《圆的一般方程》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《圆的一般方程》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《圆的一般方程》教学设计教材分析:圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难.因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用.突破难点的关键是抓住一般方程的特点.结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用.教学目标：【知识与能力目标】1.掌握圆的一般方程公式及其的特点；2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；3.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程.【过程与方法】通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法.【情感态度与价值观】渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学创新，勇于探索。
教学重难点：【教学重点】1.能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【教学难点】会根据不同的条件求圆的标准方程．课前准备：课件、学案教学过程：一、课题引入：问题1：圆的标准方程的形式是怎样的？其中圆心的坐标和半径各是什么？问题2：若把标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2展开后，会得出怎样的形式？问题3：是不是每个形如x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的方程表示的曲线都是圆呢？二、新课探究：当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径. 注：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1) 当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-. 它表示一个点(,)22D E --. (2) 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3) 当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径的圆. 三、知识应用：题型一 根据圆的一般方程求圆心半径例1. 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．（1）2x 2+y 2―7y +5=0； （2）x 2―xy +y 2+6x +7y =0；（3）x 2+y 2―2x ―4y +10=0； （4）2x 2+2y 2―5x =0．【答案】（1）不能表示圆；（2）不能表示圆；（3）不能表示圆；（4）表示圆 ，圆心为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为54. 解:（1）∵方程2x 2+y 2―7y +5=0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆．（2）∵方程x 2―xy +y 2+6x +7y =0中含有xy 这样的项，∴它不能表示圆．（3）方程x 2+y 2―2x ―4y +10=0化为(x ―1)2+(y ―2)2=-5，∴它不能表示圆．（4）方程2x 2+2y 2－5 =0化为2225544x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴它表示以5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，54为半径长的圆． 【设计意图】（1）判断一个二元二次方程是否表示圆的方法：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即：①x 2与y 2的系数相等；②不含xy 的项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D 2+E 2―4F 是否大于零；二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数．（2）圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．例2.判断方程ax 2+ay 2―4(a ―1)x +4y =0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长．【答案】2(1)2,a a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，||r a = 解：方程可变形为：()224140a x y x y a a-+-+=, 一般方程为圆的条件：2240D E F +->,()224140a a a -⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此方程为圆，则圆心为2(1)2,a aa -⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r =.题型二 求圆的方程例3. 求过(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程，及圆心坐标和半径.解：法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则8220345301030D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴所求圆的方程为：2282120x y x y +--+=，即()224(1)5x y -+-=， ∴圆心为（4，1法二：线段AB 的中点为为75,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，321523AB k -==- 线段AB 的中垂线为57322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即3130x y --= 同理得线段BC 中垂线为260x y +-=联立2603130x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩ ∴所求圆的方程为（4，1），半径r ==∴()224(1)5x y -+-=． 例4.求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点（8，6）的圆的方程．解：法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则 2024062382100860D E F ED DEF --+=⎧⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪⎪+++=⎩，解得：11330D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ ∴圆的方程为22113300x y x y +-+-=．法二：过点B 与直线3260x y +-=垂直的直线是3180x y --=，线段AB 的中垂线为40x y +-=， 由318040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得：圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由两点间距离公式得半径21252r =，∴圆的方程为22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 教学反思：本节课在学习完圆的标准方程后继续研究圆方程的另一种形式，圆的一般方程.引导学生将圆的标准方程拆开得到圆的一般形式，反过来再给一个任意的220x y Dx Ey F ++++=形式，判断是否为圆，得到一般方程的条件，请学生思考独立完成.在应用过程中，不断启发孩子几何法和代数法两种方法.。
2.2.1圆的标准方程 教案 (高中数学必修二北师大版)
2．1圆的标准方程(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握圆的标准方程．(2)会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程．2．过程与方法进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．3．情感、态度与价值观培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习的兴趣．●重点难点重点：圆的标准方程．难点：圆的标准方程的应用．通过对圆的标准方程的认识，掌握求圆的方程需要确定的量：a、b、r，从而掌握如何由已知条件来求圆的方程．(教师用书独具)●教学建议本节课的主要任务就是求圆的方程，教学时通过例题的讲解，让学生自己比较，归纳两类求圆方程的方法：(1)根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a，b，r 的值，写出圆的标准方程．(2)根据圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心和半径大小，然后再写出圆的标准方程．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，掌握圆的标准方程⇒通过例1及变式训练，使学生掌握直接根据条件求圆的标准方程⇒通过例2及变式训练，使学生掌握如何判断点和圆的位置关系⇒通过例3及变式训练，使学生掌握圆的标准方程的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(1)在平面直角坐标系中，确定圆的几何要素是什么？(2)到点(1,2)距离等于1的点(x ，y )的集合怎样用方程表示？ 【提示】 (1)圆心和半径；(2)(x －1)2＋(y －2)2＝1，化简得(x －1)2＋(y －2)2＝1.1．圆的标准方程A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．3．点与圆的位置关系已知圆O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则 点P 在圆O 外⇔d >r ； 点P 在圆O 上⇔d ＝r ；点P 在圆O 内⇔d <r .【思路探究】 利用待定系数法，构造方程求解a ，b ，r 或者利用几何法找出圆的圆心和半径．【自主解答】 法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则{2a －b －3＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得{a ＝2，b ＝1，r ＝10.∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二 ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上，线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)，由⎩⎨⎧2x －y －3＝0，y ＝－12(x －4)，解得{x ＝2，y ＝1. 