广义三角函数与双曲函数的性质的研究
三角函数公式与双曲函数
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。
“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
一全正；二正弦；三两切；四余弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。
双曲函数介绍
双曲函数介绍在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“co snh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“ar c sinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。
在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
射线出原点交双曲线 x^2 - y^2 = 1 于点 (cosinh a,sinh a），这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。
定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]其中，e是自然对数的底e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/n! +...e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是：e^x=x^0/0! + X^1/1! + X^2/2! + X^3/3! + X^4/4! + X^5/5!...+ x^n/n! +...如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t,sinh t) 定义了右半直角双曲线x^2 y^2 = 1。
双曲函数
双曲函数的作用双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1）双曲余弦ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2）双曲正切th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3）双曲余切cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4）双曲正割sech z ＝1/ch z （5）双曲余割csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋...＋z^n/n！＋ (7)双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。
定义在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。
在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
射线出原点交双曲线 x2 − y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。
定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]其中，e是自然对数的底e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +...e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是:e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +...如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 − y^2 = 1。
双曲函数
▪ 悬链线 ▪ 数学证明
双曲函数图册
相关函数 纠错
9 参考文献
5 导数 6 不定积分
二次函数
对勾函数
复变函数
1
定义
双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 [1] 双曲正弦：
编辑 幂指函数 贝塞尔函数 三次函数
双曲余弦：
五次函数
幂函数
初等函数
双曲正切：
词条统计
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中文名 外文名 双曲函数 Hyperbolic function 别 称 领 域 圆函数 数学函数论
目录
1 定义 2 函数性质 3 与三角函数关系 4 恒等式
▪ 加法公式
▪ 减法公式 ▪ 二倍角公式 ▪ 三倍角公式 ▪ 半角公式
7 级数表示 8 实际应用
▪ 阻力落体 ▪ 导线电容 ▪ 粒子运动 ▪ 非线性方程
[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 ⒆ 式中 k2 =e4πε0φ/λ ⒇ 令 c=[（k2+1）/（k2―1）]a （21） 则⒆式可化为 （x―c）2+y2=[4k2/（k2―1）2]a 2 （22） 这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为 R=∣2k/（k2―1） ∣a （23） 这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了： a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（k12―1）]a （24） R1=∣2k1/（k12―1） ∣a （25） a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（k22―1）]a （26） R2=∣2k2/（k22―1） ∣a （27） d=a1+a2 （28） 由（24）至（27）式得 a12―R12=a2= a22―R22 （29） 原来两导线表面的方程是 R1：（x―a1）2+y2= R12 （30） R2：（x+a2）2+y2= R22 （31） 利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为 x2+y2+ a2= 2a1 x （32） x2+y2+ a2= ―2a2 x （33） 利用（32）和（33）两式，由⒅式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为 φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34） φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35） 于是两导线的电势差便为 U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36） 用已知的量消去未知数，可以得出 U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37） 最后得出原来两导线为l一段的电容为 C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38） 单位长度的电容为 c=2πε0/ In[（d2 ― R12 ―R22） / 2R1R2+√ [（d2―R12―R22） / 2R1R2 ] 2―1] （39） 利用反两曲余弦关系式 archx= In[（x+√x2―1）] （40） 对本题的精确解表示作简洁表示 c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41） 最后一式可以在一般手册上查到。
利用双辅助方程法求广义的sinh—Gordon方程的相互作用解
Ｃ
Ｕ 一ａ ｕ ＋ｂ ｓ ｉ ｎ ｈ （ ｎ ｕ ） ＝０ ，
（ １ ）
（ １ ） 可化 为下列 方程 ：
其 中 ｎ是 一个 正整数 ， ａ ． ｂ是两 个常 数． Ｗａ ｚ ｗａ ｚ利
用 双 曲正切 函数方 法 得 到 了方程 （ １ ） 的一 些 精确 解 ． ２ ０ ０ ８年，唐亚 宁等 ［ ２ 】 在 三种 函数 变换 的基 础上研 究 了方 程 （ １ ） 的分 支 现 象 并得 到 了若 干孤 立 波 解 ， Ｃ ｏ ｍｐ ａ ｃ ｔ ｏ ｎ解 和周 期波解 ． ２ ０ １ ４年 ， 何斌 等【 ３ 】 利 用双 Ｆ 一 展 开法 对方 程（ １ ） 进 行研 究 ， 获得 了方 程（ １ ） 许 多双 周 期波 解 ． 随着科 学技 术 的发展 ，人们 提 出 了许多 获得非 线性偏 微 分方程 精确解 的有 效方 法 ， 如Ｆ ． 展开 法 、 经典 李 群法 、辅助 函 数法 、首 次积 分 法 Ⅲ、指 数 函数展 开法 、Ｊ ’ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 椭 圆函数展 开法 ｎ 、试探 函数 法 【 ｌ Ｉ Ｊ 和扩 展 的（ Ｇ ， ／ Ｇ 】 展 开 法 羽 等等 ．这 些方 法 都 已成功 地 运 用 于 多 种 非 线 性 发 展 方 程 的求 解 过 程 中，并得 到 了一系列 与它 们相 对应 的孤 立解 、有 理解 、周期解 、双 周期解 等 多种类 型 的具有 重要物 理意 义 的精确解 ． 孤子理 论是非 线性科 学的一个 重要 分支． 寻求 非 线性偏微分方程 的具体精确解 ， 尤其是求得 同时包含 有理 函数 、三 角 函数 、双 曲函数 或 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 椭 圆 函数 的相 互作 用解 是孤子理论研究 的热点之一 ， 因为这 些 解可 以反 映不 同类 非线性 波 的相互 作用 ． 本文 利用两 个雅 克 比椭 圆方程作 为辅 助方 程 ， 有效 的假 设解 的形 式 ，对方 程（ １ ） 进 行研 究 ，获得 了 方程 （ １ ） 大量 的由反双 曲正切 函数 、 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 椭 圆 函数 、 双 曲函数 和三 角 函数组成 的相 互作 用解 ．
双曲函数(Hyperbolic functions)
我们所熟知的三角函数也被叫做circular function，因为sin、cos满足 \sin^2x+\cos^2 x=1 可以看出是从一个单位圆的方程 x^2+y^2=1 中演化过来的。
而圆锥曲线我们知道还有双曲线、抛物线、椭圆等，那么其他圆锥曲线是否也可以演化出类似的函数出来？是有的，比如今天介绍的双曲函数，是从单位双曲线方程 x^2-y^2=1 中演化出来的。
先回忆一下三角函数有哪些：sin 正弦，cos 余弦，tan 正切， sec 正割，csc(cosec) 余割，cot 余切详细关系见下图：那么我们的双曲函数也有这些函数，这不过就是在上面六个三角函数后加一个“h”，表示“hyperbolica”，双曲的...一、函数定义sinh 双曲正弦，cosh 双曲余弦，tanh 双曲正切， sech 双曲正割，csch(cosech) 双曲余割，coth 双曲余切接下去是各个双曲函数的表达式：二、函数图像下面是各个双曲函数的图像以及对应定义域、值域等：y=\sinhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}2. y=\cosh x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}3. y=\tanhx=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}4. y=\operatorname{sech}x=\frac{1}{\operatorname{cosh}x}=\frac{2}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}5. y=\operatorname{cosech} x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}6. y=\operatorname{coth} x=\frac{1}{\tanhx}=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}三、几何意义从上面这张图中能看出来双曲函数自变量的几何意义，是红色所围成面积的两倍，或者看下图也是一样的：那么与三角函数之间的关系呢？四、双曲恒等式我们知道三角函数有非常多的恒等式，这也是三角函数成为高中生噩梦的很大一部分原因，如果不清楚有哪些恒等式可以点击下文：那么类似的，双曲函数也有很多恒等式，并且可以这么说在三角函数中有的恒等式，在双曲函数中都有类似的，下面给出了一些当然这些恒等式我们都是可以证明的，比如高数书上就给了两个例子：所以给出恒等出我们都可以通过sinh、cosh定义带入进行计算，可能计算上会有一点复杂。
三角函数和双曲函数互化
三角函数和双曲函数互化
三角函数和双曲函数在数学中是两种不同的函数，它们有各自的性质和用途。
然而，有时我们需要将它们互化，以便在不同的情境下使用。
三角函数和双曲函数互化的基本公式如下：
1. 三角函数转化为双曲函数：
反正弦函数（sin^{-1}）：y = sin^{-1}(x) 可以转化为双曲正弦函数，即 y = sinh(x)。
