高中数学讲义-极坐标与参数方程

极坐标与参数方程

一、教学目标

本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。

二、考纲解读

极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。

三、知识点回顾

（一）曲线的参数方程的定义：

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即

⎩

⎨

⎧==)()

(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：

1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：

α

αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）

其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．

根据t 的几何意义，有以下结论．

○

1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．

○

2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2

B

A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：

θ

θsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）

3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：

θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θ

θ

sin cos a y b x ==）

中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程

为参数）ααα(.sin ,

cos 00⎩

⎨

⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：

θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θ

θ

ec a y b x s tg ==）

5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：

pt

y pt x 222== （t 为参数，p ＞0）

直线的参数方程和参数的几何意义

过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩

⎨⎧+=+=αα

sin cos 00t y y t x x （t 为参数）．

（三）极坐标系

1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐

ρ

θ

x

M

O

图1

标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．

3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θ

ρcos a

-= ⑷θρsin a =

⑸θ

ρsin a

-= ⑹)cos(ϕθρ-=a

ρθ0

ϕ

θ=0

ϕ

x

O M 图1

（ ， ）ρ

θ

θ

ρcos a =

a

M

图2

ρ

θ

θ

ρcos a -

=a O

M

图3

ρ

θ

θ

ρsin a

=

O

M

图4

a

ρ

θ

θ

ρsin a -

=O

图5

a ρθ)

,(ϕa )

cos(ϕθρ-=

a O

M p

N 图6

（ ， ）

a

4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ： ⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a

5、极坐标与

直角坐标互化公式：

αρθ

θρcos =x θρsin =y 222ρ=+y x x

y ⎪⎪

⎪

⎪

⎨⎧⎪⎩⎪⎪⎨⎧y

y

x O M H N ( , )（直极互化 图）

θ

ρcos 2a =ρ

θ

a

x

O

M

图2

ρ

θ

θ

ρsin 2a =a

x

O

M

图4

ρ

θ

θ

ρsin 2a -=a x

O 图5ρ

θ

θ

ρcos 2a -=a

x

O

M

图3

ρθ

a

=ρa x

O

M

图1

ρ

θ

)

,(ϕa )

cos(2ϕθρ-=a a

x

O M

图6