运筹学 第2章_运筹学线性规划灵敏度分析
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《运筹学》胡运权 第4版 第二章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析
b2 bm
x1, x2 , , xn 0
对 称 形 式 的
的 定 义
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m 对
s.t.
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 y1 c1
am2 y2 amn ym
c2 cn
偶 问 题
y1, y2 , , ym 0
a23 x3 a33 x3
b2 b3
x1 0， x2 0， x3无 约 束
（2.4a） （2.4b） （2.4c） （2.4d）
先转换成对称形式，如下：
的 的一个变量，其每个变量对应于对偶问题 的一个约束。
定
义
m Z a c 1 x 1 x c 2 x 2 c n x n 一
对 偶
a11x1 a12x2 a1n xn (,)b1
a2
1x1
a22x2
a2n xn
(, )b2
般 线 性
问 题 的 定 义
am1x1 am2 x2 amnxn (,)bm xj 0( 0,或符号不限) j 1 ~ n
问题。
对
对偶问题是对原问题从另一角度进
偶
行的描述，其最优解与原问题的最 优解有着密切的联系，在求得一个
原
线性规划最优解的同时也就得到对 偶线性规划的最优解，反之亦然。
理
对偶理论就是研究线性规划及其对 偶问题的理论，是线性规划理论的
重要内容之一。
问 题 的 导 出
例2-1
我们引用第一章中美佳公司的例子，如表1
的
x1, x2, , xn 0
对
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学第2章对偶理论和灵敏度分析-第4节
1 y1 2 y2 3 y3
x1 0, x2,x3 0, x4无约束
则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系， 可以直接写出上述问题的对偶问题，
max z ' 5 y 1 4 y 2 6 y 3
y1 2 y2
2
y1 3 y1
2 y2
综合上述，线性规划的原问题与对偶问题 的关系，
其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。
原问题
目标函数 max z
n个
变 0
量
0
无约束
约 m 个
束
0
条
0
件
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题
目标函数 min
n个 约
束
证：由性质（2）可知，
YbCX ,是不可能成立。
例：
LP:
DP:
maxzx1 x2
mi n4y1 2y2
2xx11xx22
4 2
2yy11yy22
1 1
x1,x2 0
y1,y2 0
从两图对比可明显看到原问题无界， 其对偶问题无可行解
j1
x
j
0,
j
1 ,2 ,
,n
第一步：先将等式约束条件分解 为两个不等式约束条件。
n
maxz cj xj j1
n
aijxj bi j 1,2,,m 213
j1
n
ai j x j
bi ,
i
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22
运筹学 第二章 灵敏度分析
改进多少，才能得到该决策变量的正数解。0表示不需再改进。
目标式系数： 指目标函数中的系数 允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
x2
8 7 6 5 4 3 2 1
0<=c1<=750
（2,6）是最优解
2.4.2 图解法——改变车间2的约束
x2 改变车间1的约束又会是如何的？
2x2=18
8 7 6 5 4 3 2 1
（2,6）是最优解
2x2=12
可行域
2x2=6
1 23 4 5 6 7 8
x1
2.5 多个约束右端值同时变化的灵敏度分析
分析1小时的工时从车间3移到车间2，对总利润所产生的 影响。 那么，根据影子价格，可知总利润变化量如下： 车间2: 12-->13，利润增加？元 车间3: 18-->17，利润减
课本P50，例2.3，回答五个问题
1. 产品甲的单位利润将会在3.8万元~5.2万元之间波动，公司该 如何应对这种情况，提前对生产格局做好调整预案？
2. 当资源A的限额（储备量）在42~46之间变化时，对线性规划 的影响？ 3. 材料B在最优生产格局中出现了12.5单位的剩余，那么应如何 重新制定限额，做好节约工作？ 4. 若公司停止生产，把各种原材料变卖。该如何决策？
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
现从另一角度提出问题。假定某A公司想把该工厂的资源收购过 来，它至少应付出多大代价，才能使该工厂愿意放弃生产活动， 出让自己的资源？显然该工厂愿意出让自己资源的条件是：出让 代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的赢利。 设分别用y1、y2、y3代表单位时间车间1、车间2、车间3的出让代 价，因该工厂用1小时车间1和3小时车间3可生产1扇门，赢利300 元；分别用2小时车间2和车间3可生产1扇窗，赢利500元，由此， y1、y2、y3的取值应满足： y1 + 3y3 ≥ 300 2y2 + 2y3 ≥ 500
目标式系数： 指目标函数中的系数 允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
x2
8 7 6 5 4 3 2 1
0<=c1<=750
（2,6）是最优解
2.4.2 图解法——改变车间2的约束
x2 改变车间1的约束又会是如何的？
2x2=18
8 7 6 5 4 3 2 1
（2,6）是最优解
2x2=12
可行域
2x2=6
1 23 4 5 6 7 8
x1
2.5 多个约束右端值同时变化的灵敏度分析
分析1小时的工时从车间3移到车间2，对总利润所产生的 影响。 那么，根据影子价格，可知总利润变化量如下： 车间2: 12-->13，利润增加？元 车间3: 18-->17，利润减
课本P50，例2.3，回答五个问题
1. 产品甲的单位利润将会在3.8万元~5.2万元之间波动，公司该 如何应对这种情况，提前对生产格局做好调整预案？
2. 当资源A的限额（储备量）在42~46之间变化时，对线性规划 的影响？ 3. 材料B在最优生产格局中出现了12.5单位的剩余，那么应如何 重新制定限额，做好节约工作？ 4. 若公司停止生产，把各种原材料变卖。该如何决策？
