李广信-高等土力学习题解答

µb sin ϕ ) 3
σ1 − σ 3 1− 1 3 − sin 30.7 0 3 sin ϕ = = (σ 1 − σ 3 ) c 1 + 1 3 + µ b sin 30.7 0 3 µ b sin ϕ µ b = 1.0, σ 1 − σ 3 = 208.9 *
（2）对于 TC 试验：
（2）
b′ = b′ =
σy −σx σz − σx
(1)
2 3ctgθ ′ + 1 z = (σ z − σ x ) y = (σ y − σ x )
q = 1 − b ′ + b ′2 ( σ z − σ x ) = 1 − b ′ + b ′2 z q 1-4、 z = (3) 1 − b′ + b′2 y = b′z (4) 3 p − z − y = 3σ x 1 + b′ σx = p − z (5) 3 σz =σ x + z (6) σ y = σx + y (7)
µ b = 1.0, σ 1 − σ 3 = 67 .5 *
3 − sin 30.7 0 = 47 .9 Kpa, σ 1 = σ c = 100Kpa 3 + sin 30 .7 0
1-2、 （1）在直剪试验中，由于试验的破坏面是人为确定得，试样中得应力和应变不均匀且 十分复杂，试样各点应力状态及应力路径不同。在剪切面附近单元的主应力大小是变化的， 方向是旋转的。 （2）在单剪试验中，仪器用一系列环形圈代替刚性盒，因而没有明显的应力应变不均 匀，试样内所加的应力被认为是纯剪。 （3）环剪试验，试样是环状的，剪切沿着圆周方向旋转，所以剪切面的总面积不变， 特别适用于量测大应变后土的残余强度和终极强度。
1-3、 （1）对于常规三轴压缩排水试验，由于其围压 σ c = σ 3 是不变的，其对膜嵌入的影响 很小。但对于三轴不排水试验，其有效围压随孔压变化而变化，围压对膜嵌入影响较大。 一 般来说，围压越大，膜嵌入越明显。 （2）土的平均有效粒径越大，则土越粗，一般而言，粗粒土膜嵌入明显，细粒土则相 反。 （3）土的级配越好，膜嵌入越不明显，反之则相反。 （4）橡皮膜的越厚，膜嵌入越不明显，越薄则相反。
2-4、什么是八面体正（法向）应力和八面体剪（切向）应力、八面体法向应变和八面体剪 切向应变？为什么土力学中常用 p 和 q 、ε ε表示他们。 v和 答：八面体正应力是指作用在主应力空间中等倾面上的总应力沿着等倾面法向的分量； 总应力在等倾面内的分量称为八面体切应力。 八面体法向应变是发生主应力空间中等倾面法线方向的应变； 八面体切应变是发生在主 应力空间中等倾面内的应变。 空间中任意一点的应力状态都有一个主应力状态与它对应， 而在主应力空间中， 过某一 点总可以做出一个等倾面， 该点的应力状态总可以在该等倾面的法向和切向进行分解。 通过
பைடு நூலகம்
(100 + ∆σ 1 ) − (100 − 2 ∆σ 1 ) (100 + ∆σ 1 ) + (100 − 2 ∆σ 1 ) = sin 30 .7 0 ，故 2 2
∆σ 1 ＝29.1Kpa
因此， σ 1 − σ 3 = 3∆σ 1 = 87.3 Kpa,σ 3 = 41.8 Kpa （4）对于 RTC 试验：
第一章 土工试验及测试
1-1、莫尔-库仑强度理论公式：
σ1 − σ 3 σ 1 + σ 3 ＝ sin ϕ + C cos ϕ 2 2
（1）
对于砂土，C＝0，由常规三轴压缩试验（CTC ）知：
σ 3＝σ c = 100Kpa, σ 1 − σ 3 = 208.9 Kpa ，代入公式得： ϕ＝30.7 0
分解得到的正应力和切应力，外加应力洛德角便可以以柱坐标（ σ θ 、q、p）的形式表示出 与（ σ 1、σ 2、σ 3 ）对应的应力状态。在土力学中常用极限平衡分析法来解决问题，将应力 在等倾面内分解后，在运用库仑-莫尔公式 τ f = C + σ tan φ 时， τ f 与 q 相对应， σ 便与 p 有关，方便了库仑-莫尔准则的应用。 2-5 、 证 明 在 σ1、σ 2、σ 3 分 别为 大 中小 主 应力 时 ，应 力 洛德 角 满足 如 下关 系 ：
第二章 土的本构关系
