双曲线的简单几何性质.ppt
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3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质(课件)
经典例题
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
总结
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当
双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论， 为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2－ny2＝1(mn＞0)．
经典例题
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
2.中心在原点，实轴长为 10，虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是( )
A.2x52 －y92＝1 C.1x020－3y62 ＝1
√B.2x52 －y92＝1 或2y52 －x92＝1
D.1x020－3y62 ＝1 或1y020－3x62 ＝1
经 典 例 题 题型一 根据双曲线方程研究几何性质
例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率 和渐近线方程． 解：双曲线的方程化为标准形式是x92－y42＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝ 13. 又双曲线的焦点在 x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，0)，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，
经典例题
题型三 求双曲线的离心率
跟踪训练3
已知双曲线的一条渐近线方程为 y＝2x，则其离心率为________．
5或
5 2
解析：当焦点在 x 轴上时，ba＝2，这时离心率 e＝ac＝ 1＋22＝ 5.
当焦点在 y 轴上时，ab＝2，即ba＝12，这时离心率 e＝ac＝
1＋122＝
5 2.
当堂达标
小试牛刀
1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)双曲线ax22－by22＝1 与ay22－bx22＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．( × )
课件9：2.3.2 双曲线的简单几何性质
－by22＝λ(λ≠0)，可避免讨论焦点的位置．
课前探究学习
课堂讲练互动
►变式训练
2．(1)(2014·北京卷)设双曲线 C 的两个焦点为(－ 2，0)，
( 2，0)，一个顶点式(1，0)，则 C 的方程为__________________．
(2)
与
椭
圆
x2 2
＋
y2 3
＝
1
有 公共焦 点，且 离心 率为32的 双曲线 方程为
课前探究学习
课堂讲练互动
规律方法： (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出
a，c，再计算 e＝ac；二是先依据条件建立参数 a，b，c 的关系式，
再消去
b
转化成离心率
e
的方程求解，或消去
c
转化成含b的方程， a
求出ab后利用 e＝ 1＋ab22求离心率．
(2)求离心率的范围一般是根据条件建立 a，b，c 的不等式，通
2．3.2 双曲线的简单几何性质
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
1．掌握双曲线的简单的几何性质．
2．了解双曲线的渐近线及渐近线的概念， 会利用几何性质求双曲线的标准方程．
课前探究学习
课堂讲练互动
研题型学习法
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一 由双曲线的标准方程研究其几何性质
例 1 求双曲线 nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴 长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
规律方法：由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系
数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意
分 类 讨 论 ． 为 了 避 免 讨 论 ， 也 可 设 双 曲 线 方 程 为 mx2 － ny2 ＝
3.2.2双曲线的简单几何性质(第2课时)课件(人教版)
双曲线的简单几何性质
练习：设双曲线 C 的中心为点 O，若有且只有一对相交于点 O，所成角为 60°
的直线 A1B1 和 A2B2，满足|A1B1|＝|A2B2|，其中 A1，B1 和 A2，B2 分别是这对直 线与双曲线 C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
2 3，2 A. 3
2 3，＋∞ C. 3
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，则ac|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝c2－a2a. 又由双曲线的性质知|PF2|>c－a，则c2－a2a>c－a，即 c2－2ac－a2<0， ∴e2－2e－1<0，解得－ 2＋1<e< 2＋1.又 e∈(1，＋∞)， ∴e∈(1， 2＋1)．
线方程为 y=±43x,则下列结论正确的是 ( )
2
2
A.C 的方程为
9
−
16=1
B.C 的离心率为5
4
C.焦点到渐近线的距离为 3
D.|PF|的最小值为 2
双曲线的简单几何性质
解析:双曲线 C 的一个焦点 F(5,0),且渐近线方程为 y=±43x,可得 c=5,
焦点坐标在 x 轴上,
所以 = 43,因为 c=5,所以 b=4,a=3,
y＝±bx a
e＝c>1 a
y＝±ax b
复习导入
等轴双曲线
定义 方程 形式
性质
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 x2－y2＝λ(λ≠0)，λ>0 时，焦点在 x 轴上；λ<0 时，焦点在 y 轴上 ①离心率：e＝ 2 ②渐近线方程：y＝±x
02双曲线的简单的几何性质 渐近线
PART
ONE
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
3.2.2双曲线的简单几何性质(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
双曲线的渐近线方程？
=−
2 2
对于双曲线 2 − 2 = 1和它的渐近线 = ± ，
=
y
(, )
将方程中的与互换，就得到双曲线
即 = ± ．
− 2 = 1 的渐近线方程 = ± ，
2
2
2
(−, )
规律方法：由双曲线方程求渐近线方程，只需把1变成0,
∴当 ∈
2
+
2
2
> 1.