反余弦函数（cos^{-1}）：y = cos^{-1}(x) 可以转化为双曲余弦函数，即 y = cosh(x)。
反正切函数（tan^{-1}）：y = tan^{-1}(x) 可以转化为双曲正切函数，即 y = tanh(x)。
2. 双曲函数转化为三角函数：
双曲正弦函数（sinh）：y = sinh(x) 可以转化为正弦函数，即 y = sin(x)。
双曲余弦函数（cosh）：y = cosh(x) 可以转化为余弦函数，即 y = cos(x)。
双曲正切函数（tanh）：y = tanh(x) 可以转化为正切函数，即 y = tan(x)。
这些互化公式在解决一些数学问题时非常有用，特别是在处理三角函数和双曲函数的转换、求值和比较等问题时。
双参数广义三角函数与双曲函数的几个均值不等式
浙江理工大学学报，2021，45(2): 242-248Journal of Zhejiang Sci-Tech UniversityDOI ：10. 3969/j.issn.l673-3851(n).2021. 02.012双参数广义三角函数与双曲函数的几个均值不等式钟根红a ，韦露淑1’，贺建辉;1，马晓艳b(浙江理工大学，a.科技与艺术学院；b.理学院，杭州310018)摘要：双参数广义三角函数对于解决微分方程理论中的一些问题有着重要作用。
文章通过初等解析方法与均值理论，研究了带有两个参数的广义三角函数与双曲函数的均值不等式性质，获得了广义正切函数与广义双曲正 切函数的算术平均、调和平均以及几何平均的均值不等式；同时得到了广义三角函数的Cusa-Huygens 型均值不等 式。
所得结果推广和改进了原有不等式性质。
关键词：广义三角函数；广义双曲函数；均值不等式；Cusa-Huygens 型均值不等式中图分类号：0178 文献标志码：A 文章编号：1673-3851 (2021) 03-0242-07Several mean inequalities for generalized trigonom etric andhyperbolic functions with two param etersZHONG Genhonga , W EI Lushu b, H E J ianhuia , MA Xiaoyanb(a. Keyi College ； b. School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)Abstract ： Generalized trigonometric functions with two parameters play an important role in solving some problems in the theory of differential equations. The properties of mean inequalities for generalized trigonometric and hyperbolic functions with two parameters are explored by using elementary and analytic methods and the theory of means. Several new mean inequalities for generalized tangent functions and generalized hyperbolic tangent functions are obtained, such as arithmetic mean, harmonic mean and geometric mean inequalities. At the same time, Cusa-Huygens type mean inequalities for generalized trigonometric functions are obtained The results expand and improve the properties of the original inequalities.Key words ： generalized trigonometric function ； generalized hyperbolic function ； mean inequality ； Cusa-Huygens type mean inequality0引言对于0 < X < 7t /2，Huygens [1]给出了三角函数的下列不等式2siar + t a n r 〉3x对于：r > 0, Neuman 等l2]给出了双曲函数的Huygens 型不等式：2sinkr + ta n k r 〉3:r不等式（1) 一 (2)分别可以表示为：收稿日期：2020—10—23 网络出版日期：2021 —02 —03基金项目：国家自然科学基金项目（11671360);浙江省自然科学基金项目（LQ17A010010);浙江省教育厅一般科研项目（Y201840023);浙江理工大学科技与艺术学院科研项目（2011KY002)作者简介:钟根红（1980 — ），男，安徽桐城人，讲师，硕士，主要从事函数空间、拟共形特殊函数方面的研究。
广义三角函数与双曲函数的Wilker-Huygens型 不等式
x x + > n, x ∈ ( 0, π p 2 ) ( n − 1) sin p x tan p x x x + > n, x > 0 ( n − 1) sinh p x tanh p x
Open Access
1. 引言
近几年，对三角函数与双曲函数的一些不等式性质的研究取得了显著的进展。特别是关于三角函数 以及双曲函数的 Wilker 型不等式[1]及 Huygens 型不等式[2]
sin x tan x >2 + x x
2
(1) (2)
2
sin x tan x + >3 x x
2. 主要结果
引理 1. ([9]，定理 3.6)对于 p ∈ (1, ∞ ) ，函数 f ( x ) ≡
log ( sin p ( x ) x ) log cos p ( x )
πp 从 0, 2
1 到 0, 上严格单调 p +1
πp 递减。特别地，对于任意的 p ∈ (1, ∞ ) , x ∈ 0, 2
，有
cosα p x<
其中 α =
sin p x x
<1
(5)
1 为最佳常数。 p +1
log ( sinh p ( x ) x ) log cosh p ( x )
1 从 ( 0, ∞ ) 到 ,1 上是严格单 p +1
引理 2. ([9]，定理 3.8)对于 p ∈ (1, ∞ ) ，函数 f ( x ) ≡
刘潇潇 等
摘
要
双曲函数的来历是什么，与三角函数有什么关系？
