选修22数学归纳法教案

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数学归纳法-北师大版选修2-2教案

数学归纳法-北师大版选修2-2教案一、教学目标1.了解数学归纳法的概念与特点；2.能够使用数学归纳法证明简单的命题；3.能够理解和应用数学归纳法解决实际问题。

二、教学内容1.数学归纳法的概念与特点；2.数学归纳法的推广和严密化；3.数学归纳法的应用。

三、教学重点1.数学归纳法的概念与特点；2.能够使用数学归纳法证明简单的命题。

四、教学难点1.数学归纳法的推广和严密化；2.数学归纳法的应用。

五、教学方法1.观察与讨论法：通过生动的例子，引导学生认识和理解数学归纳法的基本概念和特点；2.讲授与演示法：通过讲授和演示归纳法的具体步骤，使学生掌握如何运用归纳法证明命题；3.练习与探究法：通过练习和探究，让学生掌握数学归纳法的应用技巧。

第一步：引入1.引入数学归纳法的基本概念；2.通过实际例子，引导学生理解数学归纳法的重要性。

第二步：讲解1.讲解数学归纳法基本的步骤；2.分析数学归纳法的特点，包括归纳假设、基本步骤、归纳证明、结论；第三步：演示1.带领学生完成归纳法的几个简单例子，让学生深入掌握归纳法的基本操作；2.带领学生完成一道较为复杂的归纳证明练习，让学生掌握归纳法的应用技巧。

第四步：练习1.让学生分组自主练习归纳法的应用；2.教师辅助解答学生的问题。

第五步：总结1.对本节课所学的内容进行总结；2.强调数学归纳法在理解和应用中的重要性。

七、教学评价1.课堂参与度（20%）：检测学生是否认真听讲、积极互动，师生互动是否频繁；2.练习与应用（40%）：检测学生掌握归纳法的技巧和应用能力；3.课堂表现（40%）：检测学生是否能够在课上正确展现自己的学习成果。

通过本节课的教学，我发现学生对于数学归纳法的概念和特点有了更加深入的理解和认识。

同时，在练习中也发现了一些问题，比如有些学生在归纳证明中容易犯错，需要加强指导和训练。

因此，在教学中需要更加强化实践，多引入真实案例来加强学生对归纳法的认识和理解，同时通过练习和探究来让学生得到更好的应用和提高。

选修2-2数学归纳法教案

高中选修2-2 2.3《数学归纳法》教学设计一、教材分析数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要.数学归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范.学习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的解决有了新的方法.首先，我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，这是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段.但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法.因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法，这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节，掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维能力、体验数学内在美的好素材.二、教学目标1．知识目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，初步理解数学归纳法原理.（2）能以递推思想为指导，理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论.（3）初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式.2. 能力目标（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力.（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.（3）在学习中培养学生大胆猜想，小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力.3. 情感目标（1）通过对数学归纳法原理的探究，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点.（2）体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟数学的内在美，激发学生学习热情，使学生喜欢数学.（3）学生通过置疑与探究，初步形成正确的数学观，创新意识和严谨的科学精神.三、教学重点与难点1．教学重点借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用.2．教学难点（1 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性.（2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当1=+时结论n k正确.四、教学方法本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发.在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望.师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数n有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力.既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性.五、教学过程（一）创设情境，提出问题情景一：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的.情境二：平面内三角形内角和是180︒，四边形内角和是2180︒⨯，五边形内角和是3180︒⨯，于是得出：凸n 边形内角和是()2180n ︒-⋅ .情境三：数列{}n a 的通项公式为()2255n a n n =-+可以求得12341,1,1,1a a a a ====于是猜想出数列{}n a 的通项公式为1n a =.情景四：粉笔盒中有10支白色粉笔，怎么证明它们是白色的呢？结论：情景一到情景三都是由殊事例得出的一般性结论，即不完全归纳法不一定正确.因此,它不能作为一种论证方法，情景四是完全归纳法，结论可靠但要一一核对,工作量大.提出问题：如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？我们本节课要学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一.（二）实验演示，探索解决问题的方法1．几何画板演示动画多米诺骨牌游戏，师生共同探讨：要让这些骨牌全部倒下，必须具备哪些条件呢 ① 第一块骨牌必须倒下.② 两块连续的骨牌，当前一块倒下一定导致后一块倒下.可以看出，条件②事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，相邻的第1k + 块也倒下.这样，只要第1块倒下，其他所有的就能够相继倒下.无论多少块，只要①②成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.演示小节：数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样.2．数学归纳法原理证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）当n 取第一个值0n （*0n ∈）时命题成立；（2）（归纳递推）假设当()*0,n k k k n =∈≥时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 上述证明方法称为数学归纳法.主要有两个步骤、一个结论: 其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡.这两步缺一不可.只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础.（注：数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的重要方法.在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.”）（三）迁移应用，理解升华例1 用数学归纳法证明：如果{}n a 是一个等差数列，那么()11n a a n d =+- 对于一切*n ∈ 都成立.证明: (1)当1n = 时,左边1,a = 右边()1111,a d a =+-=结论成立(2)假设当n k = 时结论成立，即 ()11k a a k d =+-则当1n k =+ 1k k a a d +=+()1[11]a k d =++- ∴ 当1n k =+时，结论也成立.由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.例2 已知数列{}n a 其通项公式为21,n a n =-试猜想该数列的前n 项和公式,n S 并用数学归纳法证明你的结论.解：（1）111S a == 212134S S a =+=+=(2) 猜想2,n S n =问题转化为证明213521.n n ++++-=证明:（1）当1n =时,左边=1,右边=1,等式是成立的.(2) 假设当n k =时等式成立，即有则当1n k =+,有因此，当1n k =+时，等式也成立由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.（四）反馈练习，巩固提高课堂练习：课本第95页练习1，2（五）课堂小结：让学生归纳本节课所学内容，不足的老师补充.n k = 到1n k =+ 有什么变化用假设凑结论1. 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法2. 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推思想，证明程序为，两个步骤一个结论.3数学归纳法的科学性：基础正确，可传递.用有限的步骤证明无限的结论. （六）布置作业课本第96页习题 2.3 A组1、2.。

