数值分析思考题1
数值分析与算法_1
作业1第4题：程序如下：k=[1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20]; n=10.^k;e1=1+1./n;e2=(e1).^n;er=e2-exp(1)x=1:20;plot(x,er)运行结果为：当k=1,2,3,…,20时，近似值的误差分别为：er =-0.124539368359043-0.013467999037517-0.001357896223452-0.000135901634120-0.000013591266748-0.000001359363292-0.000000134326964-0.0000000301116880.0000002235525150.0000002247757420.0000002248980650.000241667578192-0.002171794372145-0.0021717943720230.316753378090216-1.718281828459046-1.718281828459046-1.718281828459046-1.718281828459046-1.718281828459046误差的变化趋势曲线为：从图中可以看出，随n的增加，误差越来越低，趋于0，但由于matlab处理数据有一定的范围，所以最后六个数据误差很大。
第5题：（1）判停标准：若对于x,n趋于无穷大时，用无穷级数计算出的即为准确结果，但由于matlab处理的是有限的数值，所以应在x<0时即判停；（2）测试程序如下：syms x ky=1+symsum(x^k/gamma(k+1),k,1,inf)f=inline(y)y1=f(1);y2=f(-1);y3=f(5);y4=f(-5);y5=f(10);y6=f(-10);y7=f(15);y8=f(-15);y9=f(20);y10=f(-20); %.....................测试程序......................% s=1+symsum(x^k/gamma(k+1),k,1,100);f1=inline(s);s1=f1(1);s2=f1(-1);s3=f1(5);s4=f1(-5);s5=f1(10);s6=f1(-10);s7=f1(15);s8=f1(-15);s9=f1(20);s10=f1(-20);er1=s1-y1er2=s2-y2er3=s3-y3er4=s4-y4er5=s5-y5er6=s6-y6er7=s7-y7er8=s8-y8er9=s9-y9er10=s10-y10在有限值范围内k值取100，得到的计算结果的误差为：er1 =-4.440892098500626e-016er2 =er3 =2.842170943040401e-014er4 =-2.544839339257976e-015er5 =3.637978807091713e-012er6 =-3.004204551142545e-013er7 =4.656612873077393e-010er8 =8.041428902172784e-012er9 =er10 =1.254237543025391e-008（3）当x<0时，不能用此程序得到准确的结果。
数值计算方法思考题
数值计算方法思考题第一章 预篇1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。
4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？6．判断如下命题是否正确：（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
（2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。
（3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。
（4）高精度运算可以改善问题的病态性。
（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。
（6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。
（7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。
（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。
7．考虑二次代数方程的求解问题ax 2 + bx + c = 0.下面的公式是熟知的aac b b x 242-±-=. 与之等价地有ac b b c x 422--=.对于 a = 1, b = -100 000 000 , c = 1应当如何选择算法？8．指数函数有著名的级数展开++++=!3!2132x x x e x如果对x < 0用上述的级数近似计算指数函数的值，这样的算法结果是否会好？为什么？9．考虑数列x i , i = 1,…, n , 它的统计平均值定义为∑==n i i x x x 11 它的标准差2112)(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑-n i i x x n σ 数学上它等价于2112211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=n i i x n x n σ 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？第二章 非线性方程求根1．判断如下命题是否正确：(a) 非线性方程的解通常不是唯一的；(b) Newton 法的收敛阶高于割线法；(c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton 法；(d) Newton 法总是比割线法更节省计算时间；(e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法；(f) Newton 法是有可能不收敛；(g) 考虑简单迭代法x k +1 = g (x k )，其中x * = g (x *)。
