最新人教版初中八年级上册数学第十三章《最短路径问题》精品教案

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人教版数学八年级上册13.4最短路径问题教案

首先，我发现通过生活中的实际问题引入新课，极大地激发了学生的兴趣。他们能够将数学知识与现实生活联系起来，感受到数学的实用性和趣味性。在今后的教学中，我还要多设计一些贴近生活的案例，让学生感受到数学的无处不在。
其次，在新课讲授环节，我发现学生们对轴对称性质的理解较为扎实，但在将其应用于最短路径问题的求解过程中，部分学生还是显得有些吃力。针对这一点，我在讲解过程中尽量放慢速度，通过详细的步骤解析和直观的图形演示，帮助他们理解。在之后的课堂中，我还需要加强对学生的个别辅导，确保他们能够真正掌握这一知识点。
（2）确定最短路径问题中的对称轴：在实际问题中，确定对称轴可能较为困难，尤其是当问题涉及多个线段或点时。
难点解析：通过具体例子，展示如何寻找和确定线段、点到线段的最短路径问题中的对称轴。
（3）计算最短路径长度的方法：在确定对称轴和对称点后，如何进行有效计算，避免复杂和繁琐的步骤。
难点解析：教授学生运用几何图形的直观和代数计算相结合的方法，简化计算过程，如利用勾股定理等。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了轴对称的基本概念、最短路径问题的求解方法及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了人教版数学八年级上册13.4节“最短路径问题”。这节课让我感受到了学生们对几何问题的热情，也让我意识到了一些教学中的亮点和需要改进的地方。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作完成最短路径问题的求解，提高学生的沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）轴对称图形的性质及其应用：轴对称图形的对称轴、对称点等基本概念，以及如何利用这些性质解决最短路径问题。

人教版初中八年级数学上册第十三章13. 4 课题学习最短路径问题优秀教案

13. 4课题学习最短路径问题通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短.重点应用所学知识解决最短路径问题.难点选择合理的方法解决问题.一、创设情境多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径.这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径.那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？二、自主探究探究一：最短路径问题的概念1.多媒体出示图①和图②，提出问题：(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？2.教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题.探究二：河边饮马问题多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？提出问题：如果点A和点B分别位于直线的两侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A 和点B的距离的和最短？教师引导学生讨论，明确找点的方法.让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明.教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨.探究三：造桥选址问题多媒体出示问题2.(教材第86页)提出问题：(1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？(2)这个问题有什么不同？(3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AM＋MN ＋NB最小.尝试选址作出图形.多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程.根据问题1和问题2，你有什么启示？三、知识拓展已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？[让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较]四、归纳总结1.本节课你学到了哪些知识？2.怎样解决最短路径问题？本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问题.。

八年级数学人教版上册13.4最短路径问题教学设计

八年级数学人教版上册13.4最短路径问题教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解最短路径问题的背景和应用，知道其在现实生活中的重要性。
2.掌握图形中两点间线段最短的性质，能够运用这一性质解决实际问题。
3.学会使用三角形两边之和大于第三边的原理，解决最短路径问题。
4.掌握运用数学符号和表达式来描述最短路径问题，并能运用相关公式进行计算。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，提供适当的引导和帮助。同时，注重启发式教学，激发学生的兴趣和思考，引导学生主动探究，培养他们解决问题的能力。通过师生互动、生生互动，促进学生之间的交流与合作，使他们在探索最短路径问题的过程中，不断提高自己的数学素养和思维能力。
三、教学重难点和教学设想
5.能够运用所学的最短路径知识，解决一些简单的实际问题。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将通过以下方法培养解决问题的能力：
1.通过观察和分析实际生活中的最短路径问题，激发学生的学习兴趣，培养学生从生活中发现数学问题的意识。
2.通过自主探究、合作交流的方式，引导学生从简单问题入手，逐步深入，掌握解决最短路径问题的方法。
c.教师介绍三角形两边之和大于第三边的原理，并解释其在解决最短路径问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：让学生分组讨论，共同探究解决最短路径问题的方法。
2.教学过程：
a.教师给出几个具有挑战性的最短路径问题，要求学生分组讨论。
b.学生在小组内分享思路，共同寻找解决问题的方法。
c.教师巡回指导，给予提示和建议，帮助学生解决问题。
五、作业布置
为了巩固学生对最短路径问题的理解，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：

