自适应信号处理课后题答案
信号处理-习题(答案)
数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1（t ）=cos2πt ，x 2（t )=cos5πt 。
试问输出信号y 1(t ），y 2（t ）有无失真?为什么？分析:要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍,即满足Ωs ≥2Ωh 。
解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ，所以y 1(t ）无失真；因为x 2（t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2(t ）失真。
2.2 设模拟信号x （t ）=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ,求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率f s =5000Hz,其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。
错误!采样定理采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即f s ≥2f m错误!采样公式)()()(s nT t nT x t x n x s===解:（1）在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz,f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ,得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nTt s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明:由上式可见,采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号,则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见，恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x （t ），存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求,而产生混叠的结果。
数字信号处理实践与挑战试卷
数字信号处理实践与挑战试卷（答案见尾页）一、选择题1. 以下哪个数字信号处理（DSP）算法主要用于音频处理？A. 快速傅里叶变换（FFT）B. 卡尔曼滤波器C. 线性预测编码（LPC）D. 自适应滤波2. 在数字信号处理中，什么是采样定理？A. 采样频率必须大于信号最高频率的两倍B. 采样频率必须大于信号最高频率C. 采样频率必须等于信号最高频率的两倍D. 采样频率与信号最高频率无关3. 在数字滤波器设计中，哪种类型的滤波器具有最优的线性相位特性？A. 截断型滤波器B. 频率响应型滤波器C. 双二阶滤波器D. 模数转换器（ADC）4. 在数字信号处理中，什么是量化误差？A. 采样过程中产生的误差B. 带宽限制导致的误差C. A/D转换过程中产生的误差D. 数字滤波器设计中的权衡5. 在数字信号处理中，如何减少非线性失真？A. 使用高质量的ADC和DSPB. 使用线性功率放大器C. 使用数字信号处理技术，如预加重和去加重D. 使用高质量的电源和滤波器6. 在数字信号处理中，什么是自适应滤波？A. 一种可以自动调整参数以优化某种性能指标的滤波器B. 一种基于数字信号处理的滤波器C. 一种模拟信号处理的滤波器D. 一种基于软件的滤波器7. 在数字信号处理中，什么是同步检测？A. 一种用于检测信号周期的算法B. 一种用于检测信号幅度的算法C. 一种用于检测信号相位差的算法D. 一种用于检测信号频率的算法8. 在数字信号处理中，什么是峰均比？A. 信号功率与平均功率之比B. 信号峰值与平均功率之比C. 信号峰值与信号功率之比D. 信号幅度与信号功率之比9. 在数字信号处理中，什么是信道编码？A. 一种用于增加信号传输可靠性的技术B. 一种用于减少信号传输中的干扰的技术C. 一种用于提高信号传输效率的技术D. 一种用于减少信号传输中的误差的技术10. 在数字信号处理中，什么是多普勒分析？A. 一种用于分析信号频率变化的技术B. 一种用于分析信号频率分布的技术C. 一种用于分析信号频率随时间变化的技术D. 一种用于分析信号频率稳定性的技术11. 以下哪个选项是数字信号处理的基本组成部分？A. 模拟信号转换B. 调制和解调C. 带通滤波器D. 采样和保持12. 在数字信号处理中，什么是窗函数？A. 用于减少泄露的函数B. 用于平滑数据的函数C. 用于定义窗函数形状的参数D. 用于调整分辨率的函数13. 以下哪个不是快速傅里叶变换（FFT）的特点？A. 高效的计算复杂度B. 可以处理实时数据C. 需要大量的内存空间D. 可以准确计算信号的频谱14. 在数字信号处理中，为什么需要对信号进行采样？A. 为了获取信号的频率信息B. 为了减少数据传输量C. 为了模拟信号的连续性D. 为了确保信号的质量15. 以下哪个选项是IIR滤波器的特点？A. 系数矩阵为有限长度B. 系数矩阵为无限长度C. 系数矩阵为零长度D. 系数矩阵为任意长度16. 在数字信号处理中，什么是信道编码？A. 用于增加信号传输距离的技术B. 用于减少信号干扰的技术C. 用于提高信号传输质量的技术D. 用于降低信号失真的技术17. 以下哪个选项是自适应信号处理的应用场景？A. 雷达成像B. 通信系统C. 生物信号处理D. 手机通话18. 在数字信号处理中，什么是零点？A. 信号中没有频率分量的点B. 信号中具有特定频率分量的点C. 信号中具有零幅度分量的点D. 信号中具有特定相位分量的点19. 以下哪个选项是数字信号处理中的线性运算？A. 求和B. 积分C. 微分D. 乘法20. 在数字信号处理中，什么是峰值检测？A. 用于检测信号中的最大值B. 用于检测信号中的最小值C. 用于检测信号中的平均值D. 用于检测信号中的中位数21. 以下哪个选项是数字信号处理（DSP）的基本特征？A. 快速算法B. 并行处理能力C. 有限的延迟D. 所有选项都是22. 在数字信号处理中，什么是窗函数？A. 用于平滑信号的数学函数B. 用于限制信号频谱的数学函数C. 用于调制信号的数学函数D. 用于定义信号窗的数学函数23. 