代数式用作差法比较大小PPT优秀课件

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2.1 比较法课件(人教A选修4-5)

应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利
用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，
常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．
5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？
证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)．
(1)若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)<0. (2)若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0. ∴(a－b)(bn－an)<0. (3)若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.
[例1]
设△ABC的三边长分别是a、b、c，求证：
4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2. [思路点拨] 作差法证明，注意条件“在同一个三角形
中，任意两边之和大于第三边”的应用．
[证明] ∵a、b、c是△ABC的三边长．
∴a>0，b>0，c>0，且b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0. ∴4(ab＋bc＋ac)－(a＋b＋c)2 ＝2(ab＋bc＋ac)－(a2＋b2＋c2) ＝(b＋c－a)a＋(c＋a－b)b＋(a＋b－c)c>0. ∴4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2.

2.1 比较法课件(人教A选修4-5)

解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．
显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．
当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝
10＋1.2 x，
Q(x)＝8＋1.4x ∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)
∴当x>10时，P(x)<Q(x)此时选择起步价为10元的出租车较为
合适．当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适．当x＝10时，P(x)＝Q(x)，两种出租车任选，费用相同．
点击下图进入创新演练
1．作差比较法
(1)作差比较法的理论依据a－b>0⇔ a>b ，a－b<0⇔ a<b ， a－b＝0⇔ a＝b . (2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理， ③判定符号，④得出结论．
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能
够直接判定差的符号，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．
2．作商比较法 (1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质： a a >1 b<1 则 a<b； ①b>0，若 b ，则 a>b；若
a a >1 b b<1 则 a>b. ②b<0，若则 a<b；若
(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定 a，b 符号；② 作商；③变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论．
甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有
一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果
m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ [思路点拨] 先用m、n表示甲、乙两人走完全程所用

作差法与作商法比较大小

B．M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为 ________．
解析：M－N＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34>0 ∴M>N
答案：M>N
[点评] 本题采用“作差法”比较两个代数式的大小，关键是作差变形后能准确地判断符号．判断符号要注意配方、因式分解、有理化、通分等方法的灵活使用．“作差法”的一般步骤：①作差；②变形；③判断符号；④得出结论．
变式训练2 已知a>0，试比较a与1a的大小．
解：∵a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1，∵a>0， ∴当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a；当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a；
[分析]
因为a>0，b>0，所以我们只要比较
aabb abba
与1的
大小即可．
[解] aaabbbba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b，当a>b>0时，ab>1，且a－b>0，∴(ab)a－b>1. 即aabb>abba；当b>a>0时，0<ab<1，且a－b<0， ∴(ab)a－b>1.即aabb>abba. 综上知：aabb>abba.
变式训练3 若a>0，比较aa与3a的大小．解：a3aa＝(a3)a 当0<a<3时，0<a3<1，则(a3)a<1，aa<3a；当a＝3时，a3＝1，(a3)a＝1，aa＝3a；当a>3时，a3>1，(a3)a>1，aa>3a.
1．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为( )
A．M>N
类型二利用作差法比较大小 [例2] 已知a>b>c>0，试比较a－b c与b－a c的大小．

2.1 比较法课件(人教A选修4-5)

4．如果a，b都是正数，且a≠b，
求证a6＋b6>a4b2＋a2b4.
a6＋b6 证明：方法一：∵ 2 ab ＋a2b4 a2＋b2a4－a2b2＋b4 ＝ a2b2a2＋b2 a4＋b4－a2b2 ＝ a2b2 2a2b2－a2b2 > ＝1. a2b2 又 a6＋b6>0，a4b2＋a2b4>0 ∴a6＋b6>a4b2＋a2b4
法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对
差式进行分类讨论．
1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)；证明：a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)． 2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利
用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，
常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．
5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？
综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)
(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).
[例 2]
设 a>0，b>0，求证：aabb≥(ab)
ab 2
.
[思路点拨]
不等式两端都是指数式，它们的值均为

