数学物理方法第05章习题

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数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v vx y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =Q ，,0u x v ∴==。

1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v vx y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v vx y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】 3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

数学物理方法梁昆淼答案

数学物理方法梁昆淼答案【篇一：第五章傅里叶变换数学物理方法梁昆淼】>?t1.函数 f(t)???0?12. 函数 f(t)???03.设(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为f(?)?2sin?/??。

的傅立叶变换像函数，的傅立叶变换像函数为 _______________________ 。

4.?2012?2011excosx??(x??) dx?[sinx??(x??e??。

5. ?12009?6 ?2008) ]dx? 6.?xsinx?(x? ?1?3) dx?。

7. ?xsinx?(x?) dx? ?128.?[(x2?1)tan(sinx)??(x?)] dx? 。

?201038?911??9.?x3 ?(x?3) dx?－27 。

?tf(t)?10.函数 ??0(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)。

(0?t?1)?1?(?1?t?0)的傅里叶变换为。

11. f(t)???1?0(|t|?1)?12. 在(??,?)这个周期上，f(x)?x。

其傅里叶级数展开为?k?1?2sinkx k13.当0?x?2时，f(x)??1；当?2?x?0时，f(x)?1；当|x|?2时，f(x)?0。

则函数的f(x)傅里叶变换为b(?)?2??(1?cos2?)1?14已知函数f(x)的傅里叶变换为f(?)，试证明f(ax)的傅里叶变换为f()。

af[f(ax)]?1?2????f(ax)e?i?xdx【令x?y/a】?1?2????f(y)e?i?aydya【令y?x】?1?f(x) ?i?ax2????aedx?1?af(a)a---(2分) ---(2分) ---(2分) ---(2分) 证明：【篇二：8000份课程课后习题答案与大家分享~~】> 还有很多，可以去课后答案网（/bbs）查找。

zyjd05

ξ
dξ
=
1 T
T2 −T 2
f
( x)dx
=
1 T
T2
Hdx
−T 2
=
1 T
Hτ
∫ ( ) ck
= ...... =
1
T2
−i 2kπ x
He T dx
=
T −T 2
H T
T 2kπ
−i 2kπ
ie T
x
τ 2 −τ2
= H sin kπτ πk T
k ≠0
∑ ∴ f (x) = Hτ + ∞
H
sin
−∞
+
1 2π
∞
e
−iω
0
x
e
−iωx
dx

−∞

ห้องสมุดไป่ตู้
=
1 2
[δ
(ω
−
ω0
)
+
δ
(ω
+
ω
0
)]
故
F
[cos3
x]
=
1 8
[3δ
(ω
−
1)
+
3δ
(ω
+
1)
+
δ
(ω
−
3)
+
δ
(ω
+
3)]
[ ] [ ] 另一种解法
F
cos3
x
= F ( eix
+ e −ix 2
)3

=
1 8
F
ei3x
+ e−i3x
+
w)t
+

数学物理方法习题集

数学物理方法习题集第一章复数与复变函数习题1，计算：（1），1)(1i ---。

（2），iii i 524321-+-+。

（3），5(1)(2)(3)i i i ---。

（4），4(1)i -。

（5），bi a +。

2，求下列复数的实部u 与虚部v ，模r 与幅角θ：（1），ii i i 524321----。

（2），1(2n+, 4,3,2=n 。

（3），i +1。

（4），3)i -。

（5），231i -。

3，设211i z +=，i z -=32，试用三角形表示21z z 及21z z 。

4，若21=+Z z θcos ，证明21=+m m zz θm cos 。

5，求下列复数z 的主幅角z arg ：（1），iz 312+-=。

（2），6)z i =-。

6，用指数形式证明：（1），(1)2i i -+=+。

（2），i ii2125+=+。

（3），7(1)8(1)i i -+=-+。

（4），1011(12(1)--=-。

7，试解方程44(0)z a a +=>。

8，证明：（1），1212Re()Re()Re()z z z z +=+ ；一般1212Re()Re()Re()z z z z ≠。

（2），1212Im()Im()Im()z z z z +=+ ；一般1212Im()Im()Im()z z z z ≠。

（3），2121z z z z = ；一般2121z z z z +≠+。

9，证明：（1），2121z z z z +=±。

（2），2121z z z z ⋅=。

（3），1122(z zz z = （02≠z ）。

（4），121212122Re()2Re()z z z z z z z z +==。

（5），()z z ≤Re ，()z z ≤Im 。

（6），2121212z z z z z z ≤+。

（7），222121212()()z z z z z z -≤+≤+。

数学物理方法第05章习题

第五章习题答案5.1-1一长为l 的均匀细杆，0=x 端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长d 而静止（假定拉长在弹性限度内）。

