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二、贝克莱悖论与第二次数学危机


牛顿（1642—1727）是英国伟大的 数学家、物理学家、天文学家和自 然哲学家。 牛顿是：从物理学出发，运用集合 方法，结合运动学来研究微积分。


莱布尼茨（1646—1716）德国最重 要的数学家、物理学家、历史学家 和哲学家。 莱布尼茨却是：从几何问题出发， 运用分析学方法研究微积分。
3. 1. 第四讲 不定积分与 2. 3. 定积分
4.
目录Contents

数学史上的三次危机
毕达哥拉斯（ Pythagoras）悖论 贝克莱（Berkeley）悖论 罗素（ Rusell）悖论


微积分的起源
巨人的肩膀 所涉及到的思想


简单微积分的应用
无穷求和的概念 曲线、面积、体积的计算
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
数学之旅二
航
始 开 行
微
的发 分 积
现
贝克莱悖论
数 次 第二
胜利凯 旋
机 危 学
微
的发 分 积
展
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
1. 微积分的发现
---早在2500多年前，人类就已有了微积分的思想。
在西方： 数学之神，阿基米德（公元前287-前212）， 直到十七世纪， 通过一条迂回之路，独辟蹊径，创立新法，是早 期微积分思想的发现者，微积分是奠基于他的工 作为一门新学科的 作之上才最终产生的。 微积分已呼之欲出。 最早迈出这一步 在东方： 的是一位科学巨人: 中国古代数学家，刘徽（公元263左右），一 牛顿。 项杰出的创见是对微积分思想的认识与应用。 刘徽的微积分思想，是中国古代数学园地里一 株璀璨的奇葩。其极限思想之深刻，是前无古 人的，并在极长的时间内也后无来者。
1891年克罗内克去世之后，康托尔的阻力一 下子减少了。到1897年，召开的第一次国际数学 家大会，数学家们开始对集合论的认可。一直到 了20世纪初，集合论在创建20余年后，才最终 获得了世界公认。康托尔所开创的全新的、真正 具有独创性的理论得到了数学家们的广泛赞誉。
自然数集、正偶数集、自然数的平方 等集合的数目一样多，都是可数集。 数轴上稀稀落落的自然数集与密密麻麻 的有理数集也可建立一一对应的关系。 所以部分能够等于整体。
最后，康托尔用“超限基数”与“超限序数”一起来刻画了无限，描绘 出一幅无限王国的完整图景，它充分体现了康托尔那惊人的想像力。
三、罗素悖论与第三次数学危机
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
2.毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派



毕达哥拉斯（公元前585-前500），古希腊著名 哲学家、数学家、天文学家、音乐家、教育家。 人们把他神话为是太阳神阿波罗的儿子。 毕达哥拉斯先后到过：埃及、古巴比伦、印度等 国家学习数学、天文等方面的知识。 毕达哥拉斯创建了一个合“宗教、政治、学术” 三位一体的神秘主义派别，即毕达哥拉斯学派。 这一学派在古希腊赢得很高的声誉，并产生了相 当大的政治影响，其思想在当时被认为是绝对权 威的真理。
数学之旅三 罗素悖论
集合
论
航
始 开 行
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第三
新的发 展
机 危 学 数 次
集
理 合公
化
三、罗素悖论与第三次数学危机
1.康托尔与集合论
康托尔：是19世纪数学发展影响最深的数学家之一 。1845年出生于圣彼得堡，早在学生时代，就显露 出非凡的数学才能。然而，一开始其父亲却希望他 学工程学，他是1862年进入苏黎世大学，学数学的 ，第二年转入柏林大学，1867年以优异成绩获得了 柏林大学的博士学位，其后，一直在哈雷大学教书 。 然而，康托尔的观点并未被同时代所接受，特 别是康托尔的老师克罗内克。他猛烈攻击康托尔的 研究工作，把它看做一类危险的数学疯狂，同时还 竭力阻挠康托尔的提升，不让其在柏林大学获得一 个职位。长期的过渡疲劳和激烈的争吵论战，使得 康托尔的精神终于在1884年春崩溃了，在他一生中 ，这种崩溃以不同的强度反复发生，把他从社会赶 进精神病医院这个避难所。最后于1918年1月，他 在哈雷精神病医院逝世。
18世纪
泰勒、贝努利兄弟、欧拉 等数学英雄
完
善
微
积
分
分析时代
极限理论、实数理论、集合论
有了这三大理论， 使微积分学这座人类数 学史上空前雄伟的大厦 建立在牢固可靠的基础 上，从而结束了二百多 年数学中的混乱局面， 同时宣告第二次数学危 机的彻底解决，数学家 们终于赢来了胜利凯旋 之日。
发展微积分
三、罗素悖论与第三次数学危机
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
4.欧多克索斯（ Eudoxus）的拯救


