第二节 对数与对数函数(知识梳理)
3对数与对数函数
2a lg 1 1 10 a 1. 2 40 b 0 b 1. g (0) 20
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则f[f(2)]=
2e x 1 , x 2, 【7】(06山东)设函数 f ( x ) 2 log 3 ( x 1), x ≥ 2,
2
.
【8】计算 lg( 3 5 3 5 ).
解:由a>0, ab=1可知b>0, 又y=loga|x+b|的图象关于x=-b对称， 由图象可知b>1, 且0<a<1, 由单调性可知，B正确.
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解题是一种实践性技能,就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实 践来学到它！ ——波利亚
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【1】(07上海)方程 9 x 6 3 x 7 0 的
2
3 3＋1· lg 2
lg 2 lg 2 lg 3 lg (3)原式＝lg 3＋lg 9· 4＋lg lg lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ＝lg 3＋2lg 3· 2＋3lg 2 2lg
3 8
3lg 2 5lg 3 5 ＝ · ＝ . 2lg 3 6lg 2 4
解 3 ×70 7 (1)原式＝lg － lg23－2lg 3＋1 3
＝lg 10－ (lg 3－1)2＝1－|lg 3－1|＝lg 3.
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(2)令 3x＝t，∴x＝log3t， ∴f(t)＝4log23· 3t＋233＝4log2t＋233， log ∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28) ＝4(log22＋log24＋log28＋…＋log228)＋8×233 ＝4· 2(2·2·3· 28)＋8×233 log 2 2 …· ＝4· 2236＋1 864＝4×36＋1 864＝2 008. log
对数与对数函数
对数与对数函数 知识梳理1、对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程xa N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.为a ＞0，a ≠1时，log x N a a N x =⇔= 【扩展】两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.说明：在例1中，10log 0.010.01,log 10ln10e 应改为lg 应改为. 2、对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log aa a MM N N=- （3）log log ()n a a M n Mn R =∈3、画出函数2log xy =的图象, 再利用电脑软件画出0.5log .x y =的图象42-2-4-55探究：选取底数(a a ＞0，且a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？画出4log y x =，3log y x =，13log y x =和14log y x =提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征函数的性质（1）图象都在y 轴的右边 （1）定义域是（0，+∞） （2）函数图象都经过（1，0）点 （2）1的对数是0（3）从左往右看，当a ＞1时，图象逐渐上升，当0＜a ＜1时，图象逐渐下降 .（3）当a ＞1时，log xa y =是增函数，当0＜a ＜1时，log a y x =是减函数. （4）当a ＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a ＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .（4）当a ＞1时x ＞1，则log a x ＞00＜x ＜1，log a x ＜0 当0＜a ＜1时x ＞1，则log a x ＜00＜x ＜1，log a x ＜0由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：a ＞10＜a ＜1图象性 质（1）定义域（0，+∞）； （2）值域R ； （3）过点（1，0），即当x =1，y =0； （4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）是上减函数精讲精练（1）对数运算的例题【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=；（4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.【例2】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a MM N N-=.【例3】试推导出换底公式：log log log c a c bb a= （0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.【例4】化简与求值：（1）221(lg 2)lg2lg5(lg 2)lg212++-+ ；（2）2log (4747)++-.【例5】若2510a b ==，则11a b+= . （教材P 83 B 组2题） 【例6】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .【例7】（1）化简：532111log 7log 7log 7++；（2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅= ，求实数m 的值.（2）对数函数图象和性质的例题【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.【例2】求下列函数的定义域：（1）2log (35)y x =-；（2）0.5log (4)3y x =-.【例3】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围.【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.【例5】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例6】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<【例7】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？课堂作业（1）对数幂的运算1. 将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值 .（1）12155-=（2）42log x = （3）1327x =（4）1()644x= （5）lg0.0001x = （6）5ln e x =2．求log log log ,a b c b c Na⋅⋅∈+的值(a,b,c R 且不等于1，N ＞0）.3．计算331log log 5533+的值.4、判断下列式子是否正确，a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ，则有（1）log log log ()a a a x y x y ⋅=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=-（3）log log log aa a xx y y=÷ （4）log log log a a a xy x y =- （5）(log )log n a a x n x = （6）1log log a a x x=- （7）1log log n a a x x n=5. 用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.（1）log a xyz =____________; （2）23log 8a x y =______________________;（3）75log (42)z ⨯=______________; （4）5lg 100=_____________________; 6. 已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a - 7、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 8、已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于（ ）A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n -9、如果方程2lg (lg5lg7)lg lg5lg70x x +++= 的两根是,αβ，则αβ 的值是（ ）A 、lg5lg 7B 、lg 35C 、35D 、351 10、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13 B 、123 C 、122 D 、13311. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。
高中数学精品课件：对数与对数函数
解析答案
|lg x|，0<x≤10， (2)已知函数 f(x)＝－12x＋6，x>10， 若 a，b，c 互不相等，且 f(a)＝f(b) ＝f(c)，则 abc 的取值范围是( )
A.(1,10) C.(10,12)
B.(5,6) D.(20,24)
解析答案
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数值的大小
②logab＝log1ba，推广 logab·logbc·logcd＝ logad .
答案
3.对数函数的图象与性质 a>1
图象
0<a<1
(1)定义域：_(0_，__＋__∞__)_
(2)值域：_R_
性
(3)过定点__(1_,_0_)_，即x＝1 时，y＝_0_
质
(4)当x>1时，_y_>_0__
解析答案
log2x，x>0，
(3)设函数 f(x)＝
若 f(a)>f(－a)，则实数 a 的取值范
log
1 2
－x，x<0，
围是( C )
A.(－1,0)∪(0,1) C.(－1,0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1)
a>0，
a<0，
解析 由题意可得
或
log2a>log
答案
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
பைடு நூலகம்思考辨析
(1)若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN.( × )
(2)logax·logay＝loga(x＋y).( × )
(3)函数 y＝log2x 及 y＝log1 3x 都是对数函数.( ×)
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
对数与对数函数(知识点及相关练习)
（④⑥）
x y x y ② log a log a loga
x y log a ③ log log a
x y ④ log(axy ) loga loga
⑤ alogb N N 例 5：求下列各式的值 （1） lg 2 lg 5
1 2
⑥ log a x
3 2
对数运算性质 （ a 0 ，且 a 1 ， M 0, N 0 ）
M N log(aMN ) loga loga
M
a m a n a m n a m a n a mn
M N log aN log a log a
a
m n
a mn
M M log a n log a
（2） log 0.2 7 log 0.2 9
1 的定义域 x3对数函数
对数函数与指数函数的关系和特征（★★★★☆）
指数函数 解析式 特征点 定义域 值域 单调 性 奇偶性 关系
y a x (a 0, a 1)
对数函数
x y loga (a 0, a 1)
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对数与对数函数
例 9：下列函数中，是对数函数的是（④⑤） ① y loga x2 (a 0, a 1) ④ y log x a,( x 0, x 1, a 0) ② y log2 x 1 ⑤ y log2 x ③ y 2log2 x
对数函数的图像及性质（★★★★☆）
对数与对数函数
对数与对数函数
一、 对数运算
对数定义（★★★☆☆） 一般地，如果 a x N( a 0, a 1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
高考数学一轮复习第二章函数5对数与对数函数课件新人教A版22
则 logax2=2logax1,∴x2=12 ,
又 2logax2=logax1+3,∴2loga12 =logax1+3,∴x1=a,x2=a2.
∵四边形ABCD为正方形,∴|AB|=|BC|,
即x2-x1=(logax1+3)-2logax1,
∴a2-a=2,解得a=2或a=-1(舍去).
2
3
2 lg 2
3
2
=100lg 3-lg 2=100lg =(10 ) =102lg =10
lg
3 2
2
=
4
(2)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg
2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.
3
(3)∵f(x)=logax,∴f(4t)-f(t)=loga4t-logat=loga4=2loga2=3,∴loga2=2,
的底数.
故0<c<d<1<a<b,即在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.反函数
y=logax
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数
(a>0,且
y=x
a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线
对称.
-9知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
6
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
2
故选 B.
对数与对数函数-高考数学复习课件
故有ቊ
解得1＜ a ≤3.
6 − 2≥0，
(2)(2024·河南郑州模拟)设函数 f ( x )＝ln｜ x ＋3｜＋ln｜ x －3｜，则
f ( x )( A
)
A. 是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B. 是奇函数，且在(－3，3)上单调递减
C. 是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
因为0＜ a ＜ b ，所以ln a ＜0，ln b ＞0，
所以0＜ a ＜1， b ＞1，
所以－ln a ＝ln b ， 所以ln a ＋ln b ＝ln( ab )＝0，
1
所以 ab ＝1，则 b ＝ ，
2
所以 a ＋2 b ＝ a ＋ .
