连续介质力学练习2
连续介质力学
1. 推导(2.8.10)后两式第二式:T T Xi F F G g G g G g G g g g F l kkK kK k KK T T ki k K k K j K K K j x x t t X X tv x v X X x <><><>>>⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫⎪==⊗=⊗ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⊗=⊗⊗= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭(1)或Tl F FT-T>>><<>=得到0TT Tl F F F F F F T-T-T-T>>><<>><<>><<>===+ (2)⇒TTF F F FT -T<><>><<>=- (3)(我这一步得到的和书上有点差别,为什么呢?)第三式: 由(1)、(3)得到TT F F F F F lT -TT T<><>><<><>>>=-=由(2)、(3)得到TTTFF F Fl F-T-T T ><><<>><>>><--=-=-2.推导(2.8.16)后两式第三式: d d d d d div d v VvVv v=∴===v J J J J第四式:d d Tv FA ><><-= Jd d d TTvF A F A ><><><<--∴=+J J(这步最右式和书上的也不同)d d d div d d tr d d T T T T TTv F A F A F A F A d F A FA ><><><><><<<<----><><>><<--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∴=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭v J J J J JT tr tr TTd l Fl F><>>><>>>>--⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(2.8.10)T d tr d d T T v l F A l F A ><>>><>>><<--⎛⎫⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭J3.证明第二单元章后习题变形基本定理:FV R R U ==R 为转动张量,且是正交张量T V R U R ⇒=U V ⇒、互为正交相似矩阵,因而有相同的特征值记,k K k k k k UN N V n n λλ=⊗=⊗T V R U R =k k k ij i j K k k i j ji R R n n e e N N e e λλ⇒⊗=⊗⊗⊗令k ij i j K k R n e e N λ=⊗证得k k n R N =4.简要说明四类应力的共同点和差异点(1)Cauchy 应力张量,kirchhoff 应力张量,第二类P-K 应力都是对称张量,而第一类P-K 应力无所谓对称性。
《连续体力学》习题及解答2_工学_高等教育_教育专区.doc
2二阶张量及其若干运算法则(一)概念.理论和公式提要2-1张量的乘法① 张量的外乘(并乘)张量的外乘用0表示,其外积为张量,其阶数等 于外乘诸张量阶数之和。
② 张量的内乘(点乘)张量的点乘用匕”表示(有时也可省去“•” ), 其内积为张量,其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。
③ 张量的双点乘记作“:”(两次点乘),例如A :B ;其积为张量,其阶 数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。
设A 为CT (m ), B 为CT (〃),C 为CT (p ), 则A :B :C =D 9 D 为 CT (m + 斤 + p - 2 x 4)(2-1-1) 取加=4, n = 4, p = 2,则D 为CT (2),其分量为D a = A ij inn B ,nn r P C r P (2T-2)其中A 分量的后两个指标与B 分量的前两个指标,B 分量的后两个指标与C 分 量的询两个指标依次相同O二阶张量T 的范数记为||7|定义为T :T = 为正方根,且有||T|| > 0,只当T = o 吋才取等号|a r|| = |a|||T||, |a|为标量◎的绝对值 ||r+i?||<||r||+W T :国聊|・|网 |八忤制问为矢量"的模,/?亦为二阶张量。
⑤ 设A 和B 分是是CT0)和CT (" 则4和B 外积的s 次缩拼为张量C ,记为C S A®B = CC 为O + / - 25)阶张量,其分量关系为(2-1-3) (2-1-4)(2-1-5)(2-1-6)(2-1-7)C ij …mn — Aj ……k$B k'kfks. 反Z,如果已知B 和C 为张量,其分量与带指标的量务•满足上式,则务•为张 量A 的分量,称为商法则或张量识别定理。
A 的阶数等于C 的阶数加减去 B 的阶数。
特别地当s = t, B 的分量的全部指标都是哑标时,则A 的阶数等于B 和c 的阶数Z 和。
大连理工研究生连续介质力学作业题
f = xT Ax , grad(f )= ∂x T Ax = 2Ax ∂x
f ′ = (RT x′)T ART x′ = x′T RART x′
grad(f' ) = ∂x′TRART x′ = 2RART x′ ∂x′
= 2RA(RT x′) = 2RAx = R ⋅ 2Ax = R ⋅ grad(f)
(3) a1 = p, a 2 = q, a3 = r
⎡2 0 1⎤ 由[gij ] = ⎢⎢0 4 2⎥⎥
⎢⎣1 2 2⎥⎦ 及 ai = gij a j 得 a1 = 2 p+ r, a2 = 4 q+ 2 r, a3 = p+ 2 q+ 2 r
1
2. 已知笛卡尔坐标系 e1 , e3 , e3 ,一个新的坐标系定义为
2 3
x2'
+
2 3
x2'
−
4 3
x2'
+
2 3 x3' 4 3 x3' 2 3 x3'
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
= grad(f ′)
3
3.
