对称性原理(2010)_74909883
对称性
《对称性原理》课件
05 对称性原理的证明方法
代数证明方法
代数方法：通过代数运算和证明，得出对称性原理的结论 代数方程：建立代数方程，求解方程，得出对称性原理的结论 代数变换：通过代数变换，得出对称性原理的结论 代数结构：研究代数结构，得出对称性原理的结论
几何证明方法
利用几何图形的对称性，如轴对称、中心对称等 通过几何图形的变换，如旋转、反射等，来证明对称性原理 利用几何定理，如平行线、垂直线等，来证明对称性原理 通过几何图形的性质，如面积、周长等，来证明对称性原理
03 对称性原理的基本概念
轴对称
轴对称的定义： 如果一个图形沿 着一条直线折叠 后，两侧的图形 能够完全重合， 那么这个图形就 是轴对称图形。
轴对称的性质： 轴对称图形的对 称轴是图形的对 称中心，也是图 形的对称轴。
轴对称的应用： 在几何学、物理 学、化学等领域 都有广泛的应用。
轴对称的种类： 包括线对称、点 对称、面对称等。
了对称性
对称性在数学 中的地位不可 替代，它是数 学研究的重要
工具和方法
对称性在数学 中的地位不断 提升，越来越 多的数学家开 始关注对称性 在数学中的作
用和意义
对称性原理的提出
提出者：杨振宁 和李政道来自提出时间：1956 年
目的：解释弱相 互作用中的宇称 不守恒现象
影响：推动了物 理学的发展，改 变了人们对宇宙 的认识
对称性原理的未来发展
应用领域：物理、 化学、生物、数 学等学科
研究方法：理论 研究、实验验证、 数值模拟等
发展趋势：从微 观到宏观，从简 单到复杂，从静 态到动态
挑战与机遇：解 决实际问题，推 动学科发展，促 进技术创新
07 总结与展望
对称性原理的重要性和意义
2.1对称性原理—物质世界最高层次的规律
时间反演 自由落体 速度 加速度 竖直上抛
第 2章 对称性原理—— 物质世界最高层次的规律
对称性无处不在
水滴落在水面上荡起的对称波纹
孔雀羽毛中的对称性
对称成为社会文化的组成部分
对称就是美
2.1 对称性
2.1.1 物质世界中的对称性和人类的早期认识
无机世界
有机世界
人类文明
1. 数学中的对称性 A+B =B+A A + (B + C) = (A + B) + C
6. 时间平移 如果一个物体,在时间上平移某一时间间隔后,和原
来的完全相同,则称该物体具有时间平移不变性,或时间 平移对称性。 静止不变的体系：对任意t 都具有时间平移不变性 周期性变化的体系：如右图中的单摆
7. 时间反演 时间反演就是把 t 变成 – t 的变换。
具有时间反演不变性的现象，称为具有 时间反演对称性。
开始时，首先画一个大写字 母“Y”，接着在“Y”的两个分岔上 再分别画上两个“Y”，大小大约是 原来的一半。紧接着，再在每个 “Y”的分岔上再画上更小的“Y”。 再接下来就按照上面的方法，不停 地添加越来越小的“Y”，直到整个 图形看上去象一棵树。
植物中整体与局部的相似性
分形用于自然景物制图时非常有用。在自然界中，从小溪的流水， 到袅袅的炊烟，还有连绵的山脉，很多景物如果用通常的方法，都很 难做出优美逼真的图画来。但是，如果使用分形技术，则一切都变得 非常容易。下面的三幅图是外国科学家作品:
z
该形体具有平移对称性。
2. 转动平移
如果某一物体绕某一固 定轴转动某一角度，从表面 上看该物体和未转动前完全 相同，这种对称叫做转动对 称，或轴对称。
物理学中的对称性原理
物理学中的对称性原理在物理学中，对称性原理是一项非常重要的基础理论，它在描述自然界中各种物理现象和规律时起着至关重要的作用。
对称性原理是指在物理学中，系统的性质在某种变换下保持不变的性质。
这种不变性可以帮助我们理解和预测自然界中发生的各种现象，从微观粒子到宏观宇宙，对称性原理都贯穿其中。
一、空间对称性空间对称性是指系统在空间平移、旋转或镜像变换下保持不变的性质。
在物理学中，空间对称性是非常重要的，因为它可以帮助我们理解空间中的各种物理规律。
例如，牛顿定律在空间平移下是不变的，这意味着物体的运动不受空间位置的影响。
另外，电磁场的麦克斯韦方程组也具有空间对称性，这表明电磁场的性质在空间变换下保持不变。
二、时间对称性时间对称性是指系统在时间平移下保持不变的性质。
在经典力学中，牛顿定律具有时间对称性，这意味着物体的运动不受时间的影响。
另外，热力学第二定律也具有时间对称性，这表明热力学系统在时间变换下保持不变。
三、粒子对称性粒子对称性是指系统在粒子变换下保持不变的性质。
在粒子物理学中，粒子对称性是非常重要的，因为它可以帮助我们理解粒子之间的相互作用。
例如，电荷守恒定律表明系统在电荷变换下保持不变，这意味着电荷是守恒的。
另外，弱相互作用的手性对称性也是粒子对称性的一个重要例子。
四、规范对称性规范对称性是指系统在规范变换下保持不变的性质。
在现代物理学中，规范对称性是描述基本相互作用的重要工具。
例如，电磁相互作用和强相互作用都可以通过规范对称性来描述。
规范对称性的破缺可以导致粒子获得质量，从而形成物质的结构。