2
令 g ( x )＝ x ＋ (0＜ x ＜1)，
a ＞1
0＜ a ＜1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
性质
R
过定点 (1，0)
，即 x ＝ 1
时， y ＝ 0
a ＞1
0＜ a ＜1
当 x ＞1时， y ＞0 ；
当0＜ x ＜1时， y ＜0
性质
在(0，＋∞)上是 增
数
函
当 x ＞1时， y ＜0 ；
当0＜ x ＜1时， y ＞0
在(0，＋∞)上是 减
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 对数与对数运算
1. 对数的概念
如果 ax ＝ N ( a ＞0，且 a ≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)
高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb．N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中0,N0，那么MlogaNloga(MN)M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)④alogaNNnlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1)logba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称定义函数对数函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a1y某10a1y某1yloga某yloga某图象O(1,0)O(1,0)某某定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念设函数果对于yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将某yf(某)中反解出某f1(y)；f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(某)的图象上．③若P(a,b)在原函数④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题：1．log89的值是log23A．（）23B．1C．32D．22．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.（）C.0D.32B.54123．已知lg2=a，lg3=b，则lg12等于lg15（）A．2ab1abB．a2b1abC．2ab1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某的值为 yA．1B．4（）C．1或4C．(C．ln5D．4或-1（）5.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）y6.已知f(e某)=某，则f(5)等于A．e57．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是yyyABCD8．设集合A{某|某10},B{某|log2某0|},则AB等于A．{某|某1}C．{某|某1}B．{某|某0}D．{某|某1或某1}2O某O某O某O某（）9．函数yln某1,某(1,)的反函数为（）某1e某1,某(0,)B．y某e1e某1,某(,0)D．y某e1e某1,某(0,)A．y某e1e某1,某(,0)C．y某e1二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg11log23＋lne＋2=10011．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.25y8413，14.y=1－2某(某∈R)，217.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a扩展阅读：高一数学上册_第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logbaab．（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）．（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么①加法：logaMlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogMaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)log④aaNN⑤lognnabMblogaM(b0,nR)⑥换底公式：logbNaNloglog(b0,且b1)ba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a10a1y某1ylog某1a某yyloga某图象(1,0)OO(1,0)某某定义域(0,)值域R 过定点图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(0某1)a变化对在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．图象的影响(6)反函数的概念设函数yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(某)中反解出某f1(y)；③将某f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P(b,a)在反函数yf(某)的图象"1③若P(a,b)在原函数上．一、选择题：1．log89log的值是23A．23B．12．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.3B.5243．已知lg2=a，lg3=b，则lg12lg15等于A．2ab1abB．a2b1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某y的值为A．1B．45.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(12，＋∞)B．［1，＋∞)1)6.已知f(e某)=某，则f(5)等于C．32（）C.0（）C．（）C．1或4C．(12，1]（）D．2D.122ab1abD．4或-1）D．(－∞，（）A．e5B．5eC．ln5D．log5e7．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是（）yyyyABCDO某O某某OO某8．设集合A{某|某210},B{某|lo2某g0|}则,AB等于（）A．{某|某1}B．{某|某0}C．{某|某1}D．{某|某1或某1}9．函数yln某1某1,某(1,)的反函数为（）A．ye某1e某1,某(0,)B．ye某1e某1,某(0,)C．ye某1e某1e某1,某(,0)D．ye某1,某(,0)二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg1100＋lne＋21log23=（11．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.132，14.y=1－2某(某∈R)，15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.254y817.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a。
对数与对数函数-2025高考数学复习
高考一轮总复习 • 数学
[解析] 因为 a＝log36＝1＋log32，b＝1＋2log52，
②logaMN ＝_l_o_g_a_M_－__l_o_g_a_N__； ③logaMn＝_n__lo_g_a_M__(n∈R)．
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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知识点二 对数函数的图象与性质 1．对数函数的定义、图象和性质
定义
函数___y_＝__lo_g_a_x_(_a_＞__0_，__且__a_≠_1_)___叫做对数函数
a＞1
0＜a＜1
图象
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性质
定义域：___(_0_，__＋__∞__) ________ 值域：____(－__∞__，__＋__∞_)______
当x＝1时，y＝0，即过定点____(_1_,_0_) ______
当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，____y_＞__0______
5 log4 3
5
＝log2 8＝3log2 3，所以 a－3b＝log2 5－log2 3＝log2 3＝ log4 2 ＝2log4 3＝
25 log4 9 ，所以 4a－3b＝
25 ＝ 9 ，故选 C.
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8 ． (2017·全 国 卷 Ⅱ ) 函 数 f(x) ＝ ln(x2 － 2x － 8) 的 单 调 递 增 区 间 是
1 ＝2，∴a<c<b.故选 C.
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考点突破 · 互动探究
§6.2-对数函数和对数
§6.2对数函数和对数预备知识(指数函数的概念及图象(幂的运算法则重点(对数函数、常用对数和自然对数的概念(幂与对数的互化(换底公式(用计算器求常用对数、自然对数和一般对数(积、商、幂的对数运算法则难点(对数函数的概念(利用对数运算公式作运算学习要求(理解对数函数和对数的概念(熟悉常用对数、自然对数的记号(掌握用计算器求常用对数、自然对数和一般对数的方法(了解对数的几个基本等式，并会用于计算(了解积、商、幂的对数的运算公式，并能用于简单的对数运算(了解换底公式，并能根据需要作对数的换底本节讨论指数函数y=ax的反函数――对数函数，并给出计算对数函数值――对数的方法．1.对数函数的概念(1)对数函数一只抽气泵每次可以抽调原有空气的二分之一．设原有空气量为1，则第一次抽气后余下空气为；第二次抽气后余下空气为(=()2；第三次抽气后余下空气为(()2=()3．依此类推，第x次抽气后余下空气为y=()x, x(N 或y=0.5x, x(N (1)这是一个以a=0.5为底的指数函数．现在想知道，抽到第几次后，剩余原有空气量的？即要求x，使0.5x=．因此这是求指数函数(1)的反函数问题．在第三章和第五章，你已经熟悉了一般的指数函数y=ax，它要求底数a>0, a(1；定义域D为R ；值域M为(0, +()．指数函数反映的是当指数改变时，幂ax的改变规律，即指数x与幂ax?之间的对应法则．因为指数函数当a>1时是单调上升的，当0<a<1时是单调下降的(见图6-13)．因此反函数是存在的，反函数反映的是当幂ax?改变时，指数x的改变规律，即幂到指数的对应法则．讲到函数，总希望能有一个表达运算的式子，来表示自变量与因变量之间的对应规律．但有时候你未必能如愿．例如指数函数y=4x，给了一个y>0，反函数的函数值是很明确的，就是使4x=y的那个x，但是你不可能从4 x=y解出x成为y的一个数学式．于是我们用一个特定的函数记号“log４”来表示(log是英文logarithm的缩写，其中文解释就是对数的意思)，并且给它一个特定的名称，称为以4为底的对数函数．因此指数函数y=4x的直接反函数是对数函数x=log4y, (y>0)，对调x,y后的常规反函数则是对数函数y=log4x, (x>0)，读作“log 4底x”．很明显，这里的记号“log４”相当与一般反函数记号“f-1()”．