数字滤波器的主要组成部分是什么？A. 模数转换器（ADC）B. 数模转换器（DAC）C. 计算机D. 算法24. 在数字信号处理中，什么是采样定理？A. 一个数字信号必须满足一定的采样频率才能保持其信息B. 一个数字信号必须满足一定的采样频率才能避免混叠C. 一个数字信号必须满足一定的采样频率才能进行有效的滤波D. 以上都不是25. 在数字信号处理中，什么是IIR滤波器？A. 一种具有无限冲激响应的数字滤波器B. 一种具有有限冲激响应的数字滤波器C. 一种具有无限阶数的数字滤波器D. 以上都不是26. 在数字信号处理中，什么是FIR滤波器？A. 一种具有无限冲激响应的数字滤波器B. 一种具有有限冲激响应的数字滤波器C. 一种具有无限阶数的数字滤波器D. 以上都不是27. 在数字信号处理中，什么是窗函数的性质？A. 窗函数必须是低通的B. 窗函数可以是任何类型的函数C. 窗函数必须具有无限的能量D. 窗函数必须是实值的28. 在数字信号处理中，什么是量化噪声？A. 由数字信号处理算法引入的噪声B. 由模拟信号转换到数字信号时引入的噪声C. 由采样过程引入的噪声D. 由数字滤波器引入的噪声29. 在数字信号处理中，什么是CDMA？A. 一种数字信号处理技术B. 一种通信协议C. 一种数字信号处理算法D. 以上都不是30. 在数字信号处理中，什么是自适应滤波？A. 一种基于变化的参数进行优化的数字滤波器B. 一种基于固定的参数进行优化的数字滤波器C. 一种基于随机过程的数字滤波器D. 以上都不是31. 什么是数字信号处理？它的主要应用领域有哪些？A. 数字信号处理是一种将模拟信号转换为数字信号的方法。
第十一章(1)自适应信号处理
Pa jPa jP
三、 自适应准则
考察自适应系统性能的优劣的准则、判断准则。
主要有：均方误差 (Mean Square Error) 信噪比 (Signal-to-Noise Ratio) 最大似然法 (Maximum Likelihood) 最小噪声方差 (Minimum Noise Variance) 基本“自适应准则 ” 1. 均方误差(MSE)性能测度 (1) 定义
（四）、 自适应信号处理技术的应用 １.自适应滤波 2. 系统辨识 3. 自适应均衡------通信中的应用 4. 自适应回波抵消 5. 自适应噪声对消 6.自适应谱估计 7. 自适应波束成形 8. 自适应神经智能信息处理 9. 盲自适应信号处理
二、 自适应信号处理基础理论知识
信号矩阵理论 输入信号： 确定信号，随机信号 窄带信号，宽带信号 一般性描述： 自适应系统的输入x(t)为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 离散时间系统中，k为采样时间，图中，系统由一个 自适应线形组合器和一个相减器组成，在k时刻， k dk yk 而 yk WkT X k
X k x0 k
Wk W0 k
输入 x0k
x1k
W1k
权
xlk
T
Wlk
T
w0k
期望信号 dk ∑ + - ∑ 输出 yk
T b
)
(5) 存在L+1维的权向量W，对于相关矩阵R有自适应系统 的输出信号功率为
W T X X TW W H RW E y E
2
(6) 存在L+1维权向量W，对相关矩阵R， 存在关于W的一个瑞利(Rayleigh)商，对 于所有W的瑞利商均为实数
《自适应信号处理》课件
自适应信号处理技术可用于雷达跟踪系统，通过实时调整滤波器参数，提高目标跟踪的准确性和稳定性。
雷达在复杂环境中工作时，常常受到杂波干扰，自适应信号处理能够自适应地调整滤波器，有效抑制杂波干扰，提高目标检测能力。
杂波抑制
雷达跟踪
超声成像
在医学超声成像中，自适应信号处理能够优化图像质量，提高分辨率和对比度，有助于医生准确诊断。
优化算法性能
通过简化算法、采用低精度计算等方法，降低计算成本，提高算法的实用性。
降算法在某些情况下可能会出现不稳定的现象，如收敛速度过快或发散等。
改进稳定性
可以采用约束条件、正则化方法等手段，提高算法的稳定性，保证算法能够可靠地处理各种信号。
动态调整参数
根据信号的特性和处理需求，动态调整算法的参数，以获得更好的处理效果。
02
快速收敛
RLS算法具有快速收敛的特点，适用于实时处理和快速变化的环境。
自适应偏置消除
APA算法通过自适应偏置消除技术，提高了算法的稳定性和收敛速度。
性能优化
APA算法在某些情况下可以获得更好的性能表现，尤其是在处理非线性信号时。
计算复杂度
APA算法的计算复杂度相对较高，需要更多的计算资源和存储空间。
01
02
03
自适应信号处理算法
最小均方误差
LMS算法是一种最小均方误差算法，通过不断调整滤波器系数，使得输出信号与期望信号之间的误差的均方值最小化。
03
计算复杂度
RLS算法的计算复杂度较高，需要更多的计算资源和存储空间。
01
递归最小二乘法
RLS算法采用递归最小二乘法，通过迭代更新滤波器系数，使得输出信号与期望信号之间的误差的平方和最小化。
062.第六章自适应信号处理2
det(R-λI)=0…(6-58)
式(6-58)称为特征方程,它是λ的n次代数方程.n个解为λ0, λ1,…λn-1, 它们是R的特征值。由式(6-57),则
RQL=λLQL …(6-59)
式中,QL称为与λL有关的、为R的特征向量。 推广式(6-59),可以得
0 0 1 ...(6 60) R[Q0 , Q1 ,...Qn1 ] [Q0 , Q1 ,...Qn1 ] 0 n 1
是矩阵R的特征向量。因此，输入相关矩阵的特征向量确定了误 差表面的主轴。
将表征特征向量与特征值的几何意义的这些几何关系归纳如下
min (W Wopt )T R(W Wopt )...(6 67)
min V T RV ...(6 68)
min V T (QQ T )V min (Q T V T ) (Q T V ) min (V )T V ...(6 69)
§6.3 搜索性能表面的最速下降法 所谓搜索是指自适应过程.在平稳信号自适应理论 中,自适应信号处理中的性能表面具有不变的统计特性, 性能表面的形状将保持不变。从性能表面某点出发,向
下运动至最小点附近,最后停止在这点。 在非平稳信号自适应理论中,若信号是非平稳的,并 且有慢变化的统计特性,自适应过程不仅向下运动至最 小点,而且当性能表面移动时,还要跟踪它的最小点。
因而式（6-69）中的V‘代表主轴坐标系，相应于式（6-68）与式
（6-69）的变换，为： 平移 旋转
V W Wopt (6 71) T 1 V Q V Q V (6 72 )
R的特征值同样具有重要的几何意义。由式（6-70），ξ沿着任 何主轴v‘L的梯度，可以写为
自适应信号处理
