高三上学期第二次月考(数学文)

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华南师大附中高三第二次月考数学(文)试题(答案不全)

学必求其心得，业必贵于专精2012—2013年华南师大附中高三综合测试(二）试题数学（文科)本卷共20小题，满分150分，时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合11{2,1,0,1,2}{|28R}2x M N x x +=--=<<∈，，，则M N =( ）A ．{1,0,1}-B ．{2,1,0,1,2}--C ．{0,1}D ．{10}-，2、设a ∈R ,若i i a 2)(-（i 为虚数单位)为正实数，则a =（）A ．2B ．1C ．0D ．1-3、一组数据20,30,40,50,50,60,70,80的平均数、中位数、众数的大小关系是A ．平均数>中位数>众数B ．平均数<中位数<众数C ．中位数<众数<平均数D ．众数=中位数=平均数4、若 ]2,4[ππθ∈，47sin =θ，则θ2sin =（）A 。

错误! B. －错误! C. 错误! D. －错误!5、设 S n 为等差数列 {a n ｝的前 n 项和，若S 3 = 3,S 6 = 24，则a 9 =（）A. 13 B 。

14 C 。

15 D 。

166、已知－7，1a ，2a ，－1四个实数成等差数列，－4，1b ，2b ，3b ，－1五个实数成等比数列，则212b a a-=（）A ．1B ．－1C ．2D ．±17、函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( )A.[0，3π］B.［12π，12π7］C.［3π，6π5]D.[6π5，π］8、已知xx f )21()(=，其反函数为)(x g 则)(2x g 是（）A 。

奇函数且在),0(+∞上是增函数;B.偶函数且在),0(+∞上是增函数; C 。

奇函数且在)0,(-∞上是增函数；D.偶函数且在)0,(-∞上是增函数；9、△ABC 中，∠C = 60°，且CA = 2，CB = 1，点M 满足错误!= 2错误!,则错误!·错误!=（ )A. 4 + 错误! B 。

三明一中2022-2023学年上学期月考二高三数学科试卷含答案

三明一中2022-2023学年上学期月考二高三数学科试卷（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}{}22,3,4,230A B x x x ==∈+-<N ，则A B 中元素的个数是A.2B.3C.4D.52.复平面内表示复数622iz i+=-，则z =A. B. C.4 D.3.若非零实数,a b 满足a b >，则A.22ac bc> B.2b a a b+> C.e1a b-> D.ln ln a b>4.函数()cos f x x x =的图像大致是A ．B ．C ．D ．5.如图，在矩形ABCD 中，2AD =，点M ，N 在线段AB 上，且1AM MN NB ===，则MD 与NC所成角的余弦值为A ．13B ．45C ．23D ．356.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某“鞠”的表面上有四个点,,,P A B C ，满足1,PA PA =⊥面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则该“鞠”的体积的最小值为A.256π B.9π C.92π D.98π7.如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则22S =A.361B.374C.385D.3958.在ABC 中，角A、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c A =，b a λ=，则实数λ的最大值是A.B．32+C．D．2二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省长沙市2025届高三上学期第二次月考数学试卷含答案

湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。

宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第二次月考数学(文科)试题

2020年石嘴山市三中11月月考数学试卷（文科）答案和解析【答案】1. A2. A3. A4. C5. C6. C7. D8. D9. A10. B11. B12. D13.14.15.16司长生批 13. (−2,2) 14. {2(n =1)2n−1(n ≥2)15. 2cos x 16. 1：√3：217董红香批17（10分）解：(1)由a ⃗ ⊥b ⃗ 得，2x +3−x 2=0，即(x −3)(x +1)=0，解得x =3或x =−1；(2)由a ⃗ //b ⃗ ，则2x 2+3x +x =0，即2x 2+4x =0，得x =0或x =−2．当x =0时，a ⃗ =(1,0),b ⃗ =(3,0)， ∴a ⃗ −b ⃗ =(−2,0)，此时|a ⃗ −b ⃗ |=2；当x =−2时，a ⃗ =(1,−2),b ⃗ =(−1,2)，则a ⃗ −b ⃗ =(2,−4)．故|a ⃗ −b ⃗ |=√22+(−4)2=2√5．18董红香批18. （12）解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2=10，a 4−a 3=2，可得a 1+a 1+d =10，d =2，解得a 1=4，d =2，可得a n =4+2(n −1)=2n +2； (2)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 2=a 3，b 3=a 7，可得b 1q =8，b 1q 2=16，解得b 1=4，q =2，则数列{b n }的前n 项和为S n =4(1−2n )1−2=2n+2−4．19(12分 ) .寇西宁批解：(Ⅰ)因为△ABC 的外接圆直径为200√573m.由正弦定理BCsin∠CAB =200√573，即200sin∠CAB=200√573，所以sin∠CAB =3√57，cos∠CAB =4√3√57，在△ABC 中，sin∠B =sin(∠CAB +∠ACB)=sin∠CABcos∠ACB +cos∠CABsin∠ACB =√57⋅12+√3√57⋅√32=2√57，由正弦定理可得ACsin∠B =BCsin∠CAB ，所以AC =sin∠Bsin∠CAB ⋅BC =152√573√57⋅200=500m所以AC 的值是500m ；(Ⅱ)由题意可得AD =BC =200，cos∠AED =cos60°=12，在△ADE 中，由余弦定理可得AD 2=AE 2+ED 2−2AE ⋅ED ⋅cos∠AED =(AE +ED)2−3AE ⋅ED ，所以(AE +ED)2−AD 2=3AE ⋅ED ≤3⋅(AE+ED 2)2，所以14(AE +ED)2≤AD 2=2002，所以可得：AE +DE ≤400，所以△ADE 的最大周长为：AD +AE +DE =200+400=600m ．20.（12分）寇西宁批解：(1)∵f(x)在x =2处有极值，∴f′(2)=0．∵f′(x)=3x 2+2ax ，∴3×4+4a =0，∴a =−3．经检验a =−3时x =2是f(x)的一个极值点，故a =−3；(2)由(1)知a =−3，∴f(x)=x 3−3x 2+2，f′(x)=3x 2−6x ．令f′(x)=0，得x 1=0，x 2=2.当x 变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从上表可知f(x)在区间[−1,3]上的最大值是2，最小值是−2．21.（12分）司长生批解：(Ⅰ)当0<x <70时，y =100x −(12x 2+40x −400=−12x 2+60x −400)，当x ≥70时，y =100x −(101x +6400x−2060)−400=1660−(x +6400x).∴y ={−12x 2+60x −400,0<x <70且x ∈N1660−(x +6400x ),x ≥70且x ∈N； (Ⅱ)当0<x <70时，y =−12x 2+60x −400=−12(x −60)2+1400，当x =60时，y 取最大值1400万元；当x ≥70时，y =1660−(x +6400x )≤1660−2√x ⋅6400x=1500，当且仅当x =6400x，即x =80时y 取最大值1500．综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大约利润为1500万元．22.（12分）司长生批解：(I)f′(x)=cosx −sinx −a ，当a =1时，f′(x)=cosx −sinx −1=−√2sin(x −π4)−1，令f′(x)>0可得sin(x −π4)<−√22可得x ∈[−π4,0),令f′(x)<0可得sin(x −π4)>−√22可得x ∈(0,π2],故f(x)在[−π4,0)上单调递增，在(0,π2)上单调递减，故f(x)max =f(0)=1， ∵f(−π4)=π4，f(π2)=1−π2<π4， ∴f(x)min =f(π2)=1−π2， (II)f(−π)=aπ−1≤1，故a ≤2π，f′(x)=−√2sin(x−π4)−a，∵−π≤x≤0，∴−5π4≤x−π4≤−π4，∴−1≤sin(x−π4)≤√22，−1≤−√2sin(x−π4)≤√2，(i)a≤−1时，f′(x)≥0，f(x)在[−π,0]上单调递增，f(x)<f(0)=1恒成立，(ii)−1<a≤2π时，当−π≤x≤−π4时，f′(x)单调递增，当−π4≤x≤0时，f′(x)单调递减，∴f′(π)=−1−a<0，f′(−π4)=√2−a>0，f′(0)=1−a>0，∴存在a∈(−π,−π4)，使得f′(a)=0，所以当−π≤x<a时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当a<x≤0时，f′(x)>0，函数单调递增，又因为f(−π)=aπ−1≤1，f(0)=1≤1，∴f(x)≤1，∴a≤2π【解析】1. 解：∵集合A={−1,0，4}，集合B={x|x2−2x−3≤0,x∈N}={−1,0，1，2，3}，图中阴影部分表示的集合是A∩(C U B)={4}故选A由已知中的韦恩图，我们可得图中阴影部分表示的集合是A∩(C U B)，根据已知中的集合A，B，可得答案．本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中分析出图中阴影部分表示的集合是A∩(C U B)，是解答本题的关键．2. 解：根据题意，△ABC满足“勾三股四弦五”，其中股AB=4，则△ABC为Rt△，且cosC=35，△ABD满足勾股定理，则△ABD为Rt△，且∠ADB=90°，则有∠DAB=∠C，又由<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=∠DAB ，则cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=cos∠DAB =cosC =35，故选：A ．根据题意，可得△ABC 中cosC =35，由相似三角形的性质可得∠DAB =∠C ，而<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=∠DAB ，即可得答案．本题考查向量夹角的计算，注意向量夹角的定义，属于基础题．3. 【分析】由已知展开两角差的正切求得tanα，再由万能公式求得cos2α的值．本题考查三角函数的化简求值，考查了万能公式的应用，是基础题．【解答】解：由tan(α−π4)=−13，得tanα−tanπ41+tanαtanπ4=−13，即tanα−11+tanα=−13，解得tanα=12，∴cos2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−141+14=35．故选：A ．4. 解：由已知得f′(x)=a x , g′(x)=12√x ，设切点横坐标为t ，∴{alnt =√t a t=12√t ，解得t =e 2,a =e 2．故选：C ．根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于基础题．5. 【分析】本题考查向量数量积及向量垂直的充要条件，同时考查正弦定理及两角和与差的三角函数，根据向量垂直，可得√3cosA −sinA =0，分析可得A ，再根据正弦定理可得，sinAcosB +sinBcosA =sin 2C ，进而可得sinC =sin 2C ，可得C ，再根据三角形内角和定理可得B ，进而可得答案．【解答】解：根据题意，m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，可得m⃗⃗⃗ ·n⃗=0，即√3cosA−sinA=0，即，又0<A<π，∴A=π3，因为acosB+bcosA=csinC，正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sin2C，即sin(A+B)=sinC=sin2C，又0<C<π，∴sinC=1，C=π2，故选C.6. 解：向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，|a⃗|=1，|b⃗ |=2，由b⃗ ⊥(2a⃗−λb⃗ )知，b⃗ ⋅(2a⃗−λb⃗ )=0，2b⃗ ⋅a⃗−λb⃗ 2=0，2×2×1×cos60°−λ⋅22=0，解得λ=12．故选：C．根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出λ的值．本题考查了平面向量的数量积与垂直的应用问题，是基础题．7. 解：函数f(x)=12(√3sin2|x|−cos2|x|)=sin(2|x|−π6)，定义域为R，f(−x)=sin(2|−x|−π6)=sin(2|x|−π6)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称，f(x)=sin(2x−π6)，x≥0令2x−π6=π2，解得x=π3，所以x=π3时f(x)最大，故选：D．由三角函数的化简可得函数的解析式，再由函数的奇偶性可得函数f(x)是偶函数，再由x≥0的函数的最大值时的x值可选出结果．本题考查求函数的解析式即函数奇偶性的性质，属于中档题．8. 解：设12x−1=t，则x=2t+2，∴f(t)=4t+7，∴f(m)=4m+7=6，解得m=−14．故选：D．本题考查函数的解析式，属于基础题．设12x−1=t，求出f(t)=4t+7，进而得到f(m)=4m+7，由此能够求出m．9. 解：由题意可得a22=a1a4，∴(a1+2)2=a1(a1+6)，解得a1=2，故选：A．由题意可得a1的方程，解方程可得．本题考查等差数列和等比数列的性质，属基础题．10. 解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为3=22−1，最小正方形的边长为2，第2代“勾股树”中，正方形的个数为3+4=7=23−1，最小正方形的边长为(√2)2，第3代“勾股树”中，正方形的个数为15=24−1，最小正方形的边长为(2)3，以此类推，第n代“勾股树”中，正方形的个数为2n+1−1，最小正方形的边长为(√2)n，若“勾股树”上共得到8191个正方形，则2n+1−1=8191，解得n=12，此时最小正方形的边长为(√2)12=164．故选：B．第1代“勾股树”中，正方形的个数为3=22−1，最小正方形的边长为√2，第2代“勾股树”中，正方形的个数为7=23−1，最小正方形的边长为(√2)2，第3代“勾股树”中，正方形的个数为15=24−1，最小正方形的边长为(√2)3，以此类推，第n代“勾股树”中，正方形的个数为2n+1−1，最小正方形的边长为(√2)n，根据已知可求得n值，即可求解．本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．11. 解：∵函数y=2sin(2x−π3)(A>0,ω>0)的图象为C，故函数的最小正周期为2π2=π，故A错误；令x=π6，求得f(x)=0，可得图象C关于点(π6,0)对称，故B正确；图象C向右平移π2个单位后，得到y=2sin(2x−π−π3)=−2sin(2x−π3)的图象，显然，所得图象不关于原点对称，故C错误；当x∈区间(−π12,π2)，2x−π3∈(−π2,2π3)，函数f(x)在区间(−π12,π2)上没有单调性，故D错误，故选：B．由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．12. 解：由题设可得：当n=2k−1(k∈N∗)时，有a2k=[cos(2k−1)π]⋅a2k−1+22k−1，即：a2k−1+a2k=22k−1(k∈N∗)，∴(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a39+a40)=21+23+25+⋯+239=2(1−420)1−4=2(420−1)3．故选：D．由题设条件推出相邻项之间的关系式，即可得到结果．本题主要考查由数列的递推式求数列的和，属于基础题．13. 解：∵a⃗,b⃗ 的夹角是180°∴a⃗,b⃗ 共线，∴设b⃗ =(λ,−λ)，∵|b⃗ |=2√2，∴√λ2+(−λ)2=2√2，∴λ=±2，∵a⃗,b⃗ 的夹角是180°∴λ<0 ∴b ⃗ =(−2,2)故答案为：(−2,2)根据两个向量的夹角是180°，得到两个向量共线且方向相反，设出要求的向量，根据之金额各向量的模长做出向量的坐标，把不合题意的舍去．本题考查向量的数量积的坐标表示，是一个基础题，解题时注意向量的设法，这是本题要考查的一个方面，注意把不合题意的舍去．14. 解：由log 2S n =n ，得S n =2n ．当n =1时，a 1=S 1=2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −2n−1=2n−1， n =1时不成立． ∴a n ={2(n =1)2n−1(n ≥2)．故答案为{2(n =1)2n−1(n ≥2)．由对数式变形得到数列{a n }的前n 项和S n ，分类讨论求解其通项a n ．本题考查阿勒数列的概念及简单表示法，考查了由数列前n 项和求通项，关键是注意分类讨论，是基础题．15. 解：将函数y =cos2x 的图象向右平移π4个单位，得到函数y =cos(2x −π2)=sin2x =2sinxcosx的图象又因为得到函数y =f(x)⋅sinx ，则f(x)=2cosx ，故答案为：2cos x ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．16. 解：∵三个内角度数之比∠A ：∠B ：∠C =1：2：3，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠A =30°，∠B =60°，∠C =90°，∴a ：b ：c =sin30°：sin60°：sin90°=12：√32：1=1：√3：2．故答案为：1：√3：2．由三个内角度数之比，求得三角形的内角，再利用正弦定理，即可求得结论．本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．17. 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量共线，垂直的充要条件．(1)利用两个向量互相垂直，可以求出x 的值； (2)由两个向量的互相平行先求出x 的值，再求模长．18. (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的通项公式，解方程可得公差和首项，进而得到所求通项公式；(2)设等比数列{b n }的公比为q ，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19. (Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理可得sin∠CAB =√57，cos∠CAB =√3√57，再由三角形的内角和π，可得sin∠B =sin(∠CAB +∠ACB)的值，由正弦定理可得AC 的值；(Ⅱ)由余弦定理和均值不等式可得DE +AE 的最大值，进而可得三角形的周长的最大值．本题考查三角形的正余弦定理及均值不等式，属于中档题．20. (1)由x =−2是f(x)的一个极值点，得f′(2)=0，解出可得；(2)由(1)可求f(x)，f′(x)，令f′(x)=0，得x 1=0，x 2=2.当x 变化时f′(x)，f(x)的变化情况列成表格，由极值、端点处函数值可得函数的最值；本题考查利用导数研究函数的极值、最值，属中档题，正确理解导数与函数的关系是解题关键．21. (Ⅰ)直接由已知分类写出分段函数解析式；(Ⅱ)当0<x <70时，利用配方法求最值，当x ≥70时，利用基本不等式求最值，取两段函数最大值的最大者得结论．本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法及基本不等式求最值，是中档题．22. (I)把a =1代入，然后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的最值；(II)由已知不等式恒成立转化为求解函数的最值，结合导数对a 进行分类讨论，然后结合导数与单调性关系及函数性质可求．本题主要考查了利用导数求解函数的最值，及由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用．。

2024届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题及答案

2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()R A B ⋂=ð（）A. ()0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D. []0,12. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（）A. B.C. D.4. 设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a c b <<B. a b c <<C. b<c<aD. c a b <<5. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（）A. 116 B. 117 C. 16D. 176. 已知35a b =且211a b +=，则a 的值为（）A. 3log 15 B. 5log 15 C. 3log 45 D. 5log 457. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（）A. 84B. 66C. 126D. 1058. 记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（）A. 39B. 40C. 41D. 429. 将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（）A. ()g x 为奇函数 B. ()3πcos 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()g x 最小正周期为2πD. ()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11. 在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12. 已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13. 锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14. D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD = ______；若的的1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15. 若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1ACD ；（2）求平面1ACD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1ACD 的距离．18. 椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nk n i k d T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意*n ∈N 都有212n n nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20. 已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．的2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①. ②. 4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】 ① 1233a b + ②. π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2；（3.【18题答案】【答案】（1）22154x y += （2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2n n b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i）1a <<，（ii ）证明见解析.。

四川省内江市第六中学2022-2023学年高三上学期第二次月考《文科》数学(解析版)

