第二章数学模型-simple

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二章数学模型-PPT精选文档

粘性液体
电路系统电路系统三个基本元件：电阻、电容和电感。电阻 i( t) R u ( t)
建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
建立数学模型的方法解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确Байду номын сангаас进行折衷考虑。
阻尼
v1 ( t ) x1(t) fD(t) D v2 ( t ) x2(t) fD(t)
f D ( t ) D v1 (t ) v 2 (t ) Dv (t ) dx1 (t ) dx 2 (t ) D dt dt dx ( t ) D dt
进给传动装置示意图及等效力学模型
组合机床动力滑台及其力学模型
控制系统微分方程的列写
机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：质量
fm(t) x (t) v (t)
m
参考点
2 d d f ( t ) m v ( t ) m 2x ( t ) m dt dt
2 d d m yt ( ) Dyt ( ) k yt ( ) f ( t ) o o i 2 o d t d t

第二章数学模型-simple讲述

d 2 d dM L JLa 2 （JRa fLa）（fRa C M C e） C M U a La Ra M L dt dt dt 若以为输出量，则根据关系 d 可得相应运动方程。 dt
§2-2 非线性运动方程的线性化
• 定义：将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法。 • 小偏差线性化：基本假设——变量偏离其预期工作点的偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差线性化。
划分环节
恒温箱自动控制系统
由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。
t

u2

u

t
ua
n
v

u
写出每个环节(元件) 运动方程式找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。列写运动方程的关键要了解元件或系统所属学科领域的有关规律，而不是数学本身。例如：机械运动——牛顿定理、能量守恒定理电学——欧姆定理、基尔霍夫定律热学——传热定理、热平衡定律数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素；参数时变）。注：数学模型的准确性和简化的矛盾。
线性定常系统的微分方程一般表达式为
设描述系统的微分方程为: (p n a0 p m n 1 a1 p n2 a n 1 p a n ) x 2 ( t )
( b0 p
b1 p
m 1
bm 1 p bm ) x1 ( t )
其中，
x2(t )为输出量， x1(t )为输入量
ky
m
f
dy dt
0
y

数学建模第二章

P = R(t) – C(t)=(p0-rt)(w0+gt)(k0 + k t)
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参数估计
w0=100 kg, g=2kg, p0=7.5 元, r=(7.8-7.5)/5=0.06 元, k=7.1 元 P(t) = R(t) – C(t) = (7.5－0.06 t)(100 + 2t) – (500+7.1t) P(t) = 250 + 1.9t – 0.12 t2.
第二章数学(shùxué) 建模
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回顾(huígù )
数学模型：通过抽象和化简，使用数学语言，对实际问题的一个(yī ɡè)近似描述，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。数学模型的特点：实践性；应用性；综合性。
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数学(shùxué)建模 (Mathematical modelling)
数学建模是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并" 解决(jiějué)"实际问题的路径。
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构建(ɡòu jiàn)数学模型的基本步骤：
识别问题：什么是要探究的问题？要将不同学科(xuékē)对问题的语言陈述用数学方式表达。
做出假设：抓住主要因素，降低问题的复杂性，确定所考虑到的因素之间的关系。这包括引入参量、自变量、因变量。
度 v*, 使得疏散的时间最短？
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V=ad/(b+d) =7.83d/(75.60+d)
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例6. 生猪饲养
一头重量是100 kg的猪，在上一周每天增重约2 kg。五天前售价为7.8元/kg，但现在猪价下降到
7.5元/kg，饲料每天需花费(huāfèi)7.1元。前期育肥的投入大约500元。求出售猪的最佳时间。目标（求什么）？实现目标的关键？有关的因素？

数学建模第二章初等模型

第二章初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。

通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。

需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。

进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。

§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。

那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。

当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。

首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。

即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。

当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。

这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。

但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。

例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。

若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。

数学建模第二章初等模型

市场稳定问题
在市场经济下，当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场“供过于求”，价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又一轮新的供不应求。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量与价格是否会趋于稳定？所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。
a, b 模型求解：我们来求步长
(1) 由图
为何值，使式 (4) 最小。
所表示，重心离开 B 点上升到最高点所需时间为
t
b 2v
(5)
1 2 gb2 h gt 2 2 8v
由
(1),(2),(3)
及
(5)
式,
(4)
式化成
2 (a b）bmg 1 W m, v2 2 2 8v
又完成一个大步所需时间为
跑步时如何节省能量
• 问题的提出：我们每个人都有跑步的经历，有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎样跑步能使我们消耗的能量最少？ • 模型假设：为解决上述问题，我们做下述假设：
(1 )跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两条腿同时离地的时间；在第二部分时间内一条腿或两条腿同时落地。这样，人体重心的运动轨迹如图(1)。
a b v
，因此单位时间内消耗的能量为
2 W bmg m, v3 P a b 8v 2(a b) v
(6)

