数列专题(优秀经典练习题及答案详解)
高二数学数列专题练习题(含答案)
高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为：a_n=S_n-S_{n-1} (n>1)，当n=1时，a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。
2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
对于等差数列，有通项公式a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
对于等比数列，有通项公式a_n=a_1*q^{n-1}，其中q为公比。
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
如果a、A、b、B成等差数列，那么A、B叫做a、b的等差中项。
3.求和公式对于等差数列，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列，前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q不等于1.另外，对于等差数列，S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列；对于等比数列，S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。
4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数，通常有以下几种形式：a_n=dn+(a_1-d)，a_n=An^2+Bn+C，a_n=a_1q^n，a_n=k*n+b。
5.判定方法对于数列的常数项，可以使用定义法证明；对于等差中项，可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}；对于等比中项，可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。
最后，对于数列的通项公式，可以使用数学归纳法证明。
1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数，通常用{ }表示。
其中，第n项表示为an，公差为d，公比为q。
常用的数列有等差数列和等比数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。
(完整版)数列典型例题(含答案)
《2.3 等差数列的前n项和》测试题一、选择题1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于( )A.64B.100C.110 D .120考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算.答案：B解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，.2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差，，则( )A.8B.7C.6D.5考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念.答案：D解析：由得，，即，将，代入，解得.3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( )A.若，则数列有最大项B.若数列有最大项，则C.若数列是递增数列，则对任意，均有D.若对任意，均有，则数列是递增数列考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质.答案：C解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是递增数列，但．对于选项D的命题，由，得，因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真.二、填空题4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则.考查目的：考查等差数列的性质及基本运算．答案：81.解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故.5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若，则.考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力.答案：.解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴，∴，∴.6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则____．考查目的：考查等差数列的性质及基本运算.答案：10.解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵，∴. ∴，故.三、解答题7.设等差数列的前项和为，且，求：⑴的通项公式及前项和；⑵．考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力.答案：⑴；.⑵解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得.⑴；⑵由，得.当时，．当时，，∴8.(2010山东理)已知等差数列满足：，，的前项和为．⑴求及；⑵令，求数列的前项和.考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力.答案：⑴，；⑵.解析：⑴设等差数列的公差为，因为，，所以有，解得，，所以，.⑵由⑴知，所以，所以，即数列的前项和.一、选择题1.(2009广东文)已知等比数列的公比为正数，且，，则( ).A. B. C.D.2考查目的：考查等比数列通项公式的基本应用.答案：B解析：设公比为，由已知得，得，又因为等比数列的公比为正数，所以，故.2.(2007天津理)设等差数列的公差，．若是与的等比中项，则( ).A.2B.4C.6D.8考查目的：考查等差数列、等比数列的概念与通项公式、等比中项的概念等基础知识及基本运算能力.答案：B解析：∵，∴；又∵是与的等比中项，∴，即；∵，∴，解得，或(舍去).3.(2010江西理数)等比数列中，，，函数，则( )A. B. C.D.考查目的：多项式函数的导数公式、等比数列的性质等基础知识，考查学生的创新意识，综合与灵活地应用所学数学知识、思想和方法解决问题的能力.答案：C.解析：∵是多项式函数，∴的常数项的一次项系数，∴.二、填空题4.(2007重庆理)设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________.考查目的：考查一元二次方程、等比数列的概念等基础知识，考查分析问题解决问题的能力．答案：18.解析：根据题意，得，，∴，∴.5.(2009江苏卷)设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则 .考查目的：考查等比数列的概念、等价转化思想和分析推理能力.答案：.解析：根据题意可知，有连续四项在集合中，因为是等比数列，且公比满足，所以这四项只能依次是，所以公比，.6.(2012辽宁理)已知等比数列为递增数列，且，，则数列的通项公式______________.考查目的：考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力.答案：.解析：∵，∴，得，∴；又∵，∴，∴，解得或(舍去)，∴.三、解答题7.已知数列的首项，关于的二次方程(，且)都有实数根，且满足.⑴求证：是等比数列；⑵求的通项公式.考查目的：考查等比数列的概念、通项公式、一元二次方程的根与系数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.答案：⑴略；⑵．解析：⑴由题设可得，，(，且)；又由，得. 所以，即()，化为(，且)，又，所以是首项为，公比为的等比数列.⑵由⑴的结论，得，所以的通项公式为．8.(2012广东文)设数列前项和为，数列的前项和为，满足，.⑴求的值；⑵求数列的通项公式.考查目的：考查等比数列的概念、递推公式的处理方法、化归思想，考查分析问题解决问题的能力.答案：⑴；⑵.解析：⑴当时，. 因为，所以，求得.⑵当时，，∴①，∴②. ②①得，所以. ∵，易求得，∴，∴. 所以是以3为首项，2为公比的等比数列，，故所以，.置：首页>>高中数学>>教师中心>>同步教学资源>>课程标准实验教材>>同步试题>>必修5《2.5 等比数列的前n项和》测试题一、选择题1.(2007陕西理)各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则( )A.16B.25C.30D.80考查目的：考查等比数列的前项和公式及运算求解能力.答案：C.解析：由，可知，的公比，∴①，②，②式除以①式，得，解得(舍去)，代入①，得. ∴.2.(2010天津理)已知是首项为的等比数列，是的前项和，且，则数列的前项和为( )A.或B.或C.D.考查目的：考查等比数列前项和公式的应用及等比数列的性质.答案：C解析：设的公比为，若，则，，不合题意，所以. 由，得，得，所以，因此是首项为1，公比为的等比数列，故前5项和为.3.设等比数列的前项和为，若，则等于( )A. B. C.D.考查目的：考查等比数列前项和公式及性质等基础知识，考查运算求解能力.答案：A.解析：解法1：若公比，则，∴. 由，得，∴，∴.解法2：由可知，公比(否则有).设，则，根据，，也成等比数列，及，，得，∴，故.二、填空题4.在等比数列中，已知，则公比.考查目的：考查等比数列的前项和公式及其中包含的分类讨论思想．答案：1或.解析：由已知条件，可得，当时，，符合题意；当时，由，消去，得，解得或(舍去). 综上可得，公比或.5.(2009浙江理)设等比数列的公比，前项和为，则．考查目的：考查等比数列通项公式与前项和公式的基本应用.答案：15.解析：∵，，∴.6.已知等比数列的首项为，是其前项和，某同学经计算得，，，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是，该数列的公比是 .考查目的：考查等比数列的概念、前项和概念及公式等基础知识，考查分析问题解决问题的能力.答案：，.解析：假设正确，则由，得，所以公比，可计算得，，但该同学算只算错了一个数，所以不正确，，正确，可得，，所以公比.三、解答题7.(2010重庆文)已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和.⑴求通项及；⑵设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.考查目的：考查等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式的基本应用以及运算求解能力.答案：⑴，；⑵，.解析：⑴因为是首项为，公差为的等差数列，所以，.⑵由题意，所以，.8.(2012陕西理)设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.⑴求数列的公比；⑵证明：对任意，成等差数列.考查目的：考查等比数列的通项公式、前项和公式、等差数列的概念等基础知识，考查推理论证能力.答案：⑴；⑵略.解析：⑴设数列的公比为(). 由成等差数列，得，即. 由，得，解得(舍去)，所以数列的公比为.⑵证法一：对任意，，所以对任意，成等差数列.证法二：对任意，，，∴，因此，对任意，成等差数列.第二章《数列》测试题（一）一、选择题1.(2012安徽理)公比为等比数列的各项都是正数，且，则( ).A.4B.5C.6D.7考查目的：考查等比数列的通项公式与性质、对数的概念与运算等基础知识.答案：B.解析：∵，∴，∵的各项都是正数，∴，∴，∴.2.(2011江西理)已知数列的前项和满足：，且，那么( ).A.1B.9C.10D.55考查目的：考查数列的递推公式、等差数列的概念及通项公式、与的关系.答案：A解析：令，得，∵，∴，∴是首项为，公差为的等差数列，，因此，.3.(2011天津理)已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为( ).A.-110B.-90C.90D.110考查目的：考查等比中项的概念以及等差数列通项公式、前项和公式的基本应用.答案：D解析：设等差数列的公差为，根据题意得，即，将代入，并解得，所以.4.(2012湖北理)定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：①；②；③；④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为( ).A.①②B.③④C.①③ D.②④考查目的：本题考察等比数列的性质及函数计算.答案：C.解析：对于①，，所以是“保等比数列函数”；对于②，，所以不是“保等比数列函数”；对于③，，所以是“保等比数列函数”；对于④，，所以不是“保等比数列函数”.5.已知数列满足，当时，，则( ).A.1B.2C.-1D.-2考查目的：考查数列递推公式的运用、周期数列的概念与判断，考查分析判断能力.答案：A.解析：由条件可得该数列为：，所以是周期为的周期数列，所以.6.(2012上海理)设，，在中，正数的个数是( ).A.25B.50C.75D.100考查目的：数列前项和的概念、三角函数的周期性，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.答案：D.解析：当时，；当时，，但其绝对值要小于时相应的值；当时，；当时，，但其绝对值要小于时相应的值；当时，. ∴当时，均有.二、填空题7.(2009北京理)已知数列满足：，，，，则______；_________.考查目的：考查数列的概念、周期数列等基础知识.答案：1，0.解析：依题意，得，.8.(2011湖北理)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.考查目的：考查等差数列的概念、基本运算以及运算能力.答案：.解析：记题中的等差数列为，公差为，前项和为. 根据题意知，，两式联立解得，，∴.9.(2010天津文)设是等比数列，公比，为的前项和.记，，设为数列的最大项，则 .考查目的：考查等比数列的前项和公式及平均值不等式等基础知识，考查运算能力.答案：4.解析：根据等比数列前项和公式，得.∵，当且仅当，即时取等号，而，∴当时，取最大值，即数列的最大项为，所以.10.(2011江苏卷)设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是________.考查目的：考查等差数列、等比数列的概念和通项公式，考查不等式的有关知识及推理判断能力.答案：.解析：由题意可得，∴. ∵，∴当取最小值时，，∴，即的最小值是.11.(2012四川理)记为不超过实数的最大整数，例如，，，.设为正整数，数列满足，，现有下列命题：①当时，数列的前3项依次为5，3，2；②对数列都存在正整数，当时总有；③当时，；④对某个正整数，若，则. 其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)考查目的：本题属于新概念问题，主要考查对新概念的理解、不等式的性质，以及数列知识的灵活运用和推理论证能力.答案：①③④解析：易证，对于取整函数有下列性质：性质1：当时，；性质2：对，有；性质3：若，，则. ①当时，，，故①为真；②当时，易知该数列为：(1与2交替出现)，所以②为假；③∵，∴；由题易知，对一切，均为正整数，所以无论是奇数还是偶数，均有，故③为真；④若对某个正整数，则由，得，∴，∵是正整数，∴.又∵，，∴(或由③为真，及，直接可得)，故，因此④为真.第二章《数列》测试题（二）三、解答题12.(2009浙江文)设为数列的前项和，，，其中是常数．⑴求及；⑵若对于任意的，，，成等比数列，求的值．考查目的：考查数列的通项与前项和以及它们之间的关系，考查等比数列的概念以及运算求解能力.答案：⑴，；⑵或.解析：⑴当时，；当时，.而也适合上式，所以.⑵∵，，成等比数列，∴，即，化简并整理得. ∵此式对成立，∴或.13.(2010全国卷Ⅱ文)已知是各项均为正数的等比数列，且，.⑴求的通项公式；⑵设，求数列的前项和.考查目的：考查等比数列的通项公式与前项和公式、方程与方程组等基础知识，考查运算求解能力.答案：⑴.⑵.解析：⑴设的公比为，则.由已知，有，化简得，解得，(舍去)，所以.⑵由⑴知，所以.14.(2008湖南理)数列满足⑴求，，并求数列的通项公式；⑵设，，证明：当时，.考查目的：考查数列递推公式的运用、等差数列、等比数列的概念和通项公式、三角函数等基础知识，考查数列求和、不等式证明的基本方法，以及分析问题解决问题的能力.答案：⑴，，；⑵略.解析：⑴∵，，∴，.一般地，当时，，即，所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此.当时，，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此.∴数列的通项公式为.⑵由⑴知，，①，②，得，，∴.要证明当时，成立，只需证明当时，成立.证明：要证明，只需证明.令，则，∴当时，.∴当时，.于是当时，.15.(2012广东理)设数列的前项和为，满足，且，，成等差数列．⑴求的值；⑵求数列的通项公式；⑶证明：对一切正整数，有．考查目的：考查数列和不等式的概念及其性质、数列与函数的关系等基础知识，考查数列递推公式的运用、不等式放缩等基本方法，考查综合运用知识分析问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.答案：⑴；⑵；⑶略.解析：⑴在中，令得；令得，解得，.又∵，∴解得.⑵由，得.又∵也满足，∴成立，∴，∴，∴.⑶(法一)∵，∴，∴.(法二)∵，∴，当时，，，，…，，累乘得，∴.。
数列专题复习之典型例题(含答案)
数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。
答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。
数列大题专题(含解析)
{ n} 1 1数列大题训练一、解答题1.设数列{ a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 2 =4， a n +1 =2 S n +1， n ∈ N ∗ . （1）求通项公式 a n ；（2）求数列{| a n − n − 2 |}的前 n 项和.2.已知 a , a , a ,⋅⋅⋅, a为正整数且 a > a > a>⋅⋅⋅> a > 1 ，将等式 (1 − 1 ) + (1 − 1 ) + (1 − 1) +⋅⋅0 12n12na 1a 2a 3⋅ +(1 − 1 ) = 2(1 − 1) 记为 (∗) 式.a na 0（1）求函数 f (x ) = 1 − 1x， x ∈ [2, +∞) 的值域；（2）试判断当 n = 1 时（或 2 时），是否存在 a 0 ， a 1 （或 a 0 ， a 1 ， a 2 ）使 (∗) 式成立，若存在，写出对应 a 0 ， a 1 （或 a 0 ， a 1 ， a 2 ），若不存在，说明理由；（3）求所有能使 (∗) 式成立的 a i （ 0 ≤ i ≤ n ）所组成的有序实数对 (a 0, a 1, a 2,⋅⋅⋅, a n ) . 3.已知函数 f (x ) = log 3(x +1)(x > 0) 的图象上有一点列 P (x, y )(n ∈ N ∗)，点P在 x 轴上的射影是x +1n n nnQ n (x n , 0) ， 且 x n = 3x n−1 + 2 ( n ≥ 2 且 n ∈ N ∗ )，x 1 = 2 .（1）求证： {x n + 1} 是等比数列，并求出数列 {x n } 的通项公式；21 （2）对任意的正整数 n ，当 m ∈ [−1,1] 时，不等式 3t − 6mt + > y n 恒成立，求实数 t 的取值范3围.（3）设四边形 P Q QP1 1 的面积是 S ，求证： ++ ⋯ +1< 3 . n n n +1 n +1nS 1 2S 2nS n4.已知 n 为正整数，数列{a }满足 a ＞0， 4(n + 1)a2− na2= 0 ，设数列{b }满足 b= a n 2nnnn +1nnt na n （1）求证：数列 为等比数列；√（2）若数列{b n }是等差数列，求实数 t 的值；（3）若数列{b n }是等差数列，前 n 项和为 S n ， 对任意的 n ∈N * ， 均存在 m ∈N * ， 使得 8a 2S n ﹣ a 4n 2=16b m 成立，求满足条件的所有整数 a 1 的值． a 2n5.已知数列 {a n } 和 {b n } 满足： a 1 = λ ,数， n 为正整数．n +1 = 3 a n + n − 4, b n = (−1)(a n − 3n + 21) 其中 λ 为实（1）对任意实数 λ ，证明数列 {a n } 不是等比数列； （2）对于给定的实数 λ ，试求数列 {b n } 的前 n 项和 S n ；（3）设 0 < a < b ，是否存在实数 λ ，使得对任意正整数 n ，都有 a < S n < b 成立？若存在，求 λ 的取值范围；若不存在，说明理由．6.已知数列 {a n } 满足 a 1 = 1，a n +1 = 1 − 14a n，其中 n ∈ N ∗ .1 1+a +1Ⅲ 3) （1）设 b n = 22an −1，求证：数列 {b n } 是等差数列，并求出 [a n } 的通项公式 ；（2）设 c n = 4a n n +1 ，数列 {c n c n +2 } 的前 n 项和为 T n ，且存在正整数 m ，使得 T n < 1 c m +1 对 于 n ∈ N ∗ 恒成立，求 m 的最小值.7.