高一数学 暑假练习 实数与向量的积1
高中数学实数与向量的积试卷,复习资料
实数与向量的积一．知识清单1. 实数与向量的积的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下： （1） ；（2）当0λ>时，λa 的方向与a 的方向 ；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向 ；0λ=时，λa = 。
2. 实数与向量的积的运算律：设R λμ∈，则 （1）()a λμ= ； （2）()λμ+a = ；（3）λ（a+b ）= ； 3．两个向量共线的充要条件向量b 与非零向量a 共线的充要条件是 ，使得b=λa 4. 平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ， ，使得1122a e e λλ=+5．基底用来表示某一平面内任一向量的一对不共线的向量，叫做 。
6．三点共线的充要条件,O A O B 不共线，三点A 、B 、P 共线的充要条件是()AP t AB t R =∈ 二．基础训练1．已知a =12e e +,b =122e e -,则向量a+2b 与2a-b （ ）A 一定共线B 一定不共线C 仅当12e e 与共线时共线D 以上均不成立 2．在ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB =a ，AD =b ，则下列选项中与12-a +12b 相等的向量是（ ）A MAB MBC MCD MD 3．设四边形ABCD 中，有12DC AB =，且AD BC =，则这个四边形是（ ） A 平行四边形 B 矩形 C 等腰梯形 D 菱形4．已知向量12,e e 不共线，实数x,y 满足1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+，则x-y 的值等于（ ）A 3B -3C 0D 25．若M 是ABC ∆的重心，则下列各向量中与AB 共线的是（ ） A AB BC AC ++ B AM MB BC ++ C AM BM CM ++ D 3AM AC +6．若3a =，b 与a 的方向相反，且5b =，则a = b 7．已知向量12,e e 不共线（1）若12AB e e =-，1228BC e e =-，1233CD e e =+，求证A 、B 、D 三点共线； （2）向量12e e λ-与12e e λ-共线，求实数λ的值 三．强化训练1．（2005山东）已知向量a 、b 且AB =a+2b ，BC =-5a+6b ，CD =7a -2b ，则一定共线的三点是（ ）A A 、B 、D B A 、B 、C C C 、B 、D D A 、C 、D 2．（2006广东）如图D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ） A 12BC BA +B 12BC BA -+ C 12BC BA -- D 12BC BA -3．如图，在ABC ∆中，OA =a ，OB =b,M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，P 为ON 、AM 的交点，则AP 等（ ）A23a 13- b B 23-a 13-b C 13a 23-b D 13-a 23+ b4．（2006武汉）如图所示），已知43AP AB =，用OA 、OB 表示OP ，则OP 等于（ ）A 1433OA OB -+B 1433OA OB +C 1433OA OB -D 1433OA OB --BCD AAO MNPB。
高一数学实数与向量的积人教版知识精讲.doc
高一数学实数与向量的积人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：实数与向量的积二. 重点、难点：1. 实数与向量的积的定义和运算律2. 向量共线的充要条件3. 平面向量的基本定理【典型例题】[例1] 设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知：212e K e AB +=，213e e CB +=，212e e CD -=，若A 、B 、D 三点共线，求实数K 的值。
解：2121214)3()2(e e e e e e -=+--=-=由三点A 、B 、D 三点共线等价于向量AB 与BD 共线，由向量共线的充要条件知，存在实数λ，使得λ=，即2121214)4(2e e e e e K e λλλ-=-=+[例2] 其中实数λ、证明： 即 令 注：上述结论可推广为以下一段形式，对于0≠λμ，向量μλ+与μλ-共线的充要条件是与共线。
事实上，若与至少有一个为时，命题显然成立，下面对与均不为时加以证明。
充分性，由//，则存在唯一R t ∈，使t =，故t )(μλμλ+=+b t b a )(μλμλ-=- 若0=-μλt ，则0=-b a μλ，故 b a μλ+与b a μλ-共线 若0≠-μλt ，则)(b a t t b a μλμλμλμλ--+=+故μλ+与μλ-共线26 216131)(213121+=-+=+=+=b a 2161+=故-= 即与共线则AC t AM t AP +-=)1(于是MC t AB MP AM AP +=+=31)(31AM t -+=t tt +-=-+=)331()31(31 设s = 同理s s +-=)1(s +=+=41s s+-=)441( 故有s s t t +-=+-)441()331( 由与不共线，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-441331st s t解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==113112s t 所以112113+= [例6] 已知点P 为ABC ∆内一点，且0543=++CP BP AP ，设a AB =，b AC =。
高中数学必修一高一数学第五章(第五课时)实数与向量的积()公开课教案课件课时训练练习教案课件