内江六中2022—2023学年（上）高2023第二次月考文科数学试题第Ⅰ卷选择题（满分60分）一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知向量()1,2a =r ，()1,1b = ，若c a kb =+ ，且b c ⊥ ，则实数k =（）A. 32B. 53-C. 53D. 32-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量坐标的线性运算得c得坐标，在根据向量垂直的坐标关系，即可得实数k 的值.【详解】解：因为向量()1,2a =r ，()1,1b = ，所以()1,2c a kb k k =+=++ ，又b c ⊥，所以120b c k k ⋅=+++= ，解得32k =-.故选：D.2. 复数13i2iz -=+的虚部为（）A. 75-B. 7i 5-C. 73-D. 7i 3-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可得复数的虚部.【详解】解：复数13i (13i)(2i)17i 17i 2i (2i)(2i)555z -----====--++-故z 的虚部为75-.故选：A ．3. 若集合{1A =-，0，1}，2{|1B y y x ==-，}x A ∈，则A B = （）A. {0} B. {1}C. {0，1}D. {0，1}-【答案】D 【解析】【分析】把A 中元素代入B 中解析式求出y 的值，确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：把A 中=1x -，0，1代入B 中得：0y =，1，即{0B =，1}，则{0A B = ，1}-，故选：D ．4. 若变量x 、y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+取最大值时的最优解是（）A. 5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭D. ()2,1-【答案】C 【解析】【分析】作出满足约束条件的可行域，平移直线20x y +=，即可得出结果.【详解】作出满足约束条件的可行域（如图中阴影部分所示）.2z x y =+可化为20x y z +-=，平移直线20x y +=，当其经过点C 时，目标函数2z x y =+取得最大值，联立21y x x y =⎧⎨+=⎩，解得13x =，23y =，故最优解是12,33⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C.5. 若a ，b 均为实数，则“ln ln a b >”是“e e a b >”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数ln y x =与e x y =解不等式，即可判断.【详解】解：因为ln ln a b >，由函数ln y x =在()0,+∞上单调递增得：0a b >>又e e a b >，由于函数e x y =在R 上单调递增得：a b >由“0a b >>”是“a b >”的充分不必要条件可得“ln ln a b >”是“e e a b >”的充分不必要条件.故选：A.6. 如图是函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象的一部分，则函数()f x 的解析式为（）A. ()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由图象可确定()f x 最小正周期T ，由此可得ω；根据712f A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求得ϕ；由()0f =可求得A ，由此可得()f x .【详解】由图象可知：()f x 最小正周期23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==；又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()73262k k ππϕπ∴+=+∈Z ，解得：()23k k πϕπ=+∈Z ，又02πϕ<<，3πϕ∴=，()sin 23f x A x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()0sin 3f A A π=== ，2A ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.故选：B.7. 已知向量,a b 的夹角为4π，且1||4,(23)122a a b a b ⎛⎫=+⋅-= ⎪⎝⎭，则向量b 在向量a 方向上的投影是（）A.B. 3C. D. 1【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据数量积的运算，化简等式，解得模长，结合投影的计算公式，可得答案.【详解】由()123122a b a b ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，22323122a a b a b b -⋅+⋅-= ，2213122a a b b +⋅-= ，21164cos 31224b b π+⨯⋅-=，230b -= ，(30b += ，解得b = b 在向量a 方向上的投影为cos 14b π= ，故选：D.8. 蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系．用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法，现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边长分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个．落入其内切圆中的点有22个，则圆周率π≈（）A.6320B.3310C.7825D.9429【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型的计算公式和题意即可求出结果.【详解】直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差，即268104r =+-=，由几何概型得2222140682π⨯≈⨯⨯，从而3310π≈.故选：B.9. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（）A. 28h B. 28.5hC. 29hD. 29.5h【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出蓄电池的容量C ，再把15A I =代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】解：根据题意可得5710n C =⋅，则当15A I =时，571015n n t ⋅=⋅，所以32231log 2log 222257575728.5h 333nt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即当放电电流15A I =，放电时间为28.5h.故选：B .10. 已知函数()32e ,0461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()()2232g x f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数为（）．A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】首先根据()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦，得到()2f x =或1()2f x =-，然后利用导数分析0x ≥时函数的单调性，结合单调性画出函数的图象，通过图象即可观察出函数零点的个数.【详解】由()()()22320g x f x f x =--=⎡⎤⎣⎦，得()2f x =或1()2f x =-.当0x ≥时，2()121212(1)f x x x x x '=-=-，所以当(0,1)x ∈，()0,()'<f x f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0,()'>f x f x 单调递增，所以1x =时，()f x 有极小值(1)4611f =-+=-.又0x <时，()x f x e =，画出函数()f x 的图象如图所示，由图可知：函数()()()2232g x f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数为3.故选：B .11. 已知()f x 是定义在R 上的函数满足(4)()f x f x -=-，且满足(31)f x -为奇函数，则下列说法一定正确的是（）A. 函数()f x 图象关于直线=2x 对称B. 函数()f x 的周期为2C. 函数()f x 关于点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 D. (2023)0f =【答案】D 【解析】【分析】对于A.令2x x =+代入(4)()f x f x -=-即可判断.对于C.可考虑图像平移或者将3x 换元进行判断.对于BD.通过AB对称轴和对称中心即可判断出函数周期，继而计算出(2023)f 【详解】因为函数()f x 关于直线2x =-对称，不能确定()f x 是否关于直线2x =对称，A 错误；因为(31)f x -为奇函数，所以(31)(31)f x f x -=---，所以(1)(1)f x f x -=---，所以()(2)f x f x =---，所以函数()f x 关于点(1,0)-中心对称，故C 错误;由()(4)f x f x =--与()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---，即(4)(2)f x f x -=--，故(4)()f x f x -=，所以函数()f x 的周期为4，故B 错误；(2023)(50641)(1)0f f f =⨯-=-=，故D 正确．故选:D的的12. 已知关于x 的不等式(e )e ->x x x x m m 有且仅有两个正整数解（其中e 2.71828= 为自然对数的底数），则实数m 的取值范围是（）A. 43169(,]5e 4eB. 3294(,4e 3eC. 43169[,5e 4eD. 3294[,e 3e 4【答案】D 【解析】【分析】问题转化为2(1)e x x m x +<（0x >）有且仅有两个正整数解，讨论0m ≤、0m >并构造()(1)f x m x =+、2()ex x g x =，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参数范围.【详解】当0x >时，由2e e 0xxx mx m -->，可得2(1)ex x m x +<（0x >），显然当0m ≤时，不等式2(1)ex x m x +<在(0,)+∞恒成立，不合题意；当0m >时，令()(1)f x m x =+，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，令2()ex x g x =，则(2)()e xx x g x '-=，故(0,2)上()0g x '>，(2,)+∞上()0g x '<，∴()g x 在(0,2)上递增，在(2,)+∞上递减，又(0)(0)0f m g =>=且x 趋向正无穷时()g x 趋向0，故()240,e g x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上，(),()f x g x 图象如下：由图知：要使()()f x g x <有两个正整数解，则()()()()()()11{2233f g f g f g <<≥，即2312e 43e 94e m m m ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得32944e 3e m ≤<．故选：D【点睛】关键点点睛：问题转化为2(1)ex x m x +<（0x >）有且仅有两个正整数解，根据不等式两边的单调性及正整数解个数列不等式组求范围.第Ⅱ卷非选择题（满分90分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 1289log 24⎛⎫+= ⎪⎝⎭______ ．【答案】116##516【解析】【分析】利用指数幂与对数运算即可求解.【详解】112388893111log 2log 8log 84236⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：116.14. 曲线123x y x -=+在点()1,2--处的切线方程为________．（用一般式表示）【答案】530x y -+=【解析】【分析】利用导数的几何意义即得.【详解】由123x y x -=+，得22(23)2(1)5(23)(23)x x y x x +--'==++，所以切线的斜率为255(23)k ==-+，所以所求的切线方程为(2)5[(1)]y x --=--，即530x y -+=.故答案为：530x y -+=.15. 已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.【答案】725##0.28【解析】分析】利用倍角余弦公式求得2π7cos(2)325α+=-，由诱导公式π2πsin(2cos(263αα+=-+，即可求值.【详解】22ππ167cos(212sin 12332525αα⎛⎫+=-+=-⨯=- ⎪⎝⎭，而πππ2π7sin(2cos(2)cos(2)662325ααα+=-++=-+=.故答案为：72516. 已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω>0)，若()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，且在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是________.【答案】510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，令3x k πωπ+=，Z k ∈，可得52338233ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，令22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，Z k ∈，可得f (x )在5,66ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而有5646240ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，联立求解即可得答案.【详解】解：由题意，令3x k πωπ+=，Z k ∈，得x ＝33k ππω-，Z k ∈，∴f (x )的第2个、第3个正零点分别为53πω，83πω，【∴52338233ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得542ω≤<，令22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，Z k ∈，∴52266k k x ππππωωωω-+≤≤+，Z k ∈，令k ＝0，f (x )在5,66ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴5,,42466ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴5646240ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得1003ω<≤，综上，ω的取值范围是51023ω≤≤.故答案为：510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题（共70分）（一）必考题（共60分）17. 在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin sin ,2A Ca b A b +==.（1）求角B 的大小；（2）求2a c -的取值范围.【答案】（1）3π（2）()0,6【解析】【分析】（1）结合A C B π+=-，以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式，即得解；（2）利用正弦定理，辅助角公式可化简26a c A π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合A 的范围即得解【小问1详解】A CB π+=- ，sinsin 2B a b A π-∴=cos sin 2B a b A ∴=sin cos sin sin 2B A B A ∴=cos sin 2sin cos 222B B B B ∴==1sin 22B ∴=，又B 为锐角,263B B ππ∴==【小问2详解】由正弦定理4sin sin sin a b c A B C ====，214sin ,4sin 4sin 4sin 2sin 32a A c C A A A A A π⎫⎛⎫∴===-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，128sin 2sin 6sin cos 2a c A A A A A A A ⎫∴-=--=-=-⎪⎪⎭6A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由锐角ABC ，故20,0232A C A πππ<<<=-<故(),sin ,20,6626A A a c πππ⎛⎛⎫<<∴-∈∴-∈ ⎪ ⎝⎭⎝.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2512a a +=，424S S =．（1）求n a 及n S ；（2）若11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-，2n S n =（2）()2111n T n =-+【解析】【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式、前n 项和公式得到关于首项和公差的方程组求出1a 和d ，进而求出n a 及n S ；（2）利用（1）求出n b ，再利用裂项抵消法进行求和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11125124344(2)2a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()12121n a n n =+-=-，()21212n n n S n n -⨯=⨯+=．【小问2详解】由（1）得：+121n a n =+，21(1)n S n +=+，则()()122221211111n n n n a n b S S n n n n +++===-⋅++，所以123n nT b b b b =+++⋅⋅⋅+()22222222111111122331114n n =-+-+-+⋅⋅-+⋅+()2111n =-+..19. 已知()2ex x a f x -=.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）10x y --=（2）1a ≥【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线方程的点斜式即可求解.（2）分离参数a ，转化成不等式恒成立问题，利用导数求最值即可.【小问1详解】当1a =时，()21ex x f x -=，()01f =-，()22(1)ex x x f x --'=，(0)1k f '∴==，所以切线方程为：11(0)y x +=⨯-，即10x y --=.【小问2详解】()1f x x ≤-恒成立，即2(1)e x a x x ≥--在[)1,x ∞∈+上恒成立，设2()(1)e x g x x x =--，()(2e )x g x x '=-，令()0g x '=，得120,ln 2x x ==，在[)1,+∞上，()0g x '<，所以函数2()(1)e x g x x x =--在[)1,+∞上单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，max ()a g x ∴≥，故有1a ≥.20. 2022年2月4日北京冬奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，尤其在我国，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，为了了解人们对“冰墩墩”需求量，某电商平台采用预售的方式，预售时间段为2022年2月5日至2022年2月20日，该电商平台统计了2月5日至2月9日的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）的数据如下表：日期2月5日2月6日2月7日2月8日2月9日第x 天12345人数y （单位：万人）4556646872（1）依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x 天与到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若0.300.75r <<，则线性相关程度一般，若0.75r ≥，则线性相关程度较高，计算r 时精确度为0.01）（2）求参与预售人数y 与预售的第x 天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测2022年2月20日该电商平台的预售人数（单位：万人）.参考数据：()()()55211460, 6.78i i i i i y y x x y y ==-=--=≈∑∑，附：相关系数()()()121ˆˆˆ,n i i i n i i x x y y r b ay bx x x ==--===--∑∑【答案】（1）具有较高的线性相关程度（2）ˆ 6.641.2yx =+，146.8万人【解析】【分析】（1）根据已知数据计算出相关系数r 可得；（2）由已知数据求出回归方程的系数得回归方程，然后在回归方程中令16x =代入计算可得估计值．【小问1详解】由表中数据可得1234545566468723,6155x y ++++++++====，所以()52110i i x x =-=∑又()()()55211460,66i i i i i y y x x y y ==-=--=∑∑所以0.970.75nx x y y r --==≈>所以该电商平台的第x 天与到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）具有较高的线性相关程度即可用线性回归模型拟合人数y 与天数x 之间的关系.【小问2详解】由表中数据可得()()()12166ˆ 6.610ni ii n i i x x y y b x x ==--===-∑∑则ˆˆ61 6.6341.2a y bx=-=-⨯=所以ˆ 6.641.2yx =+令16x =，可得ˆ 6.61641.2146.8y=⨯+=（万人）故预测2022年2月20日该电商平台预售人数146.8万人21. 已知()()2e 2ln x f x x a x x =-+（1）当e a =时，求()f x 的单调性；（2）讨论()f x 的零点个数．【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当0e ≤<a ，0个零点；当e a =或a<0，1个零点；e a >，2个零点【解析】【分析】（1）求出函数的导函数()()e 2e x f x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，可得()10f '=，令()e e x g x x x =-，利用导数说明()g x 的单调性，即可求出()f x 的单调区间；（2）依题意可得()()2ln e 2ln 0x x f x a x x +=-+=，令2ln t x x =+，则问题转化为e t at =，R t ∈，利用零点存在定理结合单调性可判断方程的解的个数.【小问1详解】解：因为e a =，0x >，()()2e e 2ln x f x x x x =-+所以()()()()()2e 22e 2e e 12e 2e x x x x f x x x x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫'=+-+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10f '=令()e e xg x x x =-，()()2e 1e 0x g x x x '=++>，所以()g x 在()0,+∞单增，且()10g =，当()0,1∈x 时()e e 0x g x x x =-<，当()1,x ∈+∞时()e e 0x g x x x =->，所以当()0,1∈x 时()0f x ¢<，当()1,x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增【小问2详解】解：因为()()()2ln 2ln e e 2ln e 2ln 0x x x x f x a x x a x x +=⋅-+=-+=令2ln t x x =+，易知2ln t x x =+在()0,+∞上单调递增，且R t ∈，故()f x 零点转化为()()2ln e 2ln e 0x x t f x a x x at +=-+=-=即e t at =，R t ∈，的设()e t g t at =-，则()e tg t a '=-，当0a =时，()e tg t =无零点；当a<0时，()e 0t g t a '=->，故()g t 为R 上的增函数，而()010g =>，11e 10a g a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g t 在R 上有且只有一个零点；当0a >时，若(),ln t a ∈-∞，则()0g t '<；()ln ,t a ∈+∞，则()0g t '>；故()()()min ln 1ln g t g a a a ==-，若e a =，则()min 0g t =，故()g t 在R 上有且只有一个零点；若0e a <<，则()min 0g t >，故()g t 在R 上无零点；若e a >，则()min 0g t <，此时ln 1a >，而()010g =>，()()22ln 2ln 2ln g a a a a a a a =-=-，设()2ln h a a a =-，e a >，则()20a h a a-'=>，故()h a 在()e,+∞上为增函数，故()()e e 20h a h >=->即()2ln 0g a >，故此时()g t 在R 上有且只有两个不同的零点；综上：当0e ≤<a 时，0个零点；当e a =或a<0时，1个零点；e a >时，2个零点；【点睛】思路点睛：导数背景下的零点问题，注意利用零点存在定理结合函数单调性来讨论.（二）选考题（10分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线1C 的参数方程为e e e e t tt t x y --⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程4cos ρθ=.（1）求1C 的极坐标方程；（2）若曲线π(0)6θρ=>与曲线1C 、曲线2C 分别交于两点A ，B ，点(40)P ，，求△PAB 的面积.【答案】（1）24ππ(cos 244ρθθ=-<<（2）【解析】【分析】（1）将1C 的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的转化公式即可得答案;（2）联立方程，分别求得点A ，B 的极坐标，根据三角形面积公式即可求得答案.【小问1详解】由e e e et tt t x y --⎧=+⎨=-⎩消去参数t ，得224x y -=,因为e e 2t t -+≥，所以曲线1C 的直角坐标方程为224(2)x y x -=≥，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的极坐标方程为24ππ()cos 244ρθθ=-<< ；【小问2详解】由2π64cos2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得:A ρ=所以曲线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于点A π)6，由π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩,得:B ρ=，所以曲线π(0)6θρ=>与曲线2C :4cos ρθ=交于点B π6，则PAB S =△PA PBS S -△O △O 1π4()sin 26B A ρρ=⨯⨯-=选修4-5：不等式选讲23. 己知函数()221f x x a x a =+++-．（1）当0a =时，求不等式()2f x ≥的解集；（2）若对于任意x ∈R ，都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）32a ≤-或1a ≥．【解析】【分析】（1）分0x ≥，102x -≤<，12x <-三种情况打开绝对值，求解即可；（2）打开绝对值，将函数()f x 写成分段函数，结合单调性求解即可【小问1详解】()21f x x x=++当0x ≥时，()312f x x =+≥，解得13x ≥，当102x -≤<时，()12f x x =+≥，解得x ∈∅，当12x <-时，()312f x x =--≥，解得1x ≤-，所以不等式()2f x >的解集为()1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【小问2详解】因为222172()12148(0222a a a a a +++++--==>，故212a a +>-所以()2222231,11,2131,2x a a x a a f x x a a x a a x a a x ⎧⎪++-≥⎪+⎪=+++-≤<⎨⎪+⎪---+<-⎪⎩所以函数()f x 在1,2a +⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上递减，在1,2a +⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增，所以函数()f x 在R 上的最小值为21122a a f a ++⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．所以2122a a ++≥，即223(23)(1)0a a a a +-=+-≥解得32a ≤-或1a ≥。

(安徽皖智1号卷)全国高三数学上学期月考试卷(二)文(含解析)

（安徽皖智1号卷）全国2023届高三数学上学期月考试卷（二）文（含解析）第I 卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设集合U ={-2，-1，0，1，2，3，4}，A={一1，0}，B={0，1，2，3，4}，那么=( )A.{-2,1}B.{-2}C.{-2,0}D.{0,1,2,3,4}2．以下命题中，真命题是( )A ．存在x<0，使得2x>1B ．对任意x ∈R ，x 2 -x+l>0C ． “x>l ”是“x>2”的充分不必要条件D ．“P 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的必要而不充分条件3. 已知向量|a |=2,| b |=l ，且a 与b 的夹角为争那么a 与a +2b 的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π 4．已知倾斜角为θ的直线，与直线x-3y+l=0垂直，那么2223sin -cos θθ=( ) A ．103 B ．一103 C ．1013 D ．一1013 5．设a=0.520152,log 2016,sin1830b c -︒==，那么a ，b ，c 的大小关系是( )A. a>b>cB. a >c> bC. b> c > aD. b > a > c6．函数2cos 22y x x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象是（）7．假设向量m= (-1，4)与n=(2，t)的夹角为钝角，那么函数f (t)=t 2—2t+1的值域是 ( )A ．()1,8181,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. [0,81) (81,+∞)D. [0,+∞)8．在△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b, c ，假设3,a b c b a =，3，那么tanA=( )AB ．1 C．3D.9．在边长为2的正三角形ABC 中，2,3BC BD CA CE AD BE ==⋅=，则A ．1B ．-1C ．3D ．-310已知12()2cos ,,()2,()0,12f x x x R f x f x πω⎛⎫=+∈== ⎪⎝⎭又且|x 1-x 2|的最小值是53π，那么正数ω的值为( ) A ．310 B ．35 C ．103 D ．5311．假设对∀x ，y 满足x> y>m>0，都有yInx<xlny 恒成立，那么m 的取值范围是( ) A. (0,e) B.(0,e] C. [e,e 2] D.[e, +∞)12．定义在R 上的奇函数f (x)满足f (x+1)=f （一x ），当x ∈(0，1)时， 1211log ||,22()10, 2x x f x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，那么f (x)在区间[1，32]内是( ) A ．增函数且f （x ）>0 B ．增函数且f (x)<oC ．减函数且f (x)>0D ．减函数且f （x ）<0第II 卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．函数1()tan 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为。

