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微积分第一课.ppt
生活中无处没有数学
（1）黄金分割造就了美
近年来，在研究黄金分割与人体关系时， 发现了人体结构中有14个“黄金点” （物体短段与长段之比值为 0.618）， 12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数” （两物体间的比例关系为 0.618）。 黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割 点；(2)咽喉：头顶－肚脐之分割点； (3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点； (5)、(6)肘关节：肩关节－中指尖之分 割点；(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上 这分割点；(9)眉间点：发际－颏底间 距上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下 点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之 分割点；(11)唇珠点：鼻底－颏底间距 上1/3与中下2/3之分割点；(12)颏唇沟 正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中 2/3之分割点；(13)左口角点：口裂水 平线左1/3与右2/3之分割点；(14) 右 口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分 割点。
公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子•天下 篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其 半，万世不竭”，
魏晋时期的数学家刘徽。他的“割圆术”开创了圆周 率研究的新纪元。 “割之弥细，所失弥少。割之又 割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”
二． 微积分的创立
有四种主要类型的科学问题： 1.第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函 数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬 时变化率问题的研究成为当务之急； 2.第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线 问题变得不可回避； 3.第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开 太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小 值问题也急待解决； 4.第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢 径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、 体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计 算被重新研究。
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
《微积分赵树嫄》课件
微分的性质
微分具有一些基本的性质，如线性性 质、可加性、可乘性和微分中值定理 等，这些性质在研究函数的近似计算 、泰勒展开和极值问题等方面有重要 应用。
导数在几何中的应用
求切线方程
通过导数可以求出函数在某一点 的切线方程，从而了解函数在该 点的几何意义。
研究曲线的形状
通过导数可以研究曲线的单调性 、极值点和拐点等，从而了解曲 线的整体形状和变化趋势。
详细描述
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函 数在该点连续。连续性具有一些重要性质，如零点定理、介 值定理等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
无穷小量与无穷大量
总结词
无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，它们描述了函数在某点附近的变化趋势。
详细描述
无穷小量是指当自变量趋近于某点时，函数值趋近于零的量。而无穷大量则是当自变量趋近于某点时 ，函数值趋近于无穷大的量。了解无穷小量和无穷大量的性质对于理解微积分的概念和运算方法非常 重要。
02 极限与连续性
极限的定义与性质
总结词
极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化趋势。
详细描述
极限的定义为，对于函数在某点的极限，当自变量趋近于这个点时，函数值趋 近于一个确定的常数。极限具有一些基本性质，如唯一性、有界性、局部保号 性等。
连续性的概念与性质
总结词
连续性是函数的一种特性，描述了函数图像在某点的连接方 式。
金融市场分析
微积分可以用于研究金融市场的变化 规律，如股票价格、利率等变量的导 数和积分，帮助投资者进行风险评估 和决策。
供需关系分析
经济增长与收敛
微积分可以用于研究经济增长的收敛 性和差异性，分析不同经济体的增长 路径和趋势。
微分具有一些基本的性质，如线性性 质、可加性、可乘性和微分中值定理 等，这些性质在研究函数的近似计算 、泰勒展开和极值问题等方面有重要 应用。
导数在几何中的应用
求切线方程
通过导数可以求出函数在某一点 的切线方程，从而了解函数在该 点的几何意义。
研究曲线的形状
通过导数可以研究曲线的单调性 、极值点和拐点等，从而了解曲 线的整体形状和变化趋势。
详细描述
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函 数在该点连续。连续性具有一些重要性质，如零点定理、介 值定理等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
无穷小量与无穷大量
总结词
无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，它们描述了函数在某点附近的变化趋势。
详细描述
无穷小量是指当自变量趋近于某点时，函数值趋近于零的量。而无穷大量则是当自变量趋近于某点时 ，函数值趋近于无穷大的量。了解无穷小量和无穷大量的性质对于理解微积分的概念和运算方法非常 重要。
02 极限与连续性
极限的定义与性质
总结词
极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化趋势。
