴四面体A −BCD 的外接球的半径R =√OG 2+B G 2=√(√66)2+(12)2=√512 ∴球O 的表面积为=4 π×(√512)2=5π3，故选：A ．【典题2】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为√10的正四棱锥P －ABCD 中，大球O 1内切于该四棱锥，小球O 2与大球O 1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O 2的体积为 ．【解析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM=1，PM=√PA2−AM2=√10−1=3，PO=√9−1=2√2，如图，在截面PMO中，设N为球O1与平面PAB的切点，则N在PM上，且O1N⊥PM，设球O1的半径为R，则O1N=R，因为sin∠MPO=OMPM =13，所以NO1PO1=13，则PO1=3R，PO=PO1+OO1=4R=2√2，所以R=√22，设球O1与球O2相切与点Q，则PQ=PO－2R=2R，设球O2的半径为r，同理可得PQ=4r，所以r=R2=√24，故小球O2的体积V=43πr3=√224π，故答案为√224π．巩固练习1(★)如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是()A．S1≤S2B．S1<S2C．S1>S2D．S1≥S2【答案】Ｂ【解析】设圆柱的底面半径为r，图1水的表面积为 S1=2πr2+2πr•r=4πr2．对于图2，上面的矩形的面积的长是2r，宽是2r．则面积是4r2．曲面展开后的矩形长是πr，宽是2r．则面积是2πr2．上下底面的面积的和是π×r2．图2水的表面积S2=(4+3π)r2．显然S1<S2．故选B．2(★) 若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为()A．πB．3π2C．2π3D．π2【答案】Ａ【解析】设圆锥的底面圆半径为r，高为ℎ；由圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为πr•4=4πr；又圆锥的轴截面面积为12•2r•ℎ=rℎ，所以4πr=4rℎ，解得ℎ=π；所以该圆锥的高为π．故选：A．3(★★) 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．【答案】14，10000【解析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是S表面积=8×12×25√2×25√2×sin60°+6×25√2×25√2=10000(cm2)．故答案为：14，10000．4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为12√3，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是.【答案】1: 4: 3√3【解析】由题意可设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰为x，2x，√3x；则圆台的上、下底半径和母线长分别为x，2x，√3x，如图所示；所以上底面的面积为S上底=π•x2；下底面的面积为S下底=π•(2x)2=4πx2；侧面积为S侧面=π(x+2x)•√3x=3√3πx2；所以圆台的上底、下底面积和侧面面积之比是πx2∶4πx2: 3√3πx2=1: 4: 3√3．5(★★) 如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是.【答案】2√2π3【解析】如图所示，过点P 作PE ⊥平面ABC ，E 为垂足，点E 为的等边三角形ABC 的中心．AE =23AD ，AD =√32． ∴AE =23×√32=√33．∴PE =√PA 2−AE 2=√63．设圆柱底面半径为R ，则2R =1sin60°=2√3， ∴圆柱的侧面积＝2πR •PE =√3π×√63=2√2π3，6(★★) 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，则这个圆锥的体积等于 . 【答案】128√281πm 3【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥形物体的母线长l =4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，故2πr =2π3，解得 r =43m ， 故圆锥的高ℎ=√l 2−r 2=83√2m ，故圆锥的体积V =13πr 2ℎ=128√281πm 3．7(★★) 如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为a2(如图②)，则图①中的水面高度为 .【答案】(1−√732)a【解析】 令圆锥倒置时水的体积为V ′，圆锥体积为V ，则v′v =(a 2)3÷a 3=18，∴V 空V 锥=78，倒置后 V 水=18V ， 设此时水高为ℎ，则ℎ3 a 3=78，∴ℎ=(1−√732)a ． 故原来水面的高度为(1−√732)a ．8(★★★) 半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为 .【答案】12√3【解析】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为O 1，O 2，底面边长与高分别为x ，ℎ，则O 2A =√33x ，在Rt △OAO 2中，ℎ24+x 23=4， 化为ℎ2=16−43x 2，∵S 侧=3xℎ，∴S 侧2=9x 2ℎ2=12x 2(12−x 2)≤12(x 2+12−x 22)2=432．当且仅当x 2=12－x 2，即x =√6时取等号，此时S 侧=12√3．9(★★★) 如图所示，在边长为5+√2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M 、N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是 与 ．【答案】10π，2√303π【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为ℎ，由已知条件可得{l+r+√2r=(5+√2)×√22πrl=π2，解得r=√2，l=4√2，∴S=πrl+πr2=10π，又∵h=√l2−r2=√30，∴V=13πr2ℎ=2√303π．