1.自适应信号处理基本概念，解决的问题，适用条件下（平稳、短时平稳），结构分类。
自适应信号处理:是研究一类结构可变或可以调整的系统，它通过自身与外界环境的接触来改善自身对信号处理的性能。
通常这类系统是时变的非线性系统，可以自动适应信号传送变化的环境和要求。
自适应系统和一般系统类似，可以分为开环系统（闭环：计算量小，收敛慢；开环：计算量大，收敛快）和闭环系统两种类型。
开环系统仅由输入确定，而闭环不仅取决于输入，还依赖于系统输出的结果。
自适应信号处理所研究的信号既可以是随机平稳信号，也可以是局部平稳随机信号，也可以是窄带或者是宽带信号。
2、信号相关矩阵及其性质，梯度运算:输入信号的相关矩阵：R E[X*X T]=，相关矩阵R是厄米特矩阵，即满足R* = R T。
作为厄米特矩阵，它具有以下性质：①对应于R的不同特征值的特征向量都是正交的。
②R是正定（或半正定）矩阵，它所有的特征值都为实数，且大于或等于零。
③所有特征值之和等于矩阵R的迹，即为输入信号的功率。
【定义一个幺向量：1=[1 1 …1]T，于是，R的特征值之和为1T∧1=1T Q H RQ1== 上式等号右边的求和即为矩阵R的迹（矩阵主对角线所有元素之和），亦即系统输入信号的功率。
】④信号相关矩阵R可以被分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵，即：R=R a+jR b ，其中，实矩阵R a、R b分别满足条件：R a T=R a 和R b T=-R b⑤若W为L+1维的权向量，则对相关矩阵R，存在关于W的一个瑞利商，且对于所有W的瑞利商均为实数。
瑞利商Ray(W)=⑥R可分解为R=Q Q T where Q[q0,q1,…q l],信号子空间：R s非零特征值对应的特征向量张成的子空间。
Span{q0,q1,…q s}噪声子空间：信号子空间的正交补空间零特征值→特征向量。
Span{ q s+1,q s+2,…q l+1}梯度运算：=[]T式中分别是向量W的第l个元素的实部和虚部，即；ε即为。
(周围)现代信号处理基础 03-自适应信号处理
最陡（梯度）下降算法（续）
若满足： 则有： 则有：
|1 2i | 1,
n
i 0,1,, M 1
lim w (n) wopt
n
lim[ I 2 Λ]n 0
lim v ( n) 0
n
实际常用（保守的）收敛条件： 或
其中tr[ R]表示R的迹，又因R正定，有
E{| e(n) |2 } E{[d (n) w H (n) x(n)][d (n) w H (n) x(n)]*}
E{| d (n) | } w (n) E{ x(n)d (n)} w (n) E{ x(n)d (n)}
2 H * H *
w H (n) E{ x (n) x H (n)}w (n)
v 两个变换 v=
几何意义
对二维实加权情况：
均方误差性能函数：
为求得等高线，令
0 Q RQ = Λ 0 v=Q H v
H
0 1
vH Λv C （常数） 1
2 1v1 2 C1 0v0
2 1v1 2 C1 0v0
定义输入向量 复加权矢量：
输出信号：
输出误差信号：
定义输入向量 最优加权矢量： 其中空间自相关矩阵：
wopt
R E{x(n) x H (n)}
互相关矩阵
P E{x(n)d * (n)}
最陡（梯度）下降算法
梯度的数学表示： 相对于M 1向量w 的梯度算子记作 w ，定义为
LMS算法
搜索方向为瞬时梯度负方 向，不保证每一步更新都使 目标函数值减小，但总趋势 使目标函数值减小。
LMS滤波器（续）
信号处理基础习题答案 杨浩 科学出版社
) t � 1(x � ) t(x � ) t(y ①
性线非是统系以所�性特性加可足满不统系即� )n( 2y � )n( 1y � )n( y �时 0 � b 当
b � )n( 2y � )n( 1y � b � ]b � )n( 2xa[ � ]b � )n( 1xa[ �
) t( 2xb2 t3 � ) t( 1xa 2 t3 � ]) t( 2xb � ) t( 1xa[ 2 t3 �
) t( 2yb � ) t( 1ya � ]) t( 2x 2 t3[b � ]) t( 1x 2 t3[a �
。性特性线足满�下态状零统系以所
]) t( 2xb � ) t( 1xa[ T � ]) t(x [ T � ) t(y
1-1
。式达表的号信各示所 2-1 图题出写 3-1
t
1-1 图题 1
0 1
t
� 0 1� �
) t � �(x
1
t
0 1
1-
) t(x
) t�(x
。 �数常为 ��图草的 ) t � �(x 和 ) t� (x 出画试�示所 1-1 图题如 ) t(x 知已 2-1
�解
t
0 1
2)2/t(x
t
0 5.01 )t2(x
。的期周非是以所�列序数指的长增调单是 )n(x ② 。的期周非是列序以所�数理无为
5
�
nj
�
� � 01 � � ① �2
�解
e � n 5 j e � )n ( x ④
n �j
e � n �5 j e � )n(x ③
n �2 n 0 1j
e � )n ( x ②
现代信号处理03——自适应信号处理
REx(n)xH(n)
E{x(n)x*(n)}, = E{x(n1)x*(n)},
E{x(n)x*(n1)} , , E{x(n)x*(nM1)} E{x(n1)x*(n1)}, , E{x(n1)x*(nM1)}
E{x(nM1)x*(n)}, E{x(nM1)x*(n1)}, ,E{x(nM1)x*(nM1)}
两个变换
v v
=
w Q
Hv
w
o
p
t
M1
m invHΛvm in
v'2 ii
i0
几何意义 对二维实加权情况：
w
(n)
w0 (n)
w1
(
n
)
wopt
(n)
w0opt
w1opt
(n) (n)
v
=
w - wopt
v0 v1
R
R(0)
R(1)
R(1) R(0)
均方误差性能函数：
m i n v H R v m i n R ( 0 ) v 0 2 2 R ( 1 ) v 0 v 1 R ( 0 ) v 1 2
互相关矩阵
P E { x (n )d * (n )} E { x (n )d * (n )} ,E { x (n 1 )d * (n )} , ,E { x (n M 1 )d * (n )}
Rxx(0)
RE x(n)xH(n)
Rx*x(1)
Rxx(1) Rxx(0)
Rx*x(M1) Rx*x(M2)
Rxx(M1) Rxx(M2)
Rxx(0)
P E x ( n ) d * ( n ) R x d ( 0 ) ,R x d ( 1 ) ,,R x d ( 1 M ) T