五、对称性破缺在物理学中，对称性破缺是指系统在某些条件下失去对称性的现象。
对称性破缺可以导致一些新的物理现象的出现，例如超导现象和弱相互作用的手性破缺。
对称性破缺也是现代物理学中一个重要的研究课题，它可以帮助我们理解自然界中复杂的现象和规律。
总结起来，对称性原理在物理学中扮演着非常重要的角色，它帮助我们理解自然界中的各种现象和规律。
物理学中的对称性原理与应用
物理学中的对称性原理与应用引言：在物理学中，对称性原理是一项重要的基本原理，它在多个领域中发挥着重要作用。
本文将探讨对称性原理在物理学中的应用和重要性。
一、对称性原理的基本概念对称性原理是指物理系统在某种变换下保持性质不变的基本原理。
在物理学中存在许多不同类型的对称性，包括空间对称性、时间对称性、粒子对称性等。
这些对称性原理是物理学研究中的重要工具，用于解释观测数据和构建理论模型。
二、空间对称性及其应用1. 轴对称性轴对称性是指物体在某个轴线上的性质保持不变。
在理论物理中，轴对称性在麦克斯韦方程、量子力学和粒子物理学中都有重要应用。
例如，轴对称性被用于解释分子中的电子云密度分布，为化学反应提供理论依据。
2. 镜面对称性镜面对称性是指物体在镜面对称变换下保持性质不变。
镜面对称性在光学中有重要应用，用于描述镜面反射、透射和折射等现象。
此外，在高能物理中，镜面对称性也用于描述粒子的反对称性。
三、时间对称性及其应用1. 时间反演对称性时间反演对称性是指物理系统在时间反演变换下保持性质不变。
这一原理在统计物理中扮演着重要角色，用于解释系统热力学性质和传导过程。
例如，在热力学中，时间反演对称性可用于推导出热平衡态下的熵增原理。
2. 粒子-反粒子对称性粒子-反粒子对称性是指粒子和反粒子在物理性质上具有相同的对称性。
这一对称性在粒子物理学中有广泛应用，特别是在反物质研究中。
例如，正电子是电子的反粒子，它们在物理性质上具有相同的对称性。
四、粒子对称性及其应用1. 电荷守恒和电荷共轭对称性电荷守恒和电荷共轭对称性是指物理过程中总电荷量守恒和粒子与反粒子之间的对称性。
这些对称性在粒子物理学中有广泛应用，例如，它们被用于解释弱相互作用中的荷和流的变换。
2. 弱相互作用和CP对称性弱相互作用和CP对称性是指物理系统在弱相互作用和同时时间反演、空间反演以及粒子反粒子转换下的对称性。
这些对称性在粒子物理学中的重要性不言而喻，例如，它们解释了中微子振荡现象，揭示了物理学中的重要谜题。
物理学中的对称性原理
物理学中的对称性原理物理学中的对称性原理是指在自然界中存在着各种对称性，并且这些对称性对于物理定律的描述和解释起着重要的作用。
对称性原理是物理学中的基本原理之一，它帮助我们理解和解释了许多重要的物理现象和规律。
一、空间对称性空间对称性是指物理系统在空间变换下保持不变。
在三维空间中，常见的空间对称性有平移对称性、旋转对称性和镜像对称性。
1. 平移对称性平移对称性是指物理系统在空间平移下保持不变。
例如，一个理想的无限大平面是具有平移对称性的，因为无论我们在平面上的哪个位置进行平移，物理规律都不会发生变化。
2. 旋转对称性旋转对称性是指物理系统在空间旋转下保持不变。
例如，一个球体是具有旋转对称性的，因为无论我们如何旋转球体，物理规律都不会发生变化。
3. 镜像对称性镜像对称性是指物理系统在空间镜像变换下保持不变。
例如，一个理想的平面镜是具有镜像对称性的，因为无论我们如何在镜子前面进行镜像变换，物理规律都不会发生变化。
二、时间对称性时间对称性是指物理系统在时间反演下保持不变。
时间反演是指将时间进行反向运动，即将过去变成未来，未来变成过去。
在自然界中，许多物理定律在时间反演下是不变的，例如牛顿力学中的运动定律。
三、粒子对称性粒子对称性是指物理系统在粒子变换下保持不变。
粒子变换是指将一个粒子变成另一个粒子，例如将一个电子变成一个中子。
在粒子物理学中，粒子对称性是非常重要的，它帮助我们理解了基本粒子的性质和相互作用。
四、规范对称性规范对称性是指物理系统在规范变换下保持不变。
规范变换是指改变物理系统的规范场，例如电磁场的规范变换。
规范对称性在量子场论中起着重要的作用，它帮助我们理解了基本粒子的相互作用和守恒定律。
五、对称性破缺尽管对称性在物理学中起着重要的作用，但在某些情况下，对称性会被破缺。
对称性破缺是指物理系统在某些条件下失去了原有的对称性。
例如，在自然界中，电磁力和弱力在高能量下是统一的，具有电弱对称性。
然而，在低能量下，电磁力和弱力分离开来，电弱对称性被破缺。
对称性原理
对称性原理
对称性原理是超越物理各个领域的普遍法则， 在未涉及一些具体定律之前，我们往往可能根据
对称性原理作出一些判断，得出某些有用的信息。 这些法则不但不会与已知领域中的具体定律相悖， 而且还能指导我们去探索未知的领域。
对称性原理
§5.4.2守恒律与对称性
在物理学中具有更深刻意义的是物理定律的对称性. 物理定律的对称性是指经过一定的操作后，物理定律的 形式保持不变，因此物理定律的对称性又叫不变性.