突然放手使其振动，试写出振动方程与定解条件。

解：振动方程的形式与自由杆的振动方程一样。

()l x u a u xx tt ≤≤=-002ρYa =2初始条件：()()l x x ldx U ≤≤=00,()00,=x U t 边界条件：()0,0=t U ()0,0=t U x （右端自由振动）5.1-2 长为l 的弦两端固定，密度为ρ，开始时在ε<-c x 处受到冲量I 的作用，写出初始条件。

解： ()00,=x U在ε≥-c x 处 ()00,=x U t在ε<-c x 处由动量定理有： []ερερ2)0,(0)0,(2I x U x U I t t =⇒-⋅=即：()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=εερεc x Ic x x U t 200,5.1-3 长为l 的均匀细杆，在振动过程中，0=x 固定，另一端受拉力0F 的作用。

试写出边界条件。

（横截面积S ，杨氏模量Y ）。

解：()0,0=t U220),(tU S S t l P F ∂∂⋅⋅=⋅--ρεε当0→ε时有YSF t l U xU Y S F x lx 00),(=⇒∂∂⋅⋅==5.1-4线密度为ρ，长为l 的弦两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单位长度受阻力tuhF ∂∂-=，试写出其运动方程。

解：如图，取微元x d ，它的两端与x 轴间的夹角分别为21αα、，两端受力分别为()()t x T t x x T ,,d 、+，受力分析如下：x 轴方向：()()0cos ,cos ,d 21=-+ααt x T t x x T21,αα很小，则()()t x T t x x T ,,d =+，即弦上张力不变。

y 轴方向：()()2221d d d sin ,sin ,d tux g x x F t x T t x x T ∂∂⋅⋅=⋅⋅=⋅+-+ρραα略去重力x g d ρ 有：x t uh x xu T t u x d d d 2222⋅∂∂-⋅∂∂⋅=∂∂ρ所以：02222=∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂t u h x u T tu ρρ 设2a T =ρ 有：02=+-t xx tt u hu a u ρ5.1-5一均匀细圆锥杆作纵振动，锥的顶点固定在0=x 处，试导出此杆的振动方程。

高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)

高等数学第四册（第三版）数学物理方法答案（完整版）第一章复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。

解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。

证明：1230;zz ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。

1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。

即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

.17.证明：三角形内角和等于π。

证明：有复数的性质得：3213213arg;arg ;arg ;z z z z z z αβγ---=== 21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。

05傅立叶级数和傅立叶积分变换

l 4l f ( x) x 2 2
所以
1 (2k 1) x cos , x (0, l ) 2 l k 0 (2k 1)

数学物理方法
f (0) f (l ) 0 （ⅰ）奇延拓要求：
f ( x) f 1 ( x) f ( x)
x (0, l ) x (l ,0)
数学物理方法
f ( x) A( ) cos xd B( )sin xd
0 0

可改写为 f ( x)

0
C ( ) cos[ x ( )]d
C(ω)称为 f(x)的振幅谱， φ(ω)称为 f(x)的相位谱。

奇函数的傅立叶积分
f ( x) B( )sin xd
（ⅰ）周期函数f(x)是奇函数
k x f ( x) bk sin l k 1

f ( x ) x 0 f ( x ) x l 0
（ⅱ）若周期函数 f(x)是偶函数
k x f ( x) a0 ak cos l k 1

f ( x) x0 f ( x) xl 0
数学物理方法

狄里希利定理——Fourier级数的收敛性判据*
设 f(x)是周期为2l（ l>0）的函数，即f(x+2l)=f(x)。若f(x)满足狄利克雷条件：
（ⅰ） f(x)连续或在每一周期中只有有限个第一类间断点（间断点处函数的跳跃度为有限值）；（ ⅱ） f(x)每一周期中只有有限个极值点。
f (0) f (l ) 0 （ⅱ）偶延拓要求：
f ( x) f 2 ( x) f ( x)

数学物理方法课后习题答案

数学物理方法课后习题答案数学物理方法课后习题答案数学物理方法是一门综合性的学科，它将数学和物理相结合，为解决物理问题提供了强有力的工具和方法。

在学习这门课程时，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识点的理解和运用，提高解决实际问题的能力。