二维情况下,一质点应力张量 σ 主值 λ1σ = 1.6 , λσ2 = 2.3 。主方向 N1 =
3 2
e1
−
1 2
e2
,
N2
=
1 2 e1
+
3 2
e
(2) 求向量 x 参考新坐标系的表示形式 x = xi′ ei′ (3) 求函数 f 在新的坐标系下的表达形式 f ′(x1′ , x2′ , x3′ ) (4) 判断 grad(f )的客观性。
¾ 解答:
(1) grad(f )= (2 x1 , 0, − 2 x3 )T
连续介质力学-2d
度
23
量
H
=
1 2
ln(I
+
2E)
=
ln(I
+
E工 )
=
1 2
(2E
−
1 2
(2E)2
+
1 (2E)3 3
− ...)
=
E工
−
1 2
E工2
+
1 3
E工3
−
...
Green应变,工程应变和对 数应变张量之间的关系
18
第 二
同理, 对参考构形中随体坐标系{ xi, t0 }变形状态的描
章 述还可定义工程应变张量 e工和对数应变张量 h :
(C AB
− GAB )
(2.69)
应
称为Green应变张量
变
度 量
Green应变张量 E 是对当前构形中随体坐标系
{ XA, t }的变形状态描述,称为空间应变张量。
—
E的主方向:Lα ,α = 1,2,3
E的主值:
1 2
( λ α2
− 1), α
= 1,2,3
14
第 二 章
任取变形前在参考构形R中的单位矢量 L ,记
L ⋅ E ⋅ L 为Green应变张量在 L方向的法分量:
变 形 和 运
∴L ⋅ E ⋅ L = 1 (L ⋅C ⋅ L − L ⋅ I ⋅ L) 2
=
1 2
(λ2L
−1)
=
ds2 − dS 2dS 2
2
(2.70)
动
2.考虑{ xi, t0 }
{xi} 线元长度的改变(E描述):
—
应 ds2 − dS 2 = dx ⋅ i ⋅ dx − dx ⋅ c ⋅ dx = dx ⋅ (i − c) ⋅ dx
张量分析——精选推荐
《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、 矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式:1)[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关?1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。
*补充知识:矩阵及矩阵运算1、定义:[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行,j 表示列;m 和n 相等表示为方阵,称为m (或n )阶矩阵。
(完整版)流体力学练习题
、选择题1、连续介质假设意味着 B 。
(A)流体分子互相紧连;(B)流体的物理量是连续函数;(C)流体分子间有间隙;(D)流体不可压缩2、静止流体A—剪切应力。
(A)不能承受;(B)可以承受;(C)能承受很小的;(D)具有粘性是可承受3、温度升高时,空气的粘度 B 。
(A)变小;(B)变大;(C)不变;(D)可能变大也可能变小4、流体的粘性与流体的D_ 无关。
(A)分子的内聚力;(B)分子的动量交换;(C)温度;(D)速度梯度5、在常温下,水的密度为 D kg/m3。
(A)1 ;( B)10 ;( C)100;( D)1000 6水的体积弹性模量A 空气的体积弹性模量。
(A)大于;(B)近似等于;(C)小于;(D)可能大于也可能小于7、C的流体称为理想流体。
(A)速度很小;(B)速度很大;(C)忽略粘性力;(D )密度不变8、D—的流体称为不可压缩流体。
(A)速度很小;(B)速度很大;(C)忽略粘性力;(D)密度不变9、与牛顿内摩擦定律直接有关系的因素是 B(A)切应力和压强;(B)切应力和剪切变形速率;(C)切应力和剪切变形;(D )切应力和速度。
10、水的粘性随温度升高而 B(A)增大;(B)减小;(C)不变;(D)不确定11、气体的粘性随温度的升高而A(A)增大;(B)减小;(C)不变;(D)不确定。
12、理想流体的特征是C(A)粘度是常数;(B)不可压缩;(C)无粘性;(D)符合pV=RT。
13、以下关于流体粘性的说法中不正确的是(B )粘性是流体的固有属性;粘性是在运动状态下流体具有抵抗剪切变形速率能力的量度; 流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重作用;流体的粘性随温度的升高而增大。
14、按连续介质的概念,流体质点是指 D(A)流体的分子;(B)流体内的固体颗粒;(C)无大小的几何点; (D)几何尺寸同流动空间相比是极小量,又含有大量分子的微元体。
