平面基本性质第二课时

例、求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
方法一：利用公理3
Ａ
方法二：利用推论１
方法三：利用推论２
Ｂ
Ｃ
题目变型：两两相交且不过同一点的三条直线共面。
证明：设直线a、b满足a平行于b ，由平行线的定义， 直线a、b在同一平面内，这就是说，过直线a、b有平 面α。
设点A为直线a上任一点，则点A在直线b外，点A 和直线b在过直线a、b的平面α内，由公理3的推论1， 过点A和直线b的平面只有一个。过直线a、b的平面只 有一个。
反馈练习
1、选择题:
D （１)两个平面的公共点的个数可能有......( )
因为点A、B、C分别在直线a、b上，所以它们在过a、 b的平面内。由由公理3，过A、B、C三点的平面只有一个， 过直线a、b的平面只有一个。
平面的基本性质 推论3:经过两条平行直线，有且只 有一个平面.
b
a
a // b 有且只有一个平面，使a ,b
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
_______ BB1 (5) A1B1 ________, BB1 ________
A1B1 ________
2、分别根据题中的条件, 用集合语言来描述点、直 线、平面之间的关系，并画出图形。
（１）、直线ＡＢ在平面a内；看看答案
（２）、直线l与平面a有且只有一个公共点Ｐ；
看看答案
（３）、已知Ａ、Ｂ、Ｃ三点都是与平面a与平面 β的公共点，并且a与β是两个不同的平面；看看答案
（A）0 （B）1 （C）2 （D）０或无数
B （２)三个平面两两相交,则它们交线的条数……( )
（A)最多4条最少3条 （C)最多3条最少2条
（B）最多3条最少1条 （D）最多2条最少1条
反馈练习
（2）三条直线两两相交，由这三条直线 所确定平面的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
反馈练习
唯一性: 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么
A∈β， a β，因为B∈a，C∈a，所以B∈β，C∈β.(公理1)故不
共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内.所以平面α和平面 β重合.(公理3)
所以经过点A和直线a有且只有一个平面
平面的基本性质 推论2:经过两条相交直线，有且只 有一个平面.
（４）、直线m和n相交于平面a内一点Ｍ。看看答案
（1）、直线ＡＢ在平面a内；
直线AB
B A
a
（2）、直线l与平面a有且只有一个公共点Ｐ；
l
l P
P a
（３）、已知Ａ、Ｂ、Ｃ三点都是与平面a与平面 β的公共点，并且a与β是两个不同的平面；
β
C B
Biblioteka BaiduαA
A B C 直线AB
（４）、直线m和n相交于平面a内一点Ｍ。
平面的基本性质
2021年4月8日星期四
复习回顾：
1、概念：平面是无限延展的,无大小，厚度，
颜色。一个平面把空间分成2个部分。
2、画法： D
C
α
A
B
3、记法： ① 平面ABCD
② 平面AC 或平面BD
③ 平面α 标记在角上
4、相交面画法：十字，人字，丁字形
β B•
β
α
A•
α
平面可以看成由它内部的所有点组成的点集
点 A 在平面α内 A 点 B 不在平面β内 B
用集合语言描述点、直线、平面之间的关系
点A在直线a上，记作A a，点A不在直线a上，记作A a；
点A在平面上，记作A，点A不在平面上，记作A；
直线l在平面内，记作l ，直线l不在平面内，记作l ；
直线l和直线m相交于点A，记作l m A（A是A的简记）
直线l于平面相交于点A，记作l A
平面与平面相交与直线 l，记作 l。
练习
1．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平
面 A1C1, A1B1, B1C1，分别记作、、 ，试用适当的符号填
空．
(1) A1 _______, B1 _______ (2)B1 _______ , C1 _______ (3)A1 _______ , D1 _______ (4) _______ A1B1
平面的基本性质
公理2:如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他的公共点，且所 有的这些点的集合是一条过这个点 的直线
符号语言 作用
l
P
平面的基本性质 公理3:经过不在同一条直线上的三 个点，有且只有一个平面.
B AC
平面ABC
用手指头将一本书平衡地摆方 在空间某一位置，至少需要几 个手指头？
这些手指需要满足什么条件？
由此你能得出什么结论？
平面的基本性质
推论1:经过一条直线和这条直线外 的一点，有且只有一个平面.
BC
Aa
Aa 有且只有一个平面,使A,a
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
求证：过点A和直线a可以确定一个平面
a b P 有且只有一个平面,使a ,b
b
a P
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
证明：设直线a、b相交于点C,在a、b上分别取不同于点C 的点A和点B，点A，B，C是不在同一条直线上的三点（否 则与a、b为两条相交直线矛盾）由公理3，过A、B、C三点 有且只有一个平面α，因为a、b各有两点在平面α内，所 以直线a、b在α内，因此过直线a、b有平面α。
（3）空间四点中，三点共线是这四个点共面的( ) A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分条件，也非必要条件
反馈练习
4、下列各个条件中，可以确定一个平面的是
A.三个点
B.两条不重合的直线
C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线
反馈练习
3、怎样用两根拉紧的 细线来检验桌子的四 条腿的底端是否共面？
4、右图是ΔABC利用斜二测画法得到的 水平放置的直观图ΔA‘B‘C’，其中A‘B’∥y’ 轴，B‘C’∥x‘轴，若ΔA‘B‘C’的面积是3， 则ΔABC的面积是（ ） 6 2
平面的基本性质
公理1:如果一条直线上的两个点在 平面内,那么这条直线上所有的点 都在这个平面内.
AB
符号语言 作用
怎样的直线a我们就说它在平面外？
Mm an
n
m nM
M
nm
Mm a
M a
说明：
(1)将y轴倾斜为 45 ,Z轴与X轴垂直 (2)与x轴平行或重合的线段长度不变， 与y轴平行或重合的线段长度变为原来一半
(3)平行线保持平行 (4)同一直线上的线段的比 例保持不变 (5)画直观图关键是找顶点 (通过与x、y轴平行的线段 )
3、如图ΔA‘B‘C’是水平放置的ΔABC的直观 图，则在ΔABC的三边及中线AD中，最长 的线段是（ AC ）