级数审敛法小结
11-2正项级数及其审敛法
(方法 比较法 un 方法2) 方法
−n−( −1)n =2
≤ 2−n ⋅ 2 =
1 2n−1
(n ≥ 1)
Q ∑
. 收敛，∴ 原级数收敛 收敛， n−1 n=1 2
∞
1
注 对于∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
, 比值法失效！ 比值法失效！
2, n偶数 −1+2(−1)n = 1 =2 ， n奇数 8
但 p > 1, 级数收敛 ; p ≤ 1, 级数发散 .
判别下列级数的收敛性: 例11 判别下列级数的收敛性 ∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
.
方法1) 方法 解 (方法 根值法
(−1)n −1− n Q lim n un = lim 2 n→∞ n→∞
. = 2−1< 1 ∴ 原级数收敛
−n ⋅ 2( −1)n+1 =2
n=1 n=1 ∞ ∞
(c ≠ 0) 同敛散 同敛散.
(ⅰ) 若 ⅰ 则 (ⅱ) 若 ⅱ 则
收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 .
c
(n ≥ N ),
c
(n ≥ N ),
比较法的使用思路： 比较法的使用思路： 欲证收敛(发散 ，则放大(缩小 缩小) 欲证收敛 发散)，则放大 缩小 发散
2 . 的敛散性 例2 判断正项级数 ∑ n=1 n(n + 1)
n
3d x
o
1 2 n −1 n
= 1+ ∫
n
1
1 1 1 1 d x= 1+ (1 − p−1 ) < 1 + (n = 2,3,L) p p −1 p −1 x n
级数收敛. 级数收敛 p -级数部分和 n有上界， 级数部分和 级数部分和S 有上界， 故当p > 1时, p -级数收敛 时
(整理)常数项级数的审敛法
n 1n 1§ 11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数： U n U n 0⑴n 1显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2Sn . s n1.收敛准则定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界.n 1n例1判别正项级数亠的收敛性定理2设 U n 和V n 都是正项级数，且U n V . (nn 1n 1则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散.n 1 n 1 分析: V nn 1，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2,),即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。
反之，设n 1U n 发散，则n 1V n n 1必发散.因为若V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾n 11解「sin 2 22221 1 I 2n1 1 22Sin 2n1 1 1 2n2 222n1有上界 级数收敛1,2,).若 V n 收敛,n 12.比较审敛法推论 设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使n 1n 1kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n Nn 1n 1分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.注：比较审敛法的：必须有参考级数。
常用：几何级数， p —级数(调级数)例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散.n 1例2讨论p —级数⑵的收敛性，其中常数p>0.1，当n则書n时,1丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n有1 n pIn 1n p2dxx(nn p 1n 2,3,考虑级数(n 1) 级数(3)的部分和sn1 2卩11 3p 11 =1 1(n 1)p1 = (n 1)p 1因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛.总之：p —级数(2)当p 1时发散，当p>1时收敛.(1).n n 121 n 5n 2U nn12 2^2n 5n 2n 8n丄发散，原级数发散 n 1 n(2).1 . 1 sin — n〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛3. 比较审敛法的极限形式定理3设 u n 和n 1V n 都是正项级数,n 10 或 lim 土nV n例4判别下列级数的敛散性.4. 比值审敛法能发散.（证略，可参考教材） 例5判别下列级数的敛散性:(1)3 n n lim U n 1 - 1,级数收敛n 13n U n 3⑵n!nlim U n 1 lim n 1 级数发散n 1 2n U nn 2⑶n 1 nxn 1x 0lim U n 1 x0 x 1收敛,x 1 发散x 1发散n U n5.根值审敛法----柯西判别法(1)如果 lim unnV n(0 I）,且级数V n 收敛，则级数 U n 收敛;n 1n 11(1) si nn 1 n.1 sinlim n n 10,丄发散 原级数发散n 1 n⑵ 2nta nn 13li mn1 2ntan]3nn2 3n2收敛收敛3，且级数 V n 发散，则级数 U n 发散n 1n 1(2)如果 limU nnV n 定理4设 u n 为正项级数，如果n 1lim 山 nU n则当1级数收敛;U n 11 (或 limnU n）时级数发散； 1时级数可能收敛也可例7判别下列级数的敛散性二、交错级数及其审敛法)；(2) limu n 0,n则级数收敛，且其和S U 1,其余项r n 的绝对值r交错级数：U 1 U 2 U 3U 4(4)U 1 U 2 U 3U 4,其中U i ,u都是正数.定理7（莱布尼兹定理）如累交错级数(1)n1U n 满足条件:n 1定理5设 U n 为正项级数，如果lim n U nn 1n,则当 1时级数收敛， 1（或Hm nU n）时级数发散， 例6判别下列级数的敛散性1时级数可能收敛也可能发散.（证略，可参考教材）nU n n11Zn-0(nnn）1,级数收敛—5‘n imn ,n 31,级数发散6根限审敛法（与p —级数作比较）定理6设 u n 为正项级数,n 1(1)如果 lim nu n l 0 或 lim nu nnn，则 U n 发散;n 1⑶如果p 1,而limn p u nl 0nU n 收敛。