2-1、什么叫材料的本构关系？在上述的本构关系中，土的强度和应力 -应变有什么联系？ 答： 材料的本构关系是反映材料的力学性状的表达式， 表示形式一般为应力-应变-强度 -时间的关系，也称为本构定律、本构方程，也叫做本构关系数学模型。 在上述的本构关系中，视强度为材料受力变形发展的一个阶段，对土体而言，在微小应 力增量作用下土体单元会发生无限大（或不可控制）的应变增量，强度便在此应力应变状态 过程中得以体现。 2-2、说明土与金属材料的应力应变关系有什么主要区别？ 答：金属材料被视作线弹性材料，符合弹性力学中的五个假定：连续性、线弹性、均匀 性、各向同性和微小变形假定，土体应力应变与金属材料完全不同，体现在以下几个方面： 1） 土体应力应变的非线性和弹塑性： 金属材料的应力应变在各个阶段呈线性， 在屈服 强度以内呈弹性； 而由于土体是由碎散的固体颗粒组成， 其变形主要是由于颗粒间的错位引 起， 颗粒本身的变形不是主要因素， 因此在不同应力水平下由相同的应力增量引起的变形增 量不同，表现出应力应变关系的非线性。土体在加载后再卸载到原有的应力状态时，其变形 一般不会恢复到原来的应变状态，体现出土体变形的弹塑性。 2） 土体应力应变的不连续性：一般认为金属材料是由连续的介质组成，没有空隙， 其 应力和应变都是连续的； 而土体颗粒之间存在空隙， 在应力作用时使得颗粒间的相对位置发 生变化，从而增大或减小土体颗粒间的空隙，引起“剪胀” 、 “剪缩” 。 3） 金属材料的应力应变可以在不同的应力水平下分为四个阶段： 弹性阶段、 屈服阶段、 强化阶段和颈缩阶段；土体材料的应力随应变非线性增加，增加到一定程度后或趋于稳定， 亦可在应变增加的情形下应力急剧下降，最后也趋于稳定。
σx + σy + σz
3
。
Sx − S τ yx τ zx
化简，有
τ xy Sy − S τ zy
τ xz τ yz = 0 Sz −S
S3 − ( S x + S y + S z ) S 2 + ( S xS y + S yS z + S xS z − τ xy 2 − τ zx2 − τ yz 2 ) S −( S x S y S z + 2τ xyτ yz τ zx − S xτ yz 2 − S yτ xz2 − S zτ xy2 ) = 0
σ 1 = σ c = 100 Kpa, σ 2 = σ 3 = 100 − ∆σ , 代入公式（1）得：
100 − (100 − ∆σ ) 100 + (100 − ∆σ ) = sin 30.7 0 ，得 ∆ σ ＝67.5Kpa, 2 2
故 σ 1 − σ 3 = ∆σ = 67.5Kpa, σ 3 = 32.5Kpa （5）对于 RTE 试验： 同理其空间应力破坏点与 RTC 试验在同一个 π 平面，与 CTE 试验的解法相同，代入公 式(2)得：
J 3 = S1S 2 S 3
= (σ1 σ m )( σ2 − σm )( σ3 − σm ) = (σ1 − =
σ1 + σ 2 + σ 3 σ + σ2 + σ3 σ + σ2 + σ3 )( σ 2 − 1 )( σ 3 − 1 ) 3 3 3
1 [ (2σ1 − σ 2 − σ3 ) + (2σ2 − σ1 − σ3 ) + (2σ3 − σ2 − σ1 )] 27
σm =
σ 1 + σ 2 + σ 3 σ 1 + σ 3 µ b (σ 1 − σ 3 ) = + 3 2 6
µb (σ 1 − σ 3 ) 3
σ 1 + σ 3 = 2σ m −
代入库仑公式（1）得， σ 1 − σ 3 = (2C cos ϕ + 2σ m sin ϕ ) /(1 + 对于压缩 µ b = −1 ，则以压缩为基准，可得：
写成以下形式：
S 3 − J1 S 2 − J 2 S − J 3 = 0 J1 = S x + S y + S z = σ x − σ m + σ y − σ m + σ z −σ m = 0 J 2 = − ( S x S y + S y S z + S x S z − τ xy 2 − τ zx2 − τ yz 2 ) J 3 = S x S y S z + 2τ xyτ yz τ zx − S xτ yz 2 − S yτ xz2 − S zτ xy2