SIMPLE算法介绍

控制容积SIMPLE算法介绍控制容积SIMPLE算法介绍 SIMPLE
1
流体力学和传热学的控制方程控制容积法及方程离散离散方程的求解方法 SIMPLE算法的思想和实施
2
流体力学和传热学的控制方程
连续性方程(质量守恒) 连续性方程(质量守恒)
r ∂ρ + div ( ρv ) = 0 ∂t ∂t
* j
α 松驰因子
39
aj
α
ϕ j = Σanbϕnb + b + (1 − α )
aj
α
ϕ* j
a=1： Jacobi or G-S a=1： a<1： a<1： SUR a>1： a>1： SOR ①对于混合型： ②椭圆型：亚松驰(SUR) 超松驰(SOR)
40
SIMPLE算法 SIMPLE算法
1、U 控制容积
α eue = Σα nb unb + b − ( pi +1, j ,k − pi , j , k ) Ae
二维
Ae = ∆y ×1
三维
Ae = ∆y ∆z
41
ij
ue
i j+1
u控制容积
42
2. V 控制容制
α n vn = Σα nbunb + b − ( ρij +1,k − ρij ,k ) An
a j +1 = Fe exp( pe ) − 1
Fw a j −1 = exp( pw ) − 1
a j = a j +1 + a j −1 + ( Fe − Fw )
23
24
混合格式
pe < −2 | pe |≤ 2 pe > 2 a j +1 De a j +1 De a j +1 De = − pe = 1− =0 pe 2

SIMPLE算法讲解

Patankar和Spalding与1972年提出这种算法提出不久很快就成为计算不可压流场的主
要方法，随后这一算法以及其后的各种改进方案成功的推广到可压缩流场计算中已成为一种可以计算任何流速的流动的数值方法。
提出SIMPLE算法的缘由
动量方程中压力项的离散。
采用常规的网格及中心差分来离散压力梯度项时，动量方程的离散形式可能无法检测出不合理的压力场
考虑到湍流剪应力的影响修改了湍流粘性公式。
RSM模型 /雷诺应力模型 LES DNS
平均N-S方程的求解大涡模拟（LES）直接数值模拟（DNS）
平均N-S方程：模型可根据所采用的微分方程数进行分类为：零方程模型、一方程模型、两方程模型、四方程模型、七方程模型等。
湍流模型选取
湍流模型选取的准则：流体是否可压、建立特殊的可行的问题、精度的要求、计算机的能力、时间的限制。
这些特点使得RNG k-ε模型比标准k-ε模型在更广泛的流动中有更高的可信度和精度。
realizable可实现的k-ε模型：为湍流粘性增加了一个公式。
为耗散率增加了新的传输方程。
应用范围：
对于平板和圆柱射流的发散比率的更精确的预测。而且它对于旋转流动、强逆压梯度的边界层流动、流动分离和二次流有很好的表现。
可实现的k-ε模型和RNG k-ε模型都显现出比标准k-ε模型在强流线弯曲、漩涡和旋转有更好的表现。
适合的流动类型比较广泛，包括有旋均匀剪切流，自由流（射流和混合层），腔道流动和边界层流动。
可实现的k-ε模型的一个不足是在主要计算旋转和静态流动区域时不能提供自然的湍流粘度。
k-ω模型标准的k-ω模型：
SST k-ω模型合并了来源于ω方程中的交叉扩散。湍流粘度考虑到了湍流剪应力的传播。模型常量不同。

