[高中数学]9-2排列(数)组合(数)
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高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识高中数学排列组合公式大全1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n (n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m高中数学排列组合公式记忆口诀加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。
归纳出排列组合，应用问题须转化。
人教A版高中数学选择性必修第三册《排列与组合》知识探究课件
思路 解决本题需要先把实际问题抽象成数学问题,根据对排列与组合定义的理解,辨
别一个简单问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,
若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则就是
组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺
序无关.
! − !
(1)计算, 较大时的组合数.
(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明,特别地,当 >
性质 = − 转化,减少计算量.
时计算 ,用
典型例题
分析计算能力、概括理解能力
典例4
+ + ⋯ +
式子
!
A.
+
解析
可表示为( D )
取元素的个数.(2)解决本题是根据排列数的第二个公式
=
!
,应用排列数
− !
公式的阶乘情势时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算.
典型例题
分析计算能力
典例2 (1)用排列数表示 − ൫ − ሻ ⋯ − ൫ ∈ ∗ 且 < ሻ;
= − .
探究点4 组合数、组合数公式及其性质
1.组合数:从个不同元素中取出 ⩽ 个元素的所有不同组合的个数,
叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号 表示.
2.组合数公式及其性质
(1)公式:连乘表示:
阶乘表示:
=
=
=
=
− − ⋯ −+
元素中进行次不放回地取出.
2.取出的个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无序性是组
高中排列组合计算公式
高中排列组合计算公式高中数学中的排列组合计算公式，那可是相当重要且有趣的一部分内容呢！先来说说排列。
排列就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n, m) 。
计算公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
这里的“!”表示阶乘，比如说 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
给大家举个例子，假设咱们班有 10 个同学，要选 3 个同学去参加比赛，那一共有多少种选法呢？这就是一个简单的排列问题。
按照公式来算，A(10, 3) = 10! / (10 - 3)! = 10 × 9 × 8 = 720 种。
组合呢，组合是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作C(n, m) 。
计算公式是 C(n, m) = n! / [m! × (n - m)!] 。
就说学校要从 10 个社团中选出 3 个社团参加校际交流活动，这时候就该用组合来计算，C(10, 3) = 10! / [3! × (10 - 3)!] = 120 种。
记得我之前监考的时候，发现有个同学在做排列组合的题目时，抓耳挠腮，苦思冥想。
我在旁边看着都替他着急，不过最后他还是算出来了，那股子认真劲儿真是让人欣慰。
在实际生活中，排列组合的应用那可太广泛了。
比如说抽奖，从一堆号码中抽出几个中奖号码，这就是组合。
而如果要考虑号码的顺序，那就是排列。
再比如安排座位，一排有 8 个座位，要安排 5 个人坐下，这又得考虑排列。
还有分东西，把10 个苹果分给3 个小朋友，每个小朋友至少一个，这也是组合问题。
总之，排列组合的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习，多思考，就一定能掌握好。
就像咱们解决生活中的其他难题一样，只要用心，没有什么是做不到的。
大家在学习排列组合的时候，一定要多做练习题，熟悉各种题型，这样才能在考试中应对自如。
【高中数学】组合数课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
43
∙
33
34
3
，所以4，
= 3
3
同样地，求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数A mn ”，可以看作
由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 C m
种不同的取法；
n
m
A
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 m 种不同的排法.
abc bac cab acb
bca cba
abd
abd bad dab adb
bda dba
acd
acd cad dac adc
cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc
cdb dcb
系了吗？
探究新知
组合
排列
abc
abc bac cab acb bca cba
abd
abd bad dab adb bda dba
3 21 21
8 7 6
5 4
3
2
(4) 3C8 2C5 3
2
168 20 148 .
3 21
21
2
6
课本P25
m 1 m 1
2. 求证：C
C n 1 .
n1
m
n
m 1 m 1 m 1
( n 1)!
m 1
( n 1) n !
