高中数学学案：矩阵的简单应用

高中数学学案:矩阵的简单应用

基础诊断

1. 设数列{a n },{b n }满足a n ＋1＝3a n ＋2b n ,b n ＋1＝2b n ,且满足⎣⎢

⎡⎦⎥⎤a n ＋2b n ＋2＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤

a n

b n ,则二阶矩阵M ＝________．

2. 设某校午餐有A,B 两种便当选择,经统计数据显示,今天订A 便当的人,第二天再订A 便当的概率是35；今天订B 便当的人,第二天再订B 便当的概率为4

5,已知星期一有40%的同学订了A 便当,60%的同学订了B 便当,则星期四时订A 便当同学的概率是多少？

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考向

例1 自然界生物群的成长受到多种条件因素的影响,比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等．因此,它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系．但是,如果没有任何限制,种群也会泛滥成灾．现假设两个互相影响的种群X,Y 随

时间段变化的数量分别为{a n },{b n },有关系式⎩⎨⎧a n ＋1＝a n ＋2b n ，

b n ＋1＝3a n ＋2b n ，其中a 1＝6,b 1＝4,试分析20个时

段后,这两个种群的数量变化趋势．

已知矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1102,β＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

31. (1) 求出矩阵M 的特征值和特征向量； (2) 计算M 4β,M 10β,M 100β；

(3) 从第(2)小题的计算中,你发现了什么？

考向

例2 某同学做了一个数字信号模拟传送器,经过10个环节,把由数字0,1构成的数字信号由发生端传到接收端．已知每一个环节会把1错转为0的概率为0.3,把0错转为1的概率为0.2,若发出的数字信号中共有10 000个1,5 000个0.问:

(1) 从第1个环节转出的信号中0,1各有多少个？

(2) 最终接收端收到的信号中0,1个数各是多少？(精确到十位)

(3) 该同学为了完善自己的仪器,决定在接收端前加一个修正器,把得到的1和0分别以一定的概率转换为0和1,则概率分别等于多少时,才能在理论上保证最终接收到的0和1的个数与发出的信号相同．

学校餐厅每天供应1 000名学生用餐,每星期一有A,B 两种菜可供选择,调查资料表明,凡是在本周星期一选A 菜的,下周星期一会有20%改选B 菜,而选B 菜的,下周星期一会有30%改选A 菜,若用A n ,B n 分别表示在第n 个星期一选A,B 菜的人数．

(1) 若⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤A n ＋1B n ＋1＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤

A n

B n ,请写出二阶矩阵M ； (2) 若第一周有300人选择A 菜,700人选择B 菜,试判断其变换趋势．

自测反馈

1. 已知矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1221,β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

17,计算M 6β.

2. 已知矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤12－14,向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

53,计算A 5α.

1. 对于二阶矩阵A ,它的特征值分别为λ1,λ2,其对应的特征向量分别为α1,α2,若当非零向量β＝m α1＋n α1,则A k β＝______________．

2. 求A n β的一般步骤为:

第一步:求矩阵A 的特征值λ和相应的特征向量α；

第二步:把向量β用特征向量α线性表示,即________________；第三步:由公式A nβ＝____________________计算．

3. 你还有哪些体悟,写下来:

第13课 矩阵的简单应用

基础诊断

1. ⎣⎢

⎡⎦⎥⎤91004 解析:由题设得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ,设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

3202,则M ＝A 2,所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

91004. 2. 解析:设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤3515

25

45,则M 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2535＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤47

12539

125

78

12586125⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2535＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤211

625414625,故星期四时订A 便当同学的概率是211

625.

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例1 解析:令β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤64,M ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1232,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝M ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

a n

b n , 由此可求得矩阵M 的特征值λ1＝4,λ2＝－1,分别对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

23,α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.

假设β＝m α1＋n α2(m ,n ∈R ),解得m ＝n ＝2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21b 21＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 20b 20＝M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 19b 19＝…＝M 20⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

a 1

b 1. M 20⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤

a 1

b 1＝M 20β＝M 20(2α1＋2α2)＝2M 20α1＋2M 20α2,

即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21b 21＝2×420⎣⎢⎡⎦⎥⎤

23＋2×(－1)20⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤242＋23×241－2. 因此,20个时段后,种群X ,Y 的数量分别约为242＋2和3×241－2.

解析:(1) 矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

λ－1－10λ－2＝(λ－1)(λ－2),