15、理想流体与实际流体的主要区别在于(A )o(A)是否考虑粘滞性;(B)是否考虑易流动性;(C)是否考虑重力特性;(D)是否考虑惯性16、对于不可压缩流体,可认为其密度在流场中(D )(A)随压强增加而增加;(B)随压强减小而增加(C)随体积增加而减小;(D )与压强变化无关17、液体与气体都是流体,它们在静止时不能承受((A)重力;(B)压力;(C)剪切力;(D )表面张力C )o18、下列流体的作用力中,不属于质量力的是(B(A)电磁力;(B)粘性内摩擦力;(C)重力;(D)惯性力19、在连续介质假设下,流体的物理量( D )0(A)只是时间的连续函数;(B)只是空间坐标的连续函数;(C)与时间无关;(D )是空间坐标及时间的连续函数20、用一块平板挡水,平板形心的淹深为h e,压力中心的淹深为h D,则h c A h D。
连续介质力学1-3
3. 对称张量与反对称张量 命题一、对称性与反对称性与坐标系无关。 命题一、对称性与反对称性与坐标系无关。 证明: 证明:
Ti′j′ = β i′m β j′nTmn T j′i′ = β j′m β i′nTmn
命题二、 命题二、任意二阶张量可以唯一分解成一个对称 张量与一个反对称张量之和。 张量与一个反对称张量之和。 证明: 证明: 存在性 唯一性
证明: 证明:I 12 = (λ1 + λ2 + λ3 )
2
2 = λ1 + λ2 + λ2 + 2 λ1 λ 2 + λ 2 λ 3 + λ 3 λ1 2 3
(
) (
)
ˆ = T2
( )
kk
+ 2I2
§3-3 二阶实对称张量 ˆ的三个主值都是实数。 1. T的三个主值都是实数。 v v v 证明: 为主值, 是主方向, ˆ 证明:λ为主值,x是主方向,即T • x = λx v v ˆ • x # = λ# x # 则T v ˆ v# v 或x • T • x ˆ对称, ˆ v ˆ Q T对称,故T • x # = x # • T v# ˆ v = x •T • x v# ˆ # v# ∴ x •T = λ x v v v ˆ v x # • T • x = λ# x # • x
Tij a j = β ii ′ β jj′Ti ′j′ β jk ′ ak ′ = β ii ′δ k ′j′Ti ′j′ a k ′ = β ii ′Ti ′k ′ ak ′
λa i = λβ ik ′ a k ′ β ii ′Ti ′k ′ a k ′ = λβ ik ′ ak ′ β im′ β ii ′Ti ′k ′ ak ′ = λβ im′ β ik ′ ak ′
连续介质力学-例题与习题
《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式:1)[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关?1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。
3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵;如有,请求出其逆阵[]1-A 。
二、张量代数例1:令T 是一个张量,其使得矢量a ,b 经其变换后变为2=+Ta a b ,=-Tb a b ,假定一个矢量2=+c a b ,求Tc 。
连续介质力学习题二答案
连续介质力学习题二答案连续介质力学是力学中的一个重要分支,研究的是连续介质的宏观性质和行为。
在学习连续介质力学的过程中,习题是不可或缺的一部分。
下面将为大家提供一些连续介质力学习题的答案,希望能对大家的学习有所帮助。
1. 一个均匀的弹性杆,长度为L,横截面积为A,杨氏模量为E。
如果在杆的一端施加一个拉力F,另一端固定,求杆的伸长量。
解答:根据胡克定律,弹性杆的伸长量与施加的拉力成正比。
所以,伸长量可以用下面的公式表示:ΔL = (F * L) / (A * E)其中,ΔL表示伸长量,F表示施加的拉力,L表示杆的长度,A表示横截面积,E表示杨氏模量。
2. 一个圆柱形的液体容器,底面半径为R,高度为H。
如果在容器的底部施加一个压力P,求液体容器内部的压强分布。
解答:液体容器内部的压强分布可以用下面的公式表示:P(z) = P + ρ * g * z其中,P(z)表示液体容器内部距离底部高度为z处的压强,P表示底部施加的压力,ρ表示液体的密度,g表示重力加速度。
3. 一个均匀的弹性球体,半径为R,杨氏模量为E。
如果在球体的表面施加一个压力P,求球体的压缩量。
解答:根据胡克定律,弹性球体的压缩量与施加的压力成正比。
所以,压缩量可以用下面的公式表示:ΔR = (P * R^3) / (3 * E)其中,ΔR表示压缩量,P表示施加的压力,R表示球体的半径,E表示杨氏模量。
4. 一个均匀的弹性体,体积为V,体积弹性模量为K。
如果在弹性体的体积上施加一个压力P,求弹性体的体积变化量。
解答:弹性体的体积变化量可以用下面的公式表示:ΔV = -(P * V) / K其中,ΔV表示体积变化量,P表示施加的压力,V表示弹性体的体积,K表示体积弹性模量。
以上是一些连续介质力学习题的答案,希望对大家的学习有所帮助。
在学习连续介质力学的过程中,多做习题是非常重要的,通过解答习题可以加深对理论知识的理解和运用。
