倾斜角与斜率-PPT课件
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直线的倾斜角、斜率及直线的方程ppt
通过斜率可以判断直线的倾斜方向，进而确定直线的位置和 走势。
点斜式方程的局限性
点斜式方程只适用于已知一点和 斜率的直线，对于其他情况需要
使用其他形式的直线方程。
当直线与x轴垂直时，斜率不存 在，点斜式方程不适用。
在实际应用中，需要根据具体情 况选择合适的直线方程形式。
05 直线的两点式方程与斜率 的关系
点斜式方程
01
点斜式方程是直线方程的一种形 式，它表示通过一个固定点(x1, y1)和斜率m的直线。
02
点斜式方程可以用来求解直线的 方程，特别是当已知直线上的一 点和斜率时。
两点式方程
两点式方程是直线方程的另一种形式， 它表示通过两点(x1, y1)和(x2, y2)的 直线。
两点式方程也可以用来验证两点是否 在同一直线上。
整理得到$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$m$为直线斜率。
因此，点斜式方程为$y - y_1 = m(x - x_1)$，它是通过直线上两点坐标推导出来的。
斜率在点斜式方程中的应用
斜率$m$表示直线在坐标系上的倾斜程度，当$m > 0$时， 直线从左下到右上倾斜；当$m < 0$时，直线从左上到右下 倾斜；当$m = 0$时，直线与x轴平行。
两点式方程仅适用于已知两点坐标的情 况，对于其他情况可能不适用。
当两点坐标相同时，即直线过一个点时， 另外，当直线与坐标轴平行或重合时，
两点式方程将失去意义。
斜率不存在，此时两点式方程也无法表
示直线。
06 直线的方程在实际问题中 的应用
利用直线方程解决几何问题
确定两点间的直线方程
已知两点坐标，利用直线方程求解直线方程。
推导过程中，利用了直线上两点间斜率相等的性质，即斜率是固定的值。
点斜式方程的局限性
点斜式方程只适用于已知一点和 斜率的直线，对于其他情况需要
使用其他形式的直线方程。
当直线与x轴垂直时，斜率不存 在，点斜式方程不适用。
在实际应用中，需要根据具体情 况选择合适的直线方程形式。
05 直线的两点式方程与斜率 的关系
点斜式方程
01
点斜式方程是直线方程的一种形 式，它表示通过一个固定点(x1, y1)和斜率m的直线。
02
点斜式方程可以用来求解直线的 方程，特别是当已知直线上的一 点和斜率时。
两点式方程
两点式方程是直线方程的另一种形式， 它表示通过两点(x1, y1)和(x2, y2)的 直线。
两点式方程也可以用来验证两点是否 在同一直线上。
整理得到$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$m$为直线斜率。
因此，点斜式方程为$y - y_1 = m(x - x_1)$，它是通过直线上两点坐标推导出来的。
斜率在点斜式方程中的应用
斜率$m$表示直线在坐标系上的倾斜程度，当$m > 0$时， 直线从左下到右上倾斜；当$m < 0$时，直线从左上到右下 倾斜；当$m = 0$时，直线与x轴平行。
两点式方程仅适用于已知两点坐标的情 况，对于其他情况可能不适用。
当两点坐标相同时，即直线过一个点时， 另外，当直线与坐标轴平行或重合时，
两点式方程将失去意义。
斜率不存在，此时两点式方程也无法表
示直线。
06 直线的方程在实际问题中 的应用
利用直线方程解决几何问题
确定两点间的直线方程
已知两点坐标，利用直线方程求解直线方程。
推导过程中，利用了直线上两点间斜率相等的性质，即斜率是固定的值。
直线的倾斜角与斜率PPT课件
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
Y
.p
00 900 Y K>0
. 900 1800
p
K<0
O
X
O
X
（1）
（2）
Y
. K不存在 Y
p 90o
.p
K=0
1 2
钝角
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（2）k [1,+) (-,- 1]
2
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
y
l3
l1
A3 (1,2) A1 (1,1)
O
x
A2 (1,-1)
Al44 (l12,-3)
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（＝0；
（2）＝30；
（3）＝135；
（4）＝120．
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
直线的倾斜角与斜率、直线方程_图文
直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？
(1)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率为1，则m＝ ________.