设各项均为正数的等比数列 {a n } 中， a 1 + a 3 = 10 ， a 3 + a 5 = 40 ，数列 {b n } 的前 n 和 S n =n 2+7n ．2（1）求数列 {a n } 、 {b n } 的通项公式；（2）若 c 1 = 1 ， c n +1 = c n + b n −3a n，求证： c n< 3 ．1（3）是否存在整数 k ，使得 a −b的最大值，若不存在，说明理由．+1a 2−b 2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +1a n −b n>k 10对任意正整数 n 均成立？若存在，求出 k8.已知数列 {a } 的各项均为非零实数，其前 n 项和为 S，且S n a n .n（1）若 S 3=3 ，求 a 3 的值；nS n 1 = a n +2（2）若 a 2021=2021a 1 ，求证：数列 {a n } 是等差数列；（3）若 a 1=1 ， a 2=2 ，是否存在实数 λ ，使得 |2a n − 2a m | ≤ λ|a 2 − a 2 | 对任意正整数 m ，n 恒成立，若存在，求实数 λ 的取值范围，若不存在，说明理由. a 2 −a+2anm9.已知数列 {a n } 和 {b n } , a 1 = 1, a 2 = 3 , a n +1= nn−1nn−1 ,( n ∈ N ∗且n ≥ 2 ), b n =1og 2(a n +1)2−5a n +1(I) 求 a 3, a 4 ;, (n ∈ N ∗) .(Ⅱ)猜想数列 {a n } 的通项公式,并证明;( )设函数 f (x ) = x + 1 x +2, 若 |f (b n ) − t | ≤ 16 35 对任意 n ∈ N ∗恒成立,求 t 的取值范围.210.已知数列 {a n } 满足： a 1 = − 3 , a n +1 =−2a n −3 (n ∈ N ∗ ）.3a n+4（1）证明：数列 { 1} 是等差数列，并求 {a} 的通项公式；a n +1n（2）若数列 {b n } 满足： b n = 2 (a n + 1)(n ∈ N ），若对一切 n ∈ N ∗ ，都有 (1 − b 1)(1 − b 2). . . (1 −b n ) ≤λ√2n +1 成立，求实数 λ 的最小值.11.已知数列 {x n } ，如果存在常数 p ，使得对任意正整数 n ，总有 (x n +1 − p )(x n − p ) < 0 成立，那么我们称数列 {x n } 为“p -摆动数列”．（Ⅰ） 设 a n = 2n − 1 ， b n = (− 由；1 n2， n ∈ N ∗ ，判断 {a n } 、 {b n } 是否为“p -摆动数列”，并说明理 （Ⅱ）已知“p -摆动数列” {c n} 满足 c n +1 = 1cn +1， c 1= 1 ，求常数 p 的值；∗} 1 2 （Ⅲ）设 d n = (−1)n ⋅ (2n − 1) ，且数列 {d n } 的前 n 项和为 S n ，求证：数列 {S n } 是“p -摆动数列”， 并求出常数 p 的取值范围．12.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .（1）求证：数列S n{ n }是等差数列；（2）若 a 1= 1, {√S n 是公差为 的等差数列，求使 S k +1⋅S k +2S k 2为整数的正整数 k 的取值集合；（3）记 b = t a n ( t 为大于 0 的常数)，求证：b 1+b 2+⋯…+b n≤b 1+b 2.nn213.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n = 2a n − 2 ． （1）求 {a n } 的通项公式；（2）在 a n 与 a n +1 之间插入 n 个数，使这 n + 2 个数组成一个公差为 d n 的等差数列，在数列 {d n } 中是否存在 3 项 d m ， d k ， d p （其中 m ， k ， p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在，请说明理由．14.已知递增的等比数列 {a n } 满足 a 2 + a 3 + a 4 = 28 ，且 a 3 + 2 是 a 2 ， a 4 的等差中项. （1）求 {a n } 的通项公式；（2）若 b n = a n log 1a n ， S n =b 1 + b 2 + b 3 + ⋯ + b n 求使 S n + n ⋅ 2n +1 > 30 成立的 n 的最小值. 15.已知数列 {a n } 中，已知 a 1 = 1 ， a 2 = a ， a n +1 = k (a n + a n +2) 对任意 n ∈ N ∗ 都成立，数列{a n }的前 n 项和为 S n ．（1）若 {a n } 是等差数列，求 k 的值； （2） 若 a = 1 ， k = − 12 ， 求 S n ；（3）是否存在实数 k ，使数列 {a n } 是公比不为 1 的等比数列，且任意相邻三项 a m ， a m +1 ， a m +2 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有 k 的值；若不存在，请说明理由．16.一列火车从重庆驶往北京，沿途有 n 个车站（包括起点站重庆和终点站北京）．车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各 1 个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各 1 个，设从第 k 站出发时，邮政车厢内共有邮袋 a k 个（k=1，2，…，n ）．（1）求数列{a k }的通项公式；（2）当 k 为何值时，a k 的值最大，求出 a k 的最大值．17.已知等比数列 {a n } 的公比 q > 1 ， a 2 ， a 3 是方程 x 2 − 6x + 8 = 0 的两根． （1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）求数列 {2n ⋅ a n } 的前 n 项和 S n ．18.设数列 {a n } 满足 a n 2 = a n +1a n−1 + λ(a 2 − a 1)2 ，其中 n ⩾ 2 ，且 n ∈ N ， λ 为常数. （1）若 {a n } 是等差数列，且公差 d ≠ 0 ，求 λ 的值；（2）若 a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 4 ，且存在 r ∈ [3,7] ，使得 m ⋅ a n ≥ n − r 对任意的 n ∈ N ∗ 都成立，求m 的最小值；（3）若 λ ≠ 0 ，且数列 {a n } 不是常数列，如果存在正整数 T ，使得 a n +T = a n 对任意的 n ∈ N ∗均成立.求所有满足条件的数列{an } 中 T 的最小值.19.已知等差数列 {a n } 满足 a 2 = 5 ， a 4 + a 5 = a 3 + 13 .设正项等比数列 {b n } 的前 n 项和为 S n ， 且 b 2b 4 = 81 ， S 3 = 13 .（1）求数列 {a n } 、 {b n } 的通项公式；（2）设 c n = a n b n ，数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n .20.公差不为零的等差数列 {a n } 中， a 1 ， a 2 ， a 5 成等比数列，且该数列的前 10 项和为 100，数列{b n } 的前 n 项和为 S n ，且满足 S n = 2b n − 1, n ∈ N ∗ ．( Ⅰ ) 求数列 {a n } ， {b n } 的通项公式；( Ⅱ ) 令 c n = 1+a n4b n，数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n 的取值范围．21.已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ， 且 S n +a n =4，n ∈N * ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知 c n =2n+3（n ∈N *），记 d n =c n +log C a n （C ＞0 且 C≠1），是否存在这样的常数 C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出 C 的值；若不存在，请说明理由． （3）若数列{b }，对于任意的正整数 n ，均有 b a +b a +b a+…+b a =（）n ﹣ n +2成立，求证：数n列{b n }是等差数列．1 n2 n ﹣13 n ﹣2n 1 2 222.已知数列 {a n } 满足 a 1 = 1, a n +1 = 1 −14a n,其中 n ∈ N ∗ .（1）设 b n = 22an −1,求证:数列 {b n } 是等差数列,并求出 {a n } 的通项公式;（2）设 c n = 4a nn +1 ,数列 {c n c n +2 } 的前 n 项和为 T n .23.已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ， 且满足 12S n ﹣36=3n 2+8n ，数列{log 3b n }为等差数列，且 b 1=3，b 3=27． （Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（Ⅱ）令c =（﹣1）n (a − 5) + b ，求数列{c }的前 n 项和 T ． nn12n n n24.已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合 M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合 A ＝{x|x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1 ， x i ∈M ，i ＝1，2，…，n}．（1）当 q ＝2，n ＝3 时，用列举法表示集合 A.（2）设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1， t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n－1， 其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n.证明：若 a n ＜b n ， 则 s ＜t. ∗25.已知数列 {a n } 的首项 a 1 = a (a > 0) ，其前 n 项和为 S n ，设 b n = a n + a n +1(n ∈ N ) . （1）若 a 2 = a + 1 ， a 3 = 2a 2 ，且数列 {b n } 是公差为 3 的等差数列，求 S 2n ； （2）设数列 {b n } 的前 n 项和为 T n ，满足 T n = n 2 . ①求数列 {a n } 的通项公式； ②若对 ∀n ∈ N ∗，且n ≥ 2 ，不等式 (a n−1 − 1)(a n +1 − 1) ≥ 2(1 − n ) 恒成立，求 a 的取值范围.12 Ⅱ26.是否存在一个等比数列{a }同时满足下列三个条件：①a +a =11 且 a a =；②a ＞a （n ∈N *）；n163 49 n+1n③至少存在一个 m （m ∈N *且 m ＞4），使得 2a， a 2 ， a + 4依次构成等差数列？若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由．3m ﹣1mm+1927.设 {a n } 是等差数列， a 1 = −8 ，且 a 2 + 8 ， a 3 + 6 ， a 4 + 4 成等比数列. （1）求 {a n } 的通项公式；（2）求 {a n } 的前 n 项和 S n 的最小值；（3）若 {b n } 是等差数列， {b n } 与 {a n } 的公差不相等，且 b 5 = a 5 ，问： {a n } 和 {b n } 中除第 5 项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可） 28.已知数列 {a } 满足 1a ≤ a≤ 3a ， n ∈ N ∗ ， a= 1 .n3 n n +1n1（1）若 a 2 = 3 ， a 3 = x ， a 4 = 6 ，求 x 的取值范围；（2）若 {a } 是公比为 q 的等比数列， S= a + a+ ⋯ + a ， 1S ≤ S≤ 3S ， n ∈ N ∗ ， 求 qn的取值范围；n12n3 nn +1（3）若 a 1, a 2, ⋯ , a k 成等差数列，且 a 1 + a 2 + ⋯ + a k = 2020 ，求正整数 k 的最大值. 29.若数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列，数列 {b n } 满足 b 1＝1，b 2＝2，且 a n b n ＋b n ＝nb n ＋1. （1）求数列 {a n } , {b n } 的通项公式；（2）设数列 {c n} 满足 c n= a n +1 b n +1，数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ，若不等式 (－1)n λ < T n+ n 2n−1对一切 n ∈N *恒成立，求实数 λ 的取值范围.30.设 T n 是数列 {a n } 的前 n 项之积，且满足 T n = 3 − a n ， n ∈ N ∗ .（1）求证：数列 { 13−a n1− } 是等比数列，并写出数列 {a n } 的通项公式；（2）设 S 是数列 {a } 是前 n 项之和，证明： n + 1 − 1< S< n + 2 − 2.nnT nnT n31.已知数列{a n }满足 a n+1+a n =4n ﹣3，n ∈N * （1）若数列{a n }是等差数列，求 a 1 的值； （2）当 a 1=﹣3 时，求数列{a n }的前 n 项和 S n ； （3）若对任意的n ∈N *， 都 有a n 2+a n +1 2a n +a n +1≥5 成立，求 a 1的取值范围．32.ΔABC 中，内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，已知 a , b , c 成等比数列，且B = 3．（Ⅰ）求1tan A+1tan B的值；cos 4（ ）设 B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A ⃗⃗⃗ ⋅ B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ⃗⃗⃗ = 3 2，求 a + c 的值． 33.已知数列 {a n } 的前 n 和为 S n ，且满足 λS n = a n − 1 ，其中 λ ≠ 0 且 λ ≠ 1 . （1）证明：数列 {a n } 是等比数列；（2）当 λ = 12，令 c n= (n + 1)a n ，数列 {a n } 的前 n 项和为 T n ，若需 Tn> 2019 恒成立，求正整n数 n 的最小值.321+a 2 n a 2 n)34.已知数列 {a n} 满足 a 1 = 1 ， a n +1=a n n， n ∈ N ∗， 记Sn， T n分别是数列 {a n} ， {a 2} 的前 n 项和，证明：当 n ∈ N ∗ 时，（1）a n +1 < a n ；（2）T n = 1n +1− 2n − 1 ；（3）√2n − 1 < S n < √2n .35.设 q 为不等于 1 的正常数， {a n } 各项均为正，首项为 1 ，且 {a n } 前 n 项和为 S n ，已知对任意的正整数 n , m ，当时 n > m ， S n − S m = q m · S n−m 恒成立. （1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）若数列 {t n } 是首项为 1 ，公差为 3 的等差数列，存在一列数 k 1, k 2, ⋯ , k n , ⋯ ：恰好使得 t k 1 = a 1, t k 2 = a 2, ⋯ , t k n = a n , ⋯, 且 k 1 = 1, k 2 = 2 ，求数列 {k n } 的通项公式；（3）当 q = 3 时，设 b n = na n ，问数列 {b n} 中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出所 有这样的三项，若不存在，请说明理由36.已知数列 {a} 满足aa− 3 （ n ≥ 2 ， 且 n ∈ N ∗）， 且 a= − 3， 设 b n + 2 = 3log 1(a n +n4 n = n−1 1441) ， n ∈ N ∗，数列{c n } 满足 c n = (a n + 1)b n .（1）求证：数列 {a n + 1} 是等比数列并求出数列 {a n } 的通项公式； （2）求数列 {c n } 的前 n 项和 S n ； （3）对于任意 n ∈ N ∗，t ∈ [0,1]， cn⩽ tm 2 − m − 12恒成立，求实数 m 的取值范围.37.已知 {a n } 是递增的等差数列， a 2 ， a 4 是方程 x 2－5x ＋6＝0 的根. （1）求 {a n } 的通项公式； a（2）求数列 {2n } 的前 n 项和.38.已知数列 {a } 的满足 a = 1 ，前 n 项的和为 S，且 a n +1−a n = 2 (n ∈ N *) .n1（1）求 a 2 的值；na n an +1 4S n−1（2）设 b n = a na n +1−a n ，证明：数列 {b n} 是等差数列；（3）设 c n = 2b n ⋅ a n ，若 1 ≤ λ ≤ √2 ，求对所有的正整数 n 都有 2λ2 − kλ + 3√2 < c n 成立的 k 的取值范围.39.数列 {a n } 是首项与公比均为 a 的等比数列（ a > 0 ，且 a ≠ 1 ），数列 {b n } 满足 b n = a n ⋅ lg a n ． （1）求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ； （2）若对一切 n ∈ N ∗都有b n < b n +1 ，求 a 的取值范围．40.等差数列{a n }中，其前 n 项和为 S n ， 且S n = (a n +1)22，等比数列{b n }中，其前 n 项和为 T n ， 且 T n =(b n +1 2 ，（n ∈N *）2（1）求a n ，b n ； （2）求{a n b n }的前 n 项和 M n ．n +1 41.已知函数 f （x ） = log 3（ax + b ） 的图象过点 A （2，1） 和 B （5，2 ）记 a n = 3f （n ） ， n ∈ N * ．（1）求数列{ a n }的通项公式．（2）设 b n = a n2n ， T n = b 1 + b 2 + ⋯ b n ， T n< m （ m ∈ Z ），求 m 的最小值．42.已知公比 q > 0 的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1 = 1, S 3 = 13 ，数列 {b n } 中， b 1 = 1, b 3 = 3 ．（1）若数列 {a n + b n } 是等差数列，求 a n , b n ； （2）在（1）的条件下，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ．43.已知数列{b n }是首项 b 1=1，b 4=10 的等差数列，设 b n +2=3 log 1 4a n （n ∈n *）．（1）求证：{a n }是等比数列；（2）记 c n =1 b n b n +1，求数列{c n }的前 n 项和 S n ；（3）记 d n =（3n+1）•S n ， 若对任意正整数 n ，不等式的最大值．1n +d 1 1+ n +d 2 +…+ 1n +d nm＞ 24 恒成立，求整数 m 44.已知各项均不相等的等差数列 {a n } 的前五项和 S 5 = 20 ，且 a 1, a 3, a 7 成等比数列；（1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）若 T n 为数列 { 1a n a n +1} 的前 n 项和，且存在 n ∈ N ∗，使得T n− λa n≥ 0 成立，求实数 λ 的取值范围。
数列(含解析)