详细描述
极限的定义为，对于函数在某点的极限，当自变量趋近于这个点时，函数值趋 近于一个确定的常数。极限具有一些基本性质，如唯一性、有界性、局部保号 性等。
连续性的概念与性质
总结词
连续性是函数的一种特性，描述了函数图像在某点的连接方 式。
金融市场分析
微积分可以用于研究金融市场的变化 规律，如股票价格、利率等变量的导 数和积分，帮助投资者进行风险评估 和决策。
供需关系分析
经济增长与收敛
微积分可以用于研究经济增长的收敛 性和差异性，分析不同经济体的增长 路径和趋势。
《微积分发展史》PPT课件
中国古代数学家对微积分也作出了重大 的贡献．例如三国时期的刘徽，他对积分学 的贡献主要有两点：割圆术及求体积问题的 设想．
刘徽
微分学早期史
上面概括地介绍了积分学的早期发展史，这段历史纵跨了二千年的时间．相对来说， 微分学的历史就短得多．原因是积分学研究的问题是静态的，而微分学则是动态的， 它涉及到运动．在生产力没有发展到一定阶段的时候，微分学是不会产生的．
Байду номын сангаас
微积分的创立首先是为了处理下列四类问题：
1．已知物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度 ．反过来，已知物体 运动的加速度与速度，求物体在任意时刻的速度与路程． 2 ．求曲线的切线．这是一个纯几何的问题，但对于科学应用具有重大意义．例如在光学中，透 镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识．在运动中也遇到曲线的切线问题． 3 ．求函数的最大值和最小值问题．在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题．在天文学中涉及到行 星和太阳的最近和最远距离． 4．求积问题．求曲线的弧长，曲线所围图形的面积，曲面所围立体的体积，物体的重心．
积分学早期史
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪， 但是，积分的思想早在古代就已经产生 了． 公元前3世纪，古希腊的数学家、力学 家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆 的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分 学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面 积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双 曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思 想．
1609年，他在《新天文学》一书中宣称火星的轨道不是圆而是 椭圆，太阳位于椭圆的两个焦点之一．他还发现火星的向径在相等 的时间内扫过相同的面积，并指出，这两定律也适用于其他行星和 月球．1619年开普勒在《宇宙和谐》一书中指出，行星公转周期的 平方与轨道半长轴的立方成正比．行星运动三定律为日后牛顿发现 万有引力定律奠定了基础．
刘徽
微分学早期史
上面概括地介绍了积分学的早期发展史，这段历史纵跨了二千年的时间．相对来说， 微分学的历史就短得多．原因是积分学研究的问题是静态的，而微分学则是动态的， 它涉及到运动．在生产力没有发展到一定阶段的时候，微分学是不会产生的．
Байду номын сангаас
微积分的创立首先是为了处理下列四类问题：
1．已知物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度 ．反过来，已知物体 运动的加速度与速度，求物体在任意时刻的速度与路程． 2 ．求曲线的切线．这是一个纯几何的问题，但对于科学应用具有重大意义．例如在光学中，透 镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识．在运动中也遇到曲线的切线问题． 3 ．求函数的最大值和最小值问题．在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题．在天文学中涉及到行 星和太阳的最近和最远距离． 4．求积问题．求曲线的弧长，曲线所围图形的面积，曲面所围立体的体积，物体的重心．
积分学早期史
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪， 但是，积分的思想早在古代就已经产生 了． 公元前3世纪，古希腊的数学家、力学 家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆 的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分 学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面 积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双 曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思 想．
1609年，他在《新天文学》一书中宣称火星的轨道不是圆而是 椭圆，太阳位于椭圆的两个焦点之一．他还发现火星的向径在相等 的时间内扫过相同的面积，并指出，这两定律也适用于其他行星和 月球．1619年开普勒在《宇宙和谐》一书中指出，行星公转周期的 平方与轨道半长轴的立方成正比．行星运动三定律为日后牛顿发现 万有引力定律奠定了基础．
《微积分入门》课件
隐函数求导法与全微分与微分近
2
掌握它们在数学和物理中的应用。
似
了解隐函数求导法、全微分和微分近似
的方法，能够应用于解决多元函数问题。
3
多元函数的积分及其应用
研究多元函数的积分和应用，掌握多元
函数积分的求解技巧。
麦克劳林展开与泰勒展开
4
深入了解麦克劳林展开和泰勒展开，了 解它们在数学和物理中的应用。
结语：微积分的学习方法与技 巧
线性化与近似计算
学习线性化与近似计算的方法，能够利用导数进 行近似计算。
导数的运算法则
掌握导数的运算法则，能够求解各种导数问题。
高阶导数及其应用
研究高阶导数的性质和应用，掌握高阶导数在数 学和物理中的重要性。
积分与微积分基本定理
积分的概念
了解积分的概念和意义，学习积分在微积分中的应 用。
不定积分与基本积分公式
学习微积分是一项具有挑战的任务，需要加强理论学习，并运用到实际问题 中。掌握好学习方法和技巧，能够事半功倍地掌握微积分知识。
微积分的应用前景与展望
微积分的应用范围广泛，几乎涉及到所有科学和工程领域。未来，微积分将继续发展，推动科技进步，改变我 们的生活。 **谢谢收听！**
极限的运算法则
2
积分中的重要性。
掌握极限运算法则，能够灵活应用于解
决各种数学问题。
3