5 相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量
6 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量
7 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
8．向量加法的交换律： + = +
9．向量加法的结合律：( + ) + = + ( + )
主持人：你们还有发言的吗？
答：有。
生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。
动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！
花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！
水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同学们的笑声不断。
主持人：水伯伯，您这是干什么呢？
水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照ຫໍສະໝຸດ 呀！课题：实数与向量的积（2）
教学目的：
1 了解平面向量基本定理；
2 掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3 能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达
教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示
教学难点：平面向量基本定理的理解
4 若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,则向量a写为λ1b+λ2c的形式是
5 已知两向量e1、e2不共线,a=2e1+e2,b=3e1-2λe2,若a与b共线,则实数λ=
6 设平面内有四边形ABCD和点O, =a, =b, =c,
=d,a+c=b+d,则四边形ABCD的形状是
高一数学实数与向量的积1
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
复 习
引入练习 新课讲解
课本 : P110 第 2题
例题讲解
定理讲解 课堂练习 小结回顾
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伙儿到孔夫子供奉室领取各自的工钱。耿英已经等在那里了，她的身旁放了一个大木箱，里边放着足够支付大家全部工钱的，整散不一的银子。 她的面前，是一本已经结算好了的账薄；一大摞原始记录也放在旁边。尽管耿老爹一再请大家过去领取各自的工钱，但除了那些土木工匠师傅 们之外，帮工的乡亲们谁都不愿意领取自己的那一份应得的报酬。最后，在耿家全家人的再三劝说下，只有很少的一部分家庭经济不宽裕的人 各自领取了不多的一点儿。见此情况，耿家父子们当即就做出一个重大决定：第一年办学免收所有学杂费用！将所有在场的乡民们全部集中在 孔夫子供奉室前面之后，耿老爹大声宣布：“乡亲们哪，既然大家伙儿不愿意领取自己应得的报酬，即使领取了的，也距离足额工钱相差甚远， 那咱这小学堂和大戏台原定的修建费用就节余了不少呢，这些银子将全部用在以后的办学上。明年正月里招收的第一批学生，咱全部免收任何 费用了，学生们只需要自备笔、墨、纸、砚什么的即可。至于以后如何收取学杂费用，咱到时候根据实际使用情况再说！”全场报以热烈的掌 声！掌声平息后，耿正大声宣布：“乡亲们，咱们新建的这座学堂正式定名为‘耿家小学堂’了。眼下，除了课本儿还尚未编制印刷妥当之外， 其他一应事项已经全部就绪了！”热烈的掌声再度响起！耿正赶快抬起双手示意大家安静，继续说道：“按照计划，咱们的小学堂学制为五年。 教学计划初步设定为：一年级教授简单的认字、写字和计算技巧；二年级增加珠算和礼仪；三年级增加写作和人文地理；四年级增加历史和资 治；五年级增加天文常识。这些都是主课。另外，咱们学堂里还计划安排一些文娱活动、体育锻炼和劳动等方面的课程。”掌声再起，耿正再 次示意大家安静，接着说道：“在文娱活动课堂上，可以让娃娃们学习一些朗诵、吟唱和演奏乐器的基础知识和基本技能，并且根据学生们各 自的特长进行专门的培养。至于体育锻炼和劳动课程，可以增强娃娃们的体质，培养他们热爱劳动的好习惯，都是很有用的。至于这些课程将 占有多大的比例，以及学堂的大、小假期怎么安排，眼下还没有最后确定下来呢，咱在开学的时候再宣布哇。”一位急性子的乡民马上问： “什么时候开学呀？”耿正笑着说：“每年的正月十六，都是新学童的开学时间；当然，也是过完年假的所有学生的开学时间。大家伙儿可要 记住了，报到的时间是当日的辰时前两刻钟。从现在开始到下月底的这一段时间里，欢迎乡亲们为自己年满七岁的男女娃娃报名。因为咱们小 学堂这是招收第一批学生，年龄可以适当放宽至年满十五岁。”看到二狗子和大头互相望望显得有些失落的样子，耿正继续说道：“还有，考 虑到尽量能够让想要学习的所有年青人都有
最新5.3,1实数与向量的积
新课讲解 例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
例题讲解 试判断AC与AE是否共线。 E
定理讲解
C
课堂练习
A B
小结回顾
D
小结回顾
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
小结回顾
复习
引入练习
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
3
新课讲解 三点共线。
提示：设AB = a BC = b
例题讲解
定理讲解
则MN=
1
…=
6
1 a +3
b
D
C
课堂练习 MC= … = 1 a+ b 2
N
小结回顾
A
M
B
结束语
谢谢大家聆听！！！
5.3,1实数与向量的积
复 习 向量的加法(三角形法则)
引入练习 如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