专题06 数列一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理3】等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13 B ．13- C ．19 D ．19- 【答案】：C2. 【2012全国，理5】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{11n n a a +}的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100【答案】 A 【解析】15155()5(5)1522a a a S ++===，∴a 1＝1. ∴515115151a a d --===--. ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴111(1)n n a a n n +=+. 设11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，则1001111223100101T =+++⨯⨯⨯… ＝111111223100101-+-++-… ＝11001101101-=.3. 【2010全国2，理4】如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35 【答案】：C【解析】∵{a n }为等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝12， ∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝177()2a a +＝7a 4＝28. 4. 【2006全国2，理14】已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 成等差数列,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为 . 【答案】:35.【2014新课标，理17】（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.【解析】：（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a =312n -，所以1231n n a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1n a 111133n -≤+++=31(1)23n -32<， 所以11a +21a +1n a 32<. 6. 【2011新课标，理17】等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，23239a a a =.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1{}nb 的前n 项和． 7. 【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 【答案】1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n=-． 【考点定位】等差数列和递推关系．8. 【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【考点】 等比数列的应用、等比数列的求和公式【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论． 二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理16】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________． 【答案】：－49【解析】：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝1109102a d ⨯＋＝10a 1＋45d ＝0，① S 15＝11514152a d ⨯+＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，23d =， 所以S n ＝2(1)211032333n n n n n --+⨯=-. 令f (n )＝nS n ，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-. 令f ′(n )＝0，得n ＝0或203n =. 当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3n 时，f ′(n )＜0，所以当203n =时，f (n )取最小值，而n ∈N ＋，则f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49.2.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________．【答案】21nn + 【考点】 等差数列前n 项和公式、裂项求和．【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点． 3. 【2005全国3，理20】(本小题满分12分)在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等差中项.已知数列,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k【解析】：依题设得,)1(1d n a a n -+= 4122a a a = ∴)3()(1121d a a d a +=+，整理得d 2=a 1d ， ∵0,d ≠ ,1a d =∴得,nd a n = 所以， 由已知得d ，3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d n …是等比数列. 由,0≠d 所以数列 1，3，k 1，k 2，…，k n ，… 也是等比数列，首项为1，公比为.9,3131===k q 由此得 等比数列),3,2,1(39,3,9}{111 ==⨯===+-n q k q k k n n n n 所以公比的首项，即得到数列.3}{1+=n n n k k 的通项4. 【2005全国2，理18】(本小题满分12分)已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21nn b a =，1,2,3,n =．(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；(Ⅱ) 如果无穷等比数列{}n b 各项的和13S =，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ． (注：无穷数列各项的和即当n →∞时数列前n 项和的极限)则S=11[1()]122lim lim 112n n n n dS d →+∞→+∞-==-由13S =，得公差d =3，首项1a =d =3 三．拔高题组1. 【2006全国2，理11】设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若63S S =31,则126S S等于（ ）A.103B.31 C.81 D.91【答案】:A【解析】:由已知设a 1+a 2+a 3=T ,a 4+a 5+a 6=2T ,a 7+a 8+a 9=3T ,a 10+a 11+a 12=4T .∴126S S =1034322=+++t t t t t t ＋. ∴选A.2. 【2005全国2，理11】如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则（ ） (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a <(C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =【答案】B3. 【2012全国，理22】函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3； (2)求数列{x n }的通项公式．(2)由(1)及题意得1342nn nx x x ++=+.设b n ＝x n －3，则1151n nb b +=+， 111115()44n n b b ++=+， 数列{114n b +}是首项为34-，公比为5的等比数列． 因此1113544n n b -+=-⋅，即14351n n b -=-⋅+， 所以数列{x n }的通项公式为143351n n x --⋅+＝.4. 【2006全国2，理22】设数列{a n }的前n 项和为S n ,且方程x 2-a n x -a n =0有一根为S n -1,n = 1,2,3,…. (1)求a 1,a 2; (2)求{a n }的通项公式.【解析】:(1)当n=1时,x 2-a 1x -a 1=0有一根为S 1-1=a 1-1,于是(a 1-1)2-a 1(a 1-1)-a 1=0,解得a 1=21. 当n=2时,x 2-a 2x -a 2=0有一根为S 2-1=a 2-21,于是(a 2-21)2-a 2(a 2-21)-a 2=0,解得a 2=61.(2)由题设(S n -1)2-a n (S n -1)-a n =0,即S n 2-2S n +1-a n S n =0. 当n ≥2时,a n =S n -S n-1,代入上式得S n-1S n -2S n +1=0.①由(1)知S 1=a 1=21,S 2=a 1+a 2=21+61=32. 由①可得S 3=43. 由此猜想S n =1+n n,n =1,2,3,….下面用数学归纳法证明这个结论.5. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.（Ⅰ）求111101b b b ， ，； （Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和.【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1 893. 【解析】【考点】等差数列的通项公式、前n 项和公式，对数的运算【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.。
(完整版)数列例题(含答案)
1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N*）求数列{c n}的前n项和R n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2n=2a n+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②联立①、②得a1=1，d=2．所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）把a n=2n﹣1代入，得，则．所以b1=T1=λ﹣1，当n≥2时，=．所以，．R n=c1+c2+…+c n=③④③﹣④得：=所以；所以数列{c n}的前n项和．2．等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）=（2+22+...+210）+（1+2+ (10)=+=2101．3．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1．【解答】（I）解：设等差数列{log2（a n﹣1）}的公差为d．由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．所以log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n=2n+1．（II）证明：因为==，所以++…+=+++…+==1﹣＜1，即得证．4．已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点（，a n+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若列数{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2an，求证：b n•b n+2＜b n+12．【解答】解：解法一：（Ⅰ）由已知得a n+1=a n+1、即a n+1﹣a n=1，又a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n=1+（n﹣1）×1=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n=n从而b n+1﹣b n=2n．b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=∵b n•b n+2﹣b n+12=（2n﹣1）（2n+2﹣1）﹣（2n+1﹣1）2=（22n+2﹣2n﹣2n+2+1）﹣（22n+2﹣2•2n+1+1）=﹣2n＜0∴b n•b n+2＜b n+12解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵b2=1b n•b n+2﹣b n+12=（b n+1﹣2n）（b n+1+2n+1）﹣b n+12=2n+1•bn+1﹣2n•bn+1﹣2n•2n+1=2n（b n+1﹣2n+1）=2n（b n+2n﹣2n+1）=2n（b n﹣2n）=…=2n（b1﹣2）=﹣2n＜0∴b n•b n+2＜b n+125．已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13=34，S3=9．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{b n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得即解得．故a n=2n﹣1，S n=n2（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，即，（8分）．移项得：=﹣=，整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．7．设{a n}是等差数列，b n=（）an．已知b1+b2+b3=，b1b2b3=．求等差数列的通项a n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d．∴b1b3=•==b22．由b1b2b3=，得b23=，解得b2=．代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2∴a1=﹣1，d=2或a1=3，d=﹣2．所以，当a1=﹣1，d=2时a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣3．当a1=3，d=﹣2时a n=a1+（n﹣1）d=5﹣2n．8．已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且S n=1﹣（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求证c n+1≤c n．【解答】解：（1）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d＞0，∴a3=5，a5=9，公差∴a n=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．又当n=1时，有b1=S1=1﹣当∴数列{b n}是等比数列，∴（2）由（Ⅰ）知，∴∴c n+1≤c n．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=35，a5和a7的等差中项为13．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令（n∈N﹡），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为S5=5a3=35，a5+a7=26，所以，…（2分）解得a1=3，d=2，…（4分）所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+×2=n2+2n．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，所以b n==…（8分）=，…（10分）所以T n=．…（12分）10．已知等差数列{a n}是递增数列，且满足a4•a7=15，a3+a8=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（n≥2），b1=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）根据题意：a3+a8=8=a4+a7，a4•a7=15，知：a4，a7是方程x2﹣8x+15=0的两根，且a4＜a7解得a4=3，a7=5，设数列{a n}的公差为d由．故等差数列{a n}的通项公式为：（2）=又∴=11．设f（x）=x3，等差数列{a n}中a3=7，a1+a2+a3=12，记S n=，令b n=a n S n，数列的前n项和为T n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式和S n；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12．解得a1=1，d=3∴a n=3n﹣2∵f（x）=x3∴S n==a n+1=3n+1．（Ⅱ）b n=a n S n=（3n﹣2）（3n+1）∴∴（Ⅲ）由（2）知，∴，∵T1，T m，T n成等比数列．∴即当m=1时，7=，n=1，不合题意；当m=2时，=，n=16，符合题意；当m=3时，=，n无正整数解；当m=4时，=，n无正整数解；当m=5时，=，n无正整数解；当m=6时，=，n无正整数解；当m≥7时，m2﹣6m﹣1=（m﹣3）2﹣10＞0，则，而，所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n=pn2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N+．（Ⅰ）求的q值；（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，b n满足a n=2log2b n，求数列{b n}的前n和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=p﹣2+q当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2∵{a n}是等差数列，a1符合n≥2时，a n的形式，∴p﹣2+q=2p﹣p﹣2，∴q=0（Ⅱ）∵，由题意得a3=18又a3=6p﹣p﹣2，∴6p﹣p﹣2=18，解得p=4∴a n=8n﹣6由a n=2log2b n，得b n=24n﹣3．∴，即{b n}是首项为2，公比为16的等比数列∴数列{b n}的前n项和．13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a2+a4=14，S7=70．（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列b n的最小项是第几项，并求出该项的值．【解答】解：（I）设公差为d，则有…（2分）解得以a n=3n﹣2．…（4分）（II）…（6分）所以=﹣1…（10分）当且仅当，即n=4时取等号，故数列{b n}的最小项是第4项，该项的值为23．…（12分）14．己知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n=a n a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣2a n=0，即a n+1=2a n，所以数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，∴2a1+8a1=8a1+4，∴a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）及b n=得，b n=﹣n•2n，∵S n=b1+b2++b n，∴S n=﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n①∴2S n=﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n﹣1）•2n﹣n•2n+1②①﹣②得，S n=2+22+23+24+25++2n﹣n•2n+1=，要使S n+n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52，∴使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．15．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+1，数列{b n}满足a1=b1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由a n+1=2S n+1可得a n=2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n=2a n，a n+1=3a n（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．所以a n=3n﹣1．由点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，所以b n+1﹣b n=2．则数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．则b n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（Ⅱ）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．。
数列考试题型及答案详解
数列考试题型及答案详解一、选择题1. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1 = 3，a_4 = 12，那么a_7的值为多少？A. 21B. 20C. 22D. 19答案：A解析：等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中d为公差。
根据题目给出的信息，a_4 = a_1 + 3d，代入已知数值得到12 = 3 + 3d，解得d = 3。
因此，a_7 = a_1 + 6d = 3 + 6*3 = 21。
2. 已知数列{b_n}是等比数列，且b_1 = 2，b_3 = 16，那么b_5的值为多少？A. 32B. 64C. 8D. 128答案：B解析：等比数列的通项公式为b_n = b_1 * q^(n-1)，其中q为公比。
根据题目给出的信息，b_3 = b_1 * q^2，代入已知数值得到16 = 2 * q^2，解得q = 4。