8 βt e π2 94% ⎯⎯ → β = −0.0046 ct 1-5、 Tv = v 2 H n = 100, 10000t 8 0.01 = 2 e β 10000t , t = 2.3h π 1 −U =
1-6、土工离心机加速度 am=100g，对于蠕变问题，时间的比尺因素为 1，故在离心机上试验 时，在相同荷载下，达到同样的应变时，其时间相等，为 120 年。
得到偏应力不变量的三个一般表达式：
若用主应力表示时：
⎡ S1 Sij = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
其中 此时，有
0
S2 0
0⎤ 0⎥ ⎥ S3 ⎥ ⎦
Si = σ i − σ m ( i = 1、2、 3)
J1 = S1 + S2 + S3 = σ1 − σ m + σ2 − σ m + σ3 − σ m = 0 J 2 = − ( S1 S2 + S2 S3 + S1 S3 )
3 − sin 30.7 0 = 148.1Kpa, σ 3 = σ c = 100 Kpa 3 + sin 30.7 0
σ 1 = σ c + ∆σ 1 , σ 2 = σ 3 = σ c −
(100 + ∆σ 1 ) − (100 − 2
∆σ 1 , σ c = 100 Kpa, 代入库仑公式（1）得： 2
σi j - σ k δ 2-3、推导偏差应力张量 Si j = =σ k i j 的第一、第二和第三不变量的一般表达式与
主应力表达的公式。 解：偏应力张量
1 3
⎡ S x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ Sij = ⎢τ yx S y τ yz ⎥ ⎢ ⎣τ zx τ zy S z ⎥ ⎦
其中： Si = σ i − σ m (i = x、y、z ) ； σ m = 根据不变量的定义，有行列式
（1）对于 CTE 试验： b=1.0， CTC 与 CTE 路径下的破坏应力 （σ 1，σ 2 ，σ 3） 在同一个 π 平面上， σ m 为常数。
σ2 − µb =
σ1 +σ2 2σ − σ 1 − σ 3 σ − σ 3 µb + 1 2 = 2 ,b = 2 = , µb = 2b − 1 σ1 − σ 3 σ1 −σ 3 σ1 − σ 3 2 2
∆σ 1 ∆σ 1 ) (100 + ∆σ 1 ) + (100 − ) 2 = 2 sin 30 . 7 0 ，故 2
∆σ 1 = 82.3Kpa
因此， σ 1 − σ 3 =
3∆σ 1 = 123.5 Kpa, σ 3 = 58.9 Kpa 2
（3）对于 TE 试验：
σ 1 = σ 2 = σ c + ∆σ 1 , σ 3 = σ c − 2∆σ 1 ,σ c= 100 Kpa, 代入库仑公式（1）得：
角 z x y
(2)
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 #DIV/0! 94.85829 131.7471 85.06421 127.1394 123.3084 119.9487 129.4626 110.8594 132.8127 100.7366 #DIV/0! 74.04884 75.32733 81.66043 69.66952 108.9825 66.89838 98.77058 67.27766 88.67564 70.77126 #DIV/0! 131.0929 92.92558 133.2754 103.1911 67.70911 113.153 71.76684 121.863 78.51163 128.4922
=
[ (σ1 − σ m )( σ 2 − σm ) + ( σ2 − σm )( σ3 − σm) + ( σ1 − σm)( σ3 − σm) ]
1 ⎡ ⎤ = − ⎢σ1σ 2 + σ 2 σ3 + σ1 σ3 − ( σ1 + σ2 + σ3 ) 2 ⎥ 3 ⎣ ⎦ 1 2 2 = (σ12 + σ 2 + σ3 − σ1σ 2 − σ 2 σ3 − σ1 σ3 ) 3 1 = ⎡ (σ − σ 2 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 ⎤ ⎦ 6⎣ 1