连续的概念与判定方法
研究连续函数的概念和判定方法，了解
中值定理及其应用
4
连续性在数学中的意义。
深入了解中值定理的原理和应用，掌握 使用中值定理解决实际问题的方法。
导数与微分
导数的定义与性质
学习导数的定义与性质，理解导数在几何和物理 中的意义。
《微积分发展史》课件
更加注重数学与其他学科 的交叉融合
随着科技的发展，微积分将与物理学、工程 学、经济学等领域更加紧密地结合，推动跨 学科的研究和应用。
数学建模和计算方法的创新
未来微积分的发展将更加注重数学建模和计算方法 的创新，以解决复杂的问题和现象。
数学教育的普及和提高
随着教育水平的提高，微积分将更加普及， 并成为更多人学习和掌握的数学工具。
微积分与其他学科的交叉发展
与物理学的结合
微积分在物理学中有广泛的应用 ，如力学、电磁学等领域。未来 将进一步深化微积分与物理学的 交叉研究，推动理论和实践的结 合。
与工程学的结合
微积分在工程学中发挥着重要的 作用，如流体动力学、控制理论 等。未来将进一步加强微积分在 工程实践中的应用和创新。
与经济学的结合
19世纪的发展
总结词
微积分的严格化
实数理论的建立
实数理论的建立为微积分提供了更加严密的数学 基础，进一步推动了微积分的发展。
ABCD
极限理论的建立
19世纪，极限理论得到了深入的研究和探讨， 为微积分的严格化奠定了基础。
变分法的兴起
19世纪，变分法得到了广泛的应用和发展，为 解决优化和极值问题提供了重要的工具。
03
微积分的发展
18世纪的发展
总结词
微积分的基础建立
牛顿和莱布尼茨的贡献
牛顿的《自然哲学的数学原理》和莱布尼茨的《微积分学 》分别从不同角度奠定了微积分的基础。
微分学的发展
18世纪，微分学在函数、导数、微分等方面取得了重要 进展，为后续的数学和科学领域提供了强大的工具。
积分学的发展
积分学也在18世纪得到了深入的研究和发展，包括定积 分、不定积分以及积分的应用等方面。
随着科技的发展，微积分将与物理学、工程 学、经济学等领域更加紧密地结合，推动跨 学科的研究和应用。
数学建模和计算方法的创新
未来微积分的发展将更加注重数学建模和计算方法 的创新，以解决复杂的问题和现象。
数学教育的普及和提高
随着教育水平的提高，微积分将更加普及， 并成为更多人学习和掌握的数学工具。
微积分与其他学科的交叉发展
与物理学的结合
微积分在物理学中有广泛的应用 ，如力学、电磁学等领域。未来 将进一步深化微积分与物理学的 交叉研究，推动理论和实践的结 合。
与工程学的结合
微积分在工程学中发挥着重要的 作用，如流体动力学、控制理论 等。未来将进一步加强微积分在 工程实践中的应用和创新。
与经济学的结合
19世纪的发展
总结词
微积分的严格化
实数理论的建立
实数理论的建立为微积分提供了更加严密的数学 基础，进一步推动了微积分的发展。
ABCD
极限理论的建立
19世纪，极限理论得到了深入的研究和探讨， 为微积分的严格化奠定了基础。
变分法的兴起
19世纪，变分法得到了广泛的应用和发展，为 解决优化和极值问题提供了重要的工具。
03
微积分的发展
18世纪的发展
总结词
微积分的基础建立
牛顿和莱布尼茨的贡献
牛顿的《自然哲学的数学原理》和莱布尼茨的《微积分学 》分别从不同角度奠定了微积分的基础。
微分学的发展
18世纪，微分学在函数、导数、微分等方面取得了重要 进展，为后续的数学和科学领域提供了强大的工具。
积分学的发展
积分学也在18世纪得到了深入的研究和发展，包括定积 分、不定积分以及积分的应用等方面。
微积分PPT课件
限也相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不
必象计算不定积分那样再要把(t )变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下 限分别代入(t )然后相减就行了.
28
例9 计算定积分 2 cos5 xsinxdx. 0
解 令 tcox,sdtsinxdx,
F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 为 单 调 增 加 函 数 .F (0 ) 10 ,
1
1
F(1)1 f(t)dt 0
0[1 f (t)]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在 (0,1) 内只有一个解.
11
定理 （原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限函数
x
( x) a f (t)dt 就是 f ( x)在[a, b]上的一个原
函数. 定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
12
4.2.2 牛顿—莱布尼茨公式
定理 2（微积分基本定理）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a,b]上
dx a
db
dxx f(u)duf(x)
21
课堂练习题
一、 填空题：
1、
d dx
b a
e
x2 2
dx
=____.
2、
xd (
f ( x))dx ____ .
a dx
3、 d 2 3 t ln(t 2 1)dt _______ .
dx x
4、
2
f
( x)dx
____，其中
f
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不
必象计算不定积分那样再要把(t )变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下 限分别代入(t )然后相减就行了.
28
例9 计算定积分 2 cos5 xsinxdx. 0
解 令 tcox,sdtsinxdx,
F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 为 单 调 增 加 函 数 .F (0 ) 10 ,
1
1
F(1)1 f(t)dt 0
0[1 f (t)]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在 (0,1) 内只有一个解.
11
定理 （原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限函数
x
( x) a f (t)dt 就是 f ( x)在[a, b]上的一个原
函数. 定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
12
4.2.2 牛顿—莱布尼茨公式
定理 2（微积分基本定理）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a,b]上
dx a
db
dxx f(u)duf(x)
21
课堂练习题
一、 填空题：
1、
d dx
b a
e
x2 2
dx
=____.