因此，b_5 = b_1 * q^4 = 2 * 4^4 = 64。
二、填空题3. 已知数列{c_n}满足c_1 = 5，且c_(n+1) = 2c_n + 1，求c_3的值。
答案：17解析：根据递推关系，c_2 = 2c_1 + 1 = 2*5 + 1 = 11，然后c_3 =2c_2 + 1 = 2*11 + 1 = 23。
4. 已知数列{d_n}满足d_1 = 3，且d_(n+1) = 3d_n - 2，求d_4的值。
答案：65解析：根据递推关系，d_2 = 3d_1 - 2 = 3*3 - 2 = 7，d_3 = 3d_2- 2 = 3*7 - 2 = 19，然后d_4 = 3d_3 - 2 = 3*19 - 2 = 65。
三、解答题5. 已知数列{e_n}满足e_1 = 1，且e_(n+1) = e_n + n，求e_5的值，并证明数列{e_n}是递增的。
答案：e_5 = 15证明：首先计算e_5的值，e_2 = e_1 + 1 = 1 + 1 = 2，e_3 = e_2+ 2 = 2 + 2 = 4，e_4 = e_3 + 3 = 4 + 3 = 7，e_5 = e_4 + 4 = 7 + 4 = 15。
数列考试题型及答案解析
数列考试题型及答案解析一、选择题1. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，a_4=8，求a_7的值。
A. 10B. 12C. 14D. 16答案：C解析：根据等差数列的性质，a_4 = a_1 + 3d，其中d为公差。
已知a_1=2，a_4=8，可以求得公差d=(8-2)/3=2。
因此，a_7 = a_1 + 6d = 2 + 6*2 = 14。
2. 已知数列{b_n}是等比数列，且b_1=3，b_3=27，求b_5的值。
A. 81B. 243C. 729D. 2187答案：C解析：根据等比数列的性质，b_3 = b_1 * q^2，其中q为公比。
已知b_1=3，b_3=27，可以求得公比q=3。
因此，b_5 = b_1 * q^4= 3 * 3^4 = 729。
二、填空题3. 已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且S_3=9，S_6=24，求S_9的值。
答案：36解析：根据等差数列的性质，S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)。
已知S_3=9，S_6=24，可以求得a_1=1，d=2。
因此，S_9 = 9/2 * (2*1 + (9-1)*2) = 36。
4. 已知数列{d_n}的通项公式为d_n = 2^n - 1，求前5项的和。
答案：31解析：根据通项公式，d_1=1，d_2=3，d_3=7，d_4=15，d_5=31。
因此，前5项的和为1+3+7+15+31=57。
三、解答题5. 已知数列{e_n}的前n项和为S_n，且S_1=1，S_2=3，S_3=6，求S_n的通项公式。
答案：S_n = n*(n+1)/2解析：根据已知条件，S_1=1，S_2=3，S_3=6，可以发现S_n与n的关系为S_n = n*(n+1)/2。
验证可知，当n=1时，S_1=1*(1+1)/2=1；当n=2时，S_2=2*(2+1)/2=3；当n=3时，S_3=3*(3+1)/2=6。
数列练习题经典例题及详细解答
数列练习题4．正项等比数列{a n }中a 1，a 49是2x 2－7x +6=0的两个根，则a 1·a 2·a 25·a 48·a 49的值为（ ）A ．221B ．93C ．±93D ．357、数列{}n a 满足首项*1114,323(),n n a a a n N +=+=∈那么使20n n a a +⋅<成立的n 值是（ ）A21 B20 C2和21 D21和225．已知数{}n a 的前n 项和142+-=n n S n ，则|||||||1021a a a ++++ 的值为（ ）A ．67B ．65C ．61D ．565．已知无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，所有项的和为S ，且1)2(lim =-∞→S S n n ，则其首项a 1的取值范围（ ）A ．(－1，0)B ．（－2,－1）C ．（－2,－1）∪（－1,0）D ．（－2,0） 9．若数列{}n a 成等差数列， a m ＝n ，a n ＝m(m ≠n)，则a m ＋n ＝ （ ）A ．0 B. 1 C. m ＋n D. －m －n10.若数列{}n a 成等差数列， ,()m n S n S m m n ==≠，则m n S +＝ （ ）A ．0 B. 1 C. m ＋n D. －m －n(1) 解法一： 1m n a a d m n-==--，∴0m n m a a nd n n +=+=-= 解法二：设n a an b =+，则a n b m a m b n +=⎧⎨+=⎩解之1a b m n=-⎧⎨=+⎩，∴()0m n a m n m n +=-+++= 解法三：设首项和公差列方程组（略）(2) 解法一：1m n n s s a +-=+…＋1111()()()()22m n m m n a m n a a m n a a n m ++=-+=-+=- ∴1112,()()2m n m n m n a a s m n a a m n ++++=-=++=-- 解法二： 设2n s an bn =+，则22an bn m am bm n⎧+=⎨+=⎩相减得()1a m n b ++=- ∴s m+n ＝a(m ＋n)2＋b(m ＋n)＝(m+n)[a(m ＋n)＋b]＝－m －n 解法三：由已知点(,),(,),(,)m n m n s s s m n m n m n m n+++共线， ∴m n m n s m n m m n n m n s m n m m n++--+=⇒=---4．若数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，则=+++22221n a a a （ ）A ．2)12(+nB ．1(41)3n - C ．)264(311+-n D ．)234(31+n例10．设｛a n ｝（n ∈N *）是公差为d 的等差数列，前n 项和为S n ，且S 5＜S 6，S 6=S 7＞S 8，则下列结论错误的是 （ ）A ．d ＜0B ．a 7=0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值14．已知等比数列}{n a 公比为q ，且q>1，其前n 项和为S n ，则nn n S a 1lim +∞→= q －1 . 9．以()f n 表示下图中第（n ）个图形的相应点数,根拒其规律()f n = ()2n n + ．……15.在数列}{n a 中)(22+∈++-=N n kn n a n ,已知此数列是递减数列且恰从第三项起开始小于3,则实数k 的取值范围是_15 .,25[3)_________.例19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2n ＋1，是否存在等差数列{b n }，使 a n ＝b 1C n 1＋b 2C n 2＋…＋b n C n n 对一切正整数n 均成立？解：n ≥2时，a n ＝S n －S n-1＝n2n-1，n ＝1时也成立，假设存在等差数列b n ＝an ＋b 满足条件 解法一： 则n2n-1＝(a ＋b)C n 1＋(2a ＋b)C n 2＋…＋(na ＋b)C n n＝a(C n 1＋2C n 2＋…＋nC n n )＋b(C n 1＋C n 2＋…＋C n n )＝an2n-1＋b(2n －1)＝(an ＋2b)2n-1－b比较两边对应项系数可得b ＝0，a ＝1，所以存在等差数列b n ＝n 满足条件 解法二：a n ＝ (a ＋b)C n 1＋(2a ＋b)C n 2＋…＋(na ＋b)C n n倒序 a n ＝(na ＋b)C n n ＋(na-a+b)C n n-1＋…＋(a ＋b)C n 1相加2a n ＝(na ＋b)( C n 0＋C n 1＋C n 2＋…＋C n n )即 n ×2n ＝b n ×2n 所以b n ＝n 故存在等差数列b n ＝n 满足条件。
高中数学--数列大题专项训练(含详解)
高中数学--数列大题专项训练（含详解）一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1.已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足*1231112()23n b b b b n n N n+++⋅⋅⋅+=∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设(1)()n n n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2.n S 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233.n n S a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若32log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.n T 3.在数列{}n a 中，111,(1n n n a a a c c a +==⋅+为常数，*)n N ∈，且1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列．(1)求证：数列1{}na 是等差数列；(2)求c 的值；(3)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n S4.在ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且11sin().214A π+=()Ⅰ求tan A 及角B 的值；()Ⅱ设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．5.在数列{}n a 中，11a =，11(1)(1)2nn n a a n n +=+++⋅(1)设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和nS 6.已知数列的各项均为正数，前项和为，且()Ⅰ求证数列是等差数列；()Ⅱ设求7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立．(1)求1a ，2a 的值；(2)设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．8.已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且2a ，3a ，7a 成等比数列．(1)求通项公式na (2)设2n a nb =，求数列n b 的前n 项和.n S 9.已知在数列{}n a 中，13a =，1(1)1n n n a na ++-=，*.n N ∈(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：1.(126n T <分)10.已知函数2(1)4f x x +=-，在等差数列{}n a 中，1(1)a f x =-，232a =-，3().a f x =(1)求x 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式.n a 11.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，1a ，3a 是函数2()109f x x x =-+的两个零点.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
高考数学数列大题训练50题含答案解析
高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。
4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令n nn S T 2=，∈当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：∈若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。
数列综合练习题(含答案)精选全文
3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。
(完整版)数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明：312n n a -=. 解：（1）21231,314,3413a a a =∴=+==+=Q .（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ1213133312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -=.例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =∴2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}n n b b -+1是等差数列.⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.解：（1）已知212322a a a +++…12n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2)128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②①－②得，128n n a -=，求得42n n a -=，在①中令1n =，可得得41182a -==，所以42nn a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-，∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n nb b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-L(4)(2)(28)n =-+-++-L 2714n n =-+(n ∈*N ）.（2）k k b a -=2714k k -+-42k-，当4k ≥时，277()()24f k k =-+-42k-单调递增，且(4)1f =， 所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k-≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 解： 依题意得：2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②∵ a n 、b n 为正数， 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ， 代入①并同除以1+n b 得：212+++=n n n b b b ， ∴}{n b 为等差数列∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，29,22122==b b b a 则 ，∴ 2)1(),1(22)229)(1(22+=∴+=--+=n b n n b n n ，∴当n ≥2时，2)1(1+==-n n b b a n n n ， 又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=n n a n2. 研究前n 项和的性质例题5. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为2nn S a b =⋅+，且13a =.（1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n b a =，求数列}{n b 的前n 项和n T . 解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ⋅=-=--112.而}{n a 为等比数列，得a a a =⋅=-1112， 又31=a ，得3=a ，从而123-⋅=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-Q .（2）132n n n n n b a -==⋅， 21123(1)3222n n n T -=++++L231111231(2322222n n n n n T --=+++++L ） ，得2111111(1)232222n n n nT -=++++-L ， 111(1)2412[](1)13232212n n n n n n n T +⋅-=-=---.例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k =+++L*()N k ∈， （1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '.解：（1）由题意：410nn a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-L ，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==.（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n -+'=+++==-+L当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----L L 27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+L∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩.例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若12log n n nb a a =，12n n S b b b =+++L 求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =12（舍）∴a n =2·2（n －1）=2n（2） ∵12log 2nn n n b a a n ==-⋅，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ） ∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2， 若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足1(3)[()2]n n b n f a =++，记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较52512312n n T +-与的大小. 解：（I ）11,,n n S a +-Q 成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②. ①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，13.n na a +∴=当n =1时，由①得112221S a a ∴==-， 又11,a =2213,3,a a a ∴=∴={}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，13.n n a -∴=（II ）∵()x log x f 3=，133()log log 31n n n f a a n -∴===-， 11111()(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++，1111111111111()224354657213n T n n n n ∴=-+-+-+-++-+-+++L11111()22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-++比较52512312n n T +-与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 222(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-∵*,N n ∈∴当*19N n n ≤≤∈且时，5252(2)(3)312,;12312nn n n T +++<<-即当10n =时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++==-即当*10N n n >∈且时，5252(2)(3)312,12312n n n n T +++>>-即.3. 研究生成数列的性质例题9. （I ） 已知数列{}n c ，其中nn n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；（II ） 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列.解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有 （c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1）， 将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p （2n ＋3n ）]2=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]， 即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n . 