函数的单调性函数极值的第一判别法PPT课件
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极值是一个局部的概念,它只是与极值点邻近的 点的函数值相比是较大或较小,而不意味着它在函数 的整个定义区间为最大或最小.这从下面的图象中可 以体现出来.
.
17
极值和极值点的几何示意:
y
yf(x)
a o x1
x2 x3
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
.
x
18
函数极值的求法:
定理3.5(必要条件) 设 f(x )在 点 x 0处 具 有 导 数 ,且
x+2
- 0+
+
+
x+1
-
- 0+
+
x-1
-
-
-0+
f′(x)
-
+
-
+
f(x)
.
12
例3 确定函y数 ex 的单调.区间 1x
解yex(1x)ex xex
(1x)2
(1x)2
由 y0，解 x0 得 ；而 x当 1 时y， 不存 .
x 1、x 0把定义域分为三个 间子 ，区 列表讨论
x
(-∞,-1) -1
x
(-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,2/3) 2/3 (2/3,+∞)
x+1
-0+
+
+
3x-2
-
-
- 0+
f′(x)
+
0
-
0
-
0+
f(x)
.
10
例2 确定 f(x)(x2)2(x1)4的单调.区间
解 f(x 2 ) (2 x)-1 (4x )4 (x 2 )2 (x 1 )3 2(x2)x(1)3(x12x4)
y y
(极值点情形)
o x0
x o x0 x
.
20
定理3.6(极值判别法Ⅰ)
设函数 f (x)在点x0的邻域内连续且允 可许 导（ f (x0)不存在 ,当） x由小增大经 x0点 过时，若
现在开始上课
.
Math3-21
授课内容
▪ 函数的单调性 ▪ 函数极值的第一判别法
.
2
知识点
▪ 用导数判断函数单调增加单调减少的方法 ▪ 极值的概念 ▪ 极值存在的必要条件 ▪ 极值的第一判别法
重点
函数单调性的判定与图像增减的描述 极值的概念和判定
.
3
3.3 函数的单调性
.
4
一个函数在某个区间的变化规律，是研究函 数图形时首先要考虑的. 第1章里已经给出了单调 性的定义，现在讨论如何利用导数来判定函数的 单调性.
.
19
定理3.6(极值判别法Ⅰ)
设函数 f (x)在点x0的邻域内连续且允 可许 导（
f (x0)不存在 ,当） x由小增大经 x0点 过时，若
（1）f(x由 ) 正变负， x0是 则极大值点；
（2）f(x由 ) 负变正x， 0是则 极小值点；
(3) f(x不 ) 改变符号 x0不， 是则 极.值点
解f(x)18406 xx 0312x20 60x2(x1)(3x2)
解方程 f(x)0 得x1，x0，x2. 3
它们将定义域分 子成 区:四 间个
(,1),(1,0),(0, 2) 和(2,). 33
为了方便和直观，我们列表讨论函数的单调性
.
9
f(x)60 x2(x1)3 (x2)
定义域分成了四 间: 个子区 (,1),(1,0),(0, 2) 和(2,). 33
(-1,0)
y′
-
×
-
y
×
0 (0,+∞)
0
+
.
13
小结
❖ 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在 这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数 符号来判别一个区间上的单调性.
❖ 定理中的有限区间换成无限区间，结论仍然成立.
❖ 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的 分界点．
❖ 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
6(x2)(x1)3(x1)
由f(x)0，求x得 2,x1,x1. 这三个 点将函数的定 四义 个域 子: 分 区为 间
(, 2 )(, 2 , 1 )(, 1 ,1 )和 (1 , ).
于是列表分析如下：
.
11
wenku.baidu.com
x2,x1,x1
由f(x)6(x2)(x1)3(x1)注意观察 确定函数的单调性
x (-∞,-2) -2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
.
7
单调区间求法:
定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单 调的，则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点．
方法: 用方程 f(x)0的根及 f(x)不存在的 点来划分f函 (x)的 数定义区 ,然间 后判断区间 导数的符 . 号
.