即圆心C 的坐标为(2,1)． ∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.1．本题的法二是利用了圆的几何特点求出圆心及半径写出了圆的标准方程． 2．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： ①设出圆的标准方程；②根据条件得关于a ，b ，r 的方程组，并解方程组得a ，b ，r 的值； ③代入标准方程，得出结果．一圆过原点O 和点P (1,3)，圆心在直线y ＝x ＋2上，求此圆的标准方程． 【解】 ∵圆心在直线y ＝x ＋2上，∴设圆心坐标为(a ，a ＋2)，半径为r ，则圆的方程为(x －a )2＋(y －a －2)2＝r 2. ∵点O (0,0)和P (1,3)在圆上，∴{(0－a )2＋(0－a －2)2＝r 2，(1－a )2＋(3－a －2)2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝－14，r 2＝258.∴圆的标准方程是(x ＋14)2＋(y －74)2＝258.断点A (2,2)，B (1,8)，C (6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．【思路探究】 确定圆心、半径，写出圆的标准方程，求出点到圆心的距离，作出判断． 【自主解答】 由已知条件及圆的性质可知，圆心M 在直径PQ 的中点处， ∴圆心M 的坐标为(0,1)．半径r ＝12|PQ |＝12×(－5－5)2＋(6＋4)2＝5 2.∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50， ∵|AM |＝(2－0)2＋(2－1)2＝5＜r ， ∴点A 在圆内， ∵|BM |＝(1－0)2＋(8－1)2＝50＝r ， ∴点B 在圆上． ∵|CM |＝(6－0)2＋(5－1)2＝52＞r ，∴点C 在圆外．1．本题中已知直径的端点确定圆的方程是关键． 2．点和圆位置关系的判定步骤(1)求出圆的半径r 和点到圆心的距离d ； (2)比较r 与d 的大小；(3)由r 与d 的大小关系判断点和圆的位置关系．若点(3，a )在圆x 2＋y 2＝16的外部，则a 的取值范围是________．【解析】 ∵(3，a )在圆x 2＋y 2＝16的外部，∴9＋(a )2＞16， ∴a ＞7.【答案】 (7，＋∞)【思路探究】 x 2＋y 2有何几何意义？【自主解答】 设d 2＝x 2＋y 2，则x 2＋y 2的几何意义是圆上任意一点到原点距离的平方．如图所示，显然原点O 和圆心C 的连线与圆的交点到原点的距离的平方即为所求最值．又|OC |＝32＋42＝5，∴|OP 1|＝|OC |－|P 1C |＝5－2＝3， |OP 2|＝|OC |＋|CP 2|＝5＋2＝7. ∴|OP 1|2＝9，|OP 2|2＝49.∴x 2＋y 2的最小值为9，最大值为49.本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注意代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形象、直观．几种常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2：点(x ，y )与原点的距离的平方．(2)(x －a )2＋(y －b )2：点(x ，y )与点(a ，b )的距离的平方． (3)yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)所在直线的斜率． (4)y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )所在直线的斜率．已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)， B (5,0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求点P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．【解】 (1)由题意，结合图(1)可知圆心C (3,0)，r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.。
高中数学 2.2.2圆的一般方程教案 北师大必修2
2.2.2圆的一般方程一、三维目标1、知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
2、过程与方法：通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
3、情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
二、教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 三、教学方法：学导式 四、教学过程 （一）、课题引入问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
（二）、探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ． 把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ① 这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）； （3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
《圆的一般方程》示范公开课教案【高中数学北师大】
《圆的一般方程》教案1. 能理解圆的一般方程及代数特征。
2. 掌握圆的一般方程和标准方程的互化。
3. 会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题。
4. 理解数形结合的思想方法，进一步感受数与行的和谐之美。
5. 提升逻辑推理、数学运算、直观想象等素养。
重点：掌握圆的一般方程及代数特征并会求圆的一般方程。
难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题。
一、新课导入回顾：前面我们已经讨论了圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2，现将其展开可得：x2+y2−2ax−2bx+a2+b2−r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+ Dx+Ey+F=0的形式。
思考：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆？生讨论，师引出本节课题：《圆的一般方程》。
设计意图：通过对圆的标准方程的讨论，引出圆的一般方程，同时类比直线方程的多种形式，帮助生认识圆的一般方程与二元二次方程的关系。
通过联系旧知，建立新旧联系。
二、新知探究探究：例如方程x2+y2−2x−4y+6=0表示的曲线是不是圆？生尝试，探究讨论。
分析：方程x2+y2−2x−4y+6=0，对其进行配方，得(x−1)2+(y−2)2=−1，因任意一点得坐标（x,y）都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形，故形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变换为圆的标准方程，这也表明形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程。
小结：何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0.的形式，但形如x2+ y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程。
定义：圆的一般方程。
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4（1）当D2+E2−4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以（−D2，−E2）为圆心，12√D2+E2−4F为半径的圆。
（2）当D2+E2−4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示一个点（−D2，−E 2）。
高中数学必修二圆的一般方程2公开课教案课件教案课件
圆的一般方程教学要求：使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点教学过程：一、复习准备：1. 提问：圆的标准方程？2.对方程222410x y x y +-++=配方，化为圆标准方程形式. 则圆心、半径？ 二、讲授新课：1．圆的一般方程的定义（1）分析方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹 1)当2240D E F +->时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径的圆。
2)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-。
它表示一个点(,)22D E -- 3)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（2）给出圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程。
（3）思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？2．圆的一般方程的运用求过三点O(0,0),12(1,1),(4,2)M M 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
（小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：1.根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；2.根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；3.解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程．）求圆心在直线 l ：0x y +=上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2：22210240x y x y +-+-=的交点的圆的方程．3. 小结：一般方程；化标准方程；配方法；待定系数法.三.巩固练习：1．134P 练习 1 32. 求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．2．已知一曲线是与两定点(0,0),(3,0)O A 的距离的比为12的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线3．作业：134p 习题4.1 第4题活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
北师大版数学高一必修2教案 2.2《圆的方程》教学设计
