高等数学(理工科)习题课件完整

高等数学应用教程
三、课堂测试
二、单项选择题
2.
设
f
(x)
x
sin
x
，则
f
π 2
（
B
）.
π
A. 1 B. 1 C. 2
D.
π 2
4. 设 y cos x2，则dy （ C ）.
A. 2xcos x2dx B. 2xcos x2dx C. 2xsin x2dx D. 2xsin x2dx
6.
d(ln x) dx
闭区间上连续函数的性质 （1）最大值和最小值定理 （2）零点定理
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√ × × √
×
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× √ √ √
× √
×
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B A
C
高等数学应用教程 B C
B
高等数学应用教程 B
D A
高等数学应用教程 C D
D
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1. 复合函数 y cos3 (2x 1) 的复合过程为 y u3,u cos v, v 2x 1.
h0
2h
D
）.
A. 3
2
B. 3 2
C. 1
D. 1
5. 若 y x2 ln x ，则 y （ D ）.
A. 2ln2 B. 2ln x 1 C. 2ln x 2 D. 2ln x 3
7. 由方程 sin y xey 0 所确定的曲线在点 (0,0) 处的切线斜
率为（ B ）.
A. 1 B. 1
速度为 D T / d t .
5. 函 数 y x 1 在 点 x 0 处 、 当 x 0.04 时 的 微 分
为 0.02
.
7.
设
y
ecos
x
，则
d2 y dx2
(sin2x-cosx)ecosx
.
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四、课后巩固
作业：
1、课后整理好上课已经讲解的复习题 2. 2、书面作业：p58 复习题 2 的第四大题 1、（1）（3）；2；3；
2. 函数 y 1 图形的水平渐近线为 y 0 ，
x 1
垂直渐近线为 x 1 .
3. 函数 f (x) ln(1 x) arccos x 1 的连续区间是 [4,1) .
3
4.
lim
x0
x2
sin
1 x2
sin 3x x
3
.
5. 设 f (x) ln(x 1) ， g(x) x2 1 ，
一、 基本概念与基本性质
（３）隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导。
（４）对数法求导
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数。 （5）高阶导数
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 其求导方法是对变量进行一阶求导的结果再次求导。
（6）参数方程导数
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一、 基本概念与基本性质
1 x 1
3 3x 2
4x x2 4
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二、综合举例
四、解答题
4、已知下列函数在 x 0处可导，求 a ， b 的值.
e x , f (x)
a bx,
x 0; x 0.
解： f (x) 在 x 0可导 ,所以 f (x) 在 x 0 处一定连续，
则
f
(0)
lim
2
2
y(n) sin( x n )
2
同理可得
(cos x)(n) cos( x n )
2
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二、综合举例
三、填空题
2.曲线 y ln x ex 在 x 1处的切线方程是 y=(1+e).x-1
4. 设 f (x) x(x 1)(x 2)(x 3) , 则 f (2) -2
(x 1)(3x (x2 4)2
2)
解：
ln
y
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1 3
ln
(x
1)(3x (x2 4)
2)
1 [ln(x 3
1)
ln(3x
2)
2
ln( x 2
4)]
1 y
y
1 3
1 x 1
3 3x
2
4x x2
4
y
1 3
y
1 x 1
3 3x
2
4x x2
4
=
1 3
3
(x 1)(3x 2) (x2 4)2
则 f [g(x)] ln(x2 2) ， g[ f ( x)] . ln 2(x 1) 1
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6.
函数当
x
x0 时
f
(x)
极限存在的充要条件是
lim
xx0
f
(x)
lim
xx0
f
(x)
7.
已知
lim
x1
x2
2x x2 1
a
存在，那么
a
3
.
8. 若函数 f (x) a2x3, x ,
lim f (x)
两者的 关系
左右极限 无穷小的比较
无穷小 lim f ( x) 0
极限存在的 充要条件
等价无穷小 及其性质
两个重要 极限
求极限的常用方法
无穷小 的性质
极限的性质
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一、 基本概念与基本性质
函数的极限: （1）函数在某点处的极限 （2）函数当 x 时的极限 （3）单侧极限 （4）极限存在的条件
.
6. 设方程 x2 y2 x y 1 确定的隐函数 y y (x) ，
则 y (y-2x) / (2y-x) .
x r( sin)
8.
摆线参数方程为
y
r(1
cos)
，
则
dy dx
sin φ/ (1-cosφ)
.
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二、综合举例
四、解答题 1、求下列函数的导数
(4)
y
3
连续的充 要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的 运算性质
非初等函数 的连续性
初等函数 的连续性
间断点定义
第一类 第二类
可跳 去跃 间间 断断 点点
无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的性质
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一、 基本概念与基本性质
函数的连续性与间断性 （1）函数连续性定义 （2）单侧连续 （3）区间上连续 （4）间断点 （5）初等函数的连续性
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
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一、 基本概念与基本性质
极限的性质
定理
设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0.
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一、 基本概念与基本性质
2、基本导数公式
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
(sec x) sec xtgx
(a x ) a x ln a
(loga
x )
1 x ln a
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
( x ) x1
3.
(
ln
4
)
1 4
.