高中数学选修2-2《数学归纳法》说课设计

复习归纳法，指出归纳法是人类认识世界的基本方法，但有时得到的结论不一定正确．引出新的证明方法，学生的求知欲开始被激活，但被抑制．同时需要关注的是，此引例的内涵为：已知首项和递推关系，则可以推出任意项．这与数学归纳法的证明原理极为类似．（4分钟）
（二）探题，创造新知
设问1：等于多少？为什么？呢？大家有什么发现，有什么困难？
强化两个条件．
明白的意思．
深化递推原理的理解，强调证时，须将假设结论作为条件，参与证明．防止出现＂伪数学归纳法证明＂．
（学生活动）通过交流，争论，梳理出结论．
只要满足两个条件，所有的多米诺骨牌都倒下
(1)第一块骨牌倒下；
(2)任意一块倒下，一定导致相邻的下一块倒下．
通过类比，学生会发现仅由设问2，还不能证明猜想正确．
设问4：类比设问3的结论，写出完整的证明过程．
多米诺骨牌效应
通项公式的证明方法
（1）第一块骨牌倒下；
3．阅读自学：让学生学会有目的、带问题阅读；
4．学会用科学方法论解决问题．
说教学
程序
（一）引题，温故知新
数列中，已知，．
(1) 求，，，．
(2) 猜想通项公式
(3) 猜想正确吗？系式，独立完成前两问．共同讨论，得出各种可能思路．
（教师活动）与学生一起分析各种思路的可行性及可能会遇到的障碍，复习归纳法及其局限性，指出为弥补归纳法的局限性，我们将学习一种新的证明方法．
（学生活动）算出，后，再一起讨论，教师适度引导，会发现，如果某项满足猜想，通过递推关系式，推出下一项也会满足猜想．困难在于项数是无限的，不可能实现逐项验证．
设问2：假设当时，猜想正确，即．那么当时，是否正确？为什么？同学们从中发现了什么？

2.3.数学归纳法-人教B版选修2-2教案

2.3 数学归纳法-人教B版选修2-2教案一、教学目标1.了解数学归纳法的基本思路和定义；2.掌握使用数学归纳法解决具体问题的方法；3.能够对于一些有规律的数列进行归纳总结，并利用数学归纳法进行验证。

二、教学重难点1.理解数学归纳法的基本思路及其应用；2.掌握数学归纳法的应用方法。

三、教学内容及安排时间内容教学活动学生活动教学方法5 min 课程介绍介绍本课程的学习内容、学习目标和教学重难点聆听讲授10 min 数学归纳法的定义与原理讲解数学归纳法的基本定义和思路聆听、记录讲授20 min 基本的数列归纳通过例题讲解数学归纳法的应用方法讨论、记录讲授、互动10 min 数学归纳法在证明中的应用教师通过具体例子讲解数学归纳法应用于证明中的方法及步骤讨论、记录讲授、互动15 min 练习题演练通过具体例子让学生练习数学归纳法的应用方法做题、记录讲授、互动5 min课后作业布置课后作业并提醒学生预习下一节课内容接受、记录讲授四、教学方法本节课采用讲授和互动相结合的方法，教师通过讲解基本定义和思路让学生理解数学归纳法的基本思路，通过具体例子让学生掌握数学归纳法的应用方法，同时也鼓励学生互相讨论和思考问题，培养其独立思考和解决问题的能力。

五、教学评估通过练习题演练和课堂互动等方式对学生进行评估，观察学生掌握数学归纳法的程度，是否能够应用数学归纳法解决具体问题，以评价本节课的教学效果，同时也为下一节课的教学准备奠定基础。

六、教学反思数学归纳法作为一种重要的数学证明方法，在教学中应当注重培养学生的独立思考、解决问题的能力，通过具体例子引导其理解基本思路和应用方法，并鼓励学生积极参与课堂互动，达到高效学习的效果。

人教版高中数学选修22数学归纳法教案和教案说明

课题：2.3数学归纳法（1）教材：普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2一、教学目标1.知识与技能（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。

（2）初步理解数学归纳法原理。

（3）理解与记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。

（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。

2.过程与方法（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力与严密的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

3.情感、态度与价值观（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度与不怕困难，勇于探索的精神。

（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。

（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。

二、教学重、难点1.重点（1）初步理解数学归纳法的原理，明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

（2）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。

2.难点（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。

（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。

三、教学方法与手段本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。

在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。

师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数n 有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。

既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性与合作性。

四、教学过程（一）创设问题情景情景一：观察下列等式，12+1+17＝19，22+2+17＝23，32+3+17＝29，42+4+17＝37……你能得出形如n 2+n+17的数为什么数（质数）？进一步提问，你得出的结论对吗？请你将16代入检验，（得出猜想是错的）说明这种不完全归纳得出的结论不可靠。

2.数学归纳法-苏教版选修2-2教案

2.数学归纳法-苏教版选修2-2教案一、知识概述1.1 数学归纳法的定义数学归纳法是一种重要的证明方法，是对一些基本等式或者命题在正整数的范围内依次递推证明的方法。

该方法的基本思想是从一些基本事实出发，递推地得出更一般的结论。

1.2 数学归纳法的应用数学归纳法在各个学科中具有广泛的应用，特别是在数学中。

例如，可以通过归纳证明某些重要的等式或命题，甚至是数学定理。

二、教学内容及教学方式2.1 教学内容本次教学的主要内容是数学归纳法，包括其定义、原理、常见的数学归纳法证明方法等。

通过学习，学生将掌握数学归纳法的基本思想和应用方法，以及数学归纳法证明的具体过程。

2.2 教学方式本次教学采用小组探究与讲解相结合的方式。

首先，由教师简要介绍数学归纳法的基本原理和应用；然后，分组让学生自己探究和总结数学归纳法的证明方法，并回答一些教师提出的问题；最后，教师进行总结和讲解，帮助学生全面掌握数学归纳法的相关知识和方法。

三、教学目标3.1 知识目标1.掌握数学归纳法的定义和原理；2.理解数学归纳法的基本思想和应用方法；3.学会使用数学归纳法证明数学等式和命题。

3.2 能力目标1.培养学生归纳思维和递推思维能力；2.提高学生解决问题的能力和方法；3.培养学生对证明过程的清晰和严谨的掌握和理解。

四、教学重点和难点4.1 教学重点1.掌握数学归纳法的定义和原理；2.学会使用数学归纳法证明数学等式和命题。

4.2 教学难点1.学生对数学归纳法的理解和应用方法；2.学生对数学归纳法证明过程的严谨和清晰的掌握和理解。

五、教学方法5.1 案例教学法通过引导学生找到数学归纳法应用的例子，同时解析归纳法的应用方法和具体证明过程。

5.2 小组讨论法将学生分成小组，让每组自己探究数学归纳法的证明方法，并通过小组讨论，帮助学生理解和掌握数学归纳法的相关知识和方法。

六、教学过程6.1 案例分析以斐波那契数列为例，通过归纳法证明其递推式至第 n 阶。

高中数学数学归纳法2教案新人教版选修2-2-新人教版高二选修2-2数学教案

§2.3 数学归纳法(2)[学情分析]：数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n〔n取无限多个值〕有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。

本节课是在上节课的基础上进上步熟悉数学归纳法的证题原理及步骤。

[教学目标]：〔1〕知识与技能：理解“归纳法〞和“数学归纳法〞的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法〞证明与正整数有关的数学命题。

〔2〕过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。

〔3〕情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。

[教学重点]：进一步巩固对数学归纳法的基本思想的认识，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。