ddddddxsxsxsllixlixmixmm000xsxsxsllixlixmixmm000
(((xxx)))222(((yyy)))222 |||xxx|||
llilimimm
xxx000
111(((yxyxyx)))222
x′ x
左手
右手
坐标
坐标
z′ y′··y z
反射面
反射面
(a)
(b)
上下、左右均对称 只左右对称
(c) 坐标系反射
根据镜象反射的性质可将物理学中的矢量
分成两类： 极矢量 和 轴矢量
对称性原理
极矢量：镜象反射中垂直反射面的分量反向， 平行反射面的分量不变向。
如：r，v，a，E ，…
v′
v′ v
v
v′ v
v′
v
v′ v
反射面
对称性原理
轴矢量（赝矢量）：镜象反射中垂直反射面的
分量不变向 ，平行反射面的分量反向。
如：，L，pm，B，…
··
L′ L
L′
L
··
L′
L
反射面
L′
r
p
L
L
（极） （极） （轴）
对称性原理在量子力学中的应用
对称性原理在量子力学中的应用量子力学是研究微观世界的理论，它描述了原子、分子和其他微观粒子的行为。
在量子力学中，对称性原理是一条非常基础的原理，它在解决很多问题时具有非常重要的作用。
一、对称性原理的概念对称性原理是指在某个系统中的一些操作或变换不会改变系统的性质或状态。
这些操作包括平移、旋转、反演等等。
如果一个物理系统具有某种对称性，则相应的物理量也具有相同的对称性。
例如，在一个均匀的无限大空间中有一个电子，它可以朝任意方向飞行。
这个系统的性质并不会随着它的旋转或反演而改变。
因此，我们可以得出这个系统具有空间对称性。
对于这种系统，角动量和动量也具有相应的对称性。
二、对称性在量子力学中的应用对称性在量子力学中有着很多应用。
以下是一些常见的例子：1. 空间对称性空间对称性是指系统的性质在空间变换（例如旋转）下不变。
例如，一个在三维空间中自旋为0的玻色子系统，其波函数必须在空间翻转下不变。
这个条件可以用一个对称性变换符号来表示。
2. 时间对称性时间对称性是指系统的性质在时间反演下不变。
例如，一个自旋为1的费米子系统，在时间反演下，它的波函数将会有一个负号。
这个条件可以用一个对称性变换符号来表示。
3. 自旋对称性自旋对称性是指物理系统在旋转下对应的本征值具有对称性。
例如，对于自旋为1/2的费米子系统，所有统计的态（即所有的自旋和动量）必须具有空间反演和时间反演的对称性。
4. 拉格朗日对称性拉格朗日对称性是指在共轭轨道模型中，通过一个粒子不同的路径得到的相位是相等的。
这个对称性在解决电磁场问题时非常有用。
三、对称性原理的意义对称性原理在理解和求解量子力学问题时非常有用。
例如，在确定一个系统的波函数时，对称性原理可以帮助我们找到可能的波函数形式。
另外，在研究量子力学中的各种特性时，对称性原理也可以帮助我们简化问题以提高求解的效率。
总之，对称性原理是量子力学中的一个非常重要的基础概念。
在解决各种有关微观粒子和各种物理现象时，对称性原理的应用可以帮助我们更加深入地理解问题的本质，进而提高我们的研究能力。
大学物理：对称性
质点系所受合外力矩为零时，其总角动量 为恒矢量。
药物设计应用举例：一种新开发的用于磁共振成像的水 溶性造影剂，避免其中金属原子对人体的潜在危害。
钪（Sc）原子
氮原子
水分子
钆（Gd）原子
文学创作中的对称
天 连 水 尾 水 连 天 雾 锁 山 头 山 锁 雾
凉 风 动 水 碧 莲 香
长 日 夏 凉 风 动 水
水 动 风 凉 夏 日 长
香 莲 碧 水 动 风 凉
对称性与守恒定律
从十分复杂的实验中所引导出来的一些 对称性，有高度的单纯与美丽。这些发展给 了物理学工作者鼓励与启示。他们渐渐了解 到自然现象有着美妙的规律，而且是他们可 以希望了解的规律。
－－－杨振宁
结构框图 对称性 概念 对称性 原理 对称性与 守恒定律 对称性的 自发破缺
由简单到复杂，由感性到理性，由具体到抽象，初 步理解关于对称性的基本概念，认识对称性思想方 法的重要意义。
黑白－对应于原子磁矩的正反取向－描述磁有序结构 对称性－磁空间群
黑白－更多颜色－n维对称群－描述准周期结构
二、对称性原理
对称性与自然规律之间是什么关系?
自然规律反映了事物之间的因果关系，其对称性即： 等价的原因 等价的结果 对称的原因 对称的结果
对称性原理(皮埃尔· 居里)：
• 原因中的对称性必反映在结果中，即结果中的对称性至 少有原因中的对称性那样多；
T 2
L g
2.空间平移对称
无限长直线：对沿直线移动任意步长的平移操作对称。 无限大平面：对沿面内任何方向、移动任意步长的平移操作对称。 平面网格：对沿面内某些特定方向、移动特定步长的平移操作 (不变元)对称。
一个图形可以有很多不变元。
对称性原理
对称性原理对称性原理是自然界中一种普遍存在的规律，它在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
对称性原理指的是某个系统在某种变换下保持不变的性质。
在物理学中，对称性原理是研究物理规律的重要方法之一，它可以帮助我们理解自然界中许多现象和规律。
下面我们将从物理学、化学和生物学三个方面来介绍对称性原理的应用。
首先，我们来看看对称性原理在物理学中的应用。
在物理学中，对称性原理是描述自然界中基本相互作用的重要方法。
例如，在相对论性量子力学中，对称性原理被广泛应用于描述基本粒子的性质和相互作用。
在相对论性量子场论中，对称性原理被用来推导出基本相互作用的规律。
此外，在凝聚态物理学中，对称性原理也被用来研究晶体的结构和性质。
总之，对称性原理在物理学中有着广泛的应用，它帮助我们理解了许多自然界中的现象和规律。
其次，对称性原理在化学中也有着重要的应用。
在化学中，对称性原理被用来描述分子的结构和性质。
例如，通过对称性分析可以推导出分子的振动模式和光学性质。
此外，在化学反应中，对称性原理也被用来预测反应的速率和产物的构型。