新课讲解
b
例题讲解 a o
作法:在平面中任取 一点o,
过O作OA= a
定理讲解
课堂练习
a
A
小结回顾
a+b 过A作AB= b
则OB= a+b. bB
复习
引入练习 对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ,
问题1：如果 b=λa ,
新课讲解
那么，向量a与b是否共线？
例题讲解
问题2：如果 向量a与b共线 那么，b=λa ？
高一数学实数与向量的积一
高一数学实数与向量的积一目标：⑴要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件⑵培养发现问题和提出问题的能力，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力，培养善于独立思考的习惯⑶激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件 难点：对实数与向量的积的理解、理解向量共线的充要条件 过程:一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、新课：1．引入：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =BC AB OA ++=a +a +a=3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：①3a 与a 方向相同且|3a |=3|a|②-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a |2．提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa①|λa |=|λ||a|②λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0 3．运算定律：结合律： λ(μa )=(λμ)a① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立aaa a O AB C a -a -a -a-N M Q P如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a| |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a| ∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。
从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ≠0，μ≠0，a≠0当λ、μ同号时，则λa 和μa同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a||λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向 即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向 还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa| ∴②式成立 第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=OA a =AB b =1OA λa=11B A λb 则=OB a +b =1OB λa+λb由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ==||||111AB B A OA OA λ∴△OAB ∽△OA 1B 1 =||||1OB OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1OABB 1A 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb∴ ③式成立4．例1 （见P106）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1．若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a 与b 反向时b =-μa从而得：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa2．例2（P106 略） 三、小结： 四、作业：课本 P107练习 P109 习题5.3 1、2AOBB 1A。
高一数学 暑假练习 实数与向量的积2
一、选择题1．1e 、2e 是一组基底，则下面向量组中a 、b 共线的有①12a e =，22b e =-； ②12a e e =-，1222b e e =-+； ③12245a e e =-，12110b e e =-； ④12a e e =+，1223b e e =- A ．②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④2．已知1e 和2e 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是A ．1e 和12e e +B ．122e e -和212e e -C ．122e e -和2142e e -D ．12e e +和12e e -3．在ABC ∆中，D 是BC 上一点，且3BC BD =，则AD 等于A ．1(2)3AC AB + B ．1(2)3AB AC +C ．1(3)4AC AB +D ．1(2)4AC AB + 4． 给出下列结论：（1）||||a a λλ=；（2）()()ua u a λλ=；（3）()u a a ua λλ+=+；（4）()a b a b λλλ+=+（,u R λ∈，a 、b 是任意向量）其中正确结论的个数为A ．1B ．2C ．3D ． 4二、填空题5．在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，那么AB AD BC BE CF ++++= 。