哈工大-自适应信号处理_LMS自适应滤波器实验报告材料
实用Harbin Institute of Technology自适应平衡器计算机实验课程名称：自适应信号处理院系：电子与信息工程学院姓名：学号：授课教师：邹斌哈尔滨工业大学一、实验目的：1. 深入掌握自适应平衡器的理论基础和以及它的可能用途。
2. 理解最小均方自适应算法的适用条件，以及最小均方自适应算法的理论推导。
3. 改变特征值扩散度）（R χ与步长参数μ，观察实验结果，深入理解理解这些参数对实验结果的重要性。
4. 探究在线性色散信道中使用最小均方自适应算法引起的失真问题。
二、实验内容：在此次实验中我们研究LMS 算法自适应均衡引起未知失真的线性色散信道问题。
假设数据是实数，图2.1表示用来进行该项研究的系统框图。
自适应均衡器用来纠正存在白噪声的信道的畸变。
通过随机数发生器1产生用来探测信道的测试信号n x ；通过随机数发生器2来产生干扰信道输出的白噪声源()v n 。
这两个发生器是相互独立的。
经过适当延迟，随机数发生器1页提供用作训练序列的自适应均衡器的期望相应。
加到信道输入的随机序列{}n x 由伯努利序列组成，其中1n x =±，随机变量n x 具有零均值和单位方差。
信道的单位脉冲响应应用升余弦表示为20.5[1cos((2))]1,2,30n n n h Wπ⎧+-=⎪=⎨⎪⎩，其他 (2-1)等价地，参数W 控制均衡器抽头输入的相关矩阵的特征值分布()χR ，并且特征值分布随着W 的增大而扩大。
随机数发生器2产生的序列是零均值，方差20.001v σ=。
随机噪声发生器(1)信道随机噪声发生器(2)延迟∑自适应横向滤波器∑nx nv +-ne图2.1 自适应均衡实验框图这里均衡器具有11M =个抽头。
由于信道的脉冲响应n h 关于2n =时对称，均衡器的最优抽头权值on w 在5n =时对称。
因此信道的输入n x 被延时了=∆2+5=7个样值，以便提供均衡器的期望响应。
通过选择匹配横向均衡器中点的合适延时Δ，LMS 算法能够提供信道响应的最小相位分量和非最小相位分量之逆。
自适应练习题及答案
2008练习题作业一：第三章、第四章 第三章（一）书66页3.4题。
对于加权矢量为T w w ],[21=w 的二阶自适应滤波器，给定下列数据⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112xx R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=87d x r 42}{2=d E 1) 写出}{2e E 与T w w ],[21=w 的关系；（3.1.10） 2) 求opt w ，写出}{2e E 与opt w w v -=的关系；（3.2.1）3)求将xx R 对角线化的正交矩阵Q ，v Q v T ='以及}{2e E 与'v 的关系式。
-------------------------------------------------------------- 书66页3.4题答案：解：（1）().T e d w X n =-Q 其中()[(),(1)]TX n X n X n =-22(){[()]}T E e E d w X n =-Q2()[()()]2[()]TTTE d w E X n X n w w E X n d =+-2()2T T XX Xd E d w R w w r =+- (1)将221()42,12XXE d R ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦及[78]TXdr =代入（1）式，可得：222121212[]222141642E e w w w w w w =++--+（2）opt w 应满足2[]0wE e ∇= 即220XX opt Xd R w r -=∴11217128opt XXXdw R r --⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21711283-⎡⎤⎡⎤=⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]23T=∴ {}()()22111min min[]()2TTXX Xd XX XX Xd XX Xd Xd E e E d R r R R r R r r ξ---==+-21121()2()T T Xd XX Xd Xd XX XdTXd XXXdE d r R r r R r E d r R r ---=+-=-21742[78]42384128⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()2min []Topt XX opt E e w w R w w ξξ==+--Q21()T TXd XX Xd XX E d r R r v R v -=-+ (2)将221()42,12XXE dR ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦及[78]T Xdr =代入（2）,可得：[]112221423812v v v v ξ⎡⎤⎡⎤=-+⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ＝2212122224v v v v +++（3）易求得2112XXR ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值及归一化特征向量为：12121, 3.,TTq q λλ==== ∴1211111Q q q ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦-⎣⎦1'211111TTv v v v v v Q v v -⎡⎤⎡⎤-+∴==⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴令'''12Tv vv ⎡⎤=⎣⎦，则''12,v v v v v v -+==()()()()12''min 2'121''112'22'''112'2'2'2120[]00()010********TT Xd XX Xd E e v v v E d r R r v v v v v v v v v λξξλλλ-⎛⎫==+⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=++Q（二）（自适应滤波仿真作业1）书67页3.8题（有修改）。
