函数的单调性函数极值的第一判别法PPT课件
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函数的单调性与极值理
(1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上严格单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上严格单调减少. •说明
1、判别法中的开区间可换成其他各种区间. 2、判别法中如果f(x)严格增大(减小)，只能得出 f (x)≥0 (≤0)
如： 函数f(x)=x3在(, )上严格单调增加 但 f (0) =0
•函数单调性的判别法 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.
(1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上严格单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上严格单调减少.
（1）两类点定义的出发点不同。
极值点是指函数在这一点处的函数值大于或小于该点 邻域内任何其它点的函数值；
驻点是指导数为零的点
因此极值点可以是可导点也可以是不可导点，而驻点 一定是可导点。
（2）极值点成为驻点的条件：若函数在区间内可导， 则函数的极值点一定是驻点，反之不成立；
（3）驻点成为极值点的条件：若f (x)在驻点左右邻域 内符号相反，则此驻点一定为极值点
y=2x39x212x3
例 例3 4. . 讨 论 函 数 y = 3 x 2 的 单 调 性 . 解 函数的定义域为(, ). y = 2 ( x 0 ) , 函 数 在 x = 0 处 不 可 导 . 3 3 x 因为x<0时, y<0, 所以函数在(, 0] 上单调减少
因为x>0时, y>0, 所以函数在[0, )上单调增加.
故函数f(x) 在x=0处取 得极小值f(0)=0.
y = 3 x2
•说明
1、判别法中的开区间可换成其他各种区间. 2、判别法中如果f(x)严格增大(减小)，只能得出 f (x)≥0 (≤0)
如： 函数f(x)=x3在(, )上严格单调增加 但 f (0) =0
•函数单调性的判别法 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.
(1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上严格单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上严格单调减少.
（1）两类点定义的出发点不同。
极值点是指函数在这一点处的函数值大于或小于该点 邻域内任何其它点的函数值；
驻点是指导数为零的点
因此极值点可以是可导点也可以是不可导点，而驻点 一定是可导点。
（2）极值点成为驻点的条件：若函数在区间内可导， 则函数的极值点一定是驻点，反之不成立；
（3）驻点成为极值点的条件：若f (x)在驻点左右邻域 内符号相反，则此驻点一定为极值点
y=2x39x212x3
例 例3 4. . 讨 论 函 数 y = 3 x 2 的 单 调 性 . 解 函数的定义域为(, ). y = 2 ( x 0 ) , 函 数 在 x = 0 处 不 可 导 . 3 3 x 因为x<0时, y<0, 所以函数在(, 0] 上单调减少
因为x>0时, y>0, 所以函数在[0, )上单调增加.
故函数f(x) 在x=0处取 得极小值f(0)=0.
y = 3 x2
•说明
函数的单调性和最值PPT精品课件
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。
函数的单调性极值与最值课件
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1
) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
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推论
如果在区间(a,b)内恒有f ''(x) 0(或f ''(x) 0). 且使得f ''(x) 0的点只是一些离散的点，则函 数曲线y f (x)在区间(a,b)内上凹（或下凹）
综上,f (x)在(0,1)内只有一个零点，即方 程f (x)=0,亦即xex 2在(0,1)内仅有一个实根.
例6 设f (x)在[a, b]上连续，且在(a, b)内f ''(x) 0,
证明 f (x) f (a) 在(a, b)内单调增加. xa
证明 设F (x) f (x) f (a) , x (a,b) xa
而F ' (x)
f ' (x)(x a) f ' ( )(x a)
(x a)2
f ' (x) f ' ( ) 0,
xa F (x) f (x) f (a) 在(a,b)内单调递增.
函数的单调性 PPT精品课件
3 x 证明：令 f ( x) sin x x , 则 f (0) 0, 3!
x2 f ( x) cos x 1 , 2
f ( x) sin x x.
