夫琅禾费衍射现象的观察和定量研究

[项目成果要求] 用计算机及其软件扫描出衍射图样，以论文形式提交。总结并撰写项目论文完成该项目（含 扫描图样） 。
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II、实验讲义
当波长λ的一束光照在线度 P 的孔上，我们可以看到光的衍射图样，这种衍射效应一般与光 孔线度 P，光的强度、光源与衍射元件及衍射元件与观察屏位置之间距离等因素相关，假定其他因 素固定，光孔线度 P 的影响大约分成三种类型：P≧1×103λ时，光的衍射效应不明显；P≈（10～ 1×103）λ时，光的衍射效应明显；P≤λ时，光开始产生散射现象，光学实验教学时，通常采用 P 能满足光衍射效应明显条件的单缝、双缝、圆孔和方孔以及光栅等为衍射元件，光衍射的实验光 路主要有光源、衍射元件和观察屏等，在光学平台上组装而成，根据光路中的三要素即光源、衍 射元件和观察屏的距离大小可以将光衍射效应大致分成两种不同的光衍射图样，一种是衍射元件 与光源和观察屏都相距无穷远，产生这种类型的光衍射叫夫琅禾费衍射，另一种是上述三者间相 距有限远，产生的光衍射叫菲涅耳衍射，本实验着重研究夫琅禾费衍射。
β = (k + (m / N )) × π , sin θ = (k + (m / N )) × λ / d
式中 k＝0,±1, ±2…；m=1, 2,3,…N-1。
（12）
在同一 k 之内共有 N-1 个零点，即有 N-2 个次极大。上式也说明 N 越大，主极强的角 宽度越小，峰越锐。 多缝衍射的强度受单缝衍射和多缝干涉的共同影响，其强度公式为：
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Iθ = I 0 (sin α α ) α = πa sin θ λ
2
(1) (2)
式中 I 0 是中心处的光强，与缝宽的平方成正比。图 3 是单缝衍射的相对光强 (Iθ I 0 ) 曲线，
中心为主极强，相对强度为 1。 图 3 单缝衍射的相对光强 除主极强外，次级强出现在 其数值为：
sin Nβ π d sin θ sin β ，β = λ
干涉因子曲线见图 6，它的特点是：
2
（10）
主极强的位置与缝的数目 N 无关，只要 β＝kπ（k＝0,±1, ±2…
） ，即满足 （11）
sin θ = kλ / d
就 出 现 主 极 强 。 此 时 sin Nβ = 0 ,
Iθ = I 0 (sin α α ) (sin Nβ sin β )
2
2
（13）
式（13）中的 a 由式（2）定义，β 由式（10）定义。
图 7 多缝衍射的强度分布 图 7 是 N=5，d=3a 的 5 缝衍射强度分布的实例。图(a)是单缝衍射因子 (b)是多缝干涉因子
(sin α α )2 ；图
1.635π 0.0175
2.233π 0
2.679π 0.0042
3.238π 0பைடு நூலகம்
[2 J1 (x ) / x]2
夫琅禾费圆孔衍射的极值表
5、光栅衍射的原理 利用全息光栅进行测量，光源采用低压汞灯，它点燃之后能发生较强的特性光谱线， 在可见区辐射的光谱波长分别为 5790A0，5770 A0，5461 A0，4358 A0，4047 A0。 根据夫琅和费衍射原理，每一单色平行光垂直投射到光栅平面上，被衍射，亮纹条件 为： dsinθ=Kλ d-----光栅常数 (K=0, ±1, ±2, ±3,· · · · · ·) λ-------单色光波长
d sin α = 0 的位置，它们是超越方程 α = tan α 的根， dα α
α ＝±1.43π，±2.46π，±3.47π……
对应的 sin θ 值为:
(3)
sin θ = ±1.43 λ a,±2.46 λ a, ±3.47 λ a
实际上衍射角度 θ 很小， sin θ ≈ θ ，所以在观察屏上的位置 OX 可近似为：
2
（15）
值见表 1。 图 8 的曲线与单缝衍射的曲线极为相似，但 图 8 圆孔衍射因子
数值上有差异。 最明显的是圆孔的零级衍射的角半径大于单缝零级衍射的角半径， 次极强的 强度也小于单缝。当然两者的衍射花样是绝对不一样的。圆孔的衍射花样是同心圆，而单缝 的衍射花样是线条。
X
0 1
1.220π 0
表1
夫琅禾费衍射现象的观察和定量研究
I、项目简介
光的衍射是人所共知的一种自然界的现象。衍射效应一般与光孔线度、光的强度、光源与衍 射元件及衍射元件与观察屏位置之间的距离等因素相关。实验室中通常采用光孔线度能满足产生 明显光衍射效应条件的单缝、多缝、圆孔和方孔以及光栅等为衍射元件。本开放实验不仅通过不 同方法观察各种衍射元件产生的衍射图样，而且通过微机扫描出各种衍射图样的光强分布图。
(4)
OX = v ⋅ θ = ±1.43 v(λ a ),±2.46v(λ a),±3.47v (λ a )
次极强的强度为： I1≈4.7%I0 ， I2≈1.7%I0 , I3≈0.8%I0
(5)
(6)
由式（6）可知，次级强的强度较主极强弱得多，如考虑到倾斜因素，其实际强度较式（6） 所得的数值还要小些。 次级强的位置和强度可近似表示为：
α ≈±（k+1/2）π，Ik≈±[（k+1/2）π] I0 k=1,2,3….
