基尼系数

基尼系数
基尼系数是20世纪初意大利经济学家基尼根 据洛伦茨曲线设计的判断收入分配平等程度 的指标。收入分配越是趋向平等，基尼系数 也越小，反之，收入分配越是趋向不平等， 那么基尼系数也越大。联合国有关组织规定： 若低于0.2表示收入绝对平均；0.2-0.3表示比 较平均；0.3-0.4表示相对合理；0.4-0.5表示收 入差距较大；0.6以上表示收入差距悬殊。
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中国基尼系数超过0.4的警戒线 2007年世界银行报告指出，中国居民收入的 基尼系数由改革开放前的0.16上升到目前的 0.47，高于所有发达国家。（日本为0.25，韩 国为0.32） 全世界只有29个国家的基尼系数超过中国， 其中27个来自拉美国家和非洲，只有2个来自 亚洲（马来西亚0.49和尼泊尔0.47）。
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收入基尼系数的经验范围
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 差距悬殊 差距悬殊 差距悬殊 差距悬殊 差距很大 差距较大 相对合理 比较平均 绝对平均 绝对平均
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n 1 i Xj Xi Gini =1 ∑ 2∑ n n i=1 n j =1 XK ∑XK ∑ K=1 K=1
Gini系数的计算步骤： Step1：排序 Step2：计算比重 Step3：计算累积比重 Step4：计算2倍的梯形面积 Step5：计算基尼系数 注意：此公式没有按照人口加权
函数关系式设为：
I = P APα (1 P)β (A > 0;1 ≤ α, β ≤1)
整理后：
Ln(P - I) = lnA +αlnP + βln(1 - P)
根据I和P的统计数据，利用最小二乘法便可估计出参数A、α、β值。
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计算基尼系数
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思考题：
（1）已知样本数据已经按照收入由小到大排序，假 定洛伦茨曲线是一条可导的光滑曲线，问洛伦茨曲 线一定是凹的（即二阶导数大于零）吗？洛伦茨曲 线可能与完全公平线相交吗？ （2）如果洛伦茨曲线的函数形式为y=x3，问：最富 裕的20％人口的收入占总收入的比重是多少？收入 最低的50％人口的收入占总收入的比重是多少？ （3）如果洛伦茨曲线是一条折线，且只含有一个顶 点，问：样本人群的收入有什么特点？
广义熵系数（Generalised Entropy，简记为GE）的一般公式 为： α
1 1 n yi GE(α) = 2 ∑ 1 α α n i=1 y
其中n是样本观测数，yi是个体收入，是算数平均值。GE系 数的取值范围为0到无穷大。0表示完全平等（所有人的收入 都相同），GE系数越大则不平等的程度越高。参数α表示对 分布不同位置给予的权重，可以取任意的实数。最常见的取 值为0，1和2：当α＝0，表示给予低收入部分以更大的权重； 当α＝1，表示给予收入分布以相同的权重；当α＝2，表示给 予高收入部分以较大的权重。特别当α取值为0和1时，利用 洛必达法则，得到Theil衡量不平等的两个指标。
∑X P
i=m i i
n
XMP ∑P i
i=m
n
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塞尔（Theil）系数
塞尔（Theil）系数的优点 可以将区域差异按产业结构或地区结构进行 多层次（组内组间）分解。 采用经济规模进行加权
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实例分析
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练习
有两个都只有三个人组成的社会，这两个社会 中收入分配分别是（3，12，12）和（4，9， 14）。 求： （1）变异系数； （2）基尼系数 问：哪个社会更为平等。
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麦克伦指数（McLoone index）
(1)
以地区内的省份为单位的 差异：
(2)
以地区为单位的差异：
(3)
Yij Yij / Y = ∑ Yi TPi +TBR = TWR +TBR ln TP = ∑∑ N / N i Y i j Y ij
(4)
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广义熵系数（GE）
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基尼系数的性质
基尼系数反映的是相对差异，不是绝对差异； 如果所有人的收入都有相同比例的增加或者 减少，则基尼系数的数值保持改变； 如果所有人的收入都有相同数量的增加，则 基尼系数的数值将变小。 基尼系数变小，则相对差异一定变小，但是 绝对差异未必变小。