总之，对称性原理在化学中有着重要的应用，它帮助我们理解了许多分子和反应的性质。
最后，对称性原理在生物学中也有着一定的应用。
在生物学中，对称性原理被用来研究生物分子的结构和功能。
例如，通过对称性分析可以推导出蛋白质的结构和功能。
此外，在生物反应中，对称性原理也被用来预测反应的速率和产物的构型。
总之，对称性原理在生物学中有着一定的应用，它帮助我们理解了许多生物分子和反应的性质。
综上所述，对称性原理是自然界中一种普遍存在的规律，它在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
通过对称性原理的研究，我们可以更好地理解自然界中的许多现象和规律，促进科学的发展和进步。
希望本文能够帮助读者更好地理解对称性原理的应用。
量子力学的对称性原理及其应用
量子力学的对称性原理及其应用量子力学是描述微观物理世界的基本理论。
其充满了许多令人惊奇的现象和概念，其中一个核心概念就是对称性。
对称是自然界中广泛存在的一种现象，它可以在各个层次和尺度上发现。
量子力学的对称性原理则指出，物理系统在变换下具有某种不变性，即物理规律保持不变。
正是基于这个原理，科学家们在量子力学的发展过程中，提出了许多重要的理论和应用。
在量子力学中，对称性原理分为几种不同的类型，最常见的是时间反演对称性和空间反演对称性。
时间反演对称性是指物理系统的时间演化过程可以通过翻转时间方向进行描述。
具体来说，在量子力学中，如果一个物理过程在时间反演变换下发生了变化，那么它的时间反演对称性就被破坏了。
这种对称性的破缺在许多实验中都得到了验证。
例如，若在常规物质中观察到的粒子的行为与时间变化相关，则在其时间演化后的观察中，会得到与实验观测到的不同的结果。
另一方面，对于某些特殊的物理系统，时间反演对称性可以得到很好的保持。
对称性的保持有助于科学家们更好地理解量子系统的性质，并为量子计算等技术的发展提供了基础。
空间反演对称性是指物理系统的物理特性在空间翻转下保持不变。
简单来说，如果一个物理过程在空间反演变换下改变了它的性质，那么它的空间反演对称性就被破坏了。
在实践中，空间反演对称性通常意味着物理规律对于左手和右手坐标系是相同的。
同样地，空间反演对称性在某些特定的情况下被破坏，例如在磁场中，电子的运动规律会发生改变。
除了时间反演对称性和空间反演对称性，量子力学还包括其他形式的对称性，例如粒子-反粒子对称性、场变换对称性等。
这些对称性原理提供了物理现象背后的深层结构和规律。
量子力学的对称性原理不仅仅在理论层面有着重要的意义，还在科学和技术应用中发挥着重要作用。
对称性原理在新材料的研究和合成中具有广泛的应用。
通过研究物质的对称性和反对称性，科学家们能够预测材料的性质和行为。
例如，金刚石就是由碳元素构成的晶体，由于其晶体结构具有高度的对称性，使得金刚石具备了良好的硬度和耐磨性。
对称性原理
在对称性匹配的原子轨道中，只有能量相近的原子轨道才能组合成 有效的分子轨道，而且能量愈相近愈好，这称为能量近似原则。
Байду номын сангаас
对称性匹配的两个原子轨道进行线性组合时，其重叠程度愈大，则 组合成的分子轨道的能量愈低，所形成的化学键愈牢固，这称为轨 道最大重叠原则。
在上述三条原则中，对称性匹配原则是首要的，它决定原子轨道有 无组合成分子轨道的可能性。能量近似原则和轨道最大重叠原则是 在符合对称性匹配原则的前提下，决定分子轨道组合效率的问题。
在原子轨道线性组合成分子轨道的理论中，为使参 与成键的各原子，它们的不同原子轨道能够有效地 组合成分子轨道，通常要求其必须满足一定的条件。
成键三原则 （1）对称性匹配原则 （2）能量近似原则 （3）轨道最大重叠原则
只有对称性匹配的原子轨道才能组合成分子轨道，这称为对称 性匹配原则。 原子轨道有s、p、d等各种类型，从它们的角度分布函数的几 何图形可以看出，它们对于某些点、线、面等有着不同的空间对称 性。对称性是否匹配，可根据两个原子轨道的角度分布图中波瓣的 正、负号对于键轴（设为x轴）或对于含键轴的某一平面的对称性 决定。
原子轨道的对称性，实质上也是从一个侧面体现出在 原子体系中的电子运动状况。参与成键的各原子轨道 对称性匹配还是不匹配，将决定其线性组合成分子轨 道的可能性有还是无的问题；而另外两个条件，则是 决定线性组合的多或少、及组合效率高和低的问题。 因此三个条件里，对称性条件起着首要的、根本的、 前提条件的作用。对称性匹配可保证形成的分子轨道 节面少、能量低，有利于分子稳定。
大学物理多媒体课件第34章对称性原理.ppt
由分析力学、量子力学 严格证明：
空间平移不变性 对应 动量守恒定律
空间转动不变性 对应 角动量守恒定律
时间平移不变性 对应 能量守恒定律
等等（赵凯华新概念力学中有普物推导）
优秀课件，精彩无限！
10
四.对称性原理 原因中的对称性必然反映在结果中
结果中的对称性至少和原因中的对称性一样多 结果中的不对称性必然出自原因中的不对称性
科学家谈物理 丛书值得一读
所以 一种对称性的发现比一种 特定的现象的发现意义还大
与外星人握手要小心噢！
优秀课件，精彩无限！
14
根据对称，
物理学的各个分支逐渐走向统一
万有引力 天上的 地 爱因斯坦想 把万有引力和电磁学统 夭折了 一起来的尝试 由于当 时不知道还有强作用和 弱作用
成。但用种的甘蔗榨出来的蔗糖分子则只有左型
的。现代生化实验确认：生物体内蛋白质几乎都
是由左型蛋白质组成，对高等的生物尤其如此。
有人做过如下 为什么只剩 实验：将人工合 下右型的？ 成的糖液(含等量 左右型糖分子） 作细菌培养
人工合成 的糖液
原来为了自己的生
命，动植物只吃与
自己对路的左型蛋
白。
优秀课件，精彩无限！
n 1,l ms 0
dW 2
dV
n 优秀课件，精彩无限！ 3, l 1; m 1 21