=
(1, +∞)时，
∈
1+
2
(0, +∞),且增大, 也增大
b
离心率越大, 渐近线y x的斜率越大 双曲线的“张口”越大
a
新知探究
方程
2 2
− 2=1
2
2 2
− 2=1
2
图像
范围
对称性
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
关于轴、轴、原点对称
（ − ，），（，） （， − ），（，）
a
b
y x
y x
渐近线
b
a
= >
离心率
顶点
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
2
2
x
y
2
2
2
2
2
2
(1) x 8 y 32; (2) 9 x y 81; (3) x y 4; (4)
=−
2 2
对于双曲线 2 − 2 = 1和它的渐近线 = ± ，
=
y
(, )
将方程中的与互换，就得到双曲线
即 = ± ．
− 2 = 1 的渐近线方程 = ± ，
2
2
2
(−, )
规律方法：由双曲线方程求渐近线方程，只需把1变成0,
∴当 ∈
2
+
2
2
> 1.
=
(1, +∞)时，
∈
1+
2
(0, +∞),且增大, 也增大
b
离心率越大, 渐近线y x的斜率越大 双曲线的“张口”越大
a
新知探究
方程
2 2
− 2=1
2
2 2
− 2=1
2
图像
范围
对称性
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
关于轴、轴、原点对称
（ − ，），（，） （， − ），（，）
a
b
y x
y x
渐近线
b
a
= >
离心率
顶点
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
2
2
x
y
2
2
2
2
2
2
(1) x 8 y 32; (2) 9 x y 81; (3) x y 4; (4)
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(第3课时)课件(人教版)
当1-k2≠0即k≠±1时，若直线与双曲线只有一个公共点
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
双曲线的性质PPT课件
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点(3 2 , 2) 16 4
2021/4/18
第12页/共22页
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
图象
y
M
Y p
F1 0
F2 X
F1 0
F2 X
2021/4/18
第18页/共22页
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0)
x≥a 或 x ≤a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
b
3
，而c 2
a2
3 b2，a2
b2
8
a3
解出 a2 6，b2 2
双曲线方程为 x2 y2 1 6 2 第17页/共22页
小结
椭圆
双曲线
方程 a b c关系
x2 a2
y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
16 k 0且4 k 0
2021/4/18
∴ (3 2)2
16 k
2021/4/18
第12页/共22页
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
图象
y
M
Y p
F1 0
F2 X
F1 0
F2 X
2021/4/18
第18页/共22页
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0)
x≥a 或 x ≤a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
b
3
，而c 2
a2
3 b2，a2
b2
8
a3
解出 a2 6，b2 2
双曲线方程为 x2 y2 1 6 2 第17页/共22页
小结
椭圆
双曲线
方程 a b c关系
x2 a2
y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
16 k 0且4 k 0
2021/4/18
∴ (3 2)2
16 k
第三章3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质PPT课件(人教版)
4.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于
A.12
√B.
2 2
C.1
D. 2
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1,0) 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 25，则双曲线 C 的渐近线方
∴b＝2，∴－m1 ＝b2＝4， ∴m＝－41，故选 C.
12345
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲
线的方程是
√A.x2－y2＝8
B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8
D.y2－x2＝4
解析 令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝21c2＝21×16＝8，故选 A.
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程为 y＝±bax＝±23x.
延伸探究 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心 率、顶点坐标和渐近线方程.
解 把方程 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为xm2－yn2＝1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长 a＝ m，
所以双曲线的离心率为 1＋ 2.