湖南师大附中2025届高三上学期月考(二)数学试卷(原卷版)

湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）数学命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数11i z =+的虚部是（） A. 1 B. 12 C. 12− D. 1−2. 已知a 是单位向量，向量b 满足3a b −=，则b 的最大值为（） A. 2 B. 4 C. 3 D. 13. 已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（） A. 23− B. 13− C. 23 D. 134. 已知函数()2e 33,0,x a x f x x a x +−<= +≥ 对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x −>−，则实数a 的取值范围为（） A 34a ≤ B. 34a ≥ C. 1a ≤ D. 1a ≥ 5. 如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD −的体积为83，则圆柱的表面积为（）.A. 10πB. 9π2C. 4πD. 8π 6. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A. 52+B. 5+C. 10+D. 117. 设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x +=−.则()y f x =的图象与直线114y x =−的交点个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠−⋅=−，且()()()()()g x g y f x f y g x y −=−，则下列说法正确的是（）A. ()01f =B. ()f x 是偶函数C. 若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g −=− D. 若()()111g f −=，则()()202420242f g += 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（）A. 一个样本的方差()()()22221220133320s x x x =−+−++−，则这组样本数据的总和等于60 B. 若样本数据1210,,,x x x 标准差为8，则数据1221,21,x x −− ，1021x −的标准差为16C. 数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小10. 已知函数()32f x ax bx =−+，则（） A. ()f x 的值域为RB. ()f x 图象的对称中心为()0,2的C. 当30b a −>时，()f x 在区间()1,1−内单调递减D. 当0ab >时，()f x 有两个极值点11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A. 函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +−=的一个太极函数B. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D. 若函数()()3f x kx kx k =−∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈− 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线2ln y x x =−在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =−+相切，则a =__________. 13. 已知椭圆CC :xx 2aa 2+yy 2bb 2=1(aa >bb >0)的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c ，则椭圆C 的离心率为______. 14. 设函数()()44x f x ax x x =+>−，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +−=−. （1）求B ；（2）若ABC ，且2AD DC = ，求BD 的最小值.16. 已知双曲线E 的焦点在x (在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.17. 如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B −==P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.18. 若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3n n n a n b =−=，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .19 已知函数()24e 2x f x x x−=−，()2233g x x ax a a =−+−−（a ∈R 且2a <）. （1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=−是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；的.（2）若()()f x g x ≥对任意()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.的。

长郡中学2025届高三上学期月考(二)数学试卷(解析版)

长郡中学2025届高三月考试卷（二）数学得分__________．本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}(){}2,128tAxx B t t ==∈Z ∣∣ ，则A B = （）A. []1,3−B. {}0,1C. []0,2D. {}0,1,2【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合,A B ，再利用交集的定义求解即可.【详解】{}{}|2=22A x x xx =≤−≤≤∣，由指数函数的性质可得(){}{}1280,1,2,3tB t t =≤≤∈=Z ∣，所以{}{}{}220,1,2,30,1,2A B xx ∩−≤≤∩∣. 故选：D.2. 已知复数z 满足i 1z −=，则z 的取值范围是（） A. []0,1 B. [)0,1C. [)0,2D. []0,2【答案】D 【解析】【分析】利用i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离可得答案. 【详解】因为在复平面内，i 1z −=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，即i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， z 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z 的取值范围是[0,2]. 故选：D3. 已知()2:ln (11)1p f x a x x=+−<< −是奇函数，:1q a =−，则p 是q 成立的（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】当p 成立，判断q 是否成立，再由q 成立时，判断p 是否成立，即可知p 是q 成立何种条件.【详解】由()f x 奇函数，则()00f =，即()ln 20a +=，解得1a =−，所以p q ⇒，当1a =−时，()21ln 1ln 11x f x x x +=−=−−，11x −<<， ()()1111ln ln ln 111x x x f x f x x x x −−++∴−===−=− +−−，所以()f x 是奇函数，所以p q ⇐，所以p 是q 的充要条件. 故选：A.4. 若锐角α满足sin cos αα−sin 22πα+=（） A.35B. 35C. 35 或35D. 45−或45【答案】B 【解析】【分析】先利用辅助角公式求出πsin 4α−，再利用角的变换ππsin 2sin 2π24αα+=−+，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题意可得πsin cos 4ααα−=−=πsin 4α−.是因为α是锐角，所以πππ,444α −∈−，πcos 4α −所以πππππsin 2sin 2πsin 22sin cos 24444ααααα+=−+=−−=−−−325=−=−. 故选：B.5. 某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（）A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生【答案】C 【解析】【分析】将问题转化不等式问题，利用不等式性质求解. 【详解】根据已知条件设理科女生有1x 人，理科男生有2x 人，文科女生有1y 人，文科男生有2y 人；根据题意可知1212x x y y +>+，2211x y x y +<+，根据异向不等式可减的性质有()()()()12221211x x x y y y x y +−+>+−+，即有12x y >，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证. 故选：C.6. 如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且,AP BP O =为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC所成的角的正切值为（）为A. 2B.12C.D.【答案】A 【解析】【分析】作出直线OP 与平面ABC 所成的角，通过解直角三角形来求得直线OP 与平面ABC 所成的角的正切值.【详解】设O ′为下底面圆的圆心，连接,OO CO ′′和CO ，因为AP BP =，所以AB OP ⊥，又因为,,AB OO OP OO O OP OO ′′⊥=⊂′ 、平面OO P ′，所以AB ⊥平面OO P ′，因为PC 是该圆台的一条母线，所以,,,O O C P ′四点共面，且//O C OP ′，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面POC ，又因为平面ABC 平面POC OC =，所以点P 在平面ABC 的射影在直线OC 上，则OP 与平面ABC 所成的角即为POC OCO ∠=∠′，过点C 作CD OP ⊥于点D ，因为4cm,2cm OP O C ′==，所以tan tan 2OO POC OCO O C∠=′′∠==′. 故选：A7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y kx =+与圆22:1C x y +=交于,A B 两点，则AOB 的面积的最大值为（）A. 1B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出AOB 的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论.【详解】根据题意可得直线1:2l y kx =+恒过点10,2E，该点在已知园内，圆22:1C x y +=的圆心为()0,0C ，半径1r =，作CD l ⊥于点D ，如下图所示：易知圆心C 到直线l 的距离为12CD CE ≤=，所以1cos 2CD DCB CB ∠=≤，又π0,2DCB∠∈，可得ππ,32DCB∠∈；因此可得2π2,π3ACB DCB∠=∠∈，所以AOB 的面积为112πsin 11sin 223AOB S CA CB ACB =∠≤×××= 故选：D 8. 设函数()()2ln f x xax b x =++，若()0f x ≥，则a 的最小值为（）A. 2−B. 1−C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数性质判断ln x 在不同区间的符号，在结合二次函数性质得1x =为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，而01ln 0x x <<⇒<，1ln 0x x =⇒=，1ln 0x x >⇒>，要使()0f x ≥，则二次函数2y x ax b =++，在01x <<上0y <，在1x >上0y >，所以1x =为该二次函数的一个零点，易得1b a =−−，则2(1)(1)[(1)]y x ax a x x a =+−+=−++，且开口向上，所以，只需(1)0101a a a −+≤⇒+≥⇒≥−，故a 的最小值为1−.故选：B二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（） A. 若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B. 若1(,)3X B n ，则()4219D X n += C. 若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D. 当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布【答案】BC 【解析】【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB ；利用二项分布的概率公式计算判断C ；利用二项分布与超几何分布的关系判断D.【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确；对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误；对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误；对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC10. 已知函数()sin cos (,0)f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则（）A. 0a >B. 函数π6f x−为偶函数 C. 满足条件的正实数ω存在且唯一 D. ()f x 是周期函数，且最小正周期为π 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，求得函数π()2sin(2)3f x x =+，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()sin cos )f x x a x x ωωωϕ=++，且tan a ϕ=，因为函数()f x 的最大值为22=，解得a =，又因为(0)0f a =>，所以a =A 正确； ()πsin 2sin 3f x x x x ωωω ==+因为πππ2sin 1443f ω=+= ，且函数()f x 在π4的附近单调递减，所以ππ5π2π,Z 436k k ω++∈，所以28,Z k k ω=+∈，又因为π24T >，可得π2T >π2>，解得04ω<<，所以2ω=，此时π()2sin(2)3f x x =+，其最小正周期为πT =，所以C 、D 正确；设()πππ2sin 22sin 2663F x f x x x=−=−+=，()()2sin[2()]2sin 2F x x x F x −=−=−=−，所以FF (xx )为奇函数，即函数π()6f x −为奇函数，所以B 不正确. 故选：ACD.11. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，直线l 经过F 且与C 交于,A B 两点，其中点A 在第一象限，线段AF 的中点M 在y 轴上的射影为点N .若MN NF =，则（）A. lB. ABD △是锐角三角形C. 四边形MNDF2 D. 2||BF FA FD ⋅> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知MNF 为等边三角形，即可得直线l 的倾斜角和斜率，进而判断A ；可知直线l 的方程，联立方程求点,A B 的坐标，求相应长度，结合长度判断BD ；根据面积关系判断C.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02p F，准线为2px =−，即,02p D −，设()()112212,,,,0,0A x y B x y y y ><，则111,,0,2422x y y p M N+，可得，因为MN NF =，即MN NF MF ==，可知MNF 为等边三角形，即60NMF ∠=°，且MN ∥x 轴，可知直线l 的倾斜角为60°，斜率为tan 60k =°=，故A 正确；则直线:2p l y x =− ，联立方程222p yx y px=− =，解得32p x y ==或6p x y p= =，即32p A，,6p B p，则,M p p N p，可得28,,,2,,33DFp AD p BDp FA p FB p AB p ======，在ABD △中，BD AD AB <<，且2220BD AD AB +−<，可知ADB ∠为最大角，且为锐角，所以ABD △是锐角三角形，故B 正确；四边形MNDF 的面积为21122MNDF BDF MNF S S S p p p p p =+=×+×=△△，故C 错误；因为224,3FB FA p FD p ⋅==，所以2||BF FA FD ⋅>，故D 正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；（2）面积问题常采用12S =× 底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在ABC 中，AD 是边BC 上的高，若()()1,3,6,3AB BC==，则AD =______．【解析】【分析】设()6,3BD mBC m m == ，表达出()61,33AD m m =++ ，根据垂直关系得到方程，求出13m =−，进而得到答案.【详解】设()6,3BD mBC m m == ，则()()()1,36,361,33AD AB BD m m m m =+=+=++，由0AD BC = 得6(61)3(33)366990AD BC m m m m =+++=+++=，解得13m =−，故()()12,311,2AD =−−=− ，所以||AD ..13. 已知定义在RR 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =−+，则曲线yy =ff (xx )在点()()0,0f 处的切线方程为_____________. 【答案】3y x =+ 【解析】【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为()()23e xf x f x =−+，所以()()23e x f x f x −−=+，联立可解得()=e 2e xx f x −+，所以()03f =，所以()()e2e ,01xx f x f −=′−+=′. 所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为3y x −=，故所求的切线方程为3y x . 故答案为：3y x .14. 小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子,A B 中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B 中的1颗糖放入A 中，否则将A 中的1颗糖放入B 中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B 中没有糖的概率是__________．【答案】117【解析】【分析】设最初在A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖时，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = ，归纳找出递推关系，利用方程得出0a ，再由递推关系求3a .【详解】设A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = . 显然0113a a =，()65112112,153333k k k a a a a a k +−=+=+≤≤，可得()112k k k k a a a a +−−=−，则()566510022a a a a a −=−=，()65626765040010002222221a a a a a a a a a a ∴=+=++=+++=− ，同理()256510002221a a a a a =+++=− ，()()760021212133a a ∴−=−+，解得011385255a ==× ()430112115.25517a a ∴=−=×=故答案为：117【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统一的递推关系，利用递推关系建立方程求出0a ，即可得出这一统一模型的答案.四､解答题（本大题共5小题，共77分，解签应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列{}n a 中，11a =，且0,n n a S ≠为数列{}n a 的前nn a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)n n n n n c a a +−=，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）21na n =− （2）421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数【解析】【分析】(1)1={aa nn }的通项公式； (2) 求出(1)1142121n n c n n − =+ −+，再讨论n 为奇、偶数，利用裂项相消法即可求数列{}n c 的前n 项和. 【小问1详解】根据题意知1,2n n n a S S n −=−≥0n a +≠=②，1,2n =≥，所以可得1=为首项，1为公差的等差数列，11n n =+−=，所以2n S n =，121,2n n n a n S S n −−==−≥，当1n =时11a =也满足该式，所以21na n =−. 【小问2详解】由(1)结论可知21n a n =−，所以()()1(1)(1)(1)11212142121n n n n n n n n c a a n n n n +−−− ===+ −+−+，设{}n c 的前n 项和为n T ，则当n 为偶数时，111111111111433557212142142n n T n n n n =−+++−++++=−+=− −+++则当n 为奇数时，1111111111111433557212142142n n T n n n n + =−+++−++−+=−−=− −+++所以421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数.16. 如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===.（1）证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；（2）若M 为线段CD 1=，求二面角A EM B −−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出OE ⊥平面ABCD ，由OE ⊂平面CDEF 进而得出面面垂直；（2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值.【小问1详解】证明：在平面CDEF 内，过E 做EO 垂直于CD 交CD 于点O ，由CDEF 为等腰梯形，且24CD EF ==，则1,DO =又OE =，所以2OE ，连接AO ，由ADO EDO ≅ ，可知AO CD ⊥且2AO =，所以在三角形OAE 中，222AE OE OA =+，从而OE OA ⊥，又,,,OE CD OA CD O OA CD ⊥∩=⊂平面ABCD ，，所以OE ⊥平面ABCD ，又OE ⊂平面CDEF ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF【小问2详解】由（1）知，,,OE OC OA 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2A E M B ，()()()2,0,2,2,2,0,0,0,2AE EM MB =−=−= ，设平面AEM 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AE n EM ⋅= ⋅=，即220220x z x y −= −+= ，取1z =，则()1,1,1n = ，设平面BEM 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m MB m EM ⋅= ⋅=，即11120220z x y = −+= ，取11y =，则()1,1,0m = ，所以cos,m nm nm n⋅==⋅由图可以看出二面角A EM B−−为锐角，故二面角A EM B−−.17. 已知函数2()e2,Rxf x ax a=−∈．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）(],1−∞【解析】【分析】（1）对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，再分类讨论a的取值，得出导数的正负即可得出单调区间；（2）对a进行分类讨论，根据导数正负求得()f x的最小值，判断是否满足()1f x≥，即可求解．【小问1详解】对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，令()0f x′=，即22e20x a−=，即2e x a=，当0a≤时，ff′(xx)>0恒成立，()f x在R上单调递增；当0a>时，21e,2ln,ln2x a x a x a===，当1ln2x a<时，()()0,f x f x′<在1,ln2a∞−上单调递减；当1ln2x a>时，ff′(xx)>0，()f x在1ln,2a∞+上单调递增；综上，当0a≤时，()f x单调递增区间为R；当0a>时，()f x的单调递减区间为1,ln2a∞−，单调递增区间为1ln,2a∞+．【小问2详解】因为对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，的的对2()e 2x f x ax =−求导，可得2()2e 2x f x a ′=−，令()0f x ′=，即22e 20x a −=，即2e x a =，①当0a ≤时，ff ′(xx )>0，则()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ②当01a <≤时，2e x a =，则1ln 02x a ≤，则()0f x ′>，()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ③当1a >时，2e x a =，则1ln 02xa >，当10,ln 2x a∈ 时，()0f x ′<，则()f x 在10,ln 2a单调递减，当1ln ,2x a ∞ ∈+ 时，()0f x ′>，则()f x 在1ln ,2a ∞ +单调递增，所以()ln 11ln e 2ln ln 22a f x f a a a a a a ≥=−⋅=−，令()ln ,1g a a a a a =−>，则()ln 0g a a ′=−<，所以()g a 在(1,+∞)上单调递减，所以()()11g a g <=，不合题意；综上所述，(],1a ∞∈−．18. 已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的一条渐近线方程为y =，过1F 且与x 轴垂直的直线与E 交于P ，Q 两点，且2PQF 的周长为16.（1）求E 的方程；（2）,A B 为双曲线E 右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点()0,4C ，求ACB ∠的取值范围.【答案】（1）22:13y E x −=；（2）2π0,3. 【解析】【分析】（1）将x c =−代入曲线E 得2b y a =±，故得211b PF QF a==，从而结合双曲线定义以及题意得24416b a b a a = +=，解出,a b 即可得解. （2）设:AB y kx m =+，联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得ACM ∠的正切值，进而得ACM ∠范围，从而由2ACB ACM ∠=∠即可得解.【小问1详解】将x c =−代入2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>，得2b y a=±，所以211b PF QF a==，所以2222b PF QF a a ==+，所以由题得24416b a b a a= +=，1a b = ⇒ = 所以双曲线E 的方程为22:13y E x −=. 【小问2详解】由题意可知直线AB斜率存在且k ≠，设:AB y kx m =+，AA (xx 1,yy 1),BB (xx 2,yy 2),设AB 的中点为M . 由2233y kx m x y =+ −=消去y 并整理得222(3)230k x kmx m −−−−=，230k −≠，则22222(2)4(3)(3)12(3)0km k m m k ∆=+−+=+−>，即223m k >−， 12223km x x k+=−，212233m x x k +=−−，12122226()2233km m y y k x x m k m k k +=++=⋅+=−−，于是M 点为2(3km k −，23)3m k −，2223431243M C MC M m y y m k k k km x kmx k −−−+−===−. 由中垂线知1A MC B k k ⋅=−，所以231241m k km k−+=−，解得：23m k =−. 所以由,A B 在双曲线的右支上可得：22221220333033m m x x m k k k m+−<+=−=>⇒⇒=−>−，且12222003km x x k k k+>⇒>−，且()()()()()22222222Δ43390333403m k k k k k k =−+>⇒−+−=−−>⇒<或24k >，综上24k >即2k >，又CM =，所以tan AM ACM CM ∠===因为24k >，所以213m k =−<−，故2333k 0−−<<(，所以π0,3ACM∠∈. 所以2π20,3ACB ACM∠=∠∈ . 19. 对于集合,A B ，定义运算符“Δ”:Δ{,A B x x A x B =∈∈∣两式恰有一式成立}，A 表示集合A 中元素的个数．（1）设][1,1,0,2A B =−= ，求ΔA B ；（2）对于有限集,,A B C ，证明ΔΔΔA B B C A C +≥，并求出固定,A C 后使该式取等号的B 的数量；（用含,A C 的式子表示）（3）若有限集,,A B C 满足ΔΔΔA B B C A C +=，则称有序三元组(),,A B C 为“联合对”，定义{}*1,2,,,I n n ∈N ，(){},,,,u A B C A B C I ⊆∣． ①设m I ∈，求满足ΔA C m =的“联合对”(),,A B C u ⊆的数量；（用含m 的式子表示） ②根据（2）及（3）①的结果，求u 中“联合对”的数量．【答案】（1）[1,0)(1,2]−∪（2）||2A C ∆（3）①C 2m n m n +⋅②6n【解析】【分析】（1）根据新定义，对区间逐一分析即可得解；（2）利用韦恩图及新定义，求出不等式等号成立的条件，利用集合的性质转化为求子集个数；（3）①分别求出(),A C ,B 取法的种数，再由分步乘法计数原理得解②结合（2）及（3）①的结果，利用二项式定理求解.【小问1详解】对于,,[1),0x x A x B −∈∈∉，故x A B ∈∆；对于,,[0,1]x x A x B ∈∈∈，故x A B ∉∆；对于,,(1,2]x x A x B ∉∈∈，故x A B ∈∆；对于,,[1],2x x A x B ∉−∉∉，故x A B ∉∆，即[10)(12],,A B −∆ .【小问2详解】画出Venn 图，如图，将A B C 划分成7个集合17,,S S ，则14562547||||||||||,||||||||||A B S S S S B C S S S S ∆=+++∆=+++，1267||||||||||A C S S S S ∆=+++，故45||||||2||2||0A B B C A C S S ∆+∆−∆=+≥不等式成立，当且仅当45S S ==∅时取等号， 4S =∅等价于()A C B ∩⊆，5S =∅等价于()B A C ⊆∪，故当且仅当()()A C B A C ∩⊆⊆∪取等号. 设()B A C D =∩∪，其中集合D 与A C 无交集，由于()\()A C A C A C ∆= ，故有()()\ΔD A C A C A C ∅⊆⊆∪∩=，即D 为A C ∆的某一子集，有||2A C ∆种，从而使上式取等的B 有||2A C ∆个.【小问3详解】①设X A C u =∆⊆，有||X m =，故X 有C m n 种取法，对于每一个x ，知X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，且/I X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，故,x I x ∀∈共有两种选择，也就是这样的(),A C 有||22I n =种，对于每一个(),A C ，由（2）知B 有||22A C m ∆=种取法.故由乘法原理，这样的“联合对(),,A B C 有C 2m n m n +⋅个.②由①知，u 中“联合对”的数量为()00C 22C 212216n n n m n m n m m n m n n nnm m +−===⋅=+=∑∑(二项式定理)，故u 中“联合对”(),,A B C 的数量为6n .【点睛】关键点点睛：集合新定义问题的关键在于理解所给新定义，会抽象的利用集合的知识，分步乘法计数原理，二项式定理推理运算，此类问题难度大.。