解：（1）C42 = 6；（2）C43 = 4；（3）C53 = 10；
（4）C54 = 5；（5）C64 = 15
追问：观察练习1的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明
和解释你的猜想？
C42 + C43 = C53
(新)高中数学排列组合公式排列组合计算公式(供参考)
排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
2021_2022学年新教材高中数学第3章排列组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.3第1课时组合
3.1.3 组合与组合数第1课时组合与组合数学习任务核心素养1．理解组合与组合数的概念．(重点)2．会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点) 3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)1．通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养．2．借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的素养．高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，如果考生任选3科作为自己的考试科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况？问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又分别有几种？[提示]这几个问题都与顺序无关，学完本节内容便能顺利求解．一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m 个对象的一个组合．提醒：(1)所谓并成一组是指与顺序无关，例如组合a，b与组合b，a是同一组合，可以把一个组合看成一个集合．(2)组合概念的两个要点：①n个对象是不同的；②“只取不排”，即取出的m个对象组成的组合与取出对象的先后顺序无关，无序性是组合的特征性质．(3)如果两个组合中的对象完全相同，那么不管对象的顺序如何，它们都是相同的组合．如果两个组合中的对象不完全相同(即使只有一个对象不同)，那么它们就是不同的组合．拓展：排列与组合的异同排列组合相同点从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象不同点按照一定的顺序排成一列不管顺序地并成一组1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．()(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23．()(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．()(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√知识点2组合数的概念、公式定义从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数表示C m n(n，m∈N＋且m≤n)组合数公式乘积式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)·(n－2)…(n－m＋1)m！阶乘式C m n＝n！m！(n－m)！“组合”与“组合数”是同一个概念吗？[提示]同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念．例如，从3个不同对象a，b，c中每次取出2个对象的所有组合为ab，ac，bc，共3种，其中每一种情况都是一个组合，而组合数是3．拓展：(1)组合数公式C m n＝n(n－1)…[n－(m－1)]m×(m－1)×…×2×1的形式特点：①分子是m个数相乘，且第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1；②分母是m的阶乘．(2)组合数公式C m n＝A m nA m m体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．(3)组合数公式C m n ＝n ！(n －m )！m ！的主要作用有：①用于计算m ，n 较大时的组合数；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．2．C 218＝________，C 1718＝________．153 18[C 218＝18×172＝153， C 1718＝18！17！(18－17)！＝18．]3．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________．6[从四个数中任取两个数的取法为C 24＝6．]类型1 组合的概念【例1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？[思路点拨]要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关． [解](1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别． (2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表有顺序的区别．1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[跟进训练]1．(对接教材P 22练习AT 2)从5个不同的元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，写出所有不同的组合．[解]要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ． 类型2 组合数公式的应用【例2】 (1)式子n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！可表示为( )A ．A 100n ＋100B ．C 100n ＋100 C ．101C 100n ＋100D ．101C 101n ＋100(2)求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1．[思路点拨] 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．(1)D [分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ，故n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！＝101·n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)101！＝101C 101n ＋100．] (2)[解] 由组合数定义知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1，所以4≤n ≤5，又因为n ∈N ＋， 所以n ＝4或5．当n ＝4时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 14＋C 55＝5；当n ＝5时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 05＋C 46＝16．关于组合数计算公式的选取1．涉及具体数字的可以直接用公式C mn ＝A m n A m m＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．2．涉及字母的可以用阶乘式C m n ＝n ！m ！(n －m )！计算．[跟进训练]2．(1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)求证：C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1． [解] (1)C 410－C 37·A 33＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0．(2)证明：右边＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n ＝左边．即等式成立．