3 随堂演练
PART THREE
1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则
√A.实轴长为 8 2
√B.虚轴长为 4
C.焦距为 6
√D.离心率为3 4 2
解析 双曲线方程 x2－8y2＝32 化为标准方程为3x22 －y42＝1， 可得 a＝4 2，b＝2，c＝6，
双曲线的简单几何性质课件
双曲线的简单几何性质
通过探索直角双曲线的定义、方程、性质和应用，本课件将带您深入了解双 曲线的几何特性，以及它在数学和实际生活中的重要性。
直角双曲线定义
直角双曲线是由一个平面上的点到两个给定直点的距离差等于一个常数的点集合。 这个定义可以用数学方程形式表示，并且直角双曲线拥有独特的图形特点。
直角双曲线的图形特点
冷却塔
直角双曲线的形状在工程中被 广泛应用于冷却塔的设计。
Hale Waihona Puke 火箭轨迹双曲线轨迹模型可用于描述火 箭的轨迹和飞行路线。
卫星轨道
卫星在空间中的运行轨道也经 常使用双曲线模型进行建模。
结论和要点
几何性质
直角双曲线具有独特的几 何性质，如两支曲线、渐 近线以及对称性。
方程与参数
可以使用标准方程和参数 方程来描述直角双曲线的 形状。
渐近线
直角双曲线的渐近线是与曲 线的无限延伸方向相切的特 殊直线。
直角双曲线的性质与证明
1
双曲线的对称性
直角双曲线具有关于两条坐标轴的对称性。
2
焦距与离心率
焦距是焦点与曲线上任一点的距离，而离心率则是焦距与准线长度的比值。
3
曲线与渐近线
直角双曲线在无穷远处与其渐近线趋于平行。
直角双曲线的相关实例和应用
2 参数方程
直角双曲线的参数方程 是x = a * sec(θ)和y = b * tan(θ)。
3 参数特性
直角双曲线的参数a和b 分别决定曲线的形状和 大小。
直角双曲线的焦点、准线与渐近线
焦点
直角双曲线拥有两个焦点， 位于对称轴上，与曲线的离 心率相关。
准线
准线是离心率等于1的直角双 曲线上的一条特殊直线。
通过探索直角双曲线的定义、方程、性质和应用，本课件将带您深入了解双 曲线的几何特性，以及它在数学和实际生活中的重要性。
直角双曲线定义
直角双曲线是由一个平面上的点到两个给定直点的距离差等于一个常数的点集合。 这个定义可以用数学方程形式表示，并且直角双曲线拥有独特的图形特点。
直角双曲线的图形特点
冷却塔
直角双曲线的形状在工程中被 广泛应用于冷却塔的设计。
Hale Waihona Puke 火箭轨迹双曲线轨迹模型可用于描述火 箭的轨迹和飞行路线。
卫星轨道
卫星在空间中的运行轨道也经 常使用双曲线模型进行建模。
结论和要点
几何性质
直角双曲线具有独特的几 何性质，如两支曲线、渐 近线以及对称性。
方程与参数
可以使用标准方程和参数 方程来描述直角双曲线的 形状。
渐近线
直角双曲线的渐近线是与曲 线的无限延伸方向相切的特 殊直线。
直角双曲线的性质与证明
1
双曲线的对称性
直角双曲线具有关于两条坐标轴的对称性。
2
焦距与离心率
焦距是焦点与曲线上任一点的距离，而离心率则是焦距与准线长度的比值。
3
曲线与渐近线
直角双曲线在无穷远处与其渐近线趋于平行。
直角双曲线的相关实例和应用
2 参数方程
直角双曲线的参数方程 是x = a * sec(θ)和y = b * tan(θ)。
3 参数特性
直角双曲线的参数a和b 分别决定曲线的形状和 大小。
直角双曲线的焦点、准线与渐近线
焦点
直角双曲线拥有两个焦点， 位于对称轴上，与曲线的离 心率相关。
准线
准线是离心率等于1的直角双 曲线上的一条特殊直线。
2.双曲线的简单几何性质PPt
双曲线的 简单几何性质(2)
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
e >1
（3） e是反映双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a b b 当e越大， 越大, 且e增大, 即渐近线y 的绝对值越大， a a 这时，双曲线的形状从扁狭逐渐开阔，即开口越大，
结论：
x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b 等轴双曲线x2 y 2 λ (λ ≠0) 渐近线方程y x
想一想:有相同渐近线的双曲线方程相同吗？试举例说明。
例1、求下列双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、 离心率、渐近线方程。
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
x a 或 x a，y R
y a 或 y a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
b y x a
(e 1)
c e a
3 4
，
例4．求满足下列条件的双曲线标准方程.