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
现从另一角度提出问题。假定某A公司想把该工厂的资源收购过 来，它至少应付出多大代价，才能使该工厂愿意放弃生产活动， 出让自己的资源？显然该工厂愿意出让自己资源的条件是：出让 代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的赢利。 设分别用y1、y2、y3代表单位时间车间1、车间2、车间3的出让代 价，因该工厂用1小时车间1和3小时车间3可生产1扇门，赢利300 元；分别用2小时车间2和车间3可生产1扇窗，赢利500元，由此， y1、y2、y3的取值应满足： y1 + 3y3 ≥ 300 2y2 + 2y3 ≥ 500
运筹学-线性规划灵敏度分析_图文
在目前计算机普及率很高的情况下，通常的方法是程序 中修改A后重新计算成即可。
例2.1 在例1.1中新增一种产品:防盗门
例2.2 在例1.1中新增一个约束：电力限制
作业:P50—52,1,3,5
运筹学 小结： 一般信息的变化： 价值向量—市场变化 右端向量—资源变化 系数矩阵—技术进步
线性规划
C的变化只影响检验数（对偶问题的解），不影响原问题 的基本解；
格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均 不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位 与400小时，详细的数据资料见下表。问： （1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？ （3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？ （5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计 划及日利润将如何变化？
表1 雅致家具厂基本数据
家具类型 1
劳动时间 （小时/件）
2
木 材（单 位/件）
4
玻 璃（ 单位/件）
6
单位产品利 润（元/件）
60
最大销售量 （件）
100
2
1
2
2
20
200
3
3
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
40
50
4
2
2
2
30
100
可提供量
400小时
600单位
1000单位
解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量 x1,x2,x3,x4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三 种资源的供应量限制和产品销售量限制。
例2.1 在例1.1中新增一种产品:防盗门
例2.2 在例1.1中新增一个约束：电力限制
作业:P50—52,1,3,5
运筹学 小结： 一般信息的变化： 价值向量—市场变化 右端向量—资源变化 系数矩阵—技术进步
线性规划
C的变化只影响检验数（对偶问题的解），不影响原问题 的基本解；
格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均 不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位 与400小时，详细的数据资料见下表。问： （1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？ （3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？ （5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计 划及日利润将如何变化？
表1 雅致家具厂基本数据
家具类型 1
劳动时间 （小时/件）
2
木 材（单 位/件）
4
玻 璃（ 单位/件）
6
单位产品利 润（元/件）
60
最大销售量 （件）
100
2
1
2
2
20
200
3
3
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
40
50
4
2
2
2
30
100
可提供量
400小时
600单位
1000单位
解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量 x1,x2,x3,x4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三 种资源的供应量限制和产品销售量限制。
运筹学线性规划灵敏度分析教学案例
2020/8/1
多个资源系数同时变动分析
例如，将 1 个小时的用工时间从3车间移到2车间，对总利润 产生什么影响？
总利润增加 3650 - 3600 = 50 元， 而目标系数未变，所以最优解肯定 发生变化，
2020/8/1
百分之百法则
如果约束右端值同时变动，计算出每一变动占允许变动量的 的百分比，如果所有的百分比之和不超过100%，那么，影子 价格依然有效；否则，就无法确定。
2020/8/1
灵敏度分析的概念
LP 问题的系数有 aij、bi 、 cj，这些系数往往是估计值 或预测值。
市场条件变化， cj 值就会变化；工艺条件和技术水平改 变， aij 就变化； bi 是根据资源投入后的经济效果决定的一种 选择，市场供应条件发生变化时，亦会改变。
提出问题:
• 当 LP 问题的系数有一个或几个发生变化时，已求得的最优 解会有什么变化； • 这些系数在什么范围内变化时，LP 问题的最优解不会变化。
再改变参数
最优解变了
2020/8/1
那么，保持最优解不变的价值系数允许 变化范围？
改变最优解的临界值是什么呢？
敏感性报告
在“规划求解结果”中 选定“敏感性报告”。 得到一个工作表：
2020/8/1
敏感性报告
最优解
目标函数系数
“递减成本” --- 表示目标函数的系数必须改变多少，才能使 决策变量有正数解。 “允许的增量”和“允许的减量” --- 给出最优解不变的范围。 如门的系数范围： 0≤c1≤750；窗的系数范围：c2≥200
2020/8/1
资源数量变化的分析
考虑只有一个右段值 bi 改变：2 车间可用工时由原来的 12小 时增加到 13 小时，最优解如何变化呢？再变化呢？
多个资源系数同时变动分析
例如，将 1 个小时的用工时间从3车间移到2车间，对总利润 产生什么影响？
总利润增加 3650 - 3600 = 50 元， 而目标系数未变，所以最优解肯定 发生变化，
2020/8/1
百分之百法则
如果约束右端值同时变动，计算出每一变动占允许变动量的 的百分比，如果所有的百分比之和不超过100%，那么，影子 价格依然有效；否则，就无法确定。
2020/8/1
灵敏度分析的概念
