直角三角形的判定和性质的习题
解直角三角形知识点及跟踪习题
解直角三角形知识点及跟踪习题 考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 知识点二．三角函数对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的. 因此这几个比值都是锐角∠A 的函数，记作sin A 、cos A 、tan A 、cot A ，即sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数.知识点三。
锐角三角函数的特征与性质：（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1 （2）tan A •cot A =1（3）补充：sin tan cos AAA，cos cot sin AA A （视情况定） （4）补充：已知锐角∠A ，则22sin cos 1AA（视情况定）（5）锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，①.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ②.余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ③.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ④.余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大 知识点四、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60°90° sinα 0 21 22 23 1 cos α 1 23 22 21 0 tan α 0 33 1 3不存在 cot α不存在3133 0︒15020米30米从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.（2在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图19.4.5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度 （或坡比）.记作i ,即i =lh . 坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6. 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝lh=tan a 显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡. 知识点六．1.解直角三角形：在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边共5个元素，由已知元素求出未知元素 的过程，叫做解直角三角形。
《直角三角形的判定》综合练习
直角三角形的判定1．假设△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，则△ABC是______三角形，_____=90°，这个定理叫做_______．2．一个命题成立，那么它的逆命题_______成立．◆课堂测控1．已知△ABC的三边长a，b，c分别为6，8，10，则△ABC______（•填“是”或“不是”）直角三角形．2．△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=______．3．△ABC的三边分别为以下各组值，其中不是直角三角形三边的是（）A．a=41，b=40，c=9 B．a=1.2，b=1.6，c=2C．a=12，b=13，c=14D．a=35，b=45，c=14．（分析判断题）在解答“判断由长为65，2，85的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：解：设a=65，b=2，c=85．因为a2+b2=（65）2+22=136642525=c2．所以由a，b，c组成的三角形不是直角三角形，你认为小明的解答准确吗？•请说明理由．测试点二逆命题与逆定理5．以下各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）内错角相等，两直线平行；（2）对顶角相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）假设两个实数相等，那么它们的绝对值相等．◆课后测控1．以以下数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（）A．4组B．3组C．2组D．1组2．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中准确的是（）3．以下命题中，真命题是（）A．假设三角形三个角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形B．假设直角三角形两直角边的长分别为a和b，那么斜边的长为a2+b2 C．若三角形三边长的比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形D．假设直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那斜边上的高h的长为ab c4．以下命题的逆命题是真命题的是（）A．若a=b，则a2=b2B．全等三角形的周长相等C．若a=0，则ab=0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形5．△ABC中，BC=n2－1，AC=2n，AB=n2+1（n>1），则这个三角形是______．6．假设三角形的三边长为1.5，2，2.5，那么这个三角形最短边上的高为______．7．A，B，C三地的位置及两两之间的距离如下列图，则点C•在点B•的方位是_____．8．如下列图，四边形ABCD中，BA⊥DA，AB=2，AD=23，CD=3，BC=5，求∠ADC的度数．9．写出以下命题的逆命题，并判断真假．（1）假设a=0，那么ab=0；（2）假设x=4，那么x2=16；（3）面积相等的三角形是全等三角形；（4）假设三角形有一个内角是钝角，则其余两个角是锐角；（5）在一个三角形中，等角对等边．10．如下列图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，假设同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？◆拓展创新11．能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，•观察以下表格所给出的三个数a，b，c，a<b<c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论．（2）写出当a=17时，b，c的值．参考答案回顾归纳3，4，5 32+42=52 5，12，13 52+122=132 7，24，25 72+242=252 9，40，41 92+402=412……17，b，c 172+b2=c21．直角，∠C，勾股定理的逆定理2．不一定课堂测控1．是2．90°点拨：BC2=AB2+AC23．C 点拨：计算两短边的平方和与最长边的平方比较．4．不准确．因为65<2，85<2，且（65）2+（85）2=22，即a2+c2=b2，所以此三角形为直角三角形．5．（1）两直线平行，内错角相等．成立．（2）假设两个角相等，那么它们是对顶角，不成立．（3）假设两个三角形的对应角相等，则它们全等．不成立．（4）假设两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不成立．课后测控1．B 点拨：有（1）（3）（4）三组．2．C 3．D 4．D5．直角三角形点拨：BC2+AC2=AB2．6．6 57．正南方向8．∵AB⊥AD，AB=2，∴，∴AB=12BD，∠ADB=30°，∵BD2+DC2=42+32=52，∴BD2+DC2=BC2．∴∠BDC=90°，∴∠ADC=120°．9．（1）的逆命题是：假设ab=0，那么a=0，它是一个假命题．（2）的逆命题是：假设x2=16，那么x=4，它是一个假命题．（3）的逆命题是：全等三角形的面积相等．它是一个真命题．（4）的逆命题是：假设三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角，它是一个假命题．（5）的逆命题是：在一个三角形中，等边对等角，它是一个真命题．10．先求AB=9，BC=12，AC=15，由AB 2+BC 2=AC 2可得△ABC 是直角三角形．所以S △PBQ =12BP·BQ=12×（9－3）×6=18cm 2． 拓展创新11．（1）以上各组数的共同点能够从以下方面分析：①以上各组数均满足a 2+b 2=c 2；②最小的数（a ）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m 为大于1的奇数，将m 2拆分为两个连续的整数之和，即m 2=n+（n+1）， 则m ，n ，n+1就构成一组简单的勾股数．证明：∵m 2=n+（n+1）（m 为大于1的奇数），∴m 2+n 2=2n+1+n 2=（n+1）2，∴m ，n ，（n+1）是一组勾股数．（2）使用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．。