8
例1 确定函数
f(x)36x5 15x4 40x37 的单调.区间
❖ 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数
和证明不等式.
.
14
3.4 函数的极值
3.4.1 函数的极值
.
15
定义3.1 设函数y f (x)在区间(a,b)内有定义,
x0是(a, b)内的一个点. (1) 如果存在着点x0的一个邻域，对于这邻域内
的任何点x(x x0 )，总有f (x) f (x0 )，就称f (x0 )是 函数f (x)的一个极大值；
下面我们从图象上观察分析曲线上点的切线 斜率的正负与曲线的上升与下降的关系.
y
y=f(x)
y
y=f(x)
0
x0
.
x
5
单调性的判别法
y
B
y f (x)
yA
y f (x)
A
B
oa
b
x
oa
x
b
f (x) 0
f (x) 0
定理3.4 设函数 y f(x)在(a,b)内可导 .
（1）如果(在 a,b)内， f (x)0，那末函f(数 x)在
在 x 0 处 取 得 极 值 ,那 末 必 定 f'(x 0 ) 0 .
定义: 使导数(为 即零 方 f(x的 程 )0的 点实 ) 根 叫做f函 (x)的 数 驻 . 点
注意: 可导函数 f (x)的极值点必定是它 点,的驻
但函数的驻点却不 是一 极定 值.点
例如 y x 3 , y x0 0, 但x 0不是极值点.
（2）如果存在着点x0的一个邻域，对于这邻域 内的任何点x(x x0 ),总有f (x) f (x0 )，就称f (x0 )是 函数f (x)的一个极小值.
.
16
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
函数的极值点一定是区间的内点.从而区间的
端点不可能成为函数的极值点.
(a,b)内单调增加；
(2) 如果(在 a,b)内， f (x)0，那末函 f(x数 )在
(a,b)内单调减 . 少
（证明略）
.
6
例 讨论函y数ex x1的单调. 性
解 y ex 1.
又 D:(,).
在(,0)内, y 0, 函数单调减少；
在(0,)内, y 0, 函数单调增加 .
函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数 在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导 数符号来判别一个区间上的单调性．
.
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极值和极值点的几何示意:
y
yf(x)
a o x1
x2 x3
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
.
x
18
函数极值的求法:
定理3.5(必要条件) 设 f(x )在 点 x 0处 具 有 导 数 ,且
x+2
- 0+
+
+
x+1
-
- 0+
+
x-1
-
-
-0+
f′(x)
-
+
-
+
f(x)
.
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例3 确定函y数 ex 的单调.区间 1x
解yex(1x)ex xex
(1x)2
(1x)2
由 y0，解 x0 得 ；而 x当 1 时y， 不存 .
x 1、x 0把定义域分为三个 间子 ，区 列表讨论
x
(-∞,-1) -1
x
(-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,2/3) 2/3 (2/3,+∞)
x+1
-0+
+
+
3x-2
-
-
- 0+
f′(x)
+
0
-
0
-
0+
f(x)
.
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例2 确定 f(x)(x2)2(x1)4的单调.区间
解 f(x 2 ) (2 x)-1 (4x )4 (x 2 )2 (x 1 )3 2(x2)x(1)3(x12x4)
y y
(极值点情形)
o x0
x o x0 x
.
20
定理3.6(极值判别法Ⅰ)
设函数 f (x)在点x0的邻域内连续且允 可许 导（ f (x0)不存在 ,当） x由小增大经 x0点 过时，若
现在开始上课
.
Math3-21
授课内容
▪ 函数的单调性 ▪ 函数极值的第一判别法
.
2
知识点
▪ 用导数判断函数单调增加单调减少的方法 ▪ 极值的概念 ▪ 极值存在的必要条件 ▪ 极值的第一判别法
重点
函数单调性的判定与图像增减的描述 极值的概念和判定
.
3
3.3 函数的单调性
.
4
一个函数在某个区间的变化规律，是研究函 数图形时首先要考虑的. 第1章里已经给出了单调 性的定义，现在讨论如何利用导数来判定函数的 单调性.