(2)直线x＋y＝1的倾斜角为________．
2．
填一填：(1)1 (2)135° 2．填一填：(1)3x＋4y－14＝0 (2)x＋y－3＝0 (3)x－y －7＝0或4x＋3y＝0
直线l2的方程为( )
A. x＋3y－5＝0
B. x＋3y－15＝0
C. x－3y＋5＝0
D. x－3y＋15＝0
B
[] 已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那 么直线l的倾斜角的取值范围是________．
2 [2013·](1)过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0
的直线方程为( )
A. x－2y＋7＝0
B. 2x＋y－1＝0
C. x－2y－5＝0
D. 2x＋y－5＝0
1. (1)直线的倾斜角 ①定义：x轴________与直线________的方向所成的角叫 做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的 倾斜角为________． ②倾斜角的范围为__________．
(2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的 斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是 90°的直线没有斜率． ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 为k＝________.
备考· No.1 角度关键词：易错分析 解题过程中容易犯有两处错误：一是未考查点P与圆的位 置关系；二是运用直线方程的点斜式时，忽视了点斜式方程中 隐含的条件：此方程只能表示斜率存在的直线．
《直线倾斜角和斜率》课件
斜率决定了直线与x轴之间的夹角，即倾斜角。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
倾斜角与斜率的关系及几何意义PPT课件
例题：已知直线l的倾斜角为，斜率为k
（1） 45 ,60 时，则斜率k的取值范围_____[1, 3 ) (2) 45 ,135 时，则斜率k的取值范围_____(,1) [1,)
(3)k 0，1时，则倾斜角的取值范围_____[0 ,45 ] (4)k 1，1时，则倾斜角的取值范围_____[0 ,45 ] [135 ,180 )
第4页/共6页
例题：已知两点A (-2，- 3) ，B(3，0) ，过点P(-1，2)的直线l与线段AB 始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
P·
·
B
·
A
直线PA的斜率为5 直线PB的斜率为-1/2 直线L的倾斜角大于直线PA的倾斜角，
小于直线PB的倾斜角
1、当直线倾斜角大于直线PA的倾斜角，逐渐接近90度时，斜率的范围为[5,+∞） 2、当直线倾斜角大于90度逐渐靠近直线PB时，斜率的范围为（-∞，-1/2]
综上所述直线L的斜率k∈ （-∞，-1/2]∪[5,+∞）
第5页/共6页
感谢您的观看！
第6页/共6页
直线pa的斜率为5直线pb的斜率为12直线l的倾斜角大于直线pa的倾斜角小于直线pb的倾斜角1当直线倾斜角大于直线pa的倾斜角逐渐接近90度时斜率的范围为52当直线倾斜角大于90度逐渐靠近直线pb时斜率的范围为12综上所述直线l的斜率k125
直线的倾斜角
定义：在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
参考定义：一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线
重
合y
时
，
所
转
过
倾斜角与斜率课件
应用于建筑设计、道路坡度计算 和管道输水压力分析等领域。
数学
倾斜角和斜率是解析几何和微积 分中重要的概念。
倾斜角和斜率的常见误区及解决方法
1 常见误解
倾斜角和斜率是同一概念；倾斜角始终为正 角。
2 避免误解和解决问题
明确区分倾斜角和斜率的定义；了解不同情 况下倾斜角的取值范围。
总结
重要性
倾斜角和斜率在数学和实际应用中具有重要作用。
计算倾斜角和斜率的方法
1
倾斜角
Байду номын сангаас
通过三角函数计算，公式为tan(倾斜角)
斜率
2
= 斜率。
通过两点间纵坐标差值除以横坐标差值
计算。
3
计算公式
倾斜角 = arctan(斜率)；斜率 = (纵坐标 差值) / (横坐标差值)。
应用倾斜角和斜率于实际问题中
地理学
工程学
倾斜角和斜率可用于地形图分析、 地震摆动和河道流速计算。
本节课的学习内容
介绍了倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用，以及解决常见误区的方法。
参考文献
推荐资料
《高等数学》教材；《地质学基础》教材。
参考文献列表
1. Smith, J. et al. (2018). Introduction to Slope and Y-Intercept. Journal of Mathematics, 25(3), 45-67.
倾斜角与斜率ppt课件
本ppt课件介绍倾斜角和斜率的概念，并探讨它们之间的关系。还将介绍计算 倾斜角和斜率的方法，并应用于实际问题。最后，解决常见误区并总结重点。
倾斜角和斜率的概念
定义
倾斜角是一条线段与x轴正向 的夹角。
2.1.1倾斜角与斜率 课件(共21张PPT)
有内在联系.