对称性是物理规律的整体特性，通过诺特尔 定理。我们可以寻找各种守恒量及粒子之间的 各种相互作用。
而对称性自发破缺的起源和机制，属于目前 理论物理最前沿的疑难问题。被称为二十一世纪 的乌云之一。
5
-x2
x2
-x1
x1
-x3
镜面
对称性原理
7.1.1
即 DˆR E 也是一个能量为 E 的本征态。如果 E 是非简并态，那么 E 同时也是算
符 DˆR的本征态
DˆR E R E
7.1.2
并且，由于对称性操作 Rˆ 作用于体系不会改变体系的任何物理性质，因此一定有
x Dˆ R E 2 R 2 x E 2 x E 2
R 2 1 R ei
Dˆ n
(
)
e
i
Jˆ nˆ
7.1.9
式中n 为旋转轴，为旋转角， Jˆ 为总角动量算符。体系如果具有旋转对称性，即
Dˆn(), Hˆ0，这时相应的角动量就是守恒量。
III. 时间平移与能量守恒
时间平移的算符就是时间演化算符，相应的产生算符是哈密顿算符本身，因
此能量守恒本身是时间平移对称性的结果。这些在第五章已经介绍, 故不再讨论。 IV. 宇称与宇称守恒
在量子力学中，对称性有着特别重要的意义。一方面，对称性对于基本理论 的发展具有极端的重要性，这一点在基本粒子物理中体现得尤为明显。另一方面， 对称性在实际应用中也有着巨大的实用性，在很多情况下，对称性构成了我们描 述事物性质规律的基本语言。在将量子力学应用于实际问题时，通过充分利用体 系的对称性，可以大大简化问题。
关于对称性的数学就是群论。群论及其在化学或物理学中的应用本身就是一 门非常重要的基础性课程，有着很丰富的内容。由于篇幅所限，这里我们只是讨 论一下关于对称性和群论在量子力学的应用最为核心的内容。
83
§7.1 对称与守恒
量子力学中的对称性
首先我们来看如何在量子力学的框架里定义对称性。对物理体系在空间或时 间施加一定的操作 Rˆ ，该操作对体系微观状态的作用可以用算符 DˆR来表示，如果
对称性原理在物理学中的表现形式
对称性原理在物理学中的表现形式在近代科学的开端，哥白尼对日心说的数学结构做了美学说明和论证，他从中看到令人惊异的“对称性”与“和谐联系”——这可以说是科学美学的宣言书.开普勒醉心于宇宙的和谐，他在第谷的庞杂数据中清理出具有美感的行星运动三定律，并由衷地感到难以置信的狂喜和美的愉悦.伽利略对落体定律的揭示，在纷繁的事实多样性中求得统一的定律.牛顿的严整而简单的力学体系把天地间的万物运动统摄在一起，他推崇和倡导节约原理，并认为上帝最感兴趣的事情是欣赏宇宙的美与和谐.这一切，谱写了近代科学的美的协奏曲.以相对论和量子力学为代表的现代科学，更是把科学审美发挥到了极致.撇开这些理论的抽象的理性美和雅致的结构美不谈，令人叫绝的是，数学实在和物理实在之间的（神秘的）一致是由群的关系保证的，科学理论中审美要素的存在是由群的真正本性决定的——对称性或不变性（协变性，invariance）之美跃然纸上！(1)经典物理学中的对称性原理在原始的意义上，对称是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性.物理是研究客观世界的最基本规律的一美科学，而它们在很多方面存在着对等性，例如：正电荷和负电荷、电荷的负极与正极、光速的可逆性、空间与时间、正功与负功、质子与中子、电子与正电子等均具有对称性.万有引力公式F=GMm/r2与静电力公式F=KQ1Q2/r2，弹性势能公式E=0.5kx2与动能公式E=0.5mv2，凸透镜成象公式1/u+1/v=1/f与并联电阻公式1/R1+1/R2=1/R、弹簧串联公式1/k1+1/k2=1/k，欧姆定律公式I=U/R与压强公式P=F/S、密度公式ρ=m/V 、电场强度E=F/Q、电压U=W/Q与电容C=Q/U，安培力F=BIL与电功W=Uit，重量G=ρgV与热量Q=cm Δt等均具有相似性根据这些相似性.开普勒用行星轨道的椭圆对称性代替了古希腊人所坚持的圆形对称性, 开普勒第一定律：每个行星都沿椭圆轨道运行，太阳就在这些椭圆的一个焦点上.物理学中有一些规律属于基本定律，它们具有支配全局的性质，掌握它们显然是极端重要的.例如力学中的牛顿定律是质点、质点组机械运动（非相对论）的基本定律，电磁学的麦克斯韦方程组是电磁场分布、变化的基本定律，物理学中还有另外一种基本定律的表述形式，这就是最小作用原理（变分原理），它可表述为系统的各种相邻的经历中，真实经历使作用量取极值.可以看出最小作用原理的表述形式与牛顿定律、麦克斯韦方程组的表述形式极不相同.牛顿定律告诉我们，质点此时此刻的加速度由它此时此刻所受的力和它的质量的比值决定；麦克斯韦方程组告诉我们，此时此刻的电场分布由此时此刻的电荷分布以及此时此刻的磁场的变化决定，此时此刻的磁场分布由此时此刻的电流分布以及此时此刻的电场的变化决定，它们以微分方程式的形式出现，指明所研究系统（质点或场）的状态在其真实经历中是如何随时间变化的.而最小作用原理则告诉我们，系统的各种可能的经历中，真实的经历总是使作用量取极值.牛顿定律和麦克斯韦方程组把注意力集中在每一时刻系统所处的状态，而最小作用原理则是总观系统的各种可能的经历，并用作用量取极值挑选出真实的经历来.可以看出牛顿定律和麦克斯韦方程组比较具体细致，而最小作用原理则比较抽象含蓄.正是最小作用原理比较抽象含蓄，它概括的面更广泛，不仅适用于机械运动（非相对论）场合，可以导出牛顿定律；而且也适合于电磁场场合，可以导出麦克斯韦方程组；甚至它还可以适合其他场合，导出物理学其他领域的基本定律.可见最小作用原理才是综合整个物理学的真正的基本定律.根据最小作用原理导出各个领域的具体基本定律的方法就是先找出系统不同经历的作用量来，然后从中选择出相对邻近的经历作用量取极值的经历，它就是真实的经历，其中隐含了系统变化的基本定律.在这点，要找出游同经历的作用量，对称性分析起着决定性的作用，对称性制约物理定律的形式得到最好的体现.如果一具研究领域内的全部对称性已经清楚，则作用量可以完全被确定，从而也就可以得出这个领域的基本定律.