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(7)
光强为零的位置出现于 sin a =0 处， 即 α=kπ， k=±1, ±2…处， 也就是 sin θ =k×λ/a， k 的取值为±1, ±2…。 2. 矩形孔衍射的强度公式 如图 4 所示，矩形孔在 x 方向的边长为 a, y 方向为 b。观察点 p 在 y’方向的角度为 θ
这样，若对某一谱线进行观察（例如黄光λy=5790 A0）对准该谱线的某级亮纹(例如 〈 K=±1）时，求出其平均的衍射角θ y ，代入公式就可求光栅常数 d，然后可与标准比 较。本实验采用 d=1/1000 厘米的光栅。相反，若将所求得的光栅常数 d，并对绿光进行观 〈 察，求出某级亮纹（如 K=±1）的平均衍射角θ y ，代入公式，又可求出λg 。同理，可 以同级亮纹或不同亮纹的其他谱线进行观察和计算。
[项目对象] 本项目主要面向理、工、农、林各专业。
[项目目的]
了解夫琅禾费衍射的光路原理和衍射图样的形成机理及其光强分布的理论公式表达，掌握利 用微机和衍射光强自动记录系统测量各相关参数的方法。
[项目任务] 1、研究产生夫琅禾费衍射的各种光路 2、用不同方法观测夫琅禾费衍射图样及其规律 3、利用微机自动控制和测量夫琅禾费衍射光强分布及其相关参量
(sin Nβ
sin β ) ，由于 N=5，所以在两个主极强之间有 3 个次极强；图
2
(c)是两个因子共同影响所得到的实际衍射强度。干涉强度受到单缝衍射因子的调制。由于 d=3a，当干涉因子出现第三级（k=3）极大值时 (sin θ = 3λ / d ) ，正好与单缝衍射的第一个 零点 (sin θ = λ / d ) 重合，因此看不到此峰， 称为缺级。同理， 所有 k 为 3 的倍数的级如±3， ±6，….均缺级。 4、 圆孔衍射的强度公式
θ-----衍射角
由于汞灯产生不同的单色光，每一单色光有一定的波长，因此在同级亮纹时，各色光 的衍射角θ是不同的。除中央亮纹外各级可有四条不同的亮纹，按波长不同进行排列，通过 分光计观察时如（图 9）所示。
图9
6
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由式（8） 、 （9）可知，矩形孔衍射的相对强度 I(p)／I0 是两个单缝衍射因子的乘积。
图 4 矩形孔的夫琅禾费衍射示意图 3、 多缝夫琅禾费衍射强度公式
图 5 多缝间的干涉
如图 5 是多缝的示意图，每条缝的宽度均为 a，两条缝的中心距均为 d。每个单缝的衍 射强度仍与式（1）和式（2）一致。多缝与单缝衍射的最大区别在于每条缝之间存在干涉。 对相同的衍射角 θ，相邻两缝间的光程差均为 ∆L = d × sin θ ，如缝的数目为 N，则干涉引 起的强度分布因子为：
圆孔衍射的强度公式为：
I (θ ) = I 0 [2 J1 ( x ) / x ]
2
（14）
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X = (π D / λ )sin θ
式中 D 为圆孔的直径， θ 为衍射角，λ 为波 长。J1(x)是一阶贝塞尔函数，它是一个特殊函数， 其数值可在数学手册中查到。图 21－8 是圆孔衍 射因子 [2 J1 ( x ) / x ] 的曲线。其极大值和零点的数
一、实验任务 主要研究产生夫琅禾费衍射的各种光路，学会用不同方法观测夫琅禾费衍射图样及其规律， 并且利用微机自动控制和测量夫琅禾费衍射光强分布及其相关参量。 二、实验仪器 SGS-1/2 型 衍射光强自动记录系统， JJY 型分光计，可调单缝，多缝（含双缝、三缝、四缝、 五缝） ，多孔板（含各种尺度的圆孔和方孔） ，激光器，钠灯 三、实验原理 夫琅禾费衍射是指光源和观察者离衍射物体均为无穷远时的衍射。实际实验中只要满足光