2.2《圆的方程》教学设计【教学目标】1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程。
2. 在掌握圆的标准方程的基础上，掌握圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的条件．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
【导入新课】情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 新授课阶段1.圆的标准方程的推导确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A (a ,b )，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r >0）设M (x ,y )为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P ={M ||MA |=r },由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②从而得到圆的标准方程222()()x a y b r -+-=方程②就是圆心为A (a ,b ),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
思考：如何判定点在圆外还是圆内呢？点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 例1 平面内有两定点A （－1，0）、B （1，0），在圆（x －3)2＋(y －4)2=4上求一点P ，使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值．【解法一】 连结PO 并延长一倍至Q ，则PO 为△PAB 的中线，PQ 为平行四边形的一条对角线，利用三角形中线长公式或利用平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和，得∣AP ∣2＋∣BP ∣2=2＋2∣OP ∣2当PO 经过已知圆圆心C （3，4）时，∣OP ∣有最大值和最小值．此时PO 的方程为y= 43x ,该方程与圆的方程（x －3)2＋(y －4)2=4联列解得 P 1（95 ，125 ），P 2（215 ，285）．由圆的方程（x －3)2＋(y －4)2=4知，圆的半径为r =2，∣OC ∣=5故∣OP ∣最大值为∣OP 2∣=5＋2=7，∣OP ∣的最小值为∣OP 1∣=5－2=3．∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最大值为2＋2×49=100，∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最小值为2＋2×9=20．【解法二】 设p (3＋2cosθ，4＋2sinθ），则∣AP ∣2＋∣BP ∣2=（4＋2cosθ）2＋（4＋2sinθ）2 ＋(2＋2cosθ）2＋（4＋2sinθ）2=60＋24cosθ＋32sinθ=60＋40cos(θ－φ)（cosφ= 35 ,sinφ=45) ∵cos(θ－φ)max =1, cos(θ－φ)min =－1,∴∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最大值为60＋40=100，∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最小值为60－40=20．当cos(θ－φ) =1 时，cosφ= 35 ，sinφ=45 , cosθ= 35 ，sinθ = 45此时P 点坐标为（215 ，285）．当cos(θ－φ) =－1 时，cosφ= 35 ，sinφ=45 , cosθ=－ 35 ， sinθ=－45此时P 点坐标为（95 ，125）． 2.圆的一般式方程根据圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2=r 2，圆心(a ，b )，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ① 这个方程是圆的一般式方程。
高中数学圆的一般方程 教案 北师大必修2 教案
练习1：P134练习1、2；
例1：（P132例4）求过三点 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
思考2：试总结求圆的方程的基本步骤。（待定系数法）
例2：（P133例5）已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
思考3：试叙述求轨迹方程的基本步骤
1．（1）圆 的圆心和半径是多少？
（2）若将上述方程改写成 后，它还表示圆吗？
（3）是否形如 的方程都表示圆呢？举例说明。
2．对于方程 ，当满足怎样的条件时表示圆？
（提出问题，引入课题）
二．探索新知：
1．对于方程 ，配方得到：
；
（1）当 时，方程表示以 为圆心，
为半径的圆；
（2）当 时，方表示点 ；
例3：（作业本B P69）过点Q（2，-4）作圆 的割线，交圆O于点A，B，求AB中点P的轨迹方程。
练习2：P134练习3；P135B组1、2
四．本节小结：
1．方程 表示圆需要满足的条件；
2．用待定系数法求圆的方程的基本步骤；
3．求轨迹方程的一般方法
作业
P134/A组1、6；P135/B组3
后记
教学目标
1．经历圆的一般方程认识过程及其特点的讨论，提高学生从特殊到一般的归纳概括能力；
2．掌握圆的一般方程及其特点，；
3．会由圆的方程求出圆心和半径，会用待定系数法求圆的一般方程。
本节重点
圆的一般方程的特征和求圆的一般方程
本节难点
求轨迹方程的思想方法
教学模式
教学过程
主要内容及板书
摘要与反思
一．复习引入：
（3）当 时，方程不表示任何图形。
2.2.2 圆的一般方程教案 (高中数学必修2北师大版)
2.2 圆的一般方程1．圆的一般方程的定义当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示一个圆，这时这个方程叫作圆的一般方程．22二元二次方程Ax 2＋By 2＋Cxy ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的等价条件是什么？ 提示：⎩⎪⎨⎪⎧A ＝B ≠0，C ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.预习交流2方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋2＝0表示什么图形？ 提示：表示点(－1，－1)． 预习交流3圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0具有什么特征？提示：①x 2项和y 2项的系数相等，且不为零； ②是二元二次方程且没有xy 这样的二次项； ③参数D ，E ，F 满足D 2＋E 2－4F ＞0. 预习交流4方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,3)，半径为3的圆，则a ，b ，c 的值依次为( )．A ．2,6,4B ．－2,6,4C ．2，－6,4D ．2，－6，－4提示：B1．二元二次方程同圆的关系下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)x 2＋2y 2－7x ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋3x ＋5y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)－2x 2－2y 2＋10y ＝0.思路分析：解答本题的关键是验证二元二次方程是否满足圆的一般式的特征． 解：(1)由于x 2，y 2的系数不相等，故不表示圆． (2)由于该方程中含有xy 这样的二次项，故不表示圆．(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＋5＝0，显然不表示圆． (4)方程－2x 2－2y 2＋10y ＝0可化为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254，所以其可以表示以⎝⎛⎭⎫0，52为圆心，以52为半径的圆．1．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．解：方法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点， 当m ≠2时，原方程表示圆的方程， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.方法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点， 当m ≠2时，表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|. 2．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求 (1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．解：(1)根据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m 2)＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0， 即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0， 解得m ＜15，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，15. (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x 2与y 2的系数是否相等， (2)是否含xy 的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察是否表示圆．2．利用待定系数法求圆的一般方程已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在x 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．思路分析：解答本题的关键是应用条件“在x 轴上截得的线段长为43”，常见思路是设圆的方程的一般式x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0利用|x 1－x 2|＝43及P ，Q 两点满足圆的方程求解参数D ，E ，F .解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，① 将点P ，Q 的坐标分别代入①得：⎩⎪⎨⎪⎧ 4D －2E ＋F ＝－20，D －3E －F ＝10，②③令y ＝0，由①得x 2＋Dx ＋F ＝0，④由已知|x 1－x 2|＝43，其中x 1，x 2是方程④的两根，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝D 2－4F ＝48，⑤解②，③，⑤组成的方程组得 D ＝－4，E ＝－2，F ＝－8.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －8＝0.1．建立适当的直角坐标系，求长为8，宽为6的长方形ABCD 的外接圆P 的方程． 解：以A 为原点，以线段AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．设△ABD 的外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Mx ＋Ey ＋F ＝0.将A (0,0)，B (8，0)，D (0,6)三点代入，得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，64＋8M ＋F ＝0，36＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧M ＝－8，E ＝－6，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－8x －6y ＝0.2．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，求圆C。