第十一章 第2节常数项级数审敛法
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
常数项级数的审敛法
23
证明
假设级数
1
收敛，
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数，即un ≥0(n=1, 2, …) ，则称此级数为 正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数，且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗？若收敛，是条件收敛还是绝
对收敛？ n1
n
再考虑每项取绝对值，得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知，该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性：
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)
一、正项级数及其审敛法
1
解 因为 lim n 2 a 2 1 ( 即 = 1 为常数 )
n
1
n
又
1 是调和级数, 它是发散的,
n1 n
故
原级数
n1
1 n2 a2
发散.
例5
判别级 1!2 数 ! n!的敛.散性
n1 (2n)!
解 un1!2(!2 n )!n!n (2 (n n)!!)
当 0 a 1 时 ,n l in 1 m a a n 2 n n l in 1 m a a 2 n a 1 ,
1n
当a1时 , nl i m n1aan2n
nl i m n1aa12n
11, a
故 a0且 a1时 ,原级.数收敛
第二节 正项级数及其审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、小结 思考题
常数项级数都有哪些形式呢？
常数项级数有下 面几种形式。
常数项级数
正项级数
任意项级数 交错级数 一般项级数
1.正项级数的定义
定义 若级数 u n 满足
n 1
0 (n1 ,2, ),
则称之为正项级数.
实质上应是非负项级数
n 1
1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有 01 1 , n np
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故p1时, P级数是发 . 散的
当 p >1 时, 按 1, 2, 22, 23, …, 2n, …项 对 P 级数加括号, 不影响其敛散性：
n 1 n 1 p 1 2 1 p 3 1 p 4 1 p 5 1 p 7 1 p
无穷级数审敛法汇总(一)
无穷级数审敛法汇总（一）\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,n>m>N 时\Big|\sum_{k=m+1}^na_k\Big|=|a_{m+1}+\cdots+a_n|<\varepsilon 。
证：\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,n>m>N 时,\exists \ a,\Big|\sum_{k=1}^m a_k-a\Big|<\frac{\varepsilon}{2},\Big|\sum_{k=1}^n a_k-a\Big|<\frac{\varepsilon}{2}\implies\Big|\sum_{k=m+1}^na_k\Big|=|a_{m+1}+\cdots+a_n|=\Big|\sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=1}^m a_k\Big|\leq\Big|\sum_{k=1}^n a_k\Big|+\Big|\sum_{k=1}^ma_k\Big|<\varepsilon.\qquad \qquad \square二.比较判别法（正项级数）正项级数 \sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n ,若 \exists N\in \mathbb{N},c_1>0,c_2>0, 且n>N,c_1a_n\leq c_2b_n ，则\sum_{n=1}^\infty b_n 收敛 \implies\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛； \sum_{n=1}^\infty a_n 发散\implies\sum_{n=1}^\infty b_n 发散。
一般级数的审敛法
1 单减, 在 (1,+) 上单增, 即 x ln x 1 故 当 n 1 时单减, n ln n
1 1 un un+1 ( n 1), n ln n ( n + 1) ln( n + 1)
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
定理 如果任意项级数
n 1
则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的 和数. 注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛 也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛 级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何 事先指定的数.如： 1 1 1 1 1 n +1 1 ( 1) 1 + + + A n 2 3 4 5 6 n 1 1 1 1 1 1 3 n+1 1 ( 1) 1+ + + + A n 3 2 5 7 4 2 n 1
lim u2 n+1 0,
n
lim s2 n s u1 .
lim s2 n+1 lim( s2 n + u2 n+1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un+1 un+ 2 + L),
rn un+1 un+ 2 + L,
n 1 n 1 n 1
sin n 例 3 判别级数 2 的收敛性. n 1 n
解
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数收敛.