第2章数学模型2-1,2培训课件

一、为什么要线性化
1、实际的物理系统和化学系统，严格地讲，都是非线性系统。
2020/8/6
当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当作线性系统处理。另外，如果系统的变量只发生微小的偏移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。
2、线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。
（4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方程。
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§ 2.1 线性系统的微分方程
例1 如图所示，为RC无源网络。试建立该网络的微分方程
解：电路理论知：
ui(t)R(ti)u0(t)
dx12
(x x10 1 x10)2
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当 (x1 x10) 为微小增量时，可以略去二阶以上各项
df
df
x 2 f(x 1)0 d 1x x 1( 0 x 1 x 1)0 x 2 0d 1x x 1( 0 x 1 x 1)0
即 x2x20 K (x1x1)0 x2Kx1
其中， K df dx1
ua(t)Raia(t)Ladd a(it)teb
eb ce
d(t)
dt
ce为电动机的反电势系数
力矩平衡方程为
电机转动力矩
负载力矩
M DJdd 22 (tt)fdd(t)tM L MDcMia(t)
电磁转距
阻尼力矩
式中 J GD 2 为电动机电枢的转动惯量
4g
c M 为电动机的力矩系数
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Qi—冷水进入槽带入的热量: Qi VHTi
Ql— 隔热壁逸散的热量:

第二章简单优化模型ppt课件

h=2.0m 模型二模型一
v=10m/s s=12.04m s=10.20m
v=12m/s s=16.57m s=14.69m
模型二s比模型一约增2m.
正是一个出手高度h.
敏感性分析 v, θ, h的微小改变对s的影响
模型一 s v2 sin 2
g
数值计算
v提高5%
=1.1025s
s增加约10% θ变化5% 45°→42.75 °(47.25°)
理论分析
ds2(v2gh)dv, ds v dh
gv22gh
v22gh
d ss(1v2 v2 2gh)d vv,
d ssv2 gh 2ghd h h
ds s
dv v
ds dh sh
v=12m/s，h=2.0m ds1.78dv, ds0.11dh
s
vs
h
v的微小改变对s的影响比h大得多.
小结与评注
h=2.2 m 8.45
9 39.85 39.38 38.93 9.90 10.07 10.23
10 40.69 40.28 39.89 11.8 12.04 12.21
11 41.35 40.99 40.65 14.03 14.21 14.38
12 41.87 41.56 41.26 16.40 16.57 16.75
g(x0)越大, x改变dx/x引起y改变dy/y越大(x=x0附近).
2.3 不买贵的只买对的
在琳琅满目的市场里选购商品.
“不买贵的，只买对的” ！哪些商品、买多少才是“对的”？
“消费者追求最大效用”~ 经济学的一条最优化原理 . 用数学建模方法帮助决定商品的选择——效用函数.
效用函数定量描述吃下面包、缓解饥饿、

数学模型介绍ppt课件

数学竞赛给人的印象是高深莫测的数学难题，和一个人、一支笔、一张纸，关在屋子里的冥思苦想，它训练严密的逻辑推理和准确的计算能力，而数学建模竞赛从内容到形式与此都有明显的不同。
数学建模竞赛的题目由日常生活、工程技术和管理科学中的实际问题简化加工而成，大家可以从网上找到历年的赛题，它们对数学知识要求不深，一般没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
• 控制与优化
• 规划与管理
如虎添翼
数学建模
计算机技术
知识经济
1.3 数学建模示例
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析通常 ~ 三只脚着地放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模连线呈正方形;
型假
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续
“没有。” “没有。” “不算。” “没有花，就十只。” “都怕死。” “不会。” “完全可以。”
不是开玩笑，这就是数学建模。从不同的角度思考一个问题，想尽所有的可能，正所谓的智者千虑，绝无一失，这，才是数学建模的高手。
第一讲建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模
引言
数学建模竞赛，就是一项数学应用题比赛。大家都做过数学应用题吧，比如说 “树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只”，这样的问题就是一道数学应用题(应该是小学生的吧)，正确答案应该是9只，是吧？这样的题照样是数学建模题，不过答案就不重要了，重要的是过程。真正的数学建模高手应该这样回答这道题：