直角三角形
第1章直角三角形§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? （一）直角三角形性质定理1：直角三角形的两个锐角互余。
练习1（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。
练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。
（3）与∠B相等的角有。
（二）直角三角形的判定定理1提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。
（三）直角三角形性质定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、巩固训练：练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。
求证：（1）ED=EB(2)∠EBD=∠EDB（3）图中有哪些等腰三角形？练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。
如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在?§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）EDCBA提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）推理证明思路： ①作点D 1 ②证明所作点D 1 具有的性质 ③ 证明点D 1 与点D 重合 应用定理：例1、已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别AB 、AC 的中点。
2022年《直角三角形全等的判定》专题练习(附答案)
1.3 直角三角形全等的判定一、选择题(本大题共8小题)1. 在以下条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )2. 如下图,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,那么图中全等的三角形有( )第2题图第5题图第6题图3.以下说法中正确的选项是〔〕A．a，b，c是三角形的三边长，那么a2+b2=c2B．在直角三角形中，两边长和的平方等于第三边长的平方C．在Rt△ABC中，假设∠C=90°，那么三角形对应的三边满足a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，假设∠A=90°，那么三角形对应的三边满足a2+b2=c24. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A，那么以下结论中正确的选项是〔〕A. AC=A′C′B.BC=B′C′C.AC=B′C′D.∠A=∠A′5. 如下图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交D点，E、F分别是DB、DC的中点，那么图中全等三角形的对数是〔〕6. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，那么△BCE的面积等于〔〕A．10 B．7 C．5 D． 47. 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,那么以下条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF8. 如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,那么有( )A.DE=DBB.DE=AEC.AE=BED.AE=BD第8题图第9题图二、填空题(本大题共4小题)9. ：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF，AB=DC，那么△ABE≌△__________.10. 如图,BD⊥AE于点B,C是BD上一点,且BC=BE,要使Rt△ABC≌Rt△DBE,应补充的条件是∠A=∠D或__________或__________或__________.第10题图第11题图11. 如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，假设根据“HL〞判定，还需要加一个条件__________.12. ：如图，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，∠D=60°，那么∠A=__________.三、计算题(本大题共4小题)13. ：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.14. ：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE15. 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：〔1〕CF=EB．〔2〕AB=AF+2EB．16. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF=2AE;(2)假设CD=2，求AD的长.参考答案：一、选择题(本大题共8小题)1.A2. D3. C4. C5. D6. B7. B8. C二、填空题(本大题共6小题)9.分析：根据直角三角形全等的条件HL判定即可。
八下第1章直角三角形1-1直角三角形的性质与判定Ⅰ1-1-2含30°角的直角三角形的性质及其应用习题
解：过点D作DC⊥AB于点C.∵∠DAB＝15°， ∠DBC＝30°，∴∠ADB＝15°，∴DB＝AB＝100 m， ∴在Rt△DBC中，DC＝ ×100＝50(m)． 答：河宽是50 m.
8．[临湘期中]如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是BC上一点，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若BD＝3，CD＝2，则AE的长为________．
D
6．[教材改编题]如图是某建筑物的屋顶架的示意图，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE都垂直于横梁AC，DE＝2 m，∠A＝30°，则AB等于________m.
8
【点拨】∵∠A＝30°，DE⊥AC，∴DE＝ AD.又DE＝2 m，∴AD＝4 m．∵D是．[教材改编题]如图，吴敏在河岸的点A测得看对岸点D的视线与其所在河岸的直线成15°角，然后沿该直线行走100 m到达点B，此时测得看对岸点D的视线与前进方向成30°角，问河宽是多少米？
4
9．设计一张折叠型方桌如图所示，若AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝30 cm，将桌子放平后，要使AB离地面的高度为40 cm，则两条桌腿需要叉开的角度(∠AOB)应为( ) A．60° B．90° C．120° D．150°
C
【点拨】过点D作DE⊥AB交AB于点E.在Rt△ADE中，AD＝OA＋OD＝50＋30＝80(cm)，易知DE＝40 cm，∴DE＝ AD.∴∠BAD＝30°.∵OA＝OB，∴∠ABC＝∠BAD＝30°.∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°.故选C.
10．[邵阳洞口期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E.若BC＝9，则DE的长是( ) A．3 B．4 C．4.5 D．5
八下第1章直角三角形1-1直角三角形的性质和判定Ⅰ第2课时含30°角的直角三角形的性质习题新版湘教版
腰长为12 m，则底边上的高是( B
A.4 m
B.6 m
C.10 m
D.12 m
)
(第6题)
7.(母题：教材P8习题T6)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点
E是边AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分边AB，垂足
为点D.若EC＝3 cm，则AE的长为 6 cm
∴∠B＝30°，∴∠BAC＝ (180°－∠B)＝75°.
②如图(b)，AC＝BC，AD⊥BC交BC的延长线于点D，
AD在三角形的外部，∴∠CAB＝∠B.由题意知AD＝ BC＝
AC，∴∠ACD＝30°＝∠B＋∠CAB.
∵∠B＝∠CAB，∴∠BAC＝ ∠ACD＝15°.
③如图(c)，AC＝AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形底
交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的
是( D
)
A.∠CAD＝30°
B.AD＝BD
C.BD＝2CD
D.CD＝ED
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC
绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在
AB上.