数值分析思考题1
数值分析思考题11、 讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
答：（1）绝对误差（限）与有效数字：若*120....10m n x ααα=⨯（a 1≠0，m 为整数） 绝对误差：*1*102m n e x x -=-≤⨯，那么*x 就有 n 个有效数字。
因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。
（2）相对误差限与有效数字：*120....10m n x ααα=⨯（a1≠0，m 为整数）相对误差限:*1111110*1210*102m n n r m x x e x αα--+-⨯-=≤=⨯⨯，*1*102m n e x x -=-≤⨯，11*10m x α-≥⨯可见*x 至少有n 位有效数字。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？答：实际情况下真实值 x 是无法得到的，当测量值与真实值之间的误差可以忽略不计时，可用下式代替。
3、 查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
r e x x e x x *****-==答：病态性：数学问题本身性质所决定的，与算法无关，却能引起问题真解很大变化。
同:都是输入数据的微小误差导致输出数据误差的增大。
异：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学模型本身的问题，与算法无关。
4、 取，计算，下列方法中哪种最好？为什么？（1）(33-，（2）(27-，（3）()313+，（4）()611，（5）99-答：)631 5.05110-≈⨯ （1）(()333332 1.41 5.83210--≈-⨯≈⨯（2）223(7(75 1.41) 2.510--≈-⨯=⨯（3331 5.07310(32 1.41)-≈≈⨯+⨯（4361 5.10410(1.411)-≈≈⨯+（5）9999700.3-≈-=方法3最好，误差最小141.≈)61。
数值分析思考题
数值分析思考题1、 一个算法局部误差和整体误差的区别是什么？如何定义常微分方程数值方法的阶？称 ()n n n e y x y =-为某方法在点n x 的整体截断误差，设n y 是准确的，用某种方法计算n y 时产生的截断误差，称为该方法的局部截断误差。
可以知道，整体误差来自于前面误差积累，而局部误差只来自于n y 的误差。
如果给定方法的局部截断误差为11()p n T O h ++=，其中p 为自然数，则称该方法是p 阶的或具有p 阶精度。
2、 显式方法和隐式方法的优缺点分别是什么？多步法中为什么还要使用单步法？显式方法优点:方法简单快速。
缺点：精度低。
隐式方法优点：稳定性好。
缺点：精度低，计算量大。
多步法需要多个初值来启动迭代，而初值的计算需要用到单步法。
3、 刚性问题的求解困难主要体现在哪儿？计算刚性问题的最简单的稳定方法是什么？了保证数值稳定性，步长h 需要足够小，但是为了反映解的完整性，x 区间又需要足够长，计算速度变慢。
最简单的稳定方法就是扩大绝对稳定域。
4、分别用欧拉向前法、欧拉向后法、改进的欧拉法、经典的四阶Runge-Kutta 法、四阶Adams 方法计算下列微分方程初值问题的解。
（1）3,12(1)0.4dy y x x dxx y ⎧=-≤≤⎪⎨⎪=⎩；（2）'109,'1011,y y z z y z =-+⎧⎨=-⎩ 满足(1)1,(1)1,y z =⎧⎨=⎩，12x ≤≤。
解：（1）取步长为0.1，向前Euler 公式：3101=0.11.(,)()n n n n n n ny y hf x y x y x +=++-向后Euler 公式：41111110101.(,).n n n n n n n n x y x y y hf x y x +++++++=+=+改进的Euler 公式：()11333113211(,),(,)20.10.12n n n n n n n n n n nn n n n n n hy y f x y f x y h f x y y x y y x x x x x ++++++=+++⎡⎤⎣⎦⎡⎤+=+-+-⎢⎥+⎣⎦经典的四阶Runge-Kutta 法：11234226()n n hy y k k k k +=++++1(,)n n k f x y =2122(,)n n h hk f x y k =++ 3222(,)n n h hk f x y k =++43(,)n n k f x h y hk =++四阶显示Adams 方法：01112233555937924()[(,)(,)(,)(,)]n n n n n n n n n n hy y f x y f x y f x y f x y +------=+-+- 01111122919524()[(,)(,)(,)(,)]n n n n n n n n n n h y y f x y f x y f x y f x y +++----=++-+（2）二元微分方程组，经典的四阶Runge-Kutta 法公式为：11234226()n n hy y k k k k +=++++ 11234226()n n hz z L L L L +=++++1(,,)n n n k f x y z =211222(,,)n n n h h h k f x y k z L =+++ 322222(,,)n n n h h hk f x y k z L =+++433(,,)n n n k f x h y hk z hL =+++1(,,)n n n L g x y z =211222(,,)n n n h h h L g x y k z L =+++ 322222(,,)n n n h h hL g x y k z L =+++433(,,)n n n L g x h y hk z hL =+++改进的欧拉即为特殊的二阶龙格-库塔，公式在此不累述，注意系数。
数值分析课后答案1
1第一章 习题解答1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。