[教学难点]：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。

[教学过程设计]：[练习与测试]：1．使用数学归纳法证明22()nn n N <∈，假设不等式成立，那么n 的取值X 围是〔〕 A. 2n ≥ B. 3n ≥ C. 4n ≥ D. 5n ≥ 答案：D解：当n 取第一个值5时，命题成立。

2．用数学归纳法证明“*)(11312111N n n n n ∈>++++++ 〞，要证明第一步时，左边的式子= 。

答案：1213413121=++。

3．当*N n ∈时，求证：3()2nn >。

证明：〔1〕当n=1时，左式=32，右式=1，312>，原不等式成立。

〔2〕假设当n=k 时，原不等式成立，即3()2kk >那么当n=k+1时，左式=13333()()22222k k kk k +=>=+132,1,()12k k k k +≥∴≥+>+上式即所以n=k+1时结论成立综合〔1〕〔2〕原不等式对于任意*N n ∈均成立。

高中数学教案选修22《2.3数学归纳法》

Word 文档仅限参照教课目：1．理解数学法的观点, 掌握数学法的明步．2．通数学法的学 , 领会用不完整法律, 用数学法明律的门路．掌握从特别到一般是用的一种主要思想方法．教课要点：掌握数学法的原理及明的方法．教课点：能用数学法明一些的数学命．教课程：一、1．：好多同学小候都玩的游 , （教具）就是一种放的游 , 放保随意相的两 , 若前一倒下 , 必定致后一也倒下 , 只需推倒第一就会致所有都倒下（种游称多米骨牌游）．思虑个游中 , 能使所有多米骨牌所有倒下的条件是什么？只需足以下两个条件 , 所有的多米骨牌都能倒下：（ 1）；（ 2）．思虑你条件（ 2）的作用是什么？思虑假如条件（ 1）不要 , 能不可以保所有的骨牌都倒下？．我知道于数列n已知1＝1,且a n＋1＝a n（n＝1, 2, 3⋯）通＋2{ a } ,a1 a n＝前4的,我能够猜想出其通公式＝1, 但推理得出n 1, 2, 3,4,a n n的猜想不必定建立 , 必通格的明．要明个猜想 , 同学自然就会从 n＝5开始一个个往下 , 当 n 小可以逐一 , 但当 n 大 , 逐一起来会很麻,特是明 n 取所有正整数 ,Word 文档仅限参照逐一考证是不行能的．能不可以追求一种方法, 经过有限个步骤的推理 , 证明 n 取所有正整数都建立．思虑？你以为证明数学的通项公式是a n＝1, 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏 n有相像性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？多米诺骨牌游戏原理通项公式 a n＝1的证明方法n（ 1）第一块骨牌倒下．（1）当 n＝时, 猜想建立（ 2）若第 k 块倒下时 , 则相邻的第（ 2）若当n ＝时, 猜想建立 ,即, 则当 n＝时 , 猜想也成k＋ 1 块也倒下．立, 即．依据（ 1）和（ 2） , 可知无论有多依据（ 1）和（ 2） , 可知对随意的少块骨牌 , 都能所有倒下．正整数 n, 猜想都建立．证明：（1）．（ 2）假定,3．小结．数学概括法的定义：一般地 , 证明一个与正整数相关的命题, 可按以下步骤进行：（1）（概括奠定）证明当 n 取第一个值 n0时命题建立．（2）（概括递推）假定 n＝ k(k≥ n0,k∈N* )时命题建立 , 证明当 n＝k＋1 时命题也建立．只需达成这两个步骤 , 就能够判定数题对从 n0开始的所有正整数都建立．上述明方法叫做数学法．用框表示：n＝n0若 n＝k (k≥ n命建立0),命建立．明 n＝k＋1 命也建立．奠定推命从 n0从开始所有的正整数 n 都成立．注两个步缺一不行 , 只达成步（ 1）而缺乏步（ 2） , 就做出判断可能得出不正确的 , 因靠步（ 1）, 没法推下去 , 即 n 取 n0此后的数命能否正确 , 我没法判断．同 , 只有步（ 2）而缺乏步（ 1）, 也可能得出不正确的 , 缺乏步（ 1）个基 , 假就失掉了建立的前提 , 步（ 2）也就没存心了．二、堂例 1 明等差数列通公式 a n＝ a1＋(n－ 1)d．例 2 用数学法明： 1＋ 3＋ 5＋⋯＋（ 2n－1）＝n2．例 3用数学法明12＋22＋32＋⋯＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)（n∈N* ）．6：n n用数学法明：－ 1＋3－5＋⋯＋ (－ 1) (2n－1)＝ (－1) n．n＋22n＋11－ a1．用数学法明：“1＋ a＋a ＋＋a＝ a ≠ 1， n ∈N”1－a在 n＝1建立 , 左算所得的果是．．已知：＝1＋1＋＋1, f (k＋1)等于．2 f (n)＋＋2＋n 1n3n 13．用数学法明： 1×2＋2×3＋3×4＋⋯＋ n( n＋1) ＝1n( n＋1)(n＋2) ．3222－2＋－n－12n－1 n(n＋1)4．用数学法明：1－＋34＋n＝－．2( 1)( 1)2四、小要点：两个步骤、一个结论；注意：奠定基础不行少 , 概括假定要用到 , 结论写明莫忘记．五、作业课本 P94第 1, 2, 3题．。

高中数学《2.3.1数学归纳法》教案2 新人教A版选修22

数学归纳法一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。

二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

难点：归纳→猜想→证明。

三、教学过程：【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。

（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。

（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。

数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题。

【探索研究】问题：用数学归纳法证明：(31)71n n +-g能被9整除。

法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。

说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。

②注意从“n=k 到n=k+1”时项的变化。

【例题评析】例1：求证: 121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（n ∈N +）。

例2：数列{a n }中，1n na a +>,a 1=1且211()2()10n n n n a a a a ++--++=（1）求234,,a a a 的值；（2）猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想。

说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：（2002全国理科）设数列{a n }满足211n n n a a na +=-+，n ∈N +,(1)当a 1=2时，求234,,a a a ，并猜想{a n }的一个通项公式；（2）当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1,有 ①a n ≥n+2 ②1211111112n a a a ++≤+++g g g例3：平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2+n+2个部分。

最新人教版高中数学选修2-2第二章《数学归纳法》示范教案(第1课时)

