高二文科数学竞赛试题及答案

高二文科数学竞赛试题

一、选择题（50分） 1、不等式

1

1

112

-≥-x x 的解集为（ ） A ．),1(+∞ B ．),0[+∞ C ．),1()1,0[+∞ D ．),1(]0,1(+∞- 2、当x ＞1时，不等式a x x ≥-+

1

1

恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，2] B ．[2，+∞﹞ C ．[3，+∞﹞ D ．(－∞，3] 3、若直线10ax y +

-=与直线4(3)40x a y +-+=平行，则实数a 的值等于（ ）

A ．4

B ．4或1-

C ．35

D ．32

-

4、下列命题在空间中正确的个数是（ ） ○

1三点确定一个平面； ○2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ○

3两组对边相等的四边形是平行四边形； ○4有三个直角的四边形是矩形. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

5、曲线42

2

=+y x 与曲线))2,0[(sin 22cos 22πθθθ

∈⎩

⎨⎧+=+-=参数y x 关于直线l 对称，

则直线l 的方程为（ ）

A ．02=+-y x

B ．0=-y x

C ．02=-+y x

D ．2-=x y

6、椭圆19

2522

=+y x 上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．2

3

7、若双曲线192

2=-m y x 的渐近线l 方程为x y 3

5±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为

（ ）

A ．2

B ．14

C ．5

D ．25

8、已知A (1,0)-、B (1,0)，以AB 为一腰作使∠DAB=

90直角梯形ABCD ，且3AD BC =，

CD 中点的纵坐标为1．若椭圆以A 、B 为焦点且经过点D ，则此椭圆的方程为（ ）

A ．22132x y +=

B ．22134x y +=

C ．22143x y +=

D ．22

154

x y +=

9、设圆222

(3)(5)x y r +++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是（ ） A ．615r <<

B ．4

5

r > C ．4655r << D ．1r > 10、设双曲线的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，若12PF F ∆的顶点P 在双曲线上，则12PF F ∆的内切圆在边F 1F 2上的切点是（ ）

A ．点M 或N

B ．线段MN 上的任意点

C ．线段F 1M 或NF 2上的任意点

D ．不能确定 二、填空题（25分）

11、函数2

54()2x x f x x

-+=-在(,2)-∞上的最小值是____________.

12、函数f(x)=842222+-+

+-x x x x 的最小值是____________.

13、已知动圆P 与定圆C ：2

2

)2(y x ++=1相外切，又与定值线L ：1=x 相切，那么动圆 的圆心P 的轨迹方程是____________.

14、如果双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右

支上，且||4||21PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为____________. 15、右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中，①ED BM 与平行; ②CN 与BE 是异面直线;③CN 与BM 成︒60角; ④DM 与BN 垂直;

以上四个命题中，正确命题的序号是____________. 三、解答题（75分）

16、（12分）已知：R y x b a b a ∈=+,1

,，且满足正数.求证：2

2

2

)(by ax by ax +≥+. 17、（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .

(1)求轨迹C 的方程；

(2)设直线y =kx +1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时?⊥此时||的值是多少？

18、（12分）如图，在棱长为4的正方体AC 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1，AD 的中点，求异面直线OE 与FD 1所成的角的大小.

19、（12分）有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按图示方法进行

折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时将B 记为B '（注：图中EF 为折痕，点F 也可落在边CD 上）；过B '作B T CD '//交EF 于T 点，求T 点的轨迹方程. 20、（13分）设实数x ，y 满足不等式组{

4

1912422≤+≤+-≥+y x x x y

（1）求点（x ，y ）所在的平面区域的面积；

（2）设a ＞-1，求函数f(x ，y)=y-ax 的最大值和最小值，并指出取最值时的x ，y 的值.

21、（14分）已知：双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>

的离心率3

e =，过点(0,)A b -和(,0)

B a

（1）求双曲线方程；

C

E

1

A 1 E

A F

B C

M

N D