自适应信号处理
《自适应信号处理》上机作业西安光机所 单洁1、 随机数发生器A 产生一个BERNALL 序列，均值为0方差为1。
2、 随机数发生器B 产生加权白噪声且与A 不相关，均值为0方差为0.01。
3、信道：用脉冲响应表示；用一个升弦函数表示：12[1cos((2))],1,2,3()20n n h n πω⎧+-=⎪=⎨⎪⎩其它（*）w 是控制信道引起的失真幅度 w 越大，失真越大。
4、延时 d(n)=x(n-6)5、自适应均衡器：使用横向滤波器，阶数为11。
实验内容：1、 LMS 算法进行仿真（1）u=0.025时，w=2.9, 3.1, 3.3, 3.5, 迭代1500次， 求500次计算结果平均。
观察R 的特征值分布 X （R ）（2）给出迭代结束时系统的冲击响应。
（3）w=2.9时，u=0.025，0.0075，迭代1500次，求500次计算结果平均，给出学习曲线。
2、用RLS 算法进行仿真，重复前一过程。
3、LMS 和 RLS 算法比较。
4、讨论自适应均衡器阶数对自适应过程的影响。
实验结果：LMS 算法 当u=0.025步长一定时，比较w=2.9, 3.1, 3.3, 3.5的不同情况。
由（*）式可知， w 控制信道引起的失真幅度，当 w 越大时，失真就越大。
由于失真的影响，使得期望信号与通过信道得到的信号之间有一定的差别，因此，即使通过自适应均衡器并达到稳定状态，依然会存在均方误差，并且失真越大，平均均方误差也越大。
实际上， w 控制均衡器抽头输入相关矩阵的特征值分布max min()/R χλλ=，并且特征值分布随着 w 的增大而扩大。
特征值分布反映了最大特征值与最小特征值的比例，即，特征值分布的范围，该值越大，表明特征值的扩散范围越大。
特征值扩散范围的变化的扩大，降低了自适应均衡器的收敛速率，同时提高了均方误差的稳态解。
迭代结束时在w=2.9, 3.1, 3.3, 3.5的不同情况下，系统的冲击响应：由图（2|）到 图（5）可以看出，在本试验中，脉冲响应关于中心抽头6对称，主要时因为对应延迟为6的影响。
自适应信号处理课后题答案
自适应信号处理课后题答案1．求下列R 的特征值设(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4202630341R (2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2)3/exp(6)3/exp(632ππj j R解：(1)令λ为R 的特征值，则 (2)令λ为R 的特征值： 0)det(=-I R λ 0)det(=-I R λ即：042263034=---λλλ即：02)3/exp(6)3/exp(63=---λππλj j于是R 1的三个特征值分别为： 于是R 2 的两个特征值为： 1451454321－＝，＋＝，λλλ= 5,021==λλ2．证明任何两个实数的单输入自适应线性组合器的特征向量矩阵均为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111121Q 证明：由已知条件知相关矩阵为R ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a b b a R 则R 的特征值为：b a b a -=+=21,λλ当b a +=1λ时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[11q x =当b a -=2λ时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[22-=q x 则特征向量为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111121Q3．如图3.1所示，若自适应系统的输入和期待响应分别为： (1))6/2cos(],6/)1(2sin[),6/2sin(10k d k x k x k k k πππ=-==(2)6/)]5.1(2[]6/)2(2[]6)1(2[1)6/2(04,,2--+-=+==k j k k j k j k k j k e d e e x e x ππππ试计算最佳权向量和最小均方误差输出，并说明在两种情况下的自适应系统有什么不同？ 解：(1)由题中条件知：5.0][20=k x E 5.0][21=k x E[]25.010=*k k x x E[]00=k k x d E 4/3][1-=k k x d E 于是输入相关矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.025.025.05.0R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4/30P 则最优权为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==*-1547.15774.01P R W opt 最小均方误差为：3889.0][2min -=-=opt T k W P d E ζ (2)由题中已知条件知：4][20=k x E 6/26/2212][ππj j k e e x E -++=6/308][πj k ke x d E =*6/6/144][ππj j k k e e x d E -*+= 6/46/21022][ππj j k k e e x x E --*+= 6/46/21122][ππj j k k e ex x E +=* 于是输入相关矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=---6/26/26/46/26/46/2222224ππππππj j j j j j e e e e e e R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-6/6/6/3448πππj j j e e e PR 的逆不存在， 则最优权为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=j c c W opt3234 最小均方误差为：0][2min =-=opt T k W P d E ζ区别：(1)中输入为实数信号，得到的权值也实数权，(2)中输入为复数信号，权值为复数权4．设信号的相关矩阵和噪声的相关矩阵分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2)3/exp(6)3/exp(63ππj j R s及I R n 05.0=，试计算MSN 性能测度的最佳权向量解和输出最大信噪比。