(1)若AC＝4，求DE的长度；
【解】在△ABC中，∠ACB＝90°，
形状
12. [新考法 分类判断法]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，BC＝12 cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运
动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动.如果动点P以2
cm/s，动点Q以1 cm/s的速度同时出发，设运动时间为t
s，解答下面的问题：
直角三角形的性质和判定（1）（教案练习）
1.2.1直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．512、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．644.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+15.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或76.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm7.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2二、填空题8.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．9.如图，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．10.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是．11.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．12.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于．三、解答题13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.15.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）答案：1. C分析：根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．解：∵=15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．2.C（提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7）故选C；3. B分析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8．故选B．4. D分析：根据勾股定理直接解答即可．解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：===n2+1．故选D．5. D分析：分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．解：分两种情况：①当3和4为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D ．6. D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm ≤h ≤16cm ，）故选D ．7. A分析：首先根据翻折的性质得到ED=BE ，再设出未知数，分别表示出线段AE ，ED ，BE 的长度，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理求出AE 的长度，进而求出AE 的长度，就可以利用面积公式求得△ABE 的面积了．解：∵长方形折叠，使点B 与点D 重合，∴ED=BE ，设AE=xcm ，则ED=BE=（9﹣x ）cm ，在Rt △ABE 中，AB 2+AE 2=BE 2，∴32+x 2=（9﹣x ）2，解得：x=4，∴△ABE 的面积为：3×4×=6（cm 2）．故选：A ．8.分析：由三角形ABC 为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB 的长，可得出AB 的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值． 解：∵△ABC 为直角三角形，AB 为斜边，∴AC 2+BC 2=AB 2，又AB=2，∴AC 2+BC 2=AB 2=4，则AB 2+BC 2+CA 2=AB 2+（BC 2+CA 2）=4+4=8．故答案为：89. 3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC 中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）；10. 分析：在直角三角形ABE 中，由AE 与BE 的长，利用勾股定理求出AB 的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出阴影部分面积即可．解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，根据勾股定理得：AB==5，则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣×3×4=25﹣6=19，故答案为：19．11.分析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．所以，其周长为6+8+10=24cm．12.分析：根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．解：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，∴BD=AD=5，∵BC=8，∴CD=BC﹣BD=3，∴AC==4，故答案是：4．13.分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A ，B ，C ，D 的面积之和=49cm 2．故答案为：49cm 2． 14.解：.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°.∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ，∴BD=10 cm.∴BC=22BD CD -=22105-=53(cm).∴AB=2BC=103 cm.15. 解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2.732，∴3x ＋x ＝2.732，∴x ≈1．即CD ≈1＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．。
初中数学湘教版八年级下册第1章直角三角形1.1直角三角形的性质和判定(I)
《直角三角形的性质和判定》同步练习题一、填空题1.若∠A=40°，∠B ＝50°，则，△ABC是一个______三角形。
2．若等腰三角形中，有一个底角是45°，则这是一个_____________三角形.3．如图，CD是Rt⊿ABC斜边上的高.则与∠A互余的角有_____________与∠B互余的角有_____________，图中一共有__________对互余的角。
4.等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，腰上的高是___________．5．在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，①若AB=8cm，则CD=___________，若∠A=35°，那么∠ACD=_________②若∠CDB=80°，则∠A=_____ ∠B=_____6.在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则△ABC是三角形。
如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是三角形。
7.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是三角形。
在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶8，则△ABC是三角形。
8.△ABC中,若CD是AB的中线，且CD=12AB，则△ABC是三角形，∠是直角。
9..如图：在Rt△ABC中∠A=30°,AB+BC=12cm，则AB=_____cm10.如图:△ABC是等边三角形，AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm, BD=＿＿，BE=____11.下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于横梁AC,AB＝,∠A＝30°则BC=______ , DE=______（9题图）（10题图）（11题图）△ABC中，CD是斜边上的高，AB=2BC，BC=6，,则∠A＝______，BD=______13.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数为______________二、解答题14.已知：如图，将矩形纸片ABCD按图折叠使角的顶点A恰好落在边BC上，若AB＝6cm，∠ADE＝300，求折痕DE的长。
1.2直角三角形的性质和判定(II)同步练习含答案
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理要点感知直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a、b的平方和等于__________的平方.即a2+b2=c2.预习练习△ABC中,∠C＝90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.(1)若a＝5,b＝12,则c＝__________；(2)若c＝41,a＝40,则b＝__________.知识点勾股定理1.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=10，BC∶AC=3∶4，那么BC=( )A.6B.8C.10D.以上都不对2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的斜边长为( )A.6B.8C.10D.123.已知一个三角形三个内角的比是1∶2∶1,则它的三条边的比是( )A.1∶2∶1B.1∶2∶1C.1∶2∶3D.1∶4∶14.如图,长方形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )A.2.5B.22C.3D.55.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合.若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )A.1B.2C.3D.46.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为__________.7.等腰△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm，则BC边上的高是__________cm.8.一个直角三角形的斜边长比直角长边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________.9.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD长.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，CD⊥AB交AB于点D.求：(1)AC的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长.11.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )A.5B.6C.7D.2512.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )A.3B.23C.33D.4313.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图,则三角板的最大边的长为( )A.3 cmB.6 cmC.32 cmD.62 cm14.如图，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为( )A.6B.5C.6D.3615.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A.53B.52C.4D.516.