当x 0时, sin x x, 故在 (0,)内 f ( x) 0,
因此 , f ( x)在[0,)单调上升 , 又 f (0) 0,
六、教学过程设计
问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图 象，并且观察函数变化规律？
y
2 1 -2 -1 O 1 2
y=2x y= -2x
x
-2 -1
y
2 1 O 1 2
y
y=x2+1
1
x
-1 -2
-1 -2
O
1
x
增函数、减函数 问题2 ？ ？
单调性是局部性质
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是:
⑴ 确定 f ( x) 的定义域；
⑵ 求 f ( x ) ，令 f ( x) 0 求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间；
⑷ 判别 f ( x ) 在每个开区间内的符号，即可
确定 f ( x) 的严格单调性（严格单调区间）.
f (0) 0, f ( x) e x 1.
当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0); 当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0).
从而得证.
x3 例4. 证 明 当 x 0时, sin x x . 3!
∴函数
2
2 1
f ( x) x 2 1
x2 f ( x) cos x 1 , 2
f ( x) sin x x.
当x 0时, sin x x, 故在 (0,)内 f ( x) 0,
因此 , f ( x)在[0,)单调上升 , 又 f (0) 0,
六、教学过程设计
问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图 象，并且观察函数变化规律？
y
2 1 -2 -1 O 1 2
y=2x y= -2x
x
-2 -1
y
2 1 O 1 2
y
y=x2+1
1
x
-1 -2
-1 -2
O
1
x
增函数、减函数 问题2 ？ ？
单调性是局部性质
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是:
⑴ 确定 f ( x) 的定义域；
⑵ 求 f ( x ) ，令 f ( x) 0 求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间；
⑷ 判别 f ( x ) 在每个开区间内的符号，即可
确定 f ( x) 的严格单调性（严格单调区间）.
f (0) 0, f ( x) e x 1.
当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0); 当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0).
从而得证.
x3 例4. 证 明 当 x 0时, sin x x . 3!
∴函数
2
2 1
f ( x) x 2 1
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
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03
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切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
《函数极值》课件
详细描述
举例
考虑函数$f(x) = x^3$，其一阶导数 为$f'(x) = 3x^2$，在$x=0$处，一 阶导数由正变负，故函数在$x=0$处 取得极小值。
当一阶导数在某点的左右两侧由正变 负或由负变正时，函数在该点取得极 值。
二阶导数判定法
总结词
通过判断二阶导数的正负来判断 函数在某点的极值。
01
02
03
04
梯度下降法
通过计算目标函数的梯度，沿 着梯度负方向寻找最小值。
牛顿法
通过构造目标函数的Hessian 矩阵，求解方程组得到最优解
。
遗传算法
模拟生物进化过程的自然选择 和遗传机制，通过迭代搜索最
优解。
模拟退火算法
模拟固体退火过程的随机搜索 算法，能够在全局范围内找不同的分类标准，可以将极值分为两类。第一类极值 是相对较小的极值，而第二类极值则是相对较大的极值。
单侧极值和双侧极值
根据定义，单侧极值是指函数在某一点的左侧或右侧存在 单调性改变的极值点；而双侧极值则是指函数在某一点的 两侧都存在单调性改变的极值点。
02
极值的判定
一阶导数判定法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 在某点的极值。
在物理领域的应用
运动轨迹分析
在物理学中，极值原理可以用于分析物体的运动轨迹。例如，在分析行星的运动 轨迹时，可以利用极值原理确定行星在各个时刻的位置和速度。
能量最小化
在力学和电磁学等领域，极值原理可以用于寻找系统能量的最小值。例如，在分 析弹簧振荡器的运动时，可以利用极值原理确定振荡器的平衡位置和能量最小值 。
详细描述
当二阶导数在某点的左右两侧符号 相反时，函数在该点取得极值。
高等数学课件3-4单调性的判别法
图像法：通过绘制函数的图 像来判断单调性
反证法：通过假设函数在某 区间内不单调，然后推导出
矛盾来证明函数的单调性
判定定理的局限性
判定定理不适 用于所有函数， 只适用于连续
函数。
对于不连续的 函数，判定定 理可能无法准 确判断单调性。