下面将针对数学物理方法课后习题给出一些答案和解析。

1. 假设有一根长度为L的均匀细杆，质量为M，细杆的一端固定在原点O，另一端可以自由运动。

求细杆的转动惯量和转动轴上的质心位置。

解析：首先，根据细杆的定义，我们可以将细杆看作是一根连续分布的质点链。

设细杆的质心位置为x，将细杆分为两段，一段长为x，质量为m1，另一段长为L-x，质量为m2。

由于细杆是均匀的，所以m1/m2=(L-x)/x。

根据转动惯量的定义，细杆的转动惯量为I=∫r^2dm，其中r为质点到转动轴的距离，dm为质点的质量微元。

对于细杆的转动惯量，可以将细杆看作是一根连续分布的质点链，所以I=∫r^2dm=∫x^2dm1+∫(L-x)^2dm2。

根据质心的定义，细杆的质心位置为x=(m1*x+m2*(L-x))/(m1+m2)。

将m1/m2=(L-x)/x代入，化简得到x=L/2，即细杆的质心位置在中点。

2. 一个质量为m的质点沿着x轴运动，其位置关于时间的函数为x(t)=Acos(ωt+φ)，其中A、ω和φ为常数。

求质点的速度和加速度关于时间的函数。

解析：根据题目中给出的位置函数，可以求出质点的速度和加速度。

首先，速度的定义为v(t)=dx(t)/dt。

对位置函数求导，得到v(t)=-Aωsin(ωt+φ)。

然后，加速度的定义为a(t)=dv(t)/dt。

对速度函数求导，得到a(t)=-Aω^2cos(ωt+φ)。

所以，质点的速度关于时间的函数为v(t)=-Aωsin(ωt+φ)，加速度关于时间的函数为a(t)=-Aω^2cos(ωt+φ)。

3. 一个质点受到一个外力F=mg和一个阻力F=-kv的作用，其中m为质量，g为重力加速度，k为阻力系数。

数学物理方法习题

第一章分离变量法1、求解定解问题：200000000,(01),||0,,(0),|(),(),|0,(0).tt xx x x l t t u a u x u u n h l x x l n u h l l x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪=⎨-≤≤⎪-⎪⎪⎩=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。

[提示：定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),|0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T lu =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩= ] (P-227)3、求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20|()/t u bx l x l ==-。

[定解问题为 220200,()(0),||0,|()/.t xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩] (P-230) 4、求解定解问题2220,0,0220,0.03sin ,0.00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪==⎨==⎪∂⎪===⎪∂=⎩4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。

[提示：定解问题为20000,(0),||0,2|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪==⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩] (P-236) 5、长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。

高中物理数学物理法技巧和方法完整版及练习题

高中物理数学物理法技巧和方法完整版及练习题一、数学物理法1．如图所示，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上．整个空间存在磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场．一电荷量为q (q ＞0)、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ′．球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ(02πθ<<)．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度B 的最小值及小球P相应的速率．(已知重力加速度为g )【答案】min 2cos m g B q R θ=cos gRv θθ=【解析】【分析】【详解】据题意，小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O’．P 受到向下的重力mg 、球面对它沿OP 方向的支持力N 和磁场的洛仑兹力f ＝qvB ①式中v 为小球运动的速率．洛仑兹力f 的方向指向O’．根据牛顿第二定律cos 0N mg θ-= ②2sin sin v f N mR θθ-= ③ 由①②③式得22sin sin 0cos qBR qR v v m θθθ-+=④由于v 是实数，必须满足222sin 4sin ()0cos qBR qR m θθθ∆=-≥ ⑤由此得2cos m gB q R θ≥⑥可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为min 2cos m gB q R θ=⑦此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为min sin 2qB R v m θ=⑧由⑦⑧式得sin cos gRv θθ=⑨2．如图所示，圆心为O 1、半径4cm R =的圆形边界内有垂直纸面方向的匀强磁场B 1，边界上的P 点有一粒子源，能沿纸面同时向磁场内每个方向均匀发射比荷62.510C/kg qm=⨯、速率5110m/s v =⨯的带负电的粒子，忽略粒子间的相互作用及重力。

其中沿竖直方向PO 1的粒子恰能从圆周上的C 点沿水平方向进入板间的匀强电场（忽略边缘效应）。

数学物理方法课后答案

数学物理方法课后答案【篇一：数学物理方法习题】1、求解定解问题：utt?a2uxx?0,(0?x?1),u|x?0?u|x?l?0,l?n0hx,(0?x?),?ln0?（p-223） ?u|t?0??hl(l?x),(?x?l),?ln0?l???n0u|t?0?0,(0?x?l).2、长为l的弦，两端固定，弦中张力为t，在距一端为x0的一点以力f0把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。

[提示：定解问题为 utt?a2uxx?0,(0?x?l),u(0,t)?u(l,t)?0,?f0l?x0x,(0?x?x0), ??tlu(x,0)???f0x0(l?x),(x?x?l),0??tlut|t?0?0.] (p-227)3、求解细杆导热问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布u|t?0?bx(l?x)/l2。

