【高等数学 东南大学】0数学讲座(极限与连续)

2)常用极限
lim arctan x , lim arctan x
x
2 x
2
lim arccot x 0, lim arcco t x
x
x
lim e x 0,
x
lim
n
{a1n
+a2n
lim e x
x 1
akn }n max{a1 ,a2 ,
(ai 0)
,ak }
3)几个常用等式 (1) (2)
(3)
(4) (5) (6) (7)
典型例子：
提示： an＋p－an
＝ an＋p－an＋p－1＋an＋p－1－an＋p－2＋an＋p－2－
－an
an＋p－an＋p－1 ＋ an＋p－1－an＋p－2 ＋
qn 1-q
a1－a0
＋ an＋1－an
结论.
6.
已知x1
0 ,且xn1
9(1 xn ) 9 xn
内容:
1、(零点定理)F (x) C a ,b ,F (a) F (b) 0,
则 (a,b)使F( ) 0 2.若结论改成 (a,b)使f ( ) ,
则 称为f (x)的不动点.
1.若函数f (x)在a ,b上连续,且x a ,b f (x) 0,则f (x)在a ,b上恒正或恒负.
7.
8.
9.
练习:
1.
2.
设 x1
2,
xn1
2
1 xn
,n 1
求
lim
n
xn
3. 设xn为:x1= 3,x2 = 3 3 ,
xn2 = 3
3
xn
.求 lim n
xn
4.
1
(1). 求lim( x e2x )sin x x0 1
(2). 求 lim(cos x) ln(1x2 ) x0
.
证明数列
xn
收敛,并求
lim
n
xn
注:若 xn 的单调性难以判定,或不单调时,
常常用用以下方法:
1
).
先求出极限 lim n
xn
l
,(草稿上)
2 ). xn1 l q xn l q2 xn1 l
qn1N xN l 其中0 q 1
由夹逼定理 lim n
xn1 l 0
百度文库
lim
n
(xn1
l) 0
lim n
xn
l
8. 已知x1 2, xn1 2xn 3 .
求 lim n
xn
9.
10.
(1) 求 lim lncos ax x0 ln cos bx
(ab 0)
(2) 求极限lim sin mx x sin nx
(n 0)
(3)
求 lim x0
1 x3
[( 2
2. 设函数f ( x )在,上连续,
且 lim f ( x ) lim f ( x ) 0
x x
x x
证明: ,,使f ( ) 0.
提示 : F(x) f (x) x
且 lim F(x) lim x(1 f (x))
x
x
x
x1 0,使F(x1) 0
3.
例
4.
5.
6.
cos 3
x
)x
1]
11.
(1)
1
x
x
求 lim(5e x1 4)
x0
(2) 求limtann( 2 )
n
4n
12.
(1)求limsin(2 n2 a2 ) n
(2)求lim ntan( n2 a2 ) n
13.其他极限问题：
14.
(1)
(2)
(3)
1.
2. 处连续
3 .
零点定理与不动点问题
极限,连续,不动点
(数学系 贺传富)
极限部分历年试题的题型.
.求极限之前必须要做的两件事: 1) 看是否有极限不为零的因式 2) 利用等价无穷小化简
.常用公式与已知极限.
1)
sin x～x;
～
ex 1～ x;
～
arcsin x～ x;
～
1
cos
x～
1 2
x2
;
～
(1 x) 1～ x;
(3). 求limsin( n2 n) n
5. 6.
7.
(1).求f ( x ) lim(
sin t
x
)sintsin x的间断点并分类.
tx sin x
(2).
8.
9. 10.
11.
12.
13.
14.
15. 16.
1.
1.
1.