同时,也希望大家能够在学习中保持耐心和积极性,相信通过不断的努力,一定能够掌握连续介质力学的知识。
连续介质力学习题二
连续介质力学习题二二.变形与运动2-1 如果物体在运动过程中保持任意两点间的距离不变,则称这样的运动为刚体运动,试证:物体的运动若为刚体运动,则参考构形中的物质点X变换到当前构形中的空间位置x时,必满足:)()()(t a A X t Q x +-⋅=,其中)(t Q 为正常正交仿射量。
2-2 现取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系,其单位基向量为),,(321e e e,有一物体的变形为:33222011,,X x X x X k X x ==+=,试写出以下各量:1)变形梯度张量F 和变形梯度张量之逆1-F ;2)右,左Cauchy-Green 张量B C ,;并计算C 和B的三个主不变量;3)写出C 和B的特征方程,并求出三个特征值αη和相应的特征方向αL 和αl)3,2,1(=α。
4)试给出极分解R V F ⋅=中的左伸长张量V 和正交张量R的矩阵表示。
2-3 现取物质坐标系}{A X 为直角坐标系{X ,Y ,Z},空间坐标系}{i x 为圆柱坐标系},,{z r θ,令z 轴与Z 轴重合,0=θ与X 轴重合,图示长方体发生纯弯曲,题2-3图变形满足),(X r r =),(Y θθ=)(Z z z =,且存在逆关系:),(r X X =,),(θY Y =)(z Z Z =,试写出以下各量:1)变形梯度张量F 和变形梯度张量之逆1-F ;2)右,左Cauchy-Green 张量B C ,;并计算C 和B的三个主不变量;3)写出C 和B的特征方程,并求出三个特征值αη和相应的特征方向αL 和αl)3,2,1(=α。
2-4 现取空间坐标系}{i x 为直角坐标系,其单位基向量为),,(321e e e,有一物体的小变形位移场为3212323213131))(())((e x x e x x x x e x x x x u-+++--=,试求:(1)P (0,2,-1)点的小应变张量e ,小转动张量Ω 及其反偶矢量ω; (2)求P 点在9/)48(321e e e+-=ν方向上的线应变;(3)求P 点在9/)48(321e e e +-=ν和9/)744(321e e e-+=μ二方向上的直角的变化量。
连续介质力学作业(第二章)习题和答案
连续介质力学作业(第二章)参考答案1、初始构型和当前构型的转换关系:21122X X x +=,21222X X x +=,33X x = 其中()321,,X X X 为一个物质点在初始构型上的坐标,()321,,x x x 为同一个物质点在当前构型上的坐标。
参考基是~3~2~1,,e e e 标准正交基求:(1)变形梯度F(2)右Cauchy-Green 变形张量C (3)Green 变形张量E(4)初始构型上一向量~33~22~11~e X e X e X X ++=,变形后在当前构型上是~x ,证明~~~~X C X x x ••=•和()~~~~~~2X E X X X x x ••=•−•(5)左Cauchy-Green 变形张量b (6)Almansi 变形张量A解答:(1)⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛3213211001220221X X X x x x (2)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=100232022310012202211001220221TTF F C(3)()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−=000041220224121I C E (4)~33~221~121~2222e X e X X e X X x +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=[]~~3213212321222123221221~~100023202232223232222XC X X X X X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=• []()~~321321212221~~~~210002120221222121XE X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=•−• (5)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001220221F ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=1000232022310012202211001220221TTF F b(6)()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−=−10005.2220225.2211b I A2、一个连续体内的任意一点,初始时刻坐标为()Y X ,,经过t 时刻后,变为()y x ,,其中:atY X x +=,Y y = ,其中a 是常数。