LP 问题的系数有 aij、bi 、 cj，这些系数往往是估计值 或预测值。
市场条件变化， cj 值就会变化；工艺条件和技术水平改 变， aij 就变化； bi 是根据资源投入后的经济效果决定的一种 选择，市场供应条件发生变化时，亦会改变。
提出问题:
• 当 LP 问题的系数有一个或几个发生变化时，已求得的最优 解会有什么变化； • 这些系数在什么范围内变化时，LP 问题的最优解不会变化。
再改变参数
最优解变了
2020/8/1
那么，保持最优解不变的价值系数允许 变化范围？
改变最优解的临界值是什么呢？
敏感性报告
在“规划求解结果”中 选定“敏感性报告”。 得到一个工作表：
2020/8/1
敏感性报告
最优解
目标函数系数
“递减成本” --- 表示目标函数的系数必须改变多少，才能使 决策变量有正数解。 “允许的增量”和“允许的减量” --- 给出最优解不变的范围。 如门的系数范围： 0≤c1≤750；窗的系数范围：c2≥200
2020/8/1
资源数量变化的分析
考虑只有一个右段值 bi 改变：2 车间可用工时由原来的 12小 时增加到 13 小时，最优解如何变化呢？再变化呢？
运筹学习题解答(chap2)(1)(1)
第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,(a)321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++.,0,;534;332;243321321321321无约束x x x x x x x x x x x x解：原模型可化为321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥≥++.,0,;534;3-3--2-;243321321321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为321532m ax y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;22321321321321无约束y y y y y y y y y y y y2、P89,(b)321365m ax x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;522321321321321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033≥-='x x 原模型可化为321365m ax x x x Z '-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321321321321321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为321835m in y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析1、P92, 线性规划问题213m ax x x Z += ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1025;74212121x x x x x x最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变（2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥42511c c 所以：4251≤≤c 时可保持最优解不变。
运筹学第二章24灵敏度分析
（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
（2） N =？
舍弃中间计算过程
只考察初始表和最终表
B-1 = AB-1
2、价值系数C发生变化的情况： （1）当cj是非基变量的价值系数——它的变 化只影响 j 一个检验数。 ≤0 1 j c j CB B Pj ≥0 要进行基变换码？
j c j c j CB B Pj ≤ 0
' 1
c j ≤ CB B1 Pj c j
非基变量的价格系数变化，在原最优解 不变的条件下，确定的变化范围。
（ 2 ）当cj是基变量的价值系数 —— 它的变化 将影响所有非基变量的检验数. 1 N C N CB B N 当cj变化时，如能保持 0 ，则当前解仍 N 为最优解，否则可用单纯形法继续迭代求出 新的最优解。 1 C C B N 0 将cj看作待定参数，令 N N B 解这n-m个不等式，可算出保持最优解不变 时cj的变化范围 ！ 基变量的系数变化，仍用c2代表x2的价值系 数（看成待定参数），原最优表格即为：
(2) 增加1个约束条件： 相当于系数阵A增加1行 首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理 —— 用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵； 用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（1）增加1个新变量：相当于系数阵A增加1列 如开发出一种新产品，已知其有关工艺参数 （或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk ， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
《运筹学》胡运权第4版线性规划的对偶理论及灵敏度分析省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
13
2
y3
2 3
题
y1符号不限, y 2 0, y3 0
非 对 偶 形 式 旳 原对 偶 问 题
例2-4 写出下列问题旳对偶问题
max z c1x1 c2 x2 c3x3
a11x a12 x a13x3 b1
s.t.
a21x1 a31x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
出让自己旳资源？
问 题 旳 导 出
例2-1
条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生 产活动时获取旳获利。
y1,y2,y3分别代表单位时间（h）设备A、设备B和调试工 序旳出让代价。 y1,y2,y3旳取值应满足：
6y 2
y 3
2
5y 1
2y 2
y 3
1
美佳企业用6h设备B和1h调试可 生产一件家电I,获利2元
y1, y2 , y3 0
LP1和LP2两个线性规划问题，一般称LP1为原问题， LP2为前者旳对偶问题。
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题
s.t.