故答案为10π，2√303π10(★★★) 已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，现将四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．【答案】27π4【解析】因为四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，所以可以把其放到长宽高分别为a，b，c的长方体中，四面体的棱长是长方体的面对角线，∴a2+b2=22，①；b2+c2=22，②；c2+a2=12，③故四面体的外接球半径R满足：8R2=22+22+12=9；∴R2=98．∵四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，要想圆锥的侧面积最小；故需满足四面体的外接球恰好是圆锥的内切球；作圆锥的轴截面，如图：设BE=r，则AB=2r，AE=√3r；可得：OB2=OE2+EB2；∴R2=(√3r－R)2+r2⇒r=√3R；故圆锥侧面积的最小值为：πrl=2πr2=2π•3R2=27π4．故答案为：27π4．11(★★★) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB=3，BC=4，AC=5，CC1=7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为.【答案】1110【解析】由AB=3，BC=4，AC=5，得AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．将平面ABB1A1与平面BCC1B1放在一个平面内，连接AC1，与BB1的交点即为M，此时BM=3，设四棱锥A－BCC1M的体积为V1，则V1=13×12×(3+7)×4×3=20，三棱柱ABC－A1B1C1的体积V=12×4×3×7=42．∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为V−V1V1=1110．12(★★★) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为．【答案】13【解析】将直三棱柱ABC－A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，∵AB =1，BC =2，BB 1=3，∠ABC =90°，点D 为侧棱BB 1上的动点，∴当AD +DC 1最小时，BD =1，此时三棱锥D －ABC 1的体积V D−ABC 1=V C 1−ABD =13×S △ABD ×B 1C 1=13×12×AB ×BD ×B 1C 1=13×12×1×1×2=13．13(★★★) 已知△SAB 是边长为2的等边三角形，∠ACB =45°，当三棱锥S －ABC 体积最大时，其外接球的表面积为 .【答案】28π3【解析】由题可知，平面CAB ⊥平面SAB ，且CA =CB 时，三棱锥S －ABC 体积达到最大，如右图所示， 则点D ，点E 分别为△ASB ，△ACB 的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O ．∴点O 是此三棱锥外接球的球心，AO 即为球的半径．在△ACB 中，AB =2，∠ACB =45°⇒∠AEB =90°，由正弦定理可知，AB sin∠ACB =2AE ，∴AE =EB =EC =√2，延长CE 交AB 于点F ，延长SD 交AB 于点F ，∴四边形EFDO 是矩形，且OE ⊥平面ACB ，则有OE ⊥AE ，又∵OE =DF =13SF =13×√32AB =√33， ∴OA =√OE 2+AE 2=√73．∴S 球表面积=4πR 2=4π×( √73)2=28π3．14(★★★)如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 ．【答案】12【解析】如图，M是AC的中点．①当AD=t <AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，DM=√3－t，由△ADE∽△BDM，可得ℎ1=√(√3−t)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1⋅√(√3−t)2+1=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，√3)②当AD=t>AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，DM=t－√3，由等面积，可得12⋅AD⋅BM=12⋅BD⋅AH，∴1 2⋅t⋅1=12√(t−√3)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，∴V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1√(√3−t)2+1=16⋅√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(√3，2√3)综上所述，V=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，2√3)令m=√(√3−t)2+1∈[1，2)，则V=16⋅4−m2m，∴m=1时，V max=12．故答案为12．。
7.1简单几何体的侧面积
简单几何体侧面积公式：
S圆柱侧 =2 rl
1 ' ' S圆锥侧 = rl S圆台侧 = (c c )h 2 S圆台侧 = (r1 r2 )l S直棱柱侧 =ch
1 ' S正棱锥侧 = ch 2
检测题： 1. 已知底面为正方形，侧棱长 底边长均为5的四棱锥S-ABCD， 求其侧面积. 2. 若一个圆锥的轴截面是等 边三角形，其面积为 3 ，求 这个圆锥的表面积.
多少？
棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式之间 有何关系,如何转化？
上底扩大 上底缩小
S直棱柱=
ch
c’=c
S正棱台=
c’=0
1 2 (c+c’)h’
S正棱锥=
1 2 ch’
动画
3. 一个圆台，上、下底面半径分别 为 10、20，母线与底面的夹角为 60°，求圆台的侧面积.