解：设 x 的准确值为x *，则有( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ所以e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ另解：e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) |= | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。
求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。
解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。
3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。
由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。
故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。
4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。
解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。
5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。
若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。
数值分析习题解答1
第一章 引论（习题）2．证明：x 的相对误差约等于x 的相对误差的1/2.证明 记 x x f =)( ，则 )()(***x x x x x x x x f E r +-=-=)(21**x E x x x x x xr ≈-⋅+=. □3．设实数a 的t 位β进制浮点机器数表示为)(a fl . 试证明 t b a b a fl -≤+*=*121||),1/()()(βδδ， 其中的记号*表示+、-、⨯、/ 中一种运算.证明： 令： )()()(b a fl b a fl b a **-*=δ 可估计： 1|)(|-≥*c b a fl β（c 为b a *阶码）， 故： 121||--≤c t c ββδt -=121β 于是： )1()()(δ+*=*b a b a fl . □4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1）;1||,11211<<+--+x x x x 对 （2）;1,11>>--+x x x x x 对 （3） 1||,0,c o s 1<<≠-x x xx 对. 解 (1) )21()1(22x x x++. (2) )11(2x x x x x-++. (3) xx x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-⋅≤-=a x x E . xa x x E r -=)(, 221018110921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25.021011321⨯⋅≤-+---a x xa =310- 33104110|)(|--⨯=-≤a f E r . □9．序列}{n y 满足递推关系：1101.100-+-=n n n y y y . 取01.0,110==y y 及01.0,101150=+=-y y ，试分别计算5y ，从而说明该递推公式对于计算是不稳定的. 解 递推关系： 1101.100-+-=n n n y y y(1) 取初值 10=y ， 01.01=y 计算可得： 11001.10022-⨯=-y 10001.1-=410-= 6310-=y ， 8410-=y ， 10510-=y ， … (2) 取初值 50101-+=y ， 2110-=y ,记： n n n y y -=ε, 序列 {}n ε ，满足递推关系，且 5010--=ε ， 01=ε1101.100-+-=n n n εεε, 于是： 5210-=ε,531001.100-⨯=ε, 55241010)01.100(---⨯=ε,55351002.20010)01.100(--⨯-⨯=ε,可见随着 n ε 的主项 5210)01.100(--⨯n 的增长，说明该递推关系式是不稳定的.。
第一章复习与思考题
第一章复习与思考题1. 什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？答：数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究的是用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.数值分析以数学问题为研究对象，但它并不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论.2. 何谓算法？如何判断数值算法的优劣？答：一个数值问题的算法是指按规定顺序执行一个或多个完整的进程，通过算法将输入元变换成输出元.一个面向计算机，有可靠理论分析且计算复杂性好的算法就是一个好算法. 因此判断一个算法的优劣应从算法的可靠性、准确性、时间复杂性和空间复杂性几个方面考虑.3. 列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别.答：用计算机解决实际问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的误差叫做模型误差.在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度等，这些参量显然也包含误差，这种由观测产生的误差称为观测误差.