双曲函数的来历是什么，与三角函数有什么关系？一·问题简述：1.在数学中，双曲函数是与幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一样的一类基本初等函数，它包括双曲正弦函数sinhx，双曲余弦函数coshx，双曲正切函数tanhx等。
2.双曲函数是一类在工程中应用广泛的函数。
双曲函数的定义域时实数，其自变量的值叫做双曲角。
双曲函数的反函数称之为反双曲函数。
3.双曲函数与三角函数的关系，可以通过复指数进行联系，借助复数的三角形式得到，而指数函数与复数的关系则可以通过欧拉公式给出。
4.尽管双曲函数不是高中数学学习和研究的对象，但是双曲函数却时常成为高考数学的命题背景，许多高考试题都能找到双曲函数的影子。
因此，了解双曲函数的相关性质，对解答相关试题大有裨益。
二·双曲函数的定义：双曲函数与三角函数有许多类似的地方，双曲函数包括双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割等，下面仅就前三者进行阐述。
三·双曲函数的图象与性质：四·双曲函数恒等式：五·双曲函数的导数、不定积分与级数：六·双曲函数在高考中的应用：1·考查函数的图象：【评注】本题选取双曲正切函数的倒数，即双曲余切函数作为研究对象，借助函数的图象，考查双曲函数的定义域、值域，以及单调性等知识点。
2·考查函数的奇偶性：【评注】本题考查函数的奇偶性，借助函数的奇偶性的相关结论来求参数的值，其中对数函数正是双曲正弦的反函数。
3·考查导数的综合应用：【评注】本题正是一道全面研究双曲函数的高考试题，涉及双曲正弦函数与双曲余弦函数，考查函数的解析式、奇偶性、单调性、值域等知识点，有一定的难度。
以上，祝你好运。
双曲函数
探究双曲函数PB07210142,梁海波双曲函数是我们在大学时期微积分课程中新接触的东东，但仿佛仅在《高等数学导论》第一章有所提及，貌似与后来知识没有关系。
本人在做题时发现，双曲函数与后来的微积分，特别是积分求解有许多联系。
首先，我们先认识下双曲函数。
双曲正弦:2xx e e shx --=双曲余弦: 2xx e e chx -+=双曲正切: x x xx e e e e thx --+-= 双曲函数与三角函数有很多相似的性质,在求解积分的过程中,三角函数与双曲函数地位相当,下面对其相似之处进行比较,由于三角函数性质在以前接触较多,这里不在赘述.chx shx thx =chxshy shxchy y x sh ±=±)(shxshy chxchy y x ch ±=±)(122=-x sh x chx ch x sh x ch 222=+shx x sh -=-)(chx x ch =-)(shxchx x sh 22=下面说反双曲函数。
以下记法与书上不同，这样写便于与反三角函数想对比。
)1ln(2-+±=x x arcchx)1ln(2++=x x arcshx)11ln(21xx arcthx -+= 求解积分的问题中，有很多式子含有12-x ，12+x 以及它的倒数与根式形。
书后的简明积分表也给出了相关的公式，但这些公式复杂难记，没能把握住其与双曲函数的内在关系。
我们在解这类问题时往往会采用换元法，令x=sint 或x=sht 等。
其实这样设的目的就是利用了反三角函数，反双曲函数的微分，下面对这些公式作一定的改写。
（１）dx x ⎰+211＝c x +arctanc arcthx dx x +=-⎰211 （２）||112arcchx dx x =-⎰c x dx x +=-⎰arcsin 112 c x dx x +=--⎰arccos 112 c arcshx dx x +=+⎰112 （３）2212arcsin 211x x x dx x -+=-⎰ 2212211x x arcshx dx x ++=+⎰ 12||21122-+-=-⎰x x arcchx dx x从形式上简化，实质是从思想上的简化，这样去理解公式不仅便于记忆，更加深了我们对双曲函数的理解。
双曲函数与三角函数
双曲函数王希对之前在双曲函数的来历是什么，与三角函数有什么关系？ - 数学问题的回答不太满意，故在此重新撰文。
尽我所能全面具体详细地介绍双曲函数相关的方方面面，希望它能成为最好的讲解双曲函数的文章。
除了第七部分，高中生都应该可以看懂，因此我不希望大家回复「不明觉厉」，而是看懂它并回复「受益匪浅」。
我希望想了解双曲函数的知友看了我的文章都能有所收获。
一、发展历史双曲函数的起源是悬链线，首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。
他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状，遗憾的是他没有得到答案就去世了。
时隔170年之久，著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题，并且试图去证明这是一条抛物线。
事实上，在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。
一年之后，雅各布的证明毫无进展（废话，证明错的东西怎么会有进展）。
而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案，同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。
他们的方法都是利用微积分，根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。
18世纪，约翰·兰伯特开始研究这个函数，首次将双曲函数引入三角学；19世纪中后期，奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。
至此，双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位。
19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。
伴随着欧拉公式的诞生，双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一。
二、函数定义在讲双曲函数的定义之前，我们先看一看三角函数的定义。
如图所示：在实域内，三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。
当然这个「长度」是有正负的。
同理，双曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。
如图：具体的定义为，，。
三、函数性质和对应的三角函数性质十分类似，但又有一定的区别。
双曲函数
arsh x= ln(x+ x 2 1)的证明： y=arsh x是x=sh y的反函数，因此满足
x= 2 (ey-e-y) ，
令u=ey， 由上式得 u2-2xu- 1=0， 解方程得