一般地，指数函数y=ax (a>0,a(1,x(R)的反函数是以a为底的对数函数，即y=logax (x>0)，读作“log a 底x”，函数值正好是使a为底的幂等于x时的指数值，即a y=x．回到开始的抽气泵问题(1)上来．用对数函数的概念，要想抽到剩余原有空气量的，需要抽气次数x为x=log 0.5 y，这个式子表示的是，在y=0.5x中，当y变化时，x将如何变化．例1求(1) y=2x；(2)y=10x；(3)y=；(4)y=a3x, (a>0,a(1)的反函数．解(1)y=2x的反函数是y=log 2x ▍(2)y=10x的反函数是y=log 10x ▍(3)y=的反函数是▍(4)因为a3x=(a3)x，所以y=a3x的反函数是▍课内练习11. 求下列函数的反函数：(1) y=5x；(2)；(3)y=0.3x；(4)y=, (a>0,a(1)．(2)对数函数的两个基本等式根据反函数定义，若y=log ax(6-2-1)则 a y=x，即, (x>0) (6-2-2)把x=a y反代入(6-2-1)，得y=log aa y, (y(R)即log aa x=x, (x(R) (6-2-3)特别地，当x=1，得到logaa=1, (a>0) (6-2-4)当x=0，得到loga1=0, (a>0) (6-2-5)(6-2-2),(6-2-3)是基本等式，必须熟记；(6-2-4),(6-2-5)是两个基本结果，也必须牢记．例2求下列对数函数的函数值：(1)log44100；(2)；(3)log0.99991；(4)log0.99990.9999．解(1)据基本等式(6-2-3)，log44100=100 ▍(2)据基本等式(6-2-3)，=-5 ▍(3)据公式(6-2-5)，log0.99991=0 ▍(4)据公式(6-2-4)，log0.99990.9999=1 ▍课内练习21. 填空：(1)log5520＝；log0.30.3-2= ；= ；logaam = , (a>0且a(1)；(2)log1616= ；log71= ；log0.80.8= ；= ．例3 求下列对数函数的函数值：(1)log28；(2)log101000；(3)log100.1；(4)；(5)解应用(6-2-3)(1)log28=log223=3 ▍(2) log101000=log10103=3 ▍(3)log100.1=log1010-1=-1 ▍(4)==-3 ▍(5)==▍课内练习31. 求下列对数函数的函数值：(1)log5125；(2)log10100000；(3)log21024；(4)；(5)；(6)log2；(7)log2；(8) log2．例4 求下列指数函数的函数值：(1)y=1.2x, x=log1. 25；(2)y=10-x, x=log10；(3)y=9x, x=log3a；(4)y=2x, x=．解(1)以x=log1.25代入指数，据(6-2-2)得y==5 ▍(2)以x=log10代入指数，据(6-2-2)得y==()-1= ▍(3)以x=log3a代入指数，据(6-2-2)得y=a2 ▍(4)以x=代入指数，据(6-2-2)得y=[]-1=6-1= ▍课内练习41. 求下列指数函数的函数值：(1)y=45x, x=log45；(2)y=()x, x=log10；(3)y=9x, x=；(4)y=()x, x=．2. 对数函数的函数值――对数(1)对数对数函数y=logax当x=b时的函数值logab，称为以a为底b的对数(读作log a 底b)，并且称b为真数．如例3中，log 28是以2为底8的对数，8是真数；log 101000是以10为底1000的对数，1000是真数；log 100.1是以10为底0.1的对数，0.1是真数；是以为底8的对数，8是真数．根据指数函数与对数函数互为反函数的关系，很容易在它们的值――幂与对数之间互相转化：a c=b ( log ab=c, (a, b>0, a(1, c(R)因此，可以化幂为对数形式，也可以化对数为幂．例5把下列幂化为对数或把对数化为幂：(1)43=64；(2)；(3)=-4．解(1) 43=64 ( log 464=3 ▍(2)( =2 ▍(3)=-4 ( 2 –4= ▍课内练习51. 把下列幂化为对数或把对数化为幂：(1)25=32；(2)()-3=8；(3)33=27；(4)log5125=3；(5)=-6；(6)log66=1．在例2、例3中我们已经求了几个对数函数的函数值，也就是对数，但情况都比较特殊――真数都是底的整数次幂，而且指数也较小，你一眼就能看出来．对一般给定的非1正数a和b>0，要求对数log ab，就是要求出一个数c(R，使ac=b，这就不那么容易了．为此必须解决对数求法问题．先考虑两个特殊底的对数函数，这两种特殊底的对数函数，可以用计算器得到它们的函数值．(2)常用对数和自然对数①常用对数以10为底的对数函数log 10x，在计算中最常遇到，因此被称为常用对数函数．为了区别于其它的底，用一个特殊的函数记号“lg”来表示它，即y=lgx就是y=log10x．lgx当x=b 时的函数值lgb称为b的常用对数．如lg1000表示对数log101000，即1000的常用对数；lg3表示对数log 103，即3的常用对数．常用对数可以用计算器求得近似值．在许多计算器上，求常用对数的功能键是log 键，求lg b时的按键次序是：键入b，再按log 键显示屏上立即显示对数值lg b．例6求下列常用对数(保留4个有效数字)：(1)lg 3；(2)lg 1000；(3)lg 0.5；(4)lg 4.83．解按键 3 log 显示0.477121254，所以lg 3(0.4771 ( 即10 0.4771( 3)．这里的“(”，不仅仅是因为我们取了四个有效数字，即使把显示屏上显示的数全部写上，仍然只能写“(”而不能写“=”(即lg3(0.477121254)．计算器明明显示了lg3的值，为什么不能用“=”呢？这是因为除了真数是底的有理次幂等少数特殊情况外，对数都是无理数，例如lg3的精确的值是lg3=0.4771212547196624350...，计算器上显示的也仅仅是它的近似值．今后在没有必要突出近似值的地方，我们一般把“(”就写成“=”，但你必须明白其实一般并不是真正的等于而是近似值．下面按题目要求，列表给出解题结果．题号按键顺序显示答案(1)3 log0.477121254lg 3=0.4771(2)1000 log3lg1000=3(3)0.5 log-0.301029995lg 0.5=-0.3010(4)4.83 log0.68394713lg 4.83=0.6839▍(上面得到的结果，如果用幂的形式来写，依次为30.4771(3；103=1000；10-0.3010(0.5；100.6839(4.83．)课内练习61. 求下列常用对数：(1)lg2；(2)lg5；(3)lg0.3；(4)lg48.3；(5)lg483．②自然对数你记得在第三章讲到指数函数时，曾介绍过一个特殊的y=ex吗？在计算器上还专门有一个功能键，用来计算它的函数值．在那里我们也曾经提醒过你，e与圆周率(，是数学上非常有用的两个常数，e也是无理数且e=2.7182818285...．对(的探究可谓历史久远，古代中国、希腊和印度等国的数学家，都对它作了深入的研究；而数e的发现和研究，还是16世纪之后的事情．之后人们发现这个无理数在工程、物理、建筑等领域非常有用，于是指数函数y=ex受到了重视，它的反函数y=log ex也受到了重视．如同以10为底的对数函数一样，人们为它规定了一个特殊的函数符号“ln”，用ln x来表示logex (即y=ln x就是log ex)，称为自然对数函数，其函数值也就随之被称为自然对数．在计算器上问世后，也配置了一个功能键ln ，专门用来计算自然对数．在计算器上求自然对数的操作顺序，与求常用对数相同，只是改log为ln 键．例7求下列自然对数(结果保留4个有效数字)：(1)ln3；(2)ln8.5；(3)ln10．解列表给出结果：题号按键顺序显示答案(1)3 ln1.098612289ln3=1.098(2)8.5 ln2.140066164ln8.5=2.140(3)10 ln2.302585093ln10=2.303(上面得到的结果，如果用幂的形式来写，依次为e1.098(3；e2.140(8.5；e2.303(10．) ▍注意，除了少数特殊情况，自然对数都是无理数，例如ln3=1.098 612 288 668 109 78...，因此上面的“=”严格来说，都应该是“(”．课内练习71. 求下列自然对数：(1)ln5；(2)ln7.12；(3)ln71.2；(4)ln0.249．(3)一般对数和换底公式为了区分，姑且称非常用对数、自然对数，例如log 29, 等为一般对数．如何求这些一般对数呢？我们的基本思路是把底2, 换成10或e，把求一般对数问题，转化为可在计算器上求值的常用对数或自然对数问题．以求log 29为例，怎么把对数的底2换成10呢？设2=10 p，即p=lg 2，记d=log 29，则2d=9．以2=10 p代入，得(10 p)d=9 ( 10 pd=9 ( pd=lg 9 ( d= ，所以log 29=．采用同样手法，也可以把对数的底2换成e．设2=e q，即q=ln 2，记d=log 29，则2d=9．以2=e q代入，得(eq) d=9 ( e qd=9 ( qd=ln 9 ( d=，所以log 29=．现在你应该自己能证明，对任何c>0,c(1，可以把底2换成c，得到log 29=；你还能把底2换成一般的a>0, a(1，真数9换成一般的b>0，得到一般的换底公式log ab= , (a, b, c>0, a(1, c(1) (6-2-6)只要取c=10，c=e，就是一般对数换成常用对数和自然对数的公式log ab= , (a, b>0) (6-2-7)log ab= , (a, b>0) (6-2-8)有了公式(6-2-7),( 6-2-8)，你就可以用计算器计算一般对数了．如以常用对数计算log a b 来说，实际上是用计算器计算，因此按键顺序为b log ( a log =若用自然对数计算，则只要把“log”改为“ln”键就行了．例8用常用对数和自然对数两种方法，求下列对数(保留4个有效数字)：(1)log 25；(2) ；(3) ．解结果列表．(表的上半部分用常用对数计算，下半部分用自然对数计算)：题号按键顺序显示结果(1)5 log ( 2 log =2.321928095log 25=2.322(2)3 log ( 0.5 log =-1.584962501=-1.585(3)( 2 ( 3 ) log ( ( 4 ( 3 ) log =-1.40942084=-1.409(1)5 ln ( 2 ln =2.321928095log 25=2.322(2)3 ln ( 0.5 ln =-1.584962501=-1.585(3)( 2 ( 3 ) ln ( ( 4 ( 3 ) ln =-1.40942084=-1.409课内练习81. 用常用对数和自然对数两种方法，求下列对数(保留4个有效数字)：(1)log 37；(2)；(4)；(3)．从换底公式(6-2-6)，还可以得到另一个重要的对数等式．对任何三个非1正数a, b, c，由(6-2-6)log ab= , log ba= ，所以log ab( log ba=１，即log ab=, (a, b>0) (6-2-9)常称公式(6-2-9)为对数的倒数公式．在对数计算中，有时倒数公式能提供方便．例9计算对数：(1)log 273；(2)．解(1) log 273= ▍(2)= ▍课内练习91. 计算下列对数：(1)log 162；(2)．(4)积、商、幂的对数记得幂有如下两个性质吗？ax( ay=ax+y, (a>0) (1), (a>0) (2)即同底幂的积、商，是以指数的和、差作为指数的同底幂．对数函数是指数函数的反函数，对数又是对数函数的函数值，那么在对数中，这两个性质是如何体现的呢？令M=ax，N=ay，则M( N=ax+y，据对数与幂之间的关系logaM=x，logaN=y又loga(M(N)=loga(ax( ay)=logaax+y=x+y，所以log a(M(N)=log aM+log aN, (a, M, N>0, a(1) (6-2-10)同理log a= log aM-log aN, (a, M, N>0, a(1) (6-2-11)因此幂的性质(1)，在对数中以公式(6-2-10)体现，用文字叙述，即积的对数等于对数的和；幂的性质(2)，在对数中以公式(6-2-11)体现，用文字叙述，即商的对数等于对数的差．