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1995-99年农村人均学杂费支出的不平等
变异系数
GE(-1)
GE(0)
GE(1)
GE(2)
吉尼系数
1995 1996 1997 1998 1999
1.75 1.74 1.46 1.69 1.63
1.70 1.51 1.37 1.66 1.91
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实际应用公式
y 1 n GE(0) = ∑ln n i=1 yi 1 n yi yi GE(1) = ∑ ln n i=1 y y
1 1 n 2 GE(2) = 2 ∑( yi y) 2y n i=1
对数偏差均值
等同于塞尔系数
等同于变异系数平方值的 一半
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基尼系数的例子
计算我国各省人均GDP的基尼系数
（见课堂演示）
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曲线拟合法
P为按收入等级分组的累计人口数占总人口比例， 0≤P≤1；I为累计人口数比例为P的所有人的累积收入 在总收入中的份额，0≤I≤1。 作为洛伦兹曲线，要求满足如下四个特性：
0.73 0.68 0.60 0.66 0.66
0.73 0.70 0.59 0.65 0.65
1.52 1.51 1.07 1.43 1.32
0.61 0.59 0.56 0.58 0.58
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塞尔（Theil）系数的计算公式
以省为单位的差异：
Yij Yij / Y TP = ∑∑ ln Y N /N i j ij Yij Yij / Yi TPi = ∑ ln j Y Nij / Ni i
Yi Yi / Y TBR = ∑ ln 源自文库 /N i Y i
指数据落在中位数以及中位数以下的总和，与落在中位数以 下者，如果都达到中位数时可以得到的总和，二者相除所得 的比例。因此麦克伦指数应是愈大表示分配愈公平，愈小表 示分配愈不公平，这是与其它分散指标最大的不同。其公式 为：
McLoone index =
∑X P
i=1 i i
m
XMP ∑P i
i=1
m
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给定A、α、β值，查Γ函数表，就可估计出基尼系数的数值：
∫ I(P)dP =1 2 [P APα (1 P)β ]dP G =1∫ 1/2
0 1 0
1
= 2A∫ Pα (1 P)β dP = 2A*Β(1+α,1+ β)
0
1
Γ(1+α)Γ(1+ β) = 2A* Γ(1+α + β)
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洛伦兹曲线满足特殊点的数值，即当P=0时，I=0，表示0 ％的人口其收入为0；P=1时，I=1，表示100％的人口其收 入为100％； 洛伦兹曲线处于绝对平等线下方，绝对不平等线上方； 洛伦兹曲线是递增的； 洛伦兹曲线是凹（下凸）的。
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函数关系式
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基尼系数的计算公式
n1 i=0
G =1 ∑( Xi+1 Xi )(Yi +Yi+1) = ∑XiYi+1 ∑Xi+1Yi
i=1 i=1
其中，X为累计人数比率；Y为累计收入比率；
n1
n1
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基尼系数的计算公式
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Verstegen指数（Verstegen index）
指数据落在中位数以及中位数以上的总和，与落在中位数以 上者，如果都达到中位数时可以得到的总和，二者相除所得 的比例。Verstegen指数取值范围在1以上，Verstegen指数越 小表示分配越公平，越大表示分配越不公平。其公式为：
Verstegen index =
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基尼系数的图形表示
I(%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 Y
A B
O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 P（%）
设实际收入分配曲线和收入分配绝 对平等曲线之间的面积为A，实际 收入分配曲线右下方的面积为B。 并以A除以（A+B）的商表示不平 等程度。这个数值被称为基尼系数 或称洛伦茨系数。如果A为零，基 尼系数为零，表示收入分配完全平 等；如果B为零则系数为1，收入分 配绝对不平等。该系数可在零和1之 间取任何值。收入分配越是趋向平 等，洛伦茨曲线的弧度越小，基尼 系数也越小，反之，收入分配越是 趋向不平等，洛伦茨曲线的弧度越 大，那么基尼系数也越大。