广东省深圳外国语学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题(含答案)

深圳外国语学校2024-2025学年度高三第一学期第二次月考数学试题试卷共4页，卷面满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知命题，则命题的否定为（）A. B.C. D.3.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C.D.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.5.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（）A.1B.2C.3D.46.已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为{{},21x A xy B y y ====+∣∣A B ⋂=(]1,2(]0,1[]1,2[]0,2:1,1p x x ∀>>p 1,1x x ∀><1,1x x ∀≤>1,1x x ∃>≤1,1x x ∃≤≤()()3x x a f x -=30,2⎛⎫⎪⎝⎭a (),1∞--[)3,0-(]0,1[)3,∞+()1cos ex x xf x -=a b c ､､2240a ab b c -+-=c ab 236a b c+-()f x (),e xy f x =+R ()3e xy f x =-()ln3f（）A.B.3C.D.7.已知三倍角公式，则的值所在的区间是（）A. B. C. D.8.已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）A.B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若函数定义域为，则函数的定义域为B.若定义域为的函数值域为，则函数的值域为C.函数与的图象关于直线对称D.成立的一个必要条件是10.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（）A.的图象关于点对称B.是以8为周期的周期函数C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.731031133sin33sin 4sin ααα=-sin10 11,43⎛⎫⎪⎝⎭11,54⎛⎫ ⎪⎝⎭11,65⎛⎫ ⎪⎝⎭11,76⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=(),x f x ()g x m ()0,2()0,8[)2,8(),0∞-()f x []1,3()21f x +[]0,1R ()f x []1,5()21f x +[]0,215xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭5log y x =-y x =a b >1a b ->log 1a b >a b <1ab a b+>+11a b a b ->-11a b a b+<+R ()f x ()g x ()()21f x g x ++-=()f x ()2,1()f x ()()8g x g x +=20241(42)2025k f k =-=∑12.已知函数，则__________.13.已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是__________.14.若，则的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求c 的取值范围.16.（本小题满分15分）记的角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若点是边上一点，且，求的值.17.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.（1）若，求证：平面；（2）若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；()cos2f x x =066lim x f x f xππ∆→⎛⎫⎛⎫+∆-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∆()223,2(06log ,2a x x x f x a x x ⎧-++≤=>⎨+>⎩1)a ≠()f x (],4∞-a ()e 1xa xb ≥++()1a b +()32.f x x ax bx c =+++().y f x =()()0,0f 4a b ==()f x ABC V ,,A B C ,,a b c sin sin sin A B Cb c a b-=++A D BC ,2AB AD CD BD ⊥=sin ADB ∠P ABCD -ABCD π3ABC ∠=E AD P H EC M PC 2CM MP =PE ∥MBD ,PB EM PC EC ⊥=M B EM C --()()()2ln 1cos 2g x x x =--+--()f x ()g x 1x =-()f x（2）在定义域内恒成立，求a 的值；（3）求证：，.19.（本小题满分17分）设集合，其中.若集合的任意两个不同的非空子集，都满足集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等，则称集合具有性质.（1）试分别判断在集合与是否具有性质P ，不必说明理由；（2）已知集合具有性质P .①记，求证：对于任意正整数，都有；②令，，求证：；（3）在（2）的条件下，求的最大值.()1f x ax -≤2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑*n ∈N {}()12,,,3n S a a a n =≥ *,1,2,,i a i n ∈=N S A B ､A B S P {}11,2,3,4S ={}21,2,4,8S ={}12,,,n S a a a = 121kik i aa a a ==+++∑L k n ≤121kk i i a =≥-∑12i i i d a -=-1kk ii D d==∑0k D ≥12111na a a +++深圳外国语学校2025届高三第二次月考数学答案一､选择题：题号1234567891011答案ACDADDCBACBDABC二､填空题12. 13.14.三､解答题15.解：（1）由，得.因为，，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，，所以.令，得，解得或.与在区间上的情况如下：所以，当且时，⎫⎪⎪⎭e2()32f x x ax bx c =+++()232f x x ax b =++'()0f c =()0f b '=()y f x =()()0,0f y bx c =+4a b ==()3244f x x x x c =+++()2384f x x x =++'()0f x '=23840x x ++=2x =-23x =-()f x ()f x '(),-∞+∞x(),2-∞-2-22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭23-2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x Zc]3227c -Z0c >32027c -<存在，，，使得.由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点.16.（1）由及正弦定理得，整理得，所以由余弦定理得：因为，所以.（2），记，则.在中，.①在中，由正弦定理得.②由①②及得，解得.由，解得.17.（1）设，因为底面是边长为2的菱形，所以，对角线BD 平分，又为棱的中点，所以，在中，根据角平分线性质定理得，又，所以，所以，，平面，且平面平面.()14,2x ∈--222,3x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()1230f x f x f x ===()f x 320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()3244f x x x x c =+++sin sin sin A B C b c a b -=++a b cb c a b-=++222a b c bc =++2221cos ,22b c a A bc +-==-()0,πA ∈2π3A =π6DAC BAC BAD ∠=∠-∠=ADB α∠=π6C DAC αα∠=-∠=-Rt ABD V cos AD BD α=ADC V ππsinsin 66AD CDα=⎛⎫- ⎪⎝⎭2CD BD =cos 2ππsin sin 66αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭4=tan α=22πtan cos 1,0,2αααα⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭sin α=sin ADB ∠=BD CE N ⋂=ABCD CD AB =ADC ∠E AD 2CD AB DE ==ADC V 2CN CDNE DE==2CM MP =2CM MP =2CN CMNE MP==MN ∴∥PE PE ⊄MBD MN ⊂,MBD PE ∴∥MBD（2）平面，且平面，，因为，所以，在中，，，所以是等边三角形，又为棱的中点，所以，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面ABCD ，平面，又平面，，又，平面，平面，且平面，.因为P 在底面的投影H 为线段的中点，所以，又所以为等边三角形，故为中点，所以在底面上的投影为的中点.在中，，，以为原点，分别以为轴，以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，所以，，设是平面的一个法向量，则，令，则，即，平面，是平面的一个法向量，PH ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PHBC ∴⊥π3ABC∠=2π3BCD ∠=ACD V CD AB =π3ABC ∠=ACD V E AD BC CE ⊥PH ⊥ ABCD PH⊂PCE PCE ⊥ABCD PCE ⋂ABCD =CE BC ⊂BC ∴⊥PEC EM ⊂PEC BC EM ∴⊥PB EM ⊥ ,,PB BC B PB BC ⋂=⊂PBC EM ∴⊥PBC PC ⊂PBC EM PC ∴⊥EC PC PE =PC CE =PCE V MPC M ABCD CH CDE V CE ===3,2CEAD PH ⊥== C ,CB CE ,x y C ABCD z ()()()30,0,0,2,0,0,,4C B E M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()32,,4EB ME ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭(),,n x y z = EBM 0203004n EB x n ME y z ⎧⋅=⇒=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 2y =x z ==2,n =BC ⊥ PEC ()2,0,0CB ∴=PEC因为二面角是一个锐角，所以二面角18.（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，则其关于对称的点在图像上，则，则，故，；（2）令，，则在在恒成立，又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，，，下证当时，在恒成立，令，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，.（3）由（2）可知：，则，即，则，又由（2）可知：在上恒成立，则在上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，cos ,n CB n CB n CB⋅∴===⋅B EMC --B EM C --()f x ()00,x y 1x =-()002,x y --()g x 000()(2)y f x g x ==--0000()(2)2ln(1)cos f x g x x x =--=++0(1)x >-()()2ln 1cos f x x x =++()1x >-()()()12ln 1cos 1h x f x ax x x ax =--=++--()1x >-()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()00h =()h x (1,)x ∈-+∞0x =()h x 2()sin 1h x x a x '=--+(0)202h a a '=-=⇒=2a =()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()ln(1)x x x ϕ=+-1()111x x x x ϕ'=-=-++()1,0x ∈-()0x ϕ'>()x ϕ()1,0-(0,)x ∈+∞()0x ϕ'<()x ϕ()0,∞+()()00x ϕϕ≤=()ln 1x x ≤+(1,)-+∞cos 1x ≤2a =()()()()12ln 1cos 10h x f x ax x x x ⎡⎤=--=+-+-⎦≤⎣2a =()12f x x -≤11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122f k k⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭211111122122nk n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ()ln 1x x ≤+()1,-+∞ln 1x x ≤-()0,∞+1x =(0,1)1nx n =∈+*N n ∈1ln1111n n n n n -<-=+++即，则，综上，，即证19.（1）对于集合，因为，故集合的元素和相等，故不具有性质.对于，其共有15个非空子集：，，各集合的和分别为：，，它们彼此相异，故具有性质.（2）①因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，否则有两个非空子集，它们的元素和相等，而也是的子集，故不具有性质，矛盾.注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，且子集的和最大为，最小为，故.②因为，故，由①可得，故.（3）不妨设，设，则，由（2）可得，且.而11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n+++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=21112ln 2ln 42nk n f k =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑{}11,2,3,4S =1423+=+{}{}1,4,2,31S P {}21,2,4,8S ={}{}{}{}{}{}{}{}{}{}8,,,,,,1,2481,21,41,82,42,,,84,{}{}{}{}{}1,2,41,2,81,4,82,4,81,2,4,8,,,,59610121,2,4,8,3,,,,,7,11,13,14,152S P {}12,,,n a a a P k {}12,,,k a a a P {}12,,,k a a a ,A B ,A B {}12,,,n a a a {}12,,,n a a a P {}12,,,k a a a 21k -12k a a a +++ 1a 1221kk a a a +++≥- 12i i i d a -=-()112122k k k D a a a -=+++-+++ ()1221k k a aa =+++-- ()12210kk a a a +++--> 0k D ≥12n a a a <<< 1121112122111112112222n n n n n n a a a a a a a a a ---⎛⎫+++-+++=+++ ⎪--⎝⎭- 112i i ic a -=10i i c c +->12i i i d a -=-10kk ii D d==≥∑112112211222122n n n n n n a a a c d c d c d a a a ---+++=+++-- ()()()112213321n n n c D c D D c D D c D D -=+-+-++-，故，当且仅当时等号成立，即此时任意的正整数，即故此时时等号成立，故的最大值为.()()()121232110n n n n n c c D c c D c c D c D --=-+-++-+≥ 111211*********n n n a a a --+++≤+++=- 120n D D D ==== k 1221kk a a a ++=-1111,222kk k k a a --==-=12k k a -=12111n a a a +++ 1122n --。

宁夏银川重点名校2023届高三上学期第二次月考数学(文)试题及答案

2023届高三年级第二次月考文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示A ．无症状感染者B ．发病者C ．未感染者D ．轻症感染者2．已知2i z =+，则(i)z z -= A ．2i - B ．12i +C ．62i -+D ．62i -3．如图所示的程序框图，输入3个数，0.12a =，0.23b -=，41log 2c =，则输出的a 为 A ．0 B ．0.12C ．0.23-D ．41log 24．已知{}n a 是等差数列，172a a +=-，32a =，则{}n a 的公差d 等于 A ．3B ．4C ．-3D ．-45．设()0sin f x x =，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n N ∈，则()2020f x = A ．sin x B ．sin x -C ．cos xD ．cos x -6．若110a b<<，则下列不等式成立的是 A ．a b ab -> B ．a b ab -< C ．b a ab -> D ．b a ab -<7．若x ，y 满足约束条件423x y x y y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．6B ．10C ．14D ．188．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]9．函数()ln e e x xy -=+的图像大致是A ．B ．C ．D ．10．已知实数,0x y >，且11y x+=，则12x y +的最小值是A ．6B ．322+C ．232+D ．1211．已知⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,30,)(3x x x x exx f x ，若关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，则实数k 的取值范围为A ．72(,)(,)2e e -∞--+∞B ．72](,2e e--C ．72(,)2e e--D ．72(,(,2])e e-∞--+∞12．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{}n x 满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为牛顿数列，如果()22f x x x =--，数列{}n x 为牛顿数列，设1ln2n n n x a x +=-且11a =，2n x >，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2022S = A ．202221-B ．202222-C ．20221122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2022122⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分)13．已知函数2,0()2,0x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，若f [ f ( - 1 ) ] = 4 ，且a > - 1 ，则 a =______.14．若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ的取值范围是___________.15．数列121321,,,,n n a a a a a a a ---⋯-，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么n a =________.16．已知定义域为R 的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，满足2()()4,(1)1f x xf x f >'+=,则21()2f x x >-的解集为_________．三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