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD的长等于__________.17.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__________.18.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD的长.19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.20.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于点E，交BC于点F，若AE=4，FC=3，求EF长.参考答案要点感知斜边c预习练习 13 91.A2.C3.A4.D5.D6.67.88.109.∵AD⊥AC，AC=20，AD=15，∴222015∴BD=BC-CD=32-25=7.10.(1)∵∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，∴AC=8 cm；(2)S△ABC =12BC·AC=12×6×8=24(cm2)；(3)∵S△ABC =12BC·AC=12CD·AB，∴CD=·BC ACAB=245cm.11.A 12.D 13.D 14.A 15.C 16.8 17.57 18.设DC=x，则BD=14-x.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理可得： (14-x)2+AD 2=152，x 2+AD 2=132.两式相减得(14-x)2-x 2=56.解得x=5. 在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD=12.19.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ， ∴BD=10 cm.∴∴20.连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC ，BD=CD=AD ，∠ABD=∠C=45°. ∵DE ⊥DF ， ∴∠FDC=∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，,,ABD C FDC EDB BD CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△EDB ≌△FDC. ∴BE=FC=3.∴AB=7，则BC=7. ∴BF=4.在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2=32+42， ∴EF=5.第2课时 勾股定理的实际应用要点感知 应用勾股定理解决实际问题时，应先根据题意画出几何图形，分析图形中各线段之间的数量关系，正确运用勾股定理求解.求边长时，一般有两种情况：一是直接运用勾股定理通过计算求解，二是借助勾股定理列方程求解.预习练习 (2019·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__________米.知识点1 直接利用勾股定理1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米3.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为( )A.5米B.3米C.(5+1)米D.3米4.假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )A.20千米B.14千米C.11千米D.10千米5.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.知识点2 利用勾股定理列方程求解6.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m7.在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A.13 mB.12 mC.4 mD.10 m8.如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为__________米.9.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？10.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为( )A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米11.如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B 取∠ABD=120°，BD=210 m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于( )A.1053 mB.2103 mC.703 mD.105 m12.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm13.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为__________mm.14.如图,一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边的车速检测仪的正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪的距离为50 m,问这辆小汽车是否超速了？（中华人民共和国交通管理条例规定：小汽车在城市公路上行驶时的速度不得超过70 km/h）15.为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？16.两条公路OM、ON相交成30度角，在公路OM上，距O点80米的A处有一所小学，当拖拉机沿公路ON方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么拖拉机沿ON方向行驶时，是否会给小学带来噪声影响？若受影响，计算影响的时间.参考答案预习练习 101.A2.B3.C4.D5.4806.A7.B8.39.设BD=x米，则AD=(10+x)米，CD=(30-x)米，根据题意得(30-x)2-(x+10)2=202.解得x=5.即树的高度是10+5=15（米）.10.A 11.A 12.C 13.15014.小汽车超速了.理由：在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,根据勾股定理得：22AB AC小汽车的速度是40÷2=20(m/s)=72(km/h).而规定速度为70 km/h,72>70，∴小汽车超速了.15.设AE=x km，则BE=(25-x)km.在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152.同理可得：DE2=(25-x)2+102.若CE=DE，则x2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：图书室E应该建在距A点10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.16.过点A作AD⊥ON于点D，即点A到ON的最短距离为AD，已知在Rt△OAD中，∠O=30°，OA=80，可得AD=40＜50，故学校会受到拖拉机的影响；在D点两侧分别取两点E、F，使得AE=AF=50，在Rt△ADE中，AE=50，AD=40，可得DE=30，又易证Rt△ADE≌Rt△ADF，即DE=DF=30，即EF=60.又拖拉机的速度为18千米/时，故拖拉机经过EF段所用的时间t=0.0618×3 600=12（s）.答：拖拉机会给小学带来噪声影响，影响时间为12秒.第3课时勾股定理的逆定理要点感知直角三角形的判定定理(勾股定理的逆定理)：如果一个三角形的三边长a、b、c有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是__________三角形.预习练习1-1三角形的三边长满足（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形1-2以下列数组为三角形的边长：①5,12,13；②10,12,13；③7,24,25；④6,8,10,其中能构成直角三角形的有( )A.4组B.3组C.2组D.1组知识点勾股定理的逆定理1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，2，32.已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知两条线段的长分别为2 cm、3 cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是( )A.1 cmB.5 cmC.5 cmD.1 cm与5cm4.如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对c +|a-8|+(b-15)2=0，则△ABC的形状是( )5.若a、b、c表示△ABC的三边，且满足17A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.在Rt△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是( )A.∠C=90°B.∠B=90°C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形7.在△ABC中，a=2，b=6，c=22，则最大边上的中线长为( )A.2B.3C.2D.以上都不对8.三角形三边长分别为4、8、43,则该三角形最小角与最大角依次是( )A.30°,60°B.30°,90°C.60°,90°D.45°,90°9.若在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC的度数是__________度.10.如图,一根电线杆高8 m.为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2 m(不计捆缚部分),则电线杆与地面__________(填“垂直”或“不垂直”).11.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，AC=23，∠C=30°，求∠B的大小.12.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CF、EFD.GH、AB、CD13.已知一个三角形的三边长分别为n+1，n+2，n+3，则当n=__________时，这个三角形是直角三角形.14.如图所示,是一个零件的形状,按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到A到C的距离是10 cm,AD=8 cm,CD=6 cm.问这个零件是否合格？15.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,BC=3,AB=4,AD=12,CD=13.求四边形ABCD的面积.16.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.17.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5.(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数.参考答案要点感知直角预习练习1-1 C1-2 B1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.A8.B9.90 10.不垂直11.∵△ABC中，AB=2，BC=4，3，∴AB2+AC2=4+12=16=BC2.∴∠A=90°.∴∠B+∠C=90°.又∵∠C=30°，∴∠B=60°.12.B 13.214.合格.连接AC.∵AD2+CD2=82+62=102=AC2,根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°,∴零件合格.15.连接AC.∵∠ABC=90°,在Rt△ABC中，BC=3,AB=4,∴在△ACD中,∵AC2+AD2=52+122=132=CD2, ∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36.16.证明：∵CD是AB边上的高，∴△ADC和△BCD都是直角三角形.∴AC2＝AD2+CD2，BC2＝BD2+CD2.∴AC2+BC2=AD2+CD2+BD2+CD2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.17.(1)根据旋转的性质，得AD=EC=4，BD=BE=3，AB=BC，∠DBE=∠ABC=60°，∠ADB=∠BEC.∴△ABC和△DBE均为等边三角形.∴DE=BD=3.∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2.故△DEC为直角三角形.(2)∵△DEC为直角三角形，∴∠DEC=90°.又∵△BDE为等边三角形，∴∠BED=60°.故∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°.。