6．若a 、b 、c 是已知向量，且112()(3)032y a c b y b --+-+=，则y = 。
7．若34x y a +=，23x y b -=，其中a 、b 为已知向量，则x = ，y = 。
8．已知a 、b 是非零向量，且||,||,a m b n c a b ===+，则当m n <时，||c 的最小值为 。
三、解答题9．设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知122AB ke e =+，1223BC e e =+，122CD e e =-，若,,A B D 三点共线，求k 的值。
2021-2022年高一数学 暑假练习 实数与向量的积2
2021-2022年高一数学暑假练习实数与向量的积2一、选择题1．、是一组基底，则下面向量组中、共线的有①，；②，；③，；④，A．②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④2．已知和是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是A．和 B．和 C．和 D．和3．在中，D是BC上一点，且，则等于A． B．C． D．4．给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）（，、是任意向量）其中正确结论的个数为A．1 B．2 C．3 D． 4二、填空题5．在中，点D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，那么++++=。
AB AD BC BE CF6．若、、是已知向量，且112()(3)032y a c b y b--+-+=，则。
7．若，，其中、为已知向量，则，。
8．已知、是非零向量，且，则当时，的最小值为。
三、解答题9．设、是两个不共线的向量，已知，，，若三点共线，求的值。
10．在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设，。
（1）以为基底表示；（2）以为基底表示。
11．设向量、不共线，向量，且、、有共同的起点，试证：向量、、的终点在一条直线上的充要条件是。
一、选择题1．A2．C3．A4．C二、填空题5．6．7．8．三、解答题9．10．（1）（2）11．略34495 86BF 蚿36643 8F23 輣Q39853 9BAD 鮭Dg28329 6EA9 溩#26458 675A 杚=29668 73E4 珤21016 5218 刘24141 5E4D 幍。
2021学年度上学期高一数学《实数与向量的积》ppt课件(77张))
a
3(2a) 6a
2a
3( 2a )
6a
a
3(2a) 6a
2a
3( 2a )
6a
a
2a
3( 2a )
6a
3(2a) 6a
a
2a
3( 2a )
6a
3(2a) 6a
(a) ()a
2a 3a
2a 3a 5a
a
2a 3a 5a
a
2a 3a 5a
D
b
M
A a
C B
变式. 如图, ABCD的两条对角线相交于点M , 且 AB a, AD b, 若P是AM中点，你能用a, b表示DP吗?
D
b
M
P A
a
C B
例A.4.已0,知a ,0时，R，a则与在 a的下方列向各一命定题相中反，正确的是：
B.
0,
a
0时，a与a的方向一定相同
C.
0,
a
b
从a的起点指向b的终点的向量。
a
2、向量减法: a b
2 0 2 1 学年度 上学期 高一数 学《实 数与向 量的积 》ppt课 件（7 7张）） （公开 课课件 ）
b
a
2 0 2 1 学年度 上学期 高一数 学《实 数与向 量的积 》ppt课 件（7 7张）） （公开 课课件 ）
一、温故知新
( )a a a
2(a b)
2(a b) 2a 2b
a
b
2(a b) 2a 2b
a
b
2(a b) 2a 2b
a
b
2(a b) 2a 2b
a
b
2(a b) 2a 2b
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高一数学下学期向量的加减法 实数与向量的乘积同步测试 试题
高一数学下学期向量的加减法 实数与向量的乘积同步测试说明：本套试卷分第一卷和第二卷两局部.第一卷60分，第二卷90分，一共150分，答题时间是120分钟.第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分，请将所选答案填在括号内〕 1．以下各量中不是向量的是〔 〕A ．浮力B ．风速C ．位移D ．密度2．以下命题正确的选项是〔 〕 A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．假设a 、b 都是单位向量,那么a =bC ．假设AB =DC ,那么A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点一样3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，那么 MC MB MA -+等于〔 〕A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．向量b a 与反向，以下等式中成立的是〔 〕A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,那么〔 〕A ．AB 与AC 一共线 B ．DE 与CB 一共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等6．向量e 1、e 2不一共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,那么x -y 的值等于( )A ．3B ．－3C ．0D ．27．正方形ABCD 的边长为1, AB =a , BC =b , AC =c ,那么|a +b +c |等于〔 〕A ．0B ．3C ．2D ．