最短路径问题(将军饮马为题) 优秀教案

人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题教学设计课题人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件，正方体纸盒13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒，三角板课时共（1）课时，第（1）课时执教教师教材分析本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”“垂线段最短”的基础上，借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。

教学目标知识与技能1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。

3.感悟转化思想。

过程与方法1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。

；2.渗透数学建模的思想。

情感态度与价值观1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力.教学难点路径最短的证明教学过程设计设计意图一、以旧引新，激情引趣1、利用101PPT中本课的一道习题，复习“两点之间，线段最短”为了激发学生的求知欲，利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。

充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程，让学生通过观察纸盒的打开过程，寻找蚂蚁的爬行捷径。

从而引出线段公理：两点之间线段最短和垂线段的性质：垂线段最短让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。

以旧引新，给予学生亲切感，树立学好本节课的信心。

二、展示目标，合理定位利用思维导图，展示本节课的学习目标三、探究新知，教师主导1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。

人教版数学八年级上册13.4新课学习,最短路径的问题优秀教学案例

2.结合实际案例，讲解如何将最短路径问题转化为数学模型。
-以道路施工情境为例，演示如何利用坐标系求解最短路径。
3.分析解题步骤，引导学生掌握求解最短路径的基本方法。
-梳理解题思路，强调关键步骤，提高学生解题能力。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，针对给定的问题进行讨论，共同寻找最短路径的解决方案。
本案例以一个具体的实际情境为背景：假设我们所在的城市的某段道路正在施工，需要找到一条从起点到终点的最短路径。通过这个情境，让学生感受到数学知识在解决实际问题时的重要性，激发他们的学习兴趣。在此基础上，我们将引导学生运用坐标系中的距离公式，结合生活实际，寻求最佳解决方案。
在教学过程中，注重培养学生的合作意识和探究精神，鼓励他们积极参与课堂讨论，分享自己的解题思路和心得。通过师生互动、生生互动，共同探索最短路径问题，使学生在轻松愉快的氛围中掌握数学知识，提高解决问题的能力。
-引导学生思考如何在复杂的道路网中找到一条最短路径。
2.通过生活中的实例，让学生认识到最短路径问题的实际意义。
-示例：“假设我们从学校出发，到附近的超市购物，如何选择一条最短路径？”
-让学生初步感知最短路径问题与日常生活的紧密联系。
（二）讲授新知
1.介绍平面直角坐标系中两点间距离的计算方法。
-讲解距离公式的推导过程，让学生理解并掌握其原理。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，使其认识到数学在解决实际问题中的重要性。
2.培养学生面对问题时，勇于挑战、积极探究的精神风貌，增强自信心。
3.通过解决最短路径问题，使学生体会数学知识在实际生活中的应用，培养学以致用的意识。
4.培养学生具有严谨、细致的学习态度，养成良好的学习习惯。

人教版数学八年级上册13.4最短路径问题优秀教学案例

结合课程内容，本节课的主要任务是让学生掌握利用坐标系求解两点间最短路径的方法，并能够运用到实际问题中。为了达到这个目标，我设计了一系列具有层次性的教学活动，如自主探究、合作交流、教师讲解等，旨在激发学生的学习兴趣，培养他们的动手操作能力和解决问题的能力。同时，我还将结合学生的学情，对教学内容进行适当的拓展，以提高学生的思维品质和创新能力。
2.组织学生进行课堂展示，让他们分享自己的学习心得和解决问题的方法，培养他们的表达能力和沟通能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
1.布置具有实践性和拓展性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
2.要求学生在作业中总结最短路径问题的解决方法，培养他们的归纳总结能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际，激发他们的学习兴趣。
2.设计具有挑战性和趣味性的实例，让学生在解决问题的过程中，自然引入最短路径问题的概念和方法。
3.创设合作交流的氛围，让学生在小组内共同探讨问题，激发他们的思考和创造力。
（二）讲授新知
1.引导学生关注最短路径问题的本质，即寻找两点间的最优路径，让学生在解决问题的过程中，自然而然地掌握相关知识。
2.通过提问、设疑等方式，引导学生思考最短路径问题的解决方法，激发他们的求知欲和好奇心。
3.讲解最短路径问题的解决方法，如坐标系法、动态规划法、图论等，让学生了解多种解决思路。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现不足，提高学习效果。
本节课的教学内容与过程注重知识的传授、方法的训练和情感的培养，充分体现了教育的人文关怀和学生的全面发展。通过本节课的学习，学生将更好地掌握最短路径问题的解决方法，提高他们的数学素养和实际应用能力，为未来的学习和生活打下坚实基础。