类型3 简单的组合问题解答简单组合问题的关键是什么？[提示] 关键是把实际问题模型化，在此基础上选择组合数公式求解.【例3】 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝15×6＝90(种)．(变结论)本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？[解]至少有1名男教师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．最多有1名男教师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．解简单的组合应用题的策略1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．[跟进训练]3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“━━”和阴爻“━━”，如图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成________种重卦．(用数字作答)15[由题设知，“重卦”的种数为C26＝15．]1．下列四个问题属于组合问题的是()A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C．从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员C [A 、B 、D 项均为排列问题，只有C 项是组合问题．] 2．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( )A ．8B ．5或6C ．3或4D ．4 A [A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，所以n (n －1)(n －2)＝12×12n (n －1)．由n ∈N ＋，且n ≥3，解得n ＝8．]3．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为( )A ．C 17C 15C 210 B ．C 17C 15A 210C ．C 412－C 47－C 45D ．C 17C 15(C 26＋C 14C 16＋C 24)C [任选4人的方法数为C 412，减去其中全部为男生或全部为女生的方法数C 47＋C 45，故选法总数应为C 412－C 47－C 45．]4．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同的选法． 84[由题意可知共有C 39＝9×8×73×2×1＝84种．]5．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．15[每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C 26＝15次．]回顾本节内容，自我完成以下问题： 试比较排列与组合的区别与联系． [提示] 名称 排列组合相同点 都是从n 个不同元素中取m (m ≤n )个元素，元素无重复名称排列组合不同点1．排列与顺序有关；2．两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同1．组合与顺序无关；2．两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同联系 A m n ＝C m n A mm。
2019版数学一轮高中全程复习方略课件：第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布9-2
解析：(1)由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 1 2 2 人各完成 1 项工作，可得安排方式为 C3· C4· A2＝36(种)，或列式 4×3 1 2 1 为 C3· C4· C2＝3× 2 ×2＝36(种)． 故选 D. (2)①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数 3 1 4 为 C5· C4· A4＝960. ②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为 A4 5 ＝120. 故符合题意的四位数一共有 960＋120＝1 080(个)．
从12人中选出512种选法从除去男生甲和女生乙外的10人中任选310种选法所以男生甲和女生乙不能同时入选的选法有c1067212017新课标全国卷安排3名志愿者完成4工作每人至少完成1项每项工作由1人完成则不同的安排方式共有22017天津卷用数字123456789组成没有重复数字且至多有一个数字是偶数的四位数这样的四位数一共有个
(3)组合数公式 m n！ A n nn－1n－2„n－m＋1 m Cn ＝⑨Am＝ ＝ . m！ m！n－m！ m (4)组合数的性质 m n －m 性质 1：Cn ＝ Cn . m m －1 m 性质 2：Cn＋1＝Cn ＋Cn (m≤n，n∈N*，m∈N*)．
二、必明 3●个易误点 1．要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重 复计数． 2．解受条件限制的组合题，通常有直接法(合理分类)和间 接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现遗漏或重复． 3．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好” 等词的含义．
5．(2017· 浙江卷)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人， 副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少 有 1 名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
高中数学排列组合
高中数学排列组合一、基本概念排列组合是数学中比较重要的一个分支，它是研究对象按照一定的规则，从有限个数中选出若干个数进行排列和组合的方法和样式。
1、排列排列是由一些元素按照一定顺序排列而成的整体。
排列是从n个不同元素中取出m个元素按一定顺序排列的方法数，用符号$A^m_n$表示。
例如：n个不同的元素依次排成m列，第一列有n种取法，第二列有(n-1)种取法，第三列有(n-2)种取法，依此类推，第m列有(n-m+1)种取法，则这n个元素排成m列有式子：$$ A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1) $$2、组合组合是由一些元素按照任意排列组成的新整体。
组合是从n个不同元素中取出m个元素的不同组合数，用符号$C^m_n$表示。
例如：从4个球员中选出3人组成篮球队，有如下四种选法：$$ ABC,ABD,ACD,BCD $$将三个球员组成的篮球队作为一个整体，不考虑其顺序，则这4种选法仅算一种，所以这四种球员的组合方式有：$$ C_4^3=4 $$二、排列按顺序选择元素的方式叫做排列。
排列的计算方法是：从n个元素中取m个元素进行排列的方法有：$$ A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1) $$特别地，当m=n时，有：$$ A_n^n=n! $$其中，n!表示n的阶乘，$n!=n(n-1)(n-2)...1$。
例1：从一组大小为6的数字中，任取4个数进行排列，求排列个数。
设全集为{1,2,3,4,5,6}，任取其中4个元素进行排列。
$$ A_6^4=6\times 5\times 4\times 3=360 $$例2：一共有5位弟子，要从其中选出3位去参加武术比赛，求有多少种不同的组合方式。
设全集为{A,B,C,D,E}，要从其中任选3个弟子参加武术比赛。
$$ C_5^3=10 $$三、组合组合是指从一组元素中任选m个元素，并将其看作一个整体。
组合的计算方法是：从n个元素中取m个元素进行组合的方法有：$$ C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m!} $$特别地，当m=n时，有：$$ C_n^n=\frac{n!}{n!}=1 $$如果m>n，则组合数为0。
组合、组合数 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为C23，从4个不同元素中取出3
个元素的组合数表示为C34.