2、
xd (
f ( x))dx ____ .
a dx
3、 d 2 3 t ln(t 2 1)dt _______ .
dx x
4、
2
f
( x)dx
____，其中
f
大学微积分课件
定积分应用举例
01
面积计算
利用定积分可以计算平面图形或 立体图形的面积，如曲线围成的 面积、旋转体体积等。
物理应用
02
03
经济应用
在物理学中，定积分可以用来计 算物体的质心、转动惯量等物理 量。
在经济学中，定积分可以用来计 算总收益、总成本等经济指标， 以及进行边际分析和弹性分析。
04
多元函数微积分学
微分概念与性质
阐述微分的概念，包括微分的定义、几何意义及物理意义，探讨微分的性质，如微分与导数的关系、微分的运算法则 等。
微分中值定理及其应用
介绍微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并探讨它们在证明不等式、求 极限等方面的应用。
积分概念及性质
定积分概念与性质
引入定积分的概念，包括定积分的定义、几何意义及物理 意义，探讨定积分的性质，如可积性、积分区间可加性等 。
大学微积分课件
contents
目录
• 微积分基本概念 • 微分学基本原理 • 积分学基本原理 • 多元函数微积分学 • 无穷级数与微分方程初步 • 微积分在实际问题中应用举例
01
微积分基本概念
函数与极限
函数定义与性质
阐述函数的基本概念，包括定义 域、值域、对应关系等，并介绍 函数的性质，如单调性、奇偶性 、周期性等。
根据加速度函数和时间的关系，利用 二次积分可以计算物体在一段时间内 的位移。
03
求解功和能量
在力学中，功是力和位移的乘积，利 用定积分可以计算变力沿直线所做的 功；能量则是功的积累，通过定积分 可以求解物体的势能或动能。
在经济学问题中应用
计算总收益和总成本
在经济学中，总收益和总成本都 是价格或产量的函数，利用定积 分可以计算在一定价格或产量范 围内的总收益或总成本。
大学微积分课件(PPT版)
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
《微积分发展简史》PPT课件
主要内容
微积分的符号
微分学中的符号“dx”、“dy”等，系 由莱布尼茨首先使用。其中的d 源自拉丁语 中“差”（Differentia ）的第一个字母。积 分符号“∫”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语 “总和”（Summa）的第一个字母s 的伸长 (和Σ有相同的意义)。
微积分发展史
微积分的萌芽
微积分的发展 微积分的建立 微积分的严格化
微积分的发展
4、费马求极大值和极小值方法 按费马的方法。设函数f(x)在点a处取极
值，费弓用“a+e”代替原来的未知量a，并使 f(a+e)与f(a)逼近,即：
f(a+e)～f(a) 这里所提到的“e”就是后来微积分学当
中的“ x ”
微积分的发展
5、巴罗的“微分三角形” 巴罗是牛顿的老师。是英国剑桥大学第一
出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜率
为
．如果是在区间[a,b]上，由[0,b]
上的面积减去[0,a]上的面积,便得到
b
ydx zb za
a
微积分的严格化
自牛顿和莱布尼兹之后，微积分得到了 突飞猛进的发展，人们将微积分应用到自然 科学的各个方面，建立了不少以微积分方法 为主的分支学科，如常微分方程、偏微分方 程、积分方程、变分法等等形成了数学的三 大分支之一的“分析”。微积分应用于几何 开拓了微分几何，有了几何分析；应用于理 学上，就有了分析力学；于天文上就有了天 体力学等。但是微积分的基础是不牢固的， 尤其在适用无穷小概念上的随意与混乱，一 会儿说不是零，一会儿说是零，这引起了人 们对他们的理论的怀疑与批评。
主要内容
微积分的基本概念还包括函数、无穷 序列、无穷级数和连续等，运算方法主要 有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数 学归纳法紧密相连。
大学微积分课件幻灯片版
不定积分的性质
包括线性性质、积分区间可加性 、常数倍性质和积分与微分互逆 性质。
基本积分公式与法
则
包括幂函数、三角函数、指数函 数、对数函数等基本初等函数的 不定积分公式，以及分部积分法 、换元积分法等基本积分法则。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，表达形式为 ∫[a,b]f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a,b]上的面积。
根据未知函数及其导数的次数划 分
一阶微分方程及其解法
可分离变量法
通过变量分离，将微分方程转化为可积分的 形式
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将一阶线性微分方程转化为 可积分的形式
二阶微分方程及其解法
二阶线性微分方程
具有常系数的二阶线性微分方程的通解结构
振动与波动方程
描述振动与波动现象的二阶线性微分方程
欧拉方程
通过变量替换，将欧拉方程转化为二阶线性微分方程进行求解
高阶微分方程的降阶法
通过变量替换或积分法，将高阶微分方程降阶为一阶或二阶微分方程进行求解
05
多元函数微积分学
多元函数的基本概念
01 02
多元函数的定义
设$D$为一个非空的$n$ 元有序数组的集合， $f$为某一 确定的对应规则。若对于每一个有序数组$( x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实 数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$ 元函数。
三重积分的定义
设三元函数$f(x,y,z)$在可求体积的有界闭区域$Omega$上连续，将$Omega$任意分成$n$个小闭区域$Delta V_1,Delta V_2,…,Delta V_n$，记各小闭区域的直径中的最大值为$lambda $。若不论对$Omega $如何分割 及如何选取点$(xi_i,eta_i,zeta_i)$，只要当$lambda to 0 $时，和式$sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i,zeta_i)Delta V_i $的极限存在且唯一，则称此极限为函数 $f(x,y,z) $在区域 $Omega $上的三重积分。
[实用参考]微积分入门(精华).ppt
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i 1
i 1
i 1
n
i 1
i n
2
1 n
1 n3
n
i 1
i2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
1
1 n
2
1 n
,
x 0 n
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i 2xi
lim
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
f (i )xi
k lim 0 i1
f (i )xi
b
k a f ( x)dx.