安徽省六安第二中学2024-2025学年高三上学期第二次月考(10月) 数学试题

六安二中2025届高三第二次月考试题数学分值：150分时间：120分钟注意事项1.考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上并粘好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它选项.不能答在试题卷上.3.解答题按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域的答案无效.4.保持答题卡卷面清洁，不折叠，不破损.第Ⅰ卷(选择题58分)一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上.1.设集合{}|1A x x =<，集合{|B y y ==，则A∩B=（）A.（-1，1）B.（0，1）C.[0，1）D.（1，+∞）2.已知x ∈R ，则“10ln 2x <≤”是“102x x -<-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知12log 3a =，sin6b π=，20.5c -=，则（）A.a <b <cB.b <c <aC.c <a <bD.b <a <c4.函数2ln ||||x x y x =的图象大致是（）A.B. C. D.5.已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x （x +2）.若.f （2+m ）+f （2m-5）>0，则m 的取值范围为（）A.（-∞，0）B.（0，+∞）C.（-∞，1）D.（1，+∞）6.科学技能的迅猛发展，使人们在学校里学到的专业知识，逐步陈旧过时，这就是所谓的“知识半衰期”.1950年以前，知识的半衰期为50年：21世纪，知识的半衰期平均为3.2年；IT 业高级工程师1.8年.如果一个高三学生的初始知识量为0T ，则经过一定时间，即t 个月后的知识量T 满足01()2a a ht T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，h 称为知识半衰期，其中a T 是课堂知识量，若25a T =，某同学知识量从80降至75大约用时1个月，那么知识量从75降至45大约还需要（）（参考数据:lg2≈0.30，lg11≈1.04）A.8个月B.9个月C.10个月D.11个月7、已知函数2,1()23,1x a a x f x ax ax a x ⎧+≥=⎨-+-+<⎩（a >0且a ≠1），若f （x ）的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.20,3⎛⎤⎥⎝⎦B.31,2⎛⎤⎥⎝⎦C.[2，+∞）D.[3，+∞）8.对于x ∈（0，+∞），不等式()()ln 10x e mx m x -+-≥恒成立，则实数m 的取值范围为（）A.0<m <1B.0<m ≤1C.0<m ≤eD.0<m <e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列结论中正确的是（）A.若函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x +2）的定义域为[-1，0]B.当x ∈R 时，不等式210kx kx ++>恒成立，则k 的取值范围是（0，4）C.命题“∀x >1，x 2-x >0”的否定是20001,0x x x ∃≤-≤”D.函数||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（0，1]10.已知a =log 315，b =log 515，则（）A.111ab+= B.ab >4C.a 2+b 2<8D.a +b >411.设函数f （x ）与其导函数f '（x ）定义域均为R ，且f '（x +2）为偶函数，110f x f x +--=（）（），则（）A.f '（1+x ）=f '（1-x ）B.f '（3）=0C.f '（2025）=1D.f （2+x ）+f （2-x ）=2f （2）第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数2()lg(43)f x x x =-+的单调递减区间为__________.13.已知曲线y =x +ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y =ax 2+(2a +3)x +1只有一个公共点，求a 的值__________.14.已知函数ln ,0,()1,0x x x f x x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩若函数()()()()1g x f f x af x =-+有唯一零点，则实数a 的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知命题P :“∃x ∈R ，x 2-ax +1=0”为假命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A .(Ⅰ)求集合C R A ;(Ⅱ)设集合B ={x |m+1<x <2m+1}，若t ∈A 是t ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16.(15分)已知函数21()log 1xf x x-=+.(Ⅰ)判断并证明f (x )的奇偶性；(Ⅱ)若对任意11,,[2,2]33x t ⎡⎤∈-∈-⎢⎣⎦，不等式.f (x )≥t 2+at -6恒成立，求实数a 的取值范围.17.(15分)函数f (x )=(x +1)e x .(Ⅰ)求函数在(-2，f (-2))处的切线方程;(Ⅱ)求出方程f (x )=a (a ∈R)的解的个数.18.(17分)已知函数.f (x )=ac 2x +(a -2)c x -x ，(Ⅰ)当a >0时，求f (x )的单调区间:(Ⅱ)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.19.(17分)从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为r .牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在x 轴找初始点P 0(x 0，0)，然后作y =f (x )在点Q 0(x 0，f (x 0))处切线，切线与x 轴交于点P 1(x 1，0)，再作y =f (x )在点(Q 1(x 1，f (x 1))处切线(Q 1P 1⊥x 轴，以下同)，切线与x 轴交于点.P 2(x 2，0)，.再作y =f (x )在点Q 2(x 2，f (x 2))处切线，一直重复，可得到一列数:x 0，x 1，x 2，∴，x n .显然，它们会越来越逼近r .于是，求r 近似解的过程转化为求x n ，若设精度为ε，则把首次满足|x n -x n ₋1|<ε的x n 称为r 的近似解.(Ⅰ)设f (x )=x 3+x 2+1，试用牛顿法求方程.f (x )=0满足精度ε=0.4的近似解(取x 0=-1，且结果保留小数点后第二位)；(Ⅱ)如图，设函数g(x )=2x ;(i)由以前所学知识，我们知道函数8g(x )=2x 没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释?(ii)若设初始点为P 0(0，0)，类比上述算法，求所得前n 个三角形00111211,,,n n n Q P P P PQ P P Q -- 的面积和.六安二中2025届高三第二次月考试题数学参考答案及评分标准(仅供参考)题号1234567891011答案CAADDCBCADABDBD6.【详解】由题意得117525(8025)2h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1110211h⎛⎫= ⎪⎝⎭;则14525(7525)2t H⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1120502th ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得102115t⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边取对数102lg 1lg 115t =，25lg lg 2lg 52lg 2120.3110101lg11lg111 1.04lg 11t --⨯-===≈=---，故选:C.7.【详解】当x <1时，则f (x )=-ax 2+2ax -a +3=-a (x -1)2+3，且a >0，所以f (x )=-a (x -1)2+3<3，若函数f (x )的值域为R ，可知当x ≥1时，则.f (x )=a x +a 的值域包含[3，+∞)，若0<a <1，则.f (x )=a x +a 在[1，+∞)内单调递减，可得f (x )≤f (1)=2a ，不合题意;若a >1，则.f (x )=a x +a 在[1，+∞)内单调递增，可得f (x )≥f (1)=2a ，则2a ≤3，解得312a <≤;综上所述：实数a 的取值范围是31,2⎛⎤⎥⎝⎦故选:B.8.【详解】已知x ∈(0，+∞)，由()()ln 10x e mx m x -+-≥得，()()ln ln x mxe x e mx +≥+，构造函数f (x )=e x +x ，f (x )是R 上的增函数，则由.f (x )≥f (ln(m x ))得：x ≥ln(mx )，即x e m x ≤，令(),(0,)x eg x x x =∈+∞，2(1)()xx e g x x -'=，当x ∈(0，1)，g'(x )<0，则g(x )单调递减，当x ∈(1，+∞)，g'(x )>0，则g(x )单调递增，∴()()min 1g x g e ==，则m ≤e ，又m >0，则0<m ≤c .故选:C.9.【详解】A:由题设0≤2x +2≤2，则-1≤x ≤0，即f (2x +2)的定义域为[-1，0]，A 对;B:当x ∈R 时，不等式kx 2+kx +1>0恒成立，当k =0时，1>0恒成立，当k ≠0时，则需满足2040k k k >⎧⎨∆=-<⎩，∴0<k <4，综合可得k 的取值范围是[0，4)，B 不正确，C ：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为20001,0x x x >-≤，C 错；D:令t =|x |∈[0，+∞)，故1(0,1]2t y ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0，1]，D 对.故选:AD10.【详解】a =log 315>0，b =log 515>0，a ≠b ，且151511log 3log 51a b+=+=，故A 正确;又由111ab+=可知ab =a +b >4，B 正确;a 2+b 2≥2ab >8，故C 错误.11()224b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++>= ⎪⎝⎭，D 正确;故选:ABD.11.【详解】对于A ，∵f (1+x )-f (1-x )=0，∴f '(1+x )+f '(1-x )=0，即f '(x )关于(1，0)对称，故A 错误;对于B ，)'(2f x +为偶函数，故f '(x +2)=f '(-x +2)，即f '(x )关于x =2对称，由f '(x )关于x =2对称，知f '(3)=f '(1)=0，故B 正确;对于C ，f '(x )关于x =2对称和f '(x )关于(1，0)对称可得:f '(x )=-f '(-x +2)=f '(-x +4)，故f '(x +4)=-f '(x +2)=-[-f '(x )]=f '(x )，即f '(x )的周期为4，所以f '(2025)=f '(1)=0，故C 错;对于D ，由(2()2)f x f x ''+=-+得:f (x +2)=-f (-x +2)+m ，即f (x +2)+f (-x +2)=m ，令x =0得，2f (2)=m ，故f (2+x )+f (2-x )=2f (2)，故D 正确.故选:BD 12.(-∞，1)13.a =0或12a =详解(此题为书本选择性必修一第103页第13题)解：y =x +ln x 的导数为11y x'=+，曲线y =x +ln x 在x =1处的切线斜率为1121k =+=，则曲线y =x +ln x 在x =1处的切线方程为y -1=2x -2，即y =2x -1.由于切线与曲线y =ax 2+(2a +3)x +1只有一个公共点，y =ax 2+(2a +3)x +1可联立y =2x -1，得ax 2+(2a +1)x +2=0①有且只有一解，当a =0时①式变为x +2=0，则x =-2，方程①有且只有一解，符合题意;当a ≠0时，则Δ=(2a +1)2-8a =0，4a 2-4a +1=0，解得12a =综上，a =0或12a =.14.54a =-或-1≤a <1详解当x <0时，f (x )单调递减，图象为以y =-x 和y 轴为渐近线的双曲线的一支；当x >0时，有f '(x )=ln x +1，可得.f (x )在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增且min 11()f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，0lim ()0x f x →=，画出图象如下：由题意，f (f (x ))-af (x )+1=0有唯一解，设t =f (x )，则1t e <-，(否则至少对应2个x ，不满足题意)，原方程化为f (t )-at +1=0，即f (t )=at -1，该方程存在唯一解t 0，且01(,)t e∈-∞-.转化为y =f (t )与y =at -1有唯一公共点，且该点横坐标在1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，画图如下：。

2022届宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学(文)试题解析.docx

银川一中2022届高三年级第二次月考文科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合尸={1,2}的真子集的个数是（）A. 7B. 3C. 4D. 8【答案】B 【解析】根据真子集个数的计算方法，求得正确选项. 解：集合尸有两个元素，所以真子集个数为22-1 = 3. 故选：B2 复数 z =「r ，贝01 |z| =（）2-1A.季B. 1C. ^5D. 5【答案】A 【解析】3.已知命题p:3xeR,sinx<l ；命题V XG R ,此21,则下列命题中为真命题的是（）A . PE【答案】A【解析】由正弦函数的有界性确定命题P 的真假性，由指数函数的知识确定命题0的真假性，由此确定正确选项.D.利用复数除法运算化简z,由此求得|z|.故选：A解：由于sin0=0,所以命题。

为真命题；由于y = e'在R上为增函数，国20,所以e w>e°=l，所以命题0为真命题;所以PE 为真命题，-P^<3 > 一i（pvg）为假命题.故选：A.4.已知等比数｛qj满足％。

7=3。

4。

3，则数列｛%｝的公比0=（）1 1A. 2B. —C. 3D.—3 2【答案】C【解析】根据题意代入等比数列通项公式可得a-" =3a；q\化简即可得解.解：由题意可得。

「苛=3。

含5,可得0 = 3.故选：Cx<45.若x, y满足约束条件< 2x + y>10,则z = x—v的最大值为（）y<4A. -1B. 0C. 2D. 10【答案】C【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解.解：作出可行域，如图△A3C内部（含边界），作直线l：x-y=O, 在直线x-V = z中-z是直线的纵截距，向下平移时纵截距减小，z增大.因此平移直线Z,当Z过A（4,2）时，z = x-y = 2为最大值.故选:C.y A【答案】B【解析】7通过平方将原式变形得到2sinacosa =-—,再结合正弦二倍角公式即可求解.94构轧因为sin a-cos a =—,32 2 1所以两边平方得sin a-2sinacosa + cos a -一，9又因为sin? + cos2 a =1，77所以一2sinocosa = —,艮|12sinacosa =——，9 97所以sin 2a = 2sin a cos a = ~—故选：B7.己知函数/(x) = 2'，在［1,9］上随机取一个实数则使得/(x0)<8成立的概率为( )1 1 1 2A. —B. —C. —D.—8 4 3 3【答案】B【解析】首先求不等式的解集，再根据区间长度，求几何概型的概率.解：由/(x0)<8,得2改<8,解得x0<3,在区间［1,9〕上随机取一实数知则实数％满足不等式a _i i/U)<8的概率为P = o.9— 1 4故选:B8.下列不等式恒成立的是( )A. a-+b- < 2abB. a2+b2 > -labC. a + b> -2^\ab\D. a + b< 2^|tzZ?|【答案】B【解析】由基本不等式，可判定A不正确；由a2 +b2 +2ab = (a + by>Q ,可判定B正确；根据特例，可判定C、D 不正确；解：由基本不等式可知a2+b2>2ab>故A不正确；由a2 +b2 > —lab > 可得a2 +b2 + 2ab > 0 > 即(a + Z?)2 > 0 恒成立，故B 正确；当a = -l,b = -l时，不等式不成立，故C不正确；当a = O,b = 1时，不等式不成立，故D不正确.故选：B.9.在数列｛%｝中，弓=上，。

河南省南阳市第一中学2022届高三数学上学期第二次月考(9月)试题文

河南省南阳市第一中学2022届高三数学上学期第二次月考（9月）试题文一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}|02A x x =<<，13|log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =( )A ．{}|0x x >B ．1|09x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}|02x x << D ．1|29x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知函数()2xy f =的定义域是[1,1]-，则函数()3log f x 的定义域是（）A ．[1,1]-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[1,3]D ．[3,9]3．已知x 、y R ∈，若:224x yp +>，:2q x y +>，则p 是q 的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 设命题0:(0,)p x ∃∈+∞，00132016xx +=；命题:,(0,)q a b ∀∈+∞，11,a b b a++中至少有一个不小于2。

则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5．设，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>6．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（）A ．y x =-B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-7．已知函数()()()1,0ln 2,20a x a x f x x x ⎧-+>⎪=⎨+-<≤⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．ln 2a <B ．ln 2a ≤C ．0a >D ．12ln <≤a 8．函数()()22xf x x x e =-的图象大致为( )A B C D9.已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（）A ．[2,1]--B ．[1,)+∞C ．RD ．(,2][1,)-∞-+∞10．已知函数521log (21),(,3)()21022,[3,)x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨⎪-+∈+∞⎩，若方程()f x m =有4个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则341211()()x x x x ++=( ) A ．12B ．16C ．18D ．2011．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与)1()1(x f x f +=-成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（） A ．2020 B ．2019C ．1010D ．100912．已知函数()31443f x x x =-+在区间()225,a a -上存在最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．()2,2-C ．2,2⎡⎤-⎣⎦D ．32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()()2322log log 4f x x x =-+，(]1,4x ∈的值域为__________.14．已知函数21()3ln 2f x x ax x =+-在区间1[,2]3上是增函数，则实数a 的取值范围为 15．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()(1)f x f x y f x '>=+且是偶函数，2(0)2f e =，则不等式()2x f x e <的解集为16．已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）设p ：实数a 满足不等式3113a -≥（），:q 函数3213()392a f x x x x -=++无极值点. （1）若p q ⌝∧为假命题，p q ⌝∨为真命题，求实数a 的取值范围；20001202020192019,2019log ,2020log ===c b a（2）若p q ∧为真命题，并记为r ，且t ：12a m >+或a m <，若t 是r ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=.（1）求,a b 的值；（2）若不等式()220xxf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.19．（本小题满分12分）某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位:千元)与市场供应量p (单位:万件)之间近似满足关系式:2))(1(2b x kt p --=,其中k 、b 均为常数.当关税税率75%t =时,若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件. （1）试确定k 、b 的值；（2）市场需求量q (单位:万件)与市场价格x 近似满足关系式：2xq -=,当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.20．（本小题满分12分）已知函数()()()()2ln 0,f x a x x a g x x =+>=．（1）若()f x 的图象在1x =处的切线恰好也是()g x 图象的切线．求实数a 的值；（2）对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数12,x x 且12x x <，都有()()()()2121f x f x g x g x -<-成立．试求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数R m x m x x f ∈+-=,ln )1()(2.若函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，求12)(x x f 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈.（1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围；（2）当1x >时，()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围.高三2022年秋期第二次月考文科数学答案DDABCA BBDDAD 13.7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 14.8[,)9+∞ 15.(,2)-∞ 16.1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭16.若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数21162a y x x =-+-与函数f (x )=lnx -x (x >0)的图象有两个交点，联立可得211ln 062a x x x x -++=-有两个解，即2311ln 62a x x x x x =-++可设()2311ln 62g x x x x x x =-++，则()21ln 2232g x x x x '=-++，进而()120g x x x''=+-≥且不恒为零，可得()g x '在()0,∞+单调递增.由()10g '=可得01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；1x >时，()0,()'>g x g x 单调递增，即()g x 在1x =处取得极小值且为13-作出()y g x =的图象，可得103-<<a 时，211ln 062a x x x x -++=-有两个解. 17.解：若p 为真，则3a ≤，又21'()(3)33f x x a x =+-+，若q 为真，令0∆≤，则15a ≤≤；（1）由p q⌝∧为假命题，p q ⌝∨为真命题，则p ⌝与q 一真一假若p ⌝为真，q 为假，则351a a a >⎧⎨><⎩或，5a ∴>若p ⌝为假，q 为真，则315a a ≤⎧⎨≤≤⎩，13a ∴≤≤综上，实数a 的取值范围为5a >或13a ≤≤ ；（2）若p q ∧为真，则13a ≤≤，:3r a ∴⌝>或1a <1:2t a m ∴>+或a m <又t 是r ⌝的必要不充分条件，1132m m ≥⎧⎪∴⎨+≤⎪⎩，512m ∴≤≤. 18.（1）()()2g x a x 11b a =-++-，因为a 0>，所以()g x 在区间[]23，上是增函数，故()()21{34g g ==，解得1{0a b ==．（2）由已知可得()12=+-f x x x ，所以()20-≥x f kx 可化为12222+-≥⋅x xx k ，化为2111+222-⋅≥x x k （），令12=x t ，则221≤-+k t t ，因[]1,1∈-x ，故1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，记()221=-+h t t t ，因为1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，故()0=min h t ，所以k 的取值范围是(],0∞-．19.（1）由已知22(10.75)(5)(10.75)(7)1222k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩，22(10.75)(5)0(10.75)(7)1k b k b ⎧--=⎨--=⎩解得，5,1b k == （2）当p q =时，2(1)(5)22t x x ---=所以221(1)(5)1125(5)10x t x x t x x x--=-=+=++-⇒- 而25()f x x x =+在(0,4]上单调递减，所以当4x =时，()f x 最小值414，故当4x =时，关税税率的最大值为500%. 20.（1）∵()()ln f x a x x =+,∴()11f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'， ∴ ()12f a '=，又()1f a =，∴()f x 的图象在1x =处的切线方程为()21y a a x -=-，即2y ax a =-，由22y ax a y x=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得得220,x ax a -+= 则2440a a ∆=-=，解得 1a =；（2）由条件可知()()()()()221112f x g x f x g x x x -<-<，设()()()()2ln F x f x g x a x x x =-=+-，则由条件可得()F x 在[]1,2上单调递减， ∴ ()()2120a x x F x x+-'=≤在[]1,2上恒成立，∴ ()2120a x x +-≤在[]1,2上恒成立，即221x a x ≤+在[]1,2上恒成立， ∵ 22221111124x x x =≥+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当x 2=时等号成立。

湖南省长郡中学高三第二次月考（数学文）

长郡中学高三月考试卷（二）文科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a 、R b ∈，集合{,1},{,0},:b M N a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a b +的值为A ．1-B ．0C ．1D ．1±2．将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈ C ．sin()()212x y x R π=-∈ D ．5sin()()224x y x R π=+∈3．函数2()2ln f x x x =-的单调减区间是A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．(,1]-∞-及(0,1]D ．[1,0)-及(0,1]4．数列{}n a ，已知对任意正整数123,21n n n a a a a ++++=-，则2222123n a a a a ++++ 等于A ．2(21)n - B ．1(21)3n-C ．1(41)3n - D ．41n- 5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则55是 A ．乙胜的概率 B ．乙不输的概率C ．甲胜的概率D ．甲不输的概率6．已知(0,0),(30,0),(30,30),(0,30),(12,0),(30,18),(18,30),(0,12)O A B C E F P Q ，在正方形OABC 内任意取一点，该点在六边形OEFBPQ 内的概率为 A ．425 B ．2125 C ．725 D ．16257．O 是ABC ∆所在平面内一点，满足222222OA BC OB AC OC AB +=+=+，则O 是ABC ∆的A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心 8．已知函数13y x x =-++的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为 A ．14 B ．12C ．22D ．32二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

