安徽省宁国中学2020-2021学年高一上学期第一次段考数学试题及答案

宁国中学20～21学年第一学期高一年级第一次段考
数学试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 全集U R =,{}20N x x =-<<,{}1-<=x x M ,则图中阴影部分表示的集合是
A ．{}21x x -<<-
B ．{}20x x -<<
C ．{}|10x x -≤<
D ．{}
10x x -≤≤
2. 满足条件{1,2,3}⊆M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是
A. 6
B. 7
C. 8
D. 5
3. 已知不等式 的解集是 ，则a b +=
A. 10-
B. 6-
C. 0
D. 2 4. 设函数(
)02,0x f x x x
≥=⎨<⎪⎩,若()()12f a f +-=,则=a A.12
B. 2±
C. 4
D. 16 5. 函数()1y x x =-的图象的大致形状是
A ．
B ．
C ．
D ．
6. 已知实数0,0x y >>，且24x y +=，则11x y
+的最小值为 A B ．32 C ．34+ D ． 24
+ 7. 已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足(21)(3)f x f -<的x 的范围是 A ．(1,2)- B ．[)0,2 C ．(),2-∞ D ．(,1)
(2,)-∞-+∞
8. 设函数{}22()min 3,f x x x x
=--，x R ∈,若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c
的取值范围是 A ．3
[3,)4
-- B ．3
(3,)4-- C ．3(,3][2,]4-∞--- D ．3(,3)(2,)4-∞---
二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
9. 下面四个条件中，是 成立的充分条件的有
A. B. C.a b > D. >
10. 若命题 为假命题，则a 的取值可以是
A. 3-
B.
C.
D. 20a -≤<
11. 关于x 的方程2210x x m --+=的实数根情况，下列说法正确的有
A. 当0m =时，方程有两个不等的实数根
B. 当2m >时，方程没有实数根
C. m R ∃∈, 方程有三个不等的实数根
D. 不论m 取何值，方程不可能有4个实数根
12. 已知函数()2+=x f y 是偶函数，且()x f y =在()2,0上是增函数，则下列结论中一定正确的有
A. 函数()2y f x =- 是偶函数
B. ()x f y =的图像关于直线2x =对称
C. ()75122f f f ⎛⎫
⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ()2y f x =在()1,2上单调递减
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设命题2:,2p n N n n ∃∈>，则命题p 的否定是： ．
14. 函数1
()2f x x =-的定义域是 ．
15. 已知幂函数2()(3)m f x m x =- 在()0,+∞上为减函数，则(4)f -= ．
16. 已知不等式224xy ax y ≤+对于0,0x y >>恒成立，则a 的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．
17.（本题满分10分）
已知集合{}{}|26,|18A x x B x x =≤<=<<,{}|3C x a x a =-<<．
（Ⅰ）求,()R A B C A B ；
（Ⅱ）若()C A
B ⊆，求a 的取值范围．
18．（本题满分12分）
已知函数()f x 是定义在上的奇函数，且当时，2()2f x x x =+．
（Ⅰ）求出函数()f x 在上的解析式，并补出函数()f x 在轴右侧的图像；
（Ⅱ）①根据图像写出函数()f x 的单调递减区间；
②若[]1,x m ∈-时,函数()f x 的值域是[]1,1-，求m 的取值范围．
19.（本题满分12分） 设集合2|04x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，集合{}
22|320B x x ax a =-+=． （Ⅰ）当1a =时，判断""x B ∈是""x A ∈的什么条件，说明理由；
（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使A B ≠∅成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
R 0x ≤R
y
20. (本题满分12分)
已知函数()2()326()f x ax a x a R =-++∈
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[)1,6x ∈上的值域；
（Ⅱ）当0a >时,解关于x 的不等式：()0f x >．
21. (本题满分12分)
某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到()100.1x -万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革,每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．
（Ⅰ）求每套丛书利润y 与售价x 的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润
是多少万元？
（Ⅱ）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．
22. (本题满分12分)
已知函数2()h x x bx c =++是偶函数，()(2)0,()h x h f x x
-==． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并证明在[]1,2上单调递增； （Ⅱ）设函数[]22164()2(),1,2,F x x a x x a R x x
=+
--∈∈，求函数()F x 的最小值()g a ．
宁国中学20～21学年第一学期高一年级第一次段考
数学参考答案
一、选择题
1~4：CBAD ， 5~8： BCAD ， 9：AD ， 10：ABD ， 11：ABC ， 12：BCD
三、填空题
13. 2,2n N n n ∀∈≤， 14. [)2,2−或{}|22x x −≤<， 15.