连续介质力学作业(第一章)答案
连续介质力学作业(第一章)习题1. 向量~~~~k z j y i x a ++=。
~i ,~j ,~k 表示三维空间中标准正交基。
给定一组协变基~~12i g =,~~~2j i g +=,~~~3k j g +=。
(1)求逆变基1g ,2g ,3g 。
(2)求ij g(3)向量~a 参考逆变基~1g ,~2g ,~3g 表示时,~~i i g a a =,求i a 。
(1)[]222~~~~~~~~~3~2~1= +•= +• +×=• ×=k j k k j j i i g g g g+−=+× += ×=~~~~~~~~3~2~121211i j k k j j i g g g g~~~~~~1~3~22211j k i k j g g g g +−= × += ×=~~~~~2~1~32211k j i i g g gg =+×= ×=(2) g ij =gg ii ⋅gg jj �g ij �=�3/4−11/2−12−11/2−11�(3)a i =aa ⋅gg ii a 1=2x,a 2=x +y,a 3=y +z2. 已知笛卡尔坐标系331e e e ,,,一个新的坐标系定义为−−−= ′′′32132161312161312162310e e e e e e 向量321e e e x 321x x x ++=,给定函数2321x x )f(−=x 。
(1) 求函数f 的梯度)(f grad(2) 求向量x 参考新坐标系的表示形式i ′′=e x i x(3) 求函数f 在新的坐标系下的表达形式),,(321′′′′x x x f (4) 判断)(f grad 的客观性。
3. 二维情况下,一质点应力张量σ主值6.11=σλ,3.22=σλ。
主方向2112123e e N −=,2122321e e N +=。
连续介质力学第二章
V
r u r r ∫∫ a ⋅ d S = ∫∫∫ ∇ ⋅ adV
S V
2
Stokes定理 Stokes定理
∫ Pdx + Qdy + Rdz
C
= ∫∫ [(
S
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P − )dydz + ( − )dzdx + ( − )dxdy ] ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y r a = ( P、Q、R ) r dl = (dx、dy、dz )
dS1
u r r1
dS3
uu r ur u r d S1 = d r2 × d r3 uu r u r u r d S 2 = d r3 × d r1 uu r u r ur d S3 = d r1 × d r2
r a = ( P、Q、R )
根据Gauss定理有: 根据Gauss定理有: Gauss定理有 左边
ur + (e123∂1a2 + e213∂ 2 a1 )e3 ur uu r ur = (∂ 2 a3 − ∂ 3 a2 )e1 + (∂ 3 a1 − ∂1a3 )e2 + (∂1a2 − ∂ 2 a1 )e3
∂az ∂a y r ∂ax ∂az r ∂a y ∂ax r = ( )+ i( )+ j( ) k ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
ur D ∂ () = () + V ⋅ ∇ () D t ∂t
2.4
1
积分定理
Gauss定理
∂P ∂Q ∂R ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos r )ds = ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dxdydz S V
《连续介质力学》期末复习提纲--弹性波理论部分
《连续介质⼒学》期末复习提纲--弹性波理论部分<连续介质⼒学> 期末复习提纲—弹性波理论部分1、⽆界线弹性体中的波传播(1)Helmholtz 定理 a. 定理内容b. 位移场的分解---⽆旋部分与⽆散部分(1)(2u u u =+ ,其中(1)0u ??= ,(2)0u ??=c. 转动向量与体积膨胀率的位移场表⽰(2)21122u ωψ=??=-?, (1)2u θφ=??=?(2)⽆界线弹性体中的P 波与S 波a. 体积膨胀率与转动向量满⾜的波动⽅程(★)2212211112,f c c c λµθθρ+?+??==222222211,2f c c c µωωρ+==b. Helmholtz 势满⾜的波动⽅程222222221211,b B c t c tφφφψ+=?+=??c. 