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
规 划 问
minW b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym (, )c1
a12y1
a22 y2
am2
ym
(,
)c2
题 旳 对 偶 问
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn
题
y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学第二章灵敏度分析
CB
-3 -5 -Z’
xB x1 X2
2.4 对偶解的经济解释
一、对偶线性规划 的解： P55
Cj xB x3 x1 x2 z b 7/2 7/2 3/2 x1 1 0 0 y4 Cj yB b y1 15/2 0 原问题变量 x2 0 0 1 0 y5 对偶问题变量 y2 y3 x3 1 0 0 0 y1 原问题变量 x4 5/4 1/4 -1/4 1/4 y2 x5 -15/2 -1/2 3/2 1/2 y3
T.G.Koopman（库普曼）和 L.V.Kamtorovich（康脱罗维奇）
二人因此而共同分享了1975年的第7届诺贝尔经 济学奖。
2.5 灵敏度分析
一、灵敏度分析的含义 是指系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感性程度的分析。 对于线性规划问题的灵敏度分析是指参数A，b，C变化引起的 对原问题解的变化的分析。 其中：A为技术参数矩阵，b为资源向量，C为价值向量 可以用参数变化后的问题重新用单纯形法求解？ 没必要，意义不大，有些问题看不出来。 把相应的变化反映到最终单纯形表中，再根据情况用相应的方 法求解。
Z 50 x1 30 x2
2.1 线性规划的对偶问题与对偶理论
假设现有乙公司准备租借用(购买)该木器厂的木工和 油漆工两种劳力的劳务，需要考虑这两种劳务以什么 样的价格租入最合算？而同时甲公司要以什么条件才 会租让？甲公司肯定会以自己利用两种劳力的劳务组 织生产所获得的利润最大为条件，设每个木工的租用 价格为y1，每个油漆工的租用价格为y2，则乙公司愿 意租用的出资为：
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
运筹学讲义-灵敏度分析
k=1 −1 m
qi = ∂f ( x) ∂bi− = (CBB−1)i , 左导数 机会成本 zn+i = CBB−1P +i = (CBB−1)i n zn+i 因此 qi = − zn+i
−1 m
, 松弛变量 人工变量 剩余变量
m
机会成本的另外表达形 式 z j = CBB Pj = ∑(CBB )i aij = ∑qiaij
16
2.4.7 灵敏度分析举例 例2.4.3 某工厂生产三种产品 A, B, C，有五种生产组合方案。 ，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。 产品至少110 个，求收 下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少 产品至少 益最大的生产方案。 益最大的生产方案。
17
例2.4.3
为已选定各种组合方案的组数(j=1,2,…,5)， x6为A产品 解：设xj为已选定各种组合方案的组数 ， 产品 的剩余变量， 分别为工人工时和机器工时的松弛变量。 的剩余变量， x7，x8分别为工人工时和机器工时的松弛变量。
©管理与人文学院
1999，4 ，
忻展红
2.4 灵敏度分析
灵敏度分析又称为后优化分析
2.4 线性规划的灵敏度分析
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优 参数发生变化， • 哪些参数容易发生变化 – C, b, A • 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好 灵敏度越小，
18
例2.4.3 • • • • • • • • • 最优解的B 最优解的 –1是什么 产品A的影子价为多少 产品 的影子价为多少 组方案的生产费用提高2元 第II组方案的生产费用提高 元，是否要调整生产组别 组方案的生产费用提高 若工人加班费为1元 小时 小时， 若工人加班费为 元/小时，是否要采取加班措施 若通过租借机器增加工时， 若通过租借机器增加工时，租费的上限应为多少 A产品的订购合同是否有利 产品的订购合同是否有利 若要选用第IV组方案，该组的生产费用应降低多少 若要选用第 组方案， 组方案 若工人加班费为0.3元 小时 小时， 若工人加班费为 元/小时，最多允许加班时间多少 若机器租费低于44元 小时 问租几部机器才合适(每天 小时， 若机器租费低于 元/小时，问租几部机器才合适 每天 8小时计 小时计) 小时计 • 若第 组方案使机器工时减少 小时，能否被选入 若第III组方案使机器工时减少 小时， 组方案使机器工时减少0.5小时
qi = ∂f ( x) ∂bi− = (CBB−1)i , 左导数 机会成本 zn+i = CBB−1P +i = (CBB−1)i n zn+i 因此 qi = − zn+i
−1 m
, 松弛变量 人工变量 剩余变量
m
机会成本的另外表达形 式 z j = CBB Pj = ∑(CBB )i aij = ∑qiaij
16
2.4.7 灵敏度分析举例 例2.4.3 某工厂生产三种产品 A, B, C，有五种生产组合方案。 ，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。 产品至少110 个，求收 下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少 产品至少 益最大的生产方案。 益最大的生产方案。
17
例2.4.3
为已选定各种组合方案的组数(j=1,2,…,5)， x6为A产品 解：设xj为已选定各种组合方案的组数 ， 产品 的剩余变量， 分别为工人工时和机器工时的松弛变量。 的剩余变量， x7，x8分别为工人工时和机器工时的松弛变量。
©管理与人文学院
1999，4 ，
忻展红
2.4 灵敏度分析
灵敏度分析又称为后优化分析
2.4 线性规划的灵敏度分析
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优 参数发生变化， • 哪些参数容易发生变化 – C, b, A • 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好 灵敏度越小，