正项级数及其审敛法
n
n
∴ 原级数发散.
(2)
lni mn2
n2 1 n1
∴ 原级数收敛.
3、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
通 项 an和bn均 为 n时 的 无. 穷 小
(1) 当an 为bn 的同阶或高阶无穷, 小时
由bn 收敛可推出an 收敛.
n1
n1
(2) 当an 为bn 的同阶或低阶无穷 , 小时
n 1
1,
而 1发散,
n1n
∴ 原级数发散.
n
1
(2)
lim
n
n2
n 1
1
ln im n2
n2 n1
1,
n2
而
1
n1n2
收敛,
∴ 原级数收敛.
1
(3)
lim
n
4n
1
3n
4n
lim
n
1
1
3 4
n
1,
而
1
n14n
收
敛,
∴原级数收敛.
推论(比较审敛法 2)：
设 级 数
n 1
an为 正 项 级 数 ，(1)若
n1
若极 ln i m na 限 n有确,定 则意 有义
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般nn项 ,an等 ln 中 i m nan 含 易有 求 级的 数 常用根. 值审敛法
例:1)判
定
级 1数 的 n1nn
n1
思 路 ： 构 造 一 个 单 调 递 减 函 数 f(x)， 使 得 f(n)an
正项项级数的审敛法
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
(1)若对一切n > N0,成立不等式
正项级数审敛法的比较与应用
正项级数审敛法的比较与应用1.引言正项级数作为数学分析中重要内容之一是我们必须要掌握的知识。
因其有着几百年发展的历史，正项级数理论也已经很成熟。
我们在课本中已经学习了很多种判断正项级数敛散性的法方法，但在具体的解题过程时往往不知道该选用哪种判断方法较为适宜。
也就是说，不同的正项级数敛散性判断方法都有其局限性，每个正项级数定理运用在不同的题目上时会有其优缺点。
那么我们在解决具体正项级数敛散性题目时到底该选用哪种方法合适呢？这是本文所讨论的。
2正项级数的相关概念2.1定义如果级数u n的各项都是非负实数，即x n>0,n=1,2⋯则称此级数为正项级数。
1. 1.2正项级数的收敛原理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
若正项级数的部分和数列无上届，则其必发散到+∞。
2.2正项级数收敛判定定理2. 2.1比较判别法2.1.1比较判别法定理设u n和v n是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有u n≤v n,若级数u n收敛，则级数v n收敛若级数u n发散，则级数v n发散2.1.2比较判别法的应用例1判断1的收敛性n2+2n+2解因为1 2<12而由级数的柯西准则可知1n中 u m+1+u m+2+⋯+u m+p=1(m+1)2+1(m+2)2+⋯+1(m+p)2<1m m+1+1m+1m+2+⋯+1m+p−1m+p<1/m因此，对任给正数ε，取N=[1ε],使当m>N及对任意正整数p,由上式有u m+1+u m+2+⋯+u m+p<1<ε则级数1n是收敛的。
所以由比较法可知1n+2n+2是收敛的。
2.1.3小结在运用比较判别法判断正向级数收敛时，可考虑运用p级数收敛与发散的结论来简化证明。
即1n p ,当0<p≤1时，1n p发散；当p>1时，1n p收敛。
2.1.4比较判别法推论设u1+u2+⋯+u n+⋯,（1）v1+v2+⋯+v n+⋯,（2）是两个正项级数，若lim n→∞u nv n=l,当0<l<+∞时，级数（1）、（2）同时收敛或同时发散;当l=0且级数收敛时（2）收敛时，级数（1）也收敛；当l=∞且级数（2）发散时，级数（1）也发散。
数项级数敛散性判别方法
华北水利水电大学课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结）专业班级:水利港航39班成员组成:丁哲祥 201203901联系方式:2012.05.23数项级数敛散性判别法（总结）摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。
本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。
我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。
以便我们更好的掌握它。
关键词：数项级数敛散性判别方法总结Several series gatheredof the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod.Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary一. 数项级数的定义 ：● 数项级数的定义设{a n }是一个数列，则称表达式a 1+a 2+a 3+…a n +… 为（常数项）无穷级数，简称数项级数或级数，记为∑∞=1n n a 或∑n a 称a n 为级数的通项或一般项。
一、交错级数及其审敛法最全版
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
yrty
2
例2
n 1 判定级数 (1) n 1
n 2n
的敛散性.