例如在非相对论力学范围内，根据空间各向同性、空间平移不变性、时间平移不变性和伽利略变换不变性，可以找出作用量等于系统的动能减去势能对经历的累加，由此可导出牛顿定律.由于存在最小作用原理，对称性在物理基础研究中显示出其重要地位.物理学家通过对称性分析找出不同经历的作用量，从而确定具体领域的基本定律.物理学家们研究一个新的领域，常常是试探地分析其中的对称性，在描述这个世界的作用量公式中增加一些描述新领域的项，从而得到该领域的新的基本定律.（2）现代物理学中的对称性原理对称性在量子理论中定义为:事物在一组变动中保持不变的性质.万物皆动,那动中的不动便是规律；这是动与静的关联,变与不变的哲学.人们把这种变动称为对称性变换，保持不变的性质又可以表述为不可观测性或不可区分性，于是对称性又和守恒定律联系起来.二十世纪初，物理学家开始明白，一切物质都是由某几种不同的粒子组成的.１９３０年，英国物理学家狄拉克在研究这些粒子的数学理论时断言说，每一种粒子都应该会有它的对立面.电子具有负电荷，而质子具有大小正好相同的正电荷，但这两种粒子并不是对立面，质子的质量显然比电子大得多.按照狄拉克的意见，应该存在着一种具有与电子同样大的质量、但却带有一个正电荷的粒子，也应该有一种具有与质子同样大的质量、但却带一个负电荷的粒子.这两种粒子后来确实被人们探测到了，因此，我们现在知道有一种“反电子”（即“正电子”）和一种“反质子”.中子根本不带任何电荷，但它有一个指向某个方向的磁场.“反中子”也不带电荷，但它的磁场所指的方向同中子的磁场相反.似乎存在着这样一条自然规律：一个粒子可以转变为另一个粒子，但是，要是在起先并不存在粒子的情况下产生了一个粒子，就必定会同时产生一个反粒子.不论我们怎样调节时间，物理定律也都有着相同的形式；这并不是说事物不随时间变化，而是说在不同时间和不同地方发现的定律是相同的.可以想像，如果没有这种对称性，那么在任何一个新的地方，任何一个新的时刻，我们的物理定律都得重新建立.自然定律的对称性在经典物理学中当然很重要，但更重要的还是在量子力学中.电子的能量、动量、自旋，除了这些以外，宇宙中的每一个电子都是一样的.正是电子的这些性质，描述了电子的量子力学波函数在对称变换下的响应.这使得物质在物理学中失去了中心的地位，留下的只有对称性原理和波函数在对称变换下可能的不同行为方式.比那些简单的平移或旋转运动更不易觉察的还有时空的对称性.以不同速度运动的观察者看到的物理定律仍然具有相同的形式不论文明在什么地方做实验，都不会有什么不一样.这种对称性被称为相对性原理.在牛顿的经典力学理论中已有了相对性原理的概念；不过牛顿认为相对性原理是理所当然的；而爱因斯坦则把相对性原理与一个实验事实协调起来，即真空光速不变原理.他在狭义相对论中把对称性作为一个物理学问题来强调，这标志着现代对称性思想的开始.在牛顿和爱因斯坦的理论中，观测者的运动都会影响观测者在时空中的位置，两者最重要的差别在于牛顿力学理论是以绝对空间和绝对时间作为理论框架，而运动是相对的.狭义相对论则是以真空光速不变原理作为理论框架，而时间和空间是相对的.在狭义相对论中，说两件事物是同时发生是没有任何意义的.格纳是20世纪著名物理学家,他在量子力学的发展中做出了许多重要贡献，还将群论用于量子力学研究，奠定了量子力学和基本粒子理论中对称性原理的基础.在1963年，维格纳由于对称性基本原理的发现和应用荣获诺贝尔物理学奖.宇宙中物质与能量对偶性的发现，最精典的是超弦理论中的T对偶性、S对偶性以及弦——弦对偶性.在物理学中经常考虑物理规律在某种对称变换下的不变性，因为根据诺特定理：每一种对称性均对应于一个物理量的守恒定律，反之亦然.例如：空间平移对称对应于动量守恒定律，时间平移对称对应于能量守恒定律，旋转对称对应于角动量守恒定律.从信息观点看：单元具有全部的信息，平移只是重复，毫无新意.哥白尼原理（在宇宙中没有任何特殊的位置，每一个观察者看到的现象都是一样的.）是对称的绝对性的表现形式.在量子力学中,作为全同粒子的玻色子具有对称性,而费米子具有反对称性J,二者分别表现为对易关系和反对易关系.碰撞理论和Feynman图中具有各种对称性.1968年提出的Veneziano模型是在此之前许多量子理论的集大成者,由它可以得到双关性(dualitv),S道的一个共振态相应于t道的无限多条Regge轨迹;反之,t道的一条Regge轨迹相应于S道的无限多个共振态.在Chew等发展的靴带(bootstrap)模型中,各种基本粒子完全平等,彼此对称,互相组成而没有下一层次的结构.由U(1)对称性导致电荷守恒及量子电动力学(QCD)等.对称性发展为SU(2)等,则导出Yang—Mills场等非Abel规范理论.更一般地说,场论与统计力学之间具有形式上的类似性,这也是一种对称性.对称原理的应用常常可以导出某些新的结果,例如麦克斯威的位移电流,德布罗意的物质波,及狄拉克预言的反粒子,磁单极子等.韦斯科夫论述了对称性在核,原子和复杂结构中的作用.物理学中的对称则有更加深刻的含义，它是指某类对象的全体（在数学上通常称为集合，用Ｓ标记）在某种操作（数学上称为变换，用Ｔ标记）下不变的性质.变化群体的科学组合，形成变换群.所有的物理理论都有自己的变换群：伽利略变换的全体构成牛顿力学的变换群；洛仑兹变换的全体构成电动力学和狭义相对论的变换群；时空的任意坐标变换构成广义相对论的变换群……它们各自的基本方程在自己的变换群下形式是不变的，它们都是对称的理论.广义相对论之所以能震撼几乎所有物理学家的心灵就在于它的变换群是我们四维时空中最广泛、最一般的变换群.一、从宏观上看：在物理学中它起着重要的作用，通过对系统所具有的对称性的分析，可以得到系统相应的守恒量，这些守恒量的存在对于了解系统的物理状态和性质就十分重要. 二、在微观世界中，特别是在粒子物理学中，对称性就更为重要了. 