人教版八年级数学上册13.4最短路径问题优秀教学案例

3.小组合作学习：教师将学生分成小组，鼓励学生进行合作交流，共同探讨最短路径问题的解决方法。通过小组合作，学生可以互相学习、互相借鉴，提高解决问题的能力，同时培养团队合作精神和沟通能力。
4.多媒体教学手段：利用多媒体教学手段，如图片、视频等，展示实际问题情境，让学生更直观地感受到问题的背景和意义，提高学习效果。
在现实生活中，最短路径问题具有广泛的应用，如道路规划、网络路由等。因此，本节课的教学案例将以实际问题为背景，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用意识。
为了提高教学效果，本节课将采用小组合作、讨论交流的教学方法，让学生在探讨最短路径问题的过程中，提高自主学习能力和合作意识。同时，教师将以引导者、组织者的角色参与教学，为学生提供必要的帮助和指导，确保教学活动的顺利进行。
（三）小组合作
1.教师将学生分成小组，鼓励学生进行合作交流，共同探讨最短路径问题的解决方法。
2.教师引导学生进行小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和观点，培养学生的合作意识和团队精神。
3.教师巡回指导，参与小组讨论，为学生提供必要的帮助和指导，确保每个学生都能参与到教学活动中来。
（四）反思与评价
1.教师引导学生进行自我反思，总结自己在解决最短路径问题过程中的思路和方法，找出自己的不足之处。
3.教师介绍迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法，讲解这两种算法的原理和步骤，并通过示例进行演示。
4.教师引入动态规划思想，讲解如何运用动态规划解决最短路径问题，并给出动态规划解决最短路径问题的步骤。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成小组，并提出讨论问题，如“比较迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法的优缺点”、“如何运用动态规划解决最短路径问题？”等。
2.利用多媒体教学手段，展示实际问题情境，让学生直观地感受到最短路径问题的重要性和实用性。

人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题将军饮马优秀教学案例

（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将经历以下过程与方法：
1.通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.引导学生从实际问题出发，培养学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.利用数学软件、教具等辅助工具，培养学生的动手操作能力和实际应用能力。
4.通过对最短路径问题的探讨，引导学生掌握数学建模的方法，提高学生的数学思维能力。
4.教师巡回指导，关注每个小组的学习情况，及时解答学生疑问。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行总结、反思，帮助学生巩固知识点，形成知识体系。
2.鼓励学生自我评价，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，培养学生的自我认知能力。
3.组织小组互评，让学生学会欣赏他人的优点，发现自身的不足，促进团队合作。
3.对学生提出的解决方案进行讨论、分析，找出最优解，并解释其原理。
（三）小组合作
小组合作是实现教学目标的重要途径，具体策略如下：
1.将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在知识、能力、性格等方面具有一定的互补性。
2.各小组针对问题进行讨论、研究，共同寻找解决方案。
3.小组间进行交流、分享，互相学习，取长补短。
4.教师对学生在课堂上的表现进行评价，给予肯定和鼓励，指出需要改进的地方。
（五）作业小结
在作业小结环节，我将布置以下任务：
1.请学生运用所学知识，解决一个生活中的最短路径问题，并以作文或报告的形式提交。
2.要求学生在作业中阐述自己的思考过程、解决方案和心得体会，以提高学生的书面表达能力。
3.鼓励学生进行课后拓展，了解其他求解最短路径的方法，如：A*算法、遗传算法等，提升学生的自主学习能力。
3.小组间进行分享、交流，互相借鉴，完善各自的方法和思路。