2024-2025学年宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学试题及答案

银川一中2025届高三年级第二次月考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. 设集合{}1,4A =，{}240B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则集合B =（）A. {}1,3-B. {}1,3 C. {}1,0 D. {}1,52. 已知函数()10,()31x f x a a a -=>≠-恒过定点(),M m n ，则函数1()n g x m x +=+的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A b a c a-<+ B. 2c ab< C.c c b a> D. b c a c <4. 已知函数()f x 及其导函数(f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，则（）A. ()10f = B. ()20f '=C. ()()02f f = D. ()()02f f '='5. 如图为函数()y f x =在[]6,6-上的图像，则()f x 的解析式只可能是（）．A. ())ln cos f x x x=+ B. ())ln sin f x x x=+C. ())ln cos f x x x=- D. ())ln sin f x x x=.6. 当[]0,2πx ∈时，曲线cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点的个数为（）A. 3 B. 4C. 5D. 67. 已知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin 24cos αα-=（）A. 6+B. 6-C. 17+D. 17-8. 已知(),()f x g x 是定义域为R 函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有g (x 1)−g (x 2)x 1−x 2>−5成立，则实数a 的取值范围是（）A [)0,∞+ B. 5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ C. 5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D. 5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9. 下列说法正确的是（）A. 函数()2f x x =+与()2g x =是同一个函数B. 若函数()f x 的定义域为[]0,3，则函数(3)f x 的定义域为[]0,1C. 已知命题p ：0x ∀>，20x ≥，则命题p 的否定为0x ∃>，20x <D. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x --=，则函数()f x 的周期为210. 已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.π2是函数()f x 的周期B. 函数()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 函数()f x 的图象可由函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 函数()f x 对称轴方程为()ππZ 48k x k =-∈11. 已知函数()323f x ax ax b =-+，其中实数0,a b >∈R ，则下列结论正确的是（）A. ()f x 在()0,∞+上单调递增的.的B. 当()f x 有且仅有3个零点时，b 的取值范围是()0,4a C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则1233x x x ++=D. 当56a b a <<时，过点()2,P a 可以作曲线()y f x =的3条切线三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12. 已知函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，则实数a =______．13. 已知函数y =f (x )为奇函数，且最大值为1，则函数()21y f x =+的最大值和最小值的和为__________.14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3A ≤，3cos 4cos 3cos 0C A A +-=，则()14tan tan A B A +-的取值范围是________．四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 已知函数()cos ex xf x =.（1）讨论函数()f x 在区间()0,π上的单调性；（2）若存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得00()0f x x λ-≤成立，求实数λ的取值范围.16. 如图，AB 是半圆ACB 的直径，O 为AB 中点，,2OC AB AB ⊥=，直线BD AB ⊥，点P 为 BC上一动点（包括,B C 两点），Q 与P 关于直线OC 对称，记,,POB PF BD F θ∠=⊥为垂足，,PE AB E ⊥为垂足．（1）记 CP的长度为1l ，线段PF 长度为2l ，试将12L l l =+表示为θ的函数，并判断其单调性；（2）记扇形POQ 的面积为1S ，四边形PEBF 面积为2S ，求12S S S =+的值域．17. 已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．条件①：(0)0f =；条件②：若12()2,()2f x f x ==-，且12x x -的最小值为π2；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =-．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()2g α=，求π()224f α-的值．18. 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+．（1）当2a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 的零点个数．19. 定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x=--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，并说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（352a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．的银川一中2025届高三年级第二次月考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. 设集合{}1,4A =，{}240B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则集合B =（）A. {}1,3-B. {}1,3 C. {}1,0 D. {}1,5【答案】B 【解析】【分析】根据交集结果知1B ∈，将x =1代入方程求出m ，再求集合B 即可.【详解】由{}1A B ⋂=可知：21403m m -+=⇒=，当3m =时，2430x x -+=，解得：x =1或3x =，即{}1,3B =．故选：B2. 已知函数()10,()31x f x a a a -=>≠-恒过定点(),M m n ，则函数1()n g x m x +=+的图象不经过（）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质求解．【详解】01a = ，1()3x f x a-∴=-恒过定点()1,2-，1m ∴=，2n =-，11(1)1g x x x-=++=∴，其图象如图所示，因此不经过第四象限，故选：D ．3. 已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A. b a c a -<+B. 2c ab< C.c c b a> D. b c a c <【答案】D 【解析】【分析】由数轴知0c b a <<< ，不妨取=3,2,1c b a -=-=-检验选项得解.【详解】由数轴知0c b a <<< ，不妨取=3,2,1c b a -=-=-，对于A ，2121-+>-- ，∴ 不成立.对于B ，2(3)(2)(1)->-- ，∴ 不成立.对于C ， 3231-<---，∴ 不成立.对于D ，(3)1(3)2-<´--´- ，因此成立. 故选：D ．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．4. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，则（）A. ()10f = B. ()20f '=C. ()()02f f = D. ()()02f f '='【答案】C 【解析】【分析】取()1f x x '+=，()212f x x x c =-+，逐项判断.【详解】解：因为函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，所以不妨设()1f x x '+=，则()1f x x '=-，()()21,01f f '='=-，故BD 错误；取()212f x x x c =-+，则()()()11,022f c f f c =-==，故A 错误，C 正确，故选：C5. 如图为函数()y f x =在[]6,6-上的图像，则()f x 的解析式只可能是（）．A. ())ln cos f x x x=+ B. ())lnsin f x x x=+C. ())ln cos f x x x=- D. ())ln sin f x x x=【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可．【详解】对于B.()f x 的定义域为R，且())sin()f x x x -=--)sin )sin ()x x x x f x =--==，故()f x 为偶函数；对于D.()f x 的定义域为R，且())sin()f x x x -=+-)sin )sin ()x x x x f x =-+=-=，故()f x 为偶函数；由图象，可知()y f x =奇函数，故排除B 、D ；对于C.当π02x <<时，由22221(1)21x x x x =+<+=++，可知01x <<，则)0x <，而cos 0x >，此时()0f x <，故排除D ；故选：A.6. 当[]0,2πx ∈时，曲线cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点的个数为（）A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】为【分析】分别画出cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,2π上的函数图象，根据图象判断即可.【详解】cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,2π上的函数图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.故选：D.7. 已知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin 24cos αα-=（）A. 6+B. 6-C. 17+D. 17-【答案】A 【解析】tan α，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解.【详解】因为3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1tan 11tan 1tan 21tan αααα+-=⨯-+，tan 1α<-，解得tan 3α=--或tan 3α=-+（舍)，则()222221sin 2sin cos 2sin cos 1tan 2tan 14cos 4cos 4ααααααααα-+-==-+()()2211tan 131644α----=+==故选：A.8. 已知(),()f x g x 是定义域为R 的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（）A. [)0,∞+ B. 5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ C. 5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D. 5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶函数构造方程组求出()g x 的解析式，再根据题意得到()232h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，分类讨论即可求解．【详解】由题意可得()()22f x g x ax x -+-=-+，因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()22f x g x ax x -+=-+，联立()()()()2222f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()22g x ax =+，又因为对于任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，所以()()121255g x g x x x -<-+，即()()112255g x x g x x +<+成立，构造()()2552h x g x x ax x =+=++，所以由上述过程可得()252h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，若0a <，则对称轴0522x a =-≥，解得5<04a -≤；若0a =，则()52h x x =+在()1,2x ∈单调递增，满足题意；若a >0，则对称轴0512x a=-≤恒成立；综上，5,4a ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭．故选：B二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9. 下列说法正确的是（）A. 函数()2f x x =+与()2g x =是同一个函数B. 若函数()f x 的定义域为[]0,3，则函数(3)f x 的定义域为[]0,1C. 已知命题p ：0x ∀>，20x ≥，则命题p 的否定为0x ∃>，20x <D. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x --=，则函数()f x 的周期为2【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，两函数定义域不同；B 选项，令033x ≤≤，求出01x ≤≤，得到函数定义域；C 选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；D 选项，根据函数为偶函数得到f (−x )=f (x )，故()(2)f x f x -=-，得到函数周期.【详解】A 选项，()2f x x =+的定义域为R ，令20x +≥，解得2x ≥-，故()2g x =的定义域为2x ≥-，定义域不同，A 错误；B 选项，令033x ≤≤，解得01x ≤≤，故函数(3)f x 的定义域为[]0,1，B 正确；C 选项，命题p 的否定为0x ∃>，20x <，C 正确；D 选项，()f x 偶函数，故f (−x )=f (x )，又()(2)f x f x =-，故()(2)f x f x -=-，则函数()f x 的周期为2，D 正确.故选：BCD10. 已知函数()sin 2f x x ⎛= ⎝）A.π2是函数()f x 的周期B. 函数()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 函数()f x 的图象可由函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 函数()f x 的对称轴方程为()ππZ 48k x k =-∈【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角函数图象与性质逐一判断选项即可.【详解】因为()πππsin 2πsin 2244f x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π2是函数()f x 的周期，故A 为的正确；∵π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ7π2,4412u x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又sin sin y u u ==在π7π,412⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；∵函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到ππsin 2sin 284x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；令2π4π2k x +=，得()ππZ 48k x k =-∈，故D 正确，故选：ACD ．11. 已知函数()323f x ax ax b =-+，其中实数0,a b >∈R ，则下列结论正确的是（）A. ()f x 在()0,∞+上单调递增B. 当()f x 有且仅有3个零点时，b 的取值范围是()0,4a C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则1233x x x ++=D. 当56a b a <<时，过点()2,P a 可以作曲线()y f x =的3条切线【答案】BCD 【解析】【分析】选项A 根据导函数及0a 可判断单调性；选项B 根据极大值极小值可得；选项C 由三次函数对称中心可得；选项D ，先求过点P 的切线方程，将切线个数转化为()322912g x ax ax ax a =-++与y b=图象交点个数，进而可得.【详解】选项A ：由题意可得()()236=32f x ax ax ax x ='--，令()0f x '=解得0x =或2x =，因为0a >，所以令f ′(x )>0解得0x <或2x >，令f ′(x )<0解得02x <<，故()f x 在区间(),0∞-或()2,∞+上单调递增，在(0,2)上单调递减，故A 错误，选项B ：要使()f x 有且仅有3个零点时，只需()()0020f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩即08120b a a b >⎧⎨-+<⎩，解得04b a <<，故B正确；选项C ：若直线l 与曲线y =f (x )有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则点A 是三次函数()f x 的对称中心，设()()236h x f x ax ax ==-'，则()66h x ax a '=-，令()0h x '=，得1x =，故()f x 的对称中心为(1,f (1))，123133x x x x ++==，故C 正确；选项D ：()236f x ax ax '=-，设切点为()32000,3C x ax ax b -+，所以在点C 处的切线方程为：()()()3220000336y ax ax b ax ax x x --+=--，又因为切线过点()2,P a ，所以()()()32200003362a ax ax b ax ax x --+=--，解得320002912ax ax ax a b -++=，令()322912,g x ax ax ax a y b =-++=，过点()2,P a 可以作曲线y =f (x )的切线条数可转化为y =g (x )与y b =图象交点个数，()()()261812612g x ax ax a a x x =-+=--'，因为0a >，所以()0g x '>得1x <或2x >，()0g x '<得12x <<，则()g x 在(),1∞-，()2,∞+上单调递增，在()1,2上单调递减，且()16g a =，()25g a =，()g x 图象如图所示，所以当56a b a <<时，y =g (x )与y b =图象有3个交点，即过点()2,P a 可以作曲线y =f (x )的3条切线，故D 正确，故选：BCD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12. 已知函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，则实数a =______．【答案】1-【解析】【分析】通过对函数()f x 求导，根据函数()f x 在1x =处有极小值，可知()0f x '=，解得a 的值，再验证即可求出a 的值．【详解】因为2()()f x x x a =+，所以22322()(2)2f x x x ax a x ax a x =++=++，所以22()34f x x ax a '=++，而函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，所以()10f '=，故2340a a ++=，解得11a =-或23a =-，当23a =-时，()23129f x x x =-+'，令f ′(x )<0，()1,3x ∈，令f ′(x )>0，()(),13,x ∞∞∈-⋃+，故此时()f x 在()(),1,3,∞∞-+上单调递增，在()1,3上单调递减，此时()f x 在1x =处有极大值，不符合题意，排除，当11a =-时，()2341f x x x '=-+，令f ′(x )<0，1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令f ′(x )>0，()1,1,3x ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭，故此时()f x 在()1,,1,3∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，此时()f x 在1x =处有极小值，符合题意，故答案为：1-.13. 已知函数y =f (x )为奇函数，且最大值为1，则函数()21y f x =+的最大值和最小值的和为__________.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，所以函数()f x 最大值和最小值之和为0，则函数()21y f x =+的最大值和最小值之和为2.故答案为：2.14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3A ≤，3cos 4cos 3cos 0C A A +-=，则()14tan tan A B A +-的取值范围是________．【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】【分析】利用32A A A =+，再根据整体思想将()cos3cos 2A A A =+转化为两角和的余弦值化简，再利用诱导公式可得2B A =，根据锐角三角形性质可得A 取值范围，从而得tan A 的取值范围，代入()14tan tan A B A +-化简即可得出结论.【详解】三倍角公式：()cos3cos 2cos 2cos sin 2sin A A A A A A A =+=-()()222cos 1cos 21cos cos A A A A =---34cos 3cos A A =-，因为3cos 4cos 3cos C A A +-=，所以cos cos30C A +=.故()cos cos30cos cos3cos π3π32C A C A A C A B A +=⇒=-=-⇒=-⇒=，△ABC 为锐角三角形，故π0,2π02,2π0π3,2A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩解得ππ64A <<，tan 1A <<，()114tan 4tan tan tan A A B A A ⎫+=+∈⎪⎪-⎭．故答案为：⎫⎪⎪⎭四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15 已知函数()cos e xxf x =.（1）讨论函数()f x 在区间()0,π上的单调性；（2）若存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得00()0f x x λ-≤成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）()f x 在3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；（2）[)0,∞+【解析】【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解，（2）将问题转化为存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，000cos 0e x x x λ-≤成立，构造函数()cos π0e 2x x g x x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，求导得函数的最值即可求解．【小问1详解】()sin cos π0e 4x x x f x x +⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭'，解得ππ4x k k =-+∈Z ，，因为x ∈(0,π)，所以3π4x =，当()3π0,04x f x ⎛⎫∈< '⎪⎝⎭，，当x ∈π，f ′(x )>0，所以()f x 在3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】()()00000cos 00ex x f x x f x x λλ-≤⇒=-≤，当00x =时，由0cos 0ex x x λ-≤可得10≤不成立，当0π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，000cos e x x x λ≥，令()()2cos πsin cos cos 00e 2ex xx x x x x xg x x g x x x ---⎛⎫=<≤=< ⎪⎝⎭'，恒成立，.故()g x 在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，所以()min π02g x g λ⎛⎫≥==⎪⎝⎭，所以λ的取值范围为[)0,∞+.16. 如图，AB 是半圆ACB 的直径，O 为AB 中点，,2OC AB AB ⊥=，直线BD AB ⊥，点P 为 BC上一动点（包括,B C 两点），Q 与P 关于直线OC 对称，记,,POB PF BD F θ∠=⊥为垂足，,PE AB E ⊥为垂足．（1）记 CP的长度为1l ，线段PF 长度为2l ，试将12L l l =+表示为θ的函数，并判断其单调性；（2）记扇形POQ 的面积为1S ，四边形PEBF 面积为2S ，求12S S S =+的值域．【答案】（1）12π1cos 2L l l θθ=+=-+在π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减（2）S 的值域为ππ62⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由题意得π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据扇形弧长公式求得1l ，再得PF 长度为2l ，从而得12L l l =+，利用导数判断其单调性；（2）根据扇形面积公式得1S ，再得四边形PEBF 面积为2S ，从而得12S S S =+，求导确定单调性极值与最值即可12S S S =+的函数.【小问1详解】因POB θ∠=，则由题意知π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由题意可得，π2COP θ∠=-，圆半径为1，所以1π2l θ=-，又21cos l PF OB OE θ==-=-，所以12ππ1cos ,022L l l θθθ=+=-+-<<，则1sin 0L θ=-'+<恒成立，所以12π1cos 2L l l θθ=+=-+-在π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减.【小问2详解】由题意可得211ππ21222S θθ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，因为,PF BD PE AB ⊥⊥，所以四边形PEBF 为矩形，于是()2sin 1cos S PE BE θθ=⋅=-，所以()12πsin 1cos 2S S S θθθ=+=-+-，其中π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求导得()()1cos 1cos sin sin 1cos cos 2cos 12cos S θθθθθθθθ=-+-+⋅=-+-=-'，令0S '=得1cos 2θ=，即π3θ=，则可得如下表格：θ0π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭π3ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭π2S '-0+Sπ2极小值1由表可知当π3θ=时，min π6S S ==+极小值，max π2S =，所以S 的值域为ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17. 已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．条件①：(0)0f =；条件②：若12()2,()2f x f x ==-，且12x x -的最小值为π2；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =-．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()2g α=，求π()224f α-的值．【答案】（1）所选条件见解析，()2sin2f x x =；（2）【解析】【分析】（1）根据条件结合三角函数图象性质即可求解；（2）利用三角恒等变换和配凑角即可求解．【小问1详解】选择条件①②：由条件①()00f =，所以2sin 0ϕ=，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=，由条件②得π22T =，得πT =，所以2π2Tω==，所以()2sin2f x x =；选择条件①③：由条件①()00f =，所以2sin 0ϕ=，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=．由条件③，得ππ(π+,Z 42k k ω⨯-=∈，解得42,Z k k ω=--∈，所以()f x 的解析式不唯一，不合题意；选择条件②③：由条件②得π22T =，得πT =，所以2π2Tω==，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又()f x 图象的一条对称轴为π4x =-，所以ππ2()π+,Z 42k k ϕ⨯-+=∈，解得()1πk ϕ=+，又π2ϕ<，所以0ϕ=，所以()2sin2f x x =；【小问2详解】解：由题意得()π2sin22sin(23g x x x =++ππ2sin22sin 2cos2cos 2sin 33x x x =++3sin22x x=+π)6x =+，因为()2g α=，所以π6α+=，即π3sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π(,663α+∈，若ππ2π[,623α+∈，则πsin()6α+∈，又π3sin 65α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以πππ(,)662α+∈，因为22ππsin (cos (166αα+++=，所以π4cos()65α+=±，又πππ(,662α+∈，所以π4cos(65α+=，所以ππ()2sin 2()224224f αα-=-π2sin()12α=-ππ2sin[(]64α=+-ππππ2sin()cos 2cos()sin6464αα=+-+=18. 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+．（1）当2a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 的零点个数．【答案】（1）0y =；（2）(],2∞-；（3）2a ≤时，()f x 有1个零点，2a >时，()f x 有3个零点【解析】【分析】（1）由导数法求切线即可；（2）函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增等价于()212()01af x x x '=-≥+在(0,)+∞上恒成立，即()2111222x x a xx+≤=++在(0,)+∞上恒成立，由均值不等式求1122x x ++最小值即可；（3）当2a ≤，由（2）中()f x 在区间(0,)+∞上单调递增可得()f x 有1个零点，当2a >，由导数法讨论()f x 的单调性，再结合零点存在定理判断即可.【小问1详解】()ln f x x a =-，()()()22222112()11x a x a f x x x x x --+'=-=++，(1)0f =，当2a =时，()214(1)01f x x '=-=+，故函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为0y =；【小问2详解】函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增等价于()212()01a f x x x '=-≥+在(0,)+∞上恒成立，即()2111222x x a xx+≤=++在(0,)+∞上恒成立，∵111222x x ++≥=，当且仅当122x x =即1x =时成立，故实数a 的取值范围为(],2-∞；【小问3详解】由（2）得，当2a ≤，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)0f =，故()f x 有1个零点；当2a >，令()2()221g x x a x =--+，由()0g x =得，11x a =--，21x a =-，()10,1x ==，()21,x =++∞，由二次函数性质，在()10,x 上，()0g x >，()0f x '>；在()12,x x 上，()0g x <，()0f x '<；在()2,x +∞，()0g x >，()0f x '>，∴()f x 在()10,x ，()2,x +∞单调递增，在()12,x x 单调递减，又(1)0f =，∴()10f x >，()20f x <，又(e )0e 12aa a f =>+，e (e )210e 1a a a f a -⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，所以存在唯一的()()()3141252e ,,,,,e a a x x x x x x x -∈∈∈，使得()()()3450f x f x f x ===，即()f x 有3个零点．【点睛】（1）含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法.（2）含参函数零点个数问题，i. 一般对参数分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断；ii. 将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的单调性，由数形结合，转化成两个图象交点的问题；19. 定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x =--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，并说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（352a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．【答案】（1）()f x 是极值可差比函数，理由见解析；（2）不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -，理由见解析；（3）102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数k 的值，这样的值存在即可判断.（2）反证法，假设存在这样的a ，又“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.（3）由（2）得到参数a 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围.【小问1详解】当52a =时，()15ln (0)2f x x x x x =-->，所以()()()2221215122x x f x x x x-='-=+-，当()10,2,2x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，f ′(x )>0；当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f ′(x )<0，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,∞+上单调递增，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 极大值为153ln2222f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，极小值为()352ln222f =-，所以()110122ln22232f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此()f x 是极值可差比函数．【小问2详解】()f x 的定义域为()()210,,1a f x x x ∞+=+-'，即()221x ax f x x -+'=，假设存在a ，使得()f x 的极值差比系数为2a -，则12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等正实根，21212Δ401a x x ax x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，解得2a >，不妨设12x x <，则21x >，由于()()1211221211ln ln f x f x x a x x a x x x ⎛⎫-=----- ⎪⎝⎭的()11212211ln x x x a x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()11121221222ln 2ln ,x x a x x a x x x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪-⎝⎭所以112222ln x a a x x x -=--，从而11221ln 1x x x x =-，得()22212ln 0,*x x x --=令()()2222121(1)2ln (1),0x x x g x x x x g x x x x-+-=-->==>'，所以()g x 在(1,+∞)上单调递增，有()()10g x g >=，因此()*式无解，即不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -．【小问3详解】由（2）知极值差比系数为11222ln x a x x x --，即1211222ln x x x x x x +--，不妨设120x x <<，令()12,0,1x t t x =∈，极值差比系数可化为12ln 1t t t +--，()2122121221122x x x x a t x x x x t+==++=++，52a ≤≤，解得1142t ≤≤，令()()212ln 1112ln ,142(1)t t t t p t t t p t t t +-+⎛⎫=-≤≤= '⎪--⎝⎭，设()()2221121212ln 1,14t t h t t t t h t t t t t --⎛⎫=+-≤≤=--= ⎪'⎝⎭22(1)0t t-=-≤所以()h t 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()1102h t h h ⎛⎫≥>= ⎪⎝⎭，从而()0p t '>，所以()p t 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()1142p p t p ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()102ln223ln23p t -≤≤-．故()f x 的极值差比系数的取值范围为102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】思路点睛：合理利用导函数和“极值可差比函数”定义，在（2）利用极值点的性质找到几个变量间的基本关系，利用函数单调性判断方程无解。