2．3数学归纳法整体设计教材分析本节课是人教A版选修2－2的第二章第三单元．“数学归纳法”是继学习分析法和综合法之后，进一步研究的另一种特殊的直接证明方法．它通过有限步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形．通过本节的学习，可以更好地理解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯．课时分配2课时．第1课时教学目标1．知识与技能目标(1)理解“归纳法”和“数学归纳法”的含义和本质．(2)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论．(3)会用“数学归纳法”证明简单的恒等式．(4)初步掌握归纳与推理的方法．2．过程与方法目标培养学生观察、归纳、发现的能力，并能以递推的思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，使学生的抽象思维和概括能力得到进一步的提升．3．情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，培养学生勇于探索、创新的个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一步培养学生数学思维的严密性，通过学生之间的交流和讨论，增强学生之间的团结合作意识，提高学生的语言交流能力．重点难点重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题．难点：(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明．(2)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．教学过程引入新课提出问题：问题1：一个盒子里有十个乒乓球，如何证明里面的球全为橙色？问题2：你知道谚语“天下乌鸦一般黑”的由来吗？问题3：一个数列的通项公式是a n＝(n2－5n＋5)2，容易验证a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1.由此作出结论：对于一切n∈N ，a n＝(n2－5n＋5)2＝1都成立．请问这个结论正确吗？问题4：对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n，试写出a1，a2，a3，a4并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？问题5：请说出以上4个问题的异同点．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视引导，并注意与学生交流．活动成果：教师板书“一一进行验证”(学生回答问题1的时候抓住关键词)“只能验证有限个”(学生在回答问题2的时候)“结论不一定正确”(学生在回答问题3、4的时候)“归纳法，完全归纳法，不完全归纳法”(学生在回答问题5的时候)同时说明：归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法．点明不完全归纳法的缺憾之处：仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可能产生不正确的结论．学情预测：对于问题1及问题2估计学生会比较感兴趣，这两个问题有利于活跃课堂气氛，拉近师生之间的距离，让学生的思维过渡到课堂的思考中来．问题3大部分学生应该能判断准确．对于问题4最初可能会有一部分学生认为正确，但是由问题3的引导也会对问题4的正确性产生怀疑．设计意图让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛．在学生已有认知基础上给出问题，从生活问题自然过渡到数学问题．由问题3的不正确引导，学生对问题4的正确性产生怀疑，从而使学生对学过的知识进行及时的反思，在不断反思中得到提高(教师可以在学生回答完问题4后顺便提问学生以前学过的结论中哪些用到了不完全归纳法)．通过问题的设计使学生了解归纳法的分类，让学生自然领悟到不完全归纳法的缺憾，使学生对本节课的知识产生期待，从而引出本节课的课题“数学归纳法”．探究新知实例：播放多米诺骨牌录像，思考以下问题：提出问题：你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？活动设计：学生讨论交流，各抒己见．活动成果：根据学生的发言板书以下内容(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．(板书时注意格式，为数学归纳法的步骤提供类比依据．)可以再举几则生活事例：推倒自行车，早操排队对齐等．学情预测：大部分学生在电脑或电视节目中或者小时候玩的玩具中都遇到过多米诺骨牌，通过讨论，教师再加以引导，学生对所提出的问题基本能解决．设计意图：通过直观具体的画面让“归纳递推”这一难点在学生的头脑中建立载体，便于帮助学生理解从有限到无限的过渡．提出问题：对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ＝1,2,3,4，…)，求a 4，a 100. 活动设计：学生进行计算推理后，展示思考结果(学生板演)．教师追问：问1：根据递推公式a n ＋1＝a n 1＋a n，可以由a 1出发，推出a 2，再由a 2推出a 3，由a 3推出a 4，说说你又是如何求得a 100的呢？学情预测：学生可能会回答：“由前四项归纳猜想a 100＝1100”．问2：归纳猜想的结果并不可靠，你能对a 100＝1100给出严格的证明吗？针对学生的回答情况，教师可进行追问：问3：利用递推公式，命题可以由a 1推出a 2，由a 2推出a 3，由a 3推出a 4，…，由a 99推出a 100，这样要严格证明n ＝100时结论成立，需要进行多少个步骤的论证呢？(教师在刚才学生板演的基础之上板书以下推理过程，可以再多写出第六步，第七步，第八步直到学生开始有反应：嫌麻烦等情绪的出现)第一步，a 1＝1，第二步，a 2＝a 11＋a 1＝11＋1＝12，(由a 1推a 2) 第三步，a 3＝a 21＋a 2＝121＋12＝13，(由a 2推a 3) 第四步，a 4＝a 31＋a 3＝131＋13＝14，(由a 3推a 4) ……第99步，a 99＝a 981＋a 98＝1981＋198＝199，(由a 98推a 99) 第100步，a 100＝a 991＋a 99＝1991＋199＝1100.(由a 99推a 100) 学情预测：通过板书上的推理过程，学生可能窃窃私语“太麻烦”，出现畏难情绪．教师可以抓住这一契机继续追问：问4：你认为上述推理的麻烦之处在哪里？你能否对此过程进行优化？只用最少的步骤就能证明这个结论呢？学情预测：学生思考、讨论之后可能会总结出：推理麻烦之处在于除了第一步论证之外，其余99个步骤的证明实际上都是类似的．教师因势利导：后面99个步骤都可以概括成一个命题的证明，即转化为对以下命题的证明：若n 取某一个值时结论成立，则n 取其下一个值时结论也成立，即若a k ＝1k (k ≥1，k ∈N )，则a k ＋1＝1k ＋1(*)．(a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k 1＋1k ＝1k ＋1) 问5：你能进一步说明命题(*)的证明对原命题的证明起到什么作用吗？问6：有了命题(*)的证明，你能肯定a 100＝1100吗？你能肯定a 101＝1101吗？你能肯定a 102＝1102吗？甚至你能肯定a 1 000＝11 000吗？…… 问7：给定a 1＝1及命题(*)，你能推出什么结论呢？学情预测：通过追问4、5、6、7，学生可能对“归纳递推”这一步骤有了清晰的认识，逐渐领悟了从有限到无限的飞跃，有了对数学问题解决过程的体验，对于问7部分学生有能力对这一模式的特征概括出“可以证明对任意的正整数n ，结论a n ＝1n(n ∈N )都成立”．(为了更直观可以用多媒体投出下列图示) 反思与总结：a n ＝1n(n ∈N *)？问8：已知数列{a n }：a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N *)，求证：a n ＝1n . 教师在上述板书的基础之上把后99步用彩笔圈起，在附近用同色彩笔写下下面的(2)中的推理过程，然后用板书完善数学归纳法的“两步一结论”．证明：(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11，所以结论成立． (2)假设当n ＝k(k ∈N )时，结论成立，即a k ＝1k，则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k 1＋a k(已知) ＝1k 1＋1k(代入假设) ＝1k k ＋1k(变形) ＝1k ＋1(目标)，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n成立．问9：你能否总结出这一证明方法的一般模式？活动成果：板书以下内容(注意与多米诺骨牌得到的结论写在一起便于之后的类比) 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N )时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k(k ≥n 0，k ∈N )时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．证明命题P (n )(n ∈N *)说明：(1)是归纳基础，(2)是归纳递推，两者缺一不可．数学归纳法实质上是将对原问题的证明转化为对两个步骤的证明和判断．通过对a 4的求解，让学生体会到只需知道某一项，就可求出其下一项的值．通过对a 100的求解过程总结领悟到99步的证明“汇成一句话”：设计意图“若a k ＝1k (k ∈N )，则a k ＋1＝1k ＋1(k ∈N )(*)”为学生理解从有限到无限提供了依托，再加之追问5、6、7使学生容易实现从有限到无限的思维“飞跃”，直观的框图式结构为刚才的思维过程加以“浓缩”使观点得以提炼，再加上问题(8)的趁热打铁可以说学生对“归纳递推”的认识也基本到位．至此从具体实例中概括出数学归纳法已经是水到渠成．提出问题：你认为证明数列的通项公式是a n ＝1n与多米诺骨牌游戏有相似性吗？活动设计：首先学生独立思考，然后学生自由发言，最后教师总结并形成新知．活动结果：设计意图通过类比让学生进一步理解数学归纳法的原理，增加对数学学习的兴趣，通过从不同的角度审视，更有利于学生全面地了解数学归纳法的本质．理解新知提出问题：用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n ∈N 等式都成立．活动设计：给学生充足的时间让学生对照黑板上板书的数学归纳法的步骤，积极思考、交流，不仅要明确数学归纳法的步骤，还要明确数学归纳法的实质．学情预测：生甲：证明是对的．生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．(指出错误，并分析出错原因，是澄清学生模糊认识的有效方法)从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．生丙：“则当n ＝k ＋1时1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．”应该改为“则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2”．活动成果：数学归纳法的核心是在验证n 取第一个值n 0正确的基础上，由P(k)正确证明P(k ＋1)正确，也就是说核心是证明命题具有递推性．因此，今后用数学归纳法证明时，第二步必须由归纳假设P(k)的正确性来推导出P(k ＋1)的正确性．可见，正确使用归纳假设，是用数学归纳法证明的关键．不能机械地套用两个步骤，而要深入理解其实质及两个步骤之间的内在联系．设计意图通过判断正误，使学生在一个看似完美的证明过程中发现问题，以加深对数学归纳法“核心技术”的理解而不是仅仅停留在数学归纳法的形式上，从而突出重点．生丙的改正错误实际上是重点练习了归纳假设的应用．提出问题：用数学归纳法证明命题的两个步骤中，仅有第一步验证而没有第二步递推性的证明是不行的，那么，没有第一步行吗？活动设计：生甲：第一步仅是验证当n 取第一个值n 0时结论正确，其实这是显然的，可以省略．生乙：第一步是第二步递推的基础，没有第一步是不行的．师：让我们举一个例子来看一下：试问等式2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1成立吗？设n ＝k 时成立，即2＋4＋6＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1，则2＋4＋6＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝(k 2＋k ＋1)＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋1.这就是说，n ＝k ＋1时等式也成立，若仅由这一步就得出等式对任何n ∈N 都成立的结论，那就错了．