《直角三角形的判定》同步练习
直角三角形的判定1．若线段a 、b 、c 能构成直角三角形，则它们的比为（ ） A ．2：3：4 B ．3：4：6 C ．5：12：13 D ．4：6：72．一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（ ）A ．4B ．8C ．10D ．123．若直角三角形两角边的比为5：12，则斜边与较小直角边的比为（ ） A ．13：12 B ．169：25 C ．13：5 D ．12：5 4．在下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（ ）A ．0.2，0.4，0.5B ．6，8，10C ．4，5，6D ．34,55，255．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（ ）A ．0.7米B ．0.8米C ．0.9米D ．1.0米6．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______． 7．若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为_______．8．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则这个花坛的面积是________．9．已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足（a-5）2+（b-12）2+c 2-26c+169=0，则△ABC是（ ）A ．以a 为斜边的直角三角形B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形10．矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE=_______cm ．_B_C_A _C _' _E _D_F11．如图在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：_________．A B C D12．如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．13．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了B点，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．14．阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b=12（m2-1）和c=12（m2+1）是勾股数．方法2：若任取两个正整数m和n（m>n），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；（2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：13（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，•各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵．15．如图，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），•根据勾股定理，则a2+b2=c2，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，•试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．参考答案1．C2．C 点拨：设斜边长为x，有x2=（x-2）2+62，x=10．3．C 点拨：设两直角边为5x，12x．4．B5．A 点拨：．6．5点拨：分4为斜边长和直角边长解．7点拨：设直角边长为x，有x2+x2=22，8．30cm2点拨：此三角形为直角三角形，且两直角边长分别为5cm，12cm．9．C 点拨：把c2-26c+169变为（c-13）2，则（a-5）2（b-12）2，（c-13）2都是非负数，它们和为0，即（a-5）2=0，（b-12）2=0，（c-13）2=0，所以a=5，b=12，c=13，有c2=a2+b2．10．295点拨：设DE=x，则DE=BE=x，AE=AB-BE=10-x；在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，所以x2=（10-x）2+16，即x=295．11．A A不是直角三角形，B、C、D是直角三角形点拨：先观察得出A•不是直角三角形，对于其他三角形，设每一个小正方形边长为1，利用勾股定理求出各三角形的边长，再验证．12．解：设BD=x，则CD=14-x，在Rt△ABD中，AD2+x2=132，在Rt△ADC中，AD2=152-（14-x）2，所以有132-x2=152-（14-x）2，解得x=5，在Rt△ABD中，AD= ．13．解：过点B作NM垂直于正东方向，垂足为M，则∠ABM=60°．因为∠NBC=30°，所以∠ABC=90°．在Rt△ABC中，==1000（米）．14．（1）方法1c-a=12（m2+1）-m=12（m2-2m+1）=12（m-1）2>0，c-b=1>0，所以c>a，c>b．而a2+b2=m2+[12（m2-1）] 2=（14m4-2m2+1）+m2=14（m4+2m2+1）=[12（m2+1）] 2=c2，所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形．同理可证方法2．（2）方法1中自上而下：7、24、25；9、40、41．方法2中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26．（3）120．15．解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2；若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2<c2．证明：①当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD为x，则有DB=a-x，根据勾股定理，得b2-x2=c2-（a-x）2．即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，∴a2+b2=c2+2ax．∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2．②当△ABC是钝角三角形时，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设CD为x，则BD2=a2-x2．根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2．即b2+2bx+x2+a2-x2=c2．∴a2+b2+2bx=c2．∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a2+b2<c2．。
直角三角形的性质和判定（教案练习）
1.2.2直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米3.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm4.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米5.如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．5≤a≤12 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤156.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米7.一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．旗杆折断之前有米．A．23米B．15米C．25米D．22米8.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．5二、填空题9.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.10.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.11.如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长则不超过米。
直角三角形判定习题
14.1.2直角三角形的判定◆随堂检测1、判断（1）．由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5•为边的三角形不是直角三角形．（）（2）．由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3.是勾股数。
（）2．请完成以下未完成的勾股数：（1）8，15，______；（2）15，12，______；（3）10，26，_______；（4）7，24，______．3．木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面_______ (填”合格”或”不合格”)。
4．三角形的三边分别为a2+b2，2ab，a2-b2（a，b都是正整数）则这个三角形是（）．A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定5．以下各组数为三边的三角形中不是直角三角形的有（）．A．7，24，25 B．4，7 ，8 C．12，16，20 D．3 ，4 ，56．在△ABC中，AC=21cm，BC=28cm，AB=35cm，求△ABC的面积．◆典例分析一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 13 , BC=12，这个零件符合要求吗？分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。
解：在△ABD中，所以△ABD为直角三角形∠A =90°在△BDC中,所以△BDC是直角三角形∠CBD =90°因此这个零件符合要求。
◆课下作业●拓展提高1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6，8，10；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6其中能构成直角三角形的有（）．A．4组B．3组C．2组D．1组2．直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原来的2倍，•其斜边扩大到原来的（）．A．2倍B．3倍C．4倍D．不变3．△ABC中，b=17，c=8，a=15，则∠ABC=_________．4．△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，以BC为边的正方形面积为_______．5．三条线段m，n，p满足m2-n2=p2，以这三条线段为边组成的三角形为______．6．如图所示，一根旗杆在离地面9米处断裂，•旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？7．“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，•出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，•如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（•如图所示），问水深和芦苇长各多少？●体验中考1．（2009年x疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．。
八下第1章直角三角形1-2直角三角形的性质和判定Ⅱ第3课时勾股定理的几何应用习题新版湘教版
∴(m＋n)2－(m2＋n2)＝10－ .
整理得2mn＝ ，即mn＝ .
易知题图②中的阴影部分为直角三角形，其两直角边
的长分别为 ＋ ＝ m， ＋ ＝ n，
∴题图②阴影部分的面积为 × m× n＝mn＝ .
利用勾股定理探求最小值
9. [新考法 类比]如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，
90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上(不与
点A，B重合)，且∠PCB＝30°，则AP的长为
，9或3
.
【点拨】
题中60°的锐角可能是∠CAB，也可能是∠CBA；
∠PCB＝30°可以分为点P在线段AB上和点P在线段AB的延长
线上两种情况.