随堂巩固：
1、圆锥的底面圆半径是3ห้องสมุดไป่ตู้圆锥的 高是4，则圆锥的侧面积是———— 2、正六棱柱的高为h,底面边长为a, 则正六棱柱表面积是————。
作业： 必做题： 课本P45 1、2、3 选做题： 面积为2的菱形，绕其一 边旋转一周 所得几何体的表面积是
7.1 简单几何体的侧面积
学习目标： 掌握简单几何体的侧面积公式， 并会运用.
自学指导： 请认真看课本P43-P45练习前的内 容，注意以下几个方面： 1.结合展开图理解简单几何体的侧面 积公式，并牢记. 2.直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积中 的高都是“斜高”吗 ？ 3.回答“思考交流”中的问题. 4.学习三道例题如何运用公式的？ 8分钟后检测，比谁能用本节知识 做对检测题。
7.1柱 锥 台的侧面展开与面积
其中c为底面周长，h为高。
11
思考2:把正四棱锥侧面沿一条侧棱剪开再展开， 得到什么图形？侧面积怎么求？
h
h
a
正四棱锥
S正 棱 锥 侧
1 2
ch
c为正棱锥的底周长，h 为斜高，
即侧面等腰三角形的高。
12
思考3:把正三棱台侧面沿一条侧棱剪开再展开， 得到什么图形？侧面积怎么求？
S正棱台侧＝
和6cm,高是1.5cm.求三棱台的侧面积。
解：如图，O1,O分别是上、下底面中心，则 O1O=1.5, 连接A1O1并延长交B1C1于D1， A1
连接AO并延长交BC于D，过D1作D1E
⊥AD于E, 在Rt△D1ED中，
A
D1E=O1O=1.5, DE=DO-OE=DO-D1O1=
1 3
3 6 1
1（c 2
c'
)h'
h'
c、c分别为正棱台的上、
h'
下底的周长，h为斜高，
即侧面等腰梯形的高。
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直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间 有何关系,如何转化？
c’ห้องสมุดไป่ตู้c
c’=0
S直棱柱侧 ch '
S正棱台侧
1 2
c '
ch'
S正棱锥侧
1 ch ' 2
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例3、一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm
弧形长度公式：l n R
2
180
思考1: 把圆柱的侧面沿着一条母线剪开再展开， 得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
r
l
长方形
宽＝ l
简单几何图形的面积计算
简单几何图形的面积计算第二讲简单几何图形的面积计算一．常用的基本公式：1．正方形的边长为a，则正方形的面积是S=a2；2．长方形的长与宽分别是a、b，则长方形的面积是S=a×b。
3．平行四边形的底边长为a，高为h，则面积是S=a ×h。
4．三角形的三条边长分别为a、b、c，在它们上的高分别是h a、h b、h c，则三角形的面积S=a×h a÷2= b×h b÷2= c×h c÷2。
5．梯形的上底为a，下底为b，高为h，则梯形的面积是(a+b)×h÷2。
6．圆的半径为r，则圆的面积是S=π×r2。
其中π=3.14159265…。
二．几种常用的求面积的方法：1．直接利用公式计算；2．列出方程求图形的面积；3．添加辅助线计算图形面积；4．利用割补的办法变化图形，计算图形的面积。
5．用相等面积变换计算图形的面积。
（同底等高问题，等底等高问题）三．例题讲解：例1．如图，一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个长方形的面积分别是15、18、30公顷，则图中阴影部分的面积是 公顷。
解：由题意知，a ×c =15，b ×c =18，b ×d =30，所以a ×d =(a ×c )×(b ×d )÷(b ×c )=15×30÷18=25(公顷)。
例2．如图所示，三角形ABC 是直角三角形，ACD 是以A 圆心，AC 为半径的扇形，图中阴影部分的面积是 。
（π取3.14）6cm6cm D C B A解：阴影部分的面积是三角形面积减去扇形的面积， 三角形ABC 的面积=6×6÷2=18，扇形的面积是圆的面积的八分之一，所以扇形面积是π×6×6÷8=4.5×π=14.13，所以阴影部分的面积是18–14.13=3.87（平方厘米）。
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E
连接AO并延长交BC于D, 过D1作D1E⊥AD于E.