228．以下各式计算正确的有〔 〕(1)(－7)6a =-42a (2)7(a +b )－8b =7a +15b (3)a －2b +a +2b =2a (4)假设a =m +n ,b =4m +4n ,那么a ∥bA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是〔 〕A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．以下各式表达不正确的选项是〔 〕A ．假设a ≠λb ,那么a 、b 不一共线(λ∈R )B ．b =3a (a 为非零向量),那么a 、b 一共线C ．假设m =3a +4b ,n =23a +2b ,那么m ∥n D ．假设a +b +c =0,那么a +b =-c11．假设2121,,PP P P b OP a OP λ===，那么OP 等于〔 〕A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出以下各式：①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔每一小题4分，一共16分，答案填在横线上〕13．|AB |=1,| AC |=2,假设∠BAC =60°,那么|BC |= .14．点A(－1,5)和向量a ={2,3},假设AB =3a ,那么点B 的坐标为 . 15．在四边形ABCD 中，假设||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,那么四边形ABCD 的形状是 .16．一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,那么河水的流速的大小为 . 三、解答题〔本大题一一共74分，17—21题每一小题12分，22题14分〕 17．菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长.18．设OA 、OB 不一共线,P 点在AB 上.求证: OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R ． 19．向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不一共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=一共线？20．i 、j 是两个不一共线的向量,AB =3i +2j ，CB =i +λj , CD =-2i +j ,假设A 、B 、D 三点一共线,试务实数λ的值.21．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使 AC AB AP 21λλ+=.22．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行3000千米到达13地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 地的北偏东30°，并且A 、C 两地相距3000千米，求飞机从B 地向C 地飞行 的方向和B 、C 两地的间隔 ．参考答案一、选择题1．D 2．A3．C 4．C 5．B ．A 7．D 8．C9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题13．3 14．(5,4) 15．菱形 16．2 km/h三、解答题17．解析: ∵AB -CB +CD =AB +(CD -CB )=AB +BD =AD又|AD |=2 ∴|AB -CB +CD |=|AD |=218．证明: ∵P 点在AB 上,∴AP 与AB 一共线.∴AP =t AB (t ∈R )∴OP =OA +AP =OA +t AB =OA +t (OB -OA )=OA (1-t )+ OB令λ=1-t ,μ=t∴λ+μ=1∴OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R19．解析：222,2,,.2339,k R k λμλμλμλμλμ+=⎧=-∈=-⎨-+=-⎩解之故存在只要即可.20．解析: ∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j∵A 、B 、D 三点一共线,∴向量AB 与BD 一共线,因此存在实数μ,使得AB =μBD ,即3i +2j =μ［-3i +(1-λ)j ］=-3μi +μ(1-λ)j∵i 与j 是两不一共线向量,由根本定理得:⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=-312)1(33λμλμμ 故当A 、B 、D 三点一共线时,λ=3.21．解析：如图，作PE ∥AB ，PD ∥AC ，那么||||21BC BC ==λλ，=+=+=+∴21λλ．22．解析：〔1〕3000千米； 〔2〕正向．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高一数学测试题—实数与向量的积
高一数学测试题—实数与向量的积（5）一、选择题：1、下面给出四个命题：1)对于实数m 和向量a,b 恒有：m(a －b )=m a －m b ； 2)对于实数m,n 和向量a ,恒有：(m －n)a =m a －n a ； 3)若m a =m b (m ∈R)，则有：a =b ； 4)若m a =n a (m,n ∈R,a ≠0),则m=n. 其中正确命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、设e 1、e 2是两个不共线的向量，则向量a =e 1+λe 2(λ∈R)与向量b =－(e 2－2e 1)共线的充要条件是 （ ）A ．λ=0B ．λ=－1C ．λ=－2D ．