当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解和精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.有了求解数学问题的计算公式以后，用计算机做数值计算时，由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示时会产生误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差.截断误差和舍入误差是两个不同的概念，截断误差是由所采用的数值方法而产生的，因而也称方法误差，舍入误差是由数值计算而产生的.4. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？答：设x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，称x x e -=**为近似值*x 的绝对误差，简称误差. 近似值的误差*e 与准确值x 的比值xx x x e -=**称为近似值*x 的相对误差，记作*r e .通常我们无法知道误差的准确值，只能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界*ε，*ε叫做近似值的误差限.若近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字.有效数位越多，绝对误差限越小，相对误差限也越小.5. 什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？答：一个算法如果输入数据有误差，而在计算中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的；否则称为不稳定的.判断一个算法是否稳定主要是看初始数据误差在计算中的传播速度，如果传播速度很快就是数值不稳定的.对于不稳定的算法来说，由于其误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠，所以不稳定的算法是不能使用的.6. 什么是问题的病态性？它是否受所用算法的影响?答：对一个数值问题本身来说，如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病态问题.病态问题是数值问题本身固有的，不是由计算方法引起的，病态性并不受所用算法的影响，对病态问题必须采用特殊的方法以减少误差危害.7. 什么是迭代法？试利用03=-a x 构造计算3a 的迭代公式.答：迭代法是一种按同一公式重复计算逐次逼近真值的算法，是数值计算普遍使用的重要方法. 在计算3a 时，可从等价的方程求根问题03=-a x 出发，利用方程的等价形式)2(312xa x x +=即可得到计算3a 的迭代公式)2(3121k k k x a x x +=+. 8. 直接利用以直代曲的原则构造求方程02=-a x 的根a x =*的迭代法.答：求方程0)(=x f 的根在几何上就是求曲线)(x f y =与x 轴交点*x 的横坐标. 假如已给出一个近似值k x ，用该点))(,(k k x f x 处的切线逼近曲线，令1+k x 为该切线与x 轴交点的横坐标，一般情况下，1+k x 近似方程根*x 的程度比k x 近似*x 的程度要好，这就是以直代曲的思想. 曲线a x y -=2在点))(,(k k x f x 处的切线方程为a x x x y k k --=22，切线方程的根)(21kk x a x x +=，以此作为新的近似值，就得到了求方程02=-a x 的根a x =*的迭代法)(211k k k x a x x +=+. 9. 举例说明什么是松弛技术. 答：在积分近似计算的梯形公式∑=-+=ni i i n x f x f h T 11)]()([2中，取2,1=n 可分别得 .2)],()(2)([4)],()([221b a c b f c f a f a b T b f a f a b T +=++-=+-=令121221)1()(T T T T T S ωωω-+=-+=,若取3/1=ω，则得)],()(4)([63134121b f c f a f a b T T S ++-=-= 这就是松弛技术，ω称为松弛因子.10. 考虑无穷级数∑∞=11n n,它是发散的，在计算机上计算它的部分和，会得到什么结果？为什么？答：虽然在理论上无穷级数∑∞=11n n是发散的，但在计算机上计算时，由于计算机只能进行有限数的计算，所以无论n取多大的值，级数的和都是有限数.11. 判断下列命题的正确性：(1) 解对数据的微小变化高度敏感是病态的.(2) 高精度运算可以改善问题的病态性.(3) 无论问题是否病态，只要算法稳定都能得到好的近似值.(4) 用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值.(5) 用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值.(6) 两个相近数相减必然会使有效数字损失.(7) 计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的.答：(1)对.(2)错.(3)错.(4)错.(5)对.(6)错.(7)错.。
数值分析思考题
数值分析思考题61、数值计算中迭代法与直接法的区别是什么(D直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算求得方程组的精确解的方法。
直接法又称为精确法。
(2)迭代法是采取逐次逼近的方法，即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不得精确解。
迭代法是一种逐次逼近的方法，与直接法比较，具有程序简单，存储量小的优点。
2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。
迭代公式X(_I)二Bx(k)+ g(k二0,1,2, ?)收敛的充分必要条件是M k->0.假设矩阵M的谱半径p(B),可知MkTO的充分必要条件是p (B) < 1 o 迭代公式x(k I)二Bx(k)+ g(k 二0,1,2, ?) 和x(k + 1)二Bix(k + 1) + B2x(k) + g(k 二0,1,2,?),收敛。