在RtΔD1ED中, D1E O1O 1.5,
13
3
DE DO OE DO D1O1 3 2 (6 3) 2 .
DD1
D1E 2 DE 2
3 2
2
3 2 2
3.
所以S正三棱台侧=
1 (c c) 2
答:正三棱台的侧面积为
• DD1 27 3
27 2
cm2 .
3
(cm 2
).
2
三、反馈练习 1.已知正六棱柱的高为h, 底面边长为a, 求表面积. 2.正四棱台的上、下两底面边长分别是3,6, 其侧面积等于两底面 积之和, 则其高和斜高分别是多少? 3.要对一批圆锥形实心零部件的表面进行防腐处理, 每平方厘米 的加工处理费为0.15元. 已知圆锥底面直径与母线长相等, 都等于 5cm, 问加工处理1 000个这样的零件, 需加工处理费多少元?(精 确到0.01元) 4.已知圆锥的表面积为a m2, 且它的侧面展开图是一个半圆, 则
所以 l=AB=SB-SA=20.
S圆台侧 (r r)l (10 20) 20 600 (cm2 ).
答:圆台的侧面积为600 cm2.
例3.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm, 和6cm, 高为 1.5cm. 求三棱台的侧面积.
解：如图，O1, O分别是上、下底面的中心，
则O1O=1.5, 连接A1O1并延长交B1C1于D1,
h为斜高.
2.直棱柱、正棱锥、正棱台 h0
正棱台
S正 棱 台 侧
1 2
(c
c)h
§7 简单几何体的面积和体积（1） 一、简单几何体的侧面积
1.圆柱、圆锥、圆台
S圆柱侧 2rl S圆锥侧 rl S圆台侧 (r r)l
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
S直棱柱侧 ch
c为直棱柱的底周长，h为高.
S正 棱 锥 侧
圆柱
4
8.8(m2 ).
答: 锅炉的表面积约为8.8 m2.
例2.圆台的上、下底面半径分
别是10cm和20cm, 它的侧面展
开图的扇环的圆心角是180o， 那么圆台的侧面积是多少？
（结果中保留 ）
解： 如图, 设上底面周长为c.
S
O1
A
O
B
因为扇环的中心角是180o, 所以c= • SA.
又因为c=2 10 20 , 所以 SA=20. 同理 SB=40.
c)h
c、c分别为正棱台的上、 下底的周长，h为斜高.
3.柱、锥、台的侧面积关系:
S台体
1 2
(c
c)h
c c
S柱体 ch
c 0
S锥体 1 ch 2
这个圆锥的底面直径是多少? 2 3a (m) 3
四、课堂小结
1.圆柱、圆锥、圆台
S圆柱侧 2rl S圆锥侧 rl S圆台侧 (r r)l
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
S直棱柱侧 ch
c为直棱柱的底周长，h为高.
S正 棱 锥 侧
1 ch 2
c为正棱锥的底周长，h为斜高.
S正 棱 台 侧
1 2
(c
复习回顾 1.旋转体
圆柱 2.多面体
圆锥
圆台
棱柱
棱锥
棱台
§7 简单几何体的面积和体积（1） 一、简单几何体的侧面积
1.圆柱、圆锥、圆台
r
c 2r
l 圆柱侧面展开图
圆柱
S圆柱侧 2rl
1.圆柱、圆锥、圆台
l
r
圆锥
c 2r
S圆锥侧 rl
1.圆柱、圆锥、圆台
l0 圆台侧面展开图
圆台
S圆台侧 (r r)l
§7 简单几何体的面积和体积（1） 一、简单几何体的侧面积 1.圆柱、圆锥、圆台
S圆柱侧 2rl S圆锥侧 rl S圆台侧 (r r)l
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
c
h
直棱柱
直棱柱侧面展开图
S直棱柱侧 ch
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
h h
正棱锥
S正 棱 锥 侧
1 ch 2
c 为底面周长，
1 ch 2
c为正棱锥的底周长，h为斜高.
S正 棱 台 侧
1 2
(c
c)h
c、c分别为正棱台的上、 下底的周长，h为斜高.
二、应用
Байду номын сангаас
例1.一个圆柱形的锅炉，底面直径d=1m,高h=2.3m.求锅炉的 表面积(保留2个有效数字）.
解： S S圆 柱 侧 2S圆 柱 底 面
dh
2
d 2
2
1 2.3 2 1