解 这也是一个交错级数,且 如何比较大小？
(1)un n n 1 , u ,则 n 1 n n 1 2 2 n n 1 n 1 n1 n1 0,(n 1, 2,3, ), n 2 2 2
为什么？
un un1
(2) lim un lim
n
n 0, n 2n
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
yrty
3
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级 数.
u n 收敛，则称级数 定义：对于 u n 级数，若 n 1 u n 发散，但本身 u n 收敛，则称 绝对收敛；如果 n 1
(1)un un 1 ( n 1, 2, 3,
n 1
); (2) lim un 0
n
则级数 (1)n1un 收敛，且其和S u1
yrty 1
例1
n 1 1 ( 1) 判定级数 n n 1
的敛散性.
解 这是一个交错级数,且
1 1 1 (1)un , 且un un 1 , n n§9.3
任意项级数
一、交错级数及其审敛法
定义:如果在任意项级数 u n 中，正负号相间出
n 1
现，这样的任意项级数就叫做交错级数．它的一
n 1 n ( 1) u 或 ( 1) 般形式为： un n n 1 n 1
(其中un 0)
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
n 1 n 1
级数的审敛法
级数的审敛法
级数的审敛法是一种判定级数是否收敛或发散的方法。
下面介绍几种常用的审敛法：
1. 正项级数判别法：如果级数的各项都是非负数，并且级数的通项递减，则该级数收敛。
这是因为正项级数的部分和一定是递增有界的。
2. 比较判别法：设有两个级数∑a_n和∑b_n，如果在有限项后
总有a_n ≤ b_n，则如果∑b_n收敛，∑a_n也收敛；如果∑a_n
发散，∑b_n也发散。
这个方法常用于比较一个级数与已知的
收敛或发散的级数。
3. 比值判别法：对于一个级数∑a_n，如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≤ r < 1，则级数绝对收敛；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ 1，则级数发散；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ r > 1，则级数发散或者条件收敛。
4. 积分判别法：对于一个非负递减的函数f(x)，如果∫f(x)dx从
1到无穷收敛，则级数∑f(n)也收敛；如果∫f(x)dx从1到无穷发散，则级数∑f(n)也发散。
这个方法利用了级数与函数的关系。
以上只是一些常用的审敛法，对于特定的级数，可能需要使用其他方法进行判断。
数项级数敛散性判别法。(总结)
n 1
u
n
绝对
收敛；若级数 n1 un
收敛，而级数 n1
un
发散，则称级数
n 1
u
n
条件收敛．易
(1)n1 1
(1) n1 1
知 n1
n2 是绝对收敛级数，而 n1
n 是条件收敛级数．
定理八、 若 n1 un 收敛，则 n1 un 必收敛．
对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过
an a1 a2 a3 a4 ...............
常见的几类重要的常数项级数 正项级数：级数中所有项均大于等于零。 交错级数：级数中的项正负相间的级数。 等比级数
a aq aq2 aq3 ....... aqn ...... aqn
调和级数
1 1 1 1
23
n
1
n1 ，则对任何正数 A， f (x) 在
[1，A]上可积，从而有
n
f (n)
f (x)dx
n1
f (n 1) ， n 2,3,
依次相加，得
m
m
m
m1
f (n) f (x)dx f (n 1) f (n)
1
n2
n2
n1
若反常积分收敛，则对m ，有
关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。
英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series, we all know which
way to go. But wait until all of the methods after completing their studies are given topics, everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible. But for one series, using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect, but if the hanging has chosen the wrong way, may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong. So we need to sum up to determine the convergence and divergence, and to understand their characteristics, in order to make better use of them.