3 ，且过（-1，2） 的双曲线。 e 2呢？ x2 y 2 （2）与双曲线 1有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4 x2 y 2 1 共渐近线 ，并且过点 M (2 3, 3) （3）已知双曲线 16 9
（1）离心率为
x2 y 2 （2）与双曲线 1 有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
e >1
（3） e是反映双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a b b 当e越大， 越大, 且e增大, 即渐近线y 的绝对值越大， a a 这时，双曲线的形状从扁狭逐渐开阔，即开口越大，
结论：
x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b 等轴双曲线x2 y 2 λ (λ ≠0) 渐近线方程y x
想一想:有相同渐近线的双曲线方程相同吗？试举例说明。
例1、求下列双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、 离心率、渐近线方程。
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
x a 或 x a，y R
y a 或 y a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
b y x a
(e 1)
c e a
3 4
，
例4．求满足下列条件的双曲线标准方程.
3 ，且过（-1，2） 的双曲线。 e 2呢？ x2 y 2 （2）与双曲线 1有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4 x2 y 2 1 共渐近线 ，并且过点 M (2 3, 3) （3）已知双曲线 16 9
（1）离心率为
x2 y 2 （2）与双曲线 1 有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4
双曲线的简单几何性质(第2课时)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
第3章 圆锥曲线的方程 3.2.2.2 双曲线的简单几何性质
导入
一、知识回顾
双曲线的简单几何性质：
标准方程
范围 对称性 顶点坐标
渐近线
x2 - y2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2
y2 - x2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2
x≤-a或x≥a，y∈R
y≤-a或y≥a，x∈R
一个
一解
△=0
相离
0个
无解
△<0
探究新知
1.判断点与双曲线的位置关系
已知平面内任一点P(
x0，y0
)，双曲线 x a
2 2
y2 b2
1(a，b
0)
P在双曲线上:
x02 a2
y02 b2
1
P在双曲线开口内:
x02 a2
y02 b2
1
P在双曲线开口外:
x02 a2
y02 b2
1
y
O
x
观看动画演示，请说出直线与双曲线有几种位置关系？如何判断 直线与双曲线的位置关系？
Δ<0⇒直线与双曲线 没有 公共点，此时称直线与双曲线相离 ．
相交于一点 ．
例题巩固
例例11、3 已知双曲线 x2－y22＝1，直线 l 过点 P(1,1)，当 k 为何值时，直线 l 与双曲线 C：
(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？ y＝kx＋(1－k)，
解 设直线 l：y－1＝k(x－1)，即 y＝kx＋(1－k)． 由 x2－y2＝1，
(1)当 b2－a2k2＝0,即 k＝±ba时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线 C (2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时，
导入
一、知识回顾
双曲线的简单几何性质：
标准方程
范围 对称性 顶点坐标
渐近线
x2 - y2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2
y2 - x2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2
x≤-a或x≥a，y∈R
y≤-a或y≥a，x∈R
一个
一解
△=0
相离
0个
无解
△<0
探究新知
1.判断点与双曲线的位置关系
已知平面内任一点P(
x0，y0
)，双曲线 x a
2 2
y2 b2
1(a，b
0)
P在双曲线上:
x02 a2
y02 b2
1
P在双曲线开口内:
x02 a2
y02 b2
1
P在双曲线开口外:
x02 a2
y02 b2
1
y
O
x
观看动画演示，请说出直线与双曲线有几种位置关系？如何判断 直线与双曲线的位置关系？
Δ<0⇒直线与双曲线 没有 公共点，此时称直线与双曲线相离 ．
相交于一点 ．
例题巩固
例例11、3 已知双曲线 x2－y22＝1，直线 l 过点 P(1,1)，当 k 为何值时，直线 l 与双曲线 C：
(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？ y＝kx＋(1－k)，