广东省广州市执信中学23届高三上学期第二次月考数学含答案

广州市2023届高三年级第二次月考数学第一部分选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合=∈=+{|2A x R z x i 的实部为0}，==∈B y y x x A {[||,}，C m Z m =∈<{|||3}，i 为虚数单位，则C C B 为( )A ．--{2,1,1,2}B ．--{2,1,1}C.-{1,1}D ．-{2,2}2．己知抛物线y px p =>22(0)的准线与圆x y x +--=22670相切，则p 的值为( ) A ．12B ．1C ．2D ．43．己知集合A x x x =-+≤{|210}，∈x A 一个必要条件是≥x a ，则实数a 的取值范围为( ) A ．a <0B ．a ≤-1C ．a ≥2D ．a ≥-14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( ) A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π5．小桦班的数学老师昨天组织了一次小测，老师给了小桦满分100分，但实际上小桦有一处表述错误，告诉了小岍和小江，这一处错误需要扣4分，这一处错误小桦自己不会告诉老师，小岍有23的可能告诉老师，小江有14的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小桦的听写本上的得分期望E X ()=( ) A ．2983B ．98C ．2893D ．976．若πα（）-=cos51223，则-3cos 2sin 2αα的值为( )A ．59B ．-59C ．109D ．-1097．设正实数、、x y z 满足x xy y z -+-=22430，则xyz的最大值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．38．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，，若A B C sin sin 32sin =，a b λ=，则实数λ的最小值是( ) A ．323 B ．323+C ．32-D ．32+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的不得分． 9．下列命题中，真命题的是( )A ．若回归方程6.045.0ˆ+-=x y，则变量y 与x 正相关 B ．线性回归分析中相关指数2R 用来刻画回归效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好 C ．若样本数据1021,,,x x x 的方差为2，则数据12,,12,121021---x x x 方差为8 D ．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”10．已知n m ,是空间中两条不同的直线，βα,为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确．．．的是( ) A ．若α⊂m ，则β⊥mB ．若α⊂m ，β⊂n ，则n m ⊥C ．若α⊂/m ，β⊥m ，则α//mD ．若m =βα ，m n ⊥，则α⊥n11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为02=-y x ，双曲线的左焦点在直线05=++y x 上，B A 、分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PB PA ，的斜率分别为21k k ，，则21k k +的取值可能为( )A ．43 B ．1 C ．34 D ．212．若)(x f 图象上存在两点B A ，关于原点对称，则点对],[B A 称为函数)(x f 的“友情点对”（点对],[B A 与],[A B 视为同一个“友情点对”）若⎪⎩⎪⎨⎧<>=0,0,)(23x ax x e x x f x 恰有两个“友情点对”，则实数a 的值可以是( ) A ．0B ．20201-C ．e1-D ．20231-第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．不等式xx 1>的解集为． 14．已知向量b a ，满足1||=a ，2||=b ，)2,3(=-b a ，则|2|b a -等于． 15．已知21P P ，是曲线|ln |2:x y C =上的两点，分别以21,P P 为切点作曲线C 的切线,,21l l且21l l ⊥，切线1l 交y 轴于A 点，切线2l 交y 轴于B 点，则线段AB 的长度为．16．对于集合A ，B ，定义集合}|{B x A x x B A ∉∈=-且.己知等差数列}{n a 和正项等比数列}{n b 满足41=a ，21=b ，n n n b b b 212+=++，233+=b a 。

2023-2024学年福建省泉州市晋江市高三上学期第二次月考数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年福建省泉州市晋江市高三上学期第二次月考数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}{}22,0,20A B x x x =-=-=，则以下结论正确的是（）A ．A B =B ．{}0A B ⋂=C ．A B A⋃=D ．A B⊆【正确答案】B【分析】由题得{0,2}B =,再判断得解.【详解】由题得{0,2}B =,所以A B ≠，{}0A B ⋂=，A B A ≠U ，A 不是B 的子集，故选：B2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若25a =，645S =，则5a =（）A ．8B ．10C ．16D ．20【正确答案】B【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组，求得1,a d 的值，结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由25a =，645S =，可得11561545a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1105,33a d ==，所以51105441033a a d =+=+⨯=.故选：B.3．若(21)n x ＋的展开式中3x 项的系数为160，则正整数n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】C【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】由二项式定理知：含3x 项为()()()333312C 218321n n n n n x x ---=⨯⨯⨯ ，由题意()()4121603n n n ⨯--=，()()12120n n n --=，解得6n =；故选：C.4．设sin32k = ，则1tan16tan16+=（）A ．2kB ．1kC ．2kD ．k【正确答案】A【分析】化切为弦，通分，再利用平方关系及倍角公式即可得解.【详解】解：1sin16cos16tan16tan16cos16sin16︒︒=+︒︒︒+︒22sin 16cos 16sin16cos16︒+︒︒⋅︒=11sin 322=︒2k=.故选：A.5．国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为3613P =，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为8010Q =，则下列数中最接近数值PQ的是（）（参考数据：lg 30.477≈）A ．8910B ．9010C ．9110D ．2109【正确答案】D【分析】利用对数的运算法则计算361lg 3后可得．【详解】361lg 3361lg 33610.477172.197=≈⨯=，lg lg lg 172.1978092.197PP Q Q=-≈-=，因此PQ最接近于9210．故选：D ．6．已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，3BAC π∠=，2AD DB =，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+ ，则AP BC ⋅的值为（）A ．116-B ．72C ．4D ．6【正确答案】C【分析】由,,D P C 三点共线求出λ，再由11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ 得出AP BC ⋅的值.【详解】,,D P C 三点共线，111,22λλ∴+==，11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ ，221118134263AP BC AC AB AC AB ∴⋅=-⋅-=--= 故选：C7．已知双曲线E 的左､右焦点分别为1F ，2F ，M ，N 是以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 的两交点.若2212MF NF F F =+，则E 的离心率是（）A BC ．2D【正确答案】C【分析】根据题意及双曲线的定义建立关于a ，c 的方程，进而可得双曲线的离心率.【详解】∵2212MF NF F F =+，∴2121MF F F MF >=，∴点M 在双曲线的左支上，又由22122MF NF F F NF =+≠，根据对称性可得点N 在双曲线的右支上，不妨设点M 在第二象限，点N 在第四象限，如图所示，根据双曲线的定义可得122MF MF a -=，122NF NF a -=，又∵M ，N 在以1F 为圆心，12F F 为半径的圆上，∴112MF NF c ==，∴222MF a c =+，222NF c a =-，又∵2212MF NF F F =+，∴22222a c c a c +=-+，∴2c a =，即E 的离心率是2ca=.故选：C.双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).8．已知函数()2x f x =，()3g x x ax =+.若不等式()()()()22f x g x f x g x x ++-≥在[)0,+∞上恒成立，则a 的取值范围为（）A ．[)6,-+∞B ．[)2,-+∞C ．[)0,+∞D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】B【分析】先根据绝对值将原不等式转化为()(){}2max ,f x g x x ≥，进而分别讨论每个函数与2x 的大小关系，通过导函数的单调性讨论得到当()2,4x ∈时，22xx <，所以必须有()2,4x ∈时，2x a x +≥，分离参数求得a 的取值范围.【详解】∵()()()()22f x g x f x g x x ++-≥，∴()(){}22max ,2f x g x x ≥，即()(){}2max ,f x g x x ≥，∴对任意的[)0,x ∈+∞，22x x ≥或32x ax x +≥，当0x =时，两式均成立；当0x >时，有22xx ≥或2x a x +≥，令()22x m x x =-，0x >，()()240m m ==，()2n 21122l x m x '=-，()2202log ln 2m x x >>⇒'，()22002log ln 2x m x ⇒<<'<，∴()m x 在220,2log ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在222log ,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，而()222log 2,4ln 2∈，且()()240m m ==，∴当(]0,2x ∈时，()m x 单调递减，()()20m x m ≥=，即22xx ≥，当222log l 2,n 2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()m x 单调递减，()()20m x m <=，即22x x <，当222log ,4ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()m x 单调递增，()()40m x m <=，即22x x <，当[)4,x ∈+∞时，()m x 单调递增，()()40m x m ≥=，即22xx ≥故只有当()2,4x ∈时，22xx <，所以此时必须有2x a x +≥，即221124a x x x ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭，()2,4x ∈，∴2222a ≥-=-.故选：B.函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、多选题9．四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，AA 1⊥平面ABCD ，则（）A ．直线AD 与直线B 1D 1所成角为45°B ．直线AA 1与直线CC 1异面C ．平面ABB 1A 1⊥平面ADD 1A 1D ．CA 1⊥AD【正确答案】AC【分析】根据异面直线所成的角，,AD BD 所成的角即为直线AD 与直线B 1D 1所成角，由此可判断A;根据棱台的几何特征可判断B;利用面面垂直的判定定理可判断C;利用线面垂直可判断1BD CA ⊥，由此判断D.【详解】如图，连接BD ,则11BD B D ∥,则,AD BD 所成的角即为直线AD 与直线B 1D 1所成角，在正方形ABCD 中，45ADB ∠= ,故直线AD 与直线B 1D 1所成角为45°，故A 正确；由于棱台的每条侧棱延长后会交于同一点，故直线AA 1与直线CC 1是相交直线，故B 错误；由AA 1⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故1AA AB ⊥,又11,=AB AD AA AD A AA AD ⊥⊂，，平面11ADD A ,故AB ⊥平面11ADD A ,而AB ⊂平面11ABB A ，故平面ABB 1A 1⊥平面11ADD A ，故C 正确；连接AC,BD ,由题意知AC BD ⊥,而1AA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ,故11,BD AA AA AC A ⊥= ,BD ⊥平面11,C A CA A ⊂平面1AAC ，故1BD CA ⊥而,,AD BD D AD BD =⊂ 平面ABCD ,故AD 不可能垂直于1CA ，即D 错误，故选：AC10．设函数()sin()(0)f x A x A πϕ=+>，若106f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为1B ．16f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数C ．()f x 在[0，6]上恰有6个零点D ．()f x 在12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【正确答案】BCD【分析】A.()f x 的最小正周期为2，所以该选项错误；B.分析得到1=sin 6f x A x π⎛⎫+± ⎪⎝⎭是奇函数，所以该选项正确；C.令()0f x =，所以11,,,6x k k k k Z ππππ+-=∈得到116x k k =+-,求出()f x 在[0，6]上恰有6个零点所以该选项正确；D.当x ∈12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，[],.622x k k k k Z πππππππ+-∈-+∈因为0A >,所以()f x 在12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以该选项正确.【详解】A.()f x 的最小正周期为2=2ππ，所以该选项错误；B.10sin()0,,,6666f A k k Z k πππϕϕπϕπ⎛⎫=∴+=∴+=∈∴=- ⎪⎝⎭，,11=sin[(k sin()sin 666f x A x A x k A x ππππππ⎛⎫∴+++-=+=± ⎪⎝⎭是奇函数，所以该选项正确；C.令()0f x =，所以1111,,,66x k k k k Z x k k ππππ+-=∈∴=+-,当1=0k k -时，16x =；当1=1k k -时，76x =；当1=2k k -时，136x =；当1=3k k -时，196x =；当1=4k k -时，256x =；当1=5k k -时，316x =；当1=6k k -时，3766x =>.所以()f x 在[0，6]上恰有6个零点，所以该选项正确；D.当x ∈12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，[],.622x k k k k Z πππππππ+-∈-+∈因为0A >,所以()f x 在12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以该选项正确.故选：BCD方法点睛：解答本题的难点是判断选项C 的真假，对于零点问题的处理，常用的方法有：（1）方程法；（2）图象法；（3）方程+图象法.要根据已知条件灵活选择方法求解.11．设点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过点F 斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于,M N 两点（点M 在第一象限），直线l 交抛物线C 的准线于点P ，若34MF FN ==，则下列说法正确的是（）A ．4p =B ．0FP FM +=C ．k =D ．MON △的面积为O 为坐标原点）【正确答案】BC【分析】设()()1122,,,M x y N x y ，利用焦半径公式求出1244,232p px x =-=-，进而求出22221288,3py p p y p =-=-，并结合113MF MM NF NN ==，求出p ，即可判断A ；求出,,F P M 三点的坐标，从而求出向量FP ，FM的坐标，即可判断B ；已知,F M 两点坐标，且MF k k =，利用斜率公式可得k ，即可判断C ；由OMN OFM OFN S S S =+ ，求出MON △的面积，即可判断D.【详解】如图，设()()1122,,,M x y N x y ，1244,223p p MF x NF x =+==+= ，1244,232p p x x ∴=-=-，22221288,3py p p y p ∴=-=-，又113MF MM NF NN ==，21229y y∴=，即228983p p p p -=-，解得：2p =；故选项A 不正确；由上述分析可知(1,,3M N ⎛ ⎝⎭，又容易知()(1,0,1,F P --，则(2,FP =--uu r，(2,FM =uuu r，故0FP FM +=成立；故选项B正确；MF k k ===故选项C正确；114112233OMN OFM OFN S S S △△△+=⨯=⨯⨯，故选项D 不正确；故选：BC ．12．已知函数()e x f x x m =--（x ∈R ），()sin cos g x x x =-（0x ≥），则下列说法正确的是（）A ．若()f x 有两个零点，则1m >B ．若12x x ≠且()()12f x f x =，则120x x +<C ．函数()y g x =在区间5π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个极值点D ．过原点的动直线l 与曲线()y g x =相切，切点的横坐标从小到大依次为：1x ，2x ，…，n x .则πtan 4n n x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【正确答案】ABD【分析】A 项：方法1：分离参数画图即可求得m 的范围；方法2：研究原图的图象与x 轴交点即可；B 项：由极值点偏移的证明步骤即可证得结果；C 项：应用辅助角公式化简()g x ，求()g x 的极值点可得；D 项：由'()(0)()0n n n g x g k g x x -==-化简可得.【详解】A 项：方法1：∵()e x f x x m =--有两个零点，即：方程e x x m -=有两个根.令()e x h x x=-∴()e x h x x y m ⎧=-⎨=⎩有两个交点.∵'()e 1x h x =-∴令'()0h x =，解得0x =，当0x <，'()0h x <，()h x 在(,0)-∞单调递减，当0x >，'()0h x >，()h x 在(0,)+∞单调递增.当x →+∞，()h x →+∞，当x →-∞，()h x →+∞.()h x如图所示，又∵0e ()010h =-=∴1m >，A 正确.方法2：()e x f x x m =--，则'()e 1x f x =-，令'()0f x =，解得0x =，当0x <，'()0f x <，()f x 在(,0)-∞单调递减，当0x >，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞单调递增，所以0x =是()f x 的极小值点同时也是最小值点，即min ()(0)1f x f m ==-，当1m >时，(0)10f m =-<，()e 0m f m --=>，所以()f x 在(,0)-∞只有一个零点，又因为()e 2m f m m =-，只需证明()e 20m f m m =->恒成立，即可得到()f x 在(0,)+∞内只有一个零点.令()e 2m t m m =-，∵'()e 20,(1)m t m m =->>∴()t m 在(1,)+∞上单调递增.∴()()1e 20t m f >=->∴()e 20m t m m =->恒成立得证.∴()f x 在R 上有两个零点，A 正确；B 项：方法1：由A 项知∵()()12f x f x =∴()()12m h x h x ==且m >1且()h x 在(,0)-∞单调递减，()h x 在(0,)+∞单调递增.不妨设：10x <，20x >要证：120x x +<只需证：12x x <-又∵10x <，20x >∴120x x <-<又∵()h x 在(,0)-∞单调递减.∴只需证：()()12h x h x >-又∵()()12h x h x =∴只需证：()()22h x h x >-，20x >令()()()H x h x h x =--∴只需证：()0H x >，0x >∵()()'''()H x h x h x =+-=e 1e 1e e 2x x x x ---+-=+-当0x >，e e 20x x -+->恒成立，所以'()0H x >，∴()H x 在(0,)+∞上单增∴()(0)0H x H >=∴原命题得证.B 正确.C 项：∵()sin cos )4g x x x x π=-=-∴42x k πππ-=+，Z k ∈解得：34x k ππ=+，Z k ∈即为()g x 的极值点.∴()g x 在区间5[0,4π有1个极值点为34π.C 项错误.D.∵()sin cos g x x x =-，[0,)x ∈+∞，则'()cos sin g x x x =+，设切点坐标为()(),n n x g x ，则切线斜率为()'cos sin n n n k g x x x ==+，则sin cos 0cos sin 0n n n n n x x x x x --=+-，即sin cos tan 1πtan cos sin 1tan 4n n n n n n n n x x x x x x x x --⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，D 正确.故选：ABD.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．极值点偏移问题的解法：(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论120()2x x x +><型，构造函数0()()(2)F x f x f x x =--；对结论2120()x x x ><型，构造函数20()()x F x f x f x⎛⎫=-⎪⎝⎭，通过研究F (x )的单调性获得不等式．(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换12x t x =化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．三、填空题13．写出一个存在极值的奇函数______________.【正确答案】()sin f x x =（答案不唯一，满足条件即可）【分析】根据基本初等函数的奇偶性及极值的定义即可求解.【详解】根据题意，函数可以为()sin f x x =，当=+2,2x k k Z ππ∈时，()sin f x x =取得极大值,当=+2,2x k k Z ππ-∈时，()sin f x x =取得极小值.又()()()sin sin f x x x f x -=-=-=-，所以函数是奇函数，故()sin f x x =（答案不唯一，满足条件即可．14．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________【正确答案】2【分析】将复数带入1z -，再利用模长公式化简即可得出答案.【详解】由题意知;1cos 1isin z θθ-=-+当cos 1θ=-时，max 12z -=.故2.15．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，60,PBA QAB AQ QP PB ∠=∠=== ，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP 最长时，该奖杯比较美观，此时AOB ∠=_______________________．【正确答案】2π【分析】作OM QP ⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=，求出AB 、OC ，设AQ QP BP x ===，作⊥QE AB 交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ，可得出10sin x θ=，10cos 53OM OC CM θθ=+=+，由勾股定理可得()()2222210cos 53sin 5sin OP OM MP θθθ=+=++然后求最值可得答案.【详解】作OM QP ⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=，则20sin θ=AB ，10cos OC θ=，设AQ QP BP x ===，作⊥QE AB 交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ，因为60PBA QAB ∠=∠= ，所以12AE BF x ==，32CM PF x ==，EF QP x ==，所以2AB x =，所以20sin 2AB x θ==，即10sin x θ=，310cos 10cos 532OM OC CM θθθ=+==+，所以()()2222210cos 53sin 5sin OP OM MP θθθ=+=++222100cos 75sin 1003cos 25sin 10032θθθθθθ=+++=+，因为[]sin 21,1θ∈-，所以当sin 21θ=即4πθ=时2OP 最大，也就是OP 最长时2AOB π∠=.故答案为.2π本题考查了用三角函数解决几何问题，关键点是作出辅助线利用勾股定理求出2OP ，考查了学生分析问题、解决问题的能力.16．三棱锥-P ABC 中，PA PB PC ==，底面ABC 是边长为2的正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，且CE EF ⊥，若M 为三棱锥-P ABC 外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为___________.【正确答案】3【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===-P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解；【详解】,PA PB PC ABC == △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又,E F 分别为PA AB ､中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又,,EF CE CE AC C ⊥⋂=EF ∴⊥平面,PAC PB ⊥平面,90,PAC APB PA PB PC ∴∠=∴=== P ABC ∴-为正方体一部分，故2R =R =，∵M 为三棱锥-P ABC 外接球上的动点，∴当M 位于正方体的如图所示的顶点处，点M 到平面ABC 距离最大，设为h ，∴可求得三棱锥M ABC -11432-⨯=∴212343h ⨯⋅=，解得：h263求解立体几何外接球问题，根据题目特征作出辅助线，找到球心，求出半径，或补形为长方体或正方体，进而求出表面积或体积.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在①2218n n n n b a a +=，②2nn n b a =，③()1n n n b S =- 这三个条件中任选一个．补充在下面的问题中，并求解该问题．若，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)21n a n =-；(2)若选①，()21121n T n =-+；若选②，()16232n n T n +=+- ；若选③，()()112n n n n T +=-.【分析】(1)运用递推公式1=n n n a S S --即可求出{}n a 的通项公式；(2)若选①，则用裂项求和，若选②，则用错位相减法求和，若选③，则对n 分奇数和偶数讨论，再分组求和.【详解】（1）∵()221=,=1n n S n S n -∴-()2n ≥，∴当2n ≥时，1==21n n n a S S n ---，当=1n 时，111a S ==也满足上式，∴=21n a n -；（2）若选①：∵()2+18=n n n nb a a =()()()()2222811=212+1212+1nn n n n ---∴()()()22222221111111=+++=11335212+12+1n T n n n ----- ；若选②：∵()=2=212n nn n b a n - ，∴()()231=12+32+52++232+212n nn T n n ---⨯⨯⨯ 则()()234+12=12+32+52++232+212n n n T n n --⨯⨯⨯ ∴两式相减可得：23=2+22+22n T -⨯⨯+()+1+22212n n n -- =()+2+1822+21212n n n ---- =()+16232n n --- ，∴()+1=6+232n n T n - ；若选③：∵()()2=1=1n nn n b S n -- ，∴当n 为偶数时，()222222=1+23+41+n T n n ----- ，()222222=21+43++1n n ---- ()()()32112372122nn n n n +-+=+++-==，当n 为奇数时，21=n n T T n --=()212n n n --=()+12n n -，∴()()+1=12nn n n T -；综上，=21n a n -，选①()21=12+1n T n -，选②()+1=6+232n n T n - ，选③()()+1=12n n n n T -.18．近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）首选志愿为师范专业首选志愿为非师范专业女性2535男性525(1)根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.()2P k αχ=≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【正确答案】(1)有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；(2)分布列见解析，()1E X =，2()3D X =.【分析】（1）求出2χ，比较临界值可得；（2）求得某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P ==，X 的所有可能取值为0，1，2，3，由二项分布求得概率的分布列，再由二项分布的期望公式、方差公式计算期望与方差．【详解】（1）2290(2525355) 5.625 3.84160303060χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.（2）某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P ==，X 的所有可能取值为0，1，2，3，1~3,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭328(0)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131241C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()2231222C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，311(3)327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，∴X 的分布列如下：X0123P8274929127()1313E X ⨯==，112()31333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.19．ABC 的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23B π=，b ．(1)若2cos cos 3A C =，求ABC 的面积;(2)试问111a c+=能否成立?若能成立，求此时ABC 的周长;若不能成立，请说明理由．【正确答案】(1)3；(2)不成立，理由见解析【分析】(1)根据条件先算出sin sin A C ，再运用正弦定理和三角形面积公式即可算出ABC 的面积；(2)运用反证法，先假设111a c+=能成立，再运用余弦定理和基本不等式推出悖论即可.【详解】（1）1（）由23B π=，可得3A C π+=，所以cos cos cos sin sin A C A C A C +=-（），即1cos cos sin sin 2A C A C =-，又因为2cos cos 3AC =，所以1sinsin 6A C =，因为sin sina c A C ==，所以a A c C ==，，所以11sin 4sin sin sin 426ABC S A C B A B C =⋅==⨯=；（2）假设111a c+=能成立，所以a c ac +=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，所以226a c ac =++，所以26a c ac +-=（），故260ac ac --=（），解得3ac =或2ac=-（舍），此时3a c ac +==，不满足a c+≥所以假设不成立，故111a c+=不成立；综上，3ABC S =△，111a c +=不成立.20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，且22PA PB AB AD BC =====，设平面PAB 与平面PCD 的交线为l ．(1)作出交线l （写出作图步骤），并证明l ⊥平面PAD ；(2)记l 与平面ABCD 的交点为Q ，点S 在交线l 上，且(01)PS PQ λλ=<<，当二面角S AC B --的λ的值．【正确答案】(1)直线PQ 即为所求作的直线l ，证明见解析(2)13λ=【分析】（1）延长AB 、DC 交于Q 点，即可得到交线，通过证明PQ PD ⊥，AD PQ ⊥即可证明线面垂直；（24=，解方程即可.【详解】（1）延长AB ，DC 交于点Q ，连结PQ ，则直线PQ 即为所求作的直线l ：因为90ABC BAD ∠=∠=︒，所以AD BC∥又因为22PA PB AB AD BC =====，所以B ，C 分别为AQ ，DQ 中点，且PAB 为正三角形，所以PQ PA ⊥，又AD AB ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD 且交线为AB ，且AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面PAB ，且PQ ⊂面PAB ，所以AD PQ ⊥，又AD PA A ⋂=，且AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ,所以PQ ⊥平面PAD ，即l ⊥平面PAD ：（2）取AB 的中点O ，连结PO ，则PO AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD 且交线为AB ，且PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OB ，OP 所在直线为x ，z轴建立如图空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(1,2,0)D -，P ，(3,0,0)A ，由PS PQ λ=，得(3)S λ，所以(3)AS λ=+，(2,1,0)AC = ，显然平面SAC 的一个法向量为(0,0,1)k =，设平面SAC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n AS n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即())20310x y x z λ+=⎧⎪⎨++=⎪⎩取31z λ=+，则1)x λ=-，)y λ=-，所以平面SAC的一个法向量为1),),31)n λλλ=--+，所以|||cos ,|4||||n k n k n k ⋅〈〉=== ，解得13λ=所以当二面角S AC B --13λ=21．（1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动.月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加.社团活动积极分子甲同学参加了活动.①第一个月有18个中签名额.甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签.求这三名同学同时中签的概率.②理学社设置了第n (N n +∈)个月中签的名额为216n +，并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签，则活动立刻结束.求甲同学参加活动时间的期望.（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动.报名和抽签时间与（1）中某中学理学社的报名和抽签时间相同，最初有30万人参加，甲同学在其中.每个月抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人数与中签的人数相同.出版集团设置了第n (N n +∈)个月中签的概率为19(1)180nn p +-=，活动进行了2()k k N +∈个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于9.5个月.【正确答案】（1）①2041015②697455（2）证明见解析；【分析】（1）①设甲乙丙中签为事件,,A B C ，则()181716302928P ABC =⨯⨯，计算得到答案.②甲参加活动的时间X 的可能取值为1,2,3,4，计算概率得到数学期望.（2）设甲中签为事件A ，则4()15kP A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，114(21)(2)105m P X m P X m -⎛⎫=-===⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到42195()2415kk k E X ⎛⎫⎪⎝⎭=-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得到证明.【详解】（1）①设甲乙丙中签为事件,,A B C ，则()()181716204()()3029281015P ABC P A P B A P C AB ==⨯⨯=.②()2163021n n +=--，故4n =，则甲参加活动的时间X 的可能取值为1,2,3,4，则183(1)305P X ===；18202(2)(1)30287P X ==-⨯=；18202244(3)(1)(1302826455P X ==-⨯-⨯=；1820228(4)(1)(1(1)1302826455P X ==-⨯-⨯-⨯=.则甲参加活动的时间的期望为32448697()123457455455455E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设甲中签为事件A ，则9898984()111091091095kP A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ，设,m k m N +≤∈，甲在第21,2m m -个月中中签的概率为114(21)(2)105m P X m P X m -⎛⎫=-===⋅ ⎪⎝⎭，则甲在事件A 发生的条件下，第21,2m m -个月中中签的概率为114105()m P A -⎛⎫⎪⎝⎭，则甲在事件A 发生的条件下，甲参加活动时间的均值为()()211444()1234(56)(212)10()555k E X k k P A -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，设214443711(41)555k S k -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，则214444437(45)(41)55555k kS k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，所以211444434(41)55555k kS k -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，4451912055k kS k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以444191425519195()224421155k kkk k k k E X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭==-<⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.本题考查了概率的计算，数学期望，错位相减法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．在平面直角坐标系中，12,A A 两点的坐标分别为(2,0),(2,0)-，直线12,A M A M 相交于点M 且它们的斜率之积是34-，记动点M 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）过点(1,0)F 作直线l 交曲线E 于,P Q 两点，且点P 位于x 轴上方，记直线12,AQ A P 的斜率分别为12,k k ．①证明：12k k 为定值；②设点Q 关于x 轴的对称点为1Q ，求1PFQ △面积的最大值．【正确答案】（1）221(2)43x y x +=≠±；（2【分析】（1）根据条件列出方程化简即可求出曲线方程；（2）设直线l 的方程为1122121,(,),(,)(0,0)x my P x y Q x y y y =+><，直接表示出斜率12,k k ，消元为关于12,y y 的式子，再联立直线与椭圆利用韦达定理可得12,y y 的和、积，代入化简即可求证12k k 为定值；由题意1Q 坐标为22(,)x y -，可得直线1PQ 恒过点D (4,0),11||PFQ PFD Q FD S S S =- ，化简后利用均值不等式求最值.【详解】（1）设点M 坐标为(,)x y ，则直线12,A M A M 的斜率分别为,,222y yx x x ≠±+-，依题意知3224y y x x ⋅=-+-，化简得221(2)43x y x +=≠±；（2）①设直线l 的方程为1122121,(,),(,)(0,0,0)x my P x y Q x y y y m =+><≠，则21212122121211222112121111212(2)(1)(),(2)(3)233y k x x y my y my y y my y y y y y k x y my y my y y my y y x +----++=====++++-，又221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得22(34)690m y my ++-=，得1221226,349,34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩因此112221211229631343434993333434m m my y k m m m m k y y m m -++-++++==-+-+++，故12k k 为定值13；②1Q 坐标为22(,)x y -，则直线1PQ 方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =解得:2112112211212112121212()(1)(1)21x x y x y x y my y my y my y x x y y y y y y y y -++++=+===+++++2292()3414634m m m m -+=+=-+，即直线1PQ 恒过(4,0)D 点，故111212121133|||3||3|||||||||||2222PFQ PFD Q FD S S S y y y y y y =-=⨯-⨯=-=+ 236||234m m =⨯+943||||m m =+4≤，当243m =，即3m =±时，等号成立，此时1PFQ △关键点点睛：求1PFQ △面积的最大值，首先要表示出三角形面积，根据本题条件，转化为11||PFQ PFD Q FD S S S =- 是解题的关键，表示出三角形面积236||234m S m =⨯+后，选择合适的方法求最大值，是解题的一个难点，本题可采用分子分母同除以||m 后，利用均值不等式求解.。