高中数学北师大版必修2 2.2 教学设计 《圆的标准方程》(北师大)
《圆的标准方程》◆教材分析圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础，对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。
◆教学目标【知识与能力目标】掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；会用待定系数法求圆的标准方程。
【过程与方法目标】进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
【教学重点】圆的标准方程。
【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分如图，把石子看成点，把波纹看成圆．你知道石子与一圈圈的波纹是什么关系吗？二、研探新知，建构概念1.电子白板投影出上面实例。
点在圆内。
2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
（1）圆的标准方程①圆心为(a，b)，半径为r，圆的标准方程是(x−a)2+(y−b)2=r2②圆心为坐标原点，半径为r，圆的标准方程是x2+y2=r2◆教学重难点◆课前准备◆教学过程注意：(1)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件。
反之，若已知圆的标准方程便可以直接得到圆心和半径。
(2)几种特殊位置的圆的标准方程：（3设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(m，n)，①点M在圆上⇔(m－a)2＋(n－b=r2；②点M在圆内⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2；③点M在圆外⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 2.2圆的一般方程》
教学案设计圆的一般方程圆的一般方程渔沟中学梁乾教学目标：1、教学知识点：圆的一般方程2、能力训练要求〔1〕掌握圆的一般方程及其特点．〔2〕能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．〔3〕能用待定系数法，由条件求出圆的一般方程．〔4〕通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法．3、德育渗透目标〔1〕渗透数形结合思想〔2〕提高学生的思维素质和解题能力教学重点及难点教学重点:1用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．2用待定系数法求圆的方程．教学难点：圆的一般方程特点的研究．教学方法：启发式教学法、讨论法，从而使学生自己发现规律学情分析：根据本节课的内容和学生的实际水平，采用引导发现法和直观演示法相结合及形数结合的教学方法。
在教学中，启发、诱导贯穿于始终，调动学生积极性，发挥学生主体作用，利用电教媒体，使学生在获得感性知识的同时，为掌握理性知识创设条件。
教学过程：【课题导入】上节课我们已经学习了圆的标准方程，请同学们回忆一下：〔学生〕以a,b为圆心，r为半径的圆的标准方程为〔教师〕,的二元二次方程，它具备了一些二元二次方程的形式特点，为了便于我们研究，可以将标准方程变形展开。
那么我们如果将它展开来又会怎样呢？〔请学生上黑板去做〕〔学生〕展开式为〔教师〕由于a,b,r都为常数，不妨设那么它又可以化成下面的形式：………………①由此我们可以推断：但凡圆的方程都可以化成：，那么，是不是形如①式的方程表示的曲线也一定是圆呢？【新课讲解】师生共同讨论分析：如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？谁愿意上来运用配方法做做，〔学生〕配方后整理得………………②〔教师〕显然方程②是不是圆的方程与是什么样的数密切相关即的取值有关。
下面一起来讨论：分三种情况：〔教师〕总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．那么何时才表示圆的方程呢？探究：圆的一般方程是一个特殊的二元二次方程，既然特殊，那我们可以写出一般的二元二次方程，将它们进行比照，找出它的特殊之处：圆的一般方程两个形式特点：1、不含这样的二次项2、二次项的系数相等皆为1拓展思考：表示圆的充分必要条件是什么？转化思想：A=C≠0，B=0，下面举一些例题来加以分析例1、见课件例2：求过点M〔-1,1〕，且圆心与圆C:22-46-30相同的圆的方程。
高中数学必修二《圆的一般方程》优秀教学设计
一、学习目标1、掌握圆的一般方程的特点，2、能将圆的一般方程化为标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径。
3、会用待定系数法求圆的一般方程。
二、学习重点、难点：重点：（1）由圆的一般方程求圆心.半径；（2）用待定系数法，由已知条件求圆的方程。
难点：圆的一般方程的探求过程及其特点。
三、学习过程（一）、课前准备预习教材 P121 ~ P123 ，找出疑惑之处练习：1.已知圆的圆心为(,)C a b ，半径为r ，则圆的标准方程为 ， 若圆心在坐标原点上，则圆的方程就是 .2．求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程.(二)、新课导学※ 学习探究问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？新知：方程220x y Dx Ey F ++++= 表示的轨迹：（1）当2240D E F +->时，方程表示以(,)22D E --为半径的圆（2）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-，即只表示一个点(,)22D E -- （3）2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆，只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称 为圆的一般方程。
思考：1．圆的一般方程的特点？2．圆的标准方程与一般方程的区别？※ 典型例题例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径. ⑴220x y +=；⑵222660x y x y +-+-=；（3）22220x y ax b ++-=例 2求过三点(0,0),(1,1)(4,2)A B C 的圆的方程， 并求这个圆的半径长和圆心坐标.例 3已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上22(1)4x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
北师大版高中必修22.2圆的一般方程课程设计 (2)
北师大版高中必修22.2圆的一般方程课程设计1. 课程简介本课程主要介绍圆的一般方程及其相关知识点。
通过该课程的学习，学生将掌握圆的一般方程的概念、求解方法、应用场景等内容，能够灵活运用圆的一般方程解决实际问题。
2. 教学目标在课程学习结束后，学生应该能够：1.理解圆的一般方程的概念，掌握圆心半径式方程的转化方法；2.掌握圆的一般方程的求解方法，能够用一般方程表示任意圆；3.运用圆的一般方程解决实际问题，提高数学建模能力。
3. 教学内容3.1 圆的一般方程的概念1.1.1 圆的定义及相关概念； 1.1.2 圆的标准方程； 1.1.3 圆的一般方程的概念及其特点。
3.2 圆的一般方程的求解1.2.1 利用圆的特殊情况求解一般情况； 1.2.2 利用圆外点到圆的距离公式求解一般情况； 1.2.3 其他求解方法。
3.3 圆的一般方程的应用1.3.1 判定两条直线的位置关系； 1.3.2 判定两个圆的位置关系； 1.3.3 判断点的位置关系和直线是否过圆心； 1.3.4 圆与直线、圆与圆的共轭关系；1.3.5 几何问题的解法。
4. 教学方法本课程采用多种教学方法，包括教师讲解、案例探究、课堂讨论和互动学习等方式。
同时，也将鼓励学生进行定向探究和实践操作，增加学生对课程内容的吸收和掌握。
5. 教学评价根据学生课堂表现、作业完成情况、考试成绩等，进行多角度的教学评价。
同时，也将收集学生反馈，不断完善教学内容和方法，提高教学效果。
6. 参考书目1.《数学分析》石路生等编北京师范大学出版社2.《高中数学全书》邹国珍等编人民教育出版社以上为北师大版高中必修22.2圆的一般方程课程设计，内容涵盖了课程简介、教学目标、教学内容、教学方法、教学评价和参考书目等方面。
希望该课程能够对学生圆的一般方程的掌握和应用提供有力的支持和帮助。
北师大版高中必修22.2圆的一般方程教学设计
北师大版高中必修22.2圆的一般方程教学设计一、教学目标•理解圆在平面直角坐标系中的一般方程形式和基本性质；•掌握圆的方程一般式的推导方法及其应用；•学会应用一般式解决圆与直线的交点和圆的切线问题；•培养学生的分析、综合、解决问题的能力。
二、教学内容1.圆在平面直角坐标系中的一般方程形式；2.圆的一般式的推导方法；3.圆的一般式的应用；4.圆与直线的交点及圆的切线；三、教学重点•圆的一般式的推导方法；•圆的一般式在解决圆与直线的交点和圆的切线问题中的应用。
四、教学难点•圆的一般式的推导方法；•求解圆与直线的交点和圆的切线问题。
五、教学方法1.观察法、体验法；2.课堂讲授法、归纳法、演绎法；3.举例法、启发式学习法。
六、教学过程第一步：导入•以日常生活或实例引入圆的一般式及其应用。
第二步：知识讲解知识点一：圆的一般式的推导方法1.圆上任一点(x, y)到圆心(a,b)的距离为半径r；2.r2=(x−a)2+(y−b)2，推导出圆的一般式方程；3.常见的圆的一般式方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0。
知识点二：圆的一般式的应用1.解决圆与直线的交点问题；2.解决圆的切线问题。
第三步：知识巩固•练习题让学生完成圆与直线的交点问题和圆的切线问题。
第四步：归纳总结•归纳总结圆的一般式方程的推导方法及其应用。
第五步：拓展•通过拓展阅读及相关实例让学生深入了解圆的一般式方程的应用。
七、教学评价1.课堂表现评价：包括思维能力、表达能力、参与度等；2.考试成绩评价：考试考查学生掌握了知识点及其应用。
八、教学资源•北师大版高中数学必修3教材；•课件及习题；•网络资源。
九、教学反思圆的一般式方程的推导方法及其应用是数学必修3中比较难的知识点，需要学生有一定的数学基础和推理能力。