自适应信号处理
av
δ
tot
2
λ
av
M
M
e min + P
−
M
τ
1
mse
1
n
4 µλ N
T mse
2 µλ
(L
+ 1)
n
4 µλ 1 4 µλ
n
n
Dr Y.L. Fu
The eigenvalues of R-matrix are assumed to be equal
steepest − descent : Tmse LMS Tmse
1
λmax
Since
>µ >0
λmax ≤ tr (Λ ) = tr (R )
1 0<µ < , tr (R )
Dr Y.L. Fu
Example
rk
sin 2πk N
∑
w0
Z-1
w1
2πk d k = 2 cos N
e(k )
∑
yk
∑
Dr Y.L. Fu
φ = E (rk2 ) Suppose rk are independent of each other.
(
(
−1
)
)
2
cov N = (I − 2 µΛ ) cov V + µ cov N
' k 2 ' k 2 −1
( ) µ = (Λ − µΛ ) 4
= µ e min
Using the result obtained in the last chapter
( )
( )
' k
' k
自用数字信号处理第三版主要答案
1.用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。
7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图所示，要求画出输出输出的波形。
解：由题意可知：h(n)={2,1,0.5,0,0}X(n)={-1,0,0,1,0,2,0}所以：Y(n)=X(n)*h(n)由列表法求解：y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 13． 有一连续信号xa(t)=cos(2πft+j)， 式中， f=20 Hz, j=π/2。
（1） 求出xa(t)的周期；（2） 用采样间隔T=0.02 s 对xa(t)进行采样， 试写出采样信号 的表达式；（3） 画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。
解： （1） xa(t)的周期为：（2）（3） x(n)的数字频率ω=0.8π， 故 ， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8πn+π/2))(ˆt x a25π2=ω画出其波形如题13解图所示。
17.已知系统的差分方程为：Y(n)=-a1y(n-1)-a2y(n-2)+bx(n)其中，a1=-0.8，a2=0.64,b=0.866。
（1）编写求解系统单位脉冲响应。
（2）。
1．设X(ejω)和Y(ejω)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：(2) x*(n)(6) nx(n)解：（2）（6）因为：对该式两边ω求导，得到:所以：5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示，不直接求出X(ejω)，完成下列运算或工作：23．设系统由下面差分方程描述：y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1)（1）求系统的系统函数H(z)，并画出极零点分布图；（2）限定系统是因果的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)；（3）限定系统是稳定性的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。
研究生自适应信号处理考试题
kε2006年研究生自适应信号处理考试题1. 简述人工自适应系统的特点和建立自适应系统一般应该满足的要求。
（10%） 特点：随时间变化，针对变化的环境自我优化，能通过训练适应变化的任务，自我设计、修复，少量训练可以改变整个系统的结构，输入的变化可能影响系统的性能，系统的调节都针对特定的优化目标。
构造自适应系统，一般有两种形式，一种是开环系统，另一种是闭环系统。
无论那种形式，系统的处理器都必须是可调节的。
2. 一个滤波器的特性函数为()2115726w ξ=-+，根据特征曲面搜索的最速下降法和牛顿法，试分别写出其参数w 的调整算法。
（15%）()()()2111115726757134913577()75713k k k k k k k kk k k w w w w w ww w w w w w w w w w w w ξξξξξμμ+++=-+'+'''=-''+=-=+-∇=-+解：牛顿法：() ()=()=()() w 调整算法最速下降法：3. 设线性组合器110-+=k k k x w x w y ，画出它的原理图；当输入信号为52sink x k π=，期望输出信号为52cos 2kd k π=时，求出自相关矩阵R ，互相关矩阵P ，特性函数，梯度和最佳权值。
（20%）原理图：[]k 2k 12k-1k-12T Tk 20.5 0.5cos x x 5R=E 2x x 0.5cos 0.552P=E 5=E[d ]+W RW-2P W=2+0.5[k k TTx x πππξ-⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦k k k-1k-1解：自相关矩阵 互相关矩阵d x d x 0 -sin特性函数000111220101121 cos 25 ]225cos 1522=cos 2sin 255=20.5 0.5cos 520.5cos 0.55πωωπωωπωωππωωωωωππ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦++∇⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣⎦0 -sin 0.5(+)+ 梯度2RW-2P=2010101*252+cos 522cos ++2sin 5522W 55ωπωπωωππωωππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦T 0 -2-sin =最佳权值=[2cot -2csc ]4. 设滤波器的自相关矩阵为300021018R ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，摄动为125P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，写出最速下降法的权值调整算法，给出它们的收敛条件。