[定解问题为k?22u?au?0,(a?)(0?x?l),xx?tc???] (p-230)u|x?0?u|x?l?0,??u|t?0?bx(l?x)/l2.???4、求解定解问题??2u?2u2??a?0,0?x?l,t?022??t?x?ux?0?0,ux?l?0. ??3?x?u?u ?asin,?0.?t?0l?tt?0?4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l(1?2?)，放手后自由振动，求解杆的这一振动。

[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?ux|x?0?ux|x?l?0,??](p-236) ?2u|?2?(?x),t?0?l?ut|t?0?0.??5、长为l的杆，一端固定，另一端受力f0而伸长，求解杆在放手后的振动。

[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?u|x?0?0,ux|x?l?0,??] (p-238)x?uxf?0?u(x,0)??0dx??0,?xys?ut|t?0?0.??6、长为l的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为v0时突然停止，求解杆的振动。

第05章_傅里叶变换

傅里叶余弦级数
2 l kπ kπx ak f ( )cos d f (x) a0 ak cos k l 0 l l k1
WangChengyou © Shandong University, Weihai
f '(0) 0
f '(l ) 0
数学物理方法
第5章傅里叶变换
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第5章傅里叶变换
17
1 2l kπx ak f ( x)cos dx 2l l 0
2l 1 l kπx kπx x cos dx ( x 2l )cos dx l l 0 2l 2l
10
例1：要求在(-, )上，将f(x)=x2展开为Fourier级数，在本题展开所得结果中置 x=0，由此验证
1 1 1 π 1 2 2 2 2 3 4 12
2
解： f(x)=x2，为偶函数
bk 0
1 3 1 2 a0 d 3π π 0
π
π 0
kπx f ( x) a0 ak cos l k 1
数学物理方法
第5章傅里叶变换
1
第5章傅里叶变换
§5.1 傅里叶级数 §5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 §5.3 函数
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第5章傅里叶变换
2
§5.1 傅里叶级数(Fourier Series) (一) 周期函数的傅里叶展开
WangChengyou © Shandong University, Weihai

《数学物理方法》答案

z 4 + a4 = 0 ( a > 0) 。
4
⎛z⎞ ⎜ ⎟ = −1 ( a > 0 ) 4 4 ; 解:由题意 z = − a ,所以有 ⎝ a ⎠
θ + 2 kπ i ⎛z⎞ z iπ = cos π + sin π = i e = e 4 (k = 0,1, 2,3) ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ;所以 a ;
k = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅
π
+ i 2kπ = ln 2 + i ( + 2kπ ) 4 4
π
3i = eiLn 3 = ei (ln 3+ 2 kπ ) = cos ln 3 + i sin ln 3 e 2+i = e 2 ei = e 2 (cos1 + i sin1) sin z lim =1 z →0 z 22，求证 sin z sin( x + iy ) lim = lim z →∞ x , y →∞ z x + iy 证: z = x + iy (x,y,均为实数)，所以
z = z2 = z3 = 1; 试证明 z1 , z2 , z3 是一 11.设 z1 , z2 , z3 三点适合条件 z1 + z2 + z3 = 0 及 1
个内接于单位圆
z =1 的正三角形的顶点。
∴ z1 = − z2 − z3 ; z2 = − z3 − z1; z3 = − z1 − z2 ; 证明： z1 + z2 + z3 = 0;
∂v ∂u = e x cos y − y sin ye x + x cos ye x = e x ( x cos y − y sin y ) + e x cos y ∂ y ∂x ； ∂u ∂v = −e x ( x sin y + sin y + y cos y ) = e x ( y cos y + x sin y + sin y ) ∂y ； ∂x ∂u ∂v ∂u ∂v = ; =− ∂x 。满足 ∂x ∂y ∂y x, y ) 可微且满足 C − R 条件，故函数在 z 平面上解析。即函数在 z 平面上 (

数学物理方法习题解答（完整版）

数学物理方法习题解答（完整版）数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1ux=?，0v y ?=?，u v x y ??≠??。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ??= =??。

v vx y==0 ??。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y, 在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()0000x x y y u v v u f i i x x y y ===='=+=-= ? ?????????。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z→?→?=?=?'==?=?-?=?。

22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=?→?→?→+?+?+??==+??→。

【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z zz z==??】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ?+++≠?=+，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ?-+≠?=+?+??， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ?++≠?=+?+??。

数学物理方法答案-部分

向安平 2003年9月30日
目录
iii
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