数列通项篇(分式型递推式求通项)

数列通项篇（分式型递推式求通项）
分式型递推式求通项 形如：D Ca B Aa a n n n ++=+1或D
Ca B Aa a n n n ++=+21
两种方法
三种类型
三条原则
两种方法：
减倒法：即减个数字取倒数
减除法：即减个数字两式相除（两边同时减去不同的数字，相除）
三种类型
D Ca B Aa a n n n ++=+1或D
Ca B Aa a n n n ++=+21 D
Cx B Ax x ++=或D Cx B Ax x ++=2为其对应的特征方程 若21,x x 为对应的特征根，则有
（1）当21x x =实根时，减倒法构造}1{1
x a n -等差数列， （2）当21x x ≠实根时，减除法构造}{2
1x a x a n n --等比数列， （3）当21x x ≠复根时，减除法构造}{
21x a x a n n --周期数列，
例1、在数列}{n a 中，21=a ，1
3371+-=
+n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式。

例2、（重庆高考）在数列}{n a 中，11=a ，05216811=++-•++n n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式。

例3、已知在数列}{n a 中，41=a ，4
2321--=+n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式。

例4、（湖南高考）已知在数列}{n a 中，11=a ，1331+-=+n n n a a a ，则=2009a _______________
三、分式型递推式求通项的三条原则
（1）选择题、填空题直接列举找规律；
（2）解答题有台阶，按构造的台阶式顺势而为；
（3）解答题无台阶，按减倒法和减除法直接构造； 例5、已知在数列}{n a 中，21=a ，121+=+n n a a ，1
2-+=n n n a a b ，则数列}{n b 的通项公式=n b _______________
例6、（全国卷）已知在数列}{n a 中，21=a ，n n a c a 11-=+，若2
5=c ，21-=n n a b ，求数列}{n b ，}{n a 的通项公式。

D Ca B Aa a n n n ++=+1，若0=B ，即D Ca Aa a n n n +=+1，直接取倒数法求解；
思考：不动点/特征根 分式型求通项万能吗？
例7、已知在数列}{n a 中1
3321++=+n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式。

例8、已知在数列}{n a 中n
n n a a a a 12,111+==+，求数列}{n a 的通项公式。

回家作业：
1、已知在数列}{n a 中)2(1
23,231111≥-+•==--+n n a a n a a n n n ， （1）求数列}{n a 的通项公式
（2）证明：对一切正整数n ，不等式!2321n a a a a n •<••。