帮助古希腊人摆脱困境的关键一步是由才华横溢的 欧多克索斯（公元前408-前355）迈出的。 解决方式：把数与量分开，在数的领域，仍然只承 认整数或整数之比；借助于几何方法，来处理几何 量，通过创立欧多克索斯的比例理论，消除毕达哥 拉斯悖论引发的数学危机，从而拯救了整个希腊数 学。
一、毕达哥拉与第一次数学危机

在我国，公元三世纪，吴人赵爽，给出 了勾股定理的最早证明。这种证明，被全世 界数学家公认为是“最省力的证明方法”。
据西方国家记叙，毕达哥拉斯是最早 证明了勾股定理。
据说：毕达哥拉斯欣喜若狂，为此还杀了一 百头牛以作庆贺。因些，在西方称这个定理 为“毕达哥拉斯定理”，还有一个带有神秘 色彩的称号“百牛定理”。
直到19世纪下半叶，现在意义上的“实数理论”建立起来后，无 理数本质被彻底搞清，“无理数”在数学园地中才真正扎下了根。 无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有 理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危 机。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动 了数学及其相关学科的发展。
简单介绍集合论
三、罗素悖论与第三次数学危机
整体一定大于部分
-----这是人们传统的观念
康托尔下了一个定义：“如果能够根据某一法则， 使集合M与集合N中的元素建立一一对应的关系，那 么，集合M与集合N等势或者说具有相同的基数。” 按照这一定义，于是有： 另外：无理数集、实数集是不可数集。 两条不同长度的线段，区间（0，1）上的点 与单位正方形上的点，直线与整个平面、与 n维空间等都可建立一一对应关系。
微分和积分 (即求切线 与求面积) 是互逆的两 种运算。 这是微积分 建立的关键 所在。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
2. 贝克莱悖论与第二次数学危机
不过，在微积分创立之初，牛顿和莱布尼茨的工作都很不完 善。因而，导致许多人的批评。然而抨击最有力的是爱尔兰主教 贝克莱，他的批评对数学界产生了最令人震撼的撞击。 如贝克莱指出：牛顿在无穷小量这个问题上，其说不一，十 分含糊，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨 的也不能自圆其说。

悖论在很多情况下表现为：
由它的真，可以推出它为假； 由它的假，则可以推出它为真。
3. 悖论是极其重要的！

毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论
今天我就要来介绍这三个数学悖论，它们在数学发展中 产生了巨大的影响，即引发了三次数学危机。 通过这三个数学悖论与三次数学危机的介绍，大家会发 现： ① 数学是美妙而又神奇的！ 悖论不但迷人，而且是数学的一部分，并为数学的 发展提供了重要而持久的助推力。 ② 数学的发展也并不是一帆风顺，而是一波三折！ 数学的严谨是一代又一代数学家努力的结果，数学 的抽象更是千锤百炼而成的！

前言
（一）什么是悖论？
1. 先来听听一个“鳄鱼与小孩”的故事
一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个 小孩 。 鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？ 答对了，我就把孩子不加伤害地 还给你。 这位母亲应该怎样回答呢？？？