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自适应信号处理课后题答案1．求下列R 的特征值设(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4202630341R (2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2)3/exp(6)3/exp(632ππj j R解：(1)令λ为R 的特征值，则 (2)令λ为R 的特征值： 0)d e t (=-I R λ 0)d e t (=-I R λ即：042263034=---λλλ即：02)3/exp(6)3/exp(63=---λππλj j于是R 1的三个特征值分别为： 于是R 2 的两个特征值为： 1451454321－＝，＋＝，λλλ= 5,021==λλ2．证明任何两个实数的单输入自适应线性组合器的特征向量矩阵均为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111121Q 证明：由已知条件知相关矩阵为R ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a b b a R 则R 的特征值为：b a b a -=+=21,λλ当b a +=1λ时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[11q x =当b a -=2λ时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[22-=q x 则特征向量为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111121Q3．如图3.1所示，若自适应系统的输入和期待响应分别为：(1))6/2cos(],6/)1(2sin[),6/2sin(10k d k x k x k k k πππ=-== (2)6/)]5.1(2[]6/)2(2[]6)1(2[1)6/2(04,,2--+-=+==k j k k j k j k k j k e d e e x e x ππππ试计算最佳权向量和最小均方误差输出，并说明在两种情况下的自适应系统有什么不同？解：(1)由题中条件知：5.0][20=k x E 5.0][21=k x E[]25.010=*k k x x E[]00=k k x d E 4/3][1-=k k x d E 于是输入相关矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.025.025.05.0R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4/30P 则最优权为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==*-1547.15774.01P R W opt最小均方误差为：3889.0][2min -=-=opt T k W P d E ζ (2)由题中已知条件知：4][20=k x E 6/26/2212][ππj j k e e x E -++=6/308][πj k ke x d E =*6/6/144][ππj j k k e e x d E -*+= 6/46/21022][ππj j k k e e x x E --*+= 6/46/21122][ππj j k k e ex x E +=* 于是输入相关矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=---6/26/26/46/26/46/2222224ππππππj j j j j j e e e e e e R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-6/6/6/3448πππj j j e e e PR 的逆不存在， 则最优权为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=j c c W o p t 3234最小均方误差为：0][2min =-=opt T k W P d E ζ区别：(1)中输入为实数信号，得到的权值也实数权，(2)中输入为复数信号，权值为复数权4．设信号的相关矩阵和噪声的相关矩阵分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2)3/e xp (6)3/e xp (63ππj j R s及I R n 05.0=，试计算MSN 性能测度的最佳权向量解和输出最大信噪比。
解：由已知条件知：系统输出的信噪比SNR 为瑞利商形式，可表示为WW WR W S N R Hs H 20= 最大信噪比输出时系统的权向量应为信号相关矩阵R s 的最大特征值对应的特征向量，而0]d e t [=-I R s λ即：02)3/e x p (6)3/e x p (63=---λππλj j5,021==λλ 当01=λ时，得到的特征向量为：]261[3/00πj e c q --= 当52=λ时，得到的特征向量为：]361[3/11πj e c q = 自适应最大信噪比时输出时的权向量为： ]361[3/1πμμj M S N e q W '== 最大输出信噪比为：1003613613612663361203/3/3/3/3/3/max =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-ππππππj j j j j j e e e ee e SNR5．设某一实单变量性能表面由下式给出：1144.02++=ωωξ试问收敛参数在什么样的范围内取值可得到一条过阻尼权调整曲线。
解：由性能函数)(ωξ对权值ω的二阶导数可以得到：λωζ28.022==d d 其中λ为系统输入的功率当121<-=μλγ时迭代过程收敛，且当18.010<-<μ即25.10<<μ时为过阻尼状态。
