1.1.1《算法的概念》课件

例6. 利用二分法求函数y=f(x) (x在定义区 间D) 上的一个变号零点x0的近似值x，使 它与零点的误差不超过正数ε ，即使|x－ x0|<ε ，写出它的一个算法. S1 在D内取一个闭区间[a，b]，使f(a)与 f(b)异号，即f(a)f(b)<0； S2 令x0=
ab 2
，计算f(x0)；
S4 ⑥代入⑤.得
a 2 2 b1 a 1 2 b 2 x 1 a1 1 a 2 2 a 2 1 a1 2 x a 1 1 b 2 a 2 1 b1 2 a1 1 a 2 2 a 2 1 a1 2 ⑦
⑧
S5 输出结果x1，x2， S6 若a11b2－a21b1≠0. 则执行下一步；否
数的最大公因数的算法等。因此，
算法其实是重要的数学对象。
一、算法的概念
算法(algorithm)一词源于算术(algorism), 即算术方法，是指一个由已知推求未知的 运算过程。后来，人们把它推广到一般，
把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步 骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣 机的使用说明书是操作洗衣机的算法， 歌谱是一首歌曲的算法。 在数学中，主要研究计算机能实现的 算法，即按照某种机械程序步骤一定可 以得到结果的解决问题的程序。比如解 方程的算法、函数求值的算法、作图的 算法，等等。
S3 如果c>max, 则max=c.
S4 max就是a, b, c中的最大值。
例3 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。 解：算法1： S1 计算1+2得到3； S2 将第一步中的运算结果3与3相加得到6 S3 将第二步中的运算结果6与4相加得到10
S4 将第三步中的运算结果10与5相加得到15
2．下列关于算法的说法正确的是（ D ） （A）某算法可以无止境地运算下去 （B）一个问题的算法步骤可以是可逆的 （C）完成一件事情的算法有且只有一种 （D）设计算法要本着简单、方便、可操
作的原则
3．下列关于算法的说法中，正确的是 （ C ）. A. 算法就是某个问题的解题过程 B. 算法执行后可以不产生确定的结果 C. 解决某类问题的算法不是惟一的 D. 算法可以无限地操作下去不停止
S5 将第四步中的运算结果15与6相加得到21
算法2：
S1：取n=6；
S2：计算
n ( n 1) 2
S3：输出运算结果。 算法3： S1 将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7； S2 计算3×7； S3 输出运算结果。
例4. 求1×3×5×7×9×11的值，写出其 算法。 算法1； 第一步，先求1×3，得到结果3； 第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得 到结果15； 第三步，再将15乘以7，得到结果105； 第四步，再将105乘以9，得到945； 第五步，再将945乘以11，得到10395，即 是最后结果。
4．下列运算中不属于我们所讨论算法范 畴的是（ B ）. A. 已知圆的半径求圆的面积 B. 从一副扑克牌随意抽取3张扑克牌抽到 24点的可能性 C. 已知坐标平面内的两点求直线的方程
D. 加减乘除运算法则
5．下列语句表达中是算法的有（ C ）. ① 从济南到巴黎可以先乘火车到北京再坐 飞机抵达； ②利用公式 S = ah÷2 计算底为1高为2的 1 三角形的面积； ③ x>2x +4； 2 ④求M(1，2)与N(3，5)两点连线的方程可 先求MN的斜率再利用点斜式方程求得． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
算法2：用P表示被乘数，i表示乘数。 S1 使P=1; S2 使i=3; S3 使P=P×i； S4 使i=i+2； S5 若i≤11，则返回到S3继续执行；否则 算法结束。 由于计算机动是高速计算的自动机器， 实现循环的语句可以在很短的时间内完成。 对于循环结构的详细情况，我们将在以后 的学习中介绍。
6．写出求1＋2＋3＋…＋100的一个算法. 可以运用公式1＋2＋3＋…＋n＝ 直接计算. 第一步 第二步 ① ②
n ( n 1) 2
； ①取n＝100 ； ②计算 n ( n 1)
2
第三步 输出运算结果.
7．已知一个学生的语文成绩为89，数学 成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和 平均成绩的一个算法为： 第一步 取A＝89，B＝96，C＝99; 第二步 ① ； 第三步 ② ； 第四步 输出D，E.