解 设直线 l：y－1＝k(x－1)，即 y＝kx＋(1－k)． 由 x2－y2＝1，
(1)当 b2－a2k2＝0,即 k＝±ba时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线 C (2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时，
双曲线的简单几何性质公开课获奖课件
1共渐近线的双曲线系
方程为 x2 y2 ( 0，为参数)，
a2 b2
λ>0表示焦点在x轴上双曲线； λ<0表示焦点在y轴上双曲线。
第12页
巩变固式练：习：1、求与椭圆 x2 y2 1有公共焦点， 49 24
且离心率e 5 的双曲线方程。 4
解：由c2 49 24 25,得c 5.焦点为（ 5，0），
F1(-c,0) B1 F2(c,0) x2 y2 1 (a b 0) a2 b2
a xa b yb
y
x
. .B2
F1 A1O A2 F2 x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2 x a 或 x a，y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
9 16
(3)2 (2 3)2
9
16
1
4
双曲线的方程为 x2 y2 1 94 4
第11页
总结：
“共渐近线”双曲线应用
与 x2 a2
y2 b2
1共渐焦近点线的双曲线系
方程为
axa222x2 byk22
b2y(2
k
0，1(或为c参2x数2 k)，
y2 k
1)
与 x2 a2
y2 b2
16 k 4 k
∴ (3 2)2
16 k
22 4k
1
,
解之得k=4,
∴ 双曲线方程为
x2 y2 1
12 8
第10页
（2）与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点(3, 2 3) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)
A1 A2
O
B1
•
F2
x
5.离心率 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小
c
(1)定义： 双曲线的焦距与实轴长的比 e , 叫做双曲线的离心率.
a
∴e >1
(2)e的范围： ∵c>a>0
y
B2
(3)e的含义：e越接近1，双曲线开口越小；
e越大，双曲线开口越大.
(4)等轴双曲线的离心率e= ?
解：依题意可设双曲线的方程为 2 2 1
a
b
2a 16，
a 8
c 5
又 e , c 10
a 4
b2 c 2 a 2 102 82 36
x2 y2
双曲线的方程为
1
64 36
3
渐近线方程为y x ,且焦点F1 (10, 0), F2 (10, 0)
-a
a
F1 A1 O
A2
B2 -b
F2
4.双曲线的渐近线:
2
2
一般地，双曲线 2 − 2 = 1 ( > 0, > 0)的两支向外延伸时，与两条直
线 ± = 0逐渐接近，但永不相交.我们把这两条直线叫做双曲线的渐
近线.
y
x y
b
x2 y2
双曲线 2 2 1的渐近线方程为 0,即y x .
A1 (0,-a ), A2(0, a )
线段A1A2叫实轴 , 长度为2a
线段B1B2叫虚轴 , 长度为2b
c
e (e 1)
a
x y
b
0,即y x
3.2.2双曲线的简单几何性质课件可编辑图片版共54张PPT
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程可设为
a2x－2 λ－λ－y2b2＝1(b2<λ<a2)．
题型二 由双曲线方程研究其几何性质
探究 1 利用方程求解几何性质
例 1 (多选)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点
分别为
F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线
y2 64
－
x2 16
＝
λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为x42－y2＝1. 答案：x42－y2＝1
4．与椭圆
x2 25
＋
y2 16
＝1有公共焦点，离心率为32
的双曲线方程为
________.
解析：方法一 由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±
n m
x的双曲线方程可设为
x2 m2
－
y2 n2
＝λ(λ≠0，
m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的
方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)与双曲线
x2 a2
－ by22
＝1或
y2 a2
－
x2 b2
系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和
c a
＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用
到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.
