自适应信号处理课后题答案

自适应信号处理课后题答案

1．求下列R 的特征值设

(1)⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=4202630341R (2)⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=2)3/exp(6)3/exp(632ππj j R

解：(1)令λ为R 的特征值，则 (2)令λ为R 的特征值： 0)d e t (=-I R λ 0)d e t (=-I R λ

即：

042

2630

34=---λ

λ

λ

即：

02)

3/exp(6)3/exp(63=---λ

ππλ

j j

于是R 1的三个特征值分别为： 于是R 2 的两个特征值为： 1451454321－＝，＋＝，λλλ= 5,021==λλ

2．证明任何两个实数的单输入自适应线性组合器的特征向量矩阵均为： ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=

111121Q 证明：由已知条件知相关矩阵为R ：

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡=a b b a R 则R 的特征值为：b a b a -=+=21,λλ

当b a +=1λ时，⎥⎦⎤

⎢⎣⎡--=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[11q x =

当b a -=2λ时，⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[22-=q x 则特征向量为：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=111121Q

3．如图3.1所示，若自适应系统的输入和期待响应分别为：

(1))6/2cos(],6/)1(2sin[),6/2sin(10k d k x k x k k k πππ=-== (2)6/)]5.1(2[]6/)2(2[]6)1(2[1)6/2(04,,2--+-=+==k j k k j k j k k j k e d e e x e x ππππ

试计算最佳权向量和最小均方误差输出，并说明在两种情况下的自适应系统有什么不同？

解：(1)由题中条件知：

5.0][2

0=k x E 5.0][2

1=k x E

[]

25.010=*

k k x x E

[]00=k k x d E 4/3][1-=k k x d E 于是输入相关矩阵为：

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.025.025.05.0R ⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-=4/30P 则最优权为：⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-==*

-1547.15774.01

P R W opt

最小均方误差为：3889.0][2

min -=-=opt T k W P d E ζ (2)由题中已知条件知：

4][2

0=k x E 6/26/22

12][ππj j k e e x E -++=

6/308][πj k k

e x d E =*

6/6/144][ππj j k k e e x d E -*+= 6/46/21022][ππj j k k e e x x E --*+= 6/46

/21122][ππj j k k e e

x x E +=* 于是输入相关矩阵为：

⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=---6/26/26/46

/26/46/2222224ππππππj j j j j j e e e e e e R ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+=-6/6

/6

/3448πππj j j e e e P

R 的逆不存在， 则最优权为：

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡-=j c c W o p t 3234

最小均方误差为：0][2

min =-=opt T k W P d E ζ

区别：(1)中输入为实数信号，得到的权值也实数权，(2)中输入为复数信号，

权值为复数权

4．设信号的相关矩阵和噪声的相关矩阵分别为：

⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡-=2)3/e xp (6)3/e xp (63ππj j R s

及I R n 05.0=，试计算MSN 性能测度的最佳权向量解和输出最大信噪比。 解：由已知条件知：系统输出的信噪比SNR 为瑞利商形式，可表示为

W

W W

R W S N R H

s H 20= 最大信噪比输出时系统的权向量应为信号相关矩阵R s 的最大特征值对应的特征向量，而

0]d e t [=-I R s λ

即：

02)

3/e x p (6)3/e x p (63=---λ

ππλj j

5,021==λλ 当01=λ时，得到的特征向量为：]2

61[3

/00πj e c q --

= 当52=λ时，得到的特征向量为：]3

61

[3

/11πj e c q = 自适应最大信噪比时输出时的权向量为： ]3

61[3/1πμμj M S N e q W '== 最大输出信噪比为：

100361361361266336120

3/3/3/3/3/3/max =⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥

⎦⎤

⎢

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-ππππππj j j j j j e e e e

e e SNR

5．设某一实单变量性能表面由下式给出：

1144.02++=ωωξ

试问收敛参数在什么样的范围内取值可得到一条过阻尼权调整曲线。 解：由性能函数)(ωξ对权值ω的二阶导数可以得到：

λωζ

28.02

2==d d 其中λ为系统输入的功率

当121<-=μλγ时迭代过程收敛，且当18.010<-<μ即25.10<<μ时为过阻尼状态。 6．已知：

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112R ，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=78P 试用式(4.16)和式(4.37)分别写出最陡下降法与牛顿权调整公式的显式，并由此解释互耦的概念

解：对于最陡下降法，由公式)(1k k k W W -∇+=+μ得

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++782412241,1,01,11,0μμμμμk k k k w w w w 对于牛顿法，由k k k R W W ∇-=-+11μ得

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232)21(,1,01,11,0μμk k k k w w w w 对于最陡下降法，权系数的第一分量迭代过程不仅与第一分量有关系还与第二分量有关系，是耦合的。而牛顿法只与本分量有关，是去耦合的。 7．一个复权自适应系统其性能表面由下式给出：