第二节：正项级数的审敛法
v2
1 1 1 1 1 1 1 + 取 u1 = < 1+ = v1 , u2 = ( 4 + 4 ) = < + = v 2 2 2 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u3 = ( + + + ) = < + + + = v 3 , L 8 8 8 8 2 5 6 7 8
因此有
∞
1 un ≤ v n , 而 un = ( n= 1 , 2, 3 , L ) 2
收敛。 则级数 ∑ un 收敛。 例如级数 ∑
n =1 ∞
∞
n→∞
n =1
n + 1(1 − cos ) , n
π
un = n + 1(1 − cos ) n
π
1 π 2 π 2 n+ 1 + 当 n → ∞ 时， un ~ n + 1 ⋅ ( ) = 2n 2n2
∴ lim
n→∞ 3 n2 un
= lim
第二节 正项级数及审敛法 如果级数
n =1
∑ un = u1 + u2 + L + un + L
称为正项级数
∞
满足条件： 满足条件： un ≥ 0 ( n = 1, 2 , L ) ,
s1 = u1 ≥ 0 , s 2 = u1 + u2 ≥ u1 = s1 , s 3 = u1 + u2 + u3 ≥ u1 + u2 = s 2 LL 0 ≤ s 1 ≤ s 2 ≤ s 3 ≤ L ≤ s n−1 ≤ sn ≤ L
n =1 n =1 ∞ ∞ 1 1 （1）取 vn = , 则 ∑ v n = ∑ ） 发散， 因此若 发散， n n =1 n =1 n ∞ un = lim nu lim n = l > 0 （或为 + ∞），则 ∑ un ），则 n→∞ n→∞ vn n =1
常见级数的敛散性总结
常见级数的敛散性总结级数是数学中一个非常重要的概念，它是由一系列数相加或相乘得到的结果。
在数学分析中，级数的敛散性是一个非常重要的问题，它关乎着级数的收敛性和发散性，对于理解数学的深层次原理和应用具有重要意义。
在本文中，我们将对常见级数的敛散性进行总结，希望能够为广大数学爱好者提供一些帮助。
首先，我们来介绍一下级数的敛散性。
级数的敛散性是指级数的和是否存在的问题，如果级数的和存在，则称该级数是收敛的；如果级数的和不存在，则称该级数是发散的。
判断级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题，它涉及到极限的性质和级数的收敛判别法则，需要运用到数学分析的各种知识和技巧。
接下来，我们将对一些常见级数的敛散性进行总结。
首先是调和级数，调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数，它是一个发散的级数，这是因为调和级数的部分和序列发散于正无穷。
其次是等比级数，等比级数是指形如1+1/2+1/4+1/8+...的级数，它的敛散性取决于公比的大小，当公比大于1时，等比级数发散；当公比小于1且大于-1时，等比级数收敛；当公比等于-1时，等比级数发散；当公比等于1时，等比级数发散。
此外，还有幂级数、正项级数等等，它们的敛散性也各不相同。
幂级数是指形如a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...的级数，它的敛散性取决于收敛半径的大小；正项级数是指所有的部分和都是非负数的级数，它的敛散性可以通过比较判别法、根值判别法、积分判别法等方法进行判断。
总的来说，级数的敛散性是一个非常复杂的问题，它需要我们掌握各种判别法则和技巧，才能够准确地判断级数的敛散性。
希望本文对于读者能够有所帮助，让大家能够更加深入地理解级数的敛散性问题，提高数学分析的水平和能力。
同时也希望大家能够在学习数学的过程中保持耐心和勇气，不断克服困难，取得更好的成绩。
感谢大家的阅读！通过以上对常见级数的敛散性总结，我们可以看出级数的敛散性是一个非常复杂而又重要的问题。
第二节正项级数及其审敛法、第三节绝对收敛与条件收敛
un1 r, 则 N , 当n N时, 有 un
uN 1 ruN , uN 2 ruN 1 r uN ,
2
,
uN m r uN ,
m
m m 1
而级数 r uN 收敛,
uN m
m 1
un收敛, n N 1
原级数收敛
(2)当 1时, 则 N , 当n N时,
故级数发散
e 1 1 n (1 ) n lim un 0
n
un 1 un
6.根值审敛法 (柯西判别法)：
设 un 是正项级数,如果lim n un
( 为数或 ) , 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1 时失效.
n 1
n
1 n 1 n
发散
an 例7 p n 1 n
n
(a 0)
解 lim n un lim n
n
an a lim n a p p n ( n ) n
故 (1) 当 a 1 时, 即 1 时,
(2) 当 a 1 时, 即 1 时,
n 1
1 n1 ) ( ln ; (3) n 1 n n
n
1 1 ~ n ( 2) n 时, n 3 n 3
1 又 n 收 敛, 故原级数收敛. n 1 3
1 n1 ) ( ln (3) n 1 n n
1 n1 ln x ln( 1 x) n n lim lim n x 0 1 x2 2 n 1 1 x 1 1 x lim lim , x 0 x 0 2 x (1 x ) 2x 2
级数审敛法
;
n=1 n!
n!