2
0
. P (x ,y )x
思考1 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为.已知直线 经过(0,0)，( ，1)，
那么与点, 的坐标有什么关系？
tan =
1
3
=
3
=
3
y
−
−
0
l
.
. P(
，1)
x
2
1
1
1
2
思考2 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α. 如果直线 经过1 −1,1 ，2 ( 2,0) ，
无关，tan =
1
2
1
2
新知讲解
斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母 表示，即
k=tan（ ≠ 900 ）
说明：1.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
90°பைடு நூலகம்
α＝_____
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
_____
.P
α2
x
l
以及它的 倾斜角 .
说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度
相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示
一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
即时巩固
1.下列各图中表示直线倾斜角的为( C )
那么α与1 ， 2 的坐标又有什么关系？
P2P1 (1 2 ,1 0) (1 2 ,1)
OP P2P1 (1 2 ,1)
2
0
. P (x ,y )x
思考1 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为.已知直线 经过(0,0)，( ，1)，
那么与点, 的坐标有什么关系？
tan =
1
3
=
3
=
3
y
−
−
0
l
.
. P(
，1)
x
2
1
1
1
2
思考2 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α. 如果直线 经过1 −1,1 ，2 ( 2,0) ，
无关，tan =
1
2
1
2
新知讲解
斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母 表示，即
k=tan（ ≠ 900 ）
说明：1.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
90°பைடு நூலகம்
α＝_____
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
_____
.P
α2
x
l
以及它的 倾斜角 .
说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度
相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示
一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
即时巩固
1.下列各图中表示直线倾斜角的为( C )
那么α与1 ， 2 的坐标又有什么关系？
P2P1 (1 2 ,1 0) (1 2 ,1)
OP P2P1 (1 2 ,1)
3.1.1 倾斜角与斜率(共25张PPT)
栏目 导引
第三章
直线与方程
【方法感悟】
1．求直线倾斜角的方法： 定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． 分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论： α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.
2．当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用
斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是 否相等，若相等，直线垂直x轴，斜率不 α＝ 60° ，则其斜率 k＝ ________.
答案： 3
栏目 导引
第三章
直线与方程
典题例证技法归纳
【题型探究】
题型一
例1
对直线的倾斜角、斜率的理解
已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交
点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°， 如图所示，求直线l2的倾斜角．
栏目 导引
第三章
直线与方程
当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时，它的倾斜角 3 由 90° 增大到 PA 的倾斜角， 故斜率的变化范围是(－∞， － ]． 2 综上可知，直线 l 的斜率的取值范围是 3 4 (－∞，－ ]∪[ ，＋∞ )． 2 3
栏目 导引
第三章
直线与方程
知能演练轻松闯关
栏目 导引
第三章
直线与方程
想一想 任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，是 否也有唯一的斜率和它对应？ 提示：不一定．任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对
应，但当倾斜角等于90°时，其斜率不存在．
栏目 导引
第三章
直线与方程
做一做
2. 已知 P1 (3,5)，P2 (－ 1，－ 3)，则直线 P1 P2 的斜率 k 等于 ( ) A． 2 B． 1 1 C. D．不存在 2 － 3－ 5 解析：选 A.k＝ ＝ 2. － 1－ 3
课件_人教版数学必修二《倾斜角与斜率》PPT课件_优秀版
解: P1, P2, P3在一条直线上
k k P1P2
P2P3
即32 13 x1 3x
x 7. 3
20
小结 ① 经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成 过程，能自然过渡到倾斜角的概念。 ② 通过对坡角、坡度概念回顾，经过知识迁移到 直线 的斜率中，并得到了斜率的定义。 ③ 经历用代数方法刻画直线斜率的过程，推导出 过已知两点的 直线的斜率坐标公式。
任一条直线都有倾斜角，也2 都有斜率；1
x
所成的角 叫做直线的
结论：坡度越大，楼梯越陡．
设直线的倾斜程度为k
在RtP2Q1中 P
tan
P2Q P1Q
y2 y1 x1 x2
0 ktany2y1y2y1
x1x2 x2x1
17
三、直线的斜率公式:
经过两点 P1(x1, y1),P2(x2, y2)(x1 x2)
我们把一条直线的倾斜角 的正切值
叫做这条直线的斜率.