双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数
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（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
双曲线的 离心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
b c2 a2 (c )2 1 e2 1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
a
a
e增大时，渐近线与实轴的夹角增大
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
或
o x y a
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
关于 坐标 轴和
(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
b
1、练习
标 准 方 x 2 8 y 2 32 程
2a
82
2b
4
范围
|x|≥ 4 2
9x2 y2 81 x2 y2 4
渐近线方程:
a
y
4
4
x
3
2.求与双曲线 x2 - y2 =1有共同的渐近线, 16 9
经过点(2 3,-3)的双曲线方程.
解一(待定系数法):双曲线方程 9x2 y2 1,e= 5 . 44 3
解二(双曲线系法):设双曲线方程 x2 y2 ( 0),
16 9
=
4 9
,则 9x2 4
6
4
18
4
|x|≥3
|y|≥2
x 2 y 2 1 49 25
10
14 |y|≥5
顶点 焦点
4 2,0
6,0
(±3,0)
3 10 ,0
(0,±2)
0,2 2
(0,±5)
0, 74
离心率 渐进线
e3 2 2
y 2x 4
e 10
y=±3x
e 2 y x
其中 a2 b2 c2
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 y2
1
a2 b2
B2
F1
A1
A2 F2 X B1
课堂新授
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 1,即x2 a2 a2
(-x,y)
(x,y)
-a o a
x
x a, x a
0
说明
O
当x 时,双曲线上点的纵坐标
与y b x的纵坐标很接近 a
即y1
b a
x
1
a2 x2
与y2
b a
x当x
时,
y1
y2
ybx a x
y b x a
4、渐近线
（1双y）曲ba线的 双在x渐 曲 2第近 线一a线 2ax象(22x为限yby内022)部 1ba(分ax 的0方,b 程 0为)
F1
o
A2
F2
X
x a2 c
B1
x a2
c
上述性质其研究方法各是什么？
复习
双曲线的标准方程
形式一： x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
（焦点在x轴上，F（1 -c，0）、F（2 c，0））
形式二：
y2 a2
x b
2 2
1(a
0,b
0)
（焦点在y轴上，F（1 0，-c）、F（2 0，c））
2.2.2 双曲线的 简单几何性质(1)
标准 方程
x2 y2 1
a2 b2
范 围 |x|a,|y|≤b
对称性 关于X,Y轴, 原点对称
顶点 (±a,0),(0,±b)
焦 点 (±c,0)
对称轴 离心率 准线
A1A2 ; B1B2
e c a
x a2 c
复习 椭圆的图像与性质
Y
B2
A1
5、渐近线方程： x y 0
6、离心率：
a
e=c/a
b
A2 X o
B1
F2
如何记忆双曲线的渐进线方程？
小结
性 双质 曲 线
x2 y2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
图象 范围
y
xa
o
或
x x a
y ya
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y2 m(m 0)
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
双曲线 x2 a2
y2 b2
பைடு நூலகம்
1, (a
0,b
0)
yb a
x2 a2
b | x| a
a2 1 x2
bx a
1
a x
2 2
y
当x 时
a2 x2
（它2）与y 等ba轴 x的双位曲置线关x2系:y2 m
在y(mbx0的)的下渐方近线为
y a x
它与y b x的位置的变化趋势:
（3） 利用a渐近线可以较准确的
画出慢双慢曲靠线近的草图
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A1
A2
o a
x
B1
ybx y b x
a
a
5、离心率
e 74 5
y5x 7
例题讲解
1 :求双曲线
9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
（4）等轴双曲线的离心率e= ?2
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
(5) e c a
c2 a2 b2
y
在a、b、c、e四个参数中，知二可求二
B2
c2 b2 a2
几何意义
cb
A1
A2
0a
x
B1
焦点在y轴上的双曲线图像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
Y
双曲线标准方程： y 2 x 2 1
双曲线性质：
a2 b2
F2
1、 范围：
y≥a或y≤-a
B2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点 B1（0，-a），B2（0，a）A1
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
y2 4
1.