1
u=x + x 2 1 ，
即 ey=x + x 2 1 ， y= ln(x+ x2 1 )
两边取对数得
2．反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数，它们都是多值函数. 反正弦函数： y=Arcsin x， 定义域为[-1，1]. 反正弦函数的主值： y y
y=Arcsin x
y=Arccos x
p 2
y=arcsin x， 其值域规定为[ p ， p ]. 2 2 反余弦函数： y=Arccos x． 定义域为[-1，1]．
域为D2，u称为中间变量．
u=j(x) D2 y =f [j(x)] D1
y =f(u)
例 函数y=arctan (x)2可看作是由y=arctan x和u=x2复合而成
的．
函数y= 1 ln 2 x 可看作是由y= u ，u=1+v2，v=lnx 复合而成的．其中u， v 都是中间变量． x 函数y= u ，u=cot v，v= 经复合可得函数 2 y=
§1．2
初等函数
一、幂函数 二、指数函数与对数函数
指数函数、 对数函数
三、三角函数与反三角函数
正弦和余弦函数、 正切和余切函数、正割和余割函数、 反正弦和反余弦函数、 反正切函数、 反余切函数
四、复合函数
初等函数
复合函数、基本初等函数与初等函数
五、双曲函数与反双曲函数
双曲函数、 双曲函数的性质、 反双曲函数
论三角函数与双曲函数
定义 sin y = x cos y = x tan y = x cot y = x
定义域 [-1,1] [-1,1] R R
arccosh x =ln(x+ ������ ������ − ������) arctanh x = ������ln(������−������) arccoth x = ������ln(������−������) 3、总结：
������ ������+������ ������ ������+������
cosh y = x tanh y = ห้องสมุดไป่ตู้ coth y = x
[1,+∞] [-1,1] [-∞,-1]∪[1,+∞]
反三角函数与反双曲函数的定义都来自反函数的定义，因而这是共性。 §1.3：图像 三角函数 双曲函数
sin x
sinh x
cos x
cosh x
tan x
tanh x
3
cot x
coth x
arcsin x
arcsinh x
arccos x
arccosh x
arctan x
arctanh x
arcco t x
atccot h x
总结:
4
可以看出：一般三角函数是周期的，而双曲函数没有周期性。三角函数与双曲函数的奇 偶性大体相同，如正弦、余弦、正切、余切与双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切的 奇偶性是一样的。 §1.4：恒等式 三角函数 ������������������ ������ + ������������������ ������ ������ = ������
1
从定义可以看出它们具有很好的相似性，就像两个双胞胎来自同一个地方。区别仅在于： 三角函数是用单位圆定义的，自变量是角度 θ ；双曲函数是用单位双曲线定义的，自变量 是面积 a。 2、公式定义： 1）、三角函数定义： 正弦：sin θ = 余弦：cos θ =
三角函数和双曲函数
y=atanhx, ,xe2y+x= e2y- 1, .
plot(x,atanh(x),x,log((1+x)./(1-x))/2,'r.')%出现复数,曲线相同
%三角函数与双曲函数的关系
clear%清除变量
xm=6;%最大横坐标
x=linspace(-xm,xm);%自变量向量
(2.2.2)反双曲余弦函数与反余弦函数的关系
y= arccoshx,x= coshy= cosiy, iy= arccosx,y= -iarccosx.
plot(x,acosh(x),x,-i*acos(x),'r.')
(2.2.3)反双曲余弦函数与对数函数的关系
y=acoshx, ,(ey)2- 2xey+ 1 = 0,
plot(x,atan(x),x,-i*atanh(i*x),'r.')
(2.3.2)反双曲正切函数与反正切函数的关系
y= arctanhx,x= tanhy= -itaniy, iy= arctanix,y= -iarctanix.
plot(x,atanh(x),x,-i*atan(i*x),'r.')
axis([0,4*pi,-10,10])
(1.3.2)双曲正切函数与正切函数的关系
(1.3.2) ,tanhx= -itanix.
plot(x,tanh(x),x,-i*tan(i*x),'r.')
(2.1.1)反正弦函数与反双曲正弦函数的关系
y= arcsinx,x= siny= -isinhiy, iy= arcsinhix,y= -iarcsinhix.
双曲函数和三角函数
三角函数的定义直角坐标系中定义直角三角形定义a, b, h 为角A的对边、邻边和斜边在笛卡尔平面上f(x) = sin(x) 和f(x) = cos(x) 函数的图像。
单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。
它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，单位圆的等式是：x2+y2=1对于大于 2π或小于−2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：级数定义只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。
（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。
我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立：这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。
它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。
这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。
在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。
在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。
从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。
它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。
