变差函数的概念与计算分析

变差函数的概念与计算

谷跃民编写

在地质统计学随机模拟工作中，统计归纳区域变量的分布和变差函数，是用好随机模拟技术最关键的两项工作，其中区域变量分布统计比较容易理解，变差函数计算过程相对复杂，影响了解释人员对它的直观理解，为了使解释生产人员快速了解变差函数，准确使用相关工具软件，并能依据现有的资料和对工区地质情况的先验信息，统计归纳出合乎实际的变差函数，作者在学习相关知识的基础上，对学习材料进行了初步总结，试图用通俗的方式，对变差函数的概念和统计归纳方法与大家共同进行探讨。

一、变差函数的基本概念

在地质统计学中，变差函数是最基本与最重要的模拟工具，它用于描述数据值的空间互相关，数据点在空间上相距越远，相关性就变得越小，变差函数就是模拟这种现象的数学函数，通常用一张图来展示，用X轴表示滞后距离，用Y 轴表示方差，可以从区域变量

抽取的样本值中计算归纳出来，

见图1，它通过变程来反映变量

的影响范围，V(h)为变差函数值，

Lag(h)为滞后距。

变差函数可以用四个参数来描

述：

1、变差函数类型：决定了随着滞图1 变差函数图示

后距的增加变差（方差）变化的快慢，

在JASON STATMOD MC中，使用GAUSSIAN和EXPONENTIAL曲线类型；

2、变程a：指的是在超过这个距离后，数据点之间就不再有明显的相关性，也称作影响距离；

3、块金效应C0：表示在距离为0时的方差值，用来表示相距很近的两点的样品变化情况；

4、先验方差：Sill=C+C0也叫基台值，它反映变量的变化幅度。

二、变差函数的估算与拟合

1、变差函数的计算公式与估算

变差函数的定义是：区域化变量Z(x)和Z(x+h)两点之差的方差之半，定义为Z(x)的变差函数，数学定义如下：

h为滞后距。

如果有了区域化变量Z(x)的一部分采样，就可以估算该区域化变量的Z(x)变差函数，具体计算公式如下：

i为样本序号。

2、变差函数的估算示例

为了能更直观、更深刻地体会它的具体意义，下面举两个计算实例，各具体计算两个变差函数值，通过具体计算过程，就会知道什么样的资料可以满足变差函数估算的要求，具体在资料条件会出现怎样的异常，这两个实例分别为两种区域变量类型，一个是垂向区域变量类型，可以理解为井曲线等，一个是平面区域变量类型，可以理解为孔隙度平面变化等。

（1）垂向区域变量类型变差函数值计算示例。

右图为一口井的孔隙度曲线，纵向

采样间隔为1米，右侧为其数值，首先

根据公式1-2，求取h=1米时，v(1)

的数值，步骤如下：

①将数据下移1米，与原始数据对齐；

见图3a；

②找到对应数据对，求得各数据对的差

值，分别为：0.75、-2.75……、1等， 图2 孔隙度曲线 共26个数值；

③求取以上个数值的平方，再求和，得

0.752+(-2.75)2+……+12=27.625；

④由于共有26个数据对，因此，N=26,

所以，v(1)= 27.625/(2×26)=0.53125。

同理可以根据公式1-2，求取h=2米

时，v(2)的数值，步骤如下：

①将数据下移2米，与原始数据对齐；

见图3b ； a b

②找到对应数据对，求得各数据对的差 图3 v(1)和v(2)数据对

值，分别为：-2、-4……、1等，共组成了25个数据对，因此共有25个数值； ③求取以上个数值的平方，再求和，得(-2)2+(-4)2+……+12=43.6875；

④由于共有25个数据对，因此，N=25,所以，v(2)= 43.6875/(2×25)=0.87375。

（2）平面区域变量类型变差函数值计算示例。

右图4为一假设的平面地质属性

数据，其南北和东西间距都为1，

假定这一地质属性具有各向异性

特征，就应当计算它不同方向的

变差函数值，那么，这时滞后距 图4 平面地质属性数据

h 是指向某方向移动的距离，计算时，在指定方向上，对指定的h ，搜索所有相距h 的点对[Z(x i ), [Z(x i +h)]，并统计点对个数N ，其它步骤与前述垂向区域变量类型变差函数值计算步骤是相同的，以下是不同方向两个滞后距的计算结果。 东西方向移动1个单位距离，共组成6个数据对，因此，N=6，变差函数值为：

东西方向移动2个单位距离，共组成3个数据对，因此，N=3，变差函数值为： 北 西北 东北

南北方向移动1个单位距离，共组成6个数据对，因此，N=6，变差函数值为：

南北方向移动2个单位距离，共组成3个数据对，因此，N=3，变差函数值为：

从北东向南西方向移动个单位距离，共组成4个数据对，因此，N=4，变差函数值为：

从北东向南西方向移动2 个单位距离，共组成1个数据对，因此，N=1，变差函数值为：

从北西向南东方向移动个单位距离，共组成4个数据对，因此，N=4，变差函数值为：

从北西向南东方向移动2 个单位距离，共组成1个数据对，因此，N=1，变差函数值为：

如果确信变差值与方向无关，也可以将这些计算结果，放到一张变差函数图上，来拟合确定一个变差函数。

3、变差函数的拟合

在统计模拟中，变差函数采用的是一个解析函数，因此，计算出样本值的不同滞后距h的变差值V(h)

后，还必须拟合出一个解

析函数，变差函数的拟合

有很多种方法，比如，在

指定出函数类型后，可以

使用加权最小二乘法、线

性规划法、遗传算法等确