探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数A
来求组合数C 呢？
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段
作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
AB，AC，AD，BC，BD，CD.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起
例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
用能力和分析问题、解决问题的能力.
核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
新知学习
探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
从6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同
第六章
6.2
排列与组合
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
学习目标
1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用
组合数的性质化简、计算、证明.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第3章 排列、组合与二项式定理 第2课时 组合数的应用
基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标
课程标准
1.学会运用组合的概念,分析简单的实际问题. 2.能够运用排列、组合知识解决相关问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点 应用组合知识解决实际问题的基本步骤 1.判断:判断实际问题是不是组合问题. 2.方法:选择利用直接法还是间接法解题. 3.计算:利用组合数公式结合两个计数原理解题. 4.结论:根据计算结果写出方案个数. 名师点睛 有限制条件的组合问题的求解策略 (1)解答有限制条件的组合问题的基本方法是直接法和间接法(排除法).若 用直接法求解,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则.用间接法求解的原则 是“正难则反”. (2)在具体计算组合数时,要注意灵活选择组合数的公式及性质.
规律方法 常见的有限制条件的组合问题及解题方法 1.特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素 的多少作为分类依据. 2.含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以以 此作为分类依据,或采用间接法求解. 3.分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类 表达,逐类求解.
12345
2.某省高考改革后实施选科走班制度,小明需要从物理、化学、生物、思
想政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合,物理和历史不同时
选择,则小明不同的选科情况有( B )
A.14种
B.16种
C.18种
D.20种
解析 由题意,从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理中选择三科作
为自己的选科组合,且物理和历史不能同时选择,可分为三类:(1)若物理和历
有C43
C11A22
+
C
高中数学公式排列组合
高中数学公式排列组合排列组合是组合学最基本的概念。
你都掌握排列组合的公式了吗?下面店铺给你分享高中数学公式排列组合，欢迎阅读。
高中数学公式排列组合高中数学排列组合习题1.(2010•山东潍坊)6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )A.40B.50C.60D.70[答案] B[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C26=15种不同的分法;两组各3人共有C36A22=10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2=50，故选B.2.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种[答案] C[解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24=72种排法，故选C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A.6个B.9个C.18个D.36个[答案] C[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13=3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23=6(种)排法，所以共有3×6=18(种)情况，即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人[答案] A[解析] 设男生有n人，则女生有(8-n)人，由题意可得C2nC18-n=30，解得n=5或n=6，代入验证，可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )A.45种B.36种C.28种D.25种[答案] C[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28=28种走法.6.某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )A.24种B.36种C.38种D.108种[答案] B[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).7.组合数Crn(n>r≥1，n，r∈Z)恒等于( )A.r+1n+1Cr-1n-1B.(n+1)(r+1)Cr-1n-1C.nrCr-1n-1D.nrCr-1n-1[答案] D[解析] ∵Crn=n!r!×(n-r)!=n×(n-1)!r×(r-1)!×[(n-1)-(r-1)]!=nrCr-1n-1，故选D.8.已知集合A={5}，B={1,2}，C={1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A.33B.34C.35D.36[答案] A[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12•A33=12个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12•A33+A33=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个，故选A.9.(2010•四川理，10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A.72B.96C.108D.144[答案] C[解析] 分两类：若1与3相邻，有A22•C13A22A23=72(个)，若1与3不相邻有A33•A33=36(个)故共有72+36=108个.10.(2010•北京模拟)如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )A.50种B.60种C.120种D.210种[答案] C[解析] 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16•A25=120种，故选C.。
高二排列组合基本知识点
高二排列组合基本知识点在高中数学中，排列组合是一个重要的知识点，它是数学中的一种计数方法。
在解决真实生活问题或者数学题目时，我们经常会遇到需要使用排列组合知识点的情况。