首先，从对称性原理出发，可以唯象地构造系统的拉氏量的形式，或者从规范（不变）原理出发，所构造的拉氏量自动地给出了相互作用的形式. 其次对称性还可以判断一个过程能否发生及粒子的寿命.粒子的衰变是由相互作用引起的，相互作用越强，粒子衰变越快，寿命越短.强相互作用满足的对称性最多，由对称性导致的守恒律也最多，是许多过程不能发生.因而不是所有的粒子都能作强衰变.电磁作用有较小的对称性，所以当粒子不能发生强衰变时，它可以发生电磁衰变，如果连弱衰变都不能发生，那么这些粒子就是稳定的.在强相互作用，弱相互作用，电磁相互作用中，吸引和排斥都是对称的.基本粒子理论的“标准模型”的基本假定之一是理论必须对称，运动方程中的相互作用哈密尔顿函数和波函数都必须具有“对称性”.理论物理中的“对称性”的含义是，哈密尔顿函数和波函数都必须具有规范不变性.把“对称性”当作自然定律或原理完全是一种信仰，并不是实验所能证实的普适原理.物理学中存在一个显著的事实，自然中发现的大多数粒子有自旋，这是一种独立于空间自由度X、Y、Z以外的转动.如果将电子在原子内的运动和行星在太阳系中的运动对比，电子的轨道角动量表示的转动相当于行星的公转，自旋角动量表示的转动相当于行星的自转，自旋角动量的大小是粒子的固有性质，组成普通物质的粒子如电子、质子和中子，自旋角动量为1/2h.只包括一些公转的粒子而每一个粒子都不自旋的对象不允许有这个角动量值.它只能是由自旋为粒子自身的固有性质而引起的（也就是说，不是因为它的“部分”围绕某种中心的公转引起的）.具有自旋为h/2的奇数倍（如h/2、3h/2或5h/2等等）的粒子称为费米子.它们在量子力学描述中呈现出非常奇怪的行径，完整的360度旋转使态矢量回到负的态矢量，而不是回归到自身，需要再旋转3600，即总共7200其态矢量才回归到自身，自然界的许多粒子就是这种费米子.。
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的球作对心碰撞后的速度必 然在球心联线上, 然在球心联线上,且大小相 v10 v1 方向相反. 动量守恒) 等,方向相反. 动量守恒) (
o1 m
C
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o2 v20 v2
18
四. 对称性与守恒定律 每一种守恒定律都相应于一种对称性, 每一种守恒定律都相应于一种对称性, 变换的不变性. 即变换的不变性. 空间平移对称性与动量守恒定律: ▲ 空间平移对称性与动量守恒定律: 有空间平移对称性的系统,其动量必然守恒. 有空间平移对称性的系统,其动量必然守恒.
对称操作-旋转 度 对称操作-旋转90度
5
二. 基本操作与对称性的分类 1. 空间操作与空间对称性
的操作. ①平移:r → r + r0 的操作. 平移:
y
d
x
d
平移 d 对称
对平移操作状态不变的系统具有平移对称性. 对平移操作状态不变的系统具有平移对称性. 6
②转动:绕某个定轴转动一个角度的操作. 转动:绕某个定轴转动一个角度的操作.
▲ 镜像反射对称性与宇称守恒定律
宇称值=1 李正道 杨振宁 1957年诺贝尔奖
弱相互作用中宇称不守恒
吴建雄
21
随着物理学的发展,人们认识的对称性和守 随着物理学的发展, 恒量也越来越多.除能量,动量和角动量外还有 恒量也越来越多.除能量, 电荷,轻子数,重子数,宇称等守恒量. 电荷,轻子数,重子数,宇称等守恒量.
2
一. 基本概念 1.操作(operation): 操作( 操作 ): 把系统从一个状态变 到另一个状态叫操作 也称变换 操作, 变换. 到另一个状态叫操作,也称变换.
状态2 状态
状态1 状态
3
State 1
State 2
State 3
State 5
State 4
4
2 .对称性(symmetry): 对称性( 对称性 ): 一个系统对某种操 作状态不变(等价), 作状态不变(等价), 则该系统对此操作具有 对称性( 对称性(H.Weyl.1951). ). 该操作称对称操作 对称操作( 该操作称对称操作(symmetry operation). )
15
三. 对称性原理
自然规律反映了事物之间的 " 因果关系 " . 稳定的因果关系要求有可重复性和预见性. 要求有可重复性和预见性 稳定的因果关系要求有可重复性和预见性.即: 相同(或等价 的原因必定产生相同(或等价 的结果. 或等价)的原因必定产生相同 或等价)的结果 相同 或等价 的原因必定产生相同 或等价 的结果. 对称性原理: 年首先提出) 对称性原理:(Pierre Curie 1894年首先提出) 年首先提出 原因中的对称性必然存在于结果中, 原因中的对称性必然存在于结果中, 结果中的不对称性必然存在于原因中. 结果中的不对称性必然存在于原因中. 对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的一 条基本原理. 条基本原理. 根据对称性原理, 根据对称性原理,往往可以在不具体知道某些物 理规律的情况下,给出所需的结论. 理规律的情况下,给出所需的结论.
阴阳鱼
绕中心转180°+ ° 绕中心转 黑白置换 联合操作 具有对称性. 具有对称性.
14
伽里略变换是一种时空联合操作, 伽里略变换是一种时空联合操作,牛顿定律 对此联合操作是不变的. 对此联合操作是不变的. 同样,洛仑兹变换也是一种时空联合操作, 同样,洛仑兹变换也是一种时空联合操作, 但牛顿定律对此联合操作就不是不变的了. 但牛顿定律对此联合操作就不是不变的了. 物理学中除上述的时间,空间操作外, 还涉 物理学中除上述的时间,空间操作外, 及到一些其它的操作, 例如: 及到一些其它的操作, 例如:电荷共轭变换 (粒子与反粒子间的变换), 规范变换,全同 粒子与反粒子间的变换), 规范变换, 粒子置换等等. 粒子置换等等.它们也和系统的某些对称性 相联系. 相联系.