例2 写出一个求有限整数列中的最大值 的算法。
解：算法如下： S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”; S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比 较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定 “最大值”是这个整数； S3 如果序列中还有其他整数，重复S2; S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时 假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
S3 ②式边开方，得x－1=±2
S4 解③式得x=3或x=－1
③
因式分解法： S1 将方程左边因式分解得(x－3)(x+1)=0 ① S2 由①得x－3=0或x+1=0 ② S3 解②得x=3或x－1 公式法： S1 计算方程的判别式，判断其符号 △=(－2)2－4×(－3)>0； S2 将a=1，b=－2，c=－3代入求根公式， 得x=3或x=－1
如果让你去找，你可能不会这样做，可 能认为，这样太机械、太枯燥。不要忘了， 我们写的是算法。算法要求按部就班地做， 每一步都有唯一的结果，又要求写出的算 法对任意整数序列都适用，总能得到结果。 所以上面写的，符合算法的要求。 下面我们用数学语言，写出对任意3个 整数a，b，c求出最大值的算法。
S1 max=a S2 如果b>max, 则max=b.
a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 b1 a 2 1 x1 a 2 2 x 2 b 2 ① ②
S1 假定a11≠0，②×a11－①×a21得
a 1 1 x1 a 1 2 x 2 b1 ( a 1 1 a 2 2 a 2 1 a 1 2 ) x 2 a 1 1 b 2 a 2 1 b1 ③ ④
①计算总分D＝A+B+C ②计算平均成绩E＝
D 3
小结作业
算法是建立在解法基础上的操作过程，算法 不一定要有运算结果，问题答案可以由计算机解 决．设计一个解决某类问题的算法的核心内容是 设计算法的步骤，它没有一个固定的模式，但有 以下几个基本要求：
(1)符合运算规则，计算机能操作；
(2)每个步骤都有一个明确的计算任务；
1.1.1算法的概念
算法作为一个名词，在中学教科书中 并没有出现过，我们在基础教育阶段还 没有接触算法概念。但是我们却从小学 就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。 如，做四则运算要先乘除后加减，从里 往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至 于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体 体现。
我们知道解一元二次方程的算法，求 解一元一次不等式、一元二次函数图象 的画法，解线性方程组的算法，求两个
为了便于计算机运算，它们必须先输入 已知数据，而计算的目的分别是解方程组 和求最大值等，因此必须输出结果，也就 是必须有输入和输出。
算法解决的都是一类问题（分别是解决 求方程组的解和确定一个有理整数序列中 的最大值问题），因此具有普适性。
体验 ：写出解方程x2－2x－3=0的一个算法.
配方法： S1 移项，得x2－2x=3 ① S2 ①式两边同加1并配方得 (x－1)2=4 ②
例1 “一群小兔一群鸡，两群合到一群里， 要数腿共48，要数脑袋整17，多少小兔 多少鸡？” 解：算术方法：如果没有小兔，那么小鸡 应为17只，总的腿数应为2×17=34条， 但现在有48条腿，造成腿的数目不够是由 于小兔的数目为0，每有一只小兔便会增 加两条腿，故应有(48－17×2) ÷2=7只小 兔。相应的，小鸡有10只。
2 m 2n 2
.
思考2 教材中例1的第二种解法是列方程 组的方法，它是否也是一种算法呢？ 探究：是的，其算法步骤为：
S1 设未知数；
S2 根据题意列方程组； S3 解方程组；
S4 还原实际问题，得到实际问题的答案。
在实际中，很多问题可以归结为求解 二元一次方程组，下面我们用消元法来 解一般的二元一次方程组
(3)对重复操作步骤作返回处理； (4)步骤个数尽可能少； (5)每个步骤的语言描述要准确、简明.
代数方法：设有x只小鸡，y只小兔. 则
x y 17 2 x 4 y 48
将第一个方程的两边同乘以－2加到第二 个方程中去，得到
x y 17 (4 2) y 48 17 2
解第二个方程得y=7. 把y代入到第一个方程得x=10.
思考1 教材中例1是著名的“鸡兔同笼” 问题，其中第一种解法是算术方法，教 材中对它的评价是“简单直观，却包含 着深刻的算法思想”，那么它是如何体 现算法的思想呢？ S1 假设没有小兔，则小鸡应为n只； S2 计算总腿数为2n只； S3 计算实际总腿数与假设总腿数的差值 为m－2n； m 2n S4 计算小兔只数为 ; S5 小鸡的只数为n－
则执行S8
S7 输出“方程组无解”.
S8 输出“方程组有无穷多个解” 以上解二元一次方程组的方法，叫做 高斯消去法
二、算法的特点
不论在哪一种算法中，它们都是经有限 次步骤完成的，因而它们体现了算法的有 穷性。 在算法中，每一步都能明确地执行， 且有确定的结果，因此具有确定性。
在所有算法中，每一步操作都是可以 执行的，也就是具有可行性。
S2 如果a11a22－a12a21≠0，则执行下步；
否则执行S6 S3 ④两边同除以a11a22－a12a21≠0得
a 1 1 x1 a1 2 x 2 b1 a 1 1 b 2 a 2 1 b1 x 2 a 1 1 a 2 2 a 2 1 a1 2 ⑤ ⑥