与指数函数和复数的联系可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。
在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。
双曲函数
双曲函数[编辑]维基百科，自由的百科全书跳转至：导航、搜索射线出原点交双曲线于点，这里的被称为双曲角，是这条射线、它关于轴的镜像和双曲线之间的面积。
在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。
最基本的双曲函数是双曲正弦函数“sinh”和双曲余弦函数“cosh”（有时也把双曲正弦写作sh，双曲余弦写作ch），从它们可以导出双曲正切函数“tanh”（有时写作th）等等。
其中的推导也类似于三角函数的推导。
双曲函数的反函数称为反双曲函数，例如双曲正弦函数的反函数是“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”），以此类推。
双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。
在复分析中，由于双曲函数是指数函数的有理函数，因此是整函数。
目录[隐藏]∙ 1 基本定义∙ 2 与三角函数的关系o 2.1 几何关系∙ 3 恒等式∙ 4 反双曲函数∙ 5 双曲函数的导数∙ 6 双曲函数的泰勒展开式∙7 双曲函数的积分∙8 参考∙9 参见∙10 外部链接基本定义[编辑]sinh, cosh和tanhcsch, sech和coth∙∙∙∙∙∙如同当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是一个圆一样，当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是直角双曲线的右半边。
这是因为有以下的恒等式：同时对于所有的都有。
双曲函数是带有复数周期的周期函数。
参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（, ）的直线之间的面积的两倍。
函数是关于y轴对称的偶函数。
函数是奇函数，也就是说对任意的x，都有 -sinh x= sinh -x 且。
与三角函数的关系[编辑]双曲函数与三角函数有如下的关系:∙∙∙∙∙∙几何关系[编辑]∙给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角α得到三角函数∙在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系: ∙正弦同样是从x轴到曲线的半弦。
(完整版)双曲函数公式汇总
(完整版)双曲函数公式汇总引言双曲函数是数学中的一类特殊函数，与三角函数类似，但具有不同的性质和公式。
本文将对双曲函数的定义、性质和常见公式进行汇总，并提供相应的示例。
双曲函数的定义双曲函数包括双曲正弦函数（sinh）、双曲余弦函数（cosh）、双曲正切函数（tanh）以及它们的反函数。
它们的定义如下：- 双曲正弦函数（sinh）：$sinh(x)=\frac{{e^x-e^{-x}}}{{2}}$- 双曲余弦函数（cosh）：$cosh(x)=\frac{{e^x+e^{-x}}}{{2}}$- 双曲正切函数（tanh）：$tanh(x)=\frac{{sinh(x)}}{{cosh(x)}}$双曲函数的性质双曲函数具有以下性质：1. 对于任意实数 x，有 $cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1$。
2. 双曲正弦函数是奇函数，即 $sinh(-x) = -sinh(x)$。
3. 双曲余弦函数是偶函数，即 $cosh(-x) = cosh(x)$。
4. 双曲正切函数是奇函数，即 $tanh(-x) = -tanh(x)$。
常见公式下面列举了一些双曲函数的常见公式及其证明：- 双曲函数的和差公式：- $sinh(x_1 + x_2) = sinh(x_1)cosh(x_2) + cosh(x_1)sinh(x_2)$ - $cosh(x_1 + x_2) = cosh(x_1)cosh(x_2) + sinh(x_1)sinh(x_2)$ - $tanh(x_1 + x_2) = \frac{{tanh(x_1)+tanh(x_2)}}{{1 +tanh(x_1)tanh(x_2)}}$- 双曲函数的倍角公式：- $sinh(2x) = 2sinh(x)cosh(x)$- $cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x)$- $tanh(2x) = \frac{{2tanh(x)}}{{1 + tanh^2(x)}}$- 双曲函数的倒数公式：- $sinh^{-1}(x) = ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$- $cosh^{-1}(x) = ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$- $tanh^{-1}(x) = \frac{{1}}{{2}}ln(\frac{{1+x}}{{1-x}})$示例以下是一些双曲函数的示例：- 计算 $sinh(0.5)$：sinh(0.5) = (e^0.5 - e^-0.5) / 2 ≈ 0.xxxxxxx- 计算 $cosh(-1)$：cosh(-1) = (e^-1 + e^1) / 2 ≈ 1.xxxxxxx- 计算 $tanh(2)$：tanh(2) = sinh(2) / cosh(2) ≈ 0.xxxxxxx结论本文简要介绍了双曲函数的定义、性质和常见公式，并给出了相关示例。
双曲函数的性质与应用
双曲函数的性质与应用引言在数学领域中，双曲函数是一类重要的函数，它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨双曲函数的性质以及它们在不同领域的应用。
一、双曲函数的定义及基本性质双曲函数是指满足双曲三角恒等式的函数，其中最常见的三个双曲函数分别是双曲正弦函数sinh(x)，双曲余弦函数cosh(x)和双曲正切函数tanh(x)。
这些函数与普通的三角函数在形式上有相似之处，但却具有截然不同的性质。
1.1 双曲正弦函数sinh(x)双曲正弦函数定义为sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2，其中e是自然对数的底数。
双曲正弦函数具有以下性质：- sinh(0) = 0，当x趋近于无穷大时，sinh(x)也趋近于无穷大。
- sinh(x)是奇函数，即sinh(-x) = -sinh(x)。