对于一些特殊 函数，如周期 函数或分段函 数，判定定理 的应用可能有
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单调性的定义
单调性是指函数在某点或某区间上的增减性 单调性分为单调递增和单调递减两种 单调递增是指函数在某点或某区间上的值随着自变量的增加而增加 单调递减是指函数在某点或某区间上的值随着自变量的增加而减少
添加标题
单调性的传递性是判断复合函数单调性的重要工具，可以帮助我们快速判断复合函数的单调性。
添加标题
单调性的传递性还可以推广到多元函数的情况，即如果函数f(x)在区间[a, b]上对每个自变量都 单调递增，且g(x)在区间[a, b]上也对每个自变量都单调递增，那么复合函数f(g(x))在区间[a, b]上也是单调递增的。
添加标题
定义：如果一个函数f(x)在定义域内对任意x1,x2满足x1<x2时，都有f(x1)<=f(x2)， 则称f(x)在定义域内单调递增。
添加标题
性质：单调递增的函数在定义域内没有最大值，只有最小值。
添加标题
例子：y=x^2, y=e^x, y=sinx, y=cosx等都是单调递增的函数。
添加标题
不等式证明是数 学中的一个重要 问题，通常需要 利用单调性来证 明
单调性可以用于 证明不等式，例 如利用函数的单 调性来证明不等 式成立
最新2019-函数的单调性、极值与最值-PPT课件
(2)一般地，可导函数f(x)在(a，b) 上是增(减)函数的充要条件是：对任 意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)， 且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒 等于零．特别是在已知函数的单调性
求参数的取值范围时，要注意等号是 否可以取到．
课堂互动讲练
(2009年高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x) ＝x4－3x2＋6.
课堂互动讲练
(解题示范)(本题满分14分) 4.已知x>0，证明：
不等式1+ x2－x82< 1＋x<1＋x2.
练习
1.设函数f(x)=x-a(x-1)ln(x+1)(x>-1,a 0) 1.求f(x)的单调区间
2.a=1方程f(x)=t在-1/2,1上有两个实数解
求t的取值范围 3.证明：当mn 0时，（1+m)n (1n)m
1．(2019年高考江苏卷)函数 f(x)＝x3－ 15x2－33x＋6的单调 减区间为________．
三基能力强化
2．已知对任意x∈R，恒有f(－x) ＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时， f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时有f′(x)， g′(x)的正负情况为________．
三基能力强化
3．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋ d(a>0)，则f(x)为增函数的充要 条件是________．
三基能力强化
4．三次函数y＝f(x)＝ax3 ＋x在x∈(－∞，＋∞)内是增 函数，则a的取值范围是 ________．
课堂互动讲练
利用导数研究函数的单调性应注意 以下两点：
(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分条件， 而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x) ＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某 个区间上的单调性．
《函数的极值问题》课件
在物理问题中的应用
总结词
极值理论在物理领域的应用也十分广泛 ，它可以帮助我们解释各种物理现象， 预测物质的运动规律。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
在物理学中，许多物理现象都可以通过极 值理论来解释，如物体下落、弹性碰撞、 电磁波传播等。通过分析这些现象对应的 物理函数，我们可以找到它们的极值点， 从而理解物质的运动规律和相互作用机制 。
05
极值的应用
Chapter
在最优化问题中的应用
总结词
极值理论是解决最优化问题的关键工具之一，它可以帮助我 们找到函数在某个区间内的最大值或最小值。
详细描述
在许多实际应用中，如工程设计、生产计划、金融投资等， 我们经常需要找到某个目标函数的最优解，即最大值或最小 值。通过分析函数的极值点，我们可以确定这些最优解的位 置，从而为实际问题的解决提供指导。
证明极值第一充分条件的关键在于理解导数的定义 和性质，以及函数极值的定义。首先，根据导数的 定义，如果函数在某一点的导数为零，那么函数在 该点可能取得极值。然后，根据函数极值的定义， 如果函数在某一点的导数在其两侧变号，那么函数 在该点一定取得极值。这两个条件共同构成了极值 的第一充分条件。
定理应用
在经济问题中的应用
总结词
极值理论在经济领域的应用十分广泛，它可以帮助我们分析各种经济指标的变化趋势， 预测未来的经济走势。
详细描述
在经济学中，许多经济指标都是随着时间变化的函数，如GDP、CPI、利率等。通过分 析这些指标的极值点，我们可以了解经济活动的周期性变化规律，从而为政策制定和投
资决策提供依据。
03
极值的第二充分条件
Chapter
定理表述
ppt-0302--函数单调性与极值、最值
y
b a
2 2
x y
(X
x).