下面，我们将详细介绍高二阶段学习的排列组合的基本知识点。
一、排列的基本概念排列是从给定的元素中取出若干个，按一定顺序排列成一列的方式。
在排列过程中，每个元素只能使用一次。
我们用P表示排列的个数，P后面的数字表示从中选取元素的个数。
1. 从n个不同元素中取出m个元素进行排列，形成的排列数用P(n, m)表示。
其中n和m均为非负整数，且m必须小于等于n。
排列数的计算公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!2. 当m = n 时，即从n个不同元素中取出所有元素进行排列，此时的排列数用P(n)表示，即全排列。
全排列的计算公式为：P(n) = n!二、组合的基本概念组合是从给定的元素中取出若干个，不考虑顺序地合成一组的方式。
在组合过程中，每个元素只能使用一次。
我们用C表示组合的个数，C后面的数字表示从中选取元素的个数。
1. 从n个不同元素中取出m个元素进行组合，形成的组合数用C(n, m)表示。
组合数的计算公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)2. 当m = n 时，即从n个不同元素中取出所有元素进行组合，此时的组合数用C(n)表示，即全组合。
全组合的计算公式为：C(n) = C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n-1) + C(n, n)三、排列组合的应用排列组合在实际生活和数学问题中的应用非常广泛。
下面以几个典型的应用例子来说明：1. 生日问题假设有n个人，问至少有两人生日相同的概率是多少？这个问题可以通过排列组合的方式求解。
我们首先求出总的可能性，即将n个人的生日安排在365天中的任意一天，所以总的可能性为365^n。
然后，我们计算没有两人生日相同的情况数。
假设第一个人的生日可以任意选择，那么第二个人的生日不能与第一个人同一天，所以有365-1=364种选择，同理可推第三个人有365-2=363种选择，以此类推，得到没有两人生日相同的情况总数为365*364*363*...*(365-n+1)。
高中数学 排列组合
高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．§10. 排列组合二项定理 知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ⑪对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑫相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑬排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑭排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m nmn m nmm mn mn mAA CA A A11--=m n m n nA A 规定10==nn n C C2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n.三、组合. 1. ⑪组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑫组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n AA C mn m mm n mn-=+--==⑬两个公式：①;mn n mn CC -= ②m n m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ） ②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有Cm n种，依分类原理有mn m n m n C C C11+-=+.⑭排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑮①几个常用组合数公式nnn n n n C C C 221=+++1111112115314211112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n kn k n kn m n m mn m mm mm mn n n n n n n n Cn C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n（利用!1)!1(1!1n n n n --=-）ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用mn m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C .vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22122211)()()(nn n n n nn n n n n nn nn n C C C C C CC CC C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边n nC2=四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-.②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n mn A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有mm nnA A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）mm nn A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k kn nn nk n knACCC)1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （!2/102022818C C C P=）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mm mm n mn m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用na a a ,...,21中i a 等于1+ix ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？ 固定在某一位置上：11--m n A；不在某一位置上：11---m n mn AA 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
高中数学中的组合与排列
高中数学中的组合与排列组合与排列是高中数学中重要的概念和技巧，也是数学问题求解中常用的方法之一。
在概率论、统计学、数论等领域中，组合与排列的应用广泛，为解决实际问题提供了有效的工具。
本文将介绍组合与排列的概念、性质和应用，并结合例子说明其在高中数学中的重要性。
一、组合与排列的概念组合与排列是数学中描述对象排列方式的方法，可以看作是选择与安排的过程。
组合指从n个对象中选择r个对象的方式数，排列指从n个对象中按照一定顺序选取r个对象的方式数。
对于给定的n个对象中选取r个对象，组合的方式数用C(n,r)表示，计算公式为C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中，n!表示n的阶乘。
对于给定的n个对象中按照一定顺序选取r个对象，排列的方式数用P(n,r)表示，计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!。
二、组合与排列的性质1. 对于给定的n个对象，C(n,0) = C(n,n) = 1，表示选择0个对象或选择全部对象都只有1种方式。
2. 组合数满足C(n,r) = C(n,n-r)，即从n个对象中选取r个对象的方式数和选取剩下的n-r个对象的方式数相等。
3. 排列数满足P(n,n) = n!，表示从n个对象中按顺序选取n个对象的方式只有n!种。