为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3.事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ， c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）=21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，163,814342==a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn解： 设数列{1k a }的公差为d ， 数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]q k －1依题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=163)2(81)(1)3(31143311421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21 又n 2个数都是正数，∴a 11 = d = q = 21 ， ∴a kk = kk2nn S 212132122132⨯++⨯+⨯+=Λ，1432212132122121+⨯++⨯+⨯+=n n S Λ，两式相减得：n n n S 22121--=-例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n nn b b b T a b +++==Λ21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a nΛ对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==- （2）由（1）得n n n b 212-=， nn n n n T 2122322523211321-+-++++=∴-Λ ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T Λ ② ①－②得)21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++=ΛΛ1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--.n n 2n n 23n 2321n 2213T +-=---=∴-， 设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由 1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,232)(Nn n n f n ∈+=随n 的增大而减小 +∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m（3）由题意得*21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对Λ恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=Λ，则()()11n 21n 2)1n ()1n (4)1n (2)3n 2)(1n 2(2n 2)a 11()a 11)(a 11(1n 21)a 11)(a 11()a 11)(a 11(3n 21)n (F )1n (F 2n 211n n 21=++>+-++=+++=+++++++++=++ΛΛ)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴>Θ是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p .（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*N n ∈. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；⑶设n b =1(12)n n a -**12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈L ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ， 由题意得2832d d =+⇒=-，82(1)102n a n n ∴=--=-. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤Λ时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=-L6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++=ΛΛ765212555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+故⎪⎩⎪⎨⎧+--=40n 9n n n 9S 22n 56n n ≤≥ （3）11111()(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++Q ， ∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+L .2(1)n n =+ 若32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n m n >+对任意*N n ∈成立， *()1N n n n ∈+Q 的最小值是21，1,162m ∴<m ∴的最大整数值是7.即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32n m T >例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n an b n =∈N *.（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若8131220,a a m b b b +=L 求.解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n an b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=⇒=⋅-。
数列经典试题(含答案)
强力推荐人教版数学高中必修5习题第二章数列1 . 孔｝是首项a1= 1, 公差为d =3的等差数列，如果a n =2 005, 则序号n 等千（）．A. 667B. 668C. 669D. 6702. 在各项都为正数的等比数列｛孔｝中，首项a1= 3 f前三项和为21I则a3+ a4 + a s = ( ). A. 33B. 72C. 84D. 1893. 如果a1,a2, …，as 为各项都大千零的等差数列，公差d-:t-0,则（）．A.a泣s > a 泣5B.a也s < a 泣5C . a 1+as < a4 + a s D . a 1as= a 泣54. 已知方程(Jf -2x+ m )(烂-2x+ n ) = 0的四个根组成一个首项为－的等差数列，则4 Im-n I 等于（）．A. 13-4B 1_2c D. 3-85. 等比数列｛孔｝中，a2= 9 , as = 243 , 则｛动的前4项和为（）． A. 81B. 120C. 168D. 1926. 若数列a 动是等差数列，首项a1> 0, B2 003 + a2 004 > 0 , a2 003·a2 004 < 0 , 则使前n项和Sn>0成立的最大自然数E=In 定：（）．A. 4 005B. 4 006C. 4 007D. 4 0087. 已知等差数列｛劲的公差为2,若a1, a3 , a4成等比数列则a2=().A. -4B. -6C. -8D. -108. 设岛是等差数列｛劲的前n项和，若化＝5 S ——，贝u----2...= ()a 39 S 5A. 1 B . -1C.2 l-2．D 9. 已知数列-l,a1,a2-4成等差数列-1 a — 2 aII纺，纺，�/-4成等比数列，则］的值是（b 2)1_2． A l -2 ． B l -2 或l -2 ． cl-4． D 10. 在等差数列｛孔｝中，a n t:-0,a n -l -a�+ a n +l = O (n�2), 若S2n -l = 38 , 则n =( ) .A. 38B. 20C. 10D.9二、填空题11 . 设心＝ 1，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得I(-5) + I(-4) + ... + f(O) +…+ /(5) 2勹一五+ /(6)的值为12. 已知等比数列｛动中，(1)若a3盆·as =8, 则a2·务函岔兔＝(2)若a1+ a2 = 324 , a3 + a4 = 36 , 则as+a 产(3)若S4=2,Ss =6,则a17+ a1s + a19 + a20 = 8 2713 . 在－和—之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为14. 在等差数列｛孔｝中，3(a 产生）+ 2(动+a10 + a13) = 2 4 , 则此数列前13项之和为15 . 在等差数列｛孔｝中，as =3,a6= -2, 则a4+as+…+a10 =16. 设平面内有n 条直线(n�3)/其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同—点．若用杯）表示这n 条直线交点的个数，则私）＝三、解答题；当n>4时，杯）＝17 . (1)已知数列｛孔｝的前n 项和S n =3rF -2n,求证数列｛孔｝成等差数列(2)已知1 1 1 — —, －成等差数列，求证b+cc+a a+b也成等差数列abcab c18. 设｛孔｝是公比为q的等比数列，且a1,a3,a2成等差数列．(1)求q的值；(2)设｛如是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n,当n�2时，比较岛与幻的大小，并说明理由．19. 数列｛孔｝的前n项和记为S n,已知a1= 1 求证：数列｛二｝是等比数列．n+2, an+ 1 = Sn(n = 1 , 2 , 3 ...) .20. 已知数列｛孔｝是首项为a且公比不等于1的等比数列，岛为其前n项和，a1/ 2句，3a4成等差数列，求证：1253 / 55 / 512 -55成等比数列第二章数列参考答案一、选择题1.C解析：由题设，代入通项公式a n=a1 +(n -l)d, 即2005 = 1 +3(n -1) ,.·.n = 699 .2.C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列｛孔｝的公比为q(q>0) /由题意得a1+ a2 +a3 = 21 ,即a1(l+ q+矿）= 21, 又a1=3,:.l+q+矿=7.解得q=2或q=-3(不合题意，舍去），．岛＋函+a s=a1矿(1+ q+矿）= 3x2奴7=84.3.B.解析：由a1+as=a4+a s,才非除C.又a1岔=a1(a1 +7动=a产+7 a1d,a4· 无=(a1 +3功(a1+ 4动=a产+7 a1d + 12d > a1·as .4.C解析：1解法1:设a1= , a尸1 1 1— —+ d, a3 = -+ 2d, a4 =—+3d, 而方程烂-2x+m=O中两根之和为2烂-2x+n=O4 4 4 4中两根之和也为2,.a1 +a2 +a3 +函=1+6d=4,7 3 5:.d=—, a1 =—, a4=—是一个方程的两个根，a1=—, a产—是另一个方程的两个根．2 4 4 4 47 15.-. —, —分别为m或n,1616.-. Im -n I =_!_, 故选C .2解法2:设方程的四个根为X 1, X2 , X3 , X4 , 且X 1+X2=X3+X4=2 IX1为=m ,X3凶=n.由等差数列的性质：若等差数列为，1 3 5 7 4 4 4 4715 :.m =—, n =— 1616+s =p +q ,则a7+ a s = a p+ a q /若设X1为第—项，X 2必为第四项，则X2=—，千是可得4.-. Im -n I．1-25.B解析：a2 = 9 , as = 243 , 生－＝矿＝—－243 =27 a 29.·.q = 3 I a1q = 9 I a1 = 3 I S 4= 3—35=严=120l —326. B 解析：解法1:由a2003 + a 2 004 > 0 , a2 003·a2 004 < 0 , 知a2003和a2004两项中有—正数—负数，又a1> 0 /则公差为负数，否则各项总为正数，故a2003 > a2 004 , 即a2003 > 0 , a2 004 < 0.4 006(a1+a 4 006 )4 006(a +a ).-. 54 006 ==2 003 2 004 > O ,224 0074 007 :.S4 007 =·(a1+ a4 007) =·2a2 004 < 0 , 22 故4006为S n>0的最大自然数选B.解法2:由a1> 0 , a2 003 + a2 004 > 0 , a2 003·a2 004 < 0 ,同解法1的分析得a2003 >0 , a2 004 < 0 ,.·.S2 003为岛中的最大值．I（第6题）岛是关于n的二次函数，如草图所示，.2 003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，4 007.在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧，4007 I4 008都在其右侧，S n >0的最大自然数是4006.7.B解析：了｛孔｝是等差数列，．．岔=a1 + 4 , a4 = a1 + 6 , 又由a1, a 3, a4成等比数列，..(a1 + 4)2 = a1(a1 + 6) , 解得a 1= -8 t .a 2 = -8 + 2 = -6 . 8.AA 选， 1 ＿＿ 5-9 9-5 ＝ 53 a a ．． 95 ＿＿ 、丿、晶，丿95 a a +2+2a l a _ （（ 95 ＿＿ s 9-i ·' .. 析解9.A解析：设d和q分别为公差和公比，则-4 = -1 + 3d且-4 = (-1) cf / .d = -1 , 矿=2,a -a .2 I d l ．．= =— 九－矿210. C解析：｛孔｝为等差数列，a�= an-l + an+l, .·.a�= 2an, 又BntO, ."孔=2 / {孔｝为常数数列，s2n-138而a n =I即2n -1 =—= 19,2n -12:.n = 10二、填空题11. 3五．解析：了伈劝＝2勹一五2x.f(_l -劝=1 =2x=✓2 i 1-x 十五2+✓2·2x 忒+2XI·2x l + 1.y1(✓2+ 2x)伈店－劝=1+✓2=✓2 =✓2五+2x迈+2x五+2x丘+2x设S =I(_ -5) +/(_ -4) +…＋和）＋…＋朽）＋秅），贝U 5 = /(_6) + /(_5) +…+ f(_O) +…+ I(_ -4) + I(_ -5):.2S = [/(_6) + I(_ -5)] +团5)+ /(_ -4)] +…+ [/(_ -5) +秅）] = 6✓2..S = I(_ -5) + /(_ -4) + ... +和）＋…＋朽）＋秅）=3五．12 . (1) 32 ; (2) 4 ; (3) 32 . 解析：(1)由a3岔=Q�/得a4= 2I＿2＿＿ :.a2·a3·a4·a5·a6 = a 5 = 32. (2) {a , + a , �324⇒ 矿＝丿(a, +aJ 矿=369 I．岛+a6= (a1 + a2)才=4.(3){义�a 三+a ,+a 4�24⇒旷�2'S 8=a 1+a 2+· · ·+a 8=S 4+S 4q:.a 17 + a 1s + a19 + a20 = S4泸=32.13 . 216 .8 27解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与－，—同号，由等比中项的中间数为厂产=6I ..插入的三个数之积为汇竺x6= 216. 3 23214. 26.解析：·.岔+a s =2a4, 句+au =2a10, :.6(a4 + a 10) = 24 , a4 + a 10 = 4 , :.S 13 =13(a 1+a 13) 13(a 4+a 10) 13X42 = 2 = 2= 26. 15 . -49. 解析：·:d =a 6 -a s = -5 , .·.a4 +a s+…+ a10 =7(a 4+a 10)_ 7(a 5—d+a 5+5d) =7(a s +2动= -49.16. 5, —(n + l)(n-2) . 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，.f(k)=f(k-1) + (k-1)由/(3)= 2/(4) = /(3) + 3 = 2 + 3 = 5 , /(5) = /(4) + 4 = 2 + 3 + 4 = 9 ,f(n) = f(n -1) + (n -1), 相加得杯）=2+3+4+ 三、解答题1…+ (n -1) =—(n + l)(n -2) . 2 17. 分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．证明：(1) n= 1时，a1=51=3-2=1,当n�2时，a n =S n -S n _ 1 = 3 ff -2 n -[3(n -1)2 -2(n -1)] = 6n -5 n=l 时，亦满足，:.a n =6n -S(nE N *) .首项a1= 1 ,a n -a n -1 = 6n -5 -[6(n -1) -5] = 6(常数）(nEN*),．数列｛动成等差数列且a1= 1, 公差为6.(2) .. 1 1 1 ， 成等差数列，a b c 2 1 1 :. —=-+-化简得2a c =以a +CJ b a cb+c a+b ＋＝ bc+c 2+a 2+ab b(a+c)+a 2+c 2 (a+c)2 (a+c)2 a+c = = = = 2a C ac acac b(a+c) b . b+c c+a a+b， 也成等差数列．a bc 18. 解：(1)由题设2a3= a1 + a2 , 即2a心=a1 + a1q, :a1-:t-O, :.2矿-q -1=0,:.q= 1或－—．12(2)若q=1, 则S n =2n+= n(n —I) n 2+3n 2 2当n�2时，S -b n = S n -(n —1) (n+2)n 1=>O, 故S n >b n .若q = 2I n(n 1)，则S n =2n + l —n +9n -—(-—) ＝2 2 2 4. 当n�2时，S n -炕=S n -1 =, (n —I) (IO —n)2故对于nEN+,当2匀区9时，S 户肛；当n =10时，S n =b n ; 当n�ll时，S n <b n . 19. 证明...n+2 .. a n +i = Sn+l -S n I a n +i = nS n I .·.(n + 2)S n = n(S n +l -S n ),整理得nS n +l = 2(n + 1) S n , s 所以n +l 2S n n+I n s 故｛二｝是以2为公比的等比数列．20. 证明：由a1/ 2句，3a4成等差数列，得4句=a1 + 3a4, 即4a1cf = a1 + 3a1矿，变形得(4矿+1)(矿-1) = 0 , 1 矿＝－－或矿=1(舍）．4 吓－矿）由戈=1-q = l+q 3 =上12S 3 12a, (1-矿）12 16 1—qa l (l —q '2) S ,2-S 6 =旯l —q 1-1= -1=1+ -1=—·＃ s 6 s 6 a , (1—q 勹得戈＝凡-S 6. 12S 3 S 61-q .12S3 I S5 I S12 -吴成等比数列．16。
数列大题综合(含答案)