用小写字母 k 表示，即： ktan
12
例题:已知直线的倾斜角,求直线的斜率：
1a30 ktan30 3 3
2a45 kta4n51
3a60 kta6n0 3
4a120 ktan1203
5a150ktan150 3
3
13
是否每条直线都有斜率? 0 a180
8
练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对？
y
o x
（1）
y
o
x
（2）
y
o
x （3）
y
ox
（4）
9
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
坡度（比 前 升 ）进 高量 量
10
2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)
④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；
⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝ 22，则α＝45°.
其中正确命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)都不满足倾斜角的定义，图(3)中α与倾斜角的 大小一样，但不是倾斜角．
(2)任意一条直线有唯一的倾斜角；倾斜角不可能为负；倾 斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，② ③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为 135°，故⑤错误．
答：不对．
当x1≠x2时，k＝yx22－ －yx11＝xy11－－xy22； 当x1＝x 2时，斜率不存在．
课时学案
题型一 倾斜角的求法
例1 (1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有___0_____ 个．
(2)给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30π；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
2．斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0°
0°<α<90°
90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性 相同 随α的增大而增大 无 随α的增大而增大
3.任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝
y2－y1 x2－x1
对吗？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜 角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方 向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们 可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也 就表示了直线的方向．
2.1直线的倾斜角与斜率课件
注意： (1)轴的正方向；
(2)直线向上方向；
(3)当直线 与x轴平行或重合时，倾斜角为0°.
0°≤α<180°
l
α
o
o
6
新知探究
思考2: 直线a//b，那么它们的倾斜角ɑ相等吗？
y
a b
o
x
方向相同的直线，倾斜程度相同，倾斜角相等；
思考3: 一个倾斜角ɑ能确定一条直线吗？
一点+倾斜角
为1的直线2;
(2)经过C(3，1)，D(-2，0)两点的直线3，与经过点M(1，一4)且斜
率为-5的直线4.
2.试确定m 的值，使过A(m，1)，B(-1，m)两点的直线与过P(1，2)，
Q(-5，0)两点的直线:
(1)平行;(2)垂直.
25
26
巩固练习
练习4（课本P58习题2.1T4)
三点共线问题：
因此四边形ABCD是平行四边形
y
D
C
x
B
22
新知探究
探究四
l1⊥l2 时,k1 与k2 满足什么关系？
l1 的方向向量为a=(1，k1)
y
l1
l2 的方向向量为b=(1，k2)
l1⊥l2 a·b=0 1+k1·k2=0
k1·k2=-1
x
O
l2
两条直线垂直的判定：
当直线l1,l2斜率都存在时，若l1⊥l2,则k1·k2=-1
2）一点和一个方向也可以确定一条直线
无数
2、一个点可以确定_____条直线，这些直线的区别
是什么？
B
3、如何描述直线的倾斜程度（方向）?
oห้องสมุดไป่ตู้
(2)直线向上方向；
(3)当直线 与x轴平行或重合时，倾斜角为0°.
0°≤α<180°
l
α
o
o
6
新知探究
思考2: 直线a//b，那么它们的倾斜角ɑ相等吗？
y
a b
o
x
方向相同的直线，倾斜程度相同，倾斜角相等；
思考3: 一个倾斜角ɑ能确定一条直线吗？
一点+倾斜角
为1的直线2;
(2)经过C(3，1)，D(-2，0)两点的直线3，与经过点M(1，一4)且斜
率为-5的直线4.
2.试确定m 的值，使过A(m，1)，B(-1，m)两点的直线与过P(1，2)，
Q(-5，0)两点的直线:
(1)平行;(2)垂直.
