大学数学实验期末作业论文

课程论文

题目大学数学实验课程论文

学院数学与统计学院

专业数学与金融工程

班级2010级数学与金融工程实验班

学生姓名及学号唐洪玉2010101144 郭益敏2010102131 罗文雯2010101142 王荭玥2010101131

指导教师李焕荣

职称副教授

2012 年12 月17 日

实验3 插值与数值积分

P66第11题

如图是欧洲一个国家的地图，为了计算它的国土面积，首先对地图作如下测量：以由西向东的方向为x轴，由南到北的方向为y轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y坐标y1和y2，这样得到下表的数据（单位：mm）.

图1 地图

根据地图的比例我们知道18mm相当于40km，试由测量数据计算该国国土的近似面积，与它的精确值412882

km做比较.

表1 地图边界点数据

问题分析对于这样面积的估计，求解的方法有多种，如可利用网络分割的方法进行估算，即将地图按横竖均匀分成若干矩形，先统计出边界内部的规则矩形的数量，再对包含边界的每个小矩形作更小矩形的分割，经过几次分割并统计各次股则矩形的数量，即可得到总面积的估计.

模型建立 将该地图图形放到坐标系中，如图1所示，由（7.0，44）点（表1中给出）开始测量边界的坐标点. 本题可利用梯形求积公式)x -(x 2

k 1k 1

-01

+=+∑

+=n k k k n f f T 和trapz 命令来计算该国土面积.

模型求解 编程如下：

clear

x0=[7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 ...

96.0 101.0 104.0 106.5 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0]; y0=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 ... 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68]; y1=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 ...

118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68]; hold on

plot(x0,y0,'k',x0,y1,'r'); hold off

z1=trapz(x0,y0); z2=trapz(x0,y1); z=(z2-z1)*(40/18)^2 z =

4.2414e+004

输出图形为：

20

40

60

80

100

120

140

输出国土面积计算结果为4.2414e+004.

用如下程序计算面积：

clear

x0=[7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 ...

96.0 101.0 104.0 106.5 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 ...

158.0 157.0 150.0 146.0 142.0 136.5 123.5 118.0 111.5 106.5 104.0 101.0 96.0 ...

91.0 80.5 76.5 68.5 61.0 56.0 48.0 44.5 40.5 34.0 17.5 13.0 10.5 7.0];

y0=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 ...

37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68 68 85 86 82 81 83 116 ...

122 121 121 121 124 121 118 118 116 118 117 110 110 110 100 93 72 70 59 44];

z=abs(trapz(x0,y0)*(40/18)^2)

z =

4.2414e+004

输出结果也为 4.2414e+004，则这就是该国国土的近似面积.

结果分析运用这两种程序国土面积计算结果均为 4.2414e+004，与精确值412882

km相比，相对误差为（42414-41288）/41288≈2.73%.

km是总结经查阅相关资料，这个欧洲国家是瑞士。题目给出的精确值412882

精确的瑞士国土面积，必然与程序估算的结果有一定偏差，但是我们运用Matlab 编程运算可以得出该国土的近似面积.这能使我们更加了解自己国家或他国面积.

实验5 线性代数方程组的数值解法

P111 第5题

设国民经济由农业、制造业、和服务业三个部门构成,已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表5.6所示.

（1）如果今年对农业、制造业、和服务业的外部需求分别为50,150,100亿元,问这三个部门的总产出分别应为多少？

（2）如果三个部门地外部需求分别增加1个单位,问它们的总产出应分别增加多少?

模型及求解 设有n 个部门,记一定时期内第i 个部门地总产出为i x ,其中对第j 个部门的投入为j i x ,外部需求为i d ,则

i n

j ij i d x x +=∑=1, n i ,...,2,1=. (1)

表5.6的每一行都满足(1)式.根据直接消耗系数ij a 的定义有

j ij ij x x a /=, n j i ,...,2,1,=, (2)

注意到每个部门的总产出等于总投入,所以可将(2)式中的j x 视为第j 列的总投入.由(1)式,(2)式得

∑=+=n

j i j ij i d x a x 1

,n i ,...,2,1=. (3)

记直接消耗系数矩阵n n ij a A ⨯=)(,产出向量T

n x x x x ),...,,(21=,需求向量

T n d d d d ),...,,(21=,则(3)式可写作

d Ax x +=, (4)

或

d x A I =-)(, (5)

其中I 是单位矩阵.

(1)如果今年对农业、制造业、和服务业的外部需求分别为50,150,100亿元,问这三个部门的总产出.

编制以下以下程序解方程组(5): clear clc

B=[ 15 20 30; 30 10 45; 20 60 0];

A=[B(:,1)/100 B(:,2)/200 B(:,3)/150]%直接消耗系数矩阵A