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 x max{x1,x2, ,xn}，
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
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数学之旅三 罗素悖论
集合
论
航
始 开 行
第三
新的发 展
机 危 学 数 次
集
理 合公
化
三、罗素悖论与第三次数学危机
1.康托尔与集合论
康托尔：是19世纪数学发展影响最深的数学家之一 。1845年出生于圣彼得堡，早在学生时代，就显露 出非凡的数学才能。然而，一开始其父亲却希望他 学工程学，他是1862年进入苏黎世大学，学数学的 ，第二年转入柏林大学，1867年以优异成绩获得了 柏林大学的博士学位，其后，一直在哈雷大学教书 。 然而，康托尔的观点并未被同时代所接受，特 别是康托尔的老师克罗内克。他猛烈攻击康托尔的 研究工作，把它看做一类危险的数学疯狂，同时还 竭力阻挠康托尔的提升，不让其在柏林大学获得一 个职位。长期的过渡疲劳和激烈的争吵论战，使得 康托尔的精神终于在1884年春崩溃了，在他一生中 ，这种崩溃以不同的强度反复发生，把他从社会赶 进精神病医院这个避难所。最后于1918年1月，他 在哈雷精神病医院逝世。
1891年克罗内克去世之后，康托尔的阻力一 下子减少了。到1897年，召开的第一次国际数学 家大会，数学家们开始对集合论的认可。一直到 了20世纪初，集合论在创建20余年后，才最终 获得了世界公认。康托尔所开创的全新的、真正 具有独创性的理论得到了数学家们的广泛赞誉。
―万物皆数”
毕达哥拉斯学派的基本信条： 他们认为“万物都可归结为整数或整数之比 （分数）” 他们相信宇宙的本质就是这种“数的和谐”
他们认为：世界上只有整数和分数，除此以外，就不再
有别的数了。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
3. 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
具有戏剧性和讽刺意味的是，正是毕达哥拉斯在数学上 的这一最重要的发现，却把自己推向了两难的尴尬境地。 他的一个学生希帕索斯，他勤奋好学，富于钻研，在运 用勾股定理进行几何计算的过程中发现： “当正方形的边长为1时，它的对角线的长不是一个整数 ，也不是一个分数，而是一个新的数。”
18世纪
泰勒、贝努利兄弟、欧拉 等数学英雄
完
善
微
积
分
分析时代
极限理论、实数理论、集合论
有了这三大理论， 使微积分学这座人类数 学史上空前雄伟的大厦 建立在牢固可靠的基础 上，从而结束了二百多 年数学中的混乱局面， 同时宣告第二次数学危 机的彻底解决，数学家 们终于赢来了胜利凯旋 之日。
发展微积分
三、罗素悖论与第三次数学危机
出 了勾股定理的最早证明。这种证明，被全世 界数学家公认为是“最省力的证明方法”。
据西方国家记叙，毕达哥拉斯是最早 证明了勾股定理。
据说：毕达哥拉斯欣喜若狂，为此还杀了一 百头牛以作庆贺。因些，在西方称这个定理 为“毕达哥拉斯定理”，还有一个带有神秘 色彩的称号“百牛定理”。
第一讲
微积分的历史及简介
参考书
作者：吉米多维奇 作者：同济大学应用数学系 作者：张筑生 出版社：高等教育出版社 出版社：北京大学出版社 出版社：山东科学技术出版社
教学计划
讲次名 1. 第一讲 微积分简介 2. 3. 1. 第二讲 函数与极限 2. 3. 1. 第三讲 导数与微分 2. 内容 相关教材对应 历史上数学的四次危机 《高等数学》第五版， 微积分的历史 《数学分析新讲》 对微积分的初步介绍 （共三册），张筑生 映射与函数 第一章：函数与极限 极限、无穷小与无穷大、两个重要 极限、极限存在准则 函数的连续性与间断点 导数概念：代数、几何意义 第二章：导数与微分 求导法则：函数和、差、积、商； 第三章：微分中值定 反函数、复合函数的求导法则；基 理与导数的应用 本求导法则与导数公式 微分 不定积分的概念 第四章：不定积分 积分的计算 第五章：定积分的应 定积分的概念：牛顿-莱布尼茨公式、 用 换元法和分部积分法 定积分的应用
