时域分析法 (DEMO)
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第3章 时域分析法
第3章 线性系统的时域分析法所谓时域分析法，就是对系统外施一个给定输入信号，通过研究控制系统的时间响应来评价系统的性能。
由于系统的输出量取的是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
3.1 时域响应及典型输入信号首先我们给出瞬态响应和稳态响应的定义。
瞬态响应——系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应，瞬态响应过程也称为过渡过程。
稳态响应——当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态称为稳态响应，稳态也称为静态。
在分析瞬态响应时，我们往往选择典型输入信号。
所谓典型输入信号，是指很接近实际控制系统，经常遇到的输入信号，并在数学描述上经过理想化处理后，用简单的函数形式表达出来的信号。
选择某些典型函数作为系统输入信号，不仅使问题的数学处理系统化，而且典型输入信号的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础。
常见的典型输入信号如下。
1、 阶跃信号这是指输入变量有一个突然的定量变化，例如输入量的突然加入或突然停止等等，如图3-1所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t a t r （3-1）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位阶跃信号。
2、 斜坡信号这是指输入变量是等速度变化的，如图3-2所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t at t r （3-2）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位斜坡信号。
图3-1 阶跃信号 图3-2 斜坡信号3、 脉冲信号脉冲信号的数学表达式可表示为⎪⎩⎪⎨⎧><<<=→000/0,00,lim )(0t t t t t t a t r t （3-3）其中，a 为常数，因此当00t t <<时，该信号值为无穷大。
脉冲信号可以表示为如图3-3所示，其脉冲高度为无穷大；持续时间为无穷小；脉冲面积为a ，因此，通常脉冲强度是以其面积a 衡量的。
第三章时域分析方法
(3-8)
一阶系统单位阶跃响应是单调上升的指数曲线 由式（3-8）求出 ：
y(0) y( t ) t 0 0
y( ) y( t ) t 1
y( t ) 1 e
y(t)
t /T
(3-8)
1
B 0.632 A 86.5％ 98.2％ 63.2％ 95％ 99.3％
斜率 =1/T
1 • 2. dy( t ) — 一阶系统如能保持初始
T
t
1 0.632
dt T e 反应速度不变， 则当t＝T时
，输出将达到其稳态值。 • 3. 过程y(t)的变化速率，随着时
T
A 86.5％ 98.2％ 63.2％ 95％ 99.3％
T 2T 3T 4T 5T
t 0,
实际上，一阶系统过渡
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
G ( s)
Y ( s) R( s )
K Ts 1
(3-6)
单位斜坡函数r(t)=t 的拉氏变换为：
R( s )
把上式代入式(3-6)，
2e
2、 对上式求拉氏变换，可得系统的闭环传递函数：
G (s )
1 s1
2 s2
3s 4 s 3s 2
2
G0 1 G0
可求出系统的开环传递函数： G 3 s 4 0 2
s 2
习题2-6 系统微分方程组如下, 试建立对应信号 流图, 并求传递函数。 解：将原方程组取拉氏变换：
t0 0t t
时域分析法
§ 3.2 一阶系统的时间响应
一、一阶系统的数学模型 数学模型
其中时间常数T＝1 / K
二、一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
xi
(t )
1(t ),
Xi
(s)
1 s
故系统单位阶跃响应象函数为
1
1 s
s
T
1
A s
s
B 1
1 s
s
1
1
T
T
T
取拉氏反变换得系统单位阶跃响应为
1t
xo (t) 1 e T
，为闭环极点的实部； ，为闭环极点的虚部；
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的象函数为
。
将上式进行拉氏反变换，单位阶跃响应为
(3.33)
x0 (t) 1
e n t
1 2
(n
1 2 n
cosdt sin dt)
1
ent
1 2
(sin
c osd t
cos
sin d t )
1
e nt
1
2
sin(
则
Xo
s
Xo Xi
s s
X
i
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
x0
(t
)
1 T
t
eT
四、响应之间的关系 对线性定常系统，输入之间存在微积分关系，其响
应间也存在相应微积分关系。
作用：在测试系统时，可由一种信号推断几种信号的相应响应。
§ 3.3 二阶系统的时间响应
一、典型二阶系统的数学模型
决定。
在稳态下，输出 x0 (t) 和输入 xi (t) 之间不存在误差，即系统
3第三章 时域分析法.