②时间反演:t → t 的变换(时间倒流). 时间反演: 的变换(时间倒流). d r t → t -v v ▲v = v dt dt → dt g g 上 2 下 t → t d r 抛 落 ▲ a = a 2 dt2 → dt2 dt 13
3. 联合操作与对称性 有的系统对某种操作可能不具有对称性, 有的系统对某种操作可能不具有对称性, 但对几种操作的联合却可能具有对称性. 但对几种操作的联合却可能具有对称性. 例如: 例如:
对称性原理是超越物理各个领域的普遍法则, 对称性原理是超越物理各个领域的普遍法则, 在未涉及一些具体定律之前, 在未涉及一些具体定律之前, 我们往往可能根据 对称性原理作出一些判断, 得出某些有用的信息. 对称性原理作出一些判断, 得出某些有用的信息. 这些法则不但不会与已知领域中的具体定律相悖, 这些法则不但不会与已知领域中的具体定律相悖, 而且还能指导我们去探索未知的领域. 而且还能指导我们去探索未知的领域.
以两粒子系统为例: 以两粒子系统为例:
A′ dSA fA
dS =-dS f
B B
B
A
设系统相互作用能U. 设系统相互作用能 .
dU A = dUB
f A = f B(d S 任意) A 任意)
A
B′ 平移对称
dU A = f A d SA
d U B = fB d SB
d PA d PB = dt dt
16
例如: 例如: 根据对称性原理, ▲ 根据对称性原理,论证 在有心力场作用下, 在有心力场作用下,质点 必在同一平面内运动. 必在同一平面内运动.
力心
v0 f m
Q2
求均匀带电球面球心的电场强度(电场强度是矢量)
17
Байду номын сангаас
如果抛体轨迹不在铅直面内( ▲ 如果抛体轨迹不在铅直面内(结果中出现 了不对称),一定存在对铅直面不对称的 了不对称),一定存在对铅直面不对称的 ), 原因.这是对称性原理反过来的应用. 原因.这是对称性原理反过来的应用.
10
v′
反射面
v
轴矢量(赝矢量): 轴矢量(赝矢量): 镜象反射中垂直 垂直反射面的 镜象反射中垂直反射面的 分量不变向 平行反射面的分量反向. 反射面的分量反向 分量不变向 ,平行反射面的分量反向. 如: ω,L,B, … L′ L L L′ L
L′ L′
L 反射面
r × p = L
(极) (极) (轴)
可以证明:极矢量× 可以证明:极矢量×极矢量
轴矢量
11
④空间反演: r → r 的操作称为对原点 空间反演: 的操作称为对原点O 的空间反演. 的空间反演. x → x 直角坐标系中空间反演
y→ y
空间反演不变的系统具有对O的点对称性. 空间反演不变的系统具有对 的点对称性. 不变的系统具有对 例如,立方体对其中心具有点对称性. 例如,立方体对其中心具有点对称性. x 空 间 反 演
x′
左手 坐标
x
右手 坐标
反射面 (a) 左右
z z′ y′ y 反射面 反射面 (b) 左右 (c) 坐标 反射
8
9
根据镜象反射的性质可将物理学中的矢量 分成两类: 分成两类: 极矢量 和 轴矢量 垂直反射面的分量反向, 极矢量:镜象反射中垂直反射面的分量反向 极矢量:镜象反射中垂直反射面的分量反向, 平行反射面的分量不变向. 反射面的分量不变向 平行反射面的分量不变向. 如:r ,v,a,E ,… v′ v′ v v v′ v v′ v
22
参考书目 新概念物理教程《力学》赵凯华, ▲新概念物理教程《力学》赵凯华,罗蔚茵
▲定性与半定量物理学
赵凯华, 赵凯华 高教出版社 基础物理学》 ▲《基础物理学》上卷 陆果 对称》 ▲《对称》 H. Weyl 商务印书馆 1986 大学物理学》 力学 热学) ▲《大学物理学》(力学 热学 张三慧 主编 ▲ "Lecture on Physics" R.Feynman. Vol.1
Q1
证明:在有心力场作用下, 证明:在有心力场作用下,
必在同一平面内运动. 质点 必在同一平面内运动.
力心
v0 f m
Q2
求均匀带电球面球心的电场强度(电场强度是矢量)
1
对称性原理( 对称性原理(principle of symmetry) )
对称性的规律具有极大的普遍性和可靠性, 对称性的规律具有极大的普遍性和可靠性, 具有极大的普遍性 它是统治物理规律的规律. 它是统治物理规律的规律. 对称性分析在物理学中占有重要地位. 对称性分析在物理学中占有重要地位. 一. 基本概念 二. 基本操作与对称性的分类 三. 对称性原理 四. 对称性与守恒定律
轴
轴
(b)
轴
(a)
轴对称
(c)
四次轴(对称) 四次轴(对称)
一次轴(对称) 一次轴(对称)
对转动操作状态不变的系统具有转动对称性. 对转动操作状态不变的系统具有转动对称性. 对绕空间一固定点作任意旋转都不变的系 7 统具有球对称性. 统具有球对称性.
③镜象反射: 镜象反射:
左 右 反 射 面
镜
左 右
z → z
y′ z′ x′
镜面反射
o
点对称性
z y
=
+
绕镜面法线 旋转180° 12 旋转 °
2. 时间操作与时间对称性
的变换. ①时间平移:t → t + t 0 的变换. 时间平移: 静止物体对时间平移具有对称性; ▲ 静止物体对时间平移具有对称性; 匀速运动物体的速度对时间平移具有对称性; ▲ 匀速运动物体的速度对时间平移具有对称性; 周期系统,对时间平移整数周期具有对称性. ▲ 周期系统,对时间平移整数周期具有对称性.
PA + PB = C 19
▲
空间的各向同性与角动量守恒定律: 空间的各向同性与角动量守恒定律: