已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根

学生在学习一元二次方程时有这样一道题：

已知关于x 的一元二次方程(1-2k) x 2-22k+1 x －1=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范

围．本题的考点是：一元二次方程的定义及根的判别式；二次根式有意义的条件．

错解一：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，则△=b 2-4ac ＞0。

∴△=b 2-4ac=（-2 ）2-4×（1-2k ）×（-1）=8-4k ＞0，∴k ＜2∴当k ＜2时，一元二次方程有两个不相等的实数根。

分析：错解原因只考虑根的判别式，没有考虑其他条件。

错解二：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，则△=b 2-4ac ＞0。

∴△=b 2-4ac=（-2 ）2-4×（1-2k ）×（-1）=8-4k ＞0，∴k ＜2

又∵二次项系数1-2k ≠0即k ≠12 ∴当k ＜2且k ≠12

时，一元二次方程有两个不相等的实数根

分析：错解原因没有考虑二次根式有意义的条件．

错解三：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，则△=b 2-4ac ＞0。

∴△=b 2-4ac=（-2 ）2-4×（1-2k ）×（-1）=8-4k ＞0，∴k ＜2

又∵k+1≥0，即k ≥-1∴当-1≤k ＜2时，一元二次方程有两个不相等的实数根

分析：错解原因没有考虑一元二次方程二次项系数不能为0.

正确解法：∵1-2k ≠0∴k ≠12

∵k+1≥0，∴k ≥-1

∵△=b 2-4ac=（-2 ）2-4×（1-2k ）×（-1）=8-4k ＞0，

∴k ＜2

综合所述，当-1≤k ＜2且k ≠12

时，一元二次方程有两个不相等的实数根

点评：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根