c( t )
r (t )
c( t )
一阶系统在单位斜坡信 号输入作用下，误差自零开 始按指数规律增长，最终趋 于常值T。
0
T
t
时域分析法
一阶系统单位加速度响应
r (t ) 1 2 t 2
t 1 2 c( t ) t Tt T 2 (1 e T ) 2
一阶系统在加速度函数输入作用下，其误差随时 间推移而增长，直到无限大。
3.峰值时间 t p 输出响应超过稳态值 达到第一个峰值所需 要的时间。 4.调整时间 t s 当输出量c(t)和稳态值 c(∞)之间的偏差达到允 许范围（一般取2%或5%） 并维持在此允许范围之 内所需的最小时间。
0
c(t)
c( t p )
c( )
0.02c()
或0.05c()
tp
ts
t
时域分析法
可见系统的输出响应由 稳态分量和暂态分量两部分 组成，当时间t→∞时，暂 态分量衰减为零。 这是一条单调上升的指 数曲线，初始值为0，稳态 值为1。
c(t)
1
0
t
时域分析法
一阶系统的单位阶跃响应具备两个重要的特点：
1 c ( t ) 1 e 0.632 1）当t=T时，
即当t等于时间常数T时，响应 c(t)达到稳态值的63.2%。 同样的方法可以算出，当t=2T、 3T、4T和5T时， c(t)将分别上 升到86.5% 、95% 、98.2%和 99.3% 。 调整时间：
时域分析法
一阶系统单位脉冲响应
r (t ) (t )
t 1 T g( t ) c( t ) e T
一阶系统的单位脉冲响应曲线是一条单调衰减的 指数曲线。
3第三章 时域分析法
所需的时间恰好为T。
t
0 1T 2T 3T 4T 5T
这也是在单位阶跃响应曲线上确定一阶系统时间常数
的方法之一。
第三章 时域分析法
一阶系统单位脉冲响应
r (t ) (t )
t 1 T g ( t ) c( t ) e T
一阶系统的单位脉冲响应曲线是一条单调衰减的 指数曲线。
单位脉冲 函数响应
积分
单位阶跃 函数响应
积分
单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应
微分
微分
微分
第三章 时域分析法
3.5 二阶系统的暂态响应
用二阶微分方程描述的控制系统称为二阶系统。 它是控制系统常见的组成形式，许多高阶系统在一定的条 件下常近似地用二阶系统来表征。
1、结构图
R(s )
E (s )
拉氏变换：
0
t
L[ ( t )] 1
第三章 时域分析法
理想的脉冲函数在现实中是不存在的，它
只有数学上的意义。
在实际中，如果系统的脉动输入量值很大， 而持续时间与系统的时间常数相比非常小时，可 以用脉冲函数去近似表示这种脉动输入。如脉冲 电压信号、冲击力、阵风等。 当描述脉冲输入时，脉冲的面积或者大小是 非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。
0
T
t
第三章 时域分析法
一阶系统单位加速度响应
r (t ) 1 2 t 2
t 1 2 c( t ) t Tt T 2 (1 e T ) 2
一阶系统在加速度函数输入作用下，其误差随时 间推移而增长，直到无限大。
第三章 时域分析法
闭环极点（特征根）：-1/T
r (t ) (t )
t
0 1T 2T 3T 4T 5T
这也是在单位阶跃响应曲线上确定一阶系统时间常数
的方法之一。
第三章 时域分析法
一阶系统单位脉冲响应
r (t ) (t )
t 1 T g ( t ) c( t ) e T
一阶系统的单位脉冲响应曲线是一条单调衰减的 指数曲线。
单位脉冲 函数响应
积分
单位阶跃 函数响应
积分
单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应
微分
微分
微分
第三章 时域分析法
3.5 二阶系统的暂态响应
用二阶微分方程描述的控制系统称为二阶系统。 它是控制系统常见的组成形式，许多高阶系统在一定的条 件下常近似地用二阶系统来表征。
1、结构图
R(s )
E (s )
拉氏变换：
0
t
L[ ( t )] 1
第三章 时域分析法
理想的脉冲函数在现实中是不存在的，它
只有数学上的意义。
在实际中，如果系统的脉动输入量值很大， 而持续时间与系统的时间常数相比非常小时，可 以用脉冲函数去近似表示这种脉动输入。如脉冲 电压信号、冲击力、阵风等。 当描述脉冲输入时，脉冲的面积或者大小是 非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。
0
T
t
第三章 时域分析法
一阶系统单位加速度响应
r (t ) 1 2 t 2
t 1 2 c( t ) t Tt T 2 (1 e T ) 2
一阶系统在加速度函数输入作用下，其误差随时 间推移而增长，直到无限大。
第三章 时域分析法
闭环极点（特征根）：-1/T
r (t ) (t )
时域分析方法时域分析方法
列出了劳斯表以后，可能出现以下几种情况。
1．第一列所有系数均不为零的情况，这时，劳斯判据指出，系统极点实部为正 实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。系统极点全部在复平 面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一 列都具有正号。
2．某行第一列的系数等于零，而其余项中某些项不等于零的情况。在计算劳斯 表中各元素的数值时，如果某行的第一列的数值等于零，而其余的项中某些项不 等于零，那么可以用一有限小的数值 ε 来代替为零的那一项，然后按照通常方 法计算阵列中其余各项。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下面的系数符 号相反，表明这里有一个符号变化。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下 面的系数符号相同，则有一对共轭虚根存在，系统也属不稳定。
3.2.1、时域分析方法：
所谓时域分析法，就是通过求解控制系统的时间响应，来分析系统的稳定性、快 速性和准确性。它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准 确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
自动控制系统暂态响应性能指标
暂态响应性能指标是以系统在单位阶跃输入作用下的衰减振荡过程（或称欠阻尼 振荡过程）为标准来定义的。系统在其它典型输入作用下定义的暂态响应性能指 标，均可以直接或间接求出与这一指标的关系。用来表述单位阶跃输入时暂态响 应的典型性能指标通常有：最大超调量、上升时间、峰值时间和调整时间。图 3.11 说明一个线性控制系统的典型单位阶跃响应。上述指标就是用系统阶跃响 应来定义的。
=
K
p (1 + Td s)
=
K
p
+
KDs
PD 有助于增加系统的稳定性.