事实上，当n ＝1时，左边＝2，右边＝3，左边≠右边，可能有的同学已经看出，该式左边总是偶数，而右边总是奇数，因此对任何n ∈N 该式都是不成立的．活动成果：数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据．缺了第一步，递推失去基础，缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去．设计意图通过具体的例子让学生体会到用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．应当克服教师反复强调，而学生只知其一不知其二，仅停留在“了解、知道”的层面上的弊端．一个好的例子胜过千百次的强调．运用新知例1证明若{a n }是首项是a 1，公差是d 的等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d 对于一切n ∈N 都成立．思路分析：题目没有要求用什么方法证明，这就要分析可以用哪种方法去证明，这是一个与正整数有关的数学命题，故可以用数学归纳法进行证明．证明：(教师可以要求学生板演)(1)当n ＝1时，a 1＝a 1＋(1－1)d ，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即a k ＝a 1＋(k －1)d ，则当n ＝k ＋1，a k ＋1＝a k ＋d ＝a 1＋(k －1)d ＋d ＝a 1＋[(k ＋1)－1]d.所以当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知如果{a n }是一个等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d 对于一切n ∈N 都成立．点评：通过证明学生学过的命题，体现了用数学归纳法在证明问题之前的选择与判断．此题由n ＝k 到n ＝k ＋1的变形比较简单，利用简单问题来突出证明步骤，防止复杂的变形冲淡数学归纳法的核心．变式练习用数学归纳法证明若{a n }为首项是a 1，公比是q(q ≠1)的等比数列，则其前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q. 证明：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝a 1(1－q 1)1－q，结论成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即S k ＝a 1(1－q k )1－q，则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝a 1(1－q k )1－q ＋a k ＋1＝a 1(1－q k )1－q ＋a 1q k (1－q )1－q ＝a 1(1－q k ＋1)1－q .所以当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知若等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q(q ≠1)，则其前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q. 变练演编1．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n>n 0的正整数n 成立”时，第一步证明中的起始值n 应取( )A ．1B ．2C ．3D ．52．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，不等式左端增加的项数是( )A ．1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1答案：1.D 2.C设计意图通过变练演编，使学生的认识不断加深，进一步巩固数学归纳法证明数学问题的两个步骤，培养学生思维的严谨性．达标检测用数学归纳法证明当n ∈N 时，11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n 2n ＋1.请分析下面的证法是否正确，若不正确请改正．证明：①n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12＋1＝13，左边＝右边，等式成立． ②假设n ＝k 时，等式成立，即11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，有11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝12[(1－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12k －1－12k ＋1)＋(12k ＋1－12k ＋3)] ＝12(1－12k ＋3)＝12·2k ＋22k ＋3＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切n ∈N 等式成立．解：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n ＝k 这一步，当n ＝k ＋1时，是用裂项法推出来的，这样归纳假设没起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n ＝k ＋1时左边＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1＝右边．这就说明，当n ＝k ＋1时，等式亦成立．课堂小结1．知识收获：学习数学归纳法应掌握下列几个要点：(1)数学归纳法证题的步骤：①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N )时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k(k ≥n 0，k ∈N )时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．根据①②，可知命题对任何n ∈N 都成立．(2)数学归纳法的核心是在验证P(n 0)正确的基础上，证明P(n)(n ≥n 0)的正确具有递推性．第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据，因此两步缺一不可，证明中，恰当地运用归纳假设是关键．(3)数学归纳法适用的范围是：一般用于证明某些与正整数n(n 取无限多个值)有关的数学命题，但是并不能简单的说，所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，如果问题中存在可以利用的递推关系，数学归纳法才有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难．(4)归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法，归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．2．方法收获：类比方法、数形结合方法、特殊到一般、有限到无限方法．3．思维收获：递推思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．布置作业教材习题2.3 A 组第1题．补充练习基础练习1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线条数为12n(n －3)条时，第一步验证n 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．02．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第2步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推证n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推证n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k(k ≥1)时正确，再推证n ＝k ＋2时正确D ．假设n ≤k(k ≥1)时正确，再推证n ＝k ＋2时正确3．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f(n)是( ) A ．1 B.13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确 4．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明不等式f(2n )>n 2时，f(2k ＋1)比f(2k )多出的项数是__________．答案：1.C 2.B 3.C 4.2k拓展练习5．已知数列{a n }满足：a 1＝32，且a n ＝3na n －12a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明对于一切正整数n ，不等式a 1·a 2·a 3·…·a n <2·n ！.(1)解：将条件变为：1－n a n ＝13(1－n －1a n －1)，因此{1－n a n }为一个等比数列，其首项为1－1a 1＝13，公比为13，从而1－n a n ＝13n ，据此得a n ＝n·3n3n －1(n ≥1)．① (2)证明：据①得a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n ！(1－13)(1－132)…(1－13n )，要证a 1·a 2·a 3·…·a n <2·n ！，只要证n ∈N 时，有(1－13)(1－132)…(1－13n )>12.② 显然，左端每个因式都是正数，只需证明，对每个n ∈N ，有(1－13)(1－132)…(1－13n )≥1－(13＋132＋…＋13n )．③ 用数学归纳法证明③式：(ⅰ)n ＝1时，③式显然成立，(ⅱ)假设n ＝k 时，③式成立，即(1－13)(1－132)…(1－13k )≥1－(13＋132＋…＋13k )．则当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－132)…(1－13k )(1－13k ＋1)≥[1－(13＋132＋…＋13k )]·(1－13k ＋1) ＝1－(13＋132＋…＋13k )－13k ＋1＋13k ＋1(13＋132＋…＋13k ) ≥1－(13＋132＋…＋13k ＋13k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，③式也成立．故对一切n ∈N ，③式都成立．利用③得，(1－13)(1－132)…(1－13n )≥1－(13＋132＋…＋13n )＝1－13[1－(13)n ]1－13＝1－12[1－(13)n ]＝12＋12(13)n >12.故②式成立，从而结论成立．设计说明本节课是数学归纳法的第一课时，新课标要求不能仅以用数学归纳法解决一些简单问题为标准，只让学生通过各种题型的操练，学会第一步证什么，如何证；第二步证什么，如何证．这样训练出来的学生，能知道数学归纳法的步骤，也会套用数学归纳法证明一些数学命题，但不一定知道为什么要这样做，这样做可行的理由、依据是什么．这样的教学看似容易完成，但被动地训练使学生可能会增添的是：数学是机械的、枯糙的；一定会丢失的是：对数学以及数学方法、思想的进一步认识与理解．所以本节课的设计没有急于去进行大量的练习，而是把主要精力用在了由“假设P(k)(k∈N 且k≥n0)成立，推证P(k＋1)成立”的突破上，从生活出发加强了数学与生活的联系，消除了学生的畏惧感，通过问题串将学生从有限逐步引领到无限的高峰．备课资料《归纳法的分类》(一)第一数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：(1)证明当n取第一个值n0时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥n0，k为自然数)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．(二)第二数学归纳法：对于某个与自然数n有关的命题，(1)验证n＝n0时P(n)成立；(2)假设n0<n≤k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k＋1)成立．综合(1)(2)对一切正整数，命题P(n)都成立．(三)倒推归纳法(反向归纳法)：(1)对于无穷多个自然数命题P(n)成立；(2)假设P(k＋1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合(1)(2)，对一切自然数n(n>n0)，命题P(n)都成立．(四)螺旋式归纳法：P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立；(2)假设P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k＋1)成立，综合(1)(2)，对于一切自然数n(n>n0)，P(n)，Q(n)都成立．(设计者：张建霞)。