你还应该记得幂的第三个重要性质(ax)y=ax(y，这个性质体现在对应的对数上，则是公式log a M b=b(log aM, (M>0, b(R) (6-2-12)用文字叙述，即幂的对数等于指数与底的对数之积．要证明(6-2-12)并不难．设M=ac，即c=logaM；( logaMb=loga(ac)b=logaac(b=cb即logaMb =blogaM．(6-2-10)((6-2-12)是对数运算的三个基本公式，当然它们对常用对数、自然对数也是成立的．使用这些公式，能把较复杂的积、商、幂的对数，化为对数的较简便的和、差、数乘；或者相反，能简化一些比较复杂的对数运算式．你必须牢牢记住它们，并能灵活地应用．在计算器尚未普及之前，多位数的乘、除、幂运算，是相当令人头痛的．有了这些公式和求对数的手段，可以把这种运算转化为加、减、数乘运算．例如求两数之积M(N，根据(6-2-10)，只要求出lgM, lgN，做一次加法，得到m=lg(M(N)；然后只要找到一个数Q，使lgQ=m(实际上Q=10m)，即得Q=M(N．很长一个时期以来，人们事先计算好大量数的对数列成对数表，lgM, lgN和Q，都可以通过查表得到，这使求乘积运算变得十分简便．这种奇妙得功能，是十五世纪引入对数并得到发展的源动力之一，也是在计算机问世之前，工程界广泛使用的计算工具――计算尺的设计依据．现今，随着先进计算工具，例如计算器的不断普及，复杂的乘除幂运算也不过举手之劳，对数作为简化运算的功能，早已风光不再，然而它的母体—对数函数，在自然科学和社会科学的各个领域中，仍然是最重要的基本函数之一．例10利用lg2=0.3010, lg3=0.4771，不使用计算器的对数功能，求下列对数(结果保留4个有效数字)：(1)lg6；(2)lg；(3)lg ；(4)lg20；(5)lg；(6)lg()；(7)lg ；(8)lg 18．说明这些题目，完全可以如例8那样，直接用计算器求得对数，而且精确度可能会更高一些．但是现在用积、商、幂对数方法来求，你会发现其实它们只是lg2, lg3这两个对数的一些运算，不用计算器的对数功能，也能很方便地得到结果．解(1)lg6=lg(2(3)=lg2+lg3=0.3010+0.4771 =0.7781 ▍(2) lg =lg10-lg3=1-0.4771=0.5229 ▍(3) lg =lg=lg3=(0.4771=0.2386 ▍(4)lg20=lg(10(2)=lg10+lg2=1+0.3010=1.301 ▍(5) lg =lg1-lg=0-lg3=-(0.4771 =-0.05964 ▍(6) lg()=lg+lg=lg2+lg3=(0.3010+(0.4771(0.10033+0.05964 =0.1600 ▍(7) lg =lg400-lg2 20=lg100+lg4-20lg2=2+lg2 2-20lg2=2+2lg2-20lg2=2-18lg2 =2-18(0.3010=-3.418 ▍(8)lg18=lg(2(9)=lg2+lg3 2+lg2+2lg3 =0.3010+2(0.4771=1.255 ▍例11已知lg2=0.3010, lg3=0.4771，不使用计算器的对数功能，求下列对数(结果保留4个有效数字)：(1)log 25；(2)log 390；(3)．解先据换底公式(6-2-7)化为常用对数，再进行计算．(1) log 25==(2.322 ▍(2) log 390=log 3(9(10)=log 332+log 310=2+(4.096 ▍(3)==(3.322 ▍例12计算下列各题：(1)loga3+loga, (a>0, a(1)；(2)已知logab=0.2，求logab+, (a,b>0)．解(1) loga3+loga=loga(3()=loga1=0，(或loga3+loga=loga3+(loga1-loga3)=0) ▍(2) log ab+= log ab+==1.2 ▍课内练习101. 利用lg3=0.4771, lg7=0.8451，不使用计算器的对数功能，求下列对数(结果保留4个有效数字)：(1)lg ；(2)lg ；(3)lg ；(4)lg630；(5)lg ；(6)lg()；(7)lg．2. 求下列对数(结果保留4个有效数字)：(1)log 510；(2)log0.10.11；(3)．3. 计算下列各题：(1)loga(3a2)+loga, (a>0, a(1)；(2)-．4. 已知logab=，求, (a, b>0, a, b(1)．课外习题A组1. 求下列函数的反函数：(1)y=3x；(2)；(3)y=log2x；(4)．2. 填空：(1)log749= ；(2)log3= ；(3)log50.2= ；(4)= ；(5)log7712= ；(6)log0.80.80.6= ；(7)log31= ；(8)log((= ．3. 求下列指数函数的函数值：(1)y=9x, x=log9；(2)y=()x, x=log(；(3)y=5x, x=；(4)y=()x, x=．4. 把下列对数化为幂，或把幂化为对数：(1)；(2)；(3)lg100=2；(4)．5. 求下列对数函数的函数值：(1)log5x, x=25；(2), x=27．6. 用计算器求下列对数(结果保留4个有效数字)：(1)lg45；(2)ln12；(3)ln0.6；(4)log57；(5)；(6)．7. 已知lg2=0.3010, lg3=0.4771，不用计算器的对数功能，求出下列对数(结果保留4个有效数字)：(1)lg54；(2)lg200；(3)lg60；(4)lg0.3；(5)lg8；(6)lg27．B组1. 不用计算器的对数功能，求下列各式的值：(1)lg2+lg5；(2)lg2+2lg5+lg20；(3)(lg5)2+lg2(lg50；(4)．2. 求证：(a, b>0, a, b(1)．C组1. 已知lga=2.315，利用计算器求a (结果保留4个有效数字)．2. 已知log2x=-0.1287，利用计算器求x(结果保留4个有效数字)．3. 已知loga45==2.4，利用计算器求a．4. 证明(a, b>0, a, b(1)．。
高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值． （1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性） 例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
对数与对数函数知识点及题型归纳总结
对数与对数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、对数概念a xN(N 0) n log a N(a 0且a 1) ，叫做以 a 为底 N 的对数. 注：① N 0，负数和零没有对数；② log a 1 0,log a a 1 ；③lg N log 10 N,ln N log e N .二、对数的运算性质(1) log a (MN) log a M log a N(M,N R ); (2)log a M log a M log a N(M,N R );N(3) log a M nnlog a M(M R ); (4) log a b log cb (a 0且a 1,b 0,c 0且c 1() 换底公式) log c a(5) log a mb nn log a b(a,b 0,m 0,a 1,n R)； am (6) a loga NN(N 0,a 0且a 1)；(6)log a a NN(N R,a 0且a 1). 化常数为指数、对数值常用这两个恒等式 .三、对数函数1)般地，形如 y log a x(a 0且a1) 的函数叫对数函数特殊地 log a b1 log b a(a,b0且a 1,b 1)；题型归纳及思路提示题型 1 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等 .对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正 . 一、对数运算例 2.56 2log 510 log 5 0.25 (解析 2log 510 log 5 0.25 log 5 102 log 5 0.25 log 5 (100 0.25) 故选 C .评注 熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提 变式 1 已知 x, y 为正实数，则（A.2lg x lg y 2lg x 2lgyB.2lg( x y)解析 5lg30 (1)lg0.5 x,3A.0B.1C.2D.4分析 nlog a x mlog a y log a x nlog am n mymlog a (x ny m).log 5 5222lg x 2lgy 2lgx 2lg y变式 2 (lg 2)2lg4变式 3lg522lg83 例 2.57log2781log 48解析log 27 81 log 33 34所以原式 4 3 17.(lg 2)243,log 4 8 log 22 2332log2 2变式 1log 2 ( 6 4 2 6 4 2)例 2.58 5lg30 (1)lg0.53分析 a b(a,b 0) log c a log c b.lg5 lg 20264 3log 33lg5 (lg5) 2C.2lg x lgy 2lgx 2lg yD.2lg(xy) 32)若 a 4，求函数 f(x)的零点 .三、对数不等式log a a 2x2a x2 ，则使 f(x) 0的 x 的取值范围是()A.( ,0)B.(0, )C.( ,log a 3)D.(log a 3, )分析 先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解 . 解析 f(x) log a a 2x 2a x 2 0 log a 1，又 0 a 1，函数 y log a x 在 (0, )上单调递减，得则lg x lg 5lg30 ( 1)lg0.5lg 5lg30lg13lg0.5lg30 lg5 lg 0.5 lg 1(lg30 lg3) lg5 (lg5 lg10)(lg1 lg3) lg5 lg3 lg5 lg 3 lg5 lg3lg15所以 x 二、对数方程 例 2.59 解下列方151(1) (lg x lg3) lg5 2 2 (2)log x 2 1(2x 23x 1)1lg(x 10); 2 1.分析 利用对数的运算性质化简后求解 .11解析(1) (lg x lg3) lg5 lg(x22xlgx lg3 2lg5 lg(x 10) ，即lg10) lg ，首先方程中的 x 应满足x 10，原方程可变形为 25 x 2525 ，得 x 25 ，从而 x 15或 x 5(舍)，经检验，x 10 3 x 10x 15 是原方程的解 .2( 2)log x 21(2x 3x1) 1 ，x 21 0且 x 212x 23x 1 x 21，解得 x 2.1经检验 x 2 是方程的解 . 评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下 x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据变式 1 函数 f (x) log 2(4x 1)ax.1)若函数 f (x) 是R 上的偶函数，求实数a 的值；例 2.60 设 0 a 1，函数 f (x)所以 x log a 3. 故选 C.的解集为 .例 2.61 设 a log 5 4,b （log 5 3）2,c log 45,则（）A.a c bB.b c aC.a b c Db. a c分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助 0和 1作为分界点解析 因为y log 5 x 在 （0, ）上单调递增，所以log 5 3 log 54 1,且 log 4 5 1 (log 5 3)2log 53 log 54 1 log 45 b a c故选 D .