令Y=0，得切线在x轴上的截距 X
a
2
.
x
令X=0，得切线在y轴上的截距 Y b2 . y
可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为
S 1 XY a2b2 .
2
2xy
yb a
a2
x2 ,
S
a2b2 2xb a2 b2
a
(0 x a).
但是S最小当且仅当其分母 2bx a2 x2最大. a
令f (x) 0， 得到f (x)的驻点x1 1，x2 4.
f (1) 11，f (1) 41，f (2) 2,
6
6
3
可知f (x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
最大值为f (1) 11. 6
最小值点为x 1，最小值为f (1) 41. 6
2
例6 设f (x) 1 2 (x 2)3，求f (x)在[0,3]上的最大值与 3
令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. y 12x2 16x 12.
y |x1 12 16 12 16 0
y |x0 12 0 y |x3 48 0
可知x1 1为函数的极小值点,
相应的极小值为y
| x 1
7. 3
x2 0为函数的极大值点，
相应极小大值为y |x0 0.
又因a，b为正常数，x a2 x2 0,
所以S最小当且仅当u x2 (a2 2x2 )最大.由于
u 2a2x 4x3 2x(a2 2x2 ),
令u 0，解出在(0,a)内的唯一驻点x0
2 a. 2
此时y0
2 b. 2
S a2b2 ab.
函数的极值ppt课件
●
四 、不含参数的函数求极值
变式训练 求下列函数的极值：
(1)f(x)=x²e-×;
[解析](1)函数f(X) 的定义域为R,
f(x)=2xe-×+x²·e-×.(-x)'=2xe-×-x²e-×=x(2-x)e-×.
令f'(x)=0,得x(2-x)e-×=0,解得x=0 或x=2. 当x变化时，f'(x),f(x) 的变化情况如表所示：
2.对极值概念的再理解 (1 )极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是 最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；
(2 ) 一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系； (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (5)单调函数一定没有极值.
e
f'(x)
十
0
f(x)
1
e
故当- 时，函数(x)取得极大值，且极大值为
●
(e,+0)
《
3求含参函数的极值
例2 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R) ,求函数f(x)的极值.
①当a ≤0时，f(x)>0, 函数f(x)为(0,+0)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0 时，令f'(x)=0, 解得x=a,
课堂小结
y
f'(x₀)=0
f'(x)>0
f'(x)<0
y
f'(x <0
f'(x,)=0 f(x)
>0
a Xo b
函数的单调性与凹凸性的判别法演示精品PPT课件
f ( x) f ( ), x
f ( x) 0.
说明 f ( x) 在 (a,b) 的子区间 ( , ) 上恒为 0。矛盾！
f ( x) 严格上升。
9
例 1. 证明当x 1时，有 x ln(1 x) x，
1 x 等号成立当且仅当 x 0；
证明：当 x 0 时，显然等号成立。只 须证 1 x 0 与 x 0
则称 f ( x) 在 (a,b) 内单调递增或单调递减 。
5
定理1
设 f ( x) C[a,b]，且 f ( x) D(a,b)，则 1). f ( x) 在[a,b] 上升 f ( x) 0； 2). f ( x) 在[a,b] 下降 f ( x) 0。
证明：10. "" f ( x) 在 [a,b] 上升， x (a,b)，由
1
特别地，当 x0 0 时，有：
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn o( xn )
2!
n!