严格对角占优线性方程组Ax二b(其中A e R m x n,b e L)的Jacobi 迭代公式x(k + 1) = Bx(k)+ g(k = 0,1,2,?),收敛。
Gauss-Seidel 迭代公式x(k + 1)二Bix(k + 1) + B2x(k) + g(k = 0,1,2,?),收敛。
3、详述你所知道的非线性方程(组)的迭代法以及收敛性结果。
(1)不动点迭代法：不一定收敛，若存在常数L<1 ,使得I 4> (x) - 0 (y) I W L|x 一y|,?x, y G [a, b],则收敛于x*。
(2)斯蒂芬森迭代法：若不动点迭代公式的迭代函数e(x)在不动点X*的某邻域内具有二阶连续导数，e'(x*)二A工1且A工0,则二阶收敛，极限是X*。
(3)牛顿迭代法：收敛4、举例说明解线性方程组的S0R方法的最佳松弛因子与何种因素有解线性方程组的S0R方法的最佳松弛因子与迭代矩阵的谱半径有关，是单峰关系。
数值分析思考题
数值分析复习思考题（2006-12-28）这几天的答疑时间中，解答了部分同学的问题，更多是作为教师的深入思考。
而共同探讨问题是非常重要的。
由于时间有限，这个文档中提出问题的深度可能不够，有些问题还没给出解答，希望研究生同学一起来思考，提出更多的问题。
我会在以后的时间中形成新的文档。
第一章 思考题1．在科学计算中，一般认为误差的来源有几种？列举在数值分析课中主要讨论误差。
数值计算中一个基本的手段是近似，所以就有了各种误差。
误差来源有四种：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。
一般分为两类，第一类是固有误差（包括模型误差和观测误差），第二类是计算误差（包括截断误差和舍入误差）。
计算方法课中主要讨论计算误差。
这是因为在用计算机解决数学问题时，常常用“有限代替无穷，用近似代替准确”。
例如，解决连续性问题时通常要将其转化为离散问题求解，这将引起截断（方法）误差；由于机器数的位数有限，计算机表示数据时一般带有舍入误差。
下面不全面列举出本课程内容涉及的误差线性方程组直接求解方法——舍入误差多项式插值方法——插值误差数据拟合方法——残差数值积分方法——求积误差微分方程数值解方法——局部截断误差………………………………………………2．有效数字的概念是如何抽象而来的，请简单给予叙述。
有效数字位数与计算近似值x的误差这两个概念是通过末位数半个单位相联系的。
由于计算机的机器数只能表示有限位浮点数，对于很多数据只能近似表示，近似采用“四舍五入”的原则进行。
有效数字概念正是根据日常生活中的“四舍五入”原则抽象而来的。
若近似值x的绝对误差限是某一位上半个单位，该位到x的第一位非零数字一共有n位，则称这一近似数具有n位有效数字。
而相对误差则与有效数位数基本一致。
3．什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例子说明在算法执行过程中，舍入误差对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的算法。
例如初始数有一点微小的误差，就会对一个算法的数据结果产生较大的影响，造成误差扩散，用计算公式I n = 1 – n I n-1构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一个公式I n-1= ( 1 – I n )/n则可以构造出一个数值稳定的算法。
数值分析思考题答案
数值分析思考题答案数值分析课程思考题1．叙述拉格朗⽇插值法的设计思想。
Lagrange插值是把函数y=f(x)⽤代数多项式pn(x)代替，构造出⼀组n次差值基函数；将待求得n次多项式插值函数pn(x)改写成另⼀种表⽰⽅式，再利⽤插值条件确定其中的待定函数，从⽽求出插值多项式。
2．函数插值问题的提出以及插值法发展的脉络。
问题的提出：实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。
但是，通过观察或测量或试验只能得到在[a,b]区间上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值y=f(xi),(i=0,…,n)或者f(x)函数表达式是已知的，但却很复杂⽽不便于计算希望⽤⼀个简单的函数描述它。
发展脉络：在⼯程中⽤的多的是多项式插值和分段多项式插值。
在多项式插值中，⾸先谈到的是Lagrange插值，其成功地⽤构造插值基函数的⽅法解决了求n次多项式插值函数的问题，但是其⾼次插值基函数计算复杂，且次数增加后，插值多项式需要重新计算，所以在此基础上提出Newton插值，它是另⼀种构造插值多项式的⽅法，与Lagrange插值相⽐，具有承袭性和易于变动节点的特点。
如果对插值函数，不仅要求他在节点处与函数同值，还要求它与函数有相同的⼀阶，⼆阶甚⾄更⾼阶的导数值，这就提出了Hermite插值，它是利⽤未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的。
为了提⾼精度，加密节点时把节点分成若⼲段，分段⽤低次多项式近似函数，由此提出了分段多项式插值。
最后，由于许多⼯程中对插值函数的光滑性有较⾼的要求，就产⽣了样条插值。
3．描述数值积分算法发展和完善的脉络。
数值积分主要采⽤插值多项式来代替函数构造插值型求积公式。
通常采⽤Lagrange插值。
如果取等距节点，则得到Newton-Cotes公式，其中，当n=1时，得到梯形公式；当n=2时，得到Simpson公式；当n=4时，得到Cotes公式。
数值分析思考题证明题思路
xk xk 1
f ( xk 1 ) f ( xk 2 ) xk 1 xk 2 ， f '( xk 1 ) f '( xk 2 )
f ( xk 2 ) f xk 2 f '( xk 2 ) xk xk 1 f '( xk 1 )
称时， A F ( ) ，其中 i ， i 1, 2, , n 为 A 的特征值。 证明思路： （1）
A 2 max ( AT A) 1 ( AT A) 2 ( AT A)
n n i 1 i 1 2