首先，第一次数学危机表明，直觉、经验及至实验都是不可靠 的，推理证明才是可靠的。从而创立了古典逻辑学。 其次，第一次数学危机极大地促进了几何学的发展，由此建立 了几何公理体系，欧氏几何学就是在这时候应运而生的。 最后，第一次数学危机让人们认识到无理数的存在，通过许多 数学家的努力，直到19世纪下半叶才建立了完整的实数理论。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
数学之旅二
航
始 开 行
微
的发 分 积
现
贝克莱悖论
数 次 第二
胜利凯 旋
机 危 学
微
的发 分 积
展
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
1. 微积分的发现
---早在2500多年前，人类就已有了微积分的思想。
在西方： 数学之神，阿基米德（公元前287-前212）， 直到十七世纪， 通过一条迂回之路，独辟蹊径，创立新法，是早 期微积分思想的发现者，微积分是奠基于他的工 作为一门新学科的 作之上才最终产生的。 微积分已呼之欲出。 最早迈出这一步 在东方： 的是一位科学巨人: 中国古代数学家，刘徽（公元263左右），一 牛顿。 项杰出的创见是对微积分思想的认识与应用。 刘徽的微积分思想，是中国古代数学园地里一 株璀璨的奇葩。其极限思想之深刻，是前无古 人的，并在极长的时间内也后无来者。
自然数集、正偶数集、自然数的平方 等集合的数目一样多，都是可数集。 数轴上稀稀落落的自然数集与密密麻麻 的有理数集也可建立一一对应的关系。 所以部分能够等于整体。
最后，康托尔用“超限基数”与“超限序数”一起来刻画了无限，描绘 出一幅无限王国的完整图景，它充分体现了康托尔那惊人的想像力。
三、罗素悖论与第三次数学危机
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
4.欧多克索斯（ Eudoxus）的拯救
帮助古希腊人摆脱困境的关键一步是由才华横溢的 欧多克索斯（公元前408-前355）迈出的。 解决方式：把数与量分开，在数的领域，仍然只承 认整数或整数之比；借助于几何方法，来处理几何 量，通过创立欧多克索斯的比例理论，消除毕达哥 拉斯悖论引发的数学危机，从而拯救了整个希腊数 学。
简单介绍集合论
三、罗素悖论与第三次数学危机
整体一定大于部分
-----这是人们传统的观念
康托尔下了一个定义：“如果能够根据某一法则， 使集合M与集合N中的元素建立一一对应的关系，那 么，集合M与集合N等势或者说具有相同的基数。” 按照这一定义，于是有： 另外：无理数集、实数集是不可数集。 两条不同长度的线段，区间（0，1）上的点 与单位正方形上的点，直线与整个平面、与 n维空间等都可建立一一对应关系。
如果我把孩子交还你，你就说错了，我应该 吃掉他；可是我如果把孩子吃掉了，你就说 对了，我又得把孩子还给你？
拙劣的鳄鱼懵了，结果把孩子交 回了母亲，母亲一把拽住孩子， 跑掉了。
鳄鱼说：丫丫的！要是她说 我要给回她孩子，我就可以 美餐一顿了。
2、什么是悖论？
笼统地说：
悖论是指这样的推理过程： 它”看上去”是合理的，但结果却得出了”矛盾”。
悖论在很多情况下表现为：
由它的真，可以推出它为假； 由它的假，则可以推出它为真。
3. 悖论是极其重要的！
毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论
今天我就要来介绍这三个数学悖论，它们在数学发展中 产生了巨大的影响，即引发了三次数学危机。 通过这三个数学悖论与三次数学危机的介绍，大家会发 现： ① 数学是美妙而又神奇的！ 悖论不但迷人，而且是数学的一部分，并为数学的 发展提供了重要而持久的助推力。 ② 数学的发展也并不是一帆风顺，而是一波三折！ 数学的严谨是一代又一代数学家努力的结果，数学 的抽象更是千锤百炼而成的！
直到19世纪下半叶，现在意义上的“实数理论”建立起来后，无 理数本质被彻底搞清，“无理数”在数学园地中才真正扎下了根。 无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有 理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危 机。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动 了数学及其相关学科的发展。
3. 1. 第四讲 不定积分与 2. 3. 定积分
4.
