《圆的一般方程》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)

《圆的一般方程》教学设计

教材分析:

圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难.因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用.突破难点的关键是抓住一般方程的特点.结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用.

教学目标：

【知识与能力目标】

1.掌握圆的一般方程公式及其的特点；

2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；

3.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程.

【过程与方法】

通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法.

【情感态度与价值观】

渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学创新，勇于探索。

教学重难点：

【教学重点】

1.能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；

2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

【教学难点】

会根据不同的条件求圆的标准方程．

课前准备：

课件、学案

教学过程：

一、课题引入：

问题1：圆的标准方程的形式是怎样的？其中圆心的坐标和半径各是什么？

问题2：若把标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2展开后，会得出怎样的形式？

问题3：是不是每个形如x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的方程表示的曲线都是圆呢？

二、新课探究：

当2240D E F +->时，方程22

0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方

程.,2

2D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径. 注：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(1) 当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-

=-. 它表示一个点(,)22D E -

-. (2) 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

(3) 当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝

⎭为圆心，

为半径的圆. 三、知识应用：

题型一 根据圆的一般方程求圆心半径

例1. 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．

（1）2x 2+y 2―7y +5=0； （2）x 2―xy +y 2+6x +7y =0；

（3）x 2+y 2―2x ―4y +10=0； （4）2x 2+2y 2―5x =0．

【答案】（1）不能表示圆；（2）不能表示圆；

（3）不能表示圆；（4）表示圆 ，圆心为5

,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为54

. 解:（1）∵方程2x 2+y 2―7y +5=0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆．

（2）∵方程x 2―xy +y 2+6x +7y =0中含有xy 这样的项，∴它不能表示圆．

（3）方程x 2+y 2―2x ―4y +10=0化为(x ―1)2+(y ―2)2=-5，∴它不能表示圆．

（4）方程2x 2+2y 2－5 =0化为2225544x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， ∴它表示以5

,04⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，54

为半径长的圆． 【设计意图】（1）判断一个二元二次方程是否表示圆的方法：先看这个方程是否具备

圆的一般方程的特征，即：①x 2与y 2的系数相等；②不含xy 的项．当它

具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一

是看D 2+E 2―4F 是否大于零；二是直接配方变形，看右端是否为大于零

的常数．

（2）圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一

般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．

例2.判断方程ax 2+ay 2―4(a ―1)x +4y =0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半

径长．

【答案】2(1)2,a a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，||r a = 解：方程可变形为：()224140a x y x y a a

-+-+=, 一般方程为圆的条件：2240D E F +->,()224140a a a -⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭，此方程为

圆，则圆心为2(1)2,a a

a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r =.

题型二 求圆的方程

例3. 求过(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程，及圆心坐标和半径.

解：法一：设圆的方程为：22

0x y Dx Ey F ++++=，则

8220345301030D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩

∴所求圆的方程为：2282120x y x y +--+=，即()2

24(1)5x y -+-=， ∴圆心为（4，1

法二：线段AB 的中点为为75,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，321523AB k -==- 线段AB 的中垂线为57322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝

⎭，即3130x y --= 同理得线段BC 中垂线为260x y +-=

联立2603130x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得41

x y =⎧⎨=⎩ ∴所求圆的方程为（4，1

），半径r ==∴()2

24(1)5x y -+-=． 例4.求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点（8，6）的圆的方程．

解：法一：设圆的方程为：22

0x y Dx Ey F ++++=，则 2024062382100860

D E F E

D D

E

F --+=⎧⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪⎪+++=⎩，解得：11330D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ ∴圆的方程为22

113300x y x y +-+-=．

法二：过点B 与直线3260x y +-=垂直的直线是3180x y --=，

线段AB 的中垂线为40x y +-=， 由318040

x y x y --=⎧⎨+-=⎩得：圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由两点间距离公式得半径21252r =

，