数列大题综合1．（2022春·广东深圳·高二翠园中学校考期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且629S S =，3634a a -=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．（2022春·广东广州·高二校考期中）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，33a S =，244a a S =.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值3．（2022春·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知等差数列{}n a 满足：47a =，1019a =，其前n 项和为.n S (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．4．（2022春·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）设{}n a 是首项为1的等比数列，且1a 、23a 、39a 成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，求{}n S 的前n 项和n T ．5．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n b 的前n 项和分别为n T ，求n T ．6．（2022春·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，()122N n n a S n *+=+∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足()32log 1n n n b a a n *⎛⎫=⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n b 的前n 项和nT.7．（2022春·广东广州·高二统考期中）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，24a =，3424a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求证：12311113nd d d d ++++<L .8．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知数列{}n a 、{}n b 满足1233= nbn a a a a ，若数列{}n a 是等比数列，且13，=a 434=+b b ．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)令()21nn n b c n a =+，求{}n c 的前n 项和为n S .9．（2022春·广东佛山·高二校考期中）在等比数列{}n a 中，公比0q >，其前n 项和为n S ，且26S =，______．从①430S =，②6496S S -=，③3a 是3S 与2的等差中项这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设log 2n n a b =，且数列{}n c 满足11c =，11n n n n c c b b ++-=，求数列{}n c 的通项公式．10．（2022春·广东佛山·高二顺德市李兆基中学校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且220n n S a -+=，数列{}n b 为等差数列，11b a =，523b b b =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n c 是由数列{}n b 的项删去数列{}n a 的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列{}n c 的前50项和50T .11．（2022春·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足322n n S a =-，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设,2,n n a n b n n ⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .12．（2022春·广东深圳·高二校考期中）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且3616a a +=，981S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，若715n T >，求n 的最小值．13．（2022春·广东深圳·高二深圳市建文外国语学校校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213n n S a +=．(1)证明数列{}n a 为等比数列，且求其通项公式；(2)若数列{}n b 满足n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．14．（2022春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列{}n a 中，12a =，*121(N )n n a a n n +=-+∈.(1)求2a ，并证明{}n a n -为等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .15．（2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区郑裕彤中学校考期中）已知数列{}n a 中，12a =，24a =，且()*2132n n n a a a n N ++=-∈.(1)设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是常数列；(2)求数列{}n a 的通项公式，并求数列{}n a 的的前n 项和；(3)设2sin cos log 22n n n n c a ππ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前2022项的和.16．（2022春·广东广州·高二执信中学校考期中）已知数列{}n a 是公差大于1的等差数列，前n 项和为n S ，11a =，且2，31a -，63a -成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2n n n n b S n a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证12n T <.17．（2022春·广东汕头·高二校考期中）在①35a =，5722a a +=；②11a =，525S =；③2n S n =，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若______.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n 11n n C a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．（2022春·广东·高二校联考期中）已知首项为2的数列{}n a 满足111,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记212,-==n n n n b a c a .(1)求证：数列{}n b 是一个等差数列；(2)求数列1⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n b c 的前10项和10S .19．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，()*211n nb n a =∈-N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，求100S .20．（2022春·广东江门·高二校联考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()1212n n S S n -=+≥.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()111nn n n a b a a +=++，求数列{}n b的前n 项和n T .21．（2022春·广东揭阳·高二普宁市华侨中学校考期中）已知Sn 为等差数列{an }的前n 项和，若a 3＋a 5＝5，S 4＝7．(1)求an ；(2)记bn ＝2221n n a a +⋅，求数列{bn }的前n 项和Tn .22．（2022春·广东佛山·高二校联考期中）“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为1a 万平方公里，第n 年绿洲的面积为n a 万平方公里.(1)求第n 年绿洲的面积n a 与上一年绿洲的面积1n a -的关系；(2)证明：数列45n a ⎧⎫-⎨⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(3)求第几年该地区的绿洲面积可超过60%?（参考数据：lg 20.3010=）23．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列{}n d 的前n 项和2n S n n =+，且2d ，4d 为等比数列数列{}n a 的第2、3项．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n nnb a =，求证：122n b b b +++< 24．（2022春·广东佛山·高二校联考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且342n n S a =-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()221log n n b n a =+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n T .25．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知等差数列{}n a 满足，110a =，且210a +，38a +，46a +成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 的通项公式为2nn b =，求数列{}n n a b 的前n 项和．26．（2022春·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知数列{}n a 为单调递增的等比数列，且1432a a =，2312a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log =n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .27．（2022春·广东韶关·高二校考期中）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．28．（2022春·广东广州·高二广州市协和中学校考期中）已知等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，11a =，{}n b 为等比数列且各项均为正数，11b =，且满足：22337,22b S b S +=+=.（1）求n a 与n b ；（2）记12n nn na cb -⋅=，求{}nc 的前项和；（3）若不等式1(1)2nn n n m T --⋅-<对一切n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围.29．（2022春·广东广州·高二广州市育才中学校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，()*)n S n N ∈在函数2y x =的图象上，数列{}n b 满足()1*1622,n n n b b n n N +-=+∈，且113b a =+(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明列数12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；(3)设数列{}n c 满足对任意的*312123123,2222n n nn c c c c n N a b b b b +∈=+++⋯+++++均有成立，求1232010c c c c +++⋯+的值．30．（2022春·广东广州·高二广州市禺山高级中学校联考期中）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．数列大题综合答案1．（2022春·广东深圳·高二翠园中学校考期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且629S S =，3634a a -=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．n 0n 的前项和，33244(1)求数列{}n a的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值，n 满足：4，10，其前项和为n (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．n 是首项为1的等比数列，且1、2、3成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，求{}n S 的前n 项和n T ．5．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知数列n a 的前n 项和为n S ，且222n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n b 的前n 项和分别为n T ，求n T ．n 的前n 项和为n 1，()122N n n a S n *+=+∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}nb 满足()32log 1n n n b a a n *⎛⎫=⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n b 的前n 项和nT .n 的各项均为正数，2，34(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求证：12311113nd d d d ++++<L .n 、n 满足123nn n 是等比数列，且13，=a 434=+b b ．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)令()21nn n b c n a =+，求{}n c 的前n 项和为n S .n 中，公比，其前n 项和为n ，且2，______．从①430S =，②6496S S -=，③3a 是3S 与2的等差中项这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设log 2n n a b =，且数列{}n c 满足11c =，11n n n n c c b b ++-=，求数列{}n c 的通项公式．n 的前项和为n ，且n n ，数列{}n b 为等差数列，11b a =，523b b b =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n c 是由数列{}n b 的项删去数列{}n a 的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列{}n c 的前50项和50T .n 的前n 项和为n ，满足322n n Sa =-，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设,2,n n a n b n n ⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .n 前n 项和为n ，且36，9．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，若715n T >，求n 的最小值．n 的前n 项和为n ，且213n n S a +=．(1)证明数列{}n a 为等比数列，且求其通项公式；(2)若数列{}n b 满足n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．n 中，1，1n n +=-+∈.(1)求2a ，并证明{}n a n -为等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .n 中，1，2，且()*2132n n n a a a n N ++=-∈.(1)设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是常数列；(2)求数列{}n a 的通项公式，并求数列{}n a 的的前n 项和；(3)设2sin cos log 22n n n n c a ππ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前2022项的和.n 是公差大于1的等差数列，前项和为n ，11a =，且2，31a -，63a -成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2n n n n b S n a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证12n T <.3，57；②1，5；③n 条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若______.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n 11n n C a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．（2022春·广东·高二校联考期中）已知首项为2的数列{}n a 满足11,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记212,-==n n n n b a c a .(1)求证：数列{}n b 是一个等差数列；(2)求数列1⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n b c 的前10项和10S .19．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，*21n n b n a =∈-N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，求100S .n 的前项和为n ，且满足1，1n n -(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()111nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .35S 4＝7．(1)求an ；(2)记bn ＝2221nn a a +⋅，求数列{bn }的前n 项和Tn .年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为1a 万平方公里，第n 年绿洲的面积为n a 万平方公里.(1)求第n 年绿洲的面积n a 与上一年绿洲的面积1n a -的关系；(2)证明：数列45n a ⎧⎫-⎨⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(3)求第几年该地区的绿洲面积可超过60%?（参考数据：lg 20.3010=）n n S n n =+2，4列{}n a 的第2、3项．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n nnb a =，求证：122n b b b +++<n 的前项和为n ，且n n (1)求{}n a 的通项公式；(2)若()221log n n b n a =+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n T .n 12，3，4成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 的通项公式为2nn b =，求数列{}n n a b 的前n 项和．【答案】(1)28n a n =+(2)()116272n n S n +=-++⋅【详解】（1）等差数列{}n a 的首项110a =，公差设为d ，由210a +，38a +，46a +成等比数列，则()()()23248106a a a +=+⋅+，即()()()2111281036a d a d a d ++=++⋅++，即()()()218220163d d d +=+⋅+，解得2d =，所以()1128n a a n d n =+-=+.n 14，2312a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log =n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .n 为等差数列，n 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．n 中，前项和为n ，1，n 为等比数列且各项均为正数，11b =，且满足：22337,22b S b S +=+=.（1）求n a 与n b ；（2）记12n nn na cb -⋅=，求{}nc 的前项和；（3）若不等式1(1)2nn n n m T --⋅-<对一切n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围.29．（2022春·广东广州·高二广州市育才中学校考期中）已知数列n 的前项和为n ，点，n 在函数2y x =的图象上，数列{}n b 满足()1*1622,n n n b b n n N +-=+∈，且113b a =+(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明列数12n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；(3)设数列{}n c 满足对任意的*312123123,2222n n nn c c c c n N a b b b b +∈=+++⋯+++++均有成立，求1232010c c c c +++⋯+的值．30．（2022春·广东广州·高二广州市禺山高级中学校联考期中）已知数列{}n a 中，11a =，24a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．。
高中数学数列专题训练6套含答案
