艺考生文化课新高考数学百日冲刺复习课时分组冲关：第5章 数列 第4节

第五章 第4节

1．数列{a n }中，a n ＝

1n (n ＋1)

，若{a n }的前n 项和为2 019

2 020，则项数n 为( )

A ．2 019

B ．2 016

C ．2 017

D ．2 018

解析：A [a n ＝

1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1

，

S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 019

2 020，所以n ＝2 019.]

2.12＋12＋38＋…＋n

2n 等于( ) A.2n －n －12n

B.2n ＋

1－n －22n

C.2n －n ＋12n

D.2n ＋1－n ＋22n

解析：B [法一：令S n ＝12＋222＋323＋…＋n

2n ，①

则12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n

2

n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎡⎦⎤

1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－n

2

n ＋1.∴S n ＝2n ＋1－n －22n .故选B.

法二：取n ＝1时，n 2n ＝1

2

，代入各选项验证可知选B.]

3．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋4

5，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n a n ＋1的前

n 项和为( )

A ．4⎝⎛⎭

⎫1－1

n ＋1

B ．4⎝⎛⎭

⎫12－1n ＋1

C ．1－1

n ＋1

D.12－1n ＋1

解析：A [由题意知a n ＝

1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n

n ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1

＝n 2，b n ＝

1

a n a n ＋1

＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋4⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭

⎫1－1

n ＋1.]

4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －

1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )

A ．200

B ．－200

C ．400

D ．－400

解析：B [S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.]

5．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 的前100项和

为( )

A.100101

B.99100

C.101100

D.200

101

解析：D [数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ， ∴a n ＋1－a n ＝1＋n ，∴a n －a n －1＝n ，

∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)

2，

∴1a n ＝2

n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭

⎫1n －1n ＋1， ∴⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 的前100项和 2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13

＋…＋1100－1101＝2⎝⎛⎭⎫1－1101＝200

101，故选D.] 6．(2019·聊城市一模)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，若b n ＝2a n ，则数列{b n }的前n 项和T n ＝_________________________________________________________________.

解析：∵S n ＝n 2，① 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1， 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2，② 由①－②可得a n ＝2n －1， 当n ＝1时也成立，∴a n ＝2n －1， ∴b n ＝2a n ＝2×4n －1

，∴T n ＝2(1－4n )1－4

＝23(4n

－1)．

答案：2

3

(4n －1)

7．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.

∴a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－1，n ＝1，2n －5，n ≥2.

令2n －5≤0，得n ≤5

2

，∴当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，

a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66. 答案：66

8．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.

解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －

1－1)＝2n －

1，

又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －

1，∴a 2n ＝4

n －

1

. ∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列． ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝

1·(1－4n )1－4

＝13(4n

－1)． 答案：1

3

(4n －1)

9. (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；

(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设可得

⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q )＝2a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧

q ＝－2，a 1＝－2，

故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .

(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n ·2n ＋

13.

由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n

·2n ＋

3－2n ＋

23

＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n

2n ＋

13＝2S n ，

故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．

10．(2018·天津卷)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.

(1)求S n 和T n ；

(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值． 解：(1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1， b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0，因为

q >0，可得q ＝2，故b n ＝2

n －1

.所以，T n ＝1－2n

1－2

＝

2n －1.

设等差数列{a n }的公差为d ，由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4，由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1

＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n .所以S n ＝n (n ＋1)

2

.

(2)由(1)，有T 1＋T 2＋…＋T n

＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝

2×(1－2n )1－2

－n ＝2n ＋

1－n －2.