人教版高中数学选修2-2归纳法教案

【优化设计】 2015-2016学年高中数学 2.3 数学概括法教课设计新人教 A 版选修 2-2教课建1.教材剖析数学法是一种直接明的方法, 合用于与正整数相关的数学命的明 .本通比多米骨牌游 ,得出数学法的两个步,而后通两个例介数学法的用.要点 :数学法的原理及用 .点 :数学法的思想及在推理中详细的推关系.2.主要及教课建(1)对于数学法所的正确性.建教就推理的几种情况介一下.不完整 :只观察了部分象 , 不必定正确 .完整 (枚法 ):观察了所波及的全部象, 必定正确 .数学法 :通有限个步的推理, 了然 n 取无穷多个正整数的情况,本上相当于完整, 是正确的 .(2) 于假的使用 ., 明明程中不用假也能出某些目 ,但不是数学法明 ,也建教通详细例子就不用再按数学法的步行 .n1. 明 :假如 x 是数 ,且 x>- 1,x ≠ 0,n 大于 1 的自然数,那么 (1+x ) > 1+nx.明 :(1)当 n= 2 ,左 = (1+x )2= 1+2x+x 2,右 = 1+ 2x,因 x ≠ 0,因此不等式建立 .k(2)假当 n=k 不等式建立 ,即 (1+x) > 1+kx. 那么当 n=k+ 1 , 左 = (1+x )k+ 1 = (1+x )k (1+x ), 因 x>- 1,因此 (1+x )k (1+x)> (1+kx )(1+x )= 1+ (k+ 1)x+kx 2> 1+ (k+ 1)x. 因此当 n=k+ 1 ,不等式建立 .由 (1)(2) 及数学法可知所不等式建立.2 n-1*2.用数学法明 6 + 1(n ∈ N ) 能被 7 整除 .2-1明 :(1)当 n= 1 ,6 + 1= 7,能被 7 整除 .(2)假当 n=k (k ∈ N * ,k ≥ 1) ,62k-1+1 能被 7 整除 . 那么当 n=k+ 1 ,62(k+ 1)-1+1= 62k-1+ 2+1= 36(62k-1+ 1)-35.∵ 62k-1+ 1 能被 7 整除 ,35 也能被 7 整除 , ∴当 n=k+ 1 ,62(k+ 1)-1+ 1 能被 7 整除 . 由 (1)(2) 知命建立 .解: 当 n= 5 ,25> 52 ,即 2n >n 2.当 n= 6 ,26> 62,即 2n >n 2 ; ⋯⋯ 猜想 :当 n ≥5,n ∈ N * ,2n >n 2. 下边用数学法明猜想建立:(1) 当 n= 5 ,猜想建立 .(2) 假当 n=k (k ≥ 5,k ∈ N * ) 猜想成立 ,即 2k >k 2,那么 ,当 n=k+ 1 ,2k+ 1k22222也建立 . = 2×2 > 2k =k +k >k + (2k+ 1)= (k+1) ,即当 n=k+ 1 依据 (1)和 (2),可知当 n ≥5 ,2n >n 2 任何 n ∈ N * 都建立 (n ≥5).。