3.(1)设双曲线 x2 - y2 =1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过点 a2 b2
(a,0),(0,b),且原点到直线l的距离为 3c ,求双曲线的离心率. 4
解: l : bx ay ab 0, ab = 3c a2 b2 4
双曲线的 离心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
b c2 a2 (c )2 1 e2 1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
a
a
e增大时，渐近线与实轴的夹角增大
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
或
o x y a
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
关于 坐标 轴和
(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
b
1、练习
标 准 方 x 2 8 y 2 32 程
2a
82
2b
4
范围
|x|≥ 4 2
9x2 y2 81 x2 y2 4
渐近线方程:
a
y
4
4
x
3
2.求与双曲线 x2 - y2 =1有共同的渐近线, 16 9
经过点(2 3,-3)的双曲线方程.
解一(待定系数法):双曲线方程 9x2 y2 1,e= 5 . 44 3
解二(双曲线系法):设双曲线方程 x2 y2 ( 0),
16 9
=
4 9
,则 9x2 4
6
4
18
4
|x|≥3
|y|≥2
x 2 y 2 1 49 25
10
14 |y|≥5
顶点 焦点
4 2,0
6,0
(±3,0)
3 10 ,0
(0,±2)
0,2 2
(0,±5)
0, 74
离心率 渐进线
e3 2 2
y 2x 4
e 10
y=±3x
e 2 y x
其中 a2 b2 c2
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 y2
1
a2 b2
B2
F1
A1
A2 F2 X B1
课堂新授
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 1,即x2 a2 a2
(-x,y)
(x,y)
-a o a
x
x a, x a
0
说明
O
当x 时,双曲线上点的纵坐标
与y b x的纵坐标很接近 a
即y1
b a
x
1
a2 x2
与y2
b a
x当x
时,
y1
y2
ybx a x
y b x a
4、渐近线
（1双y）曲ba线的 双在x渐 曲 2第近 线一a线 2ax象(22x为限yby内022)部 1ba(分ax 的0方,b 程 0为)
F1
o
A2
F2
X
x a2 c
B1
x a2
c
上述性质其研究方法各是什么？
复习
双曲线的标准方程
形式一： x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
（焦点在x轴上，F（1 -c，0）、F（2 c，0））
形式二：
y2 a2
x b
2 2
1(a
0,b
0)
（焦点在y轴上，F（1 0，-c）、F（2 0，c））
2.2.2 双曲线的 简单几何性质(1)
标准 方程
x2 y2 1
a2 b2
范 围 |x|a,|y|≤b
对称性 关于X,Y轴, 原点对称
顶点 (±a,0),(0,±b)
焦 点 (±c,0)
对称轴 离心率 准线
A1A2 ; B1B2
e c a
x a2 c
复习 椭圆的图像与性质
Y
B2
A1
5、渐近线方程： x y 0
6、离心率：
a
e=c/a
b
A2 X o
B1
F2
如何记忆双曲线的渐进线方程？
小结
性 双质 曲 线
x2 y2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
图象 范围
y
xa
o
或
x x a
y ya
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y2 m(m 0)
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
双曲线 x2 a2
y2 b2
பைடு நூலகம்
1, (a
0,b
0)
yb a
x2 a2
b | x| a
a2 1 x2
bx a
1
a x
2 2
y
当x 时
a2 x2
（它2）与y 等ba轴 x的双位曲置线关x2系:y2 m
在y(mbx0的)的下渐方近线为
y a x
它与y b x的位置的变化趋势:
（3） 利用a渐近线可以较准确的
画出慢双慢曲靠线近的草图
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A1
A2
o a
x
B1
ybx y b x
a
a
5、离心率
e 74 5
y5x 7
例题讲解
1 :求双曲线
9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
（4）等轴双曲线的离心率e= ?2
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
(5) e c a
c2 a2 b2
y
在a、b、c、e四个参数中，知二可求二
B2
c2 b2 a2
几何意义
cb
A1
A2
0a
x
B1
焦点在y轴上的双曲线图像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
Y
双曲线标准方程： y 2 x 2 1
双曲线性质：
a2 b2
F2
1、 范围：
y≥a或y≤-a
B2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点 B1（0，-a），B2（0，a）A1
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
y2 4
1.
3.(1)设双曲线 x2 - y2 =1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过点 a2 b2
(a,0),(0,b),且原点到直线l的距离为 3c ,求双曲线的离心率. 4
解: l : bx ay ab 0, ab = 3c a2 b2 4