作差法与作商法比较大小

因为a>0，b>0，所以我们只要比较
aabb abba
与1的
大小即可．
精选ppt
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[解] aaabbbba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b，当a>b>0时，ab>1，且a－b>0，∴(ab)a－b>1. 即aabb>abba；当b>a>0时，0<ab<1，且a－b<0， ∴(ab)a－b>1.即aabb>abba. 综上知：aabb>abba.
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与x有关
精选ppt
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3．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为 ________．
解析：M－N＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34>0 ∴M>N
答案：M>N
精选ppt
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精选ppt
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变式训练3 若a>0，比较aa与3a的大小．解：a3aa＝(a3)a 当0<a<3时，0<a3<1，则(a3)a<1，aa<3a；当a＝3时，a3＝1，(a3)a＝1，aa＝3a；当a>3时，a3>1，(a3)a>1，aa>3a.
精选ppt
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1．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为( )
类型二利用作差法比较大小 [例2] 已知a>b>c>0，试比较a－b c与b－a c的大小．
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[解] a－b c－b－a c＝aa－c－abbb－c ＝a2－aca－bb2＋bc＝a2－b2a－b a－bc ＝a－baab＋b－c. 因为a>b>c>0，所以a－b>0，ab>0，a＋b－c>0. 所以a－baab＋b－c>0，即a－b c>b－a c.

比较法课件(人教版)

依题意有：t21m＋t21n＝s，2sm＋2sn＝t2.
所以t1＝m2＋s n，t2＝s（m2m＋nn），所以t1－t2＝来自2s m＋n－
s（m＋n） 2mn
＝
s[42mmnn－（（mm＋＋nn））2]＝－2ms（n（m－m＋n）n）2 . 其中s，m，n都是正数，且m≠n，
所以t1－t2＜0，即t1＜t2，从而知甲比乙先到达指定地点．
归纳升华 1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键． 2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．
比较法
1．作差比较法要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号： a＞b⇔a－b＞0； a＝b⇔a－b＝0； a＜b⇔a－b＜0.
2．作商比较法
(1)理论依据：当b＞0时，a＞b⇔
a b
＞1；a＜b⇔
a b
＜
1；a＝b⇔ab＝1.
(2)定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明
a b
＞1，
当a＜b时，an－1＜bn－1，所以a－b＜0，an－1－bn－1＜0，所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0，即an＋bn＞an－1b＋abn－1. 因此总有an＋bn＞an－1b＋abn－1.
归纳升华 1．作差比较法的一般步骤为：作差→变形(因式分解或配方)→判断符号→下结论，有时需要分类讨论． 2．作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过通分、有理化、配方、分解因式将差式变形为一个常数、几个因式的积或一个分式等．以便与0比较大小．
当a<b时，0<ab<1，a－2 b<0，

部编版七年级下册不等式(用求差法比较大小)课件

（4x 3x）（8 y 9 y）所以，从省料角度考虑，
x y
选择方案2
一、作差法比较大小理论依据二、作差法比较大小步骤
a b ab0 a b ab0 ab ab0
作差变形判断符号下结论
A从型省钢料板角面度积考比虑B，型应钢选板哪大种方案？
什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？
1.用作差法比较方案2用3块A型钢板，9块B型钢板。
方案1：用4块A型钢板，8块B型钢板 A型钢板面积方案2：用3块A型钢板，9块B型钢板比B型钢板大
解：设A型钢板面积为x,B型钢板的面积为y，则
方案1：4x 8 y
x y
方案2：3x 9 y 4x 8y (3x 9 y)
4x 8y 3x 9y
x y 0
4x 8y 3x 9y
位数？
原两位数个位：a 十位： b 新两位数个位：b 十位：a
解：原两位数：10b a 新两位数： 10a b
10b a (10a b)
10b a 10a b （10b b）（a 10a)
9b 9a
（9 b a)
原两位数：10b a 新两位数： 10a b
10b a (10a b) （9 b a)
归那结么为什判么断情他况们下的得差到的符两号位数比原来的两位数大？什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？方案2用3块A型钢板，9块B型钢板。
2
3与 2
2的大小.
归什结么为情判况断下他得们到的差两的位符数号比原来的两位数小？
什所么以情，况从下省得料到角的度两考位虑数，比选原择来方的案两2 位数小？
解： 6x2 3x - 2 (5x2 3x - 5)
6x2 3x - 2 5x2 3x 5

2.1 比较法课件(人教A选修4-5)