6．已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112R ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=78P 试用式(4.16)和式(4.37)分别写出最陡下降法与牛顿权调整公式的显式，并由此解释互耦的概念解：对于最陡下降法，由公式)(1k k k W W -∇+=+μ得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++782412241,1,01,11,0μμμμμk k k k w w w w 对于牛顿法，由k k k R W W ∇-=-+11μ得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232)21(,1,01,11,0μμk k k k w w w w 对于最陡下降法，权系数的第一分量迭代过程不仅与第一分量有关系还与第二分量有关系，是耦合的。
而牛顿法只与本分量有关，是去耦合的。
7．一个复权自适应系统其性能表面由下式给出：23)Re(2052+-=ωωξ求最小均方误差opt ωξ,min 与λ的值，若让权围绕5.05.1j +=ω以扰动量为0.1=δ 进行扰动，求性能损失β和扰动P 。
解：由单复权的性能表面为： 2m i n )(opt ωωλξξ-+= 对比已知条件知：5=λ，3min =ξ 2=o p t ω 由公式知：52==λδβ 35m i n ==ξβP 8．在某种情况下，自适应线性组合器的输出误差服从均值为零、方差为3的正态分布。
如果均方误差是基于误差的10个样本进行估值的，试求估值的方差。
解：由已知条件可知：10,3,02===n m σ得到： 6.3)(4)/1(/21)~v a r (222222222=+=⋅++=N m N m m σξσσξ估值的方差为3.69．给定题7的条件，假设在每个扰动后权的设定点上基于5个误差的观察值来估计梯度的实部和虚部分量，若复误差输出k ε是零均值正态分布的，求梯度估值的方差。
解：对于复权系统的梯度估值;[])()()()(41~v a r 22222δξδξδξδξδξ++-++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂a a b a v v v v E N v 又j w w v opt 5.05.0+-=-= 即5.0,5.0=-=b a v v 且 0.1=δ 5=N则梯度估计的方差为：656.2~var =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂v ξ10．若D 为一对角矩阵，则∑∞=--=01)(n nD I D成立的条件是什么？当D 不是对角矩阵时结果正确？如果是正确的，条件是什么？解：当D 为对角矩阵时，式子成立的条件是：对角线元素收敛，即0lim =∞>-nii n d当D 不是对角矩阵时，式子成立的条件是D 为收敛矩阵，即1<D11．对于一个单实权的自适应系统，设自适应增益常数01.0=μ，输入信号的均方值为2，试问权调整和学习曲线的时间常数各为多少？ (a)最陡下降法 (b)牛顿法解：(a)权调整常数为：2504.0121===μλτ 学习曲线的时间常数5.122==ττmse(b)权调整常数为:5002.0121===μτ 学习曲线的时间常数252==ττmse12．对题9给出的条件，设μ取它最大稳定值的一半，且N =10个误差观测值，求超量均方误差及自适应时间常数mse T 。
(1)用最速下降法 (2)用牛顿法 解：令权值为T w w W ][10=则由[]22kT T d E P W RW W +-=ε与已知条件可知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=87P []422=k d E则：[]Topt P R W 321==*- []42m i n =-=o p tTkWP d E ξR 的特征值为：3,110==λλ得2min25.0δξδλ==av P对最速下降法：μ为最大稳定值得一半5.0=μ 6/1/1m a x =λ05.0)1()1(=+=L N T avav mse μλ 2min 252)1(4)1(δξ=+=av mse T P L excMSE对牛顿法：5.0=μ4021)1(2)1(2=+=+=μτNL N L T mse 4011=mse T 2min 2152)1(4)1(δλξ=+=av mse PT L excMSE 13．设有两个实权得自适应线性组合器，输入x 有[]32=k x E ，[]21=-k k x x E 每次选迭代用80次误差观测，扰动05.0=P ，自适应增益常数01.0=μ，求两种情况下得失调。
(1)最速下降法 (2)牛顿法解：由已知条件知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3223R 对R 进行特征值分解得：5,110==λλ 对于最速下降法：4875.12*80)51(*5.0*01.0)1()1(-=+=+=e L N T av av mse μλ 失调为 0037.0)1(4)1(2=+=av mseT P L M对于牛顿法：1600001.01*80*221)1(2)1(2==+=+=μτNL N L T mse 失调：0019.0)5/11(*5.0*)51(*5.0*16000*05.0*42)/1(4)1(22=++=+≈av av mse PT L M λλ14．给定图6.6系统辨识结构，试用式(6.36)给出自适应递归滤波器LMS 算法。
解：算法 []Tk kkk b b a W 210= []Tk k kk y y x U 21--= []21v v d i a g M μ= k T k k U W y =∑=-+=21,00l l k lk k k b x αα∑=--+=21,111l l k lk k k b y ββ ∑=--+=21,222l l k lk k k b y ββT k k k k k k y d ])[(2ˆ210ββα--=∇kk k M W W ∇-=+ˆ1 15．设05.0=μ，005.01=v 及0025.02=v ，用第五章题4表示的[]k r 作输入序列，对图6.6运行IIR LMS 算法，并绘出k ε对k ，a 0k 、b 0k 对k 的变化曲线； 解：迭代次数k误差e迭代1000次的学习曲线权系数b1权系数b 216．对于二阶自适应递归滤波器，证明：)(21b b 必须处于图6.7所示的三角形区域之内才能保证滤波器稳定，即三角形相应于Z 平面上的单位圆。