（× ）
5. 若 f (x) 在 x0 处不可导，则在 x0 处必不连续. （ × ）
7. 曲线 y f (x) 在点 (x0, f (x0 )) 处有切线，
则 f (x0 ) 一定存在. （ × ）
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二、综合举例
二、单项选择题
3.
已知 f (3) 2 ， lim f (3 h) f (3) （
1、微分的定义
微分与导数的联系公式
2、微分的运算法则 d(u v) du dv d(uv) vdu udv
3、微分形式的不变性
d(Cu) Cdu
d
(u) v
vdu v2
udv
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二、综合举例
复习题 2
一、判断题（正确打“√”，错误打“”）
1. y x 在 x 0 处连续且可导. （ × ）
x0
f
(x)
lim
x0
f (x)
a 1
f (0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
ex 1
lim
1
x x0
f (0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
(1 bx) 1
lim
b
x0
x
f (x) 在 x 0处可导，
则 f(0) f(0), 即b 1
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三、课堂测试
学生课堂练习
1
C. 2
D.
1 2
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二、综合举例
9. 已知y sin x ， 则y(10) （ B ）.
A. sin x B. sin x C. cos x D. cos x
解: y cos x sin( x )
y
cos(
x
) 2
2 sin( x
2
2 )
sin(
x
2
) 2
y cos( x 2 ) sin( x 3 )
lim sin (x) 1 (x)0 (x)
(2)
lim(1 1 )x e
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
lim [1 1 ](x) e
(x) (x)
1
lim [1 (x)](x) e
(x)0
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一、 基本概念与基本性质
无穷小与无穷大
（1）无穷小量的定义 （2）无穷大量的定义 （3）性质与关系 1）有限个无穷小的和仍是无穷小． 2）有界量与无穷小的积仍是无穷小． 3）在自变量的同一变化过程中，如果函数f(x)为无穷大， 则1/f(x)为无穷小；如果f(x)为无穷小且不为零，则1/f(x) 为无穷大．
y lim x0 x
基本公式 几何意义 高阶导数
微分
dy yx
求导法则
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一、 基本概念与基本性质
1．导数的概念及其几何意义 （１）定义
（２）导数的几何意义
函数 y f (x) 在点x0 处的导数 f ( x0 )等于函数
所表示的曲线C 在相应点( x0 , y0 ) 处的切线斜率。
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv,
（4）(u)
v
uv v2
uv
(v
0).
（２）复合函数的求导法则
设 y f (u)，而u ( x)，则复合函数y f [( x)]
的导数为
dy dy du dx du dx
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g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则
lim[cf ( x)] c lim f ( x).
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
高等数学应用教程 两个重要极限
一、 基本概念与基本性质
(1) lim sin x 1 x0 x
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一、 基本概念与基本性质
第1章 小结、习题课
一、基本概念与基本性质 二、综合举例
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一、 基本概念与基本性质
基本初等函数 复合函数 初等函数
函数 的定义
一
般
参
方
数
数
程
方
确
程
学
定
确
的
定
模
隐
的
函
函
型
数
数
函数的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
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一、 基本概念与基本性质
函数主要内容
1．函数的定义
2．反函数、反三角函数
3．函数的简单性质
有界性，奇偶性，单调性与周期性．
4．基本初等函数与初等函数
5．复合函数
6.方程与函数
7.数学模型
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一、 基本概念与基本性质
数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
(cos x) sin x
(cot x) csc2 x
(csc x) csc xctgx
(e x ) e x
(ln x) 1 x
(arccos x) 1 1 x2
(
cot
x)
1
1 x
2
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一、 基本概念与基本性质
3、导数的运算
（１）四则运算法则
设u u( x),v v( x)可导，则
1≤ x 1 在 x 1处连续，则 a 1≤ x 2
5.
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一、 基本概念与基本性质
第2章 小结、习题课
一、概念性质 二、综合举例 三、课堂测试 四、课后巩固
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一、 基本概念与基本性质
关 系
dy dx
y
dy
ydx
y
dy
o(x)
导数定义
5；
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第3章 导数的应用习题课
第 3 章 导数的应用
习题课
高等数学应用教程
（
A ）.
2
2
A. x B. x x
1
C. 2x x
2 D. x
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三、课堂测试
三、填空题
1
设
f
(x)
在
x0
处可导，则
lim
x0
f
(x0
x) x
f (x0 )
-f /(x0) .
3. 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物
体的温度T 与时间t 的函数关系为T T(t) ，则该物体在时刻 t 的冷却
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一、 基本概念与基本性质
(4)无穷小的比较 高阶、低阶、同阶、等价无穷小
(5)等价无穷小替换定理
设 ~ , ~ 且 lim 存在,则 lim lim .
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一、 基本概念与基本性质
连续定义
lim y 0
x 0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
左右连续
复习题2
一、判断题（正确打“√”，错误打“”）
2. 若 f (x) 在 x0 处不连续，则 f (x0 ) 必不存在. （ √ ）
4.
若
f
(x0 ) 存在，则
lim
xx0
f
(x)
存在.
（√
）
6. y f (x) 在 x0 处可导的充要条件是 y f (x)
在 x0 处可微. （ √ ）
8. 偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数. （ √ ）