目录第一套：等比数列例题精讲第二套：等差等比数列基础试题一第三套：等差等比数列基础试题二第四套：等差等比数列提升试题一第五套：等差等比数列提升试题二第六套：数列的极限拓展等比数列·例题解析【例1】 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．[ ]A ．是等比数列B ．当p ≠0时是等比数列C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列D ．不是等比数列分析 由S n ＝p n (n ∈N*)，有a 1=S 1＝p ，并且当n ≥2时， a n =S n －S n-1＝p n －p n-1＝(p －1)p n-1但满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D ．说明 数列{a n }成等比数列的必要条件是a n ≠0(n ∈N*)，还要注【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ． 解 ∵1，x 1，x 2，…，x 2n ，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q 2n+1x 1x 2x 3...x 2n ＝q .q 2.q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．故－，因此数列成等比数列≠－≠a =(p 1)p {a }p 0p 10(p 1)p 2n n 1⇔--=-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪--()()p pp p p n 212意对任∈，≥，都为同一常数是其定义规定的准确含义．n *n 2N a a nn -1=q2n(1+2n)2==+q n n n ()212【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－，求通项公12解 (1)a =a q q =5252-∴－12∴a 4＝2【例4】 已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，在a ，b 之间插入n 个正数x 1，x 2，…，x n ，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等比数列，求证明 设这n ＋2个数所成数列的公比为q ，则b=aq n+1【例5】 设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2．证法一 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列∴b 2＝ac ，c 2＝bd ，ad ＝bc∴左边=b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2＋d 2－2bd ＋b 2 =2(b 2－ac)＋2(c 2－bd)＋(a 2－2bc ＋d 2) ＝a 2－2ad ＋d 2 ＝(a －d)2＝右边证毕．证法二 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，设其公比为q ，则： b ＝aq ，c ＝aq 2，d=aq 3∴＝＝－＝∵·＝··＝a a q 4()()(2)a a a a a a a =8n 2n 2n 2n 4354234543----1212又＝＝∴a a a a a a a a a a =a =322635423456452证…＜．x x x a bn n 122+∴∴……＜q b ax x x aqaq aq aqab a bn n n nn n ++====+1122122∴a b b c c d==∴左边＝(aq －aq 2)2＋(aq 2－a)2＋(aq 3－aq)2 ＝a 2－2a 2q 3＋a 2q 6 =(a －aq 3)2 ＝(a －d)2=右边证毕．说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b 、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b 、c 的路子．证法二则是把a 、b 、c 、d 统一化成等比数列的基本元素a 、q 去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．【例6】 求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----证 ∵a 1、a 2、a 3、a 4均为不为零的实数∴上述方程的判别式Δ≥0，即又∵a 1、a 2、a 3为实数因而a 1、a 2、a 3成等比数列∴a 4即为等比数列a 1、a 2、a 3的公比．【例8】 若a 、b 、c 成等差数列，且a ＋1、b 、c 与a 、b 、c ＋2都成等比数列，求b 的值．解 设a 、b 、c 分别为b －d 、b 、b ＋d ，由已知b －d ＋1、b 、b ＋d 与b －d 、b 、b ＋d ＋2都成等比数列，有整理，得∴b ＋d=2b －2d 即b=3d 代入①，得9d 2=(3d －d ＋1)(3d ＋d) 9d 2=(2d ＋1)·4d 解之，得d=4或d=0(舍) ∴b=12【例7】 a a a a (a a )a 2a (a a )a a a =0a a a a 1234122242213422321234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．∴＋－＋＋＋为实系数一元二次方程等式＋－＋＋＋说明上述方程有实数根．(a a )x 2a (a a )x a a =0(a a )a 2a (a a )a a a =0a 122222132232122242213422324[2a (a a )]4(a a )(a a )=4(a a a )0(a a a )02132122222322213222132－＋－＋＋－－≥∴－≤∴－≥必有－即(a a a )0a a a =0a =a a 2213222132213又∵a =2a 42()()()a a a a a a a a a a a a 1312222131213212++=++=b =(b d 1)(b d)b =(b d)(b d 2)22－＋＋①－＋＋②⎧⎨⎪⎩⎪b =b d b db =b d 2b 2d 222222－＋＋－＋－⎧⎨⎪⎩⎪【例9】 已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d ，又知d ≠1，且a 4=b 4，a 10=b 10：(1)求a 1与d 的值； (2)b 16是不是{a n }中的项？ 思路：运用通项公式列方程(2)∵b 16=b 1·d 15=－32b 1∴b 16=－32b 1=－32a 1，如果b 16是{a n }中的第k 项，则 －32a 1=a 1＋(k －1)d ∴(k －1)d=－33a 1=33d∴k=34即b 16是{a n }中的第34项．解 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1＋(n －1)d解 (1)a =b a =b 3d =a d a 9d =a da (1d )=3d a (1d )=9d4410101131191319由＋＋－－－－⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎩⎪a ⇒⇒==-=-==-d d 2=063＋－舍或∴d d a d d 1231331222()且＋·－－∴a =a 3d =22=b b =b d =2b =22b =a =2413441313113-【例10】 {a }b =(12)b b b =218b b b =18n n a n 123123设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．∴·b =(12)b b =(12)(12)=(12)b n a 13a a +2d 2(a +d)221111+-()n d1解这个方程组，得∴a 1=－1，d=2或a 1=3，d=－2∴当a 1=－1，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=2n －3 当a 1=3，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=5－2n【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列 即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列 即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)解法二 按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列 即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列由，解得，解得，代入已知条件整理得＋b b b =18b =18b =12b b b =18b b =14b b =1781232321231313b b b 123218++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪b =2b =18b =18b =21313，或，⇒aq 2=4a ＋②①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509⇒8b d =162－①即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)解法三 任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列a 1，a 2＋4，a 3成等差数列 得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列 得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③说明 将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成简化计算过程的作用．【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．分析 本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则第四个数由已知条⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509得：①a =a a 2213①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq方法二 设后三个数为b ，bq ，bq 2，则第一个数由已知条件推得为2b －bq ． 方法三 设第一个数与第二个数分别为x ，y ，则第三、第四个数依次为12－y ，16－x ．由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法二 设后三个数为：b ，bq ，bq 2，则第一个数为：2b －bq所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法三 设四个数依次为x ，y ，12－y ，16－x ．这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．解 设成等差数列的三个数为b －d ，b ，b ＋d ，由已知，b －d ＋b ＋b ＋d=126 ∴b=42这三个数可写成42－d ，42，42＋d ．再设另三个数为a ，aq ，aq 2．由题设，得件可推得：()a d a+2解法一 a d a a d 设前三个数为－，，＋，则第四个数为．()a d a+2依题意，有－＋＋＋a d =16a (a d)=12()a d a+⎧⎨⎪⎩⎪2解方程组得：或－a =4d =4a =9d =61122⎧⎨⎩⎧⎨⎩依题意有：－＋＋2b bq bq =16b bq =122⎧⎨⎩解方程组得：或b =4q =2 b =9q =131122⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪依题意有＋－·－－x (12y)=2yy (16x)=(12y)2⎧⎨⎩解方程组得：或x =0y =4x =15y =91122⎧⎨⎩⎧⎨⎩解这个方程组，得 a 1=17或a 2=68当a=17时，q=2，d=－26从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．【例14】 已知在数列{a n }中，a 1、a 2、a 3成等差数列，a 2、a 3、a 4成等比数列，a 3、a 4、a 5的倒数成等差数列，证明：a 1、a 3、a 5成等比数列．证明 由已知，有 2a 2=a 1＋a 3①即 a 3(a 3＋a 5)=a 5(a 1＋a 3)所以a 1、a 3、a 5成等比数列．a 42d =85ap 42=76aq 42d =842＋－＋＋＋⎧⎨⎪⎩⎪整理，得－①②＋③a d =43aq =34aq d =422⎧⎨⎪⎩⎪当时，，a =68q =12d =25a =a a 3224·②③211435a a a =+由③，得·由①，得代入②，得··a =2a a a +a a =a +a 2a =a +a 243535213321323535a a a a +整理，得a =a (a +a )a +a 351235a a a =a a a a a =a a 323515353215＋＋∴·【例15】已知(b－c)log m x＋(c－a)log m y＋(a－b)log m z=0．(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．证明(1)∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0∴b－c=a－b=－d，c－a=2d代入已知条件，得：－d(log m x－2log m y＋log m z)=0∴log m x＋log m z=2log m y∴y2=xz∵x，y，z均为正数∴x，y，z成等比数列(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：(b－c)log m x＋(c－a)log m xq＋(a－b)log m xq2=0变形、整理得：(c＋a－2b)log m q=0∵q≠1 ∴log m q≠0∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c即a，b，c成等差数列高一数学数列练习【同步达纲练习】 一、选择题1.已知数列1，21，31，…，n1…，则其通项的表示为( ) A.｛a n ｝B.｛n 1｝C. n1D.n2.已知数列｛a n ｝中，a n =4n-13·2n+2，则50是其( )A.第3项B.第4项C.第5项D.不是这个数列的项3.已知数列的通项公式a n =2n-1，则2047是这个数列的( ) A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项 4.数列-1，58，-715，924，…的通项公式是( ) A.a n =(-1)n 122++n nnB.a n =(-1)n12)3(++n n nC.a n =(-1)n1222-+n nnD.a n =(-1)n12)2(++n n n5.在数列a 1,a 2,a 3,…，a n ，…的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第29项( )A.不是原数列的项B.是原数列的第7项C.是原数列的第8项D.是原数列的第9项6.已知数列的通项公式为a n =1213+-n n ，则a n 与a n+1的大小关系是( ) A.a n ＜a n+1 B.a n ＞a n+1C.a n =a n+1D.大小不能确定7.数列｛a n ｝中，a n =-2n 2+29n+3，则此数列的最大项的值是( ) A.107B.108C.10881 D.1098.数列1，3，6，10，15，…的通项公式a n ，等于( ) A.n 2-(n-1) B.2)1(-n n C.2)1(+n n D.n 2-2n+2二、填空题1.数列-31，91，-271，…的一个通项公式是 .2.数列1，1，2，2，3，3，…的一个通项公式是 .3.数列1×3，2×4，3×5，…，n(n+2)，…，问120是否是这个数列的项 .若是，120是第 项.4.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=pa n +q ，且a 2=3,a 4=15,则p= ,q= .5.一个数列的前n 项之和是n n，则此数列的第4项为 .6.-1103，4203，-7403，10803，-131603，…的一个通项公式为 . 三、解答题1.已知数列｛a n ｝的通项a n =)1(1+-n n n ,207、1207是不是这个数列的项?如果是，则是第几项?2.写出以下数列的一个通项公式.①-31，256，-499，274，-12115…； ②9，99，999，9999，99999，….3.已知下列数列｛a n ｝的前n 项和S n ，求数列｛a n ｝的通项公式.①S n =3+2n ; ②S n =2n 2+n+3【素质优化训练】1.已知数列的前4项如下，试写出下列各数列的一个通项公式：(1) 21，61，121，201； (2)-1，23，-45，87；(3)0.9，0.99，0.999，0.9999； (4)35，810，1517，2426.2.已知数列的通项公式为a n =-0.3n 2+2n+732，求它的数值最大的项.3.若数列｛a n ｝由a 1=2，a n+1=a n +2n(n ≥1)确定，求通项公式a n .【生活实际运用】参加一次国际商贸洽谈会的国际友人居住在西安某大楼的不同楼层内，该大楼共有n 层，每层均住有参会人员.现要求每层指派一人，共n 人集中到第k 层开会，试问k 如何确定，能使n 位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最少?(假定相邻两层楼楼长都相等)【知识探究学习】某人从A 地到B 地乘坐出租车，有两种方案：第一种方案：利用起步价10元，每千米价为1.2元的汽车.第二种方案：租用起步价是8元，每千米价为4元的汽车.按出租车管理条例，在起步价内，不同型号车行驶的里程是相等的.则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适.解：设起步价内行驶里程为a 千米，A 地到B 地的距离是m 千米. 当m ≤a 时，选起步价8元的出租车比较合适. 当m ＞a 时，设m=a+x(x ＞0)乘坐起步价10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的费用为Q(x)元， 则：P(x)=10+1.2x Q(x)=8+1.4x令P(x)=Q(x)得10+1.28+1.4x 解得x=10(千米) 此时两种出租车任选.当x ＞10时，P(x)-Q(x)=2-0.2x ＜0，故P(x)＜Q(x) 此时选起步价为10元合适.当x ＜10时，P(x)-Q(x)=2-0.2x ＞0，故P(x)＞Q(x) 此时选起步价为8元的出租车合适.参考答案：【同步达纲练习】一、1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C二、1.a n =nn3)1(- 2.a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+为偶数为奇数n n n n ,2,213.是，104.2或-3，1或65.2296.a n =(-1)n［(3n-2)+12103-∙n ］ 三、1.207不是｛a n ｝中的项，1207是｛a n ｝中的第15项. 2.①a n =(-1)n2)12(3+n n ;②a n =10n-1.3.①a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=2)(n 21)(n 51-n ②a n =⎩⎨⎧≥-=2)(n 1n 41)(n 6。
数列综合经典练习题(含详细答案)