(2) n=1 10n ; 1
1
(3)
.
n=1 (2n 1) 2n
解
(1)
un1 un
=
(n 1)! 1
=
1
0
n1
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n=1 n!
(2)
un1 un
=
(n 1)! 10n1
10n n!
= n1 10
(n ),
故级数
n=1
n! 10n
n=1
n=1
(3) 当 l = 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n=1
n=1
5.极限审敛法：
设 un 为正项级数,
n=1
如果lim n
nun
=l0
(或lim n
nun
= ),
则级数 un 发散;
n=1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n=1
例 3 判定下列级数的敛散性:
设
n=1
un
是正项级数,如果
lim
n
un1 un
=
(可为 )
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; = 1时失效.
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意: 1.当 = 1时比值审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n=1 n
(
=
1)
级数
n=1
1 n2
收敛,
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
x)
=
0
(x在收敛域上)
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级数审敛法小结不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。
其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容,希望大家能抽空看一下,谢谢.首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数(其中,包含特殊的交错级数).对于不同的级数,他们有不同的审敛法.第一节:正项级数(当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同,只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了)(注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦，若Un的极限不为0，级数发散。
)A.定义法(注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出.):首先,了解一个充要条件:∑∞Un收敛⇔部分和数列{Sn}有界，针对n=1这个东西，用的地方不多后面会有介绍。
B.比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对正项级数而言，不能滥用）。
对于比较审敛法，也许不要按书上的用起来会更方便一点。
简单一句话：我们的目的就是要找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可。
（当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性） 例1：设k ，m 为正整数，.0,000>>b a（这里主要是保证以下的多项式恒为正）是推导出级数∑∞=--++++++1110110......n kk km m m b nb n b a n a n a 收敛的充要条件。
解：设kk km m mnb nb n b a na n a u (1)10110+++++=--。
取mk nnv -=1，因为00limb a v u nn n =∞→，所以∑∑∞=∞=11,n nn nv u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k-m>1，所以所求级数的收敛的充要条件是k-m>1.（这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的，我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数∑∞=---+13235523)()12()1(n n n n n n 是收敛的，这因为分子的最高次幂是13，分母的是15,15-13=2>1,故收敛。
（至于解题时，我们可以模仿本题构造Vn 去做）2，这个例题的解法具有一般性。
设0→nu ，我们只需要找到Un 的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn ，如果Vn 的敛散性我们已经掌握，问题解决。
大家可以试着用等价无穷小的方法接一下以下几题：（1）);1tan()3(,,)cos 1(),2(,,sin )1(13222112-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑∞=∞=∞=n N n na n n a n a n（通过上面的一点，大家感悟一下，有没有什么收获，这只是如何一眼看出敛散性的其中一个，接下来会继续介绍，但希望大家先消化一下刚刚说的内容。
