中考数学中的分段函数题型解法举例

中考数学中的分段函数题型解法举例

仪陇县实践数学名师工作室 何 直

分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。这些分段函数都是直线型。 通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。下面我们归纳分析如下，供学复习时参考。 1、二段型分段函数

1.1正比例函数与一次函数构成的分段函数

解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。 例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．

（1）完成此房屋装修共需多少天？

（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？

解析：设正比例函数的解析式为：y=k 1x ， 因为图象经过点（3，

41），所以，41= k 1×3，所以k 1=121，所以y=121x ，0＜x ＜3 设一次函数的解析式（合作部分）是y=k 2x+b ，（0k k b ≠，，是常数） 因为图象经过点（3，

41），（5，2

1），所以， 由待定系数法得：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+⨯=+⨯2

154

1

322

b k b k ，解得：81,812-==b k ． ∴一次函数的表达式为8

181-=

x y ，所以，当1y =时，11

188x -=，解得9x =

∴完成此房屋装修共需9天。

方法2

解：由正比例函数解析式可知：甲的效率是

112，乙工作的效率：11181224

-= 甲、乙合作的天数：311641224⎛⎫

÷+= ⎪⎝⎭

（天）

∵甲先工作了3天，∴完成此房屋装修共需9天

（2）由正比例函数的解析式：y=

12

1x ，可知：甲的工作效率是1

12 ，

所以，甲9天完成的工作量是：139124

⨯

=， ∴甲得到的工资是：3

800060004

⨯=（元）

评析：在这里未知数的系数的意义是表示他们的工作效率。

例2、一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的

1

4

，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）

A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟

解析：步行前往考场，是满足正比例函数关系， 设正比例函数的解析式为：y=k 1x ，

因为图象经过点（10，

41），所以，41= k 1×10，所以k 1=401，所以y=40

1x ，0＜x ＜10 由正比例函数解析式可知：甲的效率是401

，

所以，步行前往考场需要的时间是：1÷40

1

=40（分钟），

乘出租车赶往考场，是满足一次函数关系， 所以，设一次函数的解析式是y=k 2x+b ，（0k k b ≠，，是常数）， 因为图象经过点（10，

41），（12，2

1

），所以， 由待定系数法得：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+⨯=+⨯2

1124

1

1022

b k b k ，解得：解得：1,812-==b k ， ∴一次函数的表达式为：181-=

x y ，所以，乘出租车赶往考场用的时间是：x=43÷8

1

，解得：x=6分钟，

所以，先步行前往考场，后乘出租车赶往考场共用时间为：10+6=16分钟， 所以，他到达考场所花的时间比一直步行提前了：40-16=24（分钟）， 故选C 。

评析：在这里未知数的系数的意义是表示他们的行使速度。

例3、某公司专销产品A ，第一批产品A 上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系．

（1）试写出第一批产品A 的市场日销售量y 与上市时间t 的关系式；

（2）第一批产品A 上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？

解析：

(1) 由图3可得，

当0≤t ≤30时，市场日销售量y 与上市时间t 的关系是正比例函数， 所以设市场的日销售量：y=kt ，

∵ 点（30，60）在图象上， ∴ 60=30k ．

∴ k =2．即 y =2t ，

当30≤t ≤40时，市场日销售量y 与上市时间t 的关系是一次函数关系， 所以设市场的日销售量：y=k 1t+b ，

因为点（30，60）和（40，0）在图象上，

所以 11

6030040k b k b =+⎧⎨=+⎩ ，

解得 k 1=－6，b =240．

∴ y =－6t +240． 综上可知，

当0≤t ≤30时，市场的日销售量：y =2t ，

当30≤t ≤40时，市场的日销售量：y=-6t+240。 (2) 由图4可得，

当0≤t ≤20时，市场销售利润w 与上市时间t 的关系是正比例函数， 所以设市场的日销售量：w=kt ，

∵ 点（20，60）在图象上， ∴ 60=20k ．

∴ k=3．即 w=3t ，

当20≤t ≤40时，市场销售利润w 与上市时间t 的关系是常数函数， 所以，w=60，

∴ 当0≤t ≤20时，产品的日销售利润：m=3t ×2t =6t 2

； ∵k=6＞0，所以，m 随t 的增大而增大，

∴ 当t =20时，产品的日销售利润m 最大值为：2400万元。 当20≤t ≤30时，产品的日销售利润：m=60×2t =120t ，