人教版数学八年级上册教学设计《13-4 课题学习最短路径问题》

人教版数学八年级上册教学设计《13-4 课题学习最短路径问题》一. 教材分析《13-4 课题学习最短路径问题》是人教版数学八年级上册的教学内容。

这一课题主要让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握解决最短路径问题的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这一课题前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，具备了一定的数学思维能力。

但对于解决实际问题的能力还有待提高，因此，在教学过程中，需要注重引导学生将数学知识应用到实际问题中。

三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义。

2.掌握解决最短路径问题的方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的背景和意义，解决最短路径问题的方法。

2.教学难点：如何将实际问题转化为最短路径问题，如何运用图论知识解决最短路径问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.案例教学法：分析具体的最短路径问题，让学生在分析中掌握解决方法。

3.小组合作学习法：培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.课件：制作课件，展示最短路径问题的实际应用场景。

2.案例：收集一些具体的最短路径问题，用于教学实践。

3.教学工具：尺子、圆规、直尺等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示最短路径问题的实际应用场景，如地图导航、物流配送等，引导学生关注最短路径问题。

2.呈现（10分钟）介绍最短路径问题的背景和意义，提出解决问题的方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析具体的最短路径问题，选取小组代表进行分享，讲解解决问题的思路和方法。

4.巩固（10分钟）针对学生分享的最短路径问题，进行总结和点评，引导学生明确解决最短路径问题的关键步骤。

5.拓展（10分钟）让学生思考如何将最短路径问题应用到实际生活中，提出自己的见解和想法。

八年级数学人教版上册13.4课题学习最短路径问题(第一课时)优秀教学案例

3.课堂小结：对本节课的教学内容进行简要回顾，提醒学生注意问题解决的方法和技巧。
（五）作业小结
1.作业布置：布置一些有关最短路径问题的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。
2.作业反馈：对学生的作业进行及时批改和反馈，指出其中的错误和不足，给予肯定和建议。
3.课后拓展：鼓励学生参加数学竞赛、研究性学习等活动，拓宽视野，培养创新精神。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
2.利用多媒体展示典型实例，让学生更好地理解和掌握最短路径问题的解决方法。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的合作精神和团队意识。
4.注重个体差异，给予学生个性化的指导，帮助他们在原有基础上得到提高。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，让他们感受到数学在生活中的实际应用，提高学生学习数学的积极性。
4.反思与评价：引导学生进行自我反思和同伴评价，培养学生的批判性思维和自我改进的能力。同时，教师对学生的学习过程和结果进行评价，注重鼓励性评价，激发学生的学习兴趣和自信心。
5.课后拓展与情感态度培养：布置相关的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过生活情境导入新课，使学生能够直观地感受到最短路径问题的实际意义，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.多媒体辅助教学：利用多媒体展示典型的最短路径问题实例，使抽象的问题具体化、形象化，有助于学生更好地理解和掌握知识。
3.问题导向与小组合作：提出具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

八年级数学人教版上册13.4最短路径问题(第一课时)优秀教学案例

二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的实际应用背景，认识到最短路径问题在生活中的重要性。
2.掌握利用图的性质寻找最短路径的方法，能够运用所学知识解决实际问题。
3.了解最短路径问题的基本概念，如路径、权重、最短路径等。
4.学会使用图论中的算法求解最短路径问题，如迪杰斯特拉算法。
（二）过程与方法
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活情境引入：通过展示城市交通网络图，引导学生关注实际生活中的最短路径问题，激发学生的学习兴趣。
2.创设问题情境：提出问题：“如何在城市交通网络中找到从一个地点到另一个地点的最短路径？”引导学生思考和提出解决问题的方法。
（二）讲授新知
1.图的基本概念：介绍图的定义、图的节点和边等基本概念，为学生理解最短路径问题打下基础。
5.知识拓展与延伸：在教学过程中，不仅关注学生对知识的掌握程度，还注重引导学生思考最短路径问题在其他领域的应用，激发学生的学习兴趣和拓展思维。通过知识拓展与延伸，学生能够更好地将所学知识应用于实际生活中，提高他们的数学应用能力。
在教学过程中，我以城市交通网络为背景，设计了一系列具有挑战性的问题，引导学生从实际情境中发现问题、提出问题，激发学生的探究兴趣。同时，我充分发挥学生的主体作用，组织学生进行合作探究，引导他们通过画图、讨论等方式，寻找解决问题的策略。
在教学评价方面，我注重过程性评价与终结性评价相结合，不仅关注学生对知识的掌握程度，更注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。通过本节课的教学，使学生能够运用所学的知识解决实际生活中的最短路径问题，提高他们的数学应用意识。
3.评价原则：评价应具有客观性、发展性、指导性，能够激发学生的学习动力和自我提升意识。

人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》教案

第十三章轴对称13.4课题学习《最短路径问题》一、教学目标让学生能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．二、教学重点及难点重点：利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段（或线段的和）最短问题．三、教学用具电脑、多媒体、课件、刻度尺、直尺四、相关资源微课，动画，图片.五、教学过程（一）引言导入前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题．设计意图：直接通过引言导入新课，让学生明确本节课所要探究的内容和方向．（二）探究新知问题1如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？1．将实际问题抽象为数学问题学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识．（1）把A，B两地抽象为两个点；（2）把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．2．解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点C即为所求．（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离和最短？（3）如何能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使问题得到解决．（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出：作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．3．证明“最短”师生共同分析，证明“AC＋BC”最短．证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′，由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′，∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′．即AC＋BC最短．思考：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里“C′”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离都大于AC＋BC，就说明AC ＋BC最小．问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）1．将实际问题抽象为数学问题把河的两岸看成两条平行线a和b（下图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？2．解决数学问题（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N ＋NB最小？（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．3．证明“最小”为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．你能完成这个证明吗？证明：如图，在△A′N′B中，∵A′B＜A′N′＋BN′，∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．即AM＋MN＋BN最小．设计意图：通过“将军饮马问题”和“造桥选址问题”的解决，增强学生探究问题的信心，让学生通过轴对称、平移变换把复杂问题进行转化，有效突破难点，感悟转化思想的重要价值．六、课堂小结1．运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．2．利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值．七、板书设计13.4 最短路径问题运用轴对称解决距离最短问题利用平移确定最短路径选址。

人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》优秀教学案例

（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组选择一个最短路径问题进行研究和探究；
2.引导学生相互讨论、交流，共同解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力；
3.教师巡回指导，针对不同小组的问题，提供适当的帮助和指导，促进学生的思考和发展。
（四）总结归纳
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己在解决问题过程中的优点和不足；
人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》，是在学生已经掌握了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上进行学习的。八年级的学生思维活跃，好奇心强，具备一定的探究能力，但同时在学习过程中容易忽视数学与实际生活的联系，对最短路径问题的理解停留在理论层面。因此，本节课的教学案例旨在通过生活实例，引导学生感受最短路径问题在实际生活中的应用，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
2.组织学生进行评价，让学生互相评价，提高学生的自我认知和评价能力；
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的全面发展，给予极的反馈和鼓励。
（五）作业小结
1.教师布置与本节课相关的基础性作业和拓展性作业，巩固学生对最短路径问题的理解和掌握；
2.鼓励学生运用所学知识解决实际生活中的最短路径问题，提高学生的数学应用意识；
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体展示实际生活中的最短路径问题，如快递员送快递、旅行家规划旅行路线等，让学生感受到最短路径问题在现实生活中的重要性；
2.设计具有挑战性的问题，如学校到图书馆的最短路径是什么？引导学生思考并尝试解决；
3.创设情境，让学生扮演不同角色，如导演、导游等，规划最短路径，提高学生的参与度和积极性。

最短路径问题八年级数学上(人教版)学习教案

B
P′ P Q′ Q
连接A′′B，与直线l交于一点即为所求点Q.
l
A′′
问题：在直线l上求作两点P，Q ，使得四边形APQB的周长最小．
练习已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．作法：
a A A′
B
将点A沿直线l的方向平移A′，使得AA′=a. 作A′关于直线l的对称点A′′
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
A
Ma Nb
B
思考：问题能否简化？
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
A
Ma Nb
B
B
思考：能否通过图形的变化（轴对称，平移等），
A
实际问题用数学语言表达.
Ma Nb
B
总结当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
总结当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
利用平移，实现线段的转移. 转化2：当点N在直线b的什么位置时， A′N+NB最小？
N
AM′+N′B=A′N′+N′B.
B 由两点之间，线段最短可知：

八年级数学人教版上册13.4最短路径问题优秀教学案例

八年级数学人教版上册13.4最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
八年级数学人教版上册13.4节主要讲述最短路径问题，这是学生对图论初步了解后的进一步深化。在学习了图的定义、表示和遍历等基础知识后，最短路径问题既是对前面知识的综合运用，又是向更为复杂图论问题的过渡。
本节课内容对于学生来说具有一定的难度，需要他们能够理解并掌握最短路径的算法，并能够运用到具体的问题中。同时，这也是对学生逻辑思维能力和问题解决能力的考查。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用PPT展示生活中的最短路径问题，如旅行中最短路线的选择、网络数据传输的最短路径等，引导学生关注最短路径问题在现实生活中的应用。
2.向学生提出问题：“如何找到两点之间的最短路径？”让学生思考并发表自己的观点，为导入新课做好铺垫。
3.教师总结：今天我们将学习图论中的一个重要问题——最短路径问题，希望通过本节课的学习，大家能够掌握最短路径的求解方法，并能够运用到实际问题中。
4.在解决问题的过程中，引导学生总结规律，提高学生的归纳总结能力。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.分配具有挑战性的任务，让学生在合作中共同解决问题，提高解决问题的效率。
3.鼓励学生互相评价、互相学习，培养学生的自主学习和反思能力。
4.教师在小组合作过程中进行巡视指导，关注学生的学习情况，及时给予帮助和引导。
在教学过程中，我通过设计丰富多样的教学活动，引导学生主动探究、合作交流，从而提高他们对最短路径问题的理解和运用能力。同时，注重培养学生的数学素养，让他们在学习过程中感受到数学的趣味性和实用性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的概念，掌握基本的最短路径算法。

人教版八年级上册数学13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例

3.培养学生自主探究、发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.让学生在解决实际问题的过程中，体验数学的乐趣，提高学生学习数学的兴趣。
2.培养学生面对困难时积极思考、勇于挑战的精神，增强学生的自信心。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识和社会责任感。
三、教学重难点
2.跨学科教学：结合其他学科的知识，如地理、信息技术等，拓宽学生的知识视野，培养学生的综合能力。
六、教学资源
1.教材：人教版八年级上册数学教材。
2.辅助材料：相关的最短路径问题的案例、练习题和拓展问题。
3.现代教育技术：多媒体课件、网络资源等。
七、教学评价
1.学生评价：通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习成绩等方面进行评价。
（二）讲授新知
在导入新课后，我会开始讲解最短路径问题的相关知识。首先，我会向学生们介绍最短路径问题的定义，让学生们明白什么是最短路径。接着，我会讲解解决最短路径问题的基本方法，如坐标系法、函数法等。在讲解的过程中，我会结合具体的例子，让学生们更直观地理解这些方法。
（三）学生小组讨论
在讲授完新知识后，我会让学生们进行小组讨论。我会给每个小组提供一个实际问题，让他们运用所学知识，合作解决这个最短路径问题。这样的讨论，可以培养学生的团队合作精神，也可以让学生们在实践中加深对知识的理解和应用。
3.互动评价：小组之间进行互动评价，相互学习和提高。
（四）反思与评价
1.自我反思：引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自身的优点和不足，制定改进措施。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给予意见和建议，促进共同进步。
3.教师评价：教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予鼓励和指导。