Leslie模型数学建模ppt课件

p/ r + p/ t=- µ(r,t)p(r,t) p(r,0)=p0(r) p(0,t)=f(t)
8
在社会比较安定的情况下,死亡率大致与时间无关.
μ(r,t)=μ(r)
p(r,t)=
p (r-t)e r
0
(s)ds r t
0≤t≤r
f(t-r)e r 0 (s)ds
t>r
9
分析：
1.当t<r时，p(r,t)完全由年龄为r-t的人口的初始密度及这些人的死亡率决定。 2.t>r 时，p(r,t)完全由未来的生育状况f(t-r)及死亡率决定。
13
建立模型:
F(0) F(1) F(2) • • • F(n)
S(0)
构造n+1阶方阵 M=
S(1) S(2)
•••
那么I (1)=MK
S(n-1)
I (t)=MtK
14
考虑到在一段稳定的时间段内:总的女性人口数比上总的男性人口数为一个近似为1的定值.为了更为确切地分析女性个体数量的分布对总人口数的影响,我们单独把女性人口数作为研究对象.
N j+1=[A(j)+B(j)]N j
25
其中 0 … … … 0
P0(j) A(j)= 0
0
0 P m-1(j) 0
0 … b`i1(j) … b`i2(j) 0 … 0
B(j)= 0 … … … … … … 0
0 … … …… …… 0
26
b`i(j)=(j)h(i,j)K i(j)
在一定Байду номын сангаас期内，Pi(j),(I=0,…,m-1), (j),h(i,j) 和K i(j)可视为与j无关的常数，从而在这一时期内A(j),B(j)取常数矩阵 A,B。

数学模型--百度百科

百度首页| 登录编辑词条数学模型目录[隐藏]一、建立数学模型的要求：二、数学模型的定义数学模型（Mathematical Model）是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。

它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。

[编辑本段]一、建立数学模型的要求：1、真实完整。

1）真实的、系统的、完整的,形象的映客观现象；2）必须具有代表性；3）具有外推性，即能得到原型客体的信息，在模型的研究实验时，能得到关于原型客体的原因；4）必须反映完成基本任务所达到的各种业绩，而且要与实际情况相符合。

2、简明实用。

在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。

3、适应变化。

随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况。

根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就是构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法．简称为MM方法。

数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。

数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。

在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。

初等数学模型

第二章初等数学模型本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法复习要求1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。