）C. 比值审敛法：比值审敛法的内容与书中所说并无差异。
关键是我们要能够灵活运用，这需要我们能多做一些习题。
先看一下几个例子：判断下列级数的敛散性∑∑∑∞=∞=∞=111!)3(!)2()1(n nn n n nk nn n aan解答是利用比值审敛法即可，（由于这个公式好多有点难打就不打了啊，请原谅）大家应该都懂得就是nn n u u 1lim+∞→判断其和1的关系。
以上结果为全部收敛。
（小结：1，在级数一般项Un 中，若含有!.,,n a n n n n k 的因子时，适用于比值审敛法,2，我们可以得到如下常用函数的级别大小（a>1，k>1,）nnknn ann n <<<<<<<<<<!ln ，记住这个顺序，有助于我们对某些级数敛散性的初步判别，也就是在我们计算之前，就可以估计出敛散性。
）(结合上面讲过的那个，我们基本上就能初步判定一些级数的敛散性了)D. 根值审敛法。
这里由于和书上无太多差别，就不多做介绍了。
根值判别法，主要适用于一般项中含有n 次方的时候。
他与比值判别法属于同一类型的审敛法，当用根植判别法不行时，不要再去用比值判别法做了，效果一样。
对于根值判别法有一点需注意：当遇到一般项含n 次方时里应用根植判别法，而nnn u ∞→lim不存在时，可以改用如下的方法：若n 从某个标号起存在r 使得1<≤r u n n （注意此处并无极限符号），则级数必收敛。
因为nn ru ≤，且∑∞=1n n r 收敛。
（简单地说就是进行一点放缩）当比值审敛法，根植审敛法失效时，一般应考虑比较审敛法，寻找同阶或是等价的无穷小。
另外，我们要积累一些简单的级数如几何级数，调和级数，p-级数，以及∑∞=1)(ln 1n pn n （p>1时收敛，p<=1时发散，这个可以当做定理用的）第二节 交错级数对于交错级数而言，它分为条件收敛和绝对收敛两类。
对于判断绝对收敛时，我们可以利用正项级数的判别方法去判定。
而对于条件收敛的判定课本上给出了一个方法（除此，并无其他较好的方法去解决此类问题）：莱布尼兹判别法。
A.莱布尼兹判别法：（注意运用此方法千万要慎重，注意观察An 的单调性是否递减，以及最终是否趋近于0等，一旦有一个条件不满足，我们便不能再去用此方法。
而在我们做题时总会有那么几题不适用，这就要求我们要懂得一些小技巧）一，泰勒公式（此法对于我们来说有一定的难度，建议不到万不得已不想此法）：利用泰勒展开式判断敛散性；例判别级数：()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+111ln n n n 的敛散性。
（对于这个交错级数，我们不能判定单调性，因此无法利用莱布尼兹判别法。
要掌握一般项()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n u n n 11ln 的级别，我们运用泰勒公式。
）解：有泰勒公式：()()是收敛的发散，而级数级数∑∑∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+n1-1n21,211121lim 1211)1(1ln n1n n o nn o n n o n n n n nn所以原级数发散。
二，这个技巧比泰勒公式弱了点，他是要求我们要懂得把一个交错级数（可能适用于多种级数，大家可以试一下），拆成两项或是多项相加减的形式（这里，我们要懂得一些收收为收，收发为发，发发不确定（一旦有两个发散的级数在里面则拆分失败）的道理。
）例如，判别级数()()∑∞=-+-111n nnn 的敛散性。
（这是一个交错级数，尽管n1n u u ,0≤→+但nu 不成立，莱布尼兹失效。
）但我们可以这样解：[]111)1(1)1(n )1()1()1(u -+--=--+-=-+-=n n n n n nnnnnn对于前一项利用莱布尼兹判别法可知其条件收敛，而后一项发散，可知其整体为发散。
故原级数发散。
三，定义法（可能有些题，既不能运用莱布尼兹，也不好拆分，这就要求我们能回归原始，利用级数收敛的定义去解题） 一般此类题比较难出现的可能性较小，这里只举一例。
例，判别级数∑-+-nNn )1()1(的敛散性。
首先，看其是否绝对收敛，设nnn u)1(1-+=，这里我们直接可以看出其发散，因为分母的最高次幂为1/2,接下来判断其是否条件收敛：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n s n 21121 (415)121312此部分和 S2n 的各项都是负数，因此其单调减少，又因为，212212121221 (416)121412->++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛->n n n s n ，所以数列s2n有极限，设()sn s u s s s s Nn n n n n n n n n n =-+++=+==∞→∞→+∞→+∞→∞→)1(121limlim lim lim lim 2122122 所以原级数收敛条件收敛。
（这类题比较难做，出现的几率不大，但也希望大家能做一下了解）Over最后做一个补充：如何一眼看出一些级数的敛散性。
针对正项级数而言：设Un 和Vn 都是正项级数则有：（麻烦大家试着证明一下，收敛都收敛，则和）若（）收敛。
（收敛，收敛，收敛，则）若（n nn na nn 1n kn v uv u 21a nu u u u u 1∑∑∑∑∑∑∑≥+n试着用一下吧：已知正项级数收敛∑∞=1n na则λ+-∑∞=31)1(n a n n n。
要求直接不用计算说出答案。
谢谢大家。