目录Contents
数学史上的三次危机
毕达哥拉斯（ Pythagoras）悖论 贝克莱（Berkeley）悖论 罗素（ Rusell）悖论
微积分的起源
巨人的肩膀 所涉及到的思想
简单微积分的应用
无穷求和的概念 曲线、面积、体积的计算
线 对角 ？
1 1
这个数就是我们现在熟知的无 理数
2
！
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。
这个发现不但对毕达哥拉斯学派是一个致命的打击，它 对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的冲击。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机。小小 2 的出现，直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，在当 时的数学界掀起了一场巨大风暴，产生了极度的思想混 乱，因此导致了当时人们认识上的“危机”，历史上称 之为第一次数学危机。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
牛顿（1642—1727）是英国伟大的 数学家、物理学家、天文学家和自 然哲学家。 牛顿是：从物理学出发，运用集合 方法，结合运动学来研究微积分。
莱布尼茨（1646—1716）德国最重 要的数学家、物理学家、历史学家 和哲学家。 莱布尼茨却是：从几何问题出发， 运用分析学方法研究微积分。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
2.毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯（公元前585-前500），古希腊著名 哲学家、数学家、天文学家、音乐家、教育家。 人们把他神话为是太阳神阿波罗的儿子。 毕达哥拉斯先后到过：埃及、古巴比伦、印度等 国家学习数学、天文等方面的知识。 毕达哥拉斯创建了一个合“宗教、政治、学术” 三位一体的神秘主义派别，即毕达哥拉斯学派。 这一学派在古希腊赢得很高的声誉，并产生了相 当大的政治影响，其思想在当时被认为是绝对权 威的真理。
集合
论
航
始 开 行
第三
新的发 展
机 危 学 数 次
集
理 合公
化
三、罗素悖论与第三次数学危机
1.康托尔与集合论
康托尔：是19世纪数学发展影响最深的数学家之一 。1845年出生于圣彼得堡，早在学生时代，就显露 出非凡的数学才能。然而，一开始其父亲却希望他 学工程学，他是1862年进入苏黎世大学，学数学的 ，第二年转入柏林大学，1867年以优异成绩获得了 柏林大学的博士学位，其后，一直在哈雷大学教书 。 然而，康托尔的观点并未被同时代所接受，特 别是康托尔的老师克罗内克。他猛烈攻击康托尔的 研究工作，把它看做一类危险的数学疯狂，同时还 竭力阻挠康托尔的提升，不让其在柏林大学获得一 个职位。长期的过渡疲劳和激烈的争吵论战，使得 康托尔的精神终于在1884年春崩溃了，在他一生中 ，这种崩溃以不同的强度反复发生，把他从社会赶 进精神病医院这个避难所。最后于1918年1月，他 在哈雷精神病医院逝世。
1891年克罗内克去世之后，康托尔的阻力一 下子减少了。到1897年，召开的第一次国际数学 家大会，数学家们开始对集合论的认可。一直到 了20世纪初，集合论在创建20余年后，才最终 获得了世界公认。康托尔所开创的全新的、真正 具有独创性的理论得到了数学家们的广泛赞誉。
―万物皆数”
毕达哥拉斯学派的基本信条： 他们认为“万物都可归结为整数或整数之比 （分数）” 他们相信宇宙的本质就是这种“数的和谐”
他们认为：世界上只有整数和分数，除此以外，就不再
有别的数了。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
3. 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
具有戏剧性和讽刺意味的是，正是毕达哥拉斯在数学上 的这一最重要的发现，却把自己推向了两难的尴尬境地。 他的一个学生希帕索斯，他勤奋好学，富于钻研，在运 用勾股定理进行几何计算的过程中发现： “当正方形的边长为1时，它的对角线的长不是一个整数 ，也不是一个分数，而是一个新的数。”
18世纪
泰勒、贝努利兄弟、欧拉 等数学英雄
完
善
微
积
分
分析时代
极限理论、实数理论、集合论
有了这三大理论， 使微积分学这座人类数 学史上空前雄伟的大厦 建立在牢固可靠的基础 上，从而结束了二百多 年数学中的混乱局面， 同时宣告第二次数学危 机的彻底解决，数学家 们终于赢来了胜利凯旋 之日。
发展微积分
三、罗素悖论与第三次数学危机
出 了勾股定理的最早证明。这种证明，被全世 界数学家公认为是“最省力的证明方法”。
据西方国家记叙，毕达哥拉斯是最早 证明了勾股定理。
据说：毕达哥拉斯欣喜若狂，为此还杀了一 百头牛以作庆贺。因些，在西方称这个定理 为“毕达哥拉斯定理”，还有一个带有神秘 色彩的称号“百牛定理”。
第一讲
微积分的历史及简介
参考书
作者：吉米多维奇 作者：同济大学应用数学系 作者：张筑生 出版社：高等教育出版社 出版社：北京大学出版社 出版社：山东科学技术出版社
教学计划
讲次名 1. 第一讲 微积分简介 2. 3. 1. 第二讲 函数与极限 2. 3. 1. 第三讲 导数与微分 2. 内容 相关教材对应 历史上数学的四次危机 《高等数学》第五版， 微积分的历史 《数学分析新讲》 对微积分的初步介绍 （共三册），张筑生 映射与函数 第一章：函数与极限 极限、无穷小与无穷大、两个重要 极限、极限存在准则 函数的连续性与间断点 导数概念：代数、几何意义 第二章：导数与微分 求导法则：函数和、差、积、商； 第三章：微分中值定 反函数、复合函数的求导法则；基 理与导数的应用 本求导法则与导数公式 微分 不定积分的概念 第四章：不定积分 积分的计算 第五章：定积分的应 定积分的概念：牛顿-莱布尼茨公式、 用 换元法和分部积分法 定积分的应用
首先，第一次数学危机表明，直觉、经验及至实验都是不可靠 的，推理证明才是可靠的。从而创立了古典逻辑学。 其次，第一次数学危机极大地促进了几何学的发展，由此建立 了几何公理体系，欧氏几何学就是在这时候应运而生的。 最后，第一次数学危机让人们认识到无理数的存在，通过许多 数学家的努力，直到19世纪下半叶才建立了完整的实数理论。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