.
19
定理3.6(极值判别法Ⅰ)
设函数 f (x)在点x0的邻域内连续且允 可许 导（
f (x0)不存在 ,当） x由小增大经 x0点 过时，若
（1）f(x由 ) 正变负， x0是 则极大值点；
（2）f(x由 ) 负变正x， 0是则 极小值点；
(3) f(x不 ) 改变符号 x0不， 是则 极.值点
解f(x)18406 xx 0312x20 60x2(x1)(3x2)
解方程 f(x)0 得x1，x0，x2. 3
它们将定义域分 子成 区:四 间个
(,1),(1,0),(0, 2) 和(2,). 33
为了方便和直观，我们列表讨论函数的单调性
.
9
f(x)60 x2(x1)3 (x2)
定义域分成了四 间: 个子区 (,1),(1,0),(0, 2) 和(2,). 33
(-1,0)
y′
-
×
-
y
×
0 (0,+∞)
0
+
.
13
小结
❖ 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在 这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数 符号来判别一个区间上的单调性.
❖ 定理中的有限区间换成无限区间，结论仍然成立.
❖ 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的 分界点．
❖ 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
6(x2)(x1)3(x1)
由f(x)0，求x得 2,x1,x1. 这三个 点将函数的定 四义 个域 子: 分 区为 间
(, 2 )(, 2 , 1 )(, 1 ,1 )和 (1 , ).
于是列表分析如下：
.
11
wenku.baidu.com
x2,x1,x1
由f(x)6(x2)(x1)3(x1)注意观察 确定函数的单调性
x (-∞,-2) -2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
.
7
单调区间求法:
定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单 调的，则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点．
方法: 用方程 f(x)0的根及 f(x)不存在的 点来划分f函 (x)的 数定义区 ,然间 后判断区间 导数的符 . 号
.
8
例1 确定函数
f(x)36x5 15x4 40x37 的单调.区间
❖ 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数
和证明不等式.
.
14
3.4 函数的极值
3.4.1 函数的极值
.
15
定义3.1 设函数y f (x)在区间(a,b)内有定义,
x0是(a, b)内的一个点. (1) 如果存在着点x0的一个邻域，对于这邻域内
的任何点x(x x0 )，总有f (x) f (x0 )，就称f (x0 )是 函数f (x)的一个极大值；
下面我们从图象上观察分析曲线上点的切线 斜率的正负与曲线的上升与下降的关系.
y
y=f(x)
y
y=f(x)
0
x0
.
x
5
单调性的判别法
y
B
y f (x)
yA
y f (x)
A
B
oa
b
x
oa
x
b
f (x) 0
f (x) 0
定理3.4 设函数 y f(x)在(a,b)内可导 .
（1）如果(在 a,b)内， f (x)0，那末函f(数 x)在
在 x 0 处 取 得 极 值 ,那 末 必 定 f'(x 0 ) 0 .
定义: 使导数(为 即零 方 f(x的 程 )0的 点实 ) 根 叫做f函 (x)的 数 驻 . 点
注意: 可导函数 f (x)的极值点必定是它 点,的驻
但函数的驻点却不 是一 极定 值.点
例如 y x 3 , y x0 0, 但x 0不是极值点.
（2）如果存在着点x0的一个邻域，对于这邻域 内的任何点x(x x0 ),总有f (x) f (x0 )，就称f (x0 )是 函数f (x)的一个极小值.
.
16
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
函数的极值点一定是区间的内点.从而区间的
端点不可能成为函数的极值点.
(a,b)内单调增加；
(2) 如果(在 a,b)内， f (x)0，那末函 f(x数 )在
(a,b)内单调减 . 少
（证明略）
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例 讨论函y数ex x1的单调. 性
解 y ex 1.
又 D:(,).
在(,0)内, y 0, 函数单调减少；
在(0,)内, y 0, 函数单调增加 .
函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数 在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导 数符号来判别一个区间上的单调性．