4. 组合数满足性质C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1)，即从n个对象中选取r个对象的方式数等于从n-1个对象中选取r个对象的方式数加上从n-1个对象中选取r-1个对象的方式数。
5. 排列数满足性质P(n,r) = n * P(n-1,r-1)，即从n个对象中按顺序选取r个对象的方式数等于n乘以从n-1个对象中按顺序选取r-1个对象的方式数。
三、组合与排列的应用1. 概率论中的组合与排列：在计算事件发生概率时，需要计算某个事件发生的有利结果数目。
这时可以利用组合与排列的方法，求出有利结果的个数，再除以总的可能结果数目，即可得到事件发生的概率。
高中数学排列组合计算技巧
高中数学排列组合计算技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念，它涉及到很多实际问题的计算。
掌握排列组合的计算技巧对于解题非常有帮助。
本文将介绍一些常见的排列组合计算技巧，并通过具体的题目来说明其考点和解题方法。
一、排列计算技巧排列是指从一组元素中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列的方式。
在排列计算中，有两种常见的情况：全排列和部分排列。
1. 全排列全排列是指从一组元素中取出所有的元素按照一定的顺序进行排列的方式。
在全排列中，元素的顺序非常重要，每个元素都会占据一个位置。
例如，有4个元素A、B、C、D，要求从中取出3个元素进行全排列。
根据排列的定义，第一个位置可以有4种选择，第二个位置可以有3种选择，第三个位置可以有2种选择，因此总的全排列数为4×3×2=24。
在解决全排列问题时，可以使用乘法原理来计算。
即每个位置的选择数相乘即可得到总的全排列数。
2. 部分排列部分排列是指从一组元素中取出一部分元素按照一定的顺序进行排列的方式。
在部分排列中，元素的顺序同样重要，但不是每个元素都会占据一个位置。
例如，有4个元素A、B、C、D，要求从中取出2个元素进行部分排列。
根据排列的定义，第一个位置可以有4种选择，第二个位置可以有3种选择，因此总的部分排列数为4×3=12。
在解决部分排列问题时，可以使用乘法原理来计算。
即每个位置的选择数相乘即可得到总的部分排列数。
二、组合计算技巧组合是指从一组元素中取出若干个元素进行组合的方式。
在组合计算中，元素的顺序不重要，只关注元素的选择。
1. 组合的计算公式在组合计算中，有一个重要的公式可以用来计算组合数。
组合数表示从n个元素中取出r个元素进行组合的方式的总数，记作C(n, r)。
组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! × (n-r)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳(解析版)
排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数．用符号“A m n ”表示A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)A n n ＝n ！；(2)0！＝1C m n ＝A m nm ！组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号“C m n ”表示C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)C n n ＝C 0n ＝1；(2)C m n ＝C n －m n ；(3)C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳（解析版）【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30B．36C．60D．722.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．483.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7【变式演练】1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A．420B．600C．720D．7802.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种3.如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）:【典例分析】如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【变式演练】1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．352.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．3.用五种不同颜色给三棱台ABC DEF的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.【题型四】书架插书模型【典例分析】有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．168B．260C．840D．560【变式演练】A aB bC cD d1.从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按(),(),(),()先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）2.．在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法3.书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（）.A．210种B．252种C．504种D．505种【题型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同【典例分析】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（）A．150B．240C．390D．1440【变式演练】1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种B．90种C．180种D．270种2.将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为A．17B．16C．625D．7243.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（）A．15B．30C．20D．42【题型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同【典例分析】把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子中至少有i 个球（1,2,...,10i ），则不同放法的总数是A ．101940C B ．91940C C ．101949C D ．91949C 【变式演练】1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A ．22B ．25C ．20D ．482.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个球，③④号盒每盒至少4个球，共有种方法.A ．39C B ．319C C ．3494C AD ．143205C C 3.将7个相同的小球放入A ，B ，C 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的放法．A ．60种B ．36种C ．30种D ．