【教案】人教版高中《数学》选修2-2《数学归纳法》教学设计

人教版高中《数学》选修2-2§2.3 数学归纳法（第一课时）一、教学目标：1、了解数学归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握归纳法证明的两个步骤；2、会证明简单的与正整数有关的命题。

二、教学重点、难点：1、重点：借助具体实例，了解数学归纳法的基本思想，掌握基本步骤，会用它证明一些与正整数n 有关的命题；2、难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

三、教学手段：借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；四、教学过程：（一）创设情境，引入课题师：前面我们学习推理，并且知道由推理得到的结论是否正确，需要我们进一步验证。

我们来看这样的一道题目：已知数列{}n a 中，*111,()1n n na a a n N a +==∈+，试猜想数列的通项公式n a = 生：分别求出12341111,,,234a a a a ====，从而猜测1n a n=。

师：那么这个猜想是否正确？我们又该如何证明这个猜想？生：方法1：从n=5逐个验证？（由于n 为正整数，为无限个，所以可行性不高）方法2：通过构造新数列{}n b ，其中1n nb a =，先求出数列{}n b 的通项公式，从而得到{}n a 的通项公式；（技巧性较高，且有时新数列{}n b 不易构造）方法3：能否通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数时，通项公式都成立？师：带着这个问题，我们来观察一个关于多米诺骨牌游戏的视频。

（二）观看视频，动手实验观看多米诺骨牌游戏视频后，由学生来展示骨牌游戏：实验步骤：1、摆好骨牌，并由教师动手轻轻碰了第一块（并未推倒），发现实验不成功；2、由学生自己动手推倒骨牌，实验成功；3、再次摆好骨牌，教师调整最后3块的距离，发现并未全部倒下，实验失败。

师：我们一起来总结3次实验，那么要使游戏成功，所需条件有哪些？生：（1）第一块骨牌要倒下；（2）相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块也倒下；师：若将每一块骨牌相应的看成数列的1234,,,a a a a ，那么这两个条件分别相当于：（1）首项1a 要符合n a 的通项公式；（2）假设n=k 时猜想成立，则必将导致n=k+1时猜想也成立；这样一来，就可以发现由n=1成立，就有n=2成立；n=2成立，就有n=3成立；n=3成立，就有n=4成立；n=4成立，就有n=5也成立……，所以对任意的正整数n ，猜想都成立。

数学人教版高中二年级选修2 《数学归纳法》教学设计

《数学归纳法》教学设计人民教育出版社A版教科书数学选修2-2第二章第三节【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。

教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

（2）会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，积极参与，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。

【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体播放人的多米诺骨牌视频；学生动手参与多米诺骨牌游戏等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：回顾复习，课前准备复习1：类比推理及其一般步骤1、类比推理是由特殊到特殊的推理。

2、类比推理一般步骤：（1）观察、比较（2）联想、类推（3）猜想新结论复习2：归纳推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．（回顾复习类比推理和归纳推理目的是为数学归纳法推理的奠定基础。

人教A版高中数学选修22数学归纳法说课稿

数学归纳法（第一课时）说课稿（人教A版高中数学选修2-2）一、教材分析一、教材地位数学归纳法是人教A版高中数学选修2—2第二章第三节的内容，它是一种特殊的证明方式，对证明一些与正整数有关的命题是超级有效的研究工具，弥补了不完全归纳法的不足。

用它解答一些高考题往往能起到柳暗花明的神奇作用，因此是高中理科生应把握的一种证明方式。

二、教学重点、难点教学重点：明白得数学归纳法的原理，把握用数学归纳法证明命题的大体步骤教学难点：（1）明白得数学归纳法的原理（2）如何利用归纳假设证明当n=k+1时命题也成立。

二、教学目标（1）知识目标：明白得数学归纳法的原理，把握数学归纳法证题的大体步骤，会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。

（2）能力目标：培育学生观看, 分析, 论证的能力, 进一步进展学生的逻辑、抽象、创新思维能力，让学生经历知识的建构进程, 体会类比的数学思想。

（3）情感目标：通过对数学归纳法原理的探讨，培育学生严谨的、实事求是的科学态度，感受数学内在美，激发学习热情。

三、学情分析：在此之前学生经历了数列的求通项、求和等知识的学习，还学习了归纳推理、类比推理、演绎推理等知识，已具有了必然的观看、分析、归纳能力。

四、教学方式教学方式：本节课主要采纳感性体验法、类比、引导发觉法进行教学。

教学手腕：借助多媒体展现创设教学情境学法指导：本课以问题情境为中心，以解决问题为主线展开，引导学生通过以下模式：“观看情境→提出问题→分析问题→解决问题→提升理论→巩固应用”进行探讨式学习。

五、教学进程：（一）知识链接归纳推理特点:由特殊到一样类比推理特点:由特殊到特殊经常使用⎩⎨⎧完全归纳法不完全归纳法归纳法（设计用意：温习归纳推理和类比推理，为学习数学归纳法作铺垫）（二）创设情境情境1 明代刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这那么笑话中财主的儿子由“一字是一横，二字是二横，三字是三横”，得出“四确实是四横、五确实是五横……，百是百横，……，万是万横，……”的结论，用的确实是“不完全归纳法”，只是，那个归纳推出的结论显然是错误的．情境2 费马（Fermat ）是17世纪法国闻名的数学家，他曾以为，当n∈N *时，122+n 必然都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后取得的．后来，18世纪瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了 1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．（设计用意：通过以上两个例子让学生了解不完全归纳法得出的结论不必然正确，即便是数学家也不例外。

人教版高中数学选修22(教案)23数学归纳法(含2课时)

