中考相似与解直角三角形专题

A

2011—2012学年九年级数学（下）周末复习资料

——相似及解直角三角形专题复习

一、典型例题：

例1：（1）（2010，甘肃）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为 米.

（2）（2011浙江省）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（ ）

A . 2：5

B .14:25

C .16:25

D . 4:21

（3）（2011湖南衡阳）如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1

堤高BC =5m ，则坡面AB 的长度是（ ）

A ．10m

B ．

C ．15m

D ．

（4）（2011浙江省嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32

（B ）33

（C ）34

（D ）36

（第2题图） （第3题图） （第4题图）

【课堂练习1】

（1）（2011宁波市）如图1，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么滑梯长l 为（ ） A ．

h sin a B ． h tan a C ． h

cos a

D ． h ·sin a

（2）

（2010，梧州）如图(2)，在 ABCD 中，E 是对角线BD 上的点，且EF ∥AB ，DE ：EB=2：3， EF=4，则CD 的长为_____________。

（3）（2010年丹东市）如图（3），小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A ．2）m B ．

（32）m C ．m D ．4m

例2：（2011上海）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边

AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=12 13

．

（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

图1 图2 备用图

【课堂练习2】

（2010珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B.

(1)求证：△ADF∽△DEC

（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.

例3：（2010年东阳市）如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4. （1）求证: ABE ∆～△ADB ；(2) 求tan ADB ∠的值；

（3）延长BC 至F ，连接FD ，使BDF ∆

的面积等于EDF ∠的度数.

【课堂练习3】

（2011安徽）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度．已知在离地面1500m 高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB 的长．（参考数据：3=1.73）

二、强化训练：

1、（2011山东威海）一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F =∠ACB =90°, ∠E =45°,∠A =60°,A C=10,试求CD 的长．

2、（2011四川绵阳）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A =90°，D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直于BD 或BD 的延长线，垂足为E ,如图1.

(1)若BD 是AC 的中线，如图2，求BD

CE 的值；

(2)若BD 是∠ABC 的角平分线，如图3，求BD

CE

的值；

B

B

（图1） （图2） （图3）

3、（2011四川广安）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心A 到斜坡底C 的水平距离为8. 8m ．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m ，树影落在斜坡上的部分CD = 3.2m ．已知斜坡CD

的坡比i =1

AB 。 1.7）

_A

图7

一、相似：

1、比例线段，若

d c

b a =（或a ∶b =

c ∶

d ），则四条线段a 、b 、c 、d 叫做比例线段. 比例基本性质：若d

c

b a =，则ad =b

c .

2、相似三角形的判定定理：

(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么两个三角形相似；

(2)如果一个三角形的两边分别与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角对应相等，那么两个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么两个三角形相似； (4)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 3、相似三角形的性质定理：

(1)若两个三角形相似，则这两个三角形的对应边成比例，对应角相等.

(2)若两个三角形相似，它们对应中线的比，角平分线的比，高的比都等于相似比. (3)若两个三角形相似，它们周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 利用相似三角形的性质解决一些实际问题.

画相似图形，利用位似方法，把一个多边形放大和缩小. 二、解直角三角形

1、直角三角形的边角关系（∠C=90o

）：

三边之间的关系：a 2+b 2= ;两锐角之间的关系：∠A+∠B= ； 边角之间的关系：sinA=

c a cosA=c b tanA=b a cotA=a b

sinB =

c b cosB =c a tanB=a b cotB=b

a 2、解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个基本元素，由直角三角形的两个已知元素（其中至少有一个元素是边），求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

3、在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出另三个元素。

4、解直角三角形的常用概念：

仰角、俯角、水平距离、铅直距离、坡角、坡度（坡比）、方位角；

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