PD 增加了一个零点 z = − K p ,提高了系统的阻尼,可改善暂态性能. KD
1．第一列所有系数均不为零的情况，这时，劳斯判据指出，系统极点实部为正 实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。系统极点全部在复平 面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一 列都具有正号。
2．某行第一列的系数等于零，而其余项中某些项不等于零的情况。在计算劳斯 表中各元素的数值时，如果某行的第一列的数值等于零，而其余的项中某些项不 等于零，那么可以用一有限小的数值 ε 来代替为零的那一项，然后按照通常方 法计算阵列中其余各项。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下面的系数符 号相反，表明这里有一个符号变化。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下 面的系数符号相同，则有一对共轭虚根存在，系统也属不稳定。
3.2.1、时域分析方法：
所谓时域分析法，就是通过求解控制系统的时间响应，来分析系统的稳定性、快 速性和准确性。它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准 确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
自动控制系统暂态响应性能指标
暂态响应性能指标是以系统在单位阶跃输入作用下的衰减振荡过程（或称欠阻尼 振荡过程）为标准来定义的。系统在其它典型输入作用下定义的暂态响应性能指 标，均可以直接或间接求出与这一指标的关系。用来表述单位阶跃输入时暂态响 应的典型性能指标通常有：最大超调量、上升时间、峰值时间和调整时间。图 3.11 说明一个线性控制系统的典型单位阶跃响应。上述指标就是用系统阶跃响 应来定义的。
=
K
p (1 + Td s)
=
K
p
+
KDs
PD 有助于增加系统的稳定性.
PD 增加了一个零点 z = − K p ,提高了系统的阻尼,可改善暂态性能. KD
第四章 时域分析法.
2. 斜坡函数（等速度函数）
定义：
r (t)
r(t)=
1 R(S)=L[r(t)]= 单位斜坡函数拉氏变换式为： S2 在实际系统中等同于一个随时间以恒定速度增长的作 用施加于系统（如跟踪通讯卫星的天线控制系统）。
r(t)
Rt 0
t 0 t<0
0
t
3. 抛物线函数（等加速度函数） R 1 2 2 Rt t 0 定义： r(t)= 2 0 t<0 0 1 t 1 单位加速度函数拉氏变换式为： R(S)=L[r(t)]= 3 S 在实际系统中等同于一个随时间以等加速度变化的作 用施加于系统（如宇宙飞船控制系统）。
2 n
• 对上式进行拉氏反变换， 得
c(t ) 1 e
即
n t
cos d t
2
1 2
e nt sin d t
4. 单位脉冲函数（冲击函数）
定义：
r(t)
r(t)= (t) = 0
∫
t=0 t0
0 t
(t)dt=1
单位脉冲函数拉氏变换式为：R(S)=L[(t)]=1
说明：单位脉冲函数只是数学上的概念
5. 正弦信号函数 定义： r(t)=ASint A 正弦函数的拉氏变换为： R(S)=L[r(t)]= S2+2
特点：
属于直接分析方法
能提供系统时间响应的全部信息 直观、准确 从数学角度：利用拉氏反变换法求出系统的输出量的 表达式，提供系统输出响应的全部信息。
不足 ：1）实际控制系统较复杂，高阶微分方程求解计算量大 仅通过微分方程不容易区分影响系统运动规律的主要因素和次要 因素 2）从工程角度：并非简单求取一个既定系统的运动， 而是需要选择系统中某些参数，甚至改变系统的结构以获取较好 的控制性能。 对时域分析法的要求：
第五章时域分析法
xn FFT 功率谱密度 IFFT
3. 应用
检测淹没在随机噪声中的周期信号。 检测信号的回声。
5.3 互相关函数
一、互相关函数 1、定义 1 T R xy ( ) x(t ) y (t )dt 2、性质 （1）某一函数与另一函数的相关程度。 可以估计信号通过系统的延迟时间。 （2）不是偶函数，也不对称。
Rxy ( ) Ryx ( )
T
0
0 处。 Rxy ( ) 的最大峰值一般均不在 （3 ）
（4） , Rxy ( ) mx m y
x y mx m y
Rxy
mx m y
0
举例：
x(t ) A0 sin( t ),
: 0 ~ 2
P [ x , x ] p( x ) lim x 0 x
5.2 相关分析
（研究变量之间的相互关系）
一、相关系数 两个随机变量x和y之间的线性相关程度。
xy
E[( x mx )( y my )]
x y
,
mx E[ x] my E[ y]
2 2 2 E [ x ] ( E [ x ]) x 2 2 2 E [ y ] ( E [ y ]) y
Rxx ( 0 ) x m
2 2 x
2 x
(4) 均值为零的随机函数
lim Rxx ( ) Rxx ( ) 0
lim Rxx ( ) Rxx ( ) m
2 x
均值不为零的随机函数
(5) 若x(t)是周期的，Rx ( ) 也是周期的。 (6) Rx (0) 最大
第三章 时域分析法
第三章 时域分析法时域分析就是根据控制系统的时间响应来分析系统的稳定性，暂态性能和稳态精度。
具有直观和准确的优点，尤其适用于低阶系统。
对控制系统的总要求是稳、准、快。