18
例2.4.3 • • • • • • • • • 最优解的B 最优解的 –1是什么 产品A的影子价为多少 产品 的影子价为多少 组方案的生产费用提高2元 第II组方案的生产费用提高 元，是否要调整生产组别 组方案的生产费用提高 若工人加班费为1元 小时 小时， 若工人加班费为 元/小时，是否要采取加班措施 若通过租借机器增加工时， 若通过租借机器增加工时，租费的上限应为多少 A产品的订购合同是否有利 产品的订购合同是否有利 若要选用第IV组方案，该组的生产费用应降低多少 若要选用第 组方案， 组方案 若工人加班费为0.3元 小时 小时， 若工人加班费为 元/小时，最多允许加班时间多少 若机器租费低于44元 小时 问租几部机器才合适(每天 小时， 若机器租费低于 元/小时，问租几部机器才合适 每天 8小时计 小时计) 小时计 • 若第 组方案使机器工时减少 小时，能否被选入 若第III组方案使机器工时减少 小时， 组方案使机器工时减少0.5小时
运筹学灵敏度分析目标规划
3 灵敏度分析
例3 7:
例3 4增加3x1+ 2x2≤15;原最优解不 满足这个约束 于是
Ci
2 3000
0
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5
X6
2 X1 4 1 0 0 1/4 0
0
0 X5 4 0 0 -2 1/2 1
0
3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0
0
0 X6 -1 0 0 -1 -1/2 0
故恒有d+×d=0
目标规划问题及其数学模型
2 统一处理目标和约束
对有严格限制的资源使用建立系统约束;数学形式同线性规划中 的约束条件 如C和D设备的使用限制
4 x 1 16 4 x 2 12
对不严格限制的约束;连同原线性规划建模时的目标;均通过目 标约束来表达 1例如要求甲 乙两种产品保持1:1的比例;系统约束表达为： x1=x2 由于这个比例允许有偏差; 当x1<x2时;出现负偏差d;即： x1+d =x2或x1x2+d =0 当x1>x2时;出现正偏差d+;即： x1d+ =x2或x1x2d+ =0
-z
m
f
0…
m
0 σm+1 … σn
其中：f = ∑ ci bi’ j = cj ∑ ci aij’ 为检验数 向量 b’ = B1 b
i=1
i=1
A= p1; p2; …; pn ; pj’ = B1 pj; pj’ = a1j’ ; a2j’ ; … ; amj’ T ; j = m+1; … ; n
0
0
-1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
σj=cjc1×a1j+c5 × a5j+c2+Δc2 ×a2jj=3;4 可得到 3≤Δc2≤1时;原最优解不变
《运筹学》第二章 对偶问题和灵敏度分析jssk1
2.1 线性规划的对偶理论
解：写出该问题的对偶问题
min W 20 y1 20 y2 y1 2 y2 1 2y y 2 2 1 2 y1 3 y2 3 3 y 2 y 4 2 1 y1 , y2 0
根据互补松弛性，可得： X3*=4>0 则 2y1+3y2=3
s.t. AX ≤b X≥0 s.t. YA ≥ C Y≥0
2.1 线性规划的对偶理论
二、原问题和对偶问题的关系
1、原问题目标函数求最大值，对偶问题求最小值； 2、原问题目标函数的系数是对偶问题约束条件的右端项，原问 题中的右端项是对偶问题目标函数的系数； 3、原问题约束条件为“≤”，则在其对偶问题中决策变量为 “≥”；原问题中决策变量为“≥”，则在其对偶问题中的约束条 件为“≥”； 4、原问题中的约束条件个数等于它的对偶问题中的变量个数， 原问题中的变量个数等于它的对偶问题中的约束条件个数；
YA ≥ C
Y≥0
在单纯形法的每一步迭代中，目标函数取值 Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N)XN ，当非基变量XN=0时有 Z=CBB-1b和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1， 那么Y的经济意义是什么？
2.1 线性规划的对偶理论
Y=CBB-1=(y1,y2,…,ym)，则得
Z CB B b Yb bi yi
2.1 线性规划的对偶理论
三、对偶问题的基本定理
1、对称性：对偶问题的对偶是原问题。
2、弱对偶定理：若X(0)是原问题的可行解，Y(0)是对偶 问题的可行解，则一定有CX(0) ≤ Y(0)b
max Z=CX 证明：设原问题是 AX ≤b X≥0
则对偶问题是
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使用Excel进行灵敏度分析 影子价格的经济意义和应用
RUC, Information School, Ye Xiang
本章节内容
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 线性规划灵敏度分析 单个目标函数系数变动 多个目标函数系数同时变动 单个约束右端值变动 多个约束右端值同时变动 约束条件系数变化 增加一个新变量 增加一个约束条件 影子价格 （Shadow Price）
2.4 单个约束右端值变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
单个约束右端值变动对目标值的影响 如果车间2的可用工时增加1个小时， 总利润是否会发生变化？如何改变 ? 最优解是否会发生变化? 方法 1 ：使用电子表格进行分析（重 新运行“规划求解”工具） 方法 2 ：从“敏感性报告”中获得关 键信息（影子价格，Shadow Price）
第2章 线性规划 灵敏度分析
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第 2章 线性规划灵敏度分析 Sensitivity Analysis for Linear Programming
RUC, Information School, Ye Xiang
第2章 线性规划 度分析的概念和内容
13 12 18 17 1 ( )( ) 33.3% 6 6 3
RUC, Information School, Ye Xiang
2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
在影子价格有效范围内，总利润的变化量 可以直接通过影子价格来计算。 比如将车间 3 的 3 个工时转移给车间 2 ，由 于
RUC, Information School, Ye Xiang
第2章 线性规划 灵敏度分析