在教学过程中，我通过课堂讲授法、归纳法和演绎法等多种教学方法，加强学生对相关知识的理解和应用。
同时，我还设计了适当的练习题和拓展阅读，巩固和深入学生的学习成果。
高中数学学案北师大版必修2 圆的一般方程 教案
教学设计2．2 圆的一般方程整体设计教学分析圆的一般方程是表示圆的方程的又一基本形式，本节内容研究圆的一般方程的方法与研究圆的标准方程不同，它是在学习了圆的标准方程的基础上将圆的方程展开，化成二元二次方程的形式：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，从而得出：任何一个圆的方程都可以写成这种形式，即任何一个圆的方程都可表示成关于x ，y 的二元二次方程的形式，但是，是不是任何一个关于x ，y 的形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程的曲线都表示圆呢？这就给学生留下了一个悬念．教材中讨论二元二次方程所表示的曲线运用了“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想，这种思想要求学生理解掌握．教材通过将二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方化为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋F 22＝D 2＋E 2－4F 4后，只需讨论D 2＋E 2－4F ＞0，D 2＋E 2－4F ＝0，D 2＋E 2－4F ＜0三种情况．与圆的标准方程比较可知D 2＋E 2－4F ＞0时，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2；当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 从而得出圆的一般方程的特点：(1)x 2和y 2的系数相同，不等于0；(2)没有xy 这样的二次项；(3)D 2＋E 2－4F ＞0.其中(1)和(2)是二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的必要条件，但不是充分条件，只有三条同时满足才是充要条件．同圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2含有三个待定系数a ，b ，r 一样，圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中也含有三个待定系数D ，E ，F ，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．同样可以用待定系数法求得圆的一般方程．在实际问题中，究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定．圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径，因此，对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程．如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系，通常采用圆的一般方程；当两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式，这是因为它可避免解三元二次方程组．圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长．我们知道，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，它有利于研究圆的有关性质和作图．而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中，哪些是圆的方程，哪些不是圆的方程，它们各有自己的优点，在教学过程中，应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化，尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径．要画出圆，就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程，然后才能画出曲线的形状．这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性．三维目标1．在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心、半径．2．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件，通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析、解决问题的能力．3．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法和轨迹法求圆的方程，同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力．重点难点教学重点：①圆的一般方程的代数特征．②一般方程与标准方程间的互化．③根据已知条件确定方程中的系数D，E，F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.写出圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.将圆的标准方程展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.如果D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得到方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式．能不能说方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0所表示的曲线一定是圆呢？这就是我们本堂课的内容．思路2.问题：求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程．利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式．推进新课新知探究提出问题①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法？②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢？③给出式子x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，请你利用配方法化成不含x 和y 的一次项的式子. ④把式子(x －a )2＋(y －b )2＝r 2与x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方后的式子比较，得出x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件.⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较，看各自有什么特点？讨论结果：①以前学习过直线，我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，最后学习一般式．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的．②我们想求圆的一般方程，可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程，把标准形式展开，整理得到，也是从特殊到一般．③把式子x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方得⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. ④(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中，r ＞0时表示圆，r ＝0时表示点(a ，b )，r ＜0时不表示任何图形．因此式子⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4， (ⅰ)当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆； (ⅱ)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (ⅲ)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．综上所述，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，由此得到圆的方程都能写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，它表示的曲线才是圆．因此x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F ＞0.我们把形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的方程称为圆的一般方程．⑤圆的一般方程形式上的特点：x 2和y 2的系数相同，不等于0.没有xy 这样的二次项．圆的一般方程中有三个待定的系数D ，E ，F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．应用示例思路1例1 求过点M (－1,1)，并与已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y －3＝0同心的圆的方程．图1解：将已知圆的方程化为标准方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16，圆心C 的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r ＝|CM |＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5.所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25(如图1)．例2 求过三点O (0,0)，M 1(1,1)，M 2(4,2)的圆的方程，并求圆的半径长和圆心坐标． 解：方法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由O ，M 1，M 2在圆上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0.解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，即(x －4)2＋(y ＋3)2＝52.所以圆心坐标为(4，－3)，半径为5.方法二：先求出OM 1的中点E ⎝⎛⎭⎫12，12，M 1M 2的中点F ⎝⎛⎭⎫52，32， 再写出OM 1的垂直平分线PE 的直线方程y －12＝－⎝⎛⎭⎫x －12，① AB 的垂直平分线PF 的直线方程y －32＝－3⎝⎛⎭⎫x －52，② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，3x ＋y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3.