1.“鳄鱼与小孩”的故事

聪明的母亲回答说：
呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。

鳄鱼：呣„我怎么办呢？鳄鱼碰到了难题：
如果我把孩子交还你，你就说错了，我应该 吃掉他；可是我如果把孩子吃掉了，你就说 对了，我又得把孩子还给你？

拙劣的鳄鱼懵了，结果把孩子交 回了母亲，母亲一把拽住孩子， 跑掉了。

鳄鱼说：丫丫的！要是她说 我要给回她孩子，我就可以 美餐一顿了。
2、什么是悖论？

笼统地说：
悖论是指这样的推理过程： 它”看上去”是合理的，但结果却得出了”矛盾”。

―万物皆数”
毕达哥拉斯学派的基本信条： 他们认为“万物都可归结为整数或整数之比 （分数）” 他们相信宇宙的本质就是这种“数的和谐”
他们认为：世界上只有整数和分数，除此以外，就不再
有别的数了。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
3. 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
具有戏剧性和讽刺意味的是，正是毕达哥拉斯在数学上 的这一最重要的发现，却把自己推向了两难的尴尬境地。 他的一个学生希帕索斯，他勤奋好学，富于钻研，在运 用勾股定理进行几何计算的过程中发现： “当正方形的边长为1时，它的对角线的长不是一个整数 ，也不是一个分数，而是一个新的数。”
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
数学之旅一 毕达哥拉斯悖论
始 开 航行
定 勾股
理
摆脱
危境 克索 多 欧
拯救 的 斯
第
数 次 一
机 危 学
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
1. 勾股定理
两条直角边的平方和等于斜边的平方和！
a
b
c
a 2 b2 c 2
勾股定理： 是人类最伟大的数学发现， 是欧氏几何中最著名的定理， 它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用。
由于这一悖论，十分有效地揭示出微积分基础中包含着 逻辑矛盾，因而在当时的数学界引起了一定的混乱，一场新的 风波由此掀起，于是导致了数学史中的第二次数学危机。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
17世纪
牛顿、莱布尼兹 建立了微积分
3. 微积分的发展
19世纪
阿贝尔 波尔查诺 柯西 维尔斯特拉斯 分析注入严密性 戴德金 皮亚诺 分析算术化
线 对角 ？
1 1
这个数就是我们现在熟知的无 理数
2
！
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。
这个发现不但对毕达哥拉斯学派是一个致命的打击，它 对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的冲击。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机。小小 2 的出现，直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，在当 时的数学界掀起了一场巨大风暴，产生了极度的思想混 乱，因此导致了当时人们认识上的“危机”，历史上称 之为第一次数学危机。
第一讲
微积分的历史及简介
参考书
作者：吉米多维奇 作者：同济大学应用数学系 作者：张筑生 出版社：高等教育出版社 出版社：北京大学出版社 出版社：山东科学技术出版社
教学计划
讲次名 1. 第一讲 微积分简介 2. 3. 1. 第二讲 函数与极限 2. 3. 1. 第三讲 导数与微分 2. 内容 相关教材对应 历史上数学的四次危机 《高等数学》第五版， 微积分的历史 《数学分析新讲》 对微积分的初步介绍 （共三册），张筑生 映射与函数 第一章：函数与极限 极限、无穷小与无穷大、两个重要 极限、极限存在准则 函数的连续性与间断点 导数概念：代数、几何意义 第二章：导数与微分 求导法则：函数和、差、积、商； 第三章：微分中值定 反函数、复合函数的求导法则；基 理与导数的应用 本求导法则与导数公式 微分 不定积分的概念 第四章：不定积分 积分的计算 第五章：定积分的应 定积分的概念：牛顿-莱布尼茨公式、 用 换元法和分部积分法 定积分的应用
首先，第一次数学危机表明，直觉、经验及至实验都是不可靠 的，推理证明才是可靠的。从而创立了古典逻辑学。 其次，第一次数学危机极大地促进了几何学的发展，由此建立 了几何公理体系，欧氏几何学就是在这时候应运而生的。 最后，第一次数学危机让人们认识到无理数的存在，通过许多 数学家的努力，直到19世纪下半叶才建立了完整的实数理论。
例如，牛顿当时是这样求函数的导数的：
( x x) x 2xx (x) y
2 2 2
x
2 2 [( x x ) x ]
x
2 x x
最后取x
0
， 就得函数的导数为 y
2x
。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
贝克莱对微积分基础的批评是一针见血，击中要害的，他揭示 了早期微积分的逻辑漏洞。然而在当时，微积分理论由于在实践与 数学中取得了成功，已使大部分数学家对它的可靠性表示信赖，相 信建立在无穷小之上的微积分理论是正确的。 因此贝克莱所阐述的问题被认为是悖论，即贝克莱悖论。