本章主要内容框架图
第2章 线性规划 灵敏度分析
单个 目标函数系数变动 多个 单个 约束右端值变动 多个 影子价格 内容 约束条件系数变化 灵敏度分析 增加新变量 增加新约束条件 影子价格的经济意义和应用 重新运行规划求解 方法 运用敏感性报告
2.2 单个目标函数系数变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
下面讨论在假定只有一个系数cj改变，其他 系数均保持不变的情况下，目标函数系数 变动对最优解的影响。 如果当初对门的单位利润估计不准确，如 把它改成500元，是否会影响求得的最优解 呢？ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行 “规划求解”工具） 方法2：运用“敏感性报告”寻找允许变化 范围
图解法（直观）
可以看到， 0 c1 750
最优解（2，6） 保持不变
RUC, Information School, Ye Xiang
2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
假如，以前把门的单位利润（300元）估计 低了，现在把门的单位利润定为450元；同 时，以前把窗的单位利润（500元）估计高 了，现在定为400元。这样的变动，是否会 导致最优解发生变化呢？ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行 “规划求解”工具） 方法2：运用“敏感性报告”进行分析（百 分之百法则）
2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法 1 ：使用电子表格进行分析 （重新运行“规划求解”工具）
总利润增 加了36503600=50 （元）， 影子价格 有效。
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2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
（车间1） （车间2） （车间3） （非负）
最优解为（2，6）， Max z＝3600 RUC, Information School, Ye Xiang
2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
问题 1 ：如果门的单位利润由原来的 300 元提升到 500 元， 最优解是否会改变？对总利润又会产生怎样的影响? 问题 2 ：如果门和窗的单位利润都发生变化，最优解会不 会发生改变？对总利润又会产生怎样的影响? 问题 3 ：如果车间 2 的可用工时增加 1 个小时，总利润是否 会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? 问题 4 ：如果同时改变多个车间的可用工时，总利润是否 会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? 问题5：如果车间2更新生产工艺，生产一扇窗户由原来的 2小时下降到1.5小时, 最优解是否会发生改变？总利润是 否会发生变化？ 问题 6 ：工厂考虑增加一种新产品，总利润是否会发生变 化？ 问题 7 ：如果工厂新增加用电限制，是否会改变原来的最 优方案？ RUC, Information School, Ye Xiang
多个约束右端值同时变动对目标值 的影响 将 1 个小时的工时从车间 3 移到车间 2 ，对总利润所产生的影响 方法 1 ：使用电子表格进行分析（重 新运行“规划求解”工具） 方法 2 ：运用“敏感性报告”进行分 析（百分之百法则）
RUC, Information School, Ye Xiang
( 300 150 500 250 )( ) 133% 300 300
变动百分比超过了100%， 但从右图看最优解还是（2， 6），没有发生改变。这是 由于这两个单位利润同比 例变动，等利润直线的斜 率不变，因此最优解就不 变。
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RUC, Information School, Ye Xiang
2.4 单个约束右端值变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法2：从“敏感性报告”中获得关键信息 在给定线性规划模型的最优解和相应的目标函 数值的条件下，影子价格（Shadow Price）是 指约束右端值增加（或减少）一个单位，目标 值增加（或减少）的数量
第二个约束条件 （车间2的工时约束） 的影子价格是150， 说明在允许的范围 [6，18]（即[12-6， 12+6]）内，再增加 （或减少）一个单 位的可用工时，总 利润将增加（或减 Ye Xiang 少）150
RUC, Information School,
2.4 单个约束右端值变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
15 12 18 15 ( )( ) 100% 6 6
所以，总利润的变化量为
(15 12) 150 (18 15) 100 150
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2.6 约束条件系数变化
450 300 500 400 2 ( )( ) 66.67% 450 300 3 RUC, Information School, Ye Xiang
2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
但是变动百分比之和超过 100% 并不一 定表示最优解会改变。例如，门和窗 的单位利润都减半
图解法（直观）
可以看到， 6 b2 18 在这个范围内，每 次车间的约束右端 值增加（或减少） 1 ，交点的移动就 使利润增长（或减 少）影子价格的数 量（150元）
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2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法2：运用“敏感性报告”进行分析 百分之百法则：如果约束右端值同时变动， 计算每一变动占允许变动量（允许的增量或 允许的减量）的百分比，如果所有的百分比 之和不超过100%，那么，影子价格依然有效 ，如果所有的百分比之和超过 100 ％，那就 无法确定影子价格是否依然有效，只能通过 重新运行“规划求解”工具来判断了