位移场⽆旋部分与⽆散部分满⾜的波动⽅程2(1)(1)2(2)(2)221211,u b u u B u c c ?+?=?+??= d. 纵波与横波的相速度及其⽐值(★)21121221222)21c c c c c c c c ν??=- ===??=-??2、⽆界线弹性体中的平⾯波(1)波阵⾯、平⾯波与球⾯波(2)⼀般平⾯波及其描述(★)a. ⼀般平⾯波位移场的形式(★)(,)()u x t f x n ct d =?-b. 纵横波满⾜的条件及相速度公式(★)20()()()0d n n d c c P wave S wavec d n d n µρλµ?=±?=---++?=c. ⼀般平⾯波的能量密度与能通量密度向量(★)①平⾯纵波的情况(★)能量密度:[][][]222211112211112211()()22()p ij ij i i e uu c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''=?-+?-'=?- 能通量密度向量:[]2311()p ij i j ue n cf x n c t ?τρ'=-=?- ⼆者关系: 1p p c n ?ε=②平⾯横波的情况(★)能量密度:[][][]222221212221112211()()22()s ij ij i i e uu c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''=-+-'=- 能通量密度向量:[]2321()s ij i j u e n c f x n c t ?τρ'=-=?- ⼆者关系: 2s s c n ?ε=(2)平⾯简谐波及其描述(★) a. 描述平⾯简谐波的物理量(★) kc ω=,2T πω=,12T ωαπ==,22c cT kππωΛ===2k n n c ωπ==Λ, 222i i k k k k k c ω?===A c T k k x n -ct k ωα--Λ-?振幅 -相速度周期-波数-圆频率波长()-相位-频率-波数向量b. 平⾯简谐波的位移场形式(★)[]()()c o s ()R e R e i k x n c ti k x tu A d k x n c t A d e A d e ω?-?-=?-??c. 平⾯简谐波的能量密度与能通量密度向量及波的强度(★)①平⾯简谐纵波的情形(★)能量密度:1122p ij ij i i e uu ετρ=+ 能通量密度向量:p ij i j u e ?τ=-⼆者的关系: 1p p c n ?ε=平⾯简谐纵波的强度:1T pp dt T ??=?②平⾯简谐横波的情形(★)能量密度:1122s ij ij i i e uu ετρ=+ 能通量密度向量:s ij i j ue ?τ=-⼆者的关系: 2s s c n ?ε=平⾯简谐横波的强度:01T s s dt T=d. ⾮均匀平⾯简谐波位移场满⾜的条件(★)''()k x i k x t u Ade e ω'-??-=?2220k k kk k c k k ω?''''''?-?=='''?=?e. ⾮均匀平⾯简谐波的传播特征。
连续介质力学2-1
§1-2 内蕴导数与物质导数 1. 矢量的内蕴导数 是场方程( 显函数) 设曲线l:x i = x i (s )。矢量a ( x )是场方程(只是 x显函数) 则a 沿l方向的导数为 dx da ∂a dx i = = ak , i i e k ds ∂x i ds ds
δak dx i 的内蕴导数(内禀、 称 = ak , i 为ak 对s的内蕴导数(内禀、绝 对) δs ds
2. 连续介质的物质描述 XⅢ b(t)是B运动、 是 运动 运动、 变形的结果, 变形的结果, 故点与点之 间一一对应, 间一一对应, 存在映射
B P p
b(t)
E3 O
R
E2
XⅡ
E1
XⅠ
e3
r(t) e2
x k = x k (X , t )
e1
说明1. 说明 此映射的意义 说明2. 说明 此映射不涉及两坐标间的关系
2. 张量的内蕴导数
ˆ dx k dT δTij e i e j = Tij , k ei e j = ds δs ds
3. 矢量的物质导数 设曲线l:x i = x i (s )。矢量a ( x , s )是x和s的显函数 da ∂a = ds ∂s ∂a + ∂x i dx i ∂ak = ds ∂s ∂a k + ∂x i dx i e k ds
∫∫∫ [Q ( x , t + ∆t ) − Q ( x , t )]dΩ Ω
∂Q dΩ = ∫∫∫ ∂t Ω
1 lim ∆t ∆t → 0
∫∫∫ Q ( x , t + ∆t )dΩ
∆Ω
dS S
d 是dS作微小位移时 作微小位移时 扫过的体积,其上的Q值与 扫过的体积,其上的 值与 dS上的值充分接近。 上的值充分接近。 上的值充分接近