116， 16. 4a ≥ 四、解答题
17.解：（1）{}{}|18,|26R A B x x C A x x x =<<=<≥或，
{}()|1268R C A B x x x =<<≤<或————————————5分
（2）当C =∅时，332a a a −≥⇒≤
————————————————7分 当C ≠∅时，此时32
a > 且313228
2a a a a −≥⎧⇒≤<≤⎨≤⎩即——————————————9分 综上：2a ≤——————————————————————10分
18.解：（1）当0x >时，0x −<，则22()()22f x x x x x −=−−=−————2分 因为()f x 为奇函数，则()()f x f x −=−，
即0x >时，2()2f x x x =−+————————————————3分
所以222,0()2,0
x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨−+>⎪⎩————————————————4分 图略（注意关键点）———————————————————————6分，
（2）如图可知，减区间为：()(),11
+−∞−∞和，——————————————8分 (1)1f −=− ，(1)1f =———————————————————————9分
令2222121012
x x x x x ±−+=−⇒−−=⇒==
11x x >∴=
故由图可知1m ⎡⎤∈+⎣⎦
————————————————————12分
19.解：（1）{}{}|24,|()(2)0A x x B x x a x a =−<<=−−=
当1a =时，{}1,2B =,—————————————————————2分
1,2,,A A x B x A ∈∈∴∀∈∈——————————————————4分
又,x A x B ∃∈∉,如3x =，则x B x A ∈∈是的充分不必要条件————6分
（2）当0a =时，{}0B =,则{}0A
B =,满足题意————————8分 当0a ≠时，{},2B a a =，
要使A B ≠∅,只要24224a a −<<−<<或————————10分
即240a a −<<≠且
综上：24a −<<—————————————————————12分
20.解：（1）2()56f x x x =−+对称轴为[)51,62
x =∈，——————————1分 则最小值为52551()562424
f =−⋅+=− ——————————3分 又(1)2,(6)12f f ==，结合图像知值域为1,124⎡⎫−⎪⎢⎣⎭
——————6分 （2）2(32)6(3)(2)0ax a x ax x −++=−−>
因为0a >
所以当① 32
a =时，2x ≠，解集为：{}|2x x ≠———————8分 ②302a <<时，32x x a <>或，解集为：3|2x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭
或——10分 ③32a >时，32x x a <>或，解集为：3|2x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩
⎭或———12分 21.解：（1） 00100100.10
x x x >⎧∴<<⎨−>⎩ ——————————————1分 10100(20)20(0100)100.1100y x x x x x
=−+=−−<<−− ————3分 当80x =时，10080205510080y =−
−=−（元）————————4分
此时销量为100.1802−⨯=（万件）
总利润为255110⨯=（万元）————————————————6分
（2）10020100y x x
=−−− 01001000x x <<∴−>
100[(100)]808060100y x x ∴=−+−+≤−+=−————10分 当且仅当10010090100x x x
=−⇒=− 即定价为90元时，每套利润最大为60元.————————————————12分 22.解：（1）因为()h x 为偶函数，所以()()h x h x −=————————————————1分
即2220x bx c x bx c bx ++=−+⇒=
因为x 为一切实数，所以0b =————————————————————2分 又(2)404h c c −=+=⇒=− 则2()44()h x x f x x x x x
−===−———————————————————3分 证明：1212x x ∀≤<≤，
1212121221
4444()()()()()f x f x x x x x x x x x −=−−−=−+− 1212
4()(1)x x x x =−⋅+⋅————————————————4分 因为1212x x ≤<≤，则12124()(1)0x x x x −⋅+
<⋅ 所以1212()()0()()f x f x f x f x −<⇒<
即()f x 在[]1,2上单调递增——————————————————————6分 （2）令4x t x
−=，则由（1）知[]3,0t ∈−———————————————————7分 则2()28F t t at =−+
当3a <−时，min ()(3)617F t F a =−=+————————————————9分
当30a −≤≤时，2
min ()()8F t F a a ==−+——————————————10分 当0a >时，min ()(0)8F t F ==————————————————————————11分 故2617,3()8,308,0a a g a a a a +<−⎧⎪=−+−≤≤⎨⎪>⎩
————————————————————————12分。