λ=－213、设O 是菱形ABCD 的两对角线交点，下列向量组： （ ） ①与; ②与③与④与其中可作为这个菱形所在平面表示它的所有向量基底的是 （ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④4、己知向量e 1,e 2不共线,下列各项中向量a 、b 不共线的是 （ ）A ．a =3e 1, b =5e 2B ．a =3e 1, b =6e 2C ．a =e 1+3e 2, b =3e 1+9e 2D ．a =21e 1－e 2 , b =2e 1－4e 2 5、若向量方程2x －3(x －2a )=0,则向量x 等于 （ ）A ．56a B ．－6a C ．6a D ．－56a 6、在矩形ABCD 中，若=3a,=2b , 则等于（ ）A ．21(3a +2b )B ．21(3a －2b )C ．21 (2b －3a )D ．21(3b +2a )7、下列各式或命题中：①－=②+=0 ③ 0·=0 ④若两个非零向量a 、b满足 a =k b (k ≠0)，则a 、b 同向. 正确的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8、已知O 是△ABC 内一点,存在一组正实数λ1,λ2,λ3,使λ1OA +λ2OB +λ3OC= 0 ,则∠AOB,∠BOC,∠COA （ ） A ．都是钝角 B ．至多有两个钝角 C ．恰有两个钝角 D ．至少有两个钝角DC二、填空题： 9、已知向量a =21i －3j , b =5i －j ,则4a －3b =_____________. 10、己知平行四边形ABCD 中，= a,= b , 则=_______,=_________.11、 己知e 1,e 2是不共线的向量，a =k e 1－8e 2, b =2e 1－k e 2,且a 、b 共线，则k=____. 12、在正六边形ABCDEF中，己知= a,= b ,则=__________,=__________,=_________.三、解答题：13、设e 1,e 2是两个不共线的向量，则向量b =e 1+λe 2(λ∈R)与向量a =2e 1－e 2共线的充要条件是什么？14、如图.C 、D 是△AOB 中边AB 的三等分点，试用= e 1,= e 2为基底表示,.15、己知菱形ABCD 的对角线交于O,设= e 1, =e 2,= e 3,=e 4.①试以e 1,e 2为基底表示、 、 、；②以e 1,e 3为基底表示、 ； ③以e 3,e 4为基底表示、.16、用向量的方法证明：顺次连结任一四边形各边中点所得的四边形为平行四边形.高一数学测试题—参考答案实数与向量的积一、CDCBCAAD二、（9）j i 913-- （10）)(21),(21b a b a +- （11）4±=k （12）),(21b a +- ).3(21),(21a b b a --- 三、（13）分析：根据两个共线的充要条件. 即存在实数ub ，从而解出λ.解：a 与b 共线，.3231)(3232.3132)(3131.:)14(21,20102,.0)1()2)((2.,112121121122,1212121e e e e e AB OA AD OA OD e e e e e AB OA e e e e e e e e e e b a +=-+=+=+=+=-+=+=+=∴-=-=-==∴⎩⎨⎧=+=-∴=+--+=-=∴ 解不共线即使存在实数λμπμμλμμλμμμ注：在此题中，反复利用三角形法则和向量共线的概念，通过这题同学们应认识基底的作用.其实图中任何向量都可用e 1,e 2表示出来.15．①;,,211221e e e e e e ==-=+=②)2(31e e +-== ③.,4334e e e e --=-=（16）分析：如图：要证EFGH 是平行四边形，只要证EH=FG 且EH//FG .即证.= 解：如图E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连BD ，则=∴==-=-=-=.21,21)(212121同理 ∴EFGH 为平行四边形.注：=的含义是EH=FG 且EH//FG .本 例的证法说明了向量是解决几何问题有力工具.。
高一数学 暑假练习 实数与向量的积1
实数与向量的积（1）一、选择题1．已知,u R λ∈，则在以下各命题中，正确的命题的个数是①0,0a λ<≠r r 时，a λr 与a r 的方向一定相反；②0,0a λ≠≠r r 时，a λr 与a r 是共线向量；③0,0u a λ>≠r r 时，a λr 与ua r 的方向一定相同；④若a r 与b r 是不共线的两个向量，则a λr 与ua r 也一定不共线。
A ．1B ．2C ．3D ．42．化简1[2(28)4(42)]12a b a b +--r r r r 的结果为 A ． 2a b -r r B ．2b a -r r C ．a b -r r D ．b a -r r3．若AD 与BE 分别为ABC ∆的边BC 、AC 上的中线，且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ，则BC uuu r 为A ．4233a b +r rB ．2433a b +r rC ．2233a b -r rD ．2233a b -+r r 4．已知命题:0p x =，命题:0q x a ⋅=r r ，则命题p 是命题q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题5．若||3a =r ，b r 与a r 的方向相反，且||5b =r ，则a =r b r 。
6．若b c a +=r r r ，则3(2)2(3)2()a b c b a b +-+-+=r r r r r r 。
7．已知1e u r 、2e u r 是不共线向量，128a ke e =-r u r u r ，122b e ke =-r u r u r ，且a r 、b r 共线，则k = 。
8．若点C 在线段AB 上，且35AC AB =u u u r u u u r ，则AC =u u u r BC uuu r 。
三、解答题9．求证：起点相同的三个非零向量a r 、b r 、32a b -r r 的终点在同一条直线上。
高一数学实数与向量的积 人教版