数学之旅二
航
始 开 行
微
的发 分 积
现
贝克莱悖论
数 次 第二
胜利凯 旋
机 危 学
微
的发 分 积
展
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
1. 微积分的发现
---早在2500多年前，人类就已有了微积分的思想。
在西方： 数学之神，阿基米德（公元前287-前212）， 直到十七世纪， 通过一条迂回之路，独辟蹊径，创立新法，是早 期微积分思想的发现者，微积分是奠基于他的工 作为一门新学科的 作之上才最终产生的。 微积分已呼之欲出。 最早迈出这一步 在东方： 的是一位科学巨人: 中国古代数学家，刘徽（公元263左右），一 牛顿。 项杰出的创见是对微积分思想的认识与应用。 刘徽的微积分思想，是中国古代数学园地里一 株璀璨的奇葩。其极限思想之深刻，是前无古 人的，并在极长的时间内也后无来者。
自然数集、正偶数集、自然数的平方 等集合的数目一样多，都是可数集。 数轴上稀稀落落的自然数集与密密麻麻 的有理数集也可建立一一对应的关系。 所以部分能够等于整体。
最后，康托尔用“超限基数”与“超限序数”一起来刻画了无限，描绘 出一幅无限王国的完整图景，它充分体现了康托尔那惊人的想像力。
三、罗素悖论与第三次数学危机
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
4.欧多克索斯（ Eudoxus）的拯救
帮助古希腊人摆脱困境的关键一步是由才华横溢的 欧多克索斯（公元前408-前355）迈出的。 解决方式：把数与量分开，在数的领域，仍然只承 认整数或整数之比；借助于几何方法，来处理几何 量，通过创立欧多克索斯的比例理论，消除毕达哥 拉斯悖论引发的数学危机，从而拯救了整个希腊数 学。
简单介绍集合论
三、罗素悖论与第三次数学危机
整体一定大于部分
-----这是人们传统的观念
康托尔下了一个定义：“如果能够根据某一法则， 使集合M与集合N中的元素建立一一对应的关系，那 么，集合M与集合N等势或者说具有相同的基数。” 按照这一定义，于是有： 另外：无理数集、实数集是不可数集。 两条不同长度的线段，区间（0，1）上的点 与单位正方形上的点，直线与整个平面、与 n维空间等都可建立一一对应关系。
如果我把孩子交还你，你就说错了，我应该 吃掉他；可是我如果把孩子吃掉了，你就说 对了，我又得把孩子还给你？
拙劣的鳄鱼懵了，结果把孩子交 回了母亲，母亲一把拽住孩子， 跑掉了。
鳄鱼说：丫丫的！要是她说 我要给回她孩子，我就可以 美餐一顿了。
2、什么是悖论？
笼统地说：
悖论是指这样的推理过程： 它”看上去”是合理的，但结果却得出了”矛盾”。
悖论在很多情况下表现为：
由它的真，可以推出它为假； 由它的假，则可以推出它为真。
3. 悖论是极其重要的！
毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论
今天我就要来介绍这三个数学悖论，它们在数学发展中 产生了巨大的影响，即引发了三次数学危机。 通过这三个数学悖论与三次数学危机的介绍，大家会发 现： ① 数学是美妙而又神奇的！ 悖论不但迷人，而且是数学的一部分，并为数学的 发展提供了重要而持久的助推力。 ② 数学的发展也并不是一帆风顺，而是一波三折！ 数学的严谨是一代又一代数学家努力的结果，数学 的抽象更是千锤百炼而成的！
直到19世纪下半叶，现在意义上的“实数理论”建立起来后，无 理数本质被彻底搞清，“无理数”在数学园地中才真正扎下了根。 无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有 理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危 机。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动 了数学及其相关学科的发展。
3. 1. 第四讲 不定积分与 2. 3. 定积分
4.
目录Contents
数学史上的三次危机
毕达哥拉斯（ Pythagoras）悖论 贝克莱（Berkeley）悖论 罗素（ Rusell）悖论
微积分的起源
巨人的肩膀 所涉及到的思想
简单微积分的应用
无穷求和的概念 曲线、面积、体积的计算
线 对角 ？
1 1
这个数就是我们现在熟知的无 理数
2
！
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。
这个发现不但对毕达哥拉斯学派是一个致命的打击，它 对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的冲击。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机。小小 2 的出现，直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，在当 时的数学界掀起了一场巨大风暴，产生了极度的思想混 乱，因此导致了当时人们认识上的“危机”，历史上称 之为第一次数学危机。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
牛顿（1642—1727）是英国伟大的 数学家、物理学家、天文学家和自 然哲学家。 牛顿是：从物理学出发，运用集合 方法，结合运动学来研究微积分。
莱布尼茨（1646—1716）德国最重 要的数学家、物理学家、历史学家 和哲学家。 莱布尼茨却是：从几何问题出发， 运用分析学方法研究微积分。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
2.毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯（公元前585-前500），古希腊著名 哲学家、数学家、天文学家、音乐家、教育家。 人们把他神话为是太阳神阿波罗的儿子。 毕达哥拉斯先后到过：埃及、古巴比伦、印度等 国家学习数学、天文等方面的知识。 毕达哥拉斯创建了一个合“宗教、政治、学术” 三位一体的神秘主义派别，即毕达哥拉斯学派。 这一学派在古希腊赢得很高的声誉，并产生了相 当大的政治影响，其思想在当时被认为是绝对权 威的真理。