教学过程：学生探究过程：我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列{}n a 的通项公式1(1)n a a n d =+-，自然数平方和公式2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证．怎样证明一个与自然数有关的命题呢？讨论以下两个问题的解决方案：（1）在本章引言的例子中，因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完，这样总可以得到一个肯定的结论．因此，要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事．但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？（2）我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖．一、复习引入：问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？方法一：把它倒出来看一看就可以了．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．问题2：在数列{}n a 中，*111,,()1nn na a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4再推测通项a n 的公式．过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,()n a n N n=∈，解决以上两个问题用的都是归纳法. 再请看数学史上的两个资料：资料1: 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n ∈N 时，221n+一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了当n=5时，5221+ =4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f （n ）=n 2+n+41，当n ∈N 时，f （n ）是否都为质数？ f （0）=41，f （1）=43，f （2）=47，f （3）=53，f （4）=61， f （5）=71，f （6）=83，f （7）=97，f （8）=113，f （9）=131， f （10）=151，… f （39）=1 601．但是f （40）=1 681=412是合数算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明课件展示：多媒体课件(游戏：多米诺骨牌) ,多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；（2）第一张牌被推倒．用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．数学运用例1．用数学归纳法证明：等差数列{}n a 中，1a 为首项，d 为公差，则通项公式为1(1)n a a n d =+-．①证：（1）当1n =时，等式左边1a =，等式右边110a d a =+⨯=，等式①成立．（2）假设当n k =时等式①成立，即1(1)k a a k d =+-，那么，当1n k =+时，有111(1)[(1)1]k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=+--．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式①都成立．注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即1n k =+时为什么成立？1n k =+时成立是利用假设n k =时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证1n k =+出时成立，而不是直接代入，否则1n k =+时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件变式：用数学归纳法证明：等比数列{}n a 中，1a 为首项，q 为公比，则通项公式为11n n a a q -=．例2．用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=．证：（1）当1n =时，等式左边1=，等式右边1=，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k +++⋅⋅⋅+-=，那么，当1n k =+时，有135(21)[2(1)1]k k +++⋅⋅⋅+-++-222[2(1)1]21(1)k k k k k =++-=++=+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式都成立．例3．用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=．证：（1）当1n =时，211=，1(11)(211)16⨯+⨯⨯+=，结论成立．（2）假设n k =时，结论成立，即2222(1)(21)1236k k k k +++++⋅⋅⋅+=，那么2222222(1)(21)(1)(266)123(1)(1)66k k k k k k k k k k +++++++++⋅⋅⋅+++=++=2(1)(276)(1)(2)(23)(1)[(1)1][2(1)1]666k k k k k k k k k +++++++++++===．所以当1n k =+时，命题也成立．根据（1）和（2），可知结论当*n N ∈时都成立．变式：用数学归纳法证明：(1)(2)()2135(21)n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅-gg g g g ，*n N ∈ 解：（1）当1n =时，等式左边2=，等式右边212=⨯=，所以，等式成立．（2）假设n k =*()k N ∈时，等式成立，即 (1)(2)()2135(21)k k k k k k ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅-g g g g g 那么，当1n k =+时，1(2)(3)()(21)(22)2(1)(2)(3)()(21)2135(21)[2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k +++⋅⋅⋅+++=+++⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅-+-g g g g g即1n k =+时等式成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式都成立．例4．已知数列1111,,,,1447710(32)(31)n n ⨯⨯⨯-+L ,计算1234,,,S S S S ,根据计算结果,猜想n S 的表达式,并用数学归纳法进行证明．证：111144S ==⨯；21124477S =+=⨯； 3213771010S =+=⨯；431410101313S =+=⨯.可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n 一致,分母可用项数n 表示为31n +.于是可以猜想31n nS n =+. 下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当1n =时，左边=114S =,右边=11313114n n ==+⨯+,猜想成立．（2）假设n k =(*k N ∈)时，猜想成立,即 11111447710(32)(31)31k k k k ++++=⨯⨯⨯-++L , 那么 111111447710(32)(31)[3(1)2)][3(1)1]k k k k +++++⨯⨯⨯-++-++L 131[3(1)2)][3(1)1]k k k k =+++-++ 2341(31)(1)(31)(34)(31)(34)k k k k k k k k ++++==++++ 13(1)1k k +=++．所以当1n k =+时，猜想也成立．根据（1）和（2），可知猜想对任何*n N ∈时都成立．巩固练习：课外作业：1.对一切自然数n ，猜出使2n t n >成立的最小自然数t2.平面上有n 条直线，其中无两条平行，无三条共点，问：(1)这n 条直线共有几个交点f(n)？（1()(1)2f n n n =-(2)这n 条直线互相分割成多少条线段（或射线）？(2n 条)(3)平面被这n 条直线分割成多少块区域？（222++n n ）3.已知数列｛a n ｝中，a 1=31, a n+1=nn a a -+31a 2, a 3, a 4，猜测通项公式a n )422(+=n na n教后感：教学过程：教学过程:1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.学生探究过程：数学归纳法公理；用数学归纳法证明：当*n N ∈时111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++．数学运用例1．设*n N ∈，1()5231n n f n -=+⨯+．（1）当1,2,3,4n =时，计算()f n 的值；（2）你对()f n 的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想．解：（1）当1n =时，111(1)5231881f -=+⨯+==⨯；当2n =时，221(2)52313284f -=+⨯+==⨯；当3n =时，331(3)5231144818f -=+⨯+==⨯；当4n =时，441(4)5231680885f -=+⨯+==⨯．（2）猜想：当*n N ∈时，1()5231n n f n -=+⨯+能被8整除． ①当1n =时，有111(1)52318f -=+⨯+=能被8整除，命题成立． ②假设当n k =时，命题成立，即()f k 能被8整除，那么当1n k =+时，有1(1)11(1)523155631k k k k f k ++--+=+⨯+=⨯+⨯+111(5231)4(53)()4(53)k k k k k k f k ---=+⨯+++=++．这里，5k 和13k -均为奇数，它们的和1(53)k k -+必为偶数，从而14(53)k k -+能被8整除．又依归纳假设，()f k 能被8整除，所以(1)f k +能被8整除．这就是说，当1n k =+时，命题也成立．根据（1）和（2），可知命题对任何*n N ∈都成立．变式：求证当n 取正奇数时，n n x y +能被x y +整除。

高二数学选修2-2《数学归纳法(1)》教案

课题：数学归纳法（1）教学目标：1．理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤． 2．通过数学归纳法的学习，体会从特殊到一般的思想方法．教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法．教学难点：数学归纳法中（利用归纳假设）证明归纳递推．教学过程：一、问题引入1．问题情境：很多同学小时候都玩过这样的游戏，就是一种码放砖头的游戏，码放时保证任意相邻的两块砖头，若前一块砖头倒下，则一定导致后一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下（这种游戏称为多米诺骨牌游戏）．思考这个游戏中，能使所有砖头全部倒下的条件是什么？只要满足以下两个条件，所有的砖头都能倒下：（1）推倒第一块砖头；（2）保证前一块砖头倒下后一定能击倒下一块砖．思考你认为条件（2）的作用是什么？确保所有的砖头都能倒下，使得游戏能够进行下去思考如果条件（1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？若数列{}0()n n a a n N >∈+中，，前n 项和为nn n n a a S S 12,+=且，求它的通项公式。

思考：计算可得12341,1,2a a a a ====猜想：n a =但这种根据前几项得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明．要证明这个猜想，同学们自然就会从n ＝5开始一个个往下验证，当n 较小时可以逐个验证，但当n 较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n 取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立．思考？你认为证明数学的通项公式是n a =，这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？1k a +=证明：（1）．当n=1时，11a ==，成立（2）假设，假设()*1,n k k k N =≥∈时，k a =则当1n k =+时，11111112k k k k k kk a S S aa a a ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1111k k k k a a a a++-=--==-，所以21110k k a +++-=，其中△()4441k k =+=+，于是12k a +-==10k a +>，所以1k a +=即当1n k =+时结论成立；由（1）（2）得)n a n N +=∈.二、知识生成数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据。