高一数学实数与向量的积 人教版教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。
过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)=++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a| 2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a| 2．从而提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1︒|λa |=|λ||a|2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa= 3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。
从而λ(μa )=(λμ)aa a a a O A B Ca -a-a-a-NMQP第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ≠0，μ≠0，a≠当λ、μ同号时，则λa 和μa同向， ∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a||λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向 即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa| ∴②式成立 第二分配律证明：如果a=，b =中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a≠，b ≠且λ≠0，λ≠1时1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=a =b =1λa=11B A λb则=a +b =1OB λa+λb由作法知：∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 ||=λ|11B A | ==111λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1=1λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也相同λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb∴ ③式成立OABB 1A 1AOB1A 14．例一 （见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1． 若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量若a 与b 共线(a ≠)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a 与b 反向时b =-μa从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ 使b =λa2．例二（P104-105 略） 三、小结：四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2。
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一、选择题
1．已知,u R λ∈，则在以下各命题中，正确的命题的个数是
①0,0a λ<≠时，a λ与a 的方向一定相反；
②0,0a λ≠≠时，a λ与a 是共线向量；
③0,0u a λ>≠时，a λ与ua 的方向一定相同；
④若a 与b 是不共线的两个向量，则a λ与ua 也一定不共线。
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．化简1[2(28)4(42)]12
a b a b +--的结果为 A ． 2a b - B ．2b a - C ．a b - D ．b a -
3．若AD 与BE 分别为ABC ∆的边BC 、AC 上的中线，且,AD a BE b ==，则BC 为
A ．4233a b +
B ．2433a b +
C ．2233a b -
D ．2233
a b -+ 4．已知命题:0p x =，命题:0q x a ⋅=，则命题p 是命题q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
5．若||3a =，b 与a 的方向相反，且||5b =，则a = b 。
6．若b c a +=，则3(2)2(3)2()a b c b a b +-+-+= 。
7．已知1e 、2e 是不共线向量，128a ke e =-，122b e ke =-，且a 、b 共线，则k = 。
8．若点C 在线段AB 上，且35AC AB =
，则AC = BC 。
三、解答题
9．求证：起点相同的三个非零向量a 、b 、32a b -的终点在同一条直线上。
10．已知,,L M N 分别为ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上的点，,,BL CM AN l m n BC CA AB
===，若0AL BM CN ++=，求证：l m n ==。
11．在OAB ∆的边OA 、OB 上分别有一点,P Q 。
已知:1:2,:3:2OP PA OQ QB ==，连结
AQ ，在AQ 上取一点R ，满足:5:1AR RQ =。
（1）用,OA OB 表示BR ； （2）求证：点R 在线段BP 上。
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．B
4．A
二、填空题
5．3
5-
6．a -
7．4±
8．3
2-
三、解答题
9．略
10．略
11．（1）1
1
62BR AR AB OA OB =-=- （2）略。