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2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法2：运用“敏感性报告”进行分析 百分之百法则:如果目标函数系数同时变 动，计算出每一系数变动量占该系数允 许变动量（允许的增量或允许的减量） 的百分比，而后，将各个系数的变动百 分比相加，如果所得的和不超过 100% ， 则最优解不会改变；如果超过 100% ，则 不能确定最优解是否改变，只能通过重 新运行“规划求解”工具来判断了
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2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
在第1章的讨论中，假定以下的线性规划 模型中的各个系数 cj、 bi、 aij是确定的常 数，并根据这些数据，求得最优解。
Max(Min) z cj xj
j 1
n
n L m , aij x j ( , ) bi (i 1, 2, s.t. j 1 x 0 ( j 1, 2, L n , ) j
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2.1 线性规划灵敏度分析 对例1.1进行灵敏度分析 Max z 300 x1 500 x2
第2章 线性规划 灵敏度分析
4 x1 2 x2 12 s.t. 3 x 2 x 18 1 2 x2 0 x1 ,
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2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法 1 ：使用电子表格进行分析 （重新运行“规划求解”工具）
可以看到，最优 解并没有发生变 化，总利润由于 门和窗的单位利 润的改变相应地 改变了 (450－300)×2＋ (400－500)×6＝ －300
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)
2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
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本章节内容
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 线性规划灵敏度分析 单个目标函数系数变动 多个目标函数系数同时变动 单个约束右端值变动 多个约束右端值同时变动 约束条件系数变化 增加一个新变量 增加一个约束条件 影子价格 （Shadow Price）
2.4 单个约束右端值变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
单个约束右端值变动对目标值的影响 如果车间2的可用工时增加1个小时， 总利润是否会发生变化？如何改变 ? 最优解是否会发生变化? 方法 1 ：使用电子表格进行分析（重 新运行“规划求解”工具） 方法 2 ：从“敏感性报告”中获得关 键信息（影子价格，Shadow Price）
第2章 线性规划 灵敏度分析
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第 2章 线性规划灵敏度分析 Sensitivity Analysis for Linear Programming
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第2章 线性规划 度分析的概念和内容
13 12 18 17 1 ( )( ) 33.3% 6 6 3
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2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
在影子价格有效范围内，总利润的变化量 可以直接通过影子价格来计算。 比如将车间 3 的 3 个工时转移给车间 2 ，由 于
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第2章 线性规划 灵敏度分析
本章主要内容框架图
第2章 线性规划 灵敏度分析
单个 目标函数系数变动 多个 单个 约束右端值变动 多个 影子价格 内容 约束条件系数变化 灵敏度分析 增加新变量 增加新约束条件 影子价格的经济意义和应用 重新运行规划求解 方法 运用敏感性报告
2.2 单个目标函数系数变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
下面讨论在假定只有一个系数cj改变，其他 系数均保持不变的情况下，目标函数系数 变动对最优解的影响。 如果当初对门的单位利润估计不准确，如 把它改成500元，是否会影响求得的最优解 呢？ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行 “规划求解”工具） 方法2：运用“敏感性报告”寻找允许变化 范围
图解法（直观）
可以看到， 0 c1 750
最优解（2，6） 保持不变
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2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
假如，以前把门的单位利润（300元）估计 低了，现在把门的单位利润定为450元；同 时，以前把窗的单位利润（500元）估计高 了，现在定为400元。这样的变动，是否会 导致最优解发生变化呢？ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行 “规划求解”工具） 方法2：运用“敏感性报告”进行分析（百 分之百法则）
2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法 1 ：使用电子表格进行分析 （重新运行“规划求解”工具）
总利润增 加了36503600=50 （元）， 影子价格 有效。
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2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
（车间1） （车间2） （车间3） （非负）
最优解为（2，6）， Max z＝3600 RUC, Information School, Ye Xiang