变式1设a lg e,b (lg e)2,c lg e ，则( )A.a b cB.a c bC.c a b Dc. b alog 3 0.3变式 2 设 a 5log 23.4,b 5log 43.6,c1 5，则（ ）A.a b cB.b a cC.a c bD.ca b1, y log 5 2,z e 2，则()变式4（2012 大纲全国理 9） 已知x lnA.x yz B.z xyC.z y xD.y z x题型 2 对数函数的图像与性质思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法 问题是数和形结合的护体解释 .它为研究函数问题提供了思维方向、对数函数的图像 例 2.62如图 2-15所示，曲线 C 1,C 2,C 3,C 4是底数分别为 a,b,c,d 的对数函数的图像， 对应的底数 a, b, c, d 的取值依次为（）a 2x2a x2 1即a 2x2a x3 0 (a x3)(a x1) 0，因为 a x1 0 ，故 a x3 ，又 0 a 1，变式 1 已知函数 f （x ） 为R 上的偶函数，且在 0, 上为增函数，10 ，则不等式 3log 1 x 0.图像与性质则曲线 C 1,C 2,C 3,C 4分析 给出曲线的图像，判定 C 1,C 2,C 3,C 4所对应的 a,b,c,d 的值，可令 y 1求解.解析如图 2-16所示，作直线 y 1交C 1,C 2,C 3,C 4于A,B,C,D ，其横坐标大小为 0 c d 1 a b ， 11 那么C 1,C 2,C 3,C 4所对应的底数 a,b,c,d 的值可能一次为 2,3, , .故选 B .32评注对 数函数 在同一 直角坐标系中 的图像的相对位置与底数大小的关系如图 2-16 所示，则 0 c d 1 a b .ylog a x(a 0且a 1)在第一象限的图像， a 越大，图像越靠近 x 轴； a 越小， 图像越靠近 y 轴.变式 1 若函数 f(x) a x (a 0且a 1)是定义域为 R 的增函数，则函数 f (x) log a (x 1)的图像大 致是( )11A.3, 2, ,32 11C.2,3, 1 , 123 B.2,3, 1,13,2D.3, 2, 21 , 1323y log a (x 1) 2恒过顶点 (0, 2) .变式 1 函数 y log a (x 2) 2x 1 的图像过定点 二、对数函数的性质(单调性、最值(值域) )分析本题考查对数函数的单调性和最值变式 2 设 a,b,c 均为正数，且 2alog 1 a, 2log 1 b, 21log 2 c，则A.a b C.c a cB.c b a b Db. ac 例 2.63 函数 y log a (x 1) 2的图像必过定点 分析 对数函数 y log a x(a 0且a 1)的图像过定点 (1,0) ，即 log a 1 0.解析因为 y log a x(a 0且a 1) 恒 过点 (1,0) ，故令 x 1 1,即 x 0 时 ， y log a (x 1) 0 ，故例 2.64 设 a 1，函数 f (x) log a x 在区间 a,2a上的最大值与最小值之差为1，则 a ( ) 2令t log 2 x12,3，则 f (x)2g(t) t 23t 2当t 3 ,即 x 222时， f ( x) min 11;当t 3,即 x48时, f ( x)max 2.变式 1 已知f (x) 2 log 3 x(x1,9 ) ，求函数 22g(x) f (x) f (x 2) 的最大值与最小值又 f (x) (log 2 x 1)(log 2 x 2) 3log 2 x 2.(log 2 x)2解析因 为 对 数 函 数 的 底 a 1 ， 所以函数f (x) log a x 在 区 间a,2a 上 单 调 递 增 ， 故 f (x)maxlog a 2a, f(x)minlog a a1,log a 2a1，即 log a 2 1 解得 22a 4 故选 D .变式 1若函数 f (x)log a x(0 a1)在区间 a,2a 上的最大值是最小值的 3倍，则 a 等于( )A. 2 4B. 22C.14D.12例 2.65 设 2(log 1 x)2 27log 1 x20,求f(x)log 2 x log 2 x 24的最大值和最小值 .解析 2(log 1 x)227log 1 x2(2log 1 x 21) (log 1 x 3) 023 log 1 x212解得8.3xxx xlog 2 x(x 0)log ( x)(x 0)，且f(a) f( a) 则实数 a 的取值范围是 .2C.(3, )D. 3,0,2 ，则区间 a,b 的长度的最大值与最小值的差为 题型 3 对数函数中的恒成立问题思路提示 (1)利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解； (2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题,1 上恒成立 .解析依题意，函数 f (x)的图像如图 2-17所示，知 f (x)为奇函数，由 f(a) f( a) 的得 f(a) 0 ，解得A.(2 2, )B. 3 2,a b ，且 f (a) f (b) ，则2b 的取值范围是(例 2.67 已知函数 f(x) lg 1 2 a 4 ，若 x ,1 时有意义，a 得取值范围 .解析 因为f(x) lgxx 1 2x a 4x 在x3,1 上有意义，即1 2x40 在 ,1 上恒成立 .令g(x),x ,1 .例 2.66 若函数 f (x)变式 2 定义区间x 1,x 2 (x 1 x 2) 的长度为 x 2 x 1 ，已知函数 f(x) log 1 x 的定义域为 a,b 2，值域为所以 axx若 g(x) 存在最大值， 则 g(x) a 恒成立等价于 g(x)max a ；A.(0,1)B.(1,2)C. 1,2D. 0,121在2 ,1 上 为减函数 ，故 g(x) 在 ,1 上为增 函数， 所以对 任意的,1 时， g(x) g(1)因为 a ,1 上恒成立，所以 a所以 a 的取值范围是3,4若 g(x) 不存在最大值，设其值域为 g(x)m,n ，则 g(x) a 恒成立等价于 a n .变式 1 当 x (1,2) 时，不等式2x1log a x 恒成立，则 a 的取值范围是()1.设 a log 1 2,b log 1 3,c，则( )222A.a b cB.a c bC.b c aDb. a clog 2 ( x 1)(x 2)2.设函数 f(x)x1 12 1(x 2)，若 f (x 0) 1 ，则 x 0 的取值范围是()A.( ,0) U(2,) B.(0,2)C.( , 1)U (3, )D.( 1,3)3.设定义在区间 (1 axb,b)上的函数 f (x) lg 是奇函数 (a,b R 且a1 2x2)，则 A. 1, 2B. 0, 2C.(1, 2)D.(0, 2)4.已知 y log a (2ax) 在 0,1 上是 x 的减函数，则a 的取值范围是()最有效训练题0.2a b的取值范围是()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(2, )评注 为了求 a 的取值范围， 把a 进行了分离， 变式 2 函数 f (x) log a (x 3a)(a0且a 1)，当点 P(x, y) 是函数 y f(x)图像上的点时，点Q(x 2a, y)是函数 y g(x) 图像上的点 .1) 写出函数 y g(x) 的解析式； 2) 当 a a 2,a 3 时，恒有f(x) g(x) 1，试确定 a 的取值范围2y f (x) log 5 x 的零点个数是()A.3B.4C.5D.67.设函数 f(x) ln(x 1) ，若 1 a b 且f(a) f(b)，则 a b 的取值范围是 ___________________ .8.已知 lg x lg y 2lg(2 x 3y) ，则 log 2 y ________________ .3x29.若函数 y log a (x 1 2 ax 1)在 1,2 上为增函数，则实数 a 的取值范围是 _____________ ..1 ax11.设 f(x) log 1 为奇函数， a 为常数 .2 x 1(1)求 a 的值；(2)证明： f(x)在区间 (1, )内单调递增；3)若对于区间 3,4 上的每一个 x 值，不等式 f (x)1212.已知集合 P,2 ，函数 y log 2( ax 22x 2) 的定义域为 Q .1)若 PI Q，求实数 a 的取值范围；2)若方程 log 2 ( ax 2 2x 2) 2在 P 内有解，求实数 a 的取值范围则函数2x ，10.已知函数f (x) log2x ，正实数m,n满足m n，且f(m) f(n)，若f(x) 在区间m2,n 上的最大值为2 ，则m n __________________ .m 恒成立，求实数m 的取值范围2。
对数与对数函数_及经典题
对数与对数函数二、知识要点梳理知识点一、对数及其运算我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.(一)对数概念:1. 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log a N=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2. 对数恒等式：3. 对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)1的对数为0，即；(3)底的对数等于1，即.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数，.(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知(1)；推广：(2)；(3).(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a＞0，a≠1，M＞0的前提下有:(1)令log a M=b，则有a b=M，(a b)n=M n，即，即，即:.(2) ，令log a M=b，则有a b=M，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.知识点二、对数函数1. 函数y=log a x(a＞0，a≠1)叫做对数函数.2. 在同一坐标系内，当a＞1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0＜a＜1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见图1)(1)对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R(2)对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像过点(1，0)(3)当a＞1时，三、规律方法指导容易产生的错误(1)对数式log a N=b中各字母的取值范围(a＞0 且a≠1，N＞0，b∈R)容易记错.(2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a(M±N)=log a M±log a N，log a(M·N)=log a M·log a N，loga.(3)解决对数函数y=log a x (a＞0且a≠1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.(4)关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，log a N＞0；当a，N异侧时，log a N＜0.经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1.将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3.已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a＞0，b＞0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a＞0，b＞0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4.