本章从系统的稳定性、稳态误差和暂态性能方面进行讨论。
§3-1 时域分析基础一、时域分析法的特点直接解出系统微分方程的时间响应（时域解），根据时间响应的解析式及其曲线图来分析系统的控制性能（稳定性、准确性、快速性等），并找出系统结构、参数与控制性能之间的关系。
时域分析法准确，保有系统响应的全部信息。
二、典型初始状态，典型外作用（典型输入信号）记时间响应为)(t c 。
1. 典型初始状态所谓典型初始状态，即规定控制系统的初始状态均为零状态。
也即当-=0t 时，有0)0()0()0(====--- c cc 。
2. 典型外作用①单位脉冲作用)(t δ：⎩⎨⎧≠=∞=0 ,00,)(t t t δ，⎰+-=001)(dt t δ其拉氏变换式为1)]([=t L δ②单位阶跃作用)(1t ：⎩⎨⎧≥<=0 ,10,0)(1t t t其拉氏变换式为st L 1)](1[=③单位斜坡作用)(1t t ⋅：（等速度函数）⎩⎨⎧≥<=⋅0 ,0,0)(1t t t t t其拉氏变换式为21)](1[s t t L =⋅ ④单位抛物作用)(1212t t ⋅：（等加速度函数）⎪⎩⎪⎨⎧≥<=⋅0 ,210 ,0)(12122t t t t t其拉氏变换式为321)](121[st t L =⋅ 上述各函数间的关系：⑤正弦作用)(1sin t t A ⋅ω：⎩⎨⎧≥<=⋅0 ,sin 0 ,0)(1sin t t A t t t A ωω其拉氏变换式为22)](1sin [ωωω+=⋅s A t t A L系统对不同频率的正弦函数的稳态响应称频率响应。
三、典型时间响应初始状态为零的系统，在典型外作用下的输出，称为典型时间响应。
时域分析法
16:19
一般的控制系统多数为高阶系统，但是它们有可 能在一定的条件下用二阶系统去近似。因此，对 于二阶系统的分析具有重要的实际意义。在系统 的分析与设计中，通常将二阶系统的响应特性作 为一种基准。
16:19
二阶系统传递函数的标准形式
某随动系统方块图
如图所示随动系统的微分方程式：
TM
d
2c t
/ TM
s2
n2 2ns
n2
3.4.4
其中 n为无阻尼自然振荡角频率(固有频率)； 称为阻尼比；
均为二阶系统的特征参数，是系统本身的固有特性。
16:19
二阶系统的特征方程
s2
2
ns
2 n
0
3.4.5
由上式解得二阶系统的二个特征根(即闭环极点)为：
s1,2 n jn 1 2 3.4.6
当0 1时，特征根为一对实部为
16:19
当-1< <0 ，特征根是位于右半平面的共轭复根，呈发散振荡 状态。如图3 .6(e)所示。
当 < -1，呈单调发散状态。如图3 .6(f)所示 P53图3.7表明了极点分布与n、 的关系图。
16:19
二阶系统的单位阶跃响应 1. 欠阻尼状态
令r t 1t，则有Rs 1
s
二阶系统在单位阶跃函数作用下输出：
16:19
3.1 线性定常系统的时间响应及 暂态响应性能指标
一、时间响应
线性系统的动态方程
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) L a1y&(t) a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) L b1x&(t) b0x(t)
经过拉氏变换得
时域分析法
动,试分析系统在x扰动下的特性。
解:
系统闭环传递函数：
r+ -
K
x
+
1
y
+
s(1+Ts)
Y(s)
1
G( s ) X ( s ) Ts2 s K
K
1
T
K s2 1 s K
TT
1 K
s2
n2 2ns n2
其中 2
1 KT
n
K T
y( t )
1
1
K
1 1 2
e n t
sin( d t
,m
n
写成零极点形式： m
kg (s zi )
(s) n1
i 1 n2
, n1 2n2 n, m n
(s p j ) (s2 2 l nl s nl 2 )
j 1
l 1
其单位阶跃响应函数为：
C(s)
(s) 1 s
a0 s
n1 j1
aj s pj
n2 l 1
l (s lnl ) lnl 1 l 2 s2 2 l nl s nl 2
第三章 时域分析法
主要内容： 1. 控制系统的时间响应 2. 误差分析和计算 3. 稳定性分析（劳斯判据）
系统分析：对控制系统的稳定性、误差和动态 特性等方面的指标进行分析，即分析系统的稳 定性、准确性和快速性。
dny
d n1 y
dy
dmx
d m1 x
dx
an dt n an1 dt n1 L a1 dt a0 y bm dt m bm1 dt m1 L b1 dt b0 x
——相角
极点的虚部决定系统的震荡频率：
解:
系统闭环传递函数：
r+ -
K
x
+
1
y
+
s(1+Ts)
Y(s)
1
G( s ) X ( s ) Ts2 s K
K
1
T
K s2 1 s K
TT
1 K
s2
n2 2ns n2
其中 2
1 KT
n
K T
y( t )
1
1
K
1 1 2
e n t
sin( d t
,m
n
写成零极点形式： m
kg (s zi )
(s) n1
i 1 n2
, n1 2n2 n, m n
(s p j ) (s2 2 l nl s nl 2 )
j 1
l 1
其单位阶跃响应函数为：
C(s)
(s) 1 s
a0 s
n1 j1
aj s pj
n2 l 1
l (s lnl ) lnl 1 l 2 s2 2 l nl s nl 2
第三章 时域分析法