则点P 的坐标为(4，－3)，即为圆心．OP ＝5为半径．方法三：设所求圆的圆心坐标为P (a ，b )，根据圆的性质可得|OP |＝|AP |＝|BP |，即x 2＋y 2＝(x －1)2＋(y －1)2＝(x －4)2＋(y －2)2，解之，得P (4，－3)，OP ＝5为半径．方法四：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为O (0,0)，A (1,1)，B (4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解．把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于a ，b ，r 的方程组，即⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a 2＋b 2＝r 2，(4－a )2＋(2－b )2＝r 2.解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.所以所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝52，圆心坐标为(4，－3)，半径为5.点评：请同学们比较，关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程．一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．例3 已知点P (10,0)，Q 为圆x 2＋y 2＝16上一动点．当Q 在圆上运动时，求PQ 的中点M 的轨迹方程．活动：学生回想求曲线方程的方法与步骤，思考讨论，教师适时点拨提示，本题可利用平面几何的知识，过中点作中线，利用中线定长可得方程，再就是利用求曲线方程的办法来求．解法一：如图2，作MN ∥OQ 交x 轴于N ，图2则N 为OP 的中点，即N (5,0)．因为|MN |＝12|OQ |＝2(定长)． 所以所求点M 的轨迹方程为(x －5)2＋y 2＝4.点评：用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件，然后再将条件代数化．但在许多问题中，动点满足的几何条件较为隐蔽复杂，将它翻译成代数语言时也有困难，这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法．转移法就是一种很重要的方法．用转移法求轨迹方程时，首先分析轨迹上的动点M 的运动情况，探求它是由什么样的点控制的．解法二：设M (x ，y )为所求轨迹上任意一点Q (x 0，y 0)．因为M 是PQ 的中点，所以⎩⎨⎧ x ＝10＋x 02，y ＝0＋y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －10，y 0＝2y .(*) 又因为Q (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝16上，所以x 20＋y 20＝16.将(*)代入得(2x －10)2＋(2y )2＝16.故所求的轨迹方程为(x －5)2＋y 2＝4.点评：相关点法步骤：①设被动点M (x ，y )，主动点Q (x 0，y 0)．②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f 1(x 0，y 0)，y ＝f 2(x 0，y 0).(Ⅰ) ③从(Ⅰ)中解出⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝g 1(x ，y )，y 0＝g 2(x ，y ).(Ⅱ) ④将(Ⅱ)代入主动点Q 的轨迹方程(已知曲线的方程)，化简得被动点的轨迹方程．这种求轨迹方程的方法也叫相关点法，以后要注意运用.变式训练已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)．由于点B 的坐标是(4,3)且M 是线段AB 的中点，所以x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋32.于是有x 0＝2x －4，y 0＝2y －3.①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4.②把①代入②，得(2x －4＋1)2＋(2y －3)2＝4，整理，得⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1. 所以点M 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫32，32为圆心，半径长为1的圆.思路2例1 求圆心在直线l ：x ＋y ＝0上，且过两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的交点的圆的方程．活动：学生审题，教师引导，强调应注意的问题，根据题目特点分析解题思路，确定解题方法．由于两圆的交点可求，圆心在一直线上，所以应先求交点再设圆的标准方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，得两圆交点为(0,2)，(－4,0)． 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上，所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ (－4－a )2＋b 2＝r 2，a 2＋(2－b )2＝r 2，a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3，r ＝10.故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.点评：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．例2 已知圆在x 轴上的截距分别为1和3，在y 轴上的截距为－1，求该圆的方程． 解法一：利用圆的一般方程．设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由已知，该圆经过点(1,0)，(3,0)和(0，－1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋D ＋F ＝0，32＋3D ＋F ＝0，(－1)2－E ＋F ＝0.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝4，F ＝3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y ＋3＝0.解法二：利用圆的标准方程．由题意该圆经过P (1,0)，Q (3,0)，R (－1,0)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心C (a ，b )在PQ 的垂直平分线上，故a ＝2. 因为|PC |＝|RC |，所以(a －1)2＋b 2＝a 2＋(b ＋1)2.将a ＝2代入，得b ＝－2，所以C (2，－2)．而r ＝|PC |＝5，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝5.例3 试求圆C ：x 2＋y 2－x ＋2y ＝0关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的曲线C ′的方程． 活动：学生先思考，然后解答，教师引导学生抓住本质的东西，即圆的圆心坐标变化、半径不变，另外可利用相关点法来求．解法一：设P ′(x ，y )为所求曲线C ′上任意一点，P ′关于l 的对称点为P (x 0，y 0)，则P (x 0，y 0)在圆C 上．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 02－y ＋y 02＋1＝0，y －y 0x －x 0·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －1，y 0＝x ＋1.(*) 因为P (x 0，y 0)在圆C 上，所以x 20＋y 20－x 0＋2y 0＝0.将(*)代入得(y －1)2＋(x ＋1)2－(y －1)＋2(x ＋1)＝0，化简得x 2＋y 2＋4x －3y ＋5＝0，即为C ′的方程．解法二：(特殊对称)圆C 关于直线l 的对称图形仍然是圆，且半径不变，故只需求圆心C ′，即求⎝⎛⎭⎫12，－1关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′⎝⎛⎭⎫－2，32，因此所求圆C ′的方程为(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝54. 点评：比较解法一与解法二看出，利用几何性质解题往往较简单．知能训练1．判断下列二元二次方程是否表示圆的方程．如果是，请求出圆的圆心坐标及半径．(1)4x 2＋4y 2－4x ＋12y ＋9＝0；(2)4x 2＋4y 2－4x ＋12y ＋11＝0.2．求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0；(2)x 2＋y 2＋2by ＝0.解答：1.(1)由4x 2＋4y 2－4x ＋12y ＋9＝0，得D ＝－1，E ＝3，F ＝94，而D 2＋E 2－4F ＝1＋9－9＝1＞0.所以方程4x 2＋4y 2－4x ＋12y ＋9＝0表示圆的方程，其圆心为⎝⎛⎭⎫12，－32，半径为12. (2)由4x 2＋4y 2－4x ＋12y ＋11＝0，得D ＝－1，E ＝3，F ＝114，D 2＋E 2－4F ＝1＋9－11＝－1＜0，所以方程4x 2＋4y 2－4x ＋12y ＋11＝0不表示圆的方程．点评：对于形如Ax 2＋By 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的方程判断其是否表示圆，先化为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，再利用条件D 2＋E 2－4F 与0的大小判断，不能直接套用．另外，直接配方也可以判断．2．(1)把x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0配方得(x －4)2＋(y ＋3)2＝52，所以圆心为(4，－3)，半径为5.(2)x 2＋y 2＋2by ＝0配方得x 2＋(y ＋b )2＝b 2，所以圆心为(0，－b )，半径为|b |.点评：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．拓展提升已知圆x 2＋y 2－x －8y ＋m ＝0与直线x ＋2y －6＝0相交于P ，Q 两点，定点R (1,1)，若PR ⊥QR ，求实数m 的值．解：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －8y ＋m ＝0，x ＋2y －6＝0，消去y 得5x 2＋4m －60＝0.① 由题意，方程①有两个不等的实数根，所以60－4m ＞0，即m ＜15.由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝45m －12.因为PR ⊥QR ，所以k PR ·k QR ＝－1. 所以y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝－1，即(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋2＝0.