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阳信二中质量检测文科数学试题一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．)1、设全集I 是实数集R ，{}24M x x =>与{}13N x x =<≤都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A ．{}2x x < B ．{}21x x -≤< C ．{}22x x -≤≤ D ．{}12x x <≤2、曲线x x y 2212-=在点(1 ，23-)处切线的倾斜角为（） A ．1 B ．︒45 C ．︒-45 D ．︒1353、定义在R 上的函数()f x 满足下列各条件，不能得出函数()f x 的具有周期性的是A ．()(2)2009f x f x +=B ()(4)f x f x =-C ．(1)()(2)f x f x f x +=++ D.()f x 为奇函数且()(2)f x f x =-4、设函数则不等式的解集是（）A BC D5、设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则122009x x x ⋅⋅⋅的值为 A 12009 B 12010 C 20092010 D. 16．函数131)(23+++=x ax ax x f 有极值的充要条件是（）A ．1a ≥或0a ≤B ．1a >或0a <C ．1a ≥或0a <D ．10<<a7、集合A 是集合1{1,0,,1,2,3}2M =-的子集，且,x A ∀∈都有1,A x ∈则集合A 的个数有A ．2个B 3个C ．6个 D. 7个8、下列函数中不是奇函数的是⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f )1()(f x f >),3()1,3(+∞⋃-),2()1,3(+∞⋃-),3()1,1(+∞⋃-)3,1()3,(⋃--∞1.()lg 1x A f x x +=-21.()21x x B f x -=+.())C f x x = 11.()()212x D f x x =+-9、函数的零点所在的区间为（）w. .A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（1，e ） 10、已知123(),(),()log ,x a a f x a f x x f x x ===（其中0,1)a a >≠在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的函数部分图象，其中正确的是（）11、若2()8f x x kx =---在[5,10]上不是单调函数，则（）．A ．10k ≥B ．10k ≥-或20k ≤-C ．20k ≤-D ．2010k -<<-12、设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的常数k ，定义函数(),(),()k f x f x k f k f x k ≤⎧=⎨>⎩，取函数()sin f x x =，恒有()()k f x f x =，则A ．k 有最大值1B ．k 有最小值1C ．k 有最大值1-D ．k 有最小值1-x x x f ln )(+=第Ⅱ卷（共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13、已知,,(0,1)a b c∈且123113{2,,log}{,,}242a b c=-，则_______b=14、函数22()lg[(1)(1)6]f x a x a x=-+-+的定义域为(2,1)-，则_______a=15、函数1()1xf xx+=-的单调减区间是____________16、已知函数3()sin,F x x x b=++若(2)3F=，求(2)F-。

解答如下：332sin23,-2sin-2(2),bb F++=++=-①（）（）②①＋②得(2)23F b-=-。

请借鉴以上题的特点和解答过程，自编一道类似的题目，不用解答。

已知函数_________________________若____________，求____________ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17、若2()lg(1)f x x ax=++的定义域为R，（1）求实数a的取值范围构成的集合A（2）若B={}|121x m x m+≤≤-且B A⊆,求实数m的范围。

18、列出你对函数()()af x x a Rx=+∈的认识，（提示：从函数的定义域、奇偶性、单调性、值域、图像等多个方面，有理有分）19、已知函数21 ()21xxf x-=+（1）判断()f x的奇偶性并给出证明（2）若()2xf x k=⋅有两个不同的实数根，求k的取值范围。

20、设a为实数，3()3f x x x a=-++（1）求()f x的极值．（2）当a为何值时,()0f x=恰有两个实根．21、已知21()(1)2x f x e a x =-+（1）求()f x 在0x =处的切线方程．（2）若()f x 在区间(0,2]x ∈为增函数，求a 的取值范围。

22、已知函数2()|23|f x x x =--. (1)作出()f x 的图像。

（2）求k 的取值范围，使方程()f x k =总有两个不同的解；（3）若方程()f x k =有四个不同的根，且这四个根成等差数列，求实数k 的值.文科数学参考答案1.D2.D3.选B ，为对称性，D 中()(2)(2)4f x f x f x T =-=--∴=4.选A 。

2(1)3,46331f x x x x =-+>>≤<由得或0，由633x x +>>>-得0 5.选B ，切线方程(1),1n ny n x n x n =+-=+，6.选B ，2'()210f x ax ax =++=有两解0∴∆> 7.选D ，1111{1},{1},{2,},{1,1},{1,2,},{1,2,},{1,1,2,}2222A =---- 8.D 为偶函数9.B10.选C 。

A 中是一个指数函数与一个幂函数图像，从指数函数看a>1而从幂函数上看a<1B 中是一个指数函数与一个幂函数图像，从指数函数看a<1而从幂函数上看a>1 D 中是一个对数函数与一个幂函数图像，从对数函数看a>1而从幂函数上看a<1[11. ()f x 的增区间为(,)2k -∞-，减区间为(,)2k -+∞，故5102k <-<选D12.k f 就是取()f x 与k 两个中小的那个值，()sin f x x =有最大值1，恒有()()k f x f x =说明sin ,1k x k ≥∴≥13. 由,,(0,1)a b c ∈得11223121,01,log 0,4a b c b ><<<∴= 得116b =14.2a =-15. (,1)(1,)-∞+∞和16. 已知()()f x g x 与都是奇函数且函数()()(),F x f x g x b =++若()3F t =，求()F t -。

（若()()f x g x 与都是具体函数只得2分，有创新者得4分）17.（1）{|11}A a a =-<<（2）当B =∅时，2m >，当B ≠∅时221111m m m ≤⎛ -≤ +≥-⎝解得21m -≤≤综上得21m -≤≤或2m >18.（1）定义域为R 1()121122()()12121()12x xx x x x f x f x ------====-+++ （2）21()21x x f x -=+2x k =⋅即2(2)(1)210x x k k ⋅+-⋅+=有两个不同解即2(1)10k t k t ⋅+-⋅+=有两个不同正根，故01010kk k ⎧⎪∆>⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪-⎩解得03k <<-19，①_函数的定义域{|0}x x ≠（1分）②当0a =时，(),f x x =在R 上为增函数（1分）③当0a <时，()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上为增函数（1分）④奇函数（1分）⑤当0a >时，()f x在(,(,)-∞+∞和减和增（4分） ⑥当0a >时，当0x >，2a y x x =+≥；当0x <，2a y x x =+≥-（2分） ⑦当0a >时，图像为（图略）（1分）⑧当0a >时，()f x 在区间[,]m n上的单调性要讨论,m n 的关系。

（1分）其它只要正确就给1分20（1）令.2'()330f x x =-+=得1x =±，(1)2,(1)2f f a f f a =-=-==+极小极大（2）()0f x =恰有两个实根，则2a =或2a =-21.'()(1)x f x e a x =-+，切线：y x = '()(1)0x f x e a x =-+≥在区间(0,2]x ∈上恒成立即(1)xe a x +<在02x <≤上恒成立. 令2(1)(),'()x xe x e g x g x x x -==当x=1时()xe g x x =有最小值e 所以1a e <-22解：22223,13()|23|23,13x x x x f x x x x x x ⎧--≤-≥=--=⎨-++-<<⎩或（1）①当0k <时，显然，()f x k =无解；②当0k =时，()f x k =有两个解；③当0k >时，方程 ()f x k = 即 2230x x k ---= 总有两个解；根据题意，方程－()f x k = 即 2230x x k -+-= 无解，△＝224(3)0k --< 即 4k >，所以，当 0k = 或 4k > 时，()f x k = 有两个解。

…………………5分（2）设方程2230x x k ---= 的两根为14,x x ，由韦达定理，得：141423x x x x k +=⎧⎨⋅=--⎩，设方程2230x x k -+-=的两个根为23,x x ，由韦达定理，得：232323x x x x k +=⎧⎨⋅=-⎩，不妨设 1234x x x x <<<，则1234,,,x x x x 成等差数列， 41323()x x x x -=-，224132()9()x x x x -=-，2241413232()49[()4]x x x x x x x x +-=+- 即：2224(3)9[24(3)]k k ---=-+， ∴165k =……………12分。