经济数学基础线性代数之第1章行列式

第一单元 行列式的定义

一、学习目标

通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的．

二、内容讲解

行列式 行列式的概念

什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。

即215

3-

有几个概念要清楚，即

上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列； 一般用

ij

a 表示第i 行第j 列的元素，如上例中的元素311=a ，

512=a ，121-=a ，222=a ．

再看一个算式0

754

2

3

011--称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为

–1，2，-7；元素

423=a ，

5

31=a

又如

1

3

2140301

1320---，是一个四阶行列式．

而11a

()074

21111

111--

=-=+M A

代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．

()

43011322

332-

=-=+M A

问题思考：元素ij

a 的代数余子式ij

A 是如何定义的？ 代数余子式

ij

A 由符号因

子j i +-)1(与元素ij a 的余子式ij M 构成，即()ij

j

i ij

M A +-=1

三、例题讲解

例题1：计算三阶行列式

54

2

303

241---=D

分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和， 二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．

解：

()()()

5

2

33145

4

30112

11

1---⋅-+--⋅=++D ()

420

3123

1--⋅++

72

12294121=⋅+⋅+⋅=

四、课堂练习

计算行列式

h

g f e

d c b a D 0

00

00004=

利用n 阶行列式的定义选择答案．

五、课后作业

1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式23A

（1）

2

10

8340

21-- （2）

34

05

1

22010

141

321---

2．计算下列行列式

（1）

6

221

4

1531-- （2）

6

1

2053

1

24200101

---

3．设0

0015413010212014=

D

（1）由定义计算4D ；

（2）计算2424232322222121A a A a A a A a +++，即按第二行展开； （3）计算3434333332323131A a A a A a A a +++，即按第三行展开；

（4）按第四行展开．

第二单元行列式的性质

一、学习目标

通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的值．

二、内容讲解

行列式的性质

比较容易了．

行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：

把行列式D中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为T

D．

如

9

8

7

6

5

4

3

2

1

=

D

,

9

6

3

8

5

2

7

4

1

T=

D

1．行列式的行、列交换，其值不变．如

2

6

4

5

3

6

5

4

3

-

=

=

这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．

2．行列式的两行交换，其值变号．如2

43656

54

3-=-

=

3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如d c b a d

c b

a

3

33=

注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘． 4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到

另一行上

2113-- 50513-=

注意：符号“À+2Á”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换． 问题1：将n 阶行列式的最后一行轮换到第一行， 这两个行列式的值有什么关式

n

C ，那么这两个行列式的值的关系为： n C =n

n D 1)1(--

问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何三、例题讲解

例1计算行列式

d

c b a 6750

8

1

004000--.

分析：利用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．

解：

d

c b a 6750

8

1

004000--=

d

c b a 670800-=

d c ab

60

=abcd

À+2Á