带 Peano 余项的 Maclaurin 公式。
2. 带Lagrange余项的Taylor公式：
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
13
3. 求函数f ( x) x2ex在[0,)上的最大值。
解： f ( x) 2 xex x2ex xex (2 x)
当 0 x 2 时，f ( x) 0; x 2 时，f ( x) 0.
7
定理2 f ( x) 在 [a,b] 上严格单调上升或下降
1). f ( x) 0 或 f ( x) 0； 2). f ( x) 不在 (a,b) 的任意子区间内恒为 0。
证明： ""设 f ( x) 在 [a,b] 上严格上升，由 th.1 知，10 成立。
f ( x) 0.
说明 f ( x) 在 (a,b) 的子区间 ( , ) 上恒为 0。矛盾！
f ( x) 严格上升。
9
例 1. 证明当x 1时，有 x ln(1 x) x，
1 x 等号成立当且仅当 x 0；
证明：当 x 0 时，显然等号成立。只 须证 1 x 0 与 x 0
则称 f ( x) 在 (a,b) 内单调递增或单调递减 。
5
定理1
设 f ( x) C[a,b]，且 f ( x) D(a,b)，则 1). f ( x) 在[a,b] 上升 f ( x) 0； 2). f ( x) 在[a,b] 下降 f ( x) 0。
证明：10. "" f ( x) 在 [a,b] 上升， x (a,b)，由
1
特别地，当 x0 0 时，有：
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn o( xn )
2!
n!
带 Peano 余项的 Maclaurin 公式。
2. 带Lagrange余项的Taylor公式：
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
13
3. 求函数f ( x) x2ex在[0,)上的最大值。
解： f ( x) 2 xex x2ex xex (2 x)
当 0 x 2 时，f ( x) 0; x 2 时，f ( x) 0.
7
定理2 f ( x) 在 [a,b] 上严格单调上升或下降
1). f ( x) 0 或 f ( x) 0； 2). f ( x) 不在 (a,b) 的任意子区间内恒为 0。
证明： ""设 f ( x) 在 [a,b] 上严格上升，由 th.1 知，10 成立。
专转本第三章微分中值定理.ppt
解 f (x) 12x3 12x2 12x2(x 1),
令 f (x) 0 得驻点: x 0, 1.
f (x) 36x2 24x 12x(3x 2)
f (0) 0, f (1) 12 0.
由极值第二判别法, x=1时, f (x)有极小值: f (1)=4. 由于 f (0) 0 所以,需用极值第一判别法判定:
当x 0时, f ( x) 0; 当x 0( x 1)时, f ( x) 0
从而 x 0 时, f (x) 无极值.
三、最大值、最小值问题
1 求连续函数f (x)在[a, b]上的最值：
（1）计算函数驻点与不可导点处的函数值；
（2）计算区间端点处的函数值；
（3）对以上两类函数值进行比较即得。
e2 4r
则 f (x0) 是f (x)的极小值； (iii) 若在x0的两侧，f (x)不变号，
则f (x0)不是极值。
例4 求 f ( x) ( x 1) 3 x2 的极值点与极值。
解 定义域（-∞，+∞）
f
( x)
2
x3
2
(x
1) x
1 3
5x
2
,
3
33 x
当x 2时, f ( x) 0; 5
注2： 在实际问题中，往往根据问题的性质，就可断定 可导函数f (x)在其区间内部确有最大值（或最小值）， 此时，如果确定f (x)在这个区间内部只有一个驻点x0 （或导数不存在的点）， 那么，这个点就是函数的最值点
2 实际问题中最值的求法
例7 如图所示为稳压电源回路，电动势为e,内阻为r, 负载电阻为R，问R为多大时，输出功率最大？
例3 当x 0时,试证x ln(1 x)成立. 证 设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
令 f (x) 0 得驻点: x 0, 1.
f (x) 36x2 24x 12x(3x 2)
f (0) 0, f (1) 12 0.