法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对
差式进行分类讨论．
1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)；证明：a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)． 2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
ab 2
>0，
ab 2
∴
(ab )
＝a
ab 2
· b
ab 2
a ＝(b)
.
a 当 a＝b 时，显然有(b)
ab 2
＝1；
a－b a 当 a>b>0 时，b>1， >0，所以由指数函数单调 2 a 性，有(b)
ab 2
>1；
a－b a 当 b>a>0 时，0<b<1， <0，所以由指数函数的 2 a 单调性，有(b)
解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．
显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．
当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝
10＋1.2 x，
Q(x)＝8＋1.4x ∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)
1．作差比较法
(1)作差比较法的理论依据a－b>0⇔ a>b ，a－b<0⇔ a<b ， a－b＝0⇔ a＝b . (2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理， ③判定符号，④得出结论．
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能
够直接判定差的符号，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．

代数式用作差法比较大小

代数式用作差法比较大小
1、将姚明和李连杰的身高标示在数轴上观察他们的大小关系
李连杰身高姚明身高
2.29-1.69=0.60>0 归纳： a-b>0 a-b=0 a-b<0
0
1.69 2.29
2.29>1.69 提示：运用了实数减法运算符号法则
a>b a=b a<b
ab0 a b ab0 ab ab0ຫໍສະໝຸດ ab ab0 ab定号下结论
3、思考：
①上述例题代数式有一个怎么样的特点？答：都是整式
②结合上述例题概括下解题的一般步骤？
答：作差
变形
定号
下结论
合并同类项，
因式分解，配
③上述例题的解法名称是什么？
方等等
答：作差法
2、比较代数式的大小
把整体看着实数轴上的
一个 a
把整体看着实数轴上的一个 b
• 例：试比较6x2 +3x+5与5x2+3x+2的大小
•解： 6x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)
作差
= 6x2 +3x+5 –5x2-3x-2
整理变形
=x2+3
2 x 0
2 x 330
∴2x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)>0 ∴2x2 +3x+5 > 5x2+3x+2

作差法与作商法比较大小ppt(共26张PPT)

[悟一法]
(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于
判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分
解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果
例：试比较6x2 +3x+5与5x2+3x+2的大小
∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b. ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)
即aabb>abba；
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果
作差法
[读教材·填要点]
比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种
作差比较法
作商比较法
定
要证明 a>b，只要证明
a－b>0
要证明 a>b>0，只要证明
ab＞1
义
要证明 a<b，只要证明
a－b<0
要证明 b＞a＞0，只要证明
b a>1
作差→因式分解(或配
步
作商→恒等变形→判断与 1 的大
方 )→ 判断符号 → 得出
定号下结论
类型三利用作商法比较大小
[例3] 设a>0，b>0，且a≠b，比较aabb与abba的大
小．

2.1 比较法课件(人教A选修4-5)

甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有
一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果
m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ [思路点拨] 先用m、n表示甲、乙两人走完全程所用
时间，再进Leabharlann 比较．[解]设从出发地点至指定地点的路程为 s，甲、乙二人走
完这段路程所用的时间分别为 t1，t2 ，依题意有： t1 t1 m＋ n＝s， 2 2 s s ＋＝t . 2m 2n 2 sm＋n 2s ∴t1＝，t ＝ . 2mn m＋n 2 sm＋n 2s ∴t1－t2＝－ 2mn m＋n s[4mn－m＋n2] sm－n2 ＝＝－ . 2mnm＋n 2mnm＋n 其中 s，m，n 都是正数，且 m≠n， ∴t1－t2<0.即 t1<t2. 从而知甲比乙先到达指定地点．
法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对
差式进行分类讨论．
1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)；证明：a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)． 2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利
用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，
常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．
5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？

【课件】人教版4-5 一比较法课件

B.1 qmn qm qn
C .1 qmn qm qn
D.不能确定
3.在等比数列an和等差数列bn中,a1 b1 0,
a3 b3 0,a1 a3,则a5与b5的大小关系为( A ) A.a5 b5 B.a5 b5 C,a5 b5 D.不能确定
b
b
当且仅当a b时,等号成立.
aabb abba ,当且仅当a b时,等号成立.
abc
变式引申: 求证 : 若a,b,c R ,则aabbcc (abc) 3
补充例题:已知a 2,求证: loga(a 1) log(a1) a
补充练习:
1.已知a, b, c, d都是正数, 且bc ad,
一、比较法
前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知道，关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、基本不等式以及绝对值不等式 x ≤ a 和 x ≥ a 的解
集的规律等，都可以作为证明不等式的依据.下面，我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法.
• 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：
m(b a) 0 即 a m a 0 a m a
b(b m)
bm b
bm b
1.本题变形的方法—通分法
2.本题的结论反映了分式的一个性质：若 a, b, m 都是正数，
当
a

b
时，a
b

m m

a b
;
当a

b 时，a
b

m m

a b
;
(2)作商比较法
则

6.1比较代数式的大小(第2课时) 2013届高三数学第一轮复习课件

两实根为x1,x2. • (1)求的c 范围； • (2)将(x1-a x2)2表示为 c的函数； • (3)求(x1-x2)2的取值范围a . • 解：(1)因为a＞b＞c，a+b+c=0，
• 所以a＞0，c＜0，且b=-(a+c).
• •
又由由a＞a＞-a-bc＞，c得，2得a＞-c.ca
• 即1≤3a-b≤7，所以3a-b的取值范围为［1,7］.
• 点评：求此类题的关键是先由待定系数法求得待求式与两个已知式子的系数关系，再求得所求式子的取值范围.
设60＜a＜84，28＜b＜33，求a+b，a-b及
a b
的取值范围.
• 解：因为60＜a＜84，28＜b＜33，
• 所以88＜a+b＜117.
次数应尽可能少，以免将取值范围扩大.这时可以用所谓的“线性相关值”.令g(a， b)=pf1(a，b)+qf2(a，b)，用恒等关系求出待定系数p，q，于是一次加减，便可求到所需要的范围.
• 所以(x1-x2)2=(x1a+x2)2-4x1xa2
4 a b 2 2-4 a c 4 (a c a ) 2 2-4 a c 4 (a c 1 2 )2 3 .
• (3)因为-2＜＜c - ，1 所以 - 3 c 1 0，
a
2
2 a2
• 所以
34(c1)2 312.
a2
• 所以(x1-x2)2∈(3，12).
• 2. 要注意不等式的基本性质成立的条件，
例如：在应用“a＞b，ab＞0 1 1 ”
ab
这一性质时，有些同学要么是弱化了条件
得a＞b1 1 件而得aa＞b1＞b0 1
ab

高考数学第1轮总复习 6.1比较代数式的大小(第1课时)课件理(广西专版)

• 故该命题为真命题.
题型2 差值比较法比较代数式的大小
• 2. 比较1+logx3与2logx2(x＞0且x≠1)的大小.
• 解：(1+logx3)-2logx2=logx 3x.
• 当 0 x 1 • 即0＜x0＜ 134或x x1＞
或 x 时4 ,有log34xx
• (3)若a＜b＜0，则 • (4)若a＜b＜0，则
1 1 ;
ab
b a . ab
• 解：(1)因为c2≥0，所以只有c≠0时才正确；c=0 时，ac2=bc2，所以是假命题.
• 变式：“若ac2＞bc2，则a＞b”是真命题.
• (2)由a＜b，a＜0 a2＞ab；由a＜b，b＜0
• ab＞b2，所以a2＞ab＞b2是真命题.
• 当a¹b时，ab·ba＜aa·bb.
• 解法2: (直接求差不好比较,可取对数
• 后再比较)
• 因为 lg(ab ba ) - lg(aa bb ) b lg a a lg b - a lg a - b lg b
• •
所以当a=(ab-时b)，(lglbg-(lagba·) ba)00=((l当当g(aaaa·bb时时bb)))，；
__a_c<_b_c_____.
• 6.a＞b＞0,c＞d＞0 _________.
•
7.a＞b＞0,n＞1,n∈N
ac<bd _____,
______.
• 8.a＞b,ab＞0 ___1___ 1_. an<bn n a n b
ab
• 1.若a＜b＜0,则下列不等式不能成立的是( )B
• (3)a＞b＞0 -a＜-b， • c＞a＞b＞0 0＜c-a＜c-b

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