25
26
巩固练习
练习4（课本P58习题2.1T4)
三点共线问题：
因此四边形ABCD是平行四边形
y
D
C
x
B
22
新知探究
探究四
l1⊥l2 时,k1 与k2 满足什么关系？
l1 的方向向量为a=(1，k1)
y
l1
l2 的方向向量为b=(1，k2)
l1⊥l2 a·b=0 1+k1·k2=0
k1·k2=-1
x
O
l2
两条直线垂直的判定：
当直线l1,l2斜率都存在时，若l1⊥l2,则k1·k2=-1
2）一点和一个方向也可以确定一条直线
无数
2、一个点可以确定_____条直线，这些直线的区别
是什么？
B
3、如何描述直线的倾斜程度（方向）?
oห้องสมุดไป่ตู้
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3、斜率公式：k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
ห้องสมุดไป่ตู้
作业: P89习题3.1 A组：2.3.4.
拓展思维
思考: 例1中 过A点的直线L与线段
BC有交点,求L的斜率k的变化范围
y
B(-4，1),
A(3，2)
O
x
C（0，-1）
巩固提高
1．(填空题)已知
A(x，-2)，B(3，0)，且 kAB
规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°
直线的倾斜角的取值范围为： 0o 180o
练一练：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
a
o
oa
x x
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
问题2：生活中也有一些反映倾斜程度的量，你
知道有哪些量可以用来表示某一斜坡的倾斜程 度吗？
坡度（比）
升高量 前进量
y
且x1 x2, y1 y2
tan tan(180 )
y2
P2 (x2 , y2 )
tan
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x2 x1
x
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
0 k tan y2 y1 y2 y1 x1 x2 x2 x1
应用与实践
例1 如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）, 求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角。
y
B(-4，1),
A(3，2)
O
x
C（0，-1）
练习（课本p86 练习2）
求经过两点的直线的斜率，并判断这些直线的 倾斜角是锐角还是钝角。
1. C（18，8） D（4，-4） 2. P（0，0） Q（-1， 3）
想一想?
当 p1 p2的位置对调时， k值又如何呢?
y
P1(x1, y1)
Q(x1, y2 )
P2 (x2, y2 )
o
x
(3)
y P1(x1, y1)
Q(x1, y2 )
P2 (x2 ,
y2 )
o (4)
x
3、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线斜率公式：
升 （即为坡角的正切值）
高
量
前进量
直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角 a的正切值叫做这
条直线的斜率。
k tan a 用小写字母 k 表示，即：
思考: 是否每条直线都有斜率?
倾斜角 （度）
斜率
30 60
3/3 3
135 150
-1 3/ 3
探究新知：由两点确定的直线的斜率
k tan
锐角
y
y2
1 2
，则
x
=
_-_1____．
1
2．(填空题)已知三点 A(-2，3)，B(3，-4m)，C( 2 ，m) 在同一条直线上，则实数 m＝_____1____．
2
2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，
上述公式还适用吗？为什么？
90, tan90(不存在)
y
y2
P2(x2, y2)k不存在
y1
P1(x1, y1)
o
x k y2 y1
x2 x1
判断正误：
①因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线 都有斜率。 （ ）
②因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以 平行于y轴的直线 的倾斜角不存在。（ ）
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
对公式的
深入理解
0
1上、述当公直式线还平适行用于k吗x轴？t，为an或什0与么x？轴0 重合时，
y
P1(x1, y1)
P2 (x2, y2 )
k y2 y1 x2 x1
x1 o x2 x
对公式的
深入理解
问题1: 经过一点可以作出无数条直线?
y.
ox
确定直线位置的要素 除了点之外,还有直线的 方向,也就是直线的倾斜 程度.
建构概念：1.直线的倾斜角
当直线 L与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线向上方向之间所成的 角叫做 直线的倾斜角。
y
l
p
o x
y
ly
o p x
o
p x
y
o
p
l
x
l
练习（课本p86 练习3）
已知a，b，c是两两不相等的实数，求经过两点的 直线倾斜角
1. A（a，c） B（b，c） 2. C（a，b） D（a，c） 3. P（b，b+c） Q（a，c+a）
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 0 180
2、直线的斜率定义： k tan ( 90)
P2 (x2 , y2 )
y1
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
能不能构造
如图一个，直当角α为三锐角时，
角形去求？
P2P1Q,
且x1 x2 , y1 y2
o x1
x2 x
在RtP2 P1Q中
0 k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 y1 x2 x1
钝角
如图，当α为钝角时， 180 ,