由极值第二判别法, x=1时, f (x)有极小值: f (1)=4. 由于 f (0) 0 所以,需用极值第一判别法判定:
当x 0时, f ( x) 0; 当x 0( x 1)时, f ( x) 0
从而 x 0 时, f (x) 无极值.
三、最大值、最小值问题
1 求连续函数f (x)在[a, b]上的最值：
（1）计算函数驻点与不可导点处的函数值；
（2）计算区间端点处的函数值；
（3）对以上两类函数值进行比较即得。
e2 4r
则 f (x0) 是f (x)的极小值； (iii) 若在x0的两侧，f (x)不变号，
则f (x0)不是极值。
例4 求 f ( x) ( x 1) 3 x2 的极值点与极值。
解 定义域（-∞，+∞）
f
( x)
2
x3
2
(x
1) x
1 3
5x
2
,
3
33 x
当x 2时, f ( x) 0; 5
注2： 在实际问题中，往往根据问题的性质，就可断定 可导函数f (x)在其区间内部确有最大值（或最小值）， 此时，如果确定f (x)在这个区间内部只有一个驻点x0 （或导数不存在的点）， 那么，这个点就是函数的最值点
2 实际问题中最值的求法
例7 如图所示为稳压电源回路，电动势为e,内阻为r, 负载电阻为R，问R为多大时，输出功率最大？
例3 当x 0时,试证x ln(1 x)成立. 证 设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
函数的单调性与最值课件共20张PPT
那么就称函数f(x)在区间D上单 那么就称函数f(x)在区间D上单
调递增
调递减
∀x1，x2∈D 且 x1≠x2，有fxx11－ －fx2x2>0(<0)或
(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]>0(<0)⇔ f(x) 在区 间 D 上单 调递 增
(减).
复习回顾
图象 描述
自左向右看图象是上升的
解析
令
x2＋4＝t，则
t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝ t2
＋t 1＝t＋1 1，
t
设 h(t)＝t＋1，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数， t
∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤15＝25(x＝0 时取等号)． 2
即 y 的最大值为2. 5
求函数最值的三种基本方法：
一．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 二．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性 变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
调递增
调递减
∀x1，x2∈D 且 x1≠x2，有fxx11－ －fx2x2>0(<0)或
(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]>0(<0)⇔ f(x) 在区 间 D 上单 调递 增
(减).
复习回顾
图象 描述
自左向右看图象是上升的
解析
令
x2＋4＝t，则
t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝ t2
＋t 1＝t＋1 1，
t
设 h(t)＝t＋1，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数， t
∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤15＝25(x＝0 时取等号)． 2
即 y 的最大值为2. 5
求函数最值的三种基本方法：
一．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 二．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性 变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
函数的单调性函数极值的第一判别法PPT课件
(1 x)2 在(,2), (0,)内函数单调增加； 在内函数(2,1), (1,0)内单调减少
Ex3 4(5) y x 4 2x2 3 函数得定义域(,), 令 y 4x3 4x 4x(x 1)(x 1) 0, 得驻点 x -1, x 0, x 1, 在 (-,-1),(0,1)内函数单调减少; 在(1,0), (1,)内函数单调增加.
Ex3 7. 求下列函数得极值点和极值 :
7(1) y 2 x - x 2
令 y 1- 2x 0, 得驻点 x 1 , 2
因为在 (-, 1 )内y 0,函数单调增加, 2
在( 1 ,)内y 0 ,函数单调减少, 2
所以函数在点 x 1 处取得极大值 y 9 .
2
4
Ex3 7(3) y x - ex
区间的导数符号来判定.
第一充分条件 判别法
第二充分条件
由该点附近两边区间的导数符 号是否变号来判定.
被判定点的二阶导数必须存
要求条件强，但只须 在，由该点二阶导数的符号来
由一点的导数符号来判定. 判定.
Ex3 习题解答:
Ex3 4. 求下列函数的单调区间: x2
(4) y 1 x
函数的定义域为(-,-1) (-1,), f (x) x(2 x) , 令 f (x) 0, 得驻点 x -2，x 0.