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C
∵A′C=AC=BD，
在△A′CE和△BDE中， ∠A′CE=∠BDE，
A
∠A′EC=∠BED，
A′C=BD，
则△A′CE≌△BDE（AAS），CE=DE，A′E=BE.
∴点E是CD的中点.
∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200.
ED B
课后反思
1、和同桌说说今天学习的收获好吗？ 2、师引导学生归纳本课知识重点。
A′
解：延长AC至点A′，使得A′C=AC，
连接A′B交CD于点E，连接AE.
C
则点E即为所求的点.
A 分析：如图，A′C=AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD. 猜测E是CD的中点，则AE=600，所以AE+BE=1200.
E.
D
B
拓展提升 1
A′
解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时， AB+B′C的值最小？
∙B
A∙
你能证明这个结论吗
∙
l
C
∙ B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
新知探究
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
A∙
C
∙B
l B′
新知探究
跟踪训练
如图，A，B两个小镇在河的同侧，现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向
两个镇供水，如何选择自来水厂的位置，可使用的水管最短？
A∙
解：如图，作点B关于河边a的对称点B′，连接AB′交河边a于点P，则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.
∙B
P∙
a
∙
B′
本题源自《教材帮》
E D′
C
D
B
课堂小结
最短路径问题
直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题
直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题
拓展提升 1
如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，
若点A到河岸CD中点距离为600，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距
离是（
新知探究
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
∙B A∙
l 分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？
新知探究
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+B′C′. 由点C′的任意性可知，AC+BC的值是最小的，故点C的位置符合要求.
∙B A∙
C′ C
l
∙B′
∙B A∙
l
如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？
新知探究
如图：点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么
位置的时候，AC+BC的值最小？
A∙
l
B∙
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得 AC+BC的值最小. 依据：两点之间，线段最短.
）
A.900
B.1200
C.1500
D.1800
C
D
A
B
拓展提升 1
分析：“牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，
C
D
最短距离”可以转化为“点A，B均在河边CD
的同侧，请在河边CD上找一点E，使得AE+BE
的值最小”.
A
B
根据本节课所学的知识，点E比较容易找出，那AE+BE的值应该是多少呢？
拓展提升 1
随堂练习 1
如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得
AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直
线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方
法是（）
A.转化思想 B.三角形两边之和大于第三边
∙B A∙
C.两点之间，线段最短
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
新知探究知识点1
1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.
A∙
C l
∙B
新知探究
知识点2
2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.
EC+ED最小，请找点E的位置.
A
分析：上述题目可以描述为，点C，D为线段AB
E
同侧的两点，在线段AB上找到一点E使得
CE+DE的值最小.
C
D
B
随堂练习 3
如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使 EC+ED最小，请找点E的位置.
A
解：如图所示，作点D关于线段AB的对称点D′，连接CD′交线段AB于点E，则点E即为所求，也就是使得EC+ED最小的位置.
l C
A
B
容易得出，AC=BC. 依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.
学习目标
1、利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想.
课堂导入
思考：相传古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图1中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.
知识回顾如图，从点A到点B有四条路线可选，哪一条是最近的？
容易得出，路径（3）是最近的. 依据“两点之间，线段最短”.
知识回顾
如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的所有路线中，哪一条是最
短的？
A
∙
（1）
（3）
（2）
┐
l
容易得出，（2）是最短的.
依据“垂线段最短”.
知识回顾
如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是直线l上任意一点，则 AC和BC的大小关系是什么？
法是（ D ）
分析：上述题目中应用了轴对称把最短路径问
∙B
题转化为“两点之间，线段最短”来解决，该
A∙
过程用到了“转化思想”，“两点之间距离时利用了三角形
两边之和大于第三边.
B′
本题源自《教材帮》
随堂练习 2
两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C 处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.
l
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
C
B′
本题源自《教材帮》
随堂练习 1
如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得
AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直
线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方
B A
l
新知探究
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？如图所示：将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.
∙B A∙
l
那你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
新知探究
如图：点A，B分别在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么
位置的时候，AC+BC的值最小？
本题源自《教材帮》
随堂练习 2
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′ 交AB于点E，则点E即为所求. 也可作点D关于AB的对称点D′，连接CD′同样交 AB于点E的位置，则点E即为所求.
本题源自《教材帮》
随堂练习 3
如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使