n ( AT A) ani 2
x * pj xj
j 1 n
是 R n 上的一种向量范数。 解题思路：证明满足定义的三个条件：正定性、齐次性和三角不等式 （利用 Chebyshev 不等式） 7、证明矩阵范数的性质： A 2 A F n A 2 ， A 2
2 1 2 2 1 2 2 n
A 1 A 。若 A 对
解题思路： （1） 容易证明列严格对角占优的矩阵作一次 Gauss 变换后，有：
1 l21 A LU 1 1 ，其中 L1 ln1
0 1 0
0 a 0 U1 11 ， 0 0
a1T A2 A2 ，这里 也是列
严格对角占优的；且 li1
x
k 1
xk 2
2
将之带入
( xk xk 1 ) 得： ( xk 1 xk 2 )2
1 f ''( xk 2 ) o(1) ( xk xk 1 ) f ''( x* ) 2 lim lim 2 k ( x k f '( xk 1 ) 2 f '( x * ) k 1 xk 2 )
数值分析复习与思考题
第二章复习与思考题1•什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？答：若n次多项式l j x （j =0,1，…，n）在n 1个节点x。
：：：为：：：…：:：冷上满足条件j,k =0,1, ,n,则称这n • 1个n次多项式I。
X丄x ,…，I n x为节点X o,X1，…，X n上的n次拉格朗日插值以l k x为例，由l k x所满足的条件以及l k x为n次多项式，可设I k x = A X - X。
.1 IX - X k」X - X k 1 X - X n ，其中A为常数，利用I k x k=1得1=AX k-X o X k-X k」X k-X k1 X k-X n，1X k -X。
X k - X k」X k -X k1 X k - X nL(x)二X _X。
X _x k j X - x k 1 X - 焉(兀—X。
)八(兀—X k4 I x k —Xk* r(x k —Xn j=。
j-*X _ X j X k _X jn对于l j x （i 二。
,1，…,n），有v X j k l j x 二x k k 二。
,1，…，n，特别当k 二。
时，有i=。
n■- l i X = 1・i £2•什么是牛顿基函数？它与单项式基0X,…，X n f有何不同？答：称"-1,x -X。
，X -X。
X -X1，…,X -X。
！〔X -X nd〕；为节点X。
，为，…,X n 上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点x。
，/，…,x n上的n次牛顿插值多项式巳x可以表示为P n X =a。
a1 x — x。
a n x — x。
x其中a k = f k°,x1,…，x k !k =。
,1，…，n•与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如P k 1 X = P k X a k 1 x-x。
X - X k ,其中a k i 是节点X o ,X !，…，X ki 上的k 1阶差商，这一点要比使用单项式基 1,x,…，x n :■方便 得多•3•什么是函数的n 阶均差？它有何重要性质？f X o , X 1, X kX k — XiX o"，…X nf 〔X 。
东华大学数值分析课后习题答案1
|������������1| = |������1* − ������1| = |2������������1 − ������������2 + ������������3| ≤ 2|������������1| + |������������2| + |������������3| ≤ 2������1 + ������2 + ������3 = 0.0011 = 0.11 × 10−2 ≤ 0.5 × 10−2,
,
从而应
该用求根公式中的������2来计算。
2) 当������ < 0时，计算等价公式中������1 会出现相近的数相减和分母接近于0，求根公式中������2会出现
相近的数相减，此时会使舍入误差增大。
当������ < 0时，改进的方法正好和������ > 0时的方法相反：应该选取求根公式中的������1和等价公式中
⃒3 ⃒∑︁
(︂
������������
)︂
⃒ ⃒
|������������2|
≈
⃒ ⃒
⃒ ������=1
������������������
������������������⃒⃒ = |������2������3������������1 + ������1������3������������2 + ������1������2������������3| ⃒
数值分析作业思考题
数值分析思考题11、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
4、取，计算，下列方法中哪种最好？为什么？（1）(33-，（2）(27-，（3）()313+，（4）()611，（5）99-数值实验数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。
求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。
直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。
当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。
如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。
Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。
对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。
方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。
数值计算方法上机题目11、实验1. 病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。