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(c) The expression ti = Sij nj is a valid indicial notation expression, for which i is a free index (giving 31 = 3 equations) and j is a dummy index pair (giving 1 + 31 = 4 terms per equation). The corresponding expanded equations are t1 = S11 n1 + S12 n2 + S13 n3 , t2 = S21 n1 + S22 n2 + S23 n3 , t3 = S31 n1 + S32 n2 + S33 n3 . (d) The expression ti = Sij ni is not a valid indicial notation expression. The index i looks like a free index on the left-hand side and looks like a dummy index pair on the right-hand side and the index j appears in only the term on the right-hand side. (e) The expression Sij = 2µEij + λEkk δij is a valid indicial notation expression, for which i and j are free indices (giving 32 = 9 equations) and k is a dummy index pair (giving 1+1+31 = 5 terms per equation). The corresponding expanded equations are S11 = 2µE11 + λ(E11 + E22 + E33 )δ11 , S12 = 2µE12 + λ(E11 + E22 + E33 )δ12 , S13 = 2µE13 + λ(E11 + E22 + E33 )δ13 , . . . S33 = 2µE33 + λ(E11 + E22 + E33 )δ33 . (f) The expression xi xi = ρ2 is a valid indicial notation expression, with no free indices (giving 30 = 1 equation) and for which i is a dummy index pair (giving 31 + 1 = 4 terms). The corresponding expanded equation is x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 = ρ2 , or, equivalently,
ME2004 Elasticity Homework #2 Solution Set Problem 2.7 (a) For the expression Ams = bm (cr − dr ) [which can be rewritten as Ams = bm cr − bm dr ], the index m is a free index since it appears once in each term. However, the indices s and r are inconsistent—they are neither free indices nor do they form dummy index pairs. Thus, there is no unambiguous way to expand this expression. This expression is not a valid indicial notation expression. (b) The expression Ams = bm (cs − ds ) is a valid indicial notation expression, for which m and s are free indices (giving 32 = 9 equations) and there are no dummy index pairs (so there are 3 terms per equation). The corresponding expanded equations are A11 = b1 (c1 − d1 ) , A21 = b2 (c1 − d1 ) , A31 = b3 (c1 − d1 ) , A12 = b1 (c2 − d2 ) , A22 = b2 (c2 − d2 ) , A32 = b3 (c2 − d2 ) , A13 = b1 (c3 − d3 ) , A23 = b2 (c3 − d3 ) , A33 = b3 (c3 − d3 ) .