②因为y 1＝3－x 12，y 2＝3－x 22， 所以y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫3－x 12⎝⎛⎭⎫3－x 22＝9－32(x 1＋x 2)＋x 1x 24＝9＋x 1x 24，y 1＋y 2＝6. 代入②，得54x 1x 2＋5＝0，即54⎝⎛⎭⎫45m －12＋5＝0. 所以m ＝10，适合m ＜15.所以实数m 的值为10. 课堂小结1．任何一个圆的方程都可以写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆． 2．求圆的方程，应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关，则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标，则宜用一般方程．3．要画出圆的图像，必须要知道圆心坐标和半径，因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法．作业习题2—2 A 组第2,3题．设计感想这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程．因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重，知识、能力、思想方法并重”．在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，引导学生探索，重视探索过程．一方面，把直线一般方程探求过程进行回顾、类比，学生从中领会探求方法；另一方面，“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法．同时，通过类比进行条件的探求——“D 2＋E 2－4F ”与“Δ”(判别式)类比．在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识．这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程．备课资料备用习题1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞23B ．－23＜a ＜0 C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜23分析：由二元二次方程表示圆的条件，有D 2＋E 2－4F ＝a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)＞0.解之，可得－2＜a ＜23. 答案：D2．过原点且在x ，y 轴上的截距分别为p ，q (p ，q 均不为0)的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－px －qy ＝0B ．x 2＋y 2＋px －qy ＝0C ．x 2＋y 2－px ＋qy ＝0D ．x 2＋y 2＋px ＋qy ＝0分析：由题意知圆过原点，且在x ，y 轴上的截距分别为p ，q ，则圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，q 2且常数项为0.答案：A3．已知圆C 的方程为f (x ，y )＝0，点A (x 0，y 0)是圆外的一点，那么方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．与圆C 重合的圆B．过点A(x0，y0)与圆C相交的圆C．过点A(x0，y0)与圆C同心的圆D．可能不是圆分析：设f(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则f(x0，y0)＝x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0，从而f(x，y)－f(x0，y0)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F－x20－y20－Dx0－Ey0－F＝0，过点A(x0，y0)与圆C 同心．答案：C(设计者：高建勇)。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 2.1圆的标准方程》0
《圆的标准方程》教学设计【一】教学背景分析1教材结构分析《圆的方程》是北师大版必修二第二章第二节内容圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用2学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3教学目标1 知识目标：①掌握圆的标准方程;②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程;③利用圆的标准方程解决简单的实际问题2 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用;③增强学生用数学的意识3 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识;②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：4 教学重点与难点1重点:圆的标准方程的求法2难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程。
为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法学法分析1教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导了学生建模的过程2学法分析通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求的过程下面我就对具体的教学过程和设计加以说明：【三】教学过程与设计整个教学过程是由问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：一创设情境——启迪思维通过生活实例很自然的进入了本课的主题用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题生的学习兴趣和学习欲望这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移抓住了学生的注意力，此时再把问题深入，进入第二环节二深入探究——获得新知问题 1回顾圆的定义能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程2确定圆的要素是什么？3 能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程这一环节引导学生归纳出圆心在原点，半径为r的圆的标准方程然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究我预设了三种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、图形变换法、向量平移法得到圆的标准方程后，我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节三应用举例——巩固提高I直接应用内化新知试一试 1写出下列各圆的圆心坐标和半径；2写出圆的标准方程；3下列方程表示什么图形？这几道题比较简单，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究问题作准备II灵活应用提升能力探究 1求圆心在直线上，且过两点的圆的方程2求圆心在直线，且与一条直线相切的圆的方程。
高中数学必修2《圆的一般方程》教案
高中数学必修2《圆的一般方程》教案高中数学必修2《圆的一般方程》教案一.复习引入提问：以A(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么?讨论并归纳回答。
复习巩固加强记忆。
二.新课讲授1.思考：我们先来判断两个具体的方程是否表示圆?2.教师提问：(1).是不是任何一个形如的方程表示的曲线都是圆?(2).如果不是那么在什么条件下表示圆?(提示：与圆的标准方程进行比较。
)综上所述，方程表示的曲线不一定是圆,只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把方程 ( )称为圆的一般方程与一般的二元二次方程比较我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)学生根据已有的知识，经过配方，把方程化成标准形式，然后加以判断。
1.2.(让学生相互讨论后,由学生总结)配方得总结当时，此方程表示以(- ，- )为圆心, 为半径的圆;当时，此方程只有实数解，，即只表示一个点(- ，- );当时，此方程没有实数解，因而它不表示任何图形①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项使新知识建立在学生已有的知识上设置问题：提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，合作交流使学生在积极的学习中解决问题，提高学生的教学思维能力，实现素质教育的目标，同时也培养了学生的情感、态度与价值观。
提高学生分析问题和解决问题的能力。
圆的标准方程圆的一般方程方程圆心半径r优点几何特征明显突出方程形式上的特点问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?采用类比法加深在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想的认识。
练习1.判断下列方程是否表示圆? 如果是 ,请求出圆的圆心及半径.三.例题讲解：例1：求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析:已知曲线类型,应采用待定系数法使用待定系数法的圆的方程的一般步骤：1.根据题意，选择标准方程或一般方程;2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;3.解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
高中数学 2.2.2圆的一般方程教案 北师大版必修2