所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。
希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。
病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
问题提出：考虑一个高次的代数多项式re x xex x*****-==141.≈)61∏=-=---=201)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1）显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。
现考虑该多项式方程的一个扰动0)(19=+xx p ε (E1-2)其中ε是一个非常小的数。
数值分析课程设计思考题
数值分析课程设计思考题一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握数值分析的基本概念和方法，培养学生运用数值分析解决实际问题的能力。
具体来说，知识目标包括：了解数值分析的基本概念、原理和方法；掌握常用的数值计算算法及其优缺点。
技能目标包括：能够运用数值分析方法解决实际问题；能够使用相关软件进行数值计算和数据分析。
情感态度价值观目标包括：培养学生对数值分析的兴趣和好奇心，提高学生学习的积极性；培养学生的团队合作意识和科学精神。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括数值分析的基本概念、原理和方法。
具体来说，教学大纲如下：1.数值分析的基本概念：数值分析的定义、特点和意义。
2.数值计算算法：插值法、最小二乘法、数值积分和数值微分。
3.误差分析：误差的定义和来源、误差的估计和减少方法。
4.稳定性分析：稳定性的定义和判定方法。
5.实际应用案例：利用数值分析方法解决实际问题。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我们将采用多种教学方法进行教学。
具体来说，包括以下几种：1.讲授法：通过讲解数值分析的基本概念、原理和方法，使学生掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析实际应用案例，使学生了解数值分析在解决实际问题中的应用。
3.讨论法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识和科学精神。
4.实验法：让学生利用相关软件进行数值计算和数据分析，提高学生的实践能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，我们将准备以下教学资源：1.教材：数值分析教材，用于引导学生学习基本概念和原理。
2.参考书：提供额外的学习资料，帮助学生深入理解数值分析方法。
3.多媒体资料：制作PPT、视频等多媒体资料，生动展示数值分析的原理和应用。
4.实验设备：计算机和相关软件，供学生进行数值计算和数据分析实践。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括以下几个方面：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生的学习态度和理解程度。
数值分析部分思考题答案
数值分析部分思考题答案有错很正常，不要吐槽就好!!!!!!!5、解：（1）局部收敛性：设[]2(),f x Ca b ∈，若x*为()f x 在[],a b 上的根，且()0f x *'≠，则存在x *的某邻域()U x δ*使得任取初始值0()x U x δ*∈，Newton 法产生的序列{}k x 收敛到x *。
（2）证明：令()()()f xg x x f x =-'，则 2()()()01()f x f xg x f x ****'''==<'显然()g x '在[],a b 上连续，故存在x *的某邻域()U x δ*，使()x U x δ*∀∈，有()1g x '<由微分中值定理，()()()g x x g x x x x x x ξξδ****'-=-<-≤其中介于与之间()(,)()g x x x U x δδδ***∴∈-+=令()max (())x U x M g x δ*∈'=，则01M ≤<，且()()()g x x g x x x x M x xξξ****'-=-≤-其中介于与之间110()()0k k k k x x g x g x M x x M x x k ***--*∴-=-≤-≤≤-→→+∞，， 于是序列{}k x 收敛到x *由Taylor 展开：()2212()0()()()()()2!()()()()2!()()(),2()2()k k k k k k k k k k k k k k kf f x f x f x x x x x x x f f x x x x x f x f x x x f x f k f x f x x x ξξξξ********+**'''==+-+-''⇒=---''''-''⇒=→→+∞''-其中介于与之间证毕6、解：（1）迭代函数2()20/(210)g x x x =++，则22401()1, 1.5(210)x g x x x x +'=<→++ 故迭代格式2120/(210)k k k x x x +=++收敛 （2）迭代函数23()(202)/10g x x x =--，则(34)()1, 1.510k k x x g x x +'=>→故迭代格式231(202)/10k k k x x x +=--发散（3）对于Newton 迭代，令32()21020f x x x x =++-，则2()34100, 1.5f x x x x '=++≠→故Newton 迭代格式1()()k k f x x x f x +=-'收敛7、解：（1）牛顿迭代法：迭代格式31241121k k k k k x x x x x ++-=-+。
数值分析第一章思考题
第一章思考题(2012级本科学生作品)1、什么样的算法被称为不稳定算法？试列举一个例子进行说明。