2．进一步理解数学模型的作用与特点。

类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构.利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽.1．雨中行走问题雨中行走问题的结论是：（1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即20πθ≤≤，那么全身被淋的雨水总量为⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+=h v hr dr pwD v r h dr v pwD C C C θθθθcos sin )]cos (sin [21 这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑.（2）如果雨是从你的背后落下，即πθπ≤≤2. 令απθ+=2，则20πα<<. 那么全身被淋的雨水总量为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=h v rh rd Dpw v C ααθsin cos ),( 这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C ，而C =C （v ），于是问题便归结为确定速度v ，使C （v ）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定.有了确定的建模目的，自然引出与C （v ）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的.另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要.例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如图2-1）的东偏南)102(cos =θθ方向300km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北︒45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km /h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？问题分析与假设1. 根据问题解决目的：问几小时后该城市开始受到台风的侵袭，以及台风侵袭的范围为圆形的假设，只要求出以台风中心p（动点）为圆心的圆的半径r ，这个圆的半径划过的区域自然是侵袭范围.2. 台风中心是动的，移动方向为向西偏北︒45，速度为20km /h ，而当前半径为60km ，并以10km /h 的速度不断增大，即半径的增加速度为t t r 1060)(+=，t 为时间.于是只要6010+≤t p o ，便是城图2-1市O 受到侵袭的开始.模型I 如图2-2建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻t (h )台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(222t r y y x x ≤-+-其中r (t )=10t +60. 图2-2若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x即 ,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 整理可得 ,0288362≤+-t t由此解得 12≤t ≤24，即12小时后该城市开始受到台风的侵袭.模型II 设在时刻t (h )台风中心为P （如图2-2），此时台风侵袭的圆形半径为10t +60，因此，若在时刻t 城市O 受到台风侵袭，应有6010+≤t P O由余弦定理知.cos 2222P OP PO P P PO P P P O ∠⋅⋅-+=注意到 t P P OP 20,300==,542210212210245sin sin 45cos cos )45cos(cos 2=⨯-+⨯=︒⋅+︒⋅=︒-=∠θθθP OP故 .30096002054300202300)20(222222+-=⨯⨯⨯-+=t t t t P O因此 .)6010(3009600202222+≤+-t t t即 0288362≤+-t t 解得 .2412≤≤t2．动物的身长与体重问题在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计它的体重.试建立数学模型讨论四足动物的躯干的长度（不含头、尾）与它的体重的关系，（1）问题分析众所周知，不同种类的动物，其生理构造不尽相同，如果对此问题陷入对生物学复杂生理结构的研究，就很难得到我们所要求的具有应用价值的数学模型并导致问题的复杂化.因此，我们舍弃具体动物的生理结构讨论，仅借助力学的某些已知结果，采用类比方法建立四足动物的身长和体重关系的数学模型.类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法. 它是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法，而不是一种论证的方法，它是建立数学模型的一种常见的、重要的方法.类比法的作用是启迪思维，帮助我们寻求解题的思路.，而它对建模者的要求是具有广博的知识，只有这样才能将你所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系.（2）模型假设与求解我们知道对于生猪，其体重越大、躯干越长，其脊椎下陷越大，这与弹性梁类似.为了简化问题，我们把动物的躯干看作圆柱体，设其长度为l 、直径为d 、断面面积为S （如图2—3）. 将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样就可以借助力学的某些结果研究动物的身长与体重的关系.设动物在自身体重（记为f ）的作用下，躯干的最大下垂度为b ，即弹性梁的最大弯曲. 根据对弹性梁的研究，可以知道23Sdfl b ∝. 又由于∝f Sl (体积)，于是23d l l b ∝. b 是动物躯干的绝对下垂度，b /l 是动物躯干的相对下垂度.b /l 太大，四肢将无法支撑动物的躯干，b /l 图2—3太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费，因此，从生物学角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言，b /l 已经达到其最适宜的数值，换句话说，b /l 应视为与动物尺寸无关的常数，而只与动物的种类有关.因此23d l ∝，又由于2,d S Sl f ∝∝,故44,kl f l f =∝从而.即四足动物的体重与躯干长度的四次方成正比.这样，对于某种四足动物（如：生猪），根据统计数据确定上述比例系数k 后，就可以依据上述模型，由躯干的长度估计出动物的体重了.（3）模型评注在上述模型中，将动物的躯干类比作弹性梁是一个大胆的假设，其假设的合理性，模型的可信度应该用实际数据进行仔细检验.但这种思考问题、建立数学模型的方法是值得借鉴的.在上述问题中，如果不熟悉弹性梁、弹性力学的有关知识，就不可能把动物躯干类比作弹性梁，就不可能想到将动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有明确研究成果的弹性梁在自重作用下的挠曲问题.例2 在中学数学中，通过类比推测或联想而发现新命题、新解法并不少见.诸如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等.情形1 已知：ABC ∆中，︒=∠90C ，AC =BC =1，BD 是AC边上的中线，E 点在AB 边上，且BD ED ⊥.求DEA ∆的面积.如图2-4，引BA CF ⊥，易证24/1=∆DEA S类比若去掉情形1中直角这一特性，是否会产生类似命题呢？由此想到图2-4情形2 已知ABC ∆中(图2-5)，A B C ∠=∠=∠44，BD 是AC 边上的中线，E 点在AB 上，且C AED ∠=∠，1=∆ABC S ，求AED S ∆.类似情形1的证法，易证得12/1=∆AED S ；当2/1=∆ABC S 时，24/1=∆AED S ，与情形1结果相同. 图2-5类比若保留情形1中的直角条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到.情形3 已知ABC ∆中︒=∠90C ，AC =2BC =2，BD 是AC 边上中线，AB CF ⊥交BD 于H ，求CBH S ∆.同样可证6/1=∆CBH S .这里，若在情形3中令AC =2BC =1，也有24/1=∆ADE S ，与情形1结论相同；情形3是由情形1类比而来，最自然的想法是求ADE S ∆，为了增加变换方式获得新命题，本情形求的是CBH S ∆.3．实物交换问题实物交换是人类发展史上一种重要的交换方式，在当今的社会生活中也是屡见不鲜的，这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上. 例如：甲乙二人共进午餐，甲带了很多面包，乙有香肠若干，二人希望相互交换一部分，达到双方满意的结果.显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度和需要程度，而对于偏爱程度很难给出确切的定量关系.因此可以采用图示的方法建立实物交换的数学模型，确定实物交换的最佳交换方案.下面依据等价交换准则确定最佳交换方案. 等价交换准则是指两种物品用同一种货币衡量其价值，进行等价交换.不失一般性，设交换前甲占有数量为x 0的物品X ，乙占有数量为y 0的物品Y ；交换后甲所占有的物品X ，Y 的数量分别记为x ,y ；单位数量的物品X ，Y 的价值（价格）设为p 1,p 2.由等价交换准则，x ,y 满足方程,0,0,)(00201y y x x y p x x p ≤≤≤≤=-容易证明，在此直线上的点进行交换均满足等价交换准则。

