复变函数与积分变换第六章测验题与答案

第六章 共形映射

一、选择题：

1．若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( )

（A ）21<

z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）2

11>+z 2．映射i

z i

z w +-=

3在i z 20=处的旋转角为( ) （A ）0 （B ）

2

π

（C ）π （D ）2

π

-

3．映射2

iz e

w =在点i z =0处的伸缩率为( )

（A ）1 （B ）2 (C)1-e （D ）e

4．在映射i

e

iz w 4

π

+=下，区域0)Im(

(A)22)Re(>

w （B ）22)Re(->w （C ）22)Im(>

z （D ）2

2

)Im(->w 5．下列命题中，正确的是( )

（A ）n

z w =在复平面上处处保角（此处n 为自然数）

（B ）映射z z w 43

+=在0=z 处的伸缩率为零

（C ） 若)(1z f w =与)(2z f w =是同时把单位圆1w 的分式线性变换，那么)()(21z f z f =

（D ）函数z w =构成的映射属于第二类保角映射 6．i +1关于圆周4)1()2(2

2

=-+-y x 的对称点是( )

（A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i

7．函数i

z i

z w +-=33将角形域3arg 0π<

(A)1w （C ） 0)Im(>w （D ）0)Im(

（A ） 11-+=

z z w （B ）z

z w -+=11

（C ）z z e w i

-+=11

2

π

(D) 1

12-+=z z e w i π

9．分式线性变换z

z w --=

21

2把圆周1=z 映射为( ) （A ） 1=w (B) 2=w （B ） 11=-w (D) 21=-w

10．分式线性变换z

z w -+=

11

将区域:1z 映射为( ) （A ）ππ

<<-

w arg 2

（B ） 0arg 2

<<-

w π

（C ）

ππ

<

（D ）2

arg 0π

<

11．设,,,,d c b a 为实数且0<-bc ad ，那么分式线性变换d

cz b

az w ++=

把上半平面映射为w 平面的( )

（A ）单位圆内部 （B ）单位圆外部 （C ）上半平面 （D ）下半平面

12．把上半平面0)Im(>z 映射成圆域2

w 的分式线性变换)(z w 为( )

(A)

iz i z --22 （B ）iz z i --22 （C ）iz i z +-22 （D ）iz

z

i +-22 14．把带形域2

)Im(0π

<

w 的一个映射可写为( )

（A ）z e w 2= （B ）z e w 2= （C ）z ie w = （D ）iz

e w =

15．函数i

e i

e w z z +---=11将带形域π<<)Im(0z 映射为( )

（A ）0)Re(>w （B ）0)Re(>w （C ）1w 二、填空题

1．若函数)(z f 在点0z 解析且0)(0≠'z f ，那么映射)(z f w =在0z 处具有 ． 2．将点2,,2-=i z 分别映射为点1,,1i w -=的分式线性变换为 ．

3．把单位圆1'=w w 的分式线性变换=)(z w 4．将单位圆1

5．把上半平面0)Im(>z 映射成单位圆1)(

1

)21(,0)1(=+=+i w i w 的分式线性变换的)(z w = ．

6．把角形域4

arg 0π

<

7．映射z e w =将带形域4

3)Im(0π

<

arg 0π

<

9．映射z w ln =将上半z 平面映射为 ． 10．映射)1

(21z

z w +=

将上半单位圆：2z 映射为 ． 三、设2

22

2211111)(,)(d z c b z a z w d z c b z a z w ++=++=

是两个分式线性变换，如果记

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-δγβα

1

1111

d c b a ,⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a d c b a d c b a 22221111 试证1．)(1z w 的逆变换为δ

γβ

α++=

-z z z w )(1

1；

2．)(1z w 与)(2z w 的复合变换为d

cz b

az z w w ++=

)]([21．

四、设1z 与2z 是关于圆周R a z =-Γ:的一对对称点，试证明圆周Γ可以写成如下形式

λ=--21z z z z 其中R

a z a z R

-=

-=12λ． 五、求分式线性变换)(z w ，使1=z 映射为1=w ，且使i z +=1,1映射为∞=,1w ． 六、求把扩充复平面上具有割痕：0)Im(=z 且0)Re(≤<∞-z 的带形域ππ<<-)Im(z 映射成带形域ππ<<-)Im(w 的一个映射．

七、设0>>a b ，试求区域a a z D >-:且b b z <-到上半平面0)Im(>w 的一个映射