主要内容： 1. 控制系统的时间响应 2. 误差分析和计算 3. 稳定性分析（劳斯判据）
系统分析：对控制系统的稳定性、误差和动态 特性等方面的指标进行分析，即分析系统的稳 定性、准确性和快速性。
dny
d n1 y
dy
dmx
d m1 x
dx
an dt n an1 dt n1 L a1 dt a0 y bm dt m bm1 dt m1 L b1 dt b0 x
——相角
极点的虚部决定系统的震荡频率：
时域分析法
时域分析法是控制系统性能分析的一种重要方法，它直接从传递函数出发，在时间域上研究系统的性能。该方法具有结果直接全面的优点，但同时也存在计算量大的缺点。时域分析法是其他分析法如频率法和根轨迹法的基础，用这些方法综合的系统最终也需要用时域分析法进行验证。在时域分析中，我们关注系统的时域响应，包括零状态响应、零输入响应以及暂态响应和稳态响应。为了评估系统性能，我们引入了一系列性能指标，如上升时间、峰值时间、超调量和调节时间等，它们分别反映了系统的快速性、稳定性和准确性。此外，文档还介绍了二阶系统的分析方法，因为二阶系统的暂态性能对于高阶系统具有一定的代表性。然而，需要注意的是，尽管文档内容详尽，但并未明
时域分析法
内所需时间 5) 振荡周期
tc ——两个峰值间的时间
6) 稳态误差:响应的稳态值与希望的给定值之 间的偏差
ess yr y
（二）单调变化
单调变化响应曲线如图所示： 这种系统只用调节时间 ts 来表示快速性。
y
y()
y() 2
tr
td
ts
0.05 y() 或 0.02 y()
t
tr、tp表征系统响应初始阶段的快慢; ts表示系统过渡过程持续的时间,从总体上
X (s) E(s) k Y(s)
-
s
其闭环传递函数为： G(s) Y (s) 1
X (s) Ts 1
T1 k
称为时间常数。
其传递函数的特征方程Ts+1=0是 s的一次方程。
第二节 一阶系统的时域分析
输入 传递函数 输出
阶跃响应
X (s) 1 s
G(s) 1 Ts 1
Y (s)
G(s) X
尼状态
二阶系统的单位阶跃响应
1）01 欠阻尼情况-----衰减振荡
Y (s)
ss2ຫໍສະໝຸດ n2 2 n sn2
1 s
s
2
s 2n 2ns
n
2
1
s n
n
s s n 2 (n 1 2 )2 s n 2 (n 1 2 )2
1 s
s
s n
n 2 d 2
s
n
n 2
d 2
d n 1 2 ----有阻尼自然振荡频率
y(t) L1 Y (s) 1
1
1
2
e nt
sin dt
包络线方程:
tg1 1 2 --初相角
y(t) 1 1 ent
tc ——两个峰值间的时间
6) 稳态误差:响应的稳态值与希望的给定值之 间的偏差
ess yr y
（二）单调变化
单调变化响应曲线如图所示： 这种系统只用调节时间 ts 来表示快速性。
y
y()
y() 2
tr
td
ts
0.05 y() 或 0.02 y()
t
tr、tp表征系统响应初始阶段的快慢; ts表示系统过渡过程持续的时间,从总体上
X (s) E(s) k Y(s)
-
s
其闭环传递函数为： G(s) Y (s) 1
X (s) Ts 1
T1 k
称为时间常数。
其传递函数的特征方程Ts+1=0是 s的一次方程。
第二节 一阶系统的时域分析
输入 传递函数 输出
阶跃响应
X (s) 1 s
G(s) 1 Ts 1
Y (s)
G(s) X
尼状态
二阶系统的单位阶跃响应
1）01 欠阻尼情况-----衰减振荡
Y (s)
ss2ຫໍສະໝຸດ n2 2 n sn2
1 s
s
2
s 2n 2ns
n
2
1
s n
n
s s n 2 (n 1 2 )2 s n 2 (n 1 2 )2
1 s
s
s n
n 2 d 2
s
n
n 2
d 2
d n 1 2 ----有阻尼自然振荡频率
y(t) L1 Y (s) 1
1
1
2
e nt
sin dt
包络线方程:
tg1 1 2 --初相角
y(t) 1 1 ent
第三章 时域分析法
第三章时域分析法3-1 引言前一章中已经叙述过，分析控制系统的第一步是建立物理(实际)系统的数学模型。
一旦系统的数学模型建立起来，就可以采用各种不同的分析方法去分析系统的特性。
如对于线性定常系统，常用的工程方法就是时域分析法、根轨迹法和频率法。
本章讨论时域分析法。
控制系统的动态性能，可以通过在输入信号作用下系统的过渡过程来评价。
系统的过渡过程不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。
一般情况下，由于控制系统的外加输入信号具有随机的性质而无法预先知道，而且其瞬时函数关系往往又不能以解析形式来表达。
例如火炮控制系统在其跟踪敌机的过程中，由于敌机可以作任意的机动飞行，以致其飞行规律事先无法确定，因此火炮控制系统的输入为一随机信号。
只有在某些特殊情况下，控制系统的输入信号才是确知的。
因此，在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种控制系统的性能进行比较的基础，这种基础就是预先规定一些具有特殊型式的试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的反应。
在控制工程中，常常采用的典型试验信号有阶跃函数、斜坡(速度)函数和脉冲函数等，如图3-1所示。
因为这些信号都是很简单的时间函数，利用这些试验信号，可以容易地对控制系统进行数学和实验的分析。
分析系统特性究竟采用哪一种或哪几种典型输入信号，取决于系统在正常工作情况下，最常见的输入信号形式。