在算法执行过程中，舍入算法对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的一种算法。
例如，假设初始数据有一点微小误差，就会对一个算法的数据结构产生很大的影响，造成误差扩散。
用计算公式ln 1ln n n =-，构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一公式ln 1(1ln)/n -=-则可以构造出一个数值稳定的算法。
2、我们都知道秦九韶算法能够减少运算次数，高中也学过他的具体过程，请举出一个例子并用秦九韶算法计算。
答；一般的，一元n 次多项式的求值需要经过(1)/2n n +次乘法和n 次加法，而秦九韶算法只需要n 次乘法和n 次加法。
具体的不太会了。
3、为什么要设立相对误差的概念？答：相对误差是近似值误差与精确值的比值，用来衡量近似值的近似程度。
x=10±1，y=1000±5。
虽然x 的误差比y 的误差小，但y 的近似程度比x 更好。
这单用误差无法表现出来，而相对误差可以解决这个问题。
4、误差在生活中有什么作用？答：误差的作用不仅仅体现在数学课题研究中，在生活中误差的作用也非常大，比如在建筑行业中，设计图纸时必须要达到一定的精确度才行。
5、有效数字以及计算规则答：有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如，用最小刻度为0.1cm 的直尺量出某物体的长度为11.23cm ，显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，医|学教育网搜集整理因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm ，亦可能是11.22cm ，测量的结果有±0.01cm 的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
这个数值就是四位有效数字。
在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。
数值分析思考题1
（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，（；
（2） =0.52=0.25；
（3） =0.0050726；
（4） =0.00510385；
（5） =99-98.70=0.3；
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？
答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当 较小时，通常用 代替。
3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。
（2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。
数值分析思考题1
1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x的近似值x*表示成
x*=±10m×(a1×10﹣1+a2×10﹣2+…an×10﹣n+…+ak×10﹣k+…)，其中m是整数，a1≠0，a1，a2，…，ak是0到9中的一个数字。若绝对误差 ，那么x*至少有n个有效数字，即a1，a2，…，an为有效数字，而an+1，…，ak，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。
（2）相对误差（限）与有效数字：将x的近似值x*表示成
x*=±10m×(a1×10﹣1+a2×10﹣2+…an×10﹣n+…+ak×10﹣k+…)，其中m是整数，a1≠0，a1，a2，…，ak是0到9中的一个数字。若ak是有效数字，那么相对误差不超过 ;反之，如果已知相对误差r，且有 ，那么ak必为有效数字。
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数值分析思考题1
1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *表示成
x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。
若绝对误差e ，那么x *至少有n 个有效数字，即a 1，a 2，…，a n 为有效数字，而a n+1，…，a k ，…不一定是有效数字。
因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。
（2）相对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣
k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。
若a k 是有效数字，那么相对误差不超过
;反之，如果已知相对误差r ，且有，那么a k 必为有效数字。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替
答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时，通常用代替。
3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
r
e x x e x x *****-==
-
答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。
（2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。
4、 取
，计算
，下列方法中哪种最好为什么
（1）(33-，（2）(27-，（3）()31
3+，（4）()61
1，（5）
99-答：（1）(33-==； （2）(27-==； （3）
()3
13+=； （4）()611+=；
（5）99-=；
由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的
误差最小。
，
141.≈)61。