(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)；(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5.求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m (m＞0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2＞0，4-x＞0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x＞0，即x＜4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a＞0且a≠1，k∈R).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为a x-k·2x＞0，所以()x＞k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k＞0时，(i)若a＞2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)若0＜a＜2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)若a=2，则当0＜k＜1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a＞0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4＜log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4＜log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a＞1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1＜5.9，所以，log a5.1＜log a5.9当0＜a＜1时，y=log a x在(0，+∞)上是减函数，且5.1＜5.9，所以，log a5.1＞log a5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=log a5.1，则，令b2=log a5.9，则当a＞1时，y=a x在R上是增函数，且5.1＜5.9所以，b1＜b2，即当0＜a＜1时，y=a x在R上是减函数，且5.1＜5.9所以，b1＞b2，即.举一反三：【变式1】若log m3.5＞log n3.5(m，n＞0，且m≠1，n≠1)，试比较m ，n的大小.解：(1)当m＞1，n＞1时，∵3.5＞1，由对数函数性质：当底数和真数都大于1时，对同一真数，底数大的对数值小，∴n＞m＞1.(2)当m＞1，0＜n＜1时，∵log m3.5＞0，log n3.5＜0，∴0＜n＜1＜m也是符合题意的解.(3)当0＜m＜1，0＜n＜1时，∵3.5＞1，由对数函数性质，此时底数大的对数值小，故0＜m＜n＜1.综上所述，m，n的大小关系有三种：1＜m＜n或0＜n＜1＜m或0＜m＜n＜1.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1＜x2则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)＜f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(log a x)=(a＞0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a＞1时，t=log a x为增函数，若t1＜t2，则0＜x1＜x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0＜x1＜x2，a＞1，∴f(t1)＜f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0＜a＜1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a＞1或0＜a＜1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0＜t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3＞0，即-1＜x＜3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性.(1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握. 类型十、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1＞0，其解集不是R；当a≠0时，有a＞1.∴a的取值范围为a＞1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.11。
高中数学 对数与对数函数
高中数学 对数与对数函数一、知识梳理1．对数的概念：如果N a b =(0>a ，且1≠a )，那么数b 叫做以a 为底N 的对数， 记作N b a log =．其中a 叫做对数的 ，N 叫做 .2. 对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零： ；（3）底数的对数是1：3．对数的运算法则：（0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N , ∈n R ）（1）=)(log MN a ；（2）=N M alog ；（3）=n a M log 4. 对数的换底公式及对数恒等式（1）=N a a log （对数恒等式）（2）ab bc c a log log log = (a ，c 均大于0且不等于1，0>b )；（3）1log log =⋅a b b a ，即=b a log (a ，b 均大于0且不等于1)；（4）=n a b m log (0>a 且1≠a ，0>b ，0≠m ，∈n R )；5．对数函数的图象与性质二、基础自测1．函数)1ln(x x y -=的定义域为( )A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1]2.计算：4log 9log 32⋅=( )A ．14B ．12C ．2D ．4 3．1)21(2lg 225lg --+= ________． 4. 函数1)4(log +-=x y a (0>a ，且1≠a )的图象恒过点________．5. 若143log <a (0>a ，且1≠a )，则实数a 的取值范围是________． 【例题讲解】例1计算：（1）2)2(lg 50lg 2lg 25lg +⋅+；（2）)3log 3(log )2log 2(log 8493+⋅+．反思与感悟对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．[注意] 在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化．例2 （1）函数|1|1lg )(+=x x f 的大致图象为( )（2）若不等式x x a log )1(2<-在)2,1(∈x 内恒成立，则实数a 的取值范围为________．例3．已知)(x f 是偶函数，且在),0[+∞上是减函数，若)2()(lg f x f >，则x 的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1001B ．),1(1001,0+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛Y C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛100,1001 D ．()()+∞,1001,0Y变式：已知奇函数)(x f 在R 上是增函数．若)51(log 2f a -=，)1.4(log 2f b =，)2(8.0f c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<例4．已知函数11log )(21--=x ax x f 的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）当),1(+∞∈x 时，m x x f <-+)1(log )(21 恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程)(log )(21k x x f +=在]3,2[上有解，求k 的取值范围.【当堂检测】1．已知集合}2log |{2≤=x x A ，),(a B -∞=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是),(+∞c ，其中c =________.2．已知10<<a ，则函数x a x f a x log )(-=的零点个数为________．3. 若函数)32(log )(221+-=ax x x f 在]1,(-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是 .【课后作业】1．已知实数5log 4=a ，021⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，4.0log 3=c ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b << B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<2．设)12lg()(a xx f +-=是奇函数，则使0)(<x f 的x 的取值范围是( )． A ．)0,1(- B ．)1,0(C ．)0,(-∞D ．),1()0,(+∞-∞Y3．已知函数x a x f a x log )(+=(0>a ，且1≠a )在]2,1[上的最大值与最小值之和 为62log +a ，则a 的值为 ( )A.12B.14C ．2D ．44．函数)3(log )(-=ax x f a 在]3,1[上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．),1(+∞B ．)1,0(C ．⎝⎛⎭⎫0，13 D ．),3(+∞5．已知函数x x f lg )(=．若b a <<0，且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是( )． A ．),22(+∞ B ．),22[+∞C ．),3(+∞D ．),3[+∞6（多）．已知函数)2ln(ln )(x x x f -+=，则( )A ．)(x f 在)1,0(单调递增B ．)(x f 在)1,0(单调递减C ．)(x f y =的图象关于直线1=x 对称D ．)(x f y =的图象关于点)0,1(对称7．已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=-3,12,3,1log 32x x x x f x 满足3)(=a f ，则)5(-a f 的值为 .8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=+,0,log ,0,3)(21x x x x f x 则使函数)(x f 的图象位于直线1=y 上方的x 的取值范围是______．9.已知)32(log )(24x x x f -+=.（1）求)(x f 的单调区间；（2）求函数)(x f 的最大值及对应的x 的值.10．已知函数kx x f x ++=)14(log )(4 (∈k R)是偶函数(1)求k 的值；(2)设)342(log )(4a a x g x -⋅=，若函数)(x f 与)(x g 的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．。