如果控制系统的输入量是随时间逐渐加强的函数，则用斜坡函数是比较合适的。
同样，如果系统的输入信号是突然加入的作用量，则可采用阶跃函数信号；而当系统的输入信号是冲击输入量时，则采用脉冲函数较为合适。
一旦控制系统在试验信号的基础上设计出来后，那么系统对实际输入信号的响应特性，通常也能够满足要求。
利用这些试验信号，人们就能够在同一基础上去比较不同系统的性能。
在这一章中，将讨论系统在非周期信号(阶跃、斜坡和脉冲函数)作用下的响应，如图3-2所示。
关于用正弦试验信号对系统进行分析的问题，将在第五章中进行研究。
时域分析法
r(t) r(t)
C(t)
(a)外加扰动
C(t) C(t)
(b)稳定
(c)不稳定 注意：仅适用于线性定常系统
3.1.2线性系统稳定的充要条件
稳定的条件
系统初始条件为零时，受到δ( t)的作用，输出 c(t ) 为 单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏 离平衡点的问题，当t→∞时，
若 若 若
1 2 1 ε 0
5 6 7 7
7
(6-14)/1= (6－4)/2=1-8 (10-6)/2=2
劳斯表特点
1 右移一位降两阶
2 行列式第一列不动第二列右移
2
3 次对角线减主对角线
4 分母总是上一行第一个元素 5 第一列出现零元素时，用正无 穷小量ε代替。 6 一行可同乘以或同除以某正数
劳斯阵列
设系统的特征方程为 D(s) a0 sn a1sn1 a2 s n2 ... an1s an 0 第一列符号改变的次数等于特征方程正实部根的个数
1 2
sin 2t )
e 2t 2e t sin(2t 45)
设n阶系统表达式为
若全部特征根有负实部，则 b C ( s) b sm +
s m-1 + ...+ b1 s + b0 m-1 Φ( s )lim c (t ) 0m n = = （渐近）稳定 an s + an-1 s n-1 + ...+ a1 s + a0 t R( s )
s5
劳 斯 表
1
2 >0 8
0
0 0 -2
-1
-2
(6－4)/2=1 4-2=0 2s
s4
C(t)
(a)外加扰动
C(t) C(t)
(b)稳定
(c)不稳定 注意：仅适用于线性定常系统
3.1.2线性系统稳定的充要条件
稳定的条件
系统初始条件为零时，受到δ( t)的作用，输出 c(t ) 为 单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏 离平衡点的问题，当t→∞时，
若 若 若
1 2 1 ε 0
5 6 7 7
7
(6-14)/1= (6－4)/2=1-8 (10-6)/2=2
劳斯表特点
1 右移一位降两阶
2 行列式第一列不动第二列右移
2
3 次对角线减主对角线
4 分母总是上一行第一个元素 5 第一列出现零元素时，用正无 穷小量ε代替。 6 一行可同乘以或同除以某正数
劳斯阵列
设系统的特征方程为 D(s) a0 sn a1sn1 a2 s n2 ... an1s an 0 第一列符号改变的次数等于特征方程正实部根的个数
1 2
sin 2t )
e 2t 2e t sin(2t 45)
设n阶系统表达式为
若全部特征根有负实部，则 b C ( s) b sm +
s m-1 + ...+ b1 s + b0 m-1 Φ( s )lim c (t ) 0m n = = （渐近）稳定 an s + an-1 s n-1 + ...+ a1 s + a0 t R( s )
s5
劳 斯 表
1
2 >0 8
0
0 0 -2
-1
-2
(6－4)/2=1 4-2=0 2s
s4
第三章时域分析法
第三章 时域分析法
线性定常系统时间响应的性质 ➢ 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量 共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。 ➢ 注意到：
(t) d 1(t)
dt
1(t) d t
dt
第三章 时域分析法
对一阶系统：
xo
(t )
1 T
t
eT
t
xo1(t) 1 e T
t
➢ 一阶系统单位速度响应的特点 xo (t) t T Te T , t 0
瞬态响应：T e – t /T ；
稳态响应：t – T；
xo(t) xi(t)
经过足够长的时间(稳态时，
如t 4Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，输出增长速率近似
与输入相同，此时输出为：t
– T，即输出相对于输入滞后
时间T；
0
T e()=T xo(t)=t-T+Te-t/T
t0
其中，d n 1 2
arctg 1 2 arccos
第三章 时域分析法
2
1.8
=0.2
1.6
=0.4
1.4
=0.6
1.2
=0.8
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
tp 5 t
10
15
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
第三章 时域分析法
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点 ✓ xo() = 1，无稳态误差； ✓ 瞬态分量为振幅等于 e nt 1 2 的阻尼
二阶系统的特征方程：
s2 2ns n2 0