8. [2022·丽水 新考法·条件变式法]如图，分别以a，b，m，n
∴ (m＋n)(m＋n)＝5.
∴(m＋n)2＝10.
∵am－bn＝2，an＋bm＝4，
∴将两式分别平方并整理可得a2m2－2abmn＋b2n2＝4
①，a2n2＋2abmn＋b2m2＝16②.
①＋②整理得(a2＋b2)(m2＋n2)＝20.
2
2
2
2
∵a ＋b ＝3，∴m ＋n ＝ .
2
∵(m＋n) ＝10.
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第3课时 勾股定理的集合应用
名师点金
在数轴上作出表示 的点的步骤
第一步：利用勾股定理画出长为 的线段；
第二步：在数轴上以原点为圆心，以长为 的线段长为半径
画弧与数轴的正方向相交，交点即为所求的点.
直角三角形的性质与判定练习题
13m5m直角三角形的性质与判定练习题一、填空题1在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1,①∠A=30°,b=＿＿,c=＿＿. ②∠A=45°,b=＿＿,c=＿＿。
2.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米。
如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米3.已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。
4.△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 335.有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少 秒才可能到达大树和伙伴在一起？6．有一个角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是________7．在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是 三角形， 是直角；8．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
9．在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=3，c=5，则b=___________；②若a=5，b=12，则c=___________；③若c=25，b=7，则a=__________；④a=8，b=15，则c= 。
10已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长是11． 已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，则这个等腰三角形面积为 。
12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
13．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ，长13m,宽2m 的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你计算一下最少费用是多少？14．已知△ABC 的三边长分别为1，3，2，则△ABC 是 三角形.15． 等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 . 16 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的周长 是 .17．在直角三角形中，两锐角之比为2:1，则两锐角的度数分别为 ． 18．如图，以Rt △ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S 且14S =，28S =，则3S = ；以Rt ∆ABC 的三边向外 作等边三角形，其面积分别为 1S ，2S ，3S ，DCABFEDCBA则1S ，2S ，3S 三者之间的关系为 .19． 如图，△ABC 中，∠C =90°，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ，B 的度数为 ．20．如图，△ABC 中，∠C =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD =3.5，BC =6，则△ABC 的周长是 ．21．如图，在△ABC 中，∠A =90，BD 是角平分线，若AD =m ，BC =n ，则△BDC 的面积为 ．22. 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是 。
(完整版)三角形的性质和判定练习题
(完整版)三角形的性质和判定练习题一、三角形的性质1. 三条边的关系- 三角形的任意两条边之和必须大于第三条边。
2. 三个角的关系- 三个角的和等于180度。
3. 顶角和底角的关系- 顶角和底角互补，其和等于180度。
4. 等腰三角形- 两边相等的三角形称为等腰三角形。
- 等腰三角形的顶角相等，底角相等。
5. 直角三角形- 有一个角等于90度的三角形称为直角三角形。
- 直角三角形的两条边相互垂直。
二、三角形的判定练题1. 判断下列三组边是否能构成三角形：- a) 3cm, 4cm, 9cm- b) 5cm, 7cm, 10cm- c) 6cm, 6cm, 10cm2. 判断下列三角形是何种三角形，并给出理由：- a) 6cm, 8cm, 10cm- b) 4cm, 4cm, 4cm- c) 5cm, 12cm, 13cm3. 判断下列三角形是否为直角三角形，并给出理由：- a) 3cm, 4cm, 5cm- b) 6cm, 8cm, 10cm- c) 7cm, 24cm, 25cm4. 如果一个三角形的两边长分别为7cm和10cm，那么第三边的可能长度有哪些？5. 如果一个三角形的三个角分别为30度、60度和90度，那么它的形状是什么？三、答案与解析1. 判断下列三组边是否能构成三角形：- a) 3cm, 4cm, 9cm* 不能构成三角形，因为任意两边之和小于第三边。
- b) 5cm, 7cm, 10cm* 可以构成三角形，因为任意两边之和大于第三边。
- c) 6cm, 6cm, 10cm* 可以构成三角形，因为任意两边之和大于第三边。
2. 判断下列三角形是何种三角形，并给出理由：- a) 6cm, 8cm, 10cm* 这是一个直角三角形，因为边长符合勾股定理的条件（8^2 + 6^2 = 10^2）。
- b) 4cm, 4cm, 4cm* 这是一个等边三角形，因为三条边都相等。
- c) 5cm, 12cm, 13cm* 这是一个直角三角形，因为边长符合勾股定理的条件（5^2 + 12^2 = 13^2）。
《直角三角形的性质和判定(Ⅰ)习题
《直角三角形的性质和判定(Ⅰ)》习题
一、填空题
1、直角三角形中一个锐角为30°，斜边和最小的边的和为12cm，则斜边长为__________.
2、等腰直角三角形的斜边长为3，则它的面积为____________.
3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半，则其顶角为____________.
4、已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4cm，则BC=_______cm，
∠BCD=_______，BD=_______cm，AD=________cm；
5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________；
6、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线相交于O，则∠AOB=_________；
二、选择题
7、下列命题错误的是( )
A．有两个角互余的三角形一定是直角三角形；
B．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30°
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。
8、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
9、将一张长方形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在C′点. 已知AB=2，∠DEC′=30°，则折痕DE的长为( ) Array
A、2
B、3
2
C、4
D、1。
湘教版八年级下册数学期末提分练案 直角三角形的性质、判定,直角三角形全等的判定及角平分线的性质(2)
第1课时 直角三角形的性质、判定， 直角三角形全等的判定及角平分线的性质
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1C
2C
3D
4B
5C
6A
7 270 8 2
9 见习题 10 见习题
11 见习题 12 见习题 13 见习题
一、选择题 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°， 则∠1的度数为( ) A．38°B．39°C．5C1°D．52°
由(1)知 AD＝3 2 3km，
∴AB＝ AD2 ＋BD2＝
3
2
32＋322＝3(பைடு நூலகம்m)，
即隧道 AB 的长度为 3 km.