第2章2 The Simple Regression Model

8
Some Terminology
术语注解

Meaning of linear: linear means linear in parameters, not necessarily mean that y and x must have a linear relationship. There are many cases that y and x have nonlinear relationship, but after some transformation, they are linear in parameters. For example, y=eb0+b1x+u .
Intermediate Econometrics Yan Shen 2
Lecture Outline
讲义大纲

Some Terminology 一些术语的注解(P23)
Functional relationship（P23） Difficult（P24）
A Simple Assumption 一个简单假定（P25） Zero Conditional Mean Assumption 条件期望零值假定 What is Ordinary Least Squares 何为普通最小二乘法 Deriving OLS Estimates 普通最小二乘法的推导

13
Zero Conditional Mean Assumption
条件期望零值假定
Since we have assumed E(u) = 0, therefore, E(u|x) = E(u) = 0. (2.6) What does it mean? 由于我们已经假定了E(u) = 0，因此有E(u|x) = E(u) = 0。该假定是何含义？

第2讲章数学模型的建立

（d）晶体管输出特性
非线性系统的线性化：

对于高阶微分方程，在数学上不可能求得一般形式的解。因此，在研究这类问题时，在理论上将会遇到困难。矛盾推动着事物不断向前发展，人们根据理想化的思想，找到了“线性化”这一方法，较好地解决了很多非线性问题。线性化是指将非线性微分方程，在一定条件下近似转化为线性微分方程的过程。小偏差线性化的实质是：在系统工作点附近，将方程利用台劳级数展开，忽略高次项的方法。其几何意义是：在预期工作点附近，用通过该点的切线近似代替原来的曲线。
例6 液压伺服机构 1. 明确输入 x，输出y 2. 列写原始微分方程设 p p1 p2
x
高压油油池油池阀芯
my '' cy ' Ap p1 q Ay ' 液压油流量 p/ q f ( p, ) cd xx
y
q A
q p2
油缸
负载
m c
滑阀特性
3. 非线性函数线性化： (1) 确定系统预定工作点 (2) 二元泰勒公式展开 q q( x, p ) q( x0 , p0 ) x
o(t) 7xo(t) 4x i(t) 5xi(t) xo(t) 3x
o(t) 7xo(t) 4t 2 x i(t) 5xi(t) xo(t) 3x
线性定常系统线性时变系统非线性系统
o(t) 7xo(t) 4t 2x i(t) 5xi(t) xo(t) 3xo x
则
TaTm ( )'' Tm ( )' ( )
Cd (ua 0 ua ) CmTa ( M L0 M L )' Cm ( M L0 M L ) TaTm ( ) '' Tm ( ) ' Cd ua CmTa (M L ) ' Cm M L 增量化 1. 增量化方程与实际坐标方程形式相同 2. 当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。

第二章数学模型-simple

( b0 p
b1 p
m 1
bm 1 p
bm ) x1 ( t )
求拉式变换。
则有： b0S m b S m1 bm X 2 (S ) 1 G S X1(S ) S n a S n1 a S a n 1 n1
定义
传递函数：初始条件为零时，线性定常系统或
的形式，则 Z1 , Z 2 , Z 3 Z m 和为G(S)的零点和极点。
P , P2 , P Pn 1 3
5.物理性质不同的系统可以有相同的传递函数。
6.传递函数与单位脉冲响应
• 单位脉冲响应：零初始条件下，单位脉冲输入下的输出； • 任意输入函数下的时域响应= 输入函数与单位脉冲响应函数的卷积； • 系统传递函数为单位脉冲响应的象函数；
第二章控制系统的数学模型
• 数学模型是描述系统中各变量间关系的数学形式，是分析和设计系统的基础。
•数学模型的形式
时间域：微分方程
差分方程
状态方程
脉冲响应
频率域：传递函数
频率响应
•各种数学模型之间的关系线性系统
拉氏传递函数变换微分方程
傅氏
变换
频率特性
• 建立数学模型的方法解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
( S ) R( S ) Y ( S )
Y ( S ) H ( S )C ( S ) C ( S ) G( S ) X 2 ( S ) X 2 (S) X1(S) F(S) G1 ( S )G 2 ( S ) G2 ( S ) C(S) R( S ) F (S) 1 G1 ( S )G 2 ( S ) H ( S ) 1 G1 ( S )G 2 ( S ) H ( S )

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