双曲线的简单几何性质.ppt

y2 4
1.
3.(1)设双曲线 x2 - y2 =1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过点 a2 b2
(a,0),(0,b),且原点到直线l的距离为 3c ,求双曲线的离心率. 4
解: l : bx ay ab 0, ab = 3c a2 b2 4
渐近线方程:
a
y
4

4
x
3
2.求与双曲线 x2 - y2 =1有共同的渐近线, 16 9
经过点(2 3,-3)的双曲线方程.
解一(待定系数法):双曲线方程 9x2 y2 1,e= 5 . 44 3
解二(双曲线系法):设双曲线方程 x2 y2 ( 0),
16 9
=
4 9
,则 9x2 4
5、渐近线方程： x y 0
6、百度文库心率：
a
e=c/a
b
A2 X o
B1
F2
如何记忆双曲线的渐进线方程？
小结
性 双质 曲 线
x2 y2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
图象 范围
y
xa
o
或
x x a
y ya
F1
o
A2
F2
X
x a2 c
B1
x a2
c
上述性质其研究方法各是什么？
复习
双曲线的标准方程
形式一： x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
（焦点在x轴上，F（1 -c，0）、F（2 c，0））
形式二：
y2 a2

x b
2 2
1(a
0,b
0)
（焦点在y轴上，F（1 0，-c）、F（2 0，c））
其中 a2 b2 c2
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 y2
1
a2 b2
B2
F1
A1
A2 F2 X B1
课堂新授
一、研究双曲线
x2 a2

y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 1,即x2 a2 a2
(-x,y)
(x,y)
-a o a
x
x a, x a
6
4
18
4
|x|≥3
|y|≥2
x 2 y 2 1 49 25
10
14 |y|≥5
顶点 焦点
4 2,0
6,0
(±3,0)
3 10 ,0
(0,±2)
0,2 2
(0,±5)
0, 74
离心率 渐进线
e3 2 2
y 2x 4
e 10
y=±3x
e 2 y x
e 74 5
y5x 7
例题讲解
1 :求双曲线
9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42

x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
双曲线的 离心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
b c2 a2 (c )2 1 e2 1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
a
a
e增大时，渐近线与实轴的夹角增大

0
说明
O
当x 时,双曲线上点的纵坐标
与y b x的纵坐标很接近 a
即y1


b a
x
1
a2 x2
与y2


b a
x当x

时,
y1

y2
ybx a x
y b x a
4、渐近线
（1双y）曲ba线的 双在x渐 曲 2第近 线一a线 2ax象(22x为限yby内022)部 1ba(分ax 的0方,b 程 0为)
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y2 m(m 0)
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
双曲线 x2 a2

y2 b2
1, (a
0,b
0)
yb a
x2 a2
b | x| a
a2 1 x2
bx a
1

a x
2 2
y
当x 时
a2 x2

x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
Y
双曲线标准方程： y 2 x 2 1
双曲线性质：
a2 b2
F2
1、 范围：
y≥a或y≤-a
B2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点 B1（0，-a），B2（0，a）A1
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
或
o x y a
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
关于 坐标 轴和
(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
b
1、练习
标 准 方 x 2 8 y 2 32 程
2a
82
2b
4
范围
|x|≥ 4 2
9x2 y2 81 x2 y2 4
（它2）与y 等ba轴 x的双位曲置线关x2系:y2 m
在y(mbx0的)的下渐方近线为
y a x
它与y b x的位置的变化趋势:
（3） 利用a渐近线可以较准确的
画出慢双慢曲靠线近的草图
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A1
A2
o a
x
B1
ybx y b x
a
a
5、离心率
2.2.2 双曲线的 简单几何性质(1)
标准 方程
x2 y2 1
a2 b2
范 围 |x|a,|y|≤b
对称性 关于X,Y轴, 原点对称
顶点 (±a,0),(0,±b)
焦 点 (±c,0)
对称轴 离心率 准线
A1A2 ; B1B2
e c a
x a2 c
复习 椭圆的图像与性质
Y
B2
A1
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
（4）等轴双曲线的离心率e= ?2
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
(5) e c a
c2 a2 b2
y
在a、b、c、e四个参数中，知二可求二
B2
c2 b2 a2
几何意义
cb
A1
A2
0a
x
B1
焦点在y轴上的双曲线图像
Y
y2 a2