2 源 S 与衍射体 D 之间的距离 u 与 D 至观察屏 P 之间的距离 v 均远大于 a / λ 就能观察到夫琅禾费
衍射现象(如图 1)。其中 a 为衍射物的孔径，λ 为光源的波长。
图 1 夫琅禾费衍射原理图 1、 单缝衍射的强度公式
图 2 单缝衍射示意图
如图 2 所示，a 为单缝的宽度，D、P 间的距离为 v，θ 为衍射角，其在观察屏上的位置为 X， X 离屏中心 O 的距离 OX = v ⋅ θ ，光源的波长为 λ。 单缝夫琅禾费衍射的光强公式为：
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附件一 SGS-1/2 型衍射光强自动记录系统使用简介
SGS-1/2 型衍射光强自动记录系统主要有激光器及电源，衍射狭缝，光学传感器（接收器） ，A/D 转换 （控制箱） ，计算机，打印机等仪器组成。在仪器的摆放中，可以根据不同的实验需要任意摆放。但必须达 到以下要求：光源与衍射狭缝的距离可以根据工作台面的大小来定，但衍射狭缝与接收控制箱中的靶面距 离要适当，尽量远些，这样接收的衍射光谱分辨率高些，但太远接收到的级次又太少，所以要适当。狭缝 刃口方面要与接收器的横向移动方向垂直。摆放示意图如下:
SGS-1/2 型衍射光强自动记录系统使用简介见附件一
四、实验内容 1、用分光计观察多缝(2~5 缝)夫琅禾费衍射图样； 2、用象面法观察多孔衍射图样； 3、利用微机和衍射光强自动记录系统扫描出单缝、多缝和多孔以及光栅的夫琅禾费衍 射光强分布图并测出这些光强分布图中的相关参量（主极强、次极强、零点、缺级 等） 。 4、测出单缝的缝宽和光栅常数的值并与理论值进行比较。
sin β = 0 , 但 sin Nβ / sin β = N 。
图 6 多缝的干涉因子
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次极强的数目等于 N-2.当 sin Nβ = 0 ，sin β ≠ 0 时，sin Nβ / sin β = 0 ,即出现强度为 零的点，也就满足：
１
，在 x’方向的角度为 θ２，则 p 点的强度为：
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I (p ) = I 0 (sin α α ) (sin Nβ sin β )
2
2
(8) (9)
α = πa sin θ1 / λ
β = πb sin θ 2 λ
激光器 光线
衍射狭缝
接收器
控制箱
USB
计算机
仪器摆放示意图 计算机控制系统操作方法 1. 工作界面介绍 进入系统后，首先弹出如图 10 的友好界面，等待用户单击鼠标或键盘上的任意键；当接收到鼠标、 键盘事件或等待五秒钟后显示工作界面，同时弹出初始化对话框（图 11） 。
图 11 图 10 当初化对话框消失后，就可以在 SGS-1 软件平台上工作了。 2. 功能介绍 (1) 基本设置 s 工作参数→起始位置：设定扫描或显示的位置起点。 s 工作参数→终止位置：设定扫描或显示的位置终止点。 s 工作参数→最大值：设定扫描的起始最大值或显示光强（相对）的最大值。 s 工作参数→最小值：设定扫描的起始最小值或显示光强（相对）的最小值。 s 工作参数→工作区刷新：工作区屏幕刷新。 s 工作参数→增益：设置放大器增益，有１－８挡可供选择。 s 工作参数→采集次数：设置每个数据的采样次数，取平均后记录下来。 s 寄存器：修改各寄存器的画线颜色。 (2) 寄存器信息 在寄存器信息显示区中显示了各寄存器的主要信息： 寄存器：显示寄存器的序号。 数据： “ ”表示寄存器中有数据，“ ”表示寄存器中无数据 显示：寄存器中保存的谱线是否处于可视状态。 点击详细信息按钮，弹出“寄存器信息”对话框。在“寄存器”下拉列表框中选择寄存器，下面的列 表框中将列出该寄存器的详细信息。点击对话框右上角的“ (3) 当前寄存器 ”按钮，关闭对话框。