极点（特征根）： p1,2 n n 2 1 ➢ 过阻尼二阶系统： > 1
具有两个不相等的负实数极点：
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从图 1—23 可以看出，信号的时域和频域描述是从不同的领域来 说明同一个信号。周期方波在时域可分解成许多不同频率和幅值的奇 次谐波，而在频域则表达了这些谐波的幅值与初始相位角随频率的变 化情况。（俯视为初始相位角）
实际上，各种幅域参数本质上是取决于随机信号的概率密度函数。 随机信号的概率密度函数表示幅值 x(t) 落在某一个指定范围内的概 率大小，随机信号的幅值取值的概率是有一定规律的，即对于同一过 程的多次观测中，信号中各幅值出现的频次将趋于确定的值。
p(x) 表示幅值落在小区间 (x, x x) 上的概率与区间长度之比，因 此称为幅值概率密度函数。
Xp＝
X (t)man
测试过程中如能充分估计峰值的大小，将便于确定测试仪器的动 态工作范围。若对峰值估计不足，可导致削波失真，甚至仪器被损坏。 信号的峰值也有它的自身作用，如在进行机械结构的强度或安全设计 时，就需要了解负荷的最大瞬时值。
峰值不能完全反映信号在整个时间过程中的状况。 2．均值 μ x 各态历经的平稳随机信号的均值是样本函数 x(t) 在整个时间坐标 上的积分平均即
式中，总是重点考虑较多出现的应力所造成的疲劳问题，所以它成为 产品设计的必要依据。
测试信号的频率域分析 在动态测试技术中往往需要将时间域信号变换列频率域上加以 分析，从频率角度来反映和揭示信号的变化规律，这种频率分析的方 法又称为频谱分析法。常用的频谱分析法有频率分析相功率谱分析两 种。 信号的时域分析 时域分析的主要特点是针对信号的时间顺序，即数据产生的先后 顺序。而在幅域分析中，虽然各种幅域参数可用样本时间波形来计算， 但忽略了时间顺序的影响，因而数据的任意排列所计算的结果是一样 的，在时域中提取信号特征的主要方法有相关分析和时序分析。 一、时域波形分析 常用工程信号都是时域波形的形式．时域波形有直观、易于理解 等持点。由于是最原始的信号，所以也含的信息量大，但缺点是不太 容易看出所包含信息与故障的联系 而对于某些故障信号，其波形具 有明显的特征，这时可以利用时域波形所作出初步判断。例如对于旋 转机械、其不平衡故障较严重时，信号中有明显的以旋转频率为持征 的周期成分；而转轴不对中时，信号在一个周期内，旋转频率的 2 倍 频成分明显加大，即一周波动 2 次。 而当故障轻微或信号中混有较大干扰噪声时，载有故障信息的波 形持征就会被掩没。为了提高信号的质量，往往要对信号进行预处理，
消除或减少噪声及干扰。
信号的频率分析 信号的频率分析是把一个复杂信号分解成某种类型的多个基本 信号之和，所采用的基本信号应是一些易于实现、分析和处理的信号， 最常用的基本信号是正(余)弦信号一谐波信号．每个正(余)弦信号的 频率是唯一的和确定的，它可表征某一个“频率成分”。所以，把一 个复杂信号分解成多个频率不同的正(余)弦信号之和，即认为在这个 复杂信号中就有多少个频率成分。一个信号从时域描述转换为频域描 述，其数学方法是傅里叶分析法。值得指出的是：上述的分析方法在 信号分析中并不是唯一的。 任何周期信号都可由一个或几个乃至无穷多个不同频率的谐波 叠加而成。以圆频率 n0 为横坐标，以各次谐波的振幅 An 和谐波的初 始相位角n 为纵坐标进行作图．称为频谱图。其中 A n0 图形称为幅 值频谱图：n n 图形称为相位频谱图。通过傅里叶级数、频谱函数 及其表达图形—频谱图。可以一目了然地知道周期信号是由哪些频率 成分组成的，各频率成分的幅值和初始相位角是多大。各次谐波的幅 值在周期信号中所占的比例。这些统称为周期信号的频域描述。
实际测量所获得的信号一般都是时域信号，为了进一步获得便于 分析的特征信息，往往需要将时域信号变换到其他分析域进行分析， 如幅值域(均值、方差、均方差、概率密度函数和分布函数等)、时延
域(自相关函数、互相关函数)、频域(频谱函数、互谱函数、频响函 数和相干函数等)以及倒频域(倒频谱等)。
1．时域波形诊断法对开、停机过程的诊断 利用时域波形诊断法对机械设备在开机和停机过程中的振动曲 线形状进行分析，可以对 相应的故障进行评判。 例 4．2 对多台离心式空气压缩机的开机过程进行测量，测到 的振幅 A 随时间 t 变化的几种波形如图 4—9 所示，试用时域波形诊 断法对可能的故障进行分析。
解： 图 4—9(a)中振幅不随开机过程而变化，说明可能是其它设备或 地基引起振动．也可能是流体压力脉动或阀门振动引起的； 。 图 4—9(b)中振幅随开机过程而增大，则可能是转子动平衡不好， 也可能是轴承座和基础刚度小．另外也可能是推力轴承损坏等； 图 4—9(c)在开机过程中振幅出现峰值，这大多是共振引起的， 包括箱体、支座、基础共振的情况； 图 4—9(d)是振幅在开机过程中振幅某时刻突然增大，这可能是 油膜振动引起的，也可能是间隙过小或过盈不足引起的。大型回转机
连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。若独立变量和 幅值均取连续值的信号称为模拟信号。若离散信号的幅值也是离散 的，则称为数字信号。
信号时域描述直观地反映出信号瞬时值随时间变化的情况；频域 描述则反映信号的频率组成及其幅值、相角之大小。为了解决不同问 题，往往需要掌握信号不同方面的特征，因而可采用不同的描述方式。 例如，评定机器振动烈度，需用振动速度的均方根值来作为判据。若 速度信号采用时域描述，就能很快求得均方根值，而在寻找振源时， 需要掌握振动信号的频率分量，这就需采用频域描述。实际上，两种 描述方法能相互转换，而且包含同样的信息量。