13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB 于点E，点F在AC上，BD＝DF. (1)求证：CF＝EB；
证明：∵AD 平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC.在 Rt△CDF 与 Rt△EDB 中， ∵DDFC＝＝DDBE，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，∴CF＝EB.
【点拨】(1)当∠ABC＝60°时，则 BC＝12AB＝2，当点 P 在 线段 AB 上时，∵∠PCB＝30°，∴CP⊥AB， ∴PC＝2×23＝ 3；
当点 P 在 AB 的延长线上时，
∵∠PCB＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠P＝30°.易得△PAC 为等腰三角形，则 PC＝AC＝2 3.
(2)当∠ABC＝30°时， ∵∠PCB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ACP＝60°. ∵∠BAC＝60°， ∴△PAC为等边三角形，∴PC＝AC.
∴AB＝12OA，OB＝ 23OA， 同理可得，OC＝ 23OB＝ 232OA， OD＝ 23OC＝ 233OA，… OG＝ 23OF＝ 236OA＝ 236×16＝247.故选 A. 【答案】A
1.2.1 直角三角形的性质与判定同步练习(答案版)
1.2.1 直角三角形的性质与判定1．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是(D) A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2．下列说法中错误的是(D)A．任何一个命题都有逆命题B．一个真命题的逆命题可能是真命题C．一个定理不一定有逆定理D．任何一个定理都没有逆定理3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，则∠DCB等于(A)A．50°B．45°C．40°D．25°4．【2020·绍兴】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，连接CP，过点A作AH ⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数(C)A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小【点拨】由旋转的性质可得BP＝BC，又BA＝BC，则BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC＋∠BP A＝135°＝∠CP A，由三角形的外角的性质可求∠P AH＝135°－90°＝45°，故选C.【答案】C5．【2020·威海】七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割七块，正好制成一副七巧板(如图②)．已知AB＝40 cm，则图中阴影部分的面积为(C)A．25 cm2 B.1003cm2C．50 cm2D．75 cm26．【2020·河北】如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6 km到达l；从点P出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是(A)A．从点P向北偏西45°走3 km到达lB．公路l的走向是南偏西45°C．公路l的走向是北偏东45°D．从点P向北走3 km后，再向西走3 km到达l7.【中考·黄冈】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝(C)A．2 B．3 C．4 D．23【点拨】延长CE至F，使EF＝CE，连接AF，可得△CEB≌△FEA，∴∠B＝∠FAE，BC＝AF.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∴∠FAE＋∠BAC＝90°，即∠CAF＝90°.可得△ABC≌△CFA.∴AB＝CF.∵AE＝12AB，CE＝12CF，∴AE＝CE＝5.∵AD＝2，∴DE＝3.在Rt△CDE中，CD＝CE2－DE2＝4.【答案】C8．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为(C)A．43 2 B．2 2C．83 2 D．32【点拨】∵AC＝8，∠C＝45°，AD⊥BC，∴AD＝CD＝4 2.又∵∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠DAB＝30°，∴BE＝AE＝2DE，∴AE＝23AD＝823.【答案】C9．【中考·东营】如图，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到C处捕食，则它爬行的最短距离是(C)A．31＋πB．32 C.34＋π22D．31＋π210.【2020·重庆A】如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC相交于点G，连接BE交AD 于点F.若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为(B)A.55 B.255 C.455 D.433点拨】由题意知AD 垂直平分BE ，先求出△ABD 的面积，再根据三角形的面积公式求出DF ，然后根据勾股定理求出BD ，设点F 到BD 的距离为h ，根据12BD ·h＝12BF ·DF 即可解决问题．【答案】B11．【中考·包头】已知下列命题：①若a b >1，则a >b ；②若a ＋b ＝0，则|a |＝|b |；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．【中考·黔西南州】一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D )A ．5 B. 5 C.7 D ．5或7【点拨】因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，所以需对两条边分类讨论．当3和4为直角边长时，则第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为5；当3为直角边长，4为斜边长时，第三边为直角边，由勾股定理得第三边长为7.故选D.本题易因没有分类讨论，直接将3和4作为直角边长去求斜边的长而出错．二．填空题13.命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是___“对应角相等的三角形是全等三角形”,它是一个____假___(选填“真”或“假”)命题.14．在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的3倍还多10°，则这两个角分别为___20°和70°_______．15．如图，在△ABC中，CE平分△ACB，CF平分△ACD，且EF△BC交AC于M，若CM＝5，则CE2＋CF2＝_100_______．16.(教材P18T5变式)如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是___10_____．17．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B 落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，CN的长=__4____解析：设CN＝x，则B′N＝BN＝9－x.在Rt△B′CN中，根据勾股定理，得B′N2＝CN2＋B′C2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4.故CN的长为4.三．计算证明题18．如图，在△ABC中，∠B＞∠A，CD是∠ACB的平分线，CE是AB边上的高．(1)若∠A＝40°，∠B＝72°，求∠DCE的度数；(2)试写出∠DCE与∠A，∠B之间的数量关系，并证明．解：(1)∵∠A＝40°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝68°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝12∠ACB＝34°.又∵CE⊥AB，∠B＝72°，∴∠BCE＝18°.∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝16°.（2）：∠DCE＝12(∠B－∠A)．