总 课 题圆与方程 总课时 第34课时 分 课 题 圆的一般方程分课时 第 2 课时 教学目标 掌握圆的一般方程，会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程.重点难点 会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程.引入新课问题1．已知一个圆的圆心坐标为)11( ，，半径为2，求圆的标准方程．问题2．在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？如ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆方程． 这道题怎样求？有几种方法？问题3．要求问题2也就意味着圆的方程还有其它形式？1．圆的一般方程的推导过程．2．若方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程，有什么要求？例题剖析例1 已知ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．变式训练：已知ABC ∆的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．例2 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长（精确到m 01.0）．2P P B A O y x 2A例3 已知方程0834222=+++++k y kx y x 表示一个圆，求k 的取值范围．变式训练：若方程02)1(22222=+-+-+m y m mx y x 表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，求实数m 的取值范围．巩固练习1．下列方程各表示什么图形？（1）0)2()1(22=++-y x ；（2）044222=-+-+y x y x ； （3）0422=-+x y x ；（4）02222=-++b ax y x ； （5）052422=+--+y x y x ．2．如果方程Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直 线x y =对称，那么必有（ ）A ．E D =B ．F D =C ．F E =D ．FE D ==3．求经过点)14( ，A ，)36( -，B ，)03( ，C 的圆的方程．圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用代定系数法求圆的一般方程．课后训练一 基础题1．圆036422=--++y x y x 的圆心坐标和半径分别为 ．2．若方程054222=-+-+m my x y x 表示的图形是圆，则m 的取值范围是 ．3．圆0124222=--++y x y x 的圆心坐标和半径分别为 ．4．若圆Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 的圆心在直线0=+y x 上， 则D 、E 、F 的关系有 ．5．已知圆04422=--+x y x 的圆心是P ，O 是坐标原点，则=PO ．6．过点)11( -，M 且与已知圆C ：034222=-+-+y x y x 的圆心相同的圆的方程 是 ．7．若圆022222=++++b by x y x 关于直线0=+y x 对称，则=b ．8．过三)00( ，O ，)11( ，M ，)24( ，N 的圆的方程是 ． 二 提高题9．求过三点)51( -，A ，)55( ，B ，)26(- ，C 的圆的方程．10．求圆012222=+-++y x y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程．三 能力题11．已知点)(y x M ，与两个顶点)00( ，O ，)03( ，A 的距离之比为21，那么点M 的坐标 满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线．。
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《圆的一般方程》教学设计
教材分析:
圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难.因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用.突破难点的关键是抓住一般方程的特点.结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用.
教学目标：
【知识与能力目标】
1.掌握圆的一般方程公式及其的特点；
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；
3.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程.
【过程与方法】
通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法.
【情感态度与价值观】
渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学创新，勇于探索。
教学重难点：
【教学重点】
1.能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；
2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
【教学难点】
会根据不同的条件求圆的标准方程．
课前准备：
课件、学案
教学过程：
一、课题引入：
问题1：圆的标准方程的形式是怎样的？其中圆心的坐标和半径各是什么？
问题2：若把标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2展开后，会得出怎样的形式？
问题3：是不是每个形如x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的方程表示的曲线都是圆呢？
二、新课探究：
当2240D E F +->时，方程22
0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方
程.,2
2D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径. 注：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(1) 当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-
=-. 它表示一个点(,)22D E -
-. (2) 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
(3) 当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭为圆心，
为半径的圆. 三、知识应用：
题型一 根据圆的一般方程求圆心半径
例1. 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
（1）2x 2+y 2―7y +5=0； （2）x 2―xy +y 2+6x +7y =0；
（3）x 2+y 2―2x ―4y +10=0； （4）2x 2+2y 2―5x =0．
【答案】（1）不能表示圆；（2）不能表示圆；
（3）不能表示圆；（4）表示圆 ，圆心为5
,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为54
. 解:（1）∵方程2x 2+y 2―7y +5=0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆．
（2）∵方程x 2―xy +y 2+6x +7y =0中含有xy 这样的项，∴它不能表示圆．
（3）方程x 2+y 2―2x ―4y +10=0化为(x ―1)2+(y ―2)2=-5，∴它不能表示圆．
（4）方程2x 2+2y 2－5 =0化为2225544x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴它表示以5
,04⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，54
为半径长的圆． 【设计意图】（1）判断一个二元二次方程是否表示圆的方法：先看这个方程是否具备
圆的一般方程的特征，即：①x 2与y 2的系数相等；②不含xy 的项．当它
具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一
是看D 2+E 2―4F 是否大于零；二是直接配方变形，看右端是否为大于零
的常数．
（2）圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一
般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．
例2.判断方程ax 2+ay 2―4(a ―1)x +4y =0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半
径长．
【答案】2(1)2,a a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，||r a = 解：方程可变形为：()224140a x y x y a a
-+-+=, 一般方程为圆的条件：2240D E F +->,()224140a a a -⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，此方程为
圆，则圆心为2(1)2,a a
a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r =.
题型二 求圆的方程
例3. 求过(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程，及圆心坐标和半径.
解：法一：设圆的方程为：22
0x y Dx Ey F ++++=，则
8220345301030D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩
∴所求圆的方程为：2282120x y x y +--+=，即()2
24(1)5x y -+-=， ∴圆心为（4，1
法二：线段AB 的中点为为75,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，321523AB k -==- 线段AB 的中垂线为57322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝
⎭，即3130x y --= 同理得线段BC 中垂线为260x y +-=
联立2603130x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得41
x y =⎧⎨=⎩ ∴所求圆的方程为（4，1
），半径r ==∴()2
24(1)5x y -+-=． 例4.求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点（8，6）的圆的方程．
解：法一：设圆的方程为：22
0x y Dx Ey F ++++=，则 2024062382100860
D E F E
D D
E
F --+=⎧⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪⎪+++=⎩，解得：11330D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ ∴圆的方程为22
113300x y x y +-+-=．
法二：过点B 与直线3260x y +-=垂直的直线是3180x y --=，
线段AB 的中垂线为40x y +-=， 由318040
x y x y --=⎧⎨+-=⎩得：圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由两点间距离公式得半径21252r =
，
∴圆的方程为22
113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭． 教学反思：
本节课在学习完圆的标准方程后继续研究圆方程的另一种形式，圆的一般方程.引导学生将圆的标准方程拆开得到圆的一般形式，反过来再给一个任意的22
0x y Dx Ey F ++++=形式，判断是否为圆，得到一般方程的条件，请学生思考独立完成.在应用过程中，不断启发孩子几何法和代数法两种方法.。