15种【题型七】相同元素排列模型1：数字化法【典例分析】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓才加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9【变式演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？A ．5B ．25C ．55D ．752.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种3.如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点A 到B ，乙从点C 到D ，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（）.A ．37B ．57C ．514D ．1321【题型八】相同元素排列模型2：空车位停车等【典例分析】1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．240B．360C．480D．7202.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【变式演练】1.某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是A．48B．54C．72D．842.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.3.地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有________种.【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等【典例分析】欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A．34种B．55种C．89种D．144种【变式演练】1.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：()11f =，()21f =，()()()()122,f n f n f n n n N *=-+-≥∈.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A ．377B ．610C ．987D ．15972.从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步走完，则从一楼到二楼共有走法．A ．12B ．8C ．70D ．663.某人从上一层到二层需跨10级台阶.他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步.从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶.则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.A ．6B ．8C ．10D ．122010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题【题型十】多事件限制重叠型【典例分析】班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为A ．217B ．316C ．326D ．328【变式演练】1.某同学计划用他姓名的首字母,T X ，身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号,,αβθ设置一个六位的密码．若,T X 必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（）A ．864B ．1009C ．1225D ．14412.2019年11月19日至20日，北京师范大学出版集团携手北师大版数学教材编写组在广东省珠海市联合举办了以“新课程，我们都是追梦人”为主题的北师大版中小学数学教材交流研讨会，会议期间举办了一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（）A ．1860B ．1320C ．1140D ．10203.有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．（用数字作答）【题型十一】多重限制分类讨论【典例分析】高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图1），她准备每次走1级或2级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图2）原来在13级处有一宽度达1.5米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的15级()123+楼梯按分2段的走法与原来一次性走15级的走法相比较少了______种．【变式演练】1.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排),现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.（用数字作答）2.2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有()种．A ．120B ．156C ．188D ．2403.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》．《星火》的票价为50元/人，每人限购一张票．甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞．他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态．（）A ．720B ．360C ．180D ．90【题型十二】综合应用【典例分析】设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti 分钟，假设Ti 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A ．从Ti 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从Ti 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近Ti 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变【变式演练】1.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）A ．120B ．112C ．110D ．162.设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（）A ．32B ．56C ．72D ．843.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）A．34B．23C．56D．12【经典题专练】1.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．472.将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是A．540B．480C．420D．3603.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（）A．512B．712C．914D．5144.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2263C A B ．2666C A C ．2266C AD ．2265C A 5.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A ．90B ．135C ．270D ．3606.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（）A ．28B ．24C ．18D ．167.