离程度，反映被测信号 x(t) 的波动分量，若方差值小，则说明测试数
据向均值附近的密集程度高，反之．数据就较分散。它是 x(t) 偏离均
值 μ x 平方的均值。表示为
方差的正平方根值称为标准差 2 。是随机信号数据分析的重要参 数之一。
4．均方值
2 x
均方值
2 x
是信号
x(t
)
平方的均值．即
械一般是靠油膜支承转子，转子达到某一转速后振动就可能突然增 大，当转速再上升时，振幅也不下降，这就是油膜振动。若间隙过小， 则当温度或离心力等引起的变形达到一定值时会引起碰撞，从而也使 振幅突然增大。
2．时域波形诊断法对机械松动的诊断 时域波形诊断法还可对零件的松动进行诊断。这时，是对机械设 备在正常运转时进行数据测量。 图 4—10 是利用时域波形诊断法对风机的检测数据，从图中可以 看出，风机的振动不稳定，振幅是随时间变化的，这说明振动系统是 时变系统，其原因是由于风机叶轮套装过盈不足导致旋转时松动，因 而振动不稳定。
歪度 。反映 p(x) 对于纵坐标的不对称性，如果不对称越严重， 则 越大。峭度 对大幅值非常敏感，当其概率增加时， 值将迅速 增大，这对探测信号中含有脉冲性的故障比较有效，一般来说，随着 故障的发生和发展，均方根值 X rms 、方根幅值 X 、绝对平均幅值 X 以 及峭度 β 均会逐渐增大。
实际应用时，由于信号的均值反映其静态部分，对故障诊断意义 不大，然而却对计算上述参数有很大影响，因此在计算时应从原始数 据中扣除其均值，即做零均值处理．以突出对故障诊断有用的动态信 号部分。
3) 频率域分析法是以频率为自变量来研究信号的幅值、相位和能
量等的分布，可得到相应的幅值谱、相位谱、能量谱以及功率谱等， 故又称为频率分析。通过对信号的频率分析，可以从另一方面提供更 为丰富的信息，它是动态信号分析的重要方法。
3．互相关函数 对于两个信号 x(t) 和 y(t) 之间在不同时刻的相关性(或相似性)，可 用互相关函数来描述。
测试信号的幅值域分析 测试信号的幅值域分析是用来研究信号中不同强度幅值的分布情 况，由于信号幅值具有随机性，通常用概率密度函数来描述。它在研
究机械零、部件的疲劳强度和机械构件的工作可靠性方面起着重要的 作用。
Hale Waihona Puke 均方根值反映信号的能量大小，反映信号的平均功率大小，即用
以描述被测信号的强度(功率或能量）。
对于周期信号，其均方值
2 x
可表示为
均方值的正平方根值称为均方根值，用 xrms 表示。 均值、方差和均方值间的相互关系为
2 x
＝
2 x
一
μ
2 x
当
μ
x
＝0
时，
2 x
＝
2 x
。
信号的相关分析 相关分析是利用相关系数或相关函数来描述两个信号间的相互关 系或其相似程度、还可以用来描述同一信号的现在值与过去值的关 系．或者根据过去值、现在值来估计未来值。相关分析也为噪声背景
下提取有用信息提供了可靠的途径。 1．相关和相关系数
所渭相关是指两个变量之间的相互关系，它有两种形式；一种是 线性相关，指两个变量之间可用线性方程来描述，另一种是非线性相 关，指两个变量之间需用非线性方程来描述。
2．自相关函数 自相关函数是在延时域 内研究一个随机信号在不同时刻之间是 否存在关联。
其物理意义是表达这一随机信号变化的中心趋势，或称为直流分 量。其估计值表示为 ˆ x
应使 ˆ x 足够精确地逼近真正的 μ x 。对于周期信号，其均值的计 算仅取一个周期长度 T 作积分平均，即可完全反映整个周期信号的均
值。
3．方差
2 x
方差
2 x
描述随机信号在其均值附近的分布情况，也表示数据的分
在测试工作中，若以一个数轴代表时间，而另一个数轴代表某种
物理量的幅值变化，称它为时间历程或时域描述。如前所述，所谓信
号的时域分析就是求取信号在时域中的特征参数(如峰值、均值、方
差、均方值等)及信号波形在不同时刻的相似性相关联性(如自相关函
数、互相关函数)。
信号的时域分析：
1．峰值 X p
峰值 X p 即信号的最大瞬时值，表示为
时域信号分析 通常以三个变量域来描述信号，即时间域(简称时域，含时延域)、 频率域(简称频域)、幅值域(简称幅域)。 利用时域指标进行诊断的原理： 当振动特征较为明显的设备(如齿轮、轴承、柴油机等)出现故障 时，在振动的时域上，会表现为其各指标值的增大(或减小)，这样， 通过与标准时域指标的对比，即可对设备的大致运行状况进行评估。 利用时域指标进行诊断，只能对设备进行定性诊断，即指出该设 备有无故障；而对故障的定位则较为困难，即很难指出该设备什么部 位出了故障。 1) 时域分析法包括求取信号的特征值，对信号作相关分析，以了 解信号自身或不同信号间的相似程度或关联性。直接观测或记录的信 号一般是随时间变化的物理量，即以时间作为独立变量，称为信号的 时域描述。时域描述是信号最直接的描述方法，它只能反映信号的幅 值随时间变化的特征。由于实际信号比较复杂，直接用时域描述来揭 示信号的频率结构和各频率成分的幅值(或能量)大小是很困难的，例 如在机械工程中，大量的有用信息一振动，噪声等均与频率有关，所 以在动态测试技术中广泛运用信号的频域描述，以揭示信号内各频率 成分的幅值、相位与频率的对应关系，或者是信号能量沿频率域的分 布规律，这对研究诸如被测对象的振动特性、振型和动力反应等问题 是十分重要的。一个信号从时域描述转换为频域描述的数学方法是傅 里叶分析法。