数列综合经典练习题（含详解答案）一、选择题1.已知等差数列{}n a 中79416,1,a a a +==则12a 的值是( ) A ．15B ．30C ．31D ．642.如果等差数列{}n a 中，，34515a a a ++=，那么127a a a +++=（ )A.14B.21C.28D.353.已知首项为正数的等差数列{}n a 满足:20052006200520060,.0a a a a +><.则使0n S >成立的最大自然数n 是 ( )A. 4009B.4010C. 4011D.4012 4.在等差数列{}n a 中, n S 为其前n 项和,若34825a a a ++=,则9S = ( ) A.60 B.75 C.90 D.1055.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,且关于x 的方程21320a x a x a -+=有两个相等的实根,则93S S 的值为( ) A.27B.21C.14D.56.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若488,20S S ==，则13141516a a a a +++=( ) A.12B.8C.20D.167.若数列{}n a 的首项112a =,且*1(1)(N )n n n a a a n +=+∈,则200300a a =( )A.32B.23 C.201301D.3012018.古时有如下问题:今有肖司差夫一丁八万六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升.其大意为:官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人,每个修筑堤坝的人每天分发到3升大米.在该问题中第三天共发了大米( ) A. 234升B.405升C. 639升D.894升9.一个有限项的等差数列，前4项的和为40,最后4项的和是80,所有项的和是210,则此数列的项数为( ) A.12B.14C.16D.1810.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,0,3,2m m m S S S m -+=-==≥，则n nS 的最小值为( ) A.-3B.-5C.-6D.-911.在等比数列{}n a 中，已知151,20192019a a ==,则3a =( ) A.1B.3C.±1D.±312.设{}n a 是首项为1a ,公差为2-的等差数列,n S 为其前n 项和,若124,,S S S 成等比数列,则1a =( ) A.2B.-2C.1D.-113.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,103010,130S S ==,则40S =( ) A.-510B.400C.400或-510D.30或4014.已知数列{}n a 是等比数列，2511,8a a ==，则*12231...(N )n n a a a a a a n ++++∈的最小值为( ) A.83B.1C.2D.315.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1111,(N )3n n a S a n +==∈,则7a =( ) A. 74B. 534⨯C.634⨯D. 641+16.已知等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，则5a =( ) A ．2±B ．2C ．2-D ．417.已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则20192014a a = （ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．3或618.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a -=.若存在两项,m n a a14a =，则9n mmn +的最小值为( )A ．83 B ．114 C ．145 D ．17619.2+2的等比中项是（ ） A ．1 B ．2 C ．1± D ．2±20.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A.253 B. 503 C. 507D. 100721.若1既是2a 与2b 的等比中项,又是1a 与1b 的等差中项,则22a ba b++的值是（ ） A ．1或12B ．1或12-C ．1或13D ．1或13-22.如果等差数列{}n a 中34512a a a ++=，那么7S =( ) A.28 B.21 C.35D.14二、填空题23.在等比数列{}n a 中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 . 24.设数列{}n a 是递减的等比数列,且满足2712a a =,3694a a +=,则1232n a a a a ⋅⋅⋅的最大值为__________.25.已知等比数{}n a 中, 171,2727a a ==,求n a = 26.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,13n n a S +=,*N n ∈,则n a =_____________. 27.设数列{}n a 满足121,3a a ==,且112(1)(1)(2)n n n na n a n a n -+=-++≥，则20a 的值为___________.28.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*2log (1)1(N )n S n n +=+∈，则数列{}n a 的通项公式为___________.29.等比数列{}n a 的公比大于1，514215,6a a a a -=-=，则3a =_______. 三、解答题30.已知数列{}n a 是等差数列，且1212,()a a a a <分别为方程2650x x -+=的两个根. 1.求数列{}n a 的前n 项和n S ; 2.在1中，设n n S b n c =+，求证:当12c =-时，数列{}n b 是等差数列.31.已知等差数列{}n a 中，1242,16a a a =+=. 1.设2n an b =，求证:数列{}n b 是等比数列； 2.求{}n n a b +的前n 项和.32.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足443321,21S a S a =-=-. 1.求{}n a 的通项公式； 2.记161n n b S =+,求12...n b b b +++的最大值. 参考答案一、选择题1.答案：A 解析：2.答案：D 解析：3.答案：B解析：由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数, 则()()40101401020052006200520050S a a a a =+=+>,14011401120064011()401102a a S a +==<故n 的最大值为4010. 故选B 4.答案：B解析：因为等差数列{}n a 中, n S 为其前n 项和, 348153(4)325a a a a d a ++=+==,所以131225a d +=,所以512543a a d =+=,所以()9195925997523S a a a =+==⨯=.故选B. 5.答案：B解析：因为{}n a 为等比数列,所以23211,a aq q a a ==,故原方程可以化为220x q x q -+=.又该方程有两个相等的实数根,故440q q -=,解得0q =（舍）或34q =，所以9933116421114S q S q --===--,故选B. 6.答案：C解析：∵4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列,∴由4848,12S S S =-=,得128161216,20S S S S -=-=,即1314151620a a a a +++=.故选C.7.答案：D解析：由1(1)n n n a a a +=+,得11n n n n a a a a ++-=且0n a ≠,所以1111n n a a +-=,即1{}na 是以2为首项,1为公差的等差数列,所以11nn a =+,所以20030011201,301a a ==，从而200300301201a a =. 8.答案：C解析：根据题意设每天派出的人数组成数列{}n a ,它是首项164a =,公差为7的等差数列,则第二天派出的人数为2a ,且264771a =+=,第三天派出的人数为3a ,且3642778a =+⨯=.又每人每天分发到3升大米,则第三天共分发大米(647178)3639++⨯=(升)，故选C.9.答案：B解析：设等差数列共有n 项,记该数列为{}n a , 则123440a a a a +++=,12380n n n n a a a a ---+++=, 相加得14()120n a a +=,所以130n a a +=.1()152102n n n a a S n +===,解得14n =.故选B. 10.答案：D解析：由112,0,3,2m m m S S S m -+=-==≥,后式减前式知12,3m m a a +==.设等差数列{}n a 的公差为d,则1d =.∵0m S =,∴12m a a =-=-,则3n a n =-,(5)2n n n S -=,2(5)2n n n nS -=.设22(5)3(),0,'()5,022x x f x x f x x x x -=>=->, 则当1003x <<时, ()f x 单调递减,当103x >时, ()f x 单调递增, ∴()f x 的极小值点为103x =,在此处()f x 取得最小值. 又(3)9,(4)8f f =-=-,∴n nS 的最小值为-9,故选D. 11.答案：A解析：由等比数列的性质可得23151201912019a a a ==⨯=,解得31a =±.又2310a a q =>,所以31a =.故选A.解析：由题意得111212(1),,22n a a n S a S a =--==-,41412S a =-.∵124,,S S S 成等比数列,∴2111(22)(412)a a a -==-,解得11a =-.故选D.13.答案：B解析：设等比数列{}n a 公比为q,∵等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,∴10201030204030,,,S S S S S S S ---也成等比数列,∴21030202010()()S S S S S -=-，即2202010(130)(10)S S -=-,解得2040S =或2030S =-.∵10100S =>,10201030203,90S S q S S =+=-=,4030270S S -=,∴40400S =.故选B.14.答案：C解析：由已知得数列{}n a 的公比满足35218a q a ==,解得12q =,∴1312,2a a ==,∴数列1{}n n a a +是以2为首项,公比为231214a a a a =的等比数列.由于数列1{}n n a a +各项均为正,∴12231...n n a a a a a a ++++的最小值为122a a =.故选C.15.答案：B 解析：由113n n S a +=,可得11,23n n S a n -=≥,两式相减可得111,233n n n a a a n +=-≥,即14,2n n a a n +=≥.又113n n S a +=,所以2133a S ==,所以数列{}n a 是从第2项起的等比数列,公比为4.所以72572434a a -==⨯,故选B.16.答案：B 解析： 17.答案：B 解析： 18.答案：B 解析： 19.答案：C 解析： 20.答案：D 解析： 21.答案：D 解析：解析：二、填空题 23.答案：4解析：24.答案：64 解析：25.答案：43n n a -=或()43.n n a -=--解析： 26.答案：21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩解析：当1n =时,211333a S a ===. 当2n ≥时,∵13n n a S +=,∴13n n a S -=,两式相减得113()3n n n n n a a S S a +--=-=,即14n n a a +=,当2n ≥时,{}n a 是以3为首项,4为公比的等比数列,得234n n a -=⨯.综上,21,134,2n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩. 27.答案：245解析：因为112(1)(1)(2)n n n na n a n a n -+=-++≥,所以数列{}n na 为等差数列,首项为1,公差为2125a a -=.所以1(1)554n na n n =+-⨯=-,则204245,54205n n a a =-=-=. 28.答案：3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩解析：由2log (1)1n S n +=+,得112n n S ++=.当1n =时, 113a S ==;当2n ≥时,12n n n n a S S -=-=.则数列{}n a 的通项公式为3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩.29.答案：4 解析：三、解答题30.答案：1.解方程2650x x -+=得其两个根分别为1和5, ∵1212,()a a a a <分别为方程2650x x -+=的两个根,∴121,5a a ==,∴等差数列{}n a 的公差为4, ∴2(1)1422n n n S n n n -=⋅+⋅=-. 2.当12c =-时, 22212n n S n n b n n c n -===+-, ∴112(1)22,2n n b b n n b +-=+-==, ∴{}n b 是首项为2,公差为2的等差数列. 解析：31.答案：1.设等差数列{}n a 的公差为d .由2416a a +=可得11()(3)16a d a d +++=,即12416a d +=. 又12a =,可得3d =.故1(1)2(1)331n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 依题意, 312n n b -=,因为3231312282n n n n b b ++-===(常数),所以{}n b 是首项为4，公比为8的等比数列. 2.因为{}n a 的前n 项和为1()(31)22n n a a n n ++=, {}n b 的前n 项和为313324221421877n n -+-⋅=⋅--.所以{}n n a b +的前n 项和为32(31)142277n n n +++⋅-. 解析：32.答案：1.设等比数列{}n a 的公比为q , 由434S S a -=得43422a a a -=, 所以432a a =,所以2q =. 又因为3321S a =-,所以11112481a a a a ++=-,所以11a =.所以12n n a -=.2.由1知122112nn n S -==--,所以416()2821n n n b n S -===-+,所以12n n b b +-=-,所以{}n b 是首项为6,公差为-2的等差数列, 所以12346,4,2,0b b b b ====,当5n ≥时, 0n b <,所以当3n =或4n =时, 12...n b b b +++有最大值,且最大值为12. 解析：。
数列考试题型及答案解析
数列考试题型及答案解析一、选择题1. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=3，公差d=2，则a_5的值为（）。
A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A解析：根据等差数列的通项公式a_n = a_1 + (n-1)d，代入n=5，a_1=3，d=2，可得a_5 = 3 + (5-1)×2 = 13。
2. 已知数列{a_n}满足a_1=1，且a_{n+1} = 2a_n + 1，求a_3的值。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C解析：根据题目给出的递推关系，a_2 = 2a_1 + 1 = 2×1 + 1 = 3，再求a_3 = 2a_2 + 1 = 2×3 + 1 = 7，因此a_3的值为9。
二、填空题3. 已知数列{a_n}满足a_1=2，且a_{n+1} = 3a_n - 2，求a_4的值。
答案：14解析：根据递推关系，a_2 = 3a_1 - 2 = 3×2 - 2 = 4，a_3 = 3a_2- 2 = 3×4 - 2 = 10，a_4 = 3a_3 - 2 = 3×10 - 2 = 28。
4. 已知等比数列{a_n}的首项为3，公比为4，求a_5的值。
答案：972解析：根据等比数列的通项公式a_n = a_1 × q^(n-1)，代入n=5，a_1=3，q=4，可得a_5 = 3 × 4^4 = 3 × 256 = 768。
三、解答题5. 已知数列{a_n}满足a_1=1，且a_{n+1} = a_n + n，求a_n的通项公式。
答案：a_n = n(n-1)/2 + 1解析：设S_n为数列{a_n}的前n项和，则S_n = a_1 + a_2 + ... +a_n。
根据题意，a_{n+1} = a_n + n，所以S_{n+1} - S_n = a_{n+1} = a_n + n。
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an
2 n 1
C. an
n
2
2
D.
an
3 n
3.解析 A：由已知式 2 1 1 可得 1 1 1 1 ,
an1 an an2
an1 an an2 an1
知
1 an
是首项为
1 a1
1
,公差为
1 a2
1 a1
2 1 1
的等差数列,所以 1
an
n
,即 an
1 n
.
4.等差数列{an} 的各项都是负数，且 a32 a82 2a3a8 9 ，那么它的前10 项和S10 等于( )
10.已知各项均为正数的等比数列an 满足 a1 1, a3 a2 2 ．
（Ⅰ）求数列an 的通项公式；
（Ⅱ）设 bn
n 2an
，求数列bn 的前 n
项和 Sn
．
10 解析：（Ⅰ）设数列an 的公比为 q ，由 a1 1 ， a3 a2 2 得： q2 q 2 0 ，
解得： q 2 或 q 1 ，
A.-9
B.-11
C.-13
4.解析
D：由题意知 S10
(a1
a10 ) 10 2
，
∵ a32 a82 2a3a8 9 ，即 (a3 a8 )2 9
∵等差数列{an} 的各项都是负数a3 a8 3 ，Q a1 a10 a3 a8 ，
D.-15
∴
S10
(a1
a10 ) 10 2
310 2
1 2n
n
n1
2
1 2
[1 (1 2
1 1
)n
]
n 2n1
1
1 2n
n 2n1
2
Sn
2
1 2n1
n 2n
9.已知各项不为 0 的等差数列{an }，满足 2 a3 － a72 ＋2 a11 ＝0，数列{bn }是等比数列，且 b7 = a7 ，则 b6b8 ＝________．
9.解析 由题意可知，b6b8＝b27＝a27＝2(a3＋a11)＝4a7， ∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16. 答案 16
，已知 S n 求 an ，应分n 1 时a1
S1
；
n 2时， an = Sn Sn1
两步，最后考虑 a1 是否满足后面的an .
三、课堂练习
1、已知数列an 满足 2an1 an an2 .若 a7 a5 12 ，且 a7 7 ，则 a8 （ ）
A.6
B.12
C.10
D.8
1.解析 D：由数列满足 2an1 an an2 ，根据等差中项公式，可得数列an 为等差数列，
Q 数列an 的各项均为正数 q 2 an 1 2n1 2n1
（Ⅱ）Q
bn
n 2n
Sn
1
1 2
2
1 22
3
1 23
...
(n 1)
1 2n1
n
1 2n
……①
1 2 Sn
1
1 22
2
1 23
3
1 24
...
(n
1)
1 2n
n
1
n1
2
…
②
由①
②得：
1 2
Sn
Байду номын сангаас
1 2
1 22
1 23
数列专题
——数列通项公式、前n项 和公式及相关性质的应用
一、学习目标：
1.熟悉等差数列、等比数列的通项公式及前n项 和公式； 2理解等差、等比数列的相关性质并能应用相应 性质解决简单题目； 3.能应用等差和等比数列通项公式、前n项和公 式及其相关性质解决简单实际题目.
二、知识点梳理：
1.通项公式：
15
.
5.已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则 a4a5a6=（ ）
A．
B．7 C．6 D．
5.解析 A 解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，
∴
，∴
，
故选 A．
6.在等差数列{ an }中，若 a5 ＝6， a8 ＝15，则a14 ＝________.
6.【解析】 ∵数列{ an }是等差数列， ∴ a5 ， a8 ， a11 ， a14 也成等差数列且公差为 9，∴a14 ＝6＋9×3＝33.
7.已知递增的等差数列{an}满足 a1＝1，a3＝a22－4，则 an＝________．
7.解析 设等差数列公差为 d， ∵由 a3＝a22－4，得 1＋2d＝(1＋d)2－4，解得 d2＝4， 即 d＝±2.由于该数列为递增数列，故 d＝2.
8.已知数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9， 则 k＝________．
8.解析 a7－a5＝2d＝4，则 d＝2.a1＝a11－10d＝21－20＝1，
Sk＝k＋k（k－1）×2＝k2＝9.又 k∈N*，故 k＝3. 2
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 答案 2n－1
故 a7 a5 2a6 12 ，即 a6 6 ，又 a7 7 ，所以 d a7 a6 1 ， 则 a8 a7 d 7 1 8 ，故选 D.
2.在数列an 中， a1 1, an1 an 2 ，则 a51 的值为（ ）
A.99
B.49
C.102
D. 101
2.解析 D：∵数列an 中, a1 1, an1 an 2 ，
①等差数列 an a1 (n 1)d ②等比数列 an a1qn1
2.前n项和公式：
①等差数列：
Sn
n(a1an ) 2
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列： Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
3. an 与 Sn 的关系：
Sn
与
an
的关系：an
S1 Sn
(n Sn1
1) (n 1)
∴数列an 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
∴ an a1 n 1 d 1 2 n 1 2n 1 ，∴ a51 2 511 101 .故选 D.
3.在数列an 中,若 a1
1 , a2
1 2
,2
an1
1 an
1 an 2
n N*
,则该数列的通项为(
)
A.
an
1 n
B.