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第二节对数与对数函数复习目标学法指导1.对数与对数运算(1)对数的概念.(2)常用对数与自然对数.(3)对数的运算性质.(4)对数的换底公式.2.对数函数及其性质(1)对数函数的概念.(2)对数函数的图象.(3)对数函数的性质.(4)指数函数与对数函数的关系. 会求一些与对数函数有关的简单的复合函数的定义域、值域、单调性.(发展要求) 1.通过对数的概念,明确对数来源于指数,利用指数的知识理解与掌握对数.2.在同底的条件下,对数只能进行加、减运算,注意应用的顺序.3.掌握对数函数的图象与性质,一定要坚持分类讨论的思想.4.应用对数函数的性质解决对数类问题要遵循定义域优先的原则.一、对数如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N.其中a叫做底数,N叫做真数底数的限制a>0,且a≠1对数式与指数式的互化:a x=N⇔log a N=x负数和零没有对数1的对数是零,log a1=0底数的对数是1,log a a=1对数恒等式:log a Na=Nlog a(M·N)=log a M+log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0log a MN=log a M-log a Nlog a M n=nlog a M(n∈R)公式:log a b=loglogccba(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)推广:logam b n=n m log a b(a>0且a≠1,b>0);log a b=1logba(a>0且a≠1;b>0且b≠1)1.法则理解应用法则log a M+log a N=log a(M·N)时,注意M>0,且N>0,而不能只考虑到M·N>0,导致增解.2.与换底公式有关的结论log a b·log b c·log c d=log a d.二、对数函数1.对数函数的概念、图象与性质概念函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数底数a>1 0<a<1图象定义域(0,+∞)值域R过定点(1,0),即x=1时,y=0性质在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数2.指数函数与对数函数的关系指数函数y=a x(a>0且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.1.概念理解(1)对数函数的定义是形式定义,其解析式的特征为①系数为1;②次数为1;③底数a>0且a≠1;④真数只能是自变量x.(2)对数函数解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标,即可确定一个对数函数.2.与对数函数图象相关的知识点(1)如图是对数函数①y=log a x;②y=log b x;③y=log c x;④y=log d x的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是0<a<b<1<c<d.(2)对数函数图象之间的位置关系:在第一象限,图象从左到右,底数由小到大;(3)对数函数图象以y轴为渐近线,进行图象变换时,渐近线也应随之变换;(4)底数互为倒数的对数函数的图象关于x轴对称;(5)画对数函数图象应抓住三个关键点:(1a,-1),(1,0),(a,1).3.与对数函数性质的应用相关联的知识(1)对数类函数的问题求解时要树立定义域优先的意识;(2)比较幂、对数大小的常用方法①单调性法:构造函数,利用其单调性;②中间量法:通过与特殊值比较大小判定结论,常见的有a0=1,log a1=0,log a a=1;③数形结合法.1.函数12log x( D )(A){x|x>0} (B){x|x≥1}(C){x|x≤1} (D){x|0<x≤1}解析:要使得函数12log x12log0,0,xx≥⎧⎪⎨⎪>⎩所以0<x≤1,因此可知函数的定义域为{x|0<x≤1}.选D.2.(2019·天津卷)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( A )(A)a<c<b (B)a<b<c(C)b<c<a (D)c<a<b解析:因为y=log5x是增函数,所以a=log52<log因为y=log0.5x是减函数,所以b=log0.50.2>log0.50.5=1.因为y=0.5x是减函数,所以0.5=0.51<c=0.50.2<0.50=1,即0.5<c<1.所以a<c<b.故选A.3.函数y=log a(3x-2)(a>0,且a≠1)的图象经过定点A,则A点坐标是( C )(A)(0,23) (B)(23,0)(C)(1,0) (D)(0,1)解析:当3x-2=1,即x=1时,y=log a1=0,故定点A为(1,0).4.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即a b=N⇔b=log a N.现在已知2a=3,3b=4,则ab= .解析:因为2a =3,3b =4, 所以a=log 23,b=log 34,所以ab=log 23·log 34=ln3ln 2×ln 4ln3=ln 4ln 2=2. 答案:25.已知定义域为R 的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,若f(1)<f(lg x),则实数x 的取值范围是 . 解析:因为f(x)是偶函数,并且在区间[0,+∞)上是增函数, 所以f(x)在区间(-∞,0]上是减函数, 所以由f(1)<f(lg x)得|lg x|>1, 所以lg x>1或lg x<-1,所以x>10或0<x<110.所以实数x 的取值范围为{x|x>10或0<x<110}. 答案:{x|x>10或0<x<110}考点一 对数的基本运算[例1] (1)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m+n ; (2)计算26666(1log3)log 2log 18log 4-+⋅;(3)计算(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 解:(1)法一 因为log a 2=m,log a 3=n, 所以a m =2,a n =3,所以a 2m+n =(a m )2·a n =22×3=12. 法二 因为log a 2=m,log a 3=n,所以a 2m+n =(a m )2·a n =(log 2a a)2·log 3a a=22×3=12.(2)原式=266666612log 3log 3log log (63)3log 4-++⋅⨯（）=26666612log3log 3(1log 3)(1log 3)log 4-++-+（）=22666612log 3log 31(log 3)log 4-++-（）=6621log 32log 2-（） =666log 6log 3log 2- =66log 2log 2=1. (3)原式=(lg 2lg3+lg 2lg9)·(lg3lg 4+lg3lg8) =(lg 2lg3+lg 22lg 3)·(lg 32lg 2+lg 33lg 2) =3lg 22lg 3·5lg 36lg 2=54. 在对数运算中, 要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.1.(1)计算log 22的值是 ;(2)计算lg 4+lg 50-lg 2的值是 . 解析:(1)log 2=log 2=log 2 122-=-12. (2)lg 4+lg 50-lg 2=lg(4×50÷2)=lg 100=2. 答案:(1)-12(2)2 2.(2019·杭州市期末检测)设a=log 23,b=log 38,则2a = ;ab= .解析:由a=log 23得2a =3,ab=log 23×log 38=ln3ln 2×ln8ln 3=3ln 2ln 2=3ln 2ln 2=3. 答案:3 3考点二 对数函数的图象及应用[例2] (1)已知函数y=log a (x+b)(a,b 为常数,其中a>0,且a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )(A)a>1,b>1 (B)a>1,0<b<1 (C)0<a<1,b>1 (D)0<a<1,0<b<1(2)设方程10x =|lg(-x)|的两个根分别为x 1,x 2,则( ) (A)x 1x 2<0 (B)x 1x 2=0 (C)x 1x 2>1 (D)0<x 1x 2<1解析:(1)函数y=log a (x+b)递减,所以0<a<1.同时log (1)0,log 0aa b b +<⎧⎨>⎩⇒11,01,b b +>⎧⎨<<⎩⇒0<b<1,故选D. (2)作出y=10x ,与y=|lg(-x)|的大致图象,如图. 显然x 1<0,x 2<0.不妨设x1<x2,则x1<-1<x2<0,所以110x=lg(-x1),210x=-lg(-x2),此时110x<210x,即lg(-x1)<-lg(-x2),由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,故选D.应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)常将一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.(2018·绍兴市柯桥区二模)若log a2<log b2<0,则( B )(A)0<a<b<1 (B)0<b<a<1(C)a>b>1 (D)b>a>1解析:log a2<log b2<0,所以a,b都小于1,log a2<log b2⇒lg2lg a <lg2lg b⇒lga>lg b⇒a>b,综上0<b<a<1.故选B.2.(2019·温州适应性测试)已知实数a>0,b>0,a≠1,且满足lna 则下列判断正确的是( C )(A)a>b (B)a<b(C)log a b>1 (D)log a b<1解析:由ln b=a =a-a得ln b-a+a=0,设f(x)=ln x-x+x(x>0),则f′(x)=1x -2x-2x x=2(1)2xx x--,则函数f(x)=ln x-x+x在(0,+∞)上单调递减, 且f(1)=0,所以当0<x<1时,ln x-x+x >0,即ln x>x-x;当x>1时,ln x-x+x <0,即ln x<x-x,在平面直角坐标系内画出函数y=ln x与y=x-x的图象如图所示,由图易得若ln b=a =a-a,则0<b<a<1或1<a<b,A,B错误;当a>1时,1<a<b,函数y=log a x为增函数,则log a b>log a a=1,当0<a<1时,0<b<a<1,函数y=log a x为减函数,则log a b>log a a=1,C正确,D错误,故选C.考点三对数函数的性质及应用[例3] 已知函数f(x)=12log(x2-2ax+3).(1)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数?若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.解:(1)由f(-1)=-3,得12log(4+2a)=-3.所以4+2a=8,所以a=2.这时f(x)= 12log (x 2-4x+3),由x 2-4x+3>0, 得x>3或x<1,故函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞). 令g(x)=x 2-4x+3,则g(x)在(-∞,1)上单调递减, 在(3,+∞)上单调递增.又y=12log x 在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1), 单调递减区间是(3,+∞).(2)不存在满足题意的实数a,理由:令h(x)=x 2-2ax+3,要使f(x)在(-∞,2)上为增函数,应使h(x)在(-∞,2)上单调递减,且恒大于0.因此2,(2)0,a h ≥⎧⎨>⎩即2,740,a a ≥⎧⎨->⎩a 无解.