ijk ai bj ek ) ·
(
pqr cp dq er )
ijk pqr ai bj cp dq (ek ijk pqr ai bj cp dq δkr ijk pqk ai bj cp dq
· erห้องสมุดไป่ตู้)
= (δip δjq − δiq δjp )ai bj cp dq = ai bj ci dj − ai bj cj di = (ai ci )(bj dj ) − (ai di )(bj cj ) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c) .
ijk pqr
= ei , ej , ek ep , eq , er ei · ep ei · eq = det ej · ep ej · eq ek · ep ek · eq δip δiq δir = det δjp δjq δjr δkp δkq δkr
ei · er ej · er ek · er .
3
2
Problem 2.11 (a) Using contraction, the substitution property of the Kronecker delta, and the identity δkk = 3, it follows from (2.97) that δip δiq δik ijk pqk = det δjp δjq δjk δkp δkq δkk = 3(δip δjq − δiq δjp ) + δkq (δik δjp − δip δjk ) + δkp (δiq δjk − δik δjq ) = 3(δip δjq − δiq δjp ) + δiq δjp − δip δjq + δiq δjp − δip δjq = δip δjq − δiq δjp . (b) If follows from contraction of part (a) that
2 2 2 x2 1 + x2 + x3 = ρ .
1
(g) The expression Brs = hr (ds − hs Krr ) [which can be rewritten as Brs = hr ds − hr hs Krr ] is not a valid indicial notation expression, because the index r is not consistent. (In the second term on the right-hand side, is r a free index of a dummy index pair? It cannot be both.) (h) The expression Bij cj = 0 is a valid indicial notation expression, for which i is a free index (giving 31 = 3 equations) and j is a dummy index pair (giving 31 + 1 = 4 terms per equation). Note that this is an example of the one exception to the general rule that a free index must appear once and only once in every term of a valid indicial notation expression—the numerical value “0” on the right-hand side is assumed to carry over to each equation. The corresponding expanded equations are B11 c1 + B12 c2 + B13 c3 = 0 , B21 c1 + B22 c2 + B23 c3 = 0 , B31 c1 + B32 c2 + B33 c3 = 0 . Problem 2.9 Noting that det[A] det[B ] = det([A][B ]T ), it follows from (2.95) that a1 a2 a3 d1 d2 d3 a, b, c d, e, f = det b1 b2 b3 det e1 e2 e3 c1 c2 c3 f1 f2 f3 a1 a2 a3 d1 e1 f1 = det b1 b2 b3 d2 e2 f2 c1 c2 c3 d3 e3 f3 ai di ai ei ai fi = det bi di bi ei bi fi ci di ci ei ci fi a· d a· e a· f = det b · d b · e b · f . c· d c· e c· f Problem 2.10 Using (2.92) and (2.96), it follows that