2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
问题 1 ：如果门的单位利润由原来的 300 元提升到 500 元， 最优解是否会改变？对总利润又会产生怎样的影响? 问题 2 ：如果门和窗的单位利润都发生变化，最优解会不 会发生改变？对总利润又会产生怎样的影响? 问题 3 ：如果车间 2 的可用工时增加 1 个小时，总利润是否 会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? 问题 4 ：如果同时改变多个车间的可用工时，总利润是否 会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? 问题5：如果车间2更新生产工艺，生产一扇窗户由原来的 2小时下降到1.5小时, 最优解是否会发生改变？总利润是 否会发生变化？ 问题 6 ：工厂考虑增加一种新产品，总利润是否会发生变 化？ 问题 7 ：如果工厂新增加用电限制，是否会改变原来的最 优方案？ RUC, Information School, Ye Xiang
多个约束右端值同时变动对目标值 的影响 将 1 个小时的工时从车间 3 移到车间 2 ，对总利润所产生的影响 方法 1 ：使用电子表格进行分析（重 新运行“规划求解”工具） 方法 2 ：运用“敏感性报告”进行分 析（百分之百法则）
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( 300 150 500 250 )( ) 133% 300 300
变动百分比超过了100%， 但从右图看最优解还是（2， 6），没有发生改变。这是 由于这两个单位利润同比 例变动，等利润直线的斜 率不变，因此最优解就不 变。
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2.4 单个约束右端值变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法2：从“敏感性报告”中获得关键信息 在给定线性规划模型的最优解和相应的目标函 数值的条件下，影子价格（Shadow Price）是 指约束右端值增加（或减少）一个单位，目标 值增加（或减少）的数量
第二个约束条件 （车间2的工时约束） 的影子价格是150， 说明在允许的范围 [6，18]（即[12-6， 12+6]）内，再增加 （或减少）一个单 位的可用工时，总 利润将增加（或减 Ye Xiang 少）150
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2.4 单个约束右端值变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
15 12 18 15 ( )( ) 100% 6 6
所以，总利润的变化量为
(15 12) 150 (18 15) 100 150
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2.6 约束条件系数变化
450 300 500 400 2 ( )( ) 66.67% 450 300 3 RUC, Information School, Ye Xiang
2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
但是变动百分比之和超过 100% 并不一 定表示最优解会改变。例如，门和窗 的单位利润都减半
图解法（直观）
可以看到， 6 b2 18 在这个范围内，每 次车间的约束右端 值增加（或减少） 1 ，交点的移动就 使利润增长（或减 少）影子价格的数 量（150元）
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2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法2：运用“敏感性报告”进行分析 百分之百法则：如果约束右端值同时变动， 计算每一变动占允许变动量（允许的增量或 允许的减量）的百分比，如果所有的百分比 之和不超过100%，那么，影子价格依然有效 ，如果所有的百分比之和超过 100 ％，那就 无法确定影子价格是否依然有效，只能通过 重新运行“规划求解”工具来判断了
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2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法2：运用“敏感性报告”进行分析 百分之百法则:如果目标函数系数同时变 动，计算出每一系数变动量占该系数允 许变动量（允许的增量或允许的减量） 的百分比，而后，将各个系数的变动百 分比相加，如果所得的和不超过 100% ， 则最优解不会改变；如果超过 100% ，则 不能确定最优解是否改变，只能通过重 新运行“规划求解”工具来判断了
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2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
在第1章的讨论中，假定以下的线性规划 模型中的各个系数 cj、 bi、 aij是确定的常 数，并根据这些数据，求得最优解。
Max(Min) z cj xj
j 1
n
n L m , aij x j ( , ) bi (i 1, 2, s.t. j 1 x 0 ( j 1, 2, L n , ) j
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2.1 线性规划灵敏度分析 对例1.1进行灵敏度分析 Max z 300 x1 500 x2
第2章 线性规划 灵敏度分析
4 x1 2 x2 12 s.t. 3 x 2 x 18 1 2 x2 0 x1 ,
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2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法 1 ：使用电子表格进行分析 （重新运行“规划求解”工具）
可以看到，最优 解并没有发生变 化，总利润由于 门和窗的单位利 润的改变相应地 改变了 (450－300)×2＋ (400－500)×6＝ －300
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2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析