(3) f (x)不改变符号，则x0不是极值点.
y
y
(不是极值点情形)
o
x0
xo
x0
x
求极值的步骤:
(1) 求导数 f (x); (2) 求驻点，即方程 f (x) 0 的根;
(3) 检查 f (x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求极值.
例1 求出函数 f (x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f (x) 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3) 令 f (x) 0，得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
Ex3 4(5) y x 4 2x2 3 函数得定义域(,), 令 y 4x3 4x 4x(x 1)(x 1) 0, 得驻点 x -1, x 0, x 1, 在 (-,-1),(0,1)内函数单调减少; 在(1,0), (1,)内函数单调增加.
Ex3 7. 求下列函数得极值点和极值 :
7(1) y 2 x - x 2
令 y 1- 2x 0, 得驻点 x 1 , 2
因为在 (-, 1 )内y 0,函数单调增加, 2
在( 1 ,)内y 0 ,函数单调减少, 2
所以函数在点 x 1 处取得极大值 y 9 .
2
4
Ex3 7(3) y x - ex
区间的导数符号来判定.
第一充分条件 判别法
第二充分条件
由该点附近两边区间的导数符 号是否变号来判定.
被判定点的二阶导数必须存
要求条件强，但只须 在，由该点二阶导数的符号来
由一点的导数符号来判定. 判定.
Ex3 习题解答:
Ex3 4. 求下列函数的单调区间: x2
(4) y 1 x
函数的定义域为(-,-1) (-1,), f (x) x(2 x) , 令 f (x) 0, 得驻点 x -2，x 0.
(3) f (x)不改变符号，则x0不是极值点.
y
y
(不是极值点情形)
o
x0
xo
x0
x
求极值的步骤:
(1) 求导数 f (x); (2) 求驻点，即方程 f (x) 0 的根;
(3) 检查 f (x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求极值.
例1 求出函数 f (x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f (x) 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3) 令 f (x) 0，得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
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.
19
定理3.6(极值判别法Ⅰ)
设函数 f (x)在点x0的邻域内连续且允 可许 导（
f (x0)不存在 ,当） x由小增大经 x0点 过时，若
（1）f(x由 ) 正变负， x0是 则极大值点；
（2）f(x由 ) 负变正x， 0是则 极小值点；
(3) f(x不 ) 改变符号 x0不， 是则 极.值点
6(x2)(x1)3(x1)
由f(x)0，求x得 2,x1,x1. 这三个 点将函数的定 四义 个域 子: 分 区为 间
(, 2 )(, 2 , 1 )(, 1 ,1 )和 (1 , ).
于是列表分析如下：
.
11
x2,x1,x1
由f(x)6(x2)(x1)3(x1)注意观察 确定函数的单调性
x (-∞,-2) -2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
.
7
单调区间求法:
定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单 调的，则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点．
方法: 用方程 f(x)0的根及 f(x)不存在的 点来划分f函 (x)的 数定义区 ,然间 后判断区间 导数的符 . 号
.
8
例1 确定函数
f(x)36x5 15x4 40x37 的单调.区间
在 x 0 处 取 得 极 值 ,那 末 必 定 f'(x 0 ) 0 .
定义: 使导数(为 即零 方 f(x的 程 )0的 点实 ) 根 叫做f函 (x)的 数 驻 . 点
注意: 可导函数 f (x)的极值点必定是它 点,的驻
但函数的驻点却不 是一 极定 值.点
例如 y x 3 , y x0 0, 但x 0不是极值点.
(a,b)内单调增加；
(2) 如果(在 a,b)内， f (x)0，那末函 f(x数 )在
(a,b)内单调减 . 少
（证明略）
.
6
例 讨论函y数ex x1的单调. 性
解 y ex 1.
又 D:(,).
在(,0)内, y 0, 函数单调减少；
在(0,)内, y 0, 函数单调增加 .