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为A ．16B ．18C ．32D ．728.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）9.如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（）A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有64种C ．甲､乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲､乙两人相遇的概率为1210.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.11.2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P ，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P ，则满足123P P P <<的分配方案的概率为（）A ．13B ．23C ．120D ．3412.如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A ．24种B ．20种C ．16种D ．12种13.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A C C ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +14.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示.（如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A ．87B ．95C ．100D ．10315.如图为33⨯的网格图，甲、乙两人均从A 出发去B 地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M、 的值为（）N，则M NA．10B．14C．15D．16排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“A m n”表示A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)A n n＝n！；(2)0！＝1C m n＝A m nm！组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“C m n”表示C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)C n n＝C0n＝1；(2)C m n＝C n－m n；(3)C m n＋1＝C m n＋C m－1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，2242 3245 C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
高中数学如何利用组合数求解排列组合问题
高中数学如何利用组合数求解排列组合问题在高中数学中，排列组合问题是一个常见且重要的考点。
排列组合问题涉及到对一组元素进行选择和排列的方式，而组合数则是解决这类问题的重要工具之一。
本文将介绍如何利用组合数求解排列组合问题，并通过具体的例题进行说明。
一、排列组合问题的基本概念排列和组合是数学中的两个重要概念。
排列指的是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列，而组合则是从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序。
排列和组合的计算公式如下：排列：P(n, k) = n! / (n-k)!组合：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)其中，n代表元素的总个数，k代表选取的元素个数，n!表示n的阶乘。
二、利用组合数求解排列组合问题的步骤1. 确定问题的要求：明确题目中要求的是排列还是组合，以及选取元素的个数。
2. 确定元素的总个数和选取的元素个数：根据题目中给出的条件，确定元素的总个数和选取的元素个数。
3. 计算组合数：根据组合数的计算公式，计算出对应的组合数。
4. 根据题目要求进行计算：根据题目中给出的条件，利用组合数进行计算，得出最终结果。
下面通过具体的例题来说明如何利用组合数求解排列组合问题。
例题1：从1、2、3、4、5五个数字中选取3个数字，能够组成多少个不重复的三位数？解析：这是一个组合问题，要求选取3个数字组成三位数。
根据步骤，我们可以得到元素的总个数n=5，选取的元素个数k=3。
根据组合数的计算公式，可以得到C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10。
所以能够组成10个不重复的三位数。
例题2：某班有10个学生，其中3个学生被选为班长、4个学生被选为副班长，剩下的学生不担任任何职务。
问有多少种不同的选举结果？解析：这是一个排列问题，要求选取3个学生作为班长，4个学生作为副班长。
根据步骤，我们可以得到元素的总个数n=10，选取的元素个数k=3+4=7。
根据排列数的计算公式，可以得到P(10, 7) = 10! / (10-7)! = 60480。
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课题：___排列（数）组合（数）___
教学任务
教学过程设计
!m
=
!n
2
6x p-
排列（数）组合（数）
一、选择：
1、)3(!
3!
>=
n n A ,则A 是 （ ）
A 、C 33
B 、
C 3
-n n C 、3n p D 、3n n p - 2、578
1n n n C C C +-=,则n 等于
（ ）
A 、12
B 、13
C 、14
D 、15
3、315353433C C C C ++++ 等于：
（ ）
A 、415C
B 、416
C C 、317C
D 、4
17C
4、信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能打出不同的信号有（ ）
A ．3种
B ．6种
C ．1种
D ．27种
5、,k N +∈且40,k ≤则
用排列数符号表示为（ ）
A ．5079k k P --
B ．2979k P -
C ．3079k P -
D ．30
50k P -
二、填空：
6、计算下列各题：
(1)5052C = .（2）222
2234100C C C C ++++= .
（3）x x
C C 64<的解集是 （4）333x xp p <解集是 （5）已知46
24n n p C ≥的解集是 .
三、解答 7、化简
!
)2(1
!351!241!131n n ++
+⋅+⋅+⋅ 答：
8、⑴6本不同的书全部送给5人,有多少种不同的送书方法？
⑵5本不同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？ ⑶5本相同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？ 答： 9、（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分法？ 答：．
（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议,要求至少有2名男生和1名女生参加,有多少种选法？ 答：
10、1）在所有的三位数中,各位数字从高到低顺次减小的数共有几个？ 答： 2）一个火车站有8股岔道,停放4列不同的火车,有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？ 答：
11、从编号为1,2,3,…,10,11的共11个球中,取出5个球,使得这5个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法？。