- sinh(x)的导数是双曲余弦函数cosh(x)，即d/dx(sinh(x)) = cosh(x)。
1.2 双曲余弦函数cosh(x)双曲余弦函数定义为cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2。
双曲余弦函数具有以下性质：- cosh(0) = 1，当x趋近于无穷大时，cosh(x)也趋近于无穷大。
- cosh(x)是偶函数，即cosh(-x) = cosh(x)。
- cosh(x)的导数是双曲正弦函数sinh(x)，即d/dx(cosh(x)) = sinh(x)。
1.3 双曲正切函数tanh(x)双曲正切函数定义为tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)，也可以写成tanh(x) = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))。
双曲正切函数具有以下性质：- tanh(0) = 0，当x趋近于无穷大时，tanh(x)趋近于1。
- tanh(x)是奇函数，即tanh(-x) = -tanh(x)。
- tanh(x)的导数是1 - tanh^2(x)，即d/dx(tanh(x)) = 1 - tanh^2(x)。
三角函数与双曲函数对比
三角函数与双曲函数对比三角函数和双曲函数是数学中经常用到的函数类别。
它们在数学及其应用领域都有着重要的作用。
本文将从定义、性质和应用等方面对三角函数和双曲函数进行全面的比较和介绍。
首先，我们先来了解一下三角函数。
三角函数是描述角度与边长之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数（sinx）描述了一个直角三角形中对边与斜边之间的关系，余弦函数（cosx）描述了一个直角三角形中邻边与斜边之间的关系，正切函数（tanx）描述了一个直角三角形中对边与邻边之间的关系。
接下来，我们来介绍一下双曲函数。
双曲函数是描述双曲线与其它数学对象之间关系的函数。
常见的双曲函数有双曲正弦函数（sinh x）、双曲余弦函数（cosh x）、双曲正切函数（tanh x）、双曲余切函数（coth x）、双曲正割函数（sech x）和双曲余割函数（csch x）。
与三角函数不同的是，双曲函数在定义域上没有周期性。
三角函数和双曲函数在性质上也有所区别。
三角函数的定义域是所有实数，它们的值域是[-1, 1]之间的实数。
而双曲函数的定义域是所有实数，它们的值域是整个实数集。
此外，三角函数和双曲函数在图像上也有所区别。
三角函数的图像是周期性的曲线，而双曲函数的图像则是无穷趋于正负无穷的曲线。
这种图像特点在实际应用中具有重要的意义。
三角函数和双曲函数在实际应用中都有广泛的应用。
在物理学、工程学和音乐等领域，三角函数常常用于描述周期性现象，如周期性运动、波动和声音的频率等。
而双曲函数则在数学分析、电子工程、统计学和金融学等领域有着广泛的应用，比如双曲函数可以用来描述物体的运动轨迹、电路中的电压变化和随机事件的概率分布等。
综上所述，无论是三角函数还是双曲函数，在数学及其应用领域都具有重要的作用。
它们在定义、性质和应用上存在一些区别，但都有着独特的特点和价值。
对于学习数学的人来说，掌握三角函数和双曲函数的特点和应用是非常重要的，它们能够帮助我们更好地理解和应用数学知识。
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论文为本人亲自撰写，没有从他人文献中抄袭的现象。
本人完全意识到本声明意味着本人毕业论文的原创性，如经查证有抄袭事实，同意承担由此导致的一切后果。
本人签名：年月日摘要众所周知，经典的三角函数与双曲函数不仅在数学学科中有着非常重要的作用，而且在物理学、工程技术等其它学科中都有广泛的应用。
1995年，Lindqvis t给出了带p的广义三角函数sinp x、cospx、tanpx以及广义双曲函数s i n hp x、c o s hpx、t a n hpx的定义后，吸引了很多感兴趣的学者研究。
带有一个参数的广义三角函数sinp x、cospx、tanpx广义双曲函数sinhpx、coshp x、tanhpx及其反函数arcsinpx、arc cospx、arctanpx的研究是国内外最近发展起来的新课题。
当2p 时，这些函数即为基本初等三角函数。
本文主要介绍带有单参数p的广义三角函数sinp x,cospx,tanpx,以及广义双曲函数sinhp x，coshpx，tanhpx的一些分析性质，并用极其简单的方法解决了文献[6]中提出的一个公开问题。
同时获得了一些单参数p的广义三角函数sinp x,tanpx以及广义双曲函数sinhpx的Wilker型不等式以及Huygens型不等式，这些不等式大大推广了文献[11]的一些结果。
最后利用了Hölder不等式推广了Mitrinović-Adamović不等式以及Lazarević不等式。
本论文的研究内容紧密联系国际数学界所关注的前沿和热点问题，研究成果进一步完善了广义三角函数理论，同时也为与之密切相关的特殊函数如Gauss 超几何函数提供了理论基础。
关键词：广义三角函数；广义双曲函数；不等式AbstractIt is well known that the classical trigonometric and hyperbolic function play a ve ry important role in several mathematical branches as well as in engineering and physics. The generalized trigonometric sinp x、cospx、tanpx and hyperbolicfunctions sinhp x、coshpx、tanhpx depending on one parameter 1p>were studiedby P. Lindqvist in 1995. Later on numerous authors have extended this work in various directions.Recently the generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameter with their inverse functions have attracted attentions of researchers at home and abroad. For the case when2p=, these functions coincide with elementary functions.The main research contents and expected results of this paper are as