所以不存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数.(1)利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的. (2)利用对数性质比较大小的解题策略①能化为同底数的对数值可直接利用其单调性进行判断.②既不同底数,又不同真数的对数值,先引入中间量(如-1,0,1等),再利用对数函数的性质进行比较.③底数不同,真数相同的对数值,可利用函数图象或比较其倒数大小来进行.1.(2018·江苏卷)函数2log 1x -的定义域为 .解析:由20,log 10x x >⎧⎨-≥⎩解得x ≥2,所以函数2log 1x -{x|x≥2}. 答案:{x|x ≥2} 2.函数f(x)=log x log 2(4x)的最小值为 ,此时x 的值是 . 解析:f(x)=log x log 2(4x)=12log 2x ·(2+log 2x),可令log 2x=t,t ∈R,则y=12t ·(2+t)=12t 2+t, 当t=-1时,函数取到最小值为-12, 此时x=12. 答案:-1212考点四 易错辨析[例4] (2018·天津卷)已知a=log 2e,b=ln 2,c=121log 3,则a,b,c 的大小关系为( )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)c>b>a (D)c>a>b 解析:c=121log 3=log 23>log 2e=a>1,即c>a.又b=ln 2=21log e<1<log 2e=a,即a>b. 所以c>a>b.故选D.(1)由于a 与c 既不同“底”又不同“真”,所以无法直接比较大小,造成思维受阻;(2)在利用对数函数的单调性比较大小时因函数的单调性判断错误而致误.1.已知a=2log 3.45,b=4log 3.65,c=3log 0.315（）,则( C )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)a>c>b (D)c>a>b解析:c=3log 0.315（）=3log 0.35 =310log 35.法一 在同一坐标系中分别作出函数y=log 2x,y=log 3x,y=log 4x 的大致图象,如图所示.由图象知,log 23.4>log 3103>log 43.6. 由于y=5x 为增函数. 所以2log 3.45>310log 35>4log 3.65.即2log 3.45>3log 0.315（）>4log 3.65,故a>c>b.故选C.法二 因为103<3.4, 所以log 3103<log 33.4<log 23.4. 因为log 43.6<log 44=1,log 3103>log 33=1,所以log 43.6<log 3103.所以log 23.4>log 3103>log 43.6. 由于y=5x为增函数.所以2log 3.45>310log 35>4log 3.65.即2log 3.45>3log 0.315（）>4log 3.65,故a>c>b.故选C.2.(2018·全国Ⅲ卷)设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则( B ) (A)a+b<ab<0 (B)ab<a+b<0 (C)a+b<0<ab (D)ab<0<a+b 解析:因为a=log 0.20.3>log 0.21=0, b=log 20.3<log 21=0,所以ab<0.因为a b ab +=1a +1b =log 0.30.2+log 0.32=log 0.30.4,1=log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31=0,所以0<a b ab +<1,所以ab<a+b<0.故选B.类型一 对数的基本运算 1.已知x,y 为正实数,则( D ) (A)2lg x+lg y =2lg x +2lg y (B)2lg(x+y)=2lg x ·2lg y (C)2lg x ·lg y =2lg x +2lg y (D)2lg(xy)=2lg x ·2lg y 解析:2lg x+lg y =2lg x ·2lg y ,选项A 错; 2lg x ·2lg y =2lg x+lg y =2lg(xy),选项B 错; 令x=10,y=10,则2lg x ·lg y =2, 2lg x +2lg y =4,选项C 错.故选D.2.已知函数f(x)=123e 1,2,1log ,2,3x x x x -⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩则f(x)的零点为( A )(A)1,2 (B)1,-2 (C)2,-2 (D)1,2,-2解析:当x<2时,令f(x)=e x-1-1=0, 即e x-1=1,解得x=1满足x<2; 当x ≥2时,令f(x)=log 3213x -=0, 则213x -=1,即x 2=4,得x=-2(舍)或x=2.因此,函数y=f(x)的零点为1,2,故选A.3.已知函数f(x)= 311log (3),2,3,2,x x x x -+-<⎧⎪⎨≥⎪⎩则f(-6)+f(log 312)= ,满足f(x)>3的x 的取值范围是 . 解析:f(-6)=1+log 39=3, 因为log 312>log 39=2, 所以f(log 312)=4; 则f(-6)+f(log 312)=7;当x<2时,1+log 3(3-x)>3,解得x<-6, 当x ≥2时,3x-1>3,解得x>2,所以f(x)>3的x 的取值范围为(-∞,-6)∪(2,+∞). 答案:7 (-∞,-6)∪(2,+∞) 类型二 对数函数的图象及应用4.函数y=2log 4(1-x)的图象大致是( C )解析:函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B; 函数y=2log4(1-x)在定义域上单调递减,排除D.故选C.5.(2019·嘉兴市、丽水市、衢州市高三模拟测试)函数y=ln(x+21x+)·cos 2x的图象可能是( D)解析:设f(x)=y=ln(x+21x+)·cos 2x,则易得函数的定义域为R,且f(-x)=ln[-x+2()1x-+]·cos 2(-x)=ln[2()1x x+-+]·cos2x=-ln(x+21x+)·cos 2x=-f(x),所以函数f(x)=ln(x+21x+)·cos 2x为奇函数,则函数图象关于原点中心对称,排除A,B;f′(x)=22111xx x++++·cos 2x-2ln(x+21x+)·sin 2x=21x+·cos2x-2ln(x+21x+)·sin 2x,f′(0)=1,即函数f(x)=ln(x+21x+)·cos 2x在原点处的切线的斜率为1,不为0,排除C,故选D.6.若不等式(x-1)2<log a x在x∈(1,2)内恒成立,则实数a的取值范围是.解析:设f 1(x)=(x-1)2,f 2(x)=log a x,要使当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,只需f 1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象在f 2(x)=log a x 图象的下方. 当0<a<1时,显然不成立; 当a>1时,如图所示,要使x ∈(1,2)时,f 1(x)=(x-1)2的图象在f 2(x)=log a x 的图象下方,只需f 1(2)≤f 2(2),即(2-1)2≤log a 2,即log a 2≥1.所以1<a ≤2,即实数a 的取值范围是(1,2]. 答案:(1,2]7.已知x 1,x 2,x 3分别为方程2x =12log x, 1()2x=log 2x, 1()2x=12log x 的根,则x 1,x 2,x 3的大小关系是 (从小到大排列).解析:作出y=2x ,y=12log x,y=1()2x,y=log 2x 的大致图象,由图象知x 1<x 3<x 2.答案:x 1<x 3<x 2类型三 对数函数的性质及应用 8.(2019·浙江省教育绿色评估联盟)已知a=121()3 ,b=32,c=121log 3,则( C )(A)a>b>c (B)c>a>b(C)a>c>b (D)c>b>a 解析:因为a=121()3-,b=32,c=121log 3=log 23,则a>b,又322<3,则log2322=32<log 23,即b<c;构造函数f(x)=log 2则f ′(x)=1ln 2x 因此函数f(x)在区间(0,4(e2log )2)上单调递增,在区间 (4(e 2log )2,+∞)上单调递减,由f(4)=0,知f(3)<0,即 a>c,故选C.9.函数f(x)=12log (x 2-4x)的单调递减区间是 ;单调递增区间是 .解析:由x 2-4x>0,解得x>4或x<0,即函数定义域为(-∞,0)∪(4,+∞),根据复合函数的单调性知f(x)= 12log (x 2-4x)的单调递减区间是(4,+∞),单调递增区间是(-∞,0). 答案:(4,+∞) (-∞,0) 10.关于函数f(x)=lg 21xx+ (x ≠0),有下列结论: ①其图象关于y 轴对称;②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是lg 2;④f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数. 其中所有正确结论的序号是 . 解析:因为函数f(-x)=lg 2()1x x -+-=lg 21x x+=f(x),所以函数为偶函数,即图象关于y 轴对称,故①正确.因函数y=x+1x 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=|x|+1x在(-∞,-1)和(0,1)上单调递减,在(-1,0)和(1,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数,在区间(-∞,-1)和(0,1)上是减函数,故②错,④正确.因为21x x +=|x|+1x≥=2,所以f(x)≥lg 2,即最小值为lg 2,故③正确. 答案:①③④11.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f(13)=0,则不等式f(18log x)>0的解集为 . 解析:因为函数f(x)是偶函数, 所以f(x)=f(|x|),所以f 18log x)>0⇔f(|18log x|)>f(13). 因为f(x)在[0,+∞)上为增函数, 所以|18log x|>13, 即18log x<-13或18log x>13. 因为18log x=-log 8x=-13log 2x, 所以不等式可转化为log 2x>1或log 2x<-1, 所以x>2或0<x<12. 答案:(0,12)∪(2,+∞) 类型四 易错易误辨析12.若log a 43<2,则a 的取值范围是( D ))(C)(0,1)∪) (D)(0,1)∪,+∞)解析:log a 43<2等价于log a 43<log a a 2,201,43a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩或21,4,3a a >⎧⎪⎨<⎪⎩ 解得0<a<1或故选D.13.已知函数f(x)=|ln(x-1)|,满足f(a)>f(4-a),则实数a 的取值范围是( A ) (A)(1,2) (B)(2,3) (C)(1,3) (D)(2,4)解析:函数f(x)=|ln(x-1)|的定义域为(1,+∞),由f(a)>f(4-a)可得|ln(a-1)|>|ln(4-a-1)|=|ln(3-a)|,两边平方得 [ln(a-1)]2>[ln(3-a)]2⇔[ln(a-1)-ln(3-a)][ln(a-1)+ln(3-a)]>0,则ln(1)ln(3)0,ln(1)ln(3)0,10,30,a a a a a a --->⎧⎪-+->⎪⎨->⎪⎪->⎩① 或ln(1)ln(3)0,ln(1)ln(3)0,10,30,a a a a a a ---<⎧⎪-+-<⎪⎨->⎪⎪->⎩② 解①得a 无解,解②得1<a<2, 所以实数a 的取值范围是(1,2), 故选A.。