(2)证明：∠DCE＝90°－∠CDE＝90°－(∠A＋∠ACD)＝90°－⎝ ⎛⎭⎪⎫∠A ＋12∠ACB ＝90°－[∠A ＋12×(180°－∠A －∠B )]＝90°－(∠A ＋90°－12∠A －12∠B )＝12(∠B －∠A )19．【中考·内蒙古】如图，已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点．求证：(1)△ACE ≌△BCD ； (2)2CD2＝AD2＋DB2.（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD .∴∠ACE ＝∠BCD .在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD (SAS)．（2）解：∵△ACB 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，∴∠B ＝∠BAC ＝45°.∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠B ＝45°.∴∠DAE ＝∠CAE ＋∠BAC ＝45°＋45°＝90°.∴AD2＋AE2＝DE2.又∵AE ＝DB ，DE2＝CD2＋CE2＝2CD2，∴2CD2＝AD2＋DB2.20．(中考·柳州)如图，在△ABC 中，D 为AC 边的中点，且DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5.求：(1)DB 的长；(2)△ABC 中BC 边上的高．图1 图2解：（1）∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴DB ＝52－42＝3.（2）：如图2，延长BD 至点E ，使DE ＝BD ，连接AE ，∴BE ＝2BD ＝6.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝DC . 在△BDC 和△EDA 中，⎩⎨⎧CD ＝AD ，∠CDB ＝∠ADE ，BD ＝ED ，∴△BDC ≌△EDA (SAS)．∴∠CAE ＝∠BCD .∴AE ∥BC .∵DB ⊥BC ，∴BE ⊥AE .∴BE的长度等于△ABC中BC边上的高．∴△ABC中BC边上的高为6.21．【2019·枣庄】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)如图①，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；(2)如图②，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；(3)如图③，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB＋AN＝2AM.【点拨】通过构造全等三角形更容易找出线段间的数量关系．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°.∴AD＝BD＝CD.∵AB＝2，∴AD＝BD＝CD＝ 2.∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，∴∠BMD＝180°－90°－30°＝60°.∴∠MBD＝30°.∴BM＝2DM.由勾股定理得BM2－DM2＝BD2，即(2DM)2－DM2＝(2)2，解得DM ＝63.∴AM ＝AD －DM ＝2－63.证明：（2）∵AD ⊥BC ，∠EDF ＝90°，∴∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∠ADF ＋∠ADE ＝90°.∴∠BDE ＝∠ADF .由(1)知∠B ＝∠DAF ，BD ＝AD .在△BDE 和△ADF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DAF ，BD ＝AD ，∠BDE ＝∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF (ASA)．∴BE ＝AF .证明：如上图，过点M 作ME ∥BC ，交AB 的延长线于点E ，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°.∵ME ∥BC ，∴∠AME ＝∠ADB ＝90°.由(1)知∠EAM ＝∠NAM ＝45°，∴∠E ＝∠EAM ＝∠NAM ＝45°.∴ME ＝MA .∴AE ＝2AM .∵∠AME ＝90°，∠BMN ＝90°，∴∠BME ＋∠AMB ＝90°，∠NMA ＋∠AMB ＝90°.∴∠BME ＝∠NMA .在△BME 和△NMA 中，⎩⎨⎧∠E ＝∠NAM ，ME ＝MA ，∠BME ＝∠NMA ，∴△BME ≌△NMA (ASA)．∴BE ＝AN .∴AB ＋AN ＝AB ＋BE ＝AE ＝2AM .22．【2020·苏州】问题1：如图①，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°.求证：AB ＋CD ＝BC .问题2：如图②，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝45°，P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°.求AB ＋CD BC 的值．【思路点拨】易证△BAP ≌△CPD ，可得BP ＝CD ，AB ＝PC ，可得结论；证明：（1）∵∠B ＝∠APD ＝90°，∴∠BAP ＋∠APB ＝90°，∠APB ＋∠DPC ＝90°，∴∠BAP ＝∠DPC .又∵P A ＝PD ，∠B ＝∠C ，∴△BAP ≌△CPD ，∴BP ＝CD ，AB ＝PC ，∴BC ＝BP ＋PC ＝AB ＋CD . 【思路点拨】过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，由(1)知EF ＝AE ＋DF ，由等腰直角三角形性质可求解．（2）解：如上图，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F .由(1)可知，EF ＝AE ＋DF ，∵∠B ＝∠C ＝45°，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴∠B ＝∠BAE ＝45°，∠C ＝∠CDF ＝45°，∴BE ＝AE ，CF ＝DF ，AB ＝2AE ，CD ＝2DF ，∴BC ＝BE ＋EF ＋CF ＝2(AE ＋DF )，∴AB ＋CD BC ＝2（AE ＋DF ）2（AE ＋DF ）＝22.。
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一．练习：
1）Rt△ABC中，∠C=90 °，∠B=28°，则∠A=__.
2）若∠C =∠A+∠B= 则△ABC是______三角形.
3）在△ABC中，∠A=90°，∠B=3∠C求∠B，∠C的度数。
4) 已知Rt△ABC中，斜边上的中线CD=5cm，则斜边AB=_____. 二．做一做，感受性质定理
教师组织学生活动：
把学生分为三大组分别完成对应序号的要求：
1.任意撕张长方形的纸，沿着长方形对角对折得两个直角三角形，拿其中一个直角形对折斜边上的中线，比较斜边的一半中线的长短，你发现了什么？
2.任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？
3.已知：在Rt△ABC中， ACB=90°，CD是斜边AB上的
中线。
求证：CD= ½AB（提示：证明CC′=AB）证明：延长CD到C’,使C’D＝CD，连接AC＇。
A C’
C B
三．练习
1)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA=80°，则∠A=_____ ∠B=_____
2)、在△A B C中，∠A C B=90°，C E是A B边上的中线，那么与
C E相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=30°，那么∠E C B=_________。
3)如图，在△A B C中，∠B=∠C,D,E分别是B C,A C的中点，
A B=6，求D E的长。
4），如图，在△A B C中，∠B=2∠C，点D在B C边上，且A D⊥A C.求证：C D=2A B
四．思考
如图，在△A B C 中，C D 是A B 边上的中线，且C D = ½ A B ，△A B C 是直角三角形吗？
五．综合练习
如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高，
M 、N 分别是BC 、ED 的
中点，试说明：MN ⊥DE .
M
B C B。