follows:The analytic properties for the generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameter will be introduced. Meanwhile, the conjecture posed by the experts in [6] will be solved by using the extremely simple method. And some classical inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameters, such as Wilker-type inequality and Huygens-type inequalities are generalized. The Mitrinović-Adamovićinequality and the Lazarević inequality of generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameters have been extended.The contents of the research are closely related to the hot issues of the world’s mathematics.The research results can further perfect the theory of hypergeometric function. At the same time, the research results provide theoretical basis for studying the spacial functions which are closely related them such as the Gaussian hypergeometric function.Key words:generalized trigonometric functions; generalized hyperbolic fun ctions; inequalities目录摘要Abstract第1章引言 (1)1.1 三角函数的发展及应用 (1)1.2 广义三角函数和广义双曲函数在国内外的研究现状 (1)1.3 研究方法分析 (3)第2章定义 (4)2.1广义三角函数及反三角函数的定义和基本公式 (4)2.2 广义双曲函数及反双曲函数的定义及基本公式 (6)2.3利用超几何函数定义广义三角函数与广义双曲函数 (8)第3章不等式性质 (9)3.1 Huygens-type不等式 (9)3.2 Turán不等式 (10)3.3 Wilker不等式 (10)3.4 与均值性质相关不等式 (11)第4章引理 (12)第5章主要结果 (14)第6章结论 (18)参考文献 (21)致谢 (23)浙江理工大学本科毕业设计（论文）第1章 引言1.1 三角函数的发展及应用从古代到今天，天文学的研究都离不开三角学，从最初三角学依附于天文学研究到今天形成独立的分支，三角学的应用越来越广泛，研究其理论也越来越重要。
约公元前150年，初创三角学，古埃及人用三角学进行距离的测量，观测天象。
泰勒斯用相似三角形理论测量出金字塔的高度，是三角学的最初始的应用。
公元前2世纪，“三角学之父”希帕霍斯创建了弦表，弦表与现代的三角函数表十分相似，他创建弦表主要是为了天文观测。
公元2世纪，托乐密创建00-900之间每隔半度的弦表，并建立了许多结合三角函数性质的关系式，同时代，梅内劳斯著成《球面学》，主要研究了三角学在球面上的推广，将三角学应用于球面上，进行建模，利用三角学得出许多关于球面的性质，至此西方三角学发展至鼎盛时期，我国古代三角学研究比较晚，在《周髀算经》中记载了陈子运用勾股定理对太阳的高度的测量，1653年薛风祚与穆妮阁协作编写了《三角算法》，确定了三角这一称号，1877年华蘅熙探讨了三角级数展开式问题，这是首次将三角函数推广到三角级数理论。
有了数发明后，简化了三角函数的计算过程，减少计算量，对三角函数的研究已经不局限与制作三角函数表，而是转向研究三角学理论。
不过因为三角函数表在科学研究中是无法被替代的，进而逐渐演变为现代三角学。
在现代，三角函数可应用于复数领域中，也可应用于物理学中，例如利用三角函数的图像性质研究抛物运动，利用其周期性研究波，简谐运动以及电流等。
也广泛应用于铁路设计，在国防中也有利用三角函数最值的例子。
广义三角函数与双曲函数的运用也很普遍，例如数学中的微分方程，随机过程，复变函数都会用到广义函数理论。
广义三角函数与广义双曲函数的性质以及推广它们的相关性质的研究是十分重要的。
1.2 广义三角函数和广义双曲函数在国内外的研究现状1995年，Lindqvist 给出了带有一个参数p 的广义三角函数sin ,p x cos ,p x tan ,p x cot p x 以及广义双曲函数sinh ,p x cosh ,p x tanh p xcoth p x (当2p =时，即为初等三角函数)的定义[1],最初，从微积分上，在]2/,0[π有关单参数广义三角函数及双曲函数的性质的研究上定义正弦函数,即⎰≤≤=-x t x dt x 0)1(1,10,)arcsin(2/12其中1arcsin 2=π,10)1(12/12⎰-=dt t 并将反正弦函数延伸到),(∞-∞.令∞<<p 1，根据已有的微积分公式，延伸出了带有一个参数p 的反正弦函数的微积分公式，同时也发现了p π与带有一个参数p 的反正弦函数的关系。
当2=p 时s ，带有单参数p 的反正弦函数退化为普通反正弦函数，ππ=2[2].因为正弦函数求导为余弦函数，根据这一法则，带有一个参数p 的余弦函数的相关求导法则也延伸出来。
也可用Gauss 超几何函数给出广义反三角函数和反双曲函数的定义[3]()110111sin 1,;1;.u p p p p u t dt uF u p p p --⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰ ()110111s i n h 1,;1;.u p p p p u t dt uF u p p p --⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭⎰11cos sin p p u --=，11cosh sinh .p p u --= 11tan sinp p u --⎛⎫=，11 t anh sinh .p p u --⎛⎫=在这之后，许多有兴趣的学者参与研究。
)(sin x p 做为p -Laplacian 算子p ∆的Dirichlet 问题的特征函数，继续研究其性质，有利于完善p -Laplacian 方程的Dirichlet 问题理论。