函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数 在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导 数符号来判别一个区间上的单调性．
极值是一个局部的概念,它只是与极值点邻近的 点的函数值相比是较大或较小,而不意味着它在函数 的整个定义区间为最大或最小.这从下面的图象中可 以体现出来.
.
17
极值和极值点的几何示意:
y
yf(x)
a o x1
x2 x3
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
.
x
18
函数极值的求法:
定理3.5(必要条件) 设 f(x )在 点 x 0处 具 有 导 数 ,且
现在开始上课
.
Math3-21
授课内容
▪ 函数的单调性 ▪ 函数极值的第一判别法
.
2
知识点
▪ 用导数判断函数单调增加单调减少的方法 ▪ 极值的概念 ▪ 极值存在的必要条件 ▪ 极值的第一判别法
重点
函数单调性的判定与图像增减的描述 极值的概念和判定
.
3
3.3 函数的单调性
.
4
一个函数在某个区间的变化规律，是研究函 数图形时首先要考虑的. 第1章里已经给出了单调 性的定义，现在讨论如何利用导数来判定函数的 单调性.
(-1,0)
y′
-
×
-
y
×
0 (0,+∞)
0
+
.
13
小结
❖ 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在 这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数 符号来判别一个区间上的单调性.
❖ 定理中的有限区间换成无限区间，结论仍然成立.
❖ 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的 分界点．
❖ 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
x
(-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,2/3) 2/3 (2/3,+∞)
x+1
-0+
+
+
3x-2
-
-
- 0+
f′(x)
+
0
-
0
-
0+
f(x)
.
10
例2 确定 f(x)(x2)2(x1)4的单调.区间
解 f(x 2 ) (2 x)-1 (4x )4 (x 2 )2 (x 1 )3 2(x2)x(1)3(x12x4)
（2）如果存在着点x0的一个邻域，对于这邻域 内的任何点x(x x0 ),总有f (x) f (x0 )，就称f (x0 )是 函数f (x)的一个极小值.
.
16
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
函数的极值点一定是区间的内点.从而区间的
端点不可能成为函数的极值点.
❖ 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数
和证明不等式.
.
14
3.4 函数的极值
3.4.1 函数的极值
.
15
定义3.1 设函数y f (x)在区间(a,b)内有定义,
x0是(a, b)内的一个点. (1) 如果存在着点x0的一个邻域，对于这邻域内
的任何点x(x x0 )，总有f (x) f (x0 )，就称f (x0 )是 函数f (x)的一个极大值；
y y
(极值点情形)
o x0
x o x0 x
.
20
定理3.6(极值判别法Ⅰ)
设函数 f (x)在点x0的邻域内连续且允 可许 导（ f (x0)不存在 ,当） x由小增大经 x0点 过时，若
x+2
- 0+
+
+
x+1
-
- 0+
+
x-1
-
-
-0+
f′(x)
-
+
-
+
f(x)
.
12
例3 确定函y数 ex 的单调.区间 1x
解yex(1x)ex xex
(1x)2
(1x)2
由 y0，解 x0 得 ；而 x当 1 时为三个 间子 ，区 列表讨论
x
(-∞,-1) -1
解f(x)18406 xx 0312x20 60x2(x1)(3x2)
解方程 f(x)0 得x1，x0，x2. 3
它们将定义域分 子成 区:四 间个
(,1),(1,0),(0, 2) 和(2,). 33
为了方便和直观，我们列表讨论函数的单调性
.
9
f(x)60 x2(x1)3 (x2)
定义域分成了四 间: 个子区 (,1),(1,0),(0, 2) 和(2,). 33
下面我们从图象上观察分析曲线上点的切线 斜率的正负与曲线的上升与下降的关系.
y
y=f(x)
y
y=f(x)
0
x0
.
x
5
单调性的判别法
y
B
y f (x)
yA
y f (x)
A
B
oa
b
x
oa
x
b
f (x) 0
